VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES · PDF file las variables...

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    VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIÓN DE

    PROBABILIDADES

    HAMLET MATA MATA

    Variable Aleatoria es una función que asocia un número real, perfectamente definido, a

    cada punto muestral. A veces las variables aleatorias (va) están ya implícitas en los puntos

    muestrales.

    Ejemplo 1: Sea el evento, la experiencia relacionada con la medición de la estatura de 100

    individuos. Un punto muestral (resultado de un experimento) es ya un número (estatura).

    La va está implícita.

    Ejemplo 2: Sea el evento, lanzar una moneda 3 veces al aire. Si se representa la cara con c

    y el sello con s, entonces el espacio muestral será:

    Espacio Muestral = {ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss}

    La probabilidad de cada suceso elemental es 1/8. Por ejemplo p(ccc) = 1/8, ya que la

    probabilidad de sacar cara en una tirada es 1/2 según la definición clásica y las tiradas son

    independientes.

    Definimos la va X: número de caras, que puede tomar los valores {0, 1, 2, 3}. Se buscan todos los puntos muestrales que dan lugar a cada valor de la variable y a ese valor se le

    asigna la probabilidad del suceso correspondiente.

    x Sucesos px

    0 {zzz} 1/8

    1 {czz, zcz, zzc} 3/8

    2 {ccz, czc, zcc} 3/8

    3 {ccc} 1/8

    En el caso de las variables discretas, como en el ejemplo, es una función que para cada

    valor de la variable da su probabilidad.

    Ejemplo 3. Sea el evento experimental, lanzar al aire 2 monedas. Se sabe que el espacio

    muestral de este experimento contiene 4 puntos muestra les.

    S = {(c, c), (c, s), (s, c), (s, s)}, donde el primer elemento de cada par indica si se obtuvo

    cara (c) o sello (s) en la primera moneda, y el segundo lo mismo con respecto a la segunda

    moneda. La probabilidad de cada punto muestral es entonces 1/4. Ahora bien, normalmente

    no estamos interesados en los puntos muestrales, sino en cierta magnitud asociada con los

    puntos muestrales. Por Ej. Se podría estar interesado en el número de caras que hay en

    cada punto muestral. Si definimos una variable Xi como el número de caras en el punto

    muestral si, Xi tomará los valores X1 = 2, X2 = 1, X3 = 1, X4 = 0. Por lo tanto, Xi es

    una variable aleatoria.

    Una variable X es una variable aleatoria si es una magnitud susceptible de tomar diversos

    valores con determinadas probabilidades. Es una regla que asocia un número con cada

    evento simple en el espacio muestra de un experimento. Por lo general, esta regla se

    simboliza por medio de las mayúsculas X, Y o Z.

    http://www.hrc.es/bioest/Probabilidad_1.html#clasica http://www.hrc.es/bioest/Probabilidad_16.html

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    Definición

    Una variable aleatoria es una función que asocia un número real a cada elemento

    del espacio muestral.

    O también,

    Una Variable Aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado

    en el espacio muestral de un experimento aleatorio.

    Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de un experimento

    aleatorio. Esta variable aleatoria puede ser discreta o continua. Si puede tomar sólo un

    número limitado de valores, entonces es una variable aleatoria discreta. En el otro

    extremo, si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado, entonces se trata de

    una variable aleatoria continua.

    La distribución de probabilidad X se describe por una fórmula que enuncia la probabilidad

    como una función de x. Es decir, la distribución de X está especificada por la función )()( xXPxf x  . El subíndice de )(xf x revela la variable aleatoria de interés. El

    subíndice se omitirá cuando no haya ninguna confusión sobre la probabilidad del resulta-

    do. Puesto que )(xf x está definida como una probabilidad, )(xf x es una función que va

    del conjunto de valores posibles de la variable aleatoria al intervalo [0, 1].

    Definición

    La función  ,...3,2,1k),xX(P)x(f kkx  que va del conjunto de los valores posibles de la variable aleatoria discreta X al intervalo [0, 1] recibe el nombre de

    función de probabilidad.

    Para una variable aleatoria )(, xfX x satisface las siguientes propiedades:

     

    

    x

    kx

    kx

    kkx

    1)x(f....3

    ,...0)x(f....2

    )xX(P)x(f.....1

    Para todo x.

