Cálculo Diferencial e Integral II Considere Exercícios...

Lista de Cálculo II – Exercicio – Funções de várias variáveis

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

1

Cálculo Diferencial e Integral II Exercícios – Lista

1. Considere 2 2( , ) 3f x y x y

(a) Calcule (3,2)xf usando 4.1.

(b) Calcule (3,2)yf usando 4.2.

Solução: (a)

( , ) ( , )

, lim0

x

f f x x y f x yf x y

xx x

2 2 2 23 3, lim

0x

x x y x yf x y

x x

2 2 2 2 22 3 3

, lim0

x

x x x x y x yf x y

x x

22

, lim0

x

x x xf x y

x x

2

, lim0

x

x x xf x y

x x

, lim 20

xf x y x xx

, 2xf x y x

(3,2) 2 3 6xf

(b)

( , ) ( , )( , ) lim

0y

f f x y y f x yf x y

yy y

22 2 23 3

( , ) lim0

y

x y y x yf x y

y y

2 2 2 2 23 2 3( , ) lim

0y

x y y y y x yf x y

y y

2 2 2 2 23 6 3 3( , ) lim

0y

x y y y y x yf x y

y y

26 3( , ) lim

0y

y y yf x y

y y

6 3( , ) lim

0y

y yf x y y

y y

( , ) lim 6 30

yf x y y yy

( , ) 6yf x y y

(3,2) 6 2 12yf

2. Considere 2( , ) 4f x y x y

(a) Calcule ( 1,2)xf usando 4.1.

(b) Calcule ( 1,2)yf usando 4.2.

Solução: (a)

11 1

1 1

( , ) ( , ), limx

f x y f x yff x y

x xx x x

1

( ,2) ( 1,2)1,2 lim

1x

f x ff

x x

2 24 2 4 1 2

1,2 lim1 1

x

xf

x x

16 16

1,2 lim1 1

x

xf

x x

1

1,2 lim 161 1

x

xf

x x

1,2 lim 16 11

xfx

1,2 16xf

(b)

1

1 1 11 1

1

( , ) ( , )( , ) limy

y

f x y f x yff x y

yy y y

2 24 1 4 1 2( 1,2) lim

2 2y

yff

yy y

24 16( 1,2) lim

2 2y

yf

y y

2 4

( 1,2) lim 42 2

y

yf

y y

2 22

( 1,2) lim 42 2

y

yf

y y

2 2

( 1,2) lim 42 2

y

y yf

y y

( 1,2) lim 4 22

yf yy

( 1,2) 4 2 2 16yf

3. Calcule fx e fy para as seguintes funções:

1. ( , ) 7 10f x y x y

, 7x

ff x y

x



2

, 10y

ff x y

y

2. 2 2( , ) 3f x y x y

, 2x

ff x y x

x

2 1, 3 2 6y

ff x y y y

y

3. 2

1 3( , )f x y

x y

2 1( , ) 3f x y x y

2 1 3, 2 2x

ff x y x x

x

3

2,x

ff x y

x x

1 1 2, 3 3y

ff x y y y

y

2

3,y

ff x y

y y

4. 3 2

2 6( , )f x y

x y

3 2( , ) 2 6f x y x y

3 1 4, 2 3 6x

ff x y x x

x

4

6,x

ff x y

x x

2 1 3, 6 2 12y

ff x y y y

y

3

12,y

ff x y

y y

5. 1 2 1 2( , )f x y x y

1 1

12 2

1 1,

2 2x

ff x y x x

x

1

,2

x

ff x y

x x

1 1

12 2

1 1,

2 2y

ff x y y y

y

1

,2

y

ff x y

y y

6. 3( , )f x y x y

1 3 1 2( , )f x y x y

1 2

13 3

2

3

1 1 1,

3 33

x

ff x y x x

xx

3 2

1,

3x

ff x y

x x

1 1

12 2

1 1,

2 2y

ff x y y y

y

1

,2

y

ff x y

y y

7. 2( , ) 4f x y x y

1 1 2 0 2, 4 4x

ff x y x y x y

x

2, 4x

ff x y y

x

2 1, 4 2y

ff x y x y

y

, 8y

ff x y x y

y

8. 2 2( , ) 10 5f x y x y x y

1 1 2 2 1, 10 5 2x

ff x y x y x y

x

2, 10 10x

ff x y y x y

x

2 1 2 1 1, 10 2 5 1y

ff x y x y x y

y

2, 20 5y

ff x y x y x

y

9. 2( , ) 2 6 10xf x y e x y

2 1, 2 2 0x

x

ff x y e x

x

, 4x

x

ff x y e x

x

1 1, 0 6 1y

ff x y y

y

, 6y

ff x y

y

10. 3( , ) ln 4 9f x y x y



3

1

, 0x

ff x y

x x

1

,x

ff x y

x x

2 1, 0 4 3y

ff x y y

y

2, 12y

ff x y y

y

11. ( , ) 3xf x y seny

, 3 ln3 0x

x

ff x y

x

, 3 ln3x

x

ff x y

x

, 0 cosy

ff x y y

y

, cosy

ff x y y

y

12. ( , ) cos ln 10yf x y x x e

1, 0x

ff x y senx

x x

1

,x

ff x y senx

x x

, 0 0y

y

ff x y e

y

, y

y

ff x y e

y

13. 3( , ) 10xf x y x e y

3 3, 0x x

x

ff x y x e e x

x

2 3, 3 x x

x

ff x y x e e x

x

2, 3x

x

ff x y x e x

x

1 1, 0 10 1y

ff x y y

y

, 10y

ff x y

y

14. 2( , ) 2 lnf x y y x

2 2 1

, 2 ln 2x

ff x y y x y

x x

22

,x

f yf x y

x x

2, 2 ln 2 2 lny

ff x y y x y x

y

, 4 lny

ff x y y x

y

15. 2( , ) 3 cosf x y y x

2 2, 3 cos 2x

ff x y y x y senx

x

2, 3x

ff x y y senx

x

2, 3 cos 3 2 cosy

ff x y y x y x

y

, 6 cosy

ff x y y x

y

16. 2 2( , ) 4 6yf x y y e x

2 1, 0 6 2x

ff x y x

x

, 12x

ff x y x

x

2 2, 4 4 0y y

y

ff x y y e e y

y

2, 4 2 4y y

y

ff x y y e e y

y

, 4 2y

y

ff x y y e y

y

17. 2 2( , ) 20f x y x y senx

2 1, 0 6 2x

ff x y x

x

2 2 2 2, 20 20x

ff x y x y senx x y senx

x

2 2 2, 20 2 20 cosx

ff x y x y senx x y x

x

2 2, 20 2 cosx

ff x y y x senx x y x

x

2 2, 20y

ff x y x y senx

y

2, 20 2y

ff x y x y senx

y



4

18. ( , )x y

f x yx y

2

,x

x y x yx y x y

f x xf x yx x y

2

1 1,x

x y x yff x y

x x y

2,x

f x y x yf x y

x x y

2

2,x

f yf x y

x x y

2

,y

x y x yx y x y

f y yf x y

y x y

2

1 1,y

x y x yff x y

y x y

2,y

f x y x yf x y

y x y

2

2,y

f xf x y

y x y

19. ( , )2 3

xef x y

x y

2

2 32 3

,2 3

x

x

x

e x yx y e

f x xf x yx x y

2

2 3 2,

2 3

x x

x

e x y eff x y

x x y

2

2 6 2,

2 3

x x x

x

f x e y e ef x y

x x y

2

2 6 2,

2 3

x

x

e x yff x y

x x y

2

2 32 3

,2 3

x

x

y

e x yx y e

f y yf x y

y x y

2

0 2 3 3,

2 3

x

y

x y eff x y

y x y

2

3,

2 3

x

y

f ef x y

y x y

20. ln

( , )2

yf x y

x y

2

ln 22 ln

,2

x

y x yx y y

f x xf x yx x y

2

0 2 ln 1,

2x

x y yff x y

x x y

2

ln,

2x

f yf x y

x x y

2

ln 22 ln

,2

y

y x yx y y

f y yf x y

y x y

2

12 ln 2

,2

y

x y yf y

f x yy x y

2

2 2ln

,2

y

xy

f yf x y

y x y

21. 0.3 0.7( , )f x y x y

0.3 1 0.7, 0.3 0.3x

ff x y x x

x

0.7

0.3,x

ff x y

x x

0.7 1 0.3, 0.7 0.7y

ff x y y y

y

0.3

0.7,y

ff x y

y y



5

22. 0.6 0.3( , ) 2f x y x y

0.6 1 0.4, 2 0.6 1.2x

ff x y x x

x

0.4

1.2,x

ff x y

x x

0.3 1 0.7, 0.3 0.3y

ff x y y y

y

0.7

0.3,y

ff x y

y y

23. 1( , ) 10 0 1f x y x y

1, 10x

ff x y x

x

1

10,x

ff x y

x x

1 1, 1 1y

ff x y y y

y

1

,y

ff x y

y y

24. ( , ) ln 2 3f x y x y

2 3ln 2 3

,2 3

x

x yx yf xf x y

x x x y

2

,2 3

x

ff x y

x x y

2 3

ln 2 3,

2 3y

x y

x yf yf x y

y y x y

3

,2 3

y

ff x y

y x y

25. 2 3( , ) x yf x y e

2 5

2 52 5

,

x y

x y

x

e x yff x y e

x x x

2 5, 2 x y

x

ff x y e

x

2 5

2 52 5

,

x y

x y

y

e x yff x y e

y y y

2 5, 5 x y

y

ff x y e

y

26. ( , ) 2x yf x y

2

, 2 ln 2

x y

x y

x

x yff x y

x x x

, 2 ln 2 1x y

x

ff x y

x

, 2 ln 2x y

x

ff x y

x

2

, 2 ln 2

x y

x y

y

x yff x y

y y y

, 2 ln 2 1x y

y

ff x y

y

, 2 ln 2x y

y

ff x y

y

27. 2 2

( , ) x yf x y e

2 2

2 2

2 2

,

x y

x y

x

e x yff x y e

x x x

2 2

, 2x y

x

ff x y e x

x

2 2

, 2 x y

x

ff x y x e

x

2 2

2 2

2 2

,

x y

x y

y

e x yff x y e

y y y

2 2

, 2x y

y

ff x y e y

y

2 2

, 2 x y

y

ff x y y e

y

28. ( , ) x yf x y e

,

x y

x y

x

e x yff x y e

x x x

, x y

x

ff x y e y

x

, x y

x

ff x y y e

x



6

,

x y

x y

y

e x yff x y e

y y y

, x y

y

ff x y e x

y

, x y

y

ff x y x e

y

29. ( , ) 3x yf x y

3

, 3 ln3

x y

x y

x

x yff x y

x x x

, 3 ln3x y

x

ff x y y

x

, ln3 3x y

x

ff x y y

x

3

, 3 ln 3

x y

x y

y

x yff x y

y y y

, 3 ln 3x y

y

ff x y x

y

, ln 3 3x y

y

ff x y x

y

30. ( , ) cos 2 3f x y x y

cos 2 3 2 3

, 2 3x

x y x yff x y sen x y

x x x

, 2 3 2x

ff x y sen x y

x

, 2 2 3x

ff x y sen x y

x

cos 2 3 2 3

, 2 3y

x y x yff x y sen x y

y y y

, 2 3 3y

ff x y sen x y

y

, 3 2 3y

ff x y sen x y

y

31. 2

( , ) 5x yf x y

2

2

25, 5 ln 5

x y

x y

x

x yff x y

x x x

2

, 5 ln5 2x y

x

ff x y x

x

2

, 2 5 ln5x y

x

ff x y x

x

2

2

25, 5 ln 5

x y

x y

y

x yff x y

y y y

2

, 5 ln 5 1x y

y

ff x y

y

2

, 5 ln 5x y

y

ff x y

y

32. 3

2( , ) 2f x y x x y

3 1

2 2, 3 2 2x

ff x y x x y x x y

x x

2

2, 3 2 2 2x

ff x y x x y x y

x

2

2, 6 2x

ff x y x x y x y

x

3 1

2 2, 3 2 2y

ff x y x x y x x y

y y

2

2, 3 2 2y

ff x y x x y x

y

2

2, 6 2y

ff x y x x x y

y

33. 4

2( , ) 3 2f x y x y x y

4 1

2 2, 4 3 2 3 2x

ff x y x y x y x y x y

x x

3

2, 4 3 2 6 2x

ff x y x y x y x y y

x

3

2, 8 3 2 3 1x

ff x y y x y x y x

x

4 1

2 2, 4 3 2 3 2y

ff x y x y x y x y x y

y y

3

2 2, 4 3 2 3 2y

ff x y x y x y x x

y

3

2, 4 3 2 3 2y

ff x y x x y x y x

y

34.

3

2

1( , )

2f x y

x y

3

2( , ) 2f x y x y



7

3 1

2 2, 3 2 2x

ff x y x y x y

x x

4

2, 3 2 2x

ff x y x y x

x

42

6,

2x

f xf x y

x x y

3 1

2 2, 3 2 2y

ff x y x y x y

y y

4

2, 3 2 2y

ff x y x y

y

42

6,

2y

ff x y

y x y

35. ( , )f x y x y

1

2( , )f x y x y

1

12

1,

2x

ff x y x y x y

x x

1

21

,2

x

ff x y x y y

x

1

2

1 1,

2x

ff x y y

xx y

1

,2

x

f yf x y

x x y

1

21

,2

y

ff x y x y x

y

1

2

1 1,

2y

ff x y x

yx y

1

,2

y

f xf x y

y x y

36. 2( , )f x y x y x

1

2 2( , )f x y x y x

1

12 22

1,

2x

ff x y x y x x y x

x x

1

2 21

, 22

x

ff x y x y x y x

x

12 2

1 1, 2

2x

ff x y y x

xx y x

2

1 2,

2x

f y xf x y

x x y x

1

12 22

1,

2y

ff x y x y x x y x

y y

1

2 21

,2

y

ff x y x y x x

y

12 2

1,

2y

f xf x y

yx y x

2

1,

2y

f xf x y

y x y x

37. 23( , ) 2 3f x y x x y

1

2 3( , ) 2 3f x y x x y

1

12 23

1, 2 3 2 3

3x

ff x y x x y x x y

x x

2

2 31

, 2 3 4 33

x

ff x y x x y x y

x

22 3

1 1, 4 3

32 3

x

ff x y x y

xx x y

223

1 4 3,

32 3

x

f x yf x y

xx x y

1

12 23

1, 2 3 2 3

3y

ff x y x x y x x y

y y

2

2 31

, 2 3 33

y

ff x y x x y

y

22 3

1 1, 3

32 3

y

ff x y

yx x y

223

1,

2 3y

ff x y

yx x y

38. ( , ) x yf x y e e

1

2( , ) x yf x y e e



8

1

12

1,

2

x y x y

x

ff x y e e e e

x x

1

21

,2

x y x

x

ff x y e e e

x

1

2

1 1,

2

x

x

x y

ff x y e

xe e

1

,2

x

xx y

f ef x y

x e e

1

12

1,

2

x y x y

y

ff x y e e e e

y y

1

21

,2

x y y

y

ff x y e e e

y

1

2

1 1,

2

y

y

x y

ff x y e

ye e

1

,2

y

yx y

f ef x y

y e e

39. 2 2( , ) lnf x y x y

1

2 2 2( , ) lnf x y x y

12 2 2

12 2 2

,x

x y

f xf x yx

x y

2 211

2 2 2

12 2 2

1

2,x

x yx y

f xf x yx

x y

12 2 2

12 2 2

12

2,x

x y xf

f x yx

x y

1 12 2 2 22 2

12

2,x

xf

f x yx

x y x y

1 12 2 2 2

,x

f xf x y

xx y

22 2 2

,x

f xf x y

xx y

2 2,x

f xf x y

x x y

12 2 2

12 2 2

,y

x y

f yf x y

yx y

2 211

2 2 2

12 2 2

1

2,y

x yx y

f yf x y

yx y

12 2 2

12 2 2

12

2,y

x y yf

f x yy

x y

1 12 2 2 22 2

12

2,y

yf

f x yy

x y x y

1 12 2 2 2

,y

f yf x y

yx y

22 2 2

,y

f yf x y

yx y

2 2,y

f yf x y

y x y

40. 2 3( , ) ln x yf x y e x y

2 3

2 3,

x y

x x y

e x y

f xf x yx e x y



9

2 1 3

2 3

2

,

x y

x x y

x ye x y

f xf x yx e x y

3

2 3

2,

x y

x x y

f e y x yf x y

x e x y

2 3

2 3,

x y

y x y

e x y

f yf x y

y e x y

2 3 1

2 3

3

,

x y

y x y

x ye x y

f yf x y

y e x y

2 2

2 3

3,

x y

x x y

f e y x yf x y

x e x y

4. Considere a função de produção: 0.5 0.5( , ) 3P K L K L

Mostre que:

( , ) ( , )( , )

P K L P K LK L P K L

K L

Solução: 0.5 0.5

0.5 1 0.53( , )

3 0.5K LP K L

K LK K

0.5 0.5( , )1.5

P K LK L

K

0.5 0.5

0.5 0.5 13( , )

1.5K LP K L

K LL L

0.5 0.5( , )1.5

P K LK L

L

( , ) ( , )P K L P K LK L

K L

0.5 0.5 0.5 0.51.5 1.5K K L L K L 1 0.5 0.5 1 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.51.5 1.5 1.5 1.5K L L K K L L K

0.5 0.5( , ) ( , )3 ( , )

P K L P K LK L K L P K L

K L

6. Um observatório será construído na forma de um

cilindro circular reto com uma abóboda esférica como

cobertura. Se o custo da construção da abóboda será

duas vezes mais caro que na parede do cilindro quais

deverão ser as proporções mais econômicas do

observatório supondo que o volume é fixo?

