CÁLCULO DE PROBABILIDADES

EXPERIENCIAS ALEATORIAS. SUCESOS EXPERIENCIAS DETERMINISTAS Y ALEATORIAS Se llama experiencia determinista a aquella que conocemos el resultado antes de realizar el experimento: lanzamos una piedra y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc. Se llama experiencia aleatoria a aquella cuyo resultado depende del azar: lanzar un dado, extraer una carta de una baraja, sacar bolas de una urna,... SUCESO ALEATORIO Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no dependiendo del azar. ESPACIO MUESTRAL Se llama espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, y se designa con la letra E. Por ejemplo: En un dado E = {1,2,3,4,5,6} En una moneda E = {C,+} SUCESOS Se llama suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral. Los elementos de E se llaman sucesos individuales o sucesos elementales También son sucesos el suceso vacío o suceso imposible, , y el propio E, suceso seguro. Al conjunto de todos los sucesos de una experiencia aleatoria lo llamaremos S. Si E tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de E es 2n.

OPERACIONES CON SUCESOS Dados dos sucesos A y B, se llama Unión: A B (se lee “A unión B”) es el suceso formado por todos los elementos de A y

de B El suceso A B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos.

Intersección: A B (se lee “A intersección B”) es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B.

El suceso A B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.

Diferencia: A – B (se lee “A menos B”) es el suceso formado por todos los elementos de A

que no son de B.

El suceso A – B se verifica cuando lo hace A y no B Complementario: El suceso A’ = Ac = A = E – A se llama suceso contrario o complementario de

A. El suceso A’ se verifica siempre cuando no se verifique A.

Sucesos incompatibles: Dos sucesos, A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningún

elemento común. Es decir, cuando A B =

Los sucesos incompatibles no se pueden verificar simultáneamente. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON SUCESOS Distributivas: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) De simplificación: A (B A) = A A (B A) = A Con el complementario: A = A A – B = A B BABA BABA

FRECUENCIA Y PROBABILIDAD FRECUENCIA ABSOLUTA Y FRECUENCIA RELATIVA Realizamos N veces una experiencia aleatoria. Se llama frecuencia absoluta de un suceso S o, simplemente, frecuencia de S, al número de veces que ocurre S. Se designa por f(S). Se llama frecuencia relativa de un suceso S a la proporción de veces que ocurre S. Se designa por

fr(S): fr(S) = N

)S(f

LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS Al realizar reiteradamente una experiencia aleatoria, la frecuencia relativa de un cierto suceso, fr(S), va tomando distintos valores. Estos valores al principio sufren grandes oscilaciones pero, poco a poco, se van estabilizando (oscilan cada vez menos). Cuando N crece mucho, se aproximan a un cierto valor que es la probabilidad de S, P(S) )S(P)S(frlim

N

LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS

PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES Axiomáticas: Inspiradas en las propias de la frecuencia relativa Las propiedades de cada suceso es un número. Se han de cumplir los siguientes axiomas: Ax.1 : Cualquiera que sea el suceso S, P(S) 0 Ax.2 : Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus

probabilidades. A B = P (A B) = P(A) + P(B) Ax.3 : La probabilidad total es 1: P(E) = 1 En esencia, estas tres propiedades indican que disponemos de una cantidad total de probabilidad igual a 1 que hemos de repartir aditivamente entre los distintos sucesos. Teoremas: Se deducen de las propiedades axiomáticas T.1 : P(A´) = 1 – P(A) T.2 : P() = 0 T.3 : Si A B, entonces P(B) = P(A) + P(B-A) T.4 : Si A B, entonces P(A) P(B) T.5 : Si A1, A2, ...., Ak son incompatibles dos a dos, entonces: P(A1 A2 .... Ak) = P(A1) + P(A2) + .... + P(Ak) T.6 : P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) T.7 : Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ...., xk}, entonces: P(S) = P(x1) + P(x2) + .... + P(xk)

LEY DE LAPLACE La propiedades T.7 permite calcular la probabilidad de un suceso S conociendo las probabilidades de los sucesos elementales que lo componen. Pero si el espacio muestral consta de n sucesos elementales equiprobables (todos ellos con la misma probabilidad 1/n), entonces la probabilidad de S sólo depende del número de sucesos elementales

que lo componen: P(S ) = n1....