    Se ha esgrimido el término experimento estadístico para representar cualquier proceso a

    través del cual se generan diversas observaciones al azar. Con frecuencia no interesan los

    detalles asociados con cada punto muestral, sino simplemente alguna descripción numérica

    del resultado. Por ejemplo, el espacio muestral que da una descripción detallada de cada

    uno de los resultados posibles de los alumbramientos de una mujer en 3 ocasiones, pueden

    escribirse así:

    S = (Espacio Muestral) = {HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}

    Si lo que interesa es sólo el número de hembras que alumbra la mujer, entonces se podría asignar un valor numérico de 0, 1, 2 ó 3 a cada uno de los puntos muestrales. Los números 0, 1, 2 y 3 son cantidades aleatorias que se determinan a través del resultado del experimento. Se podría pensar como los valores que toma alguna variable aleatoria X, que en este caso representa el número hembras que nacen cuando la mujer tiene 3 alumbramientos.

    Definición

    Si un espacio muestral contiene un número finito de posibilidades o una secuencia

    sin final con igual número de elementos que números enteros, se le denomina

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    variable aleatoria discreta (espacio muestral discreto). A una variable aleatoria

    se le denomina variable aleatoria discreta si su conjunto de posibles resultados es

    contable. Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede

    pude tomar un número determinado de valores.

    Las variables aleatorias discretas representan datos que se refieren, tales como el número de artículos defectuosos en una muestra de m de ellos o el número de accidentes en carreteras por año en un estado determinado.

    Ejemplo: si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz; si se tira un dado puede

    salir un número de 1 al 6; en una ruleta el número puede tomar un valor del 1 al 32.

    El resultado de un experimento estadístico que puede no ser finito ni contable. Un ejemplo

    de este paradigma ocurre cuando se produce una investigación para medir las distancias

    que recorre cierta marca de automóvil en una distancia de prueba especificado con 5 litros

    de gasolina. Asumiendo que el trayecto es una variable que se puede medir con cualquier

    grado de precisión, entonces resulta claro que se tiene un número infinito de distancias

    posibles en el espacio muestral y que no puede igualarse al número de números enteros. Si

    se registrara también la cantidad de tiempo en que se efectúa el recorrido de la diferentes

    marcas, da nueva cuenta de los intervalos de tiempos posibles que conforman el espacio

    muestral serian infinitos en número e incontables. Se observa con esto que no todos los

    espacios muestrales son necesariamente discretos.

    Definición

    Si un espacio muestral contiene un número infinito de posibilidades iguales al

    número de puntos que se encuentran en un segmento de línea, se le denomina

    variable aleatoria continua (espacio muestral continuo). Las distribuciones

    continuas son aquellas que presentan un número infinito de posibles soluciones.

    Cuando una variable aleatoria puede tomar valores en una escala continua, se le

    denomina variable aleatoria continua.

    Ejemplo: El peso medio de los alumnos de una clase puede tomar infinitos valores dentro

    de cierto intervalo (42,37 kg, 42,3764 kg, 42, 376541kg, etc); la esperanza media de vida

    de una población (72,5 años, 7,513 años, 72, 51234 años).

    Con frecuencia, los valores posibles de una variable aleatoria continua son precisamente los

    mismos valores contenidos en el espacio muestral continuo. Tal es el caso de aquella

    variable aleatoria que representa la distancia que cierta marca de automóvil puede recorrer,

    en un camino de prueba, con 5 litros de gasolina. En la mayoría de los problemas prácticos,

    las variables aleatorias continuas representan datos medidos, tales como alturas, pesos,

    temperaturas, distancias o períodos de vida posibles.

    Se puede especular en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de

    un desarrollo a otra, sin seguir una secuencia predecible. Por ejemplo, en un hospital para

    tratamiento del cáncer de pulmón no se tiene manera de saber con exactitud cuántos

    hombres van a ser atendidas en un día cualquiera. Si los registros diarios del hospital

    indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115 pacientes diarios,

    entonces ésta es una variable aleatoria discreta.

    Una variable aleatoria es discreta cuando únicamente puede tomar un determinado número

    de valores en un intervalo. Por ejemplo, la variable aleatoria N° de caras obtenidas al

    lanzar 2 monedas, es una variable aleatoria discr