Parte 2: Diferencial, Regra da cadeia,

Derivada direcional e Gradiente. Máximos e

mínimos de Funções de várias variáveis.

1. Calcular o diferencial total e o crescimento

total da função z=xy no ponto (2,3), se x=0,1 e

y=0,2:

2. Uma lata de metal fechada, na forma de um

cilindro circular reto, deve possuir altura do lado

interno igual a 6cm, raio interno de 2cm e espessura de

0,1 cm. Se o custo do metal a ser usado é 10 centavos

por cm 3, encontre o custo aproximado (por

diferenciação) na fabricação da lata.

3. Nos exercícios abaixo, encontre a derivada

parcial pelos dois métodos:

(a) Pela regra da cadeia:

ur

ux

xr

uy

y

r ( )( ) ( )( );

us

ux

xs

uy

y

s ( )( ) ( )( )

(b) Faça as substituições de x e y antes de

derivar.

(b1)

u x y x r s y r s us

ur 2 2 3 2; ; ; ;

(b2) u e x r t y rsenty

x ur

ut ; cos ; ; ;2 4

(b3) u x xy y x y

x r s y r s ur

us

3 2 3

2 3

2 2 ;

; ; ;

4. Uma caixa vai ser fabricada com madeira

de 2/3 cm de espessura. O comprimento interno deve

ter 60 cm de espessura, a largura interna 30 cm e a

altura 40 cm. Use a diferencial total para encontrar a

quantidade aproximada de madeira que será utilizada

na fabricação da caixa.

5. Dada a função f(x,y,z)= x2+ y

2 +z

2



10

achar a derivada s

f

no ponto M (1,1,1):

(a) Na direção do vetor

s x y z1 2 3

(b) Na direção do vetor s x y z2

6. Seja dada a função:

222),,( zyxzyxf .

(a) Encontre o gradiente de f no ponto

M(1,1,1).

(b) Determine a derivada da função f(x,y,z) ,

no ponto M(1,1,1), na direção do gradiente.

7. Encontre a derivada direcional no Ponto P0

para a função dada, na direçãoe no sentido do vetor u :

(a) g x y y tg x

u x y P

( , ) ;

; ( , )

2 2

12

12 0

133 2

(b) )0,2(;ˆˆ;),( 02

3

2

12 Pyxuexyxf y

(c) h x y z xy sen yz

u x y z P

( , , ) cos( ( );

; ( , , )

1

323

23 0 2 0 3

(d)

f x y z x y z

u x y z P

( , , ) ln( );

; ( , , )

2 2 2

1

3

1

3

1

3 0 1 3 2

(e)f x y e y

u x sen y P

x( , ) cos( );

cos( ) ( ) ; ( , )

3

12 12 0 12

3

0

8. Encontre o gradiente de f em P e a taxa de

variação do valor da função na direção e sentido de u

em P.

(a)f x y x y P

u x sen y

( , ) ; ( , );

cos

2

3 3

4 2 2

(b)

f x y e P u x yxy( , ) ; ( , ); 2 45

352 1

9. A temperatura em qualquer ponto (x,y,z) do

espaço é dada por Tx y z

60

32 2 2 . A distância é

medida em cm.

(a) Encontre a taxa de variação da

temperatura no ponto (3,-2,2) na direção do vetor

u x y z 2 3 6 .

(b) Encontre a direção e magnitude da

variação máxima de T(x,y,z) em P (3,-2,2).

10. Se V volts é o potencial elétrico em

qualquer ponto (x,y,z) do espaço e

Vx y z

1

2 2 2, encontre:

(a) A taxa de variação de V no ponto (2,2,-1).

(b) A direção da taxa de variação máxima de

V em (2,2,-1).

11. A densidade de qualquer ponto P(x,y) de

uma chapa retangular no plano xy é :

1

32 2x y.