n1

n1

LEY DE LAPLACE Si E = {x1, x2, ...., xn} y P(x1) = P(x2) = .... = P(xn), entonces

P(s) = "posibles_casos_"de_número

S_a_"favorables_casos_"de_Númeron

S_de_elementos_de_número

Se dice que un suceso aleatorio es de Laplace cuando la probabilidad de todos sus sucesos elementales (casos) es la misma. Por ejemplo: un dado correcto, una moneda, una baraja,.... CASOS EN LOS QUE NO SE PUEDE APLICAR LA LEY DE LAPLACE La ley de Laplace se puede aplicar cuando todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad. Pero hay muchos casos en que esto no ocurre. Por ejemplo: - Instrumentos irregulares : Dados trucados, una chincheta... Para evaluar la probabilidad de

estos sucesos se recurre a la ley de los grandes números. P(S) = fr(S). Cuanto mayor sea la N más fiable será la estimación.

- Instrumentos regulares, pero sucesos elementales no equiprobables : Por ejemplo lanzamos dos dados correctos y sumamos sus resultados. Para calcular su probabilidad recurrimos a técnicas de recuento y modificamos la descripción de la experiencia de modo que los sucesos elementales sean equiprobables.

PROBABILIDAD CONDICIONADA. SUCESOS INDEPENDIENTES PROBABILIDAD CONDICIONADA Dados dos sucesos, A y B, se llama probabilidad de B condicionada a A, y se designa por P(B/A)

a P(B/A) = )A(P

)BA(P y mide la proporción de veces que ocurre B de entre las que ocurre A.

De la expresión anterior se deduce que P(A B) = P(A).P(B/A) SUCESOS INDEPENDIENTES Dos sucesos, A y B, se dice que son independientes cuando:

P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B) Cuando dos sucesos son independientes la probabilidad de su intersección es igual al producto de sus probabilidades: A y B independientes P(A B) = P(A).P(B) TABLAS DE CONTINGENCIA Tablas que ayudan al estudio de probabilidades.

PRUEBAS COMPUESTAS Se llaman pruebas compuestas a aquellas experiencias en las que fácilmente podemos distinguir dos o más etapas. En ellas, el cálculo de probabilidades de sucesos compuestos se simplifica mucho calculando las probabilidades de sus componentes. Dos pruebas compuestas son independientes cuando el resultado de una no influye en la otra. Si no es así, se llaman dependientes. EXPERIENCIAS INDEPENDIENTES Se dice que dos o más pruebas son independientes cuando el resultado de cada una de ellas no influye en las probabilidades de los distintos resultados de las otras. Por tanto, los sucesos correspondientes a la primera son independientes de los sucesos correspondientes a la segunda. Si n pruebas son independientes y los sucesos S1, S2, ...., Sn corresponden, respectivamente, a cada una de ellas se cumple que: P(S1 en la 1ª y S2 en la 2ª y ..... Sn en la n-ésima) = P(S1).P(S2).....P(Sn) EXPERIENCIAS DEPENDIENTES Dos experiencias son dependientes cuando el resultado de la primera influye en las probabilidades de los sucesos de la segunda. Las probabilidades de sucesos compuestos se obtienen así: P(S1 en la 1ª y S2 en la 2ª) = P(S1 en la 1ª).P(S2 en la 2ª supuesto que ocurrió S1 en la 1ª)

P(S1 S2) = P(S1).P(S2/S1) Si se encadenan más de dos experiencias dependientes, las probabilidades de los sucesos compuestos se obtienen análogamente:

P(S1 S2 S3) = P(S1).P(S2/S1).P(S3/S1 S2)

PROBABILIDAD TOTAL Tenemos n sucesos A1, A2, ...., An, incompatibles dos a dos y tales que A1 A2 .... An = E. Entonces, para cualquier suceso S se cumple que: P(S) = P(A1).P(S/A1) + P(A2).P(S/A2) + ...... + P(An).P(S/An) A la probabilidad P(S) descompuesta de este modo se la llama probabilidad total. DIAGRAMAS DE ÁRBOL : Esquema para el cálculo de la probabilidad total.

