VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIOacuteN DE

PROBABILIDADES

HAMLET MATA MATA PROF DE LA UNIVERSIDAD

POLITEacuteCNICA DE EL TIGRE-VENEZUELA httphamletyestadisticaspssjimdocom

Variable Aleatoria es una funcioacuten que asocia un nuacutemero real perfectamente

definido a cada punto muestral A veces las variables aleatorias (va) estaacuten ya impliacutecitas en los puntos muestrales

EJEMPLO 1 Sea el evento la experiencia relacionada con la medicioacuten de la

estatura de 100 individuos Un punto muestral (resultado de un experimento) es ya un nuacutemero (estatura) La va estaacute impliacutecita

EJEMPLO 2 Sea el evento lanzar una moneda 3 veces al aire Si se representa la cara con c y el sello con s entonces el espacio muestral seraacute

Espacio Muestral = ccc ccs csc scc css scs ssc sss

La probabilidad de cada suceso elemental es 18 Por ejemplo p(ccc) = 18 ya

que la probabilidad de sacar cara en una tirada es 12 seguacuten la definicioacuten claacutesica y las tiradas son independientes

DEFINIMOS LA VARIABLE ALEATORIA X nuacutemero de caras que puede tomar

los valores 0 1 2 3 Se buscan todos los puntos muestrales que dan lugar a cada valor de la variable y a ese valor se le asigna la probabilidad del suceso

correspondiente

x Sucesos px

0 zzz 18

1 czz zcz zzc

38

2 ccz czc zcc

38

3 ccc 18

En el caso de las variables discretas como en el ejemplo es una funcioacuten que para

cada valor de la variable da su probabilidad

EJEMPLO 3 Sea el evento experimental lanzar al aire 2 monedas Se sabe que el espacio muestral de este experimento contiene 4 puntos muestra les

S = (c c) (c s) (s c) (s s) donde el primer elemento de cada par indica si

se obtuvo cara (c) o sello (s) en la primera moneda y el segundo lo mismo con

respecto a la segunda moneda La probabilidad de cada punto muestral es entonces 14 Ahora bien normalmente no estamos interesados en los puntos

muestrales sino en cierta magnitud asociada con los puntos muestