Clculo de probabilidades y variables aleatorias

El clculo de probabilidades nos suministra las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, constituyendo la base para la estadstica inductiva o inferencial.Experimentos y sucesos aleatorios Diremos que un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones: Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones; Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener; El resultado que se obtenga, e, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles. A este conjunto, de resultados posibles, lo denominaremos espacio muestral y lo denotaremos normalmente mediante la letra E. Los elementos del espacio muestral se denominan sucesos elementales.

Cualquier subconjunto de E ser denominado suceso aleatorio, y se denotar normalmente con las letras A, B,...

Operaciones bsicas con sucesos aleatorios Al ser los sucesos aleatorios nada ms que subconjuntos de un conjunto E --espacio muestral--, podemos aplicarles las conocidas operaciones con conjuntos, como son la unin, interseccin y diferencia: Unin: Dados dos sucesos aleatorios , se denomina suceso unin de A y B al conjunto formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A o bien que pertenecen a B (incluyendo los que estn en ambos simultneamente), es decir

Como ejemplo, tenemos que la unin de un suceso cualquiera con su complementario es el suceso seguro:

Volviendo al ejemplo del lanzamiento de un dado, si y , el suceso unin de A y B es: Interseccin: Dados dos sucesos aleatorios , se denomina suceso interseccin de A y B al conjunto formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A y B a la vez, es decir,

A veces por comodidad se omite el smbolo para denotar la interseccin de conjuntos, sobre todo cuando el nmero de conjuntos que intervienen en la expresin es grande. En particular podremos usar la siguiente notacin como equivalente a la interseccin:

Un ejemplo de interseccin es la de un suceso aleatorio cualquiera, , con su complementario, , que es el suceso imposible:

Diferencia: Dados dos sucesos aleatorios , se llama suceso diferencia de A y B, y se representa mediante , o bien A-B, al suceso aleatorio formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A, pero no a B:

Obsrvese que el suceso contrario de un suceso A, puede escribirse como la diferencia del suceso seguro menos ste, o sea,

Diferencia simtrica: Si , se denomina suceso diferencia simtrica de A y B, y se representa mediante , al suceso aleatorio formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A y no a B, y los que estn en By no en A:

As: Dados dos sucesos aleatorios se representa: en (a) ; en (b) ; en (c) A-B; en (d) .

Hay ciertas propiedades que relacionan la unin, interseccin y suceso contrario, que son conocidas bajo el nombre de Leyes de Morgan:

Experimentos aleatorios y probabilidad Se denominan experimentos deterministas aquellos que realizados de una misma forma y con las mismas condiciones iniciales, ofrecen siempre el mismo resultado. Como ejemplo, tenemos que un objeto de cualquier masa partiendo de un estado inicial de reposo, y dejado caer al vaco desde una torre, llega siempre al suelo con la misma velocidad: 4.1Cuando en un experimento no se puede predecir el resultado final, hablamos de experimento aleatorio. Este es el caso cuando lanzamos un dado y observamos su resultado. En los experimentos aleatorios se observa que cuando el nmero de experimentos aumenta, las frecuencias relativas con las que ocurre cierto suceso e, fn(e),

tiende a converger hacia cierta cantidad que denominamos probabilidad de e.

Probabilidad de Laplace Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un nmero finito de resultados posibles, y no existe ninguna razn que privilegie unos resultados en contra de otros, se calcula la probabilidad de un suceso aleatorio A, segn la regla de Laplace como el cociente entre el nmero de casos favorables a A, y el de todos los posibles resultados del experimento:

Definicin axiomtica de probabilidad Para hacer una definicin rigurosa de la probabilidad, necesitamos precisar ciertas leyes o axiomas que deba cumplir una funcin de probabilidad. Intuitivamente estos axiomas deberan implicar, entre otras, las siguientes cuestiones, que nos parecen lgicas en trminos de lo que se puede esperar de una funcin de probabilidad: La probabilidad slo puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1(no puede haber sucesos cuya probabilidad de ocurrir sea del 200% ni del -5%; La probabilidad del suceso seguro es 1, es decir, el 100 %; La probabilidad del suceso imposible debe ser 0. La probabilidad de la interseccin de dos sucesos debe ser menor o igual que la probabilidad de cada uno de los sucesos por separado, es decir,

La probabilidad de la unin de sucesos debe ser mayor que la de cada uno de los sucesos por separado:

Ms an, si los sucesos son disjuntos (incompatibles) debe ocurrir que

La probabilidad del suceso contrario de A, debe valer . Esto en realidad puede deducirse del siguiente razonamiento:

Concepto axiomtico de probabilidad Dado un espacio muestral E, y un -lgebra de sucesos sobre l, diremos que es una probabilidad sobre si las siguientes propiedades (axiomas) son verificadas: Ax-1. La probabilidad es una funcin definida sobre y que slo toma valores positivos comprendidos entre 0 y 1

Ax-2. La probabilidad del suceso seguro es 1

Ax-3. La probabilidad de la unin numerable de sucesos disjuntos es la suma de sus probabilidades

El tercer axioma de probabilidad indica que si con , entonces

Probabilidad condicionada e independencia de sucesos Sea un suceso aleatorio de probabilidad no nula, . Para cualquier otro suceso , llamamos probabilidad condicionada de A a B a la cantidad que representamos mediante o bien y que se calcula como:

Ciertos teoremas fundamentales del clculo de probabilidades Hay algunos resultados importantes del clculo de probabilidades que son conocidos bajo los nombres de teorema de la probabilidad compuesta, teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes

Reglas de clculo de probabilidades bsicasSean no necesariamente disjuntos. Se verifican entonces las siguientes propiedades: 1. Probabilidad de la unin de sucesos:

2. Probabilidad de la interseccin de sucesos:

3. Probabilidad del suceso contrario:

4. Probabilidad condicionada del suceso contrario:

Teorema (Probabilidad compuesta) Sea una coleccin de sucesos aleatorios. Entonces:

Teorema (Probabilidad total) Sea un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos. Entonces

Teorema (Bayes) Sea un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos. Sea un suceso del que conocemos todas las cantidades , , a las que denominamos verosimilitudes. entonces se verifica:

Tests diagnsticos Los tests diagnsticos son una aplicacin del teorema de Bayes a la Medicina, y se basan en lo siguiente: 1. Se sospecha que un paciente puede padecer cierta enfermedad, que tiene una incidencia de la enfermedad en la poblacin (probabilidad de que la enfermedad la padezca una persona elegida al azar) de ; 2. Como ayuda al diagnstico de la enfermedad, se le hace pasar una serie de pruebas (tests), que dan como resultado: Positivo, T+, si la evidencia a favor de que el paciente est enfermo es alta en funcin de estas pruebas; Negativo, T-, en caso contrario. Previamente, sobre el test diagnstico a utilizar, han debido ser estimadas las cantidades: Sensibilidad: Es la probabilidad de el test de positivo sobre una persona que sabemos que padece la enfermedad, . Especificidad: Es la probabilidad que el test de negativo sobre una persona que no la padece, La sensibilidad y especificidad se denominan tambin respectivamente tasa de verdaderos positivos y tasa de verdaderos negativos. Estas cantidades son calculadas de modo aproximado, antes de utilizar el test diagnstico, considerando grupos suficientemente numerosos de personas de las que sabemos si padecen la enfermedad o no, y estimando los porcentajes correspondientes. Por ejemplo se toman 100 personas sanas y 100 enfermas, y se observa que E

T+893

T-1197

100100

Tasa de verdaderos positivos:89%

Tasa de falsos positivos:3%

Tasa de verdaderos negativos:97%

Tasa de falsos negativos:11%

3. teniendo en cuenta el resultado del test diagnstico, se utiliza el teorema de Bayes para ver cual es, a la vista de los resultados obtenidos, la probabilidad de que realmente est enfermo si le dio positivo (ndice predictivo de verdaderos positivos),

o la de que est sano si le dio negativo (ndice predictivo de verdaderos negativos)