PROBABILIDADES “A POSTERIORI”. FÓRMULA DE BAYES

P(Ai /S) = )A/S(P).A(P....)A/S(P).A(P

)A/S(P).A(P

nnnn

ii

CÁLCULO DE PROBABILIDADES ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS EJERCICIO 1 : En una urna hay 15 bolas numeradas de 2 al 16. Extraemos una bola al azar y observamos el número que tiene. a Describe los sucesos escribiendo todos sus elementos: A "Obtener par" B "Obtener impar" C "Obtener primo" D "Obtener impar menor que 9" b ¿Qué relación hay entre A y B? ¿Y entre C y D? c ¿Cuál es el suceso A B? ¿y C D? Solución: a A {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} B {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} C {2, 3, 5, 7, 11, 13} D {3, 5, 7} b B A'; D C c A B E Espacio muestral; C D D EJERCICIO 2 : Consideramos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. a ¿Cuál es el espacio muestral? ¿Cuántos elementos tiene? b Describe los sucesos escribiendo todos sus elementos.: A "Obtener dos caras y una cruz" B "Obtener al menos dos caras" C "Obtener al menos una cruz" c Halla los sucesos B C y C' Solución: a E { C, C, C, C, C, , C, + ,C, , C, C, C, , , , C, , , , C, , , } Tiene 8 elementos. b A { C, C, , C, ,C, , C, C } B { C, C, C, C, C, , C, ,C, , C, C } C { C, C, , C, ,C, , C, C, C, , , , C, , , , C, , , } c B C { C, C, , C, ,C, , C, C } C ' { C, C, C } EJERCICIOS PROBABILIDAD EJERCICIO 3 : Sean A y B los sucesos tales que: P[A] 0,4 P[A' B] 0,4 P[A B] 0,1 Calcula P[A B] y P[B]. Solución: Calculamos en primer lugar P[B]:

P[B] P[A' B] P[A B] 0,4 0,1 0,5 P[A B] P[A] P[B] P[A B] 0,4 0,5 0,1 0,8 EJERCICIO 4 : Sabiendo que: P[A B] 0,2 P[B'] 0,7 P[A B'] 0,5 Calcula P[A B] y P[A]. Solución:

P[A] P[A B'] P[A B] 0,5 0,2 0,7 P[B] 1 P[B'] 1 0,7 0,3 P[A B] P[A] P[B] P[A B] 0,7 0,3 0,2 0,8

EJERCICIO 5 : De dos sucesos A y B sabemos que: P[A'] 0,48 P[A B] 0,82 P[B] 0,42 a ¿Son A y B independientes? b ¿Cuánto vale P[A / B]? Solución: a P[A'] 1 P[A] 0,48 P[A] 0,52 P[A B] P[A] P[B] P[A B] 0,82 0,52 0,42 P[A B] P[A B] 0,12

BPAPBAP12,0BAP

2184,042,052,0BPAP

No son independientes.

29,042,012,0

BP

BAPB/APb)

EJERCICIO 6 : Si A y B son dos sucesos tales que: P[A] 0,4 P[B / A] 0,25 P[B'] 0,75 a ¿Son A y B independientes? b Calcula P[A B] y P[A B]. Solución: a P[B'] 1 P[B] 0,75 P[B] 0,25 Como P[B / A] 0,25 y P[B] 0,25, tenemos que: P[B / A] P[B] A y B son independientes. b Como A y B son independientes: P[A B] P[A] · P[B] 0,4 · 0,25 0,1 Así: P[A B] P[A] P[B] P[A B] 0,4 0,25 0,1 0,55 PROBLEMAS PROBABILIDAD EJERCICIO 7 : En unas oposiciones, el temario consta de 85 temas. Se eligen tres temas al azar de entre los 85. Si un opositor sabe 35 de los 85 temas, ¿cuál es la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas? Solución: Tenemos que hallar la probabilidad de que ocurra el siguiente suceso: A = “el opositor conoce, al menos, uno de los tres temas” Para calcularla, utilizaremos el complementario. Si sabe 35 temas, hay 85 – 35 = 50 temas que no sabe; entonces:

P [A] = 1 – P [A’] = 1 – P [“no sabe ninguno de los tres”] = 8020198018348

8449

85501 ,,

Por tanto, la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas es de 0,802. EJERCICIO 8 : Tenemos para enviar tres cartas con sus tres sobres correspondientes. Si metemos al zar cada carta en uno de los sobres, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de las cartas vaya en el sobre que le corresponde? Solución: Hacemos un diagrama que refleje la situación. Llamamos a los sobres A, B y C; y a las cartas correspondientes a, b y c. Así, tenemos las siguientes posibilidades:

Vemos que hay seis posibles ordenaciones y que en cuatro de ellas hay al menos una coincidencia. Por tanto, la

probabilidad pedida será: 67,032

64P

EJERCICIO 9 : a) Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número? b) Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5, ¿cuál es la probabilidad de que las tres elijan el mismo número? Solución: a) Para calcular la probabilidad, suponemos que el primero ya ha elegido número. La pregunta es: ¿cuál es a

probabilidad de que el segundo elija el mismo número? 2,051P

04,0251

51

51P b)

EJERCICIO 10 : En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar. a ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? b ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés? c ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés? Solución: Vamos a organizar los datos en una tabla, completando los que faltan:

Llamamos I "Habla ingles", F "Habla francés".

a Tenemos que hallar P[I F]: 6,053

12072

120123648FIPFPIPFIP

25,041

4812IF/Pb) 2,0

51

12024I no FPc)

EJERCICIO 11 : En una clase de 30 alumnos hay 18 que han aprobado matemáticas, 16 que han aprobado inglés y 6 que no han aprobado ninguna de las dos. Elegimos al azar un alumno de esa clase: a ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés y matemáticas? b Sabiendo que ha aprobado matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés? c ¿Son independientes los sucesos "Aprobar matemáticas" y "Aprobar inglés"? Solución: Organizamos los datos en una tabla de doble entrada, completando los que faltan:

Llamamos M "Aprueba matemáticas", I Aprueba inglés".

33,031

3010IMP a) 56,0

95

1810M/IP b)

258

7524

158

53

3016

3018IPMP c)

258

31IMP

ntes.independie son no sucesos dos los Como ,IPMPIMP EJERCICIO 12 : Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay 3 bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa B hay 6 bolas blancas y 2.rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B. Después extraemos una bola de B. a ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de B sea blanca? b ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?

Solución: Hacemos un diagrama en árbol:

107

157

307 ª2P a) Bl

307y P b) BlBl

EJERCICIO 13 : El 1% de la población de un determinado lugar padece una enfermedad. Para detectar esta enfermedad se realiza una prueba de diagnóstico. Esta prueba da positiva en el 97% de los pacientes que padecen la enfermedad; en el 98% de los individuos que no la padecen da negativa. Si elegimos al azar un individuo de esa población: a ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo dé positivo y padezca la enfermedad? b Si sabemos que ha dado positiva, ¿cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad? Solución: Hacemos un diagrama en árbol:

a P[Enfermo y Positiva] 0,0097

33,0

0295,00097,0

0198,00097,00097,0

PP

Py EPP / EP b)

OSITIVA

OSITIVANFERMOOSITIVANFERMO

EJERCICIO 14 : Un estudiante realiza dos exámenes en un mismo día. La probabilidad de que apruebe el primero es 0,6. La probabilidad de que apruebe el segundo es 0,8; y la de que apruebe los dos es 0,5. Calcula: a La probabilidad de que apruebe al menos uno de los dos exámenes. bLa probabilidad de que no apruebe ninguno. cLa probabilidad de que apruebe el segundo examen en caso de haber aprobado el primero. Solución: Llamamos: A "aprobar el primer examen" B "aprobar el segundo examen" Tenemos entonces que: 5,0BAP ;8,0BP ;6,0AP

9,05,08,06,0BAPBPAPBAa) P 1,09,01BAP1b)

83,0

6,05,0

APABP

A/BPc)

EJERCICIO 15 : En una bolsa, A, hay 2 bolas negras y 3 rojas. En otra bolsa, B, hay 3 bolas negras, 4 rojas y 3 verdes. Extraemos una bola de A y la introducimos en la bolsa B. Posteriormente, sacamos una bola de B. a ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja? b ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean rojas? Solución: Hacemos un diagrama de árbol:

5523

112

558 ª2P a) R

113y P b) RR

EJERCICIO 16 : En un club deportivo, el 52% de los socios son hombres. Entre los socios, el 35% de los hombres practica la natación, así como el 60% de las mujeres. Si elegimos un socio al azar: a ¿Cuál es la probabilidad de que practique la natación? b Sabiendo que practica la natación, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer? Solución: Hacemos un diagrama en árbol:

a P[Natación] 0,182 0,288 0,47

613,0

47,0288,0

NN MN / M b)

ATACIÓN

ATACIÓN YUJERATACIÓNUJER

PPP