(a) Encontre a taxa de variação da densidade

no ponto (3,2) na direção do vetor

cos u x sen y 23

23 .

(b) Encontre a direção e magnitude da taxa de

variação máxima de f em (3,2).

12. chapa de metal está situada no plano-xy,

de modo que a temperatura T em (x,y) seja

inversamente proporcional à distância à origem, e a

temperatura em P(3,4) é 1000F.

(a) Ache a taxa de variação de T em P na

direção de i j .

(b) Em que direção P aumenta mais

rapidamente em P?

(c) Em que direção P decresce mais

rapidamente em P?

(d) Em que direção a taxa de variação é 0?

13. A superfície de um lago é representada

por uma região D no plano-xy, de modo que a

profundidade (em metros) sob o ponto (x,y) é

f x y x y( , ) 300 2 32 2.

(a) Em que direção um bote em P(4,9) deve

navegar para que a profundidade da água decresça

mais rapidamente?

(b) Em que direção a profundidade permanece

a mesma?

14. O potencial elétrico V em (x,y,z) é :

V x y z 2 2 24 9

(a) Ache a taxa de variação de V em P(2,-1,3)

na direção de P para a origem.

(b) Ache a variação que produz a taxa máxima

de variação de V em P.

(c) Qual é a taxa máxima de variação em P?

15. A temperatura em (x,y,z) é dada por:

T x y z x y z( , , ) 4 162 2 2



11

Ache a taxa de variação de T em P(4,-2,1) na

diração 2 6 3 i j k .

(a) Em que direção T aumenta mais rapidamente

em P?

(b) Qual é esta taxa de variação?

(c) Em que direção T decresce mais rapidamente

em P?

(d) Qual é essa taxa de variação?

16. O Potencial elétrico de uma carga elétrica

puntiforme é dado por:

r

kQrV )( ou

222),,(

zyx

kQzyxV

Sabendo que o campo elétrico desta carga é dado

por:

VrE

)(

Demonstre que:

rr

KQrE ˆ)(

2

Onde:

r

rr

ˆ

E r

é o chamado vetor deslocamento:

zzyyxxr ˆˆˆ

Possui módulo r dado por:

222 zyxr

17. Dada a função f definida por:

f x y x y x y( , ) 2 24 2 2:determine os

extremos relativos de f, se existirem

18. Determine as dimensões relativas de uma

caixa retangular, sem tampa, tendo um volume

específico V, se queremos usar a mínima quantidade de

material em sua confecção:

19. Determine as dimensões de uma caixa

retangular sem tampas que deve ser feita de tal forma

que tenha o máximo volume possível.

20. Encontre 3 números positivos cuja soma

seja 24 e seu produto o maior possível.

21. Dada:

yxyxyxf 2732),( 234 :

(a) Determine os possíveis pontos críticos P0(x0,y0) de

f(x,y).

(b) Calcule o discriminante

22

2

2

2

2

2

22

2

2

2

),(

yx

f

y

f

x

f

y

f

yx

f

yx

f

x

f

yxD

e verifique se há máximos ou mínimos

relativos.

Dado:

(i) f tem um valor mínimo relativo

em (x0 , y0 ) se:

D(x0 ,y0 ) > 0 e

2

2 0 0 0f

xx y( , )

(ii) f tem um valor máximo relativo em (x0 , y0 )

se:

D(x0 ,y0 ) > 0 e

2

2 0 0 0f

xx y( , )

(iii) f não é extremo relativo em

(x0 , y0 ) se D(x0 ,y0 ) < 0 :

(iv) Não podemos chegar a nenhuma conclusão se

D(x0 ,y0) = 0:

Para auxiliar a classificação, use a tabela

abaixo.

P0(x0,y0) D(x0,y0)

),( 002

2

yxx

f

Classificação

de P0(x0,y0)

Referências bibliográficas:

1. James Stewart, Calculus, concepts and

context, 2° Edition.



12

2. Swokovski, "O Cálculo com Geometria

Analítica", Volume II, 2ª Edição, Makron Books,

Volume 2.

3. L. Leithold, "O Cálculo com Geometria

Analítica", Volume 2, Editora Harbra. ISBN:

8529402065 4. Hamilton Luiz Guidorizzi “Um curso de

Cálculo” , V 2, Editora LTC.

5. http://www.wolfram.com

6. http://www.wolframalpha.com/

http://www.wolfram.com/

http://www.wolframalpha.com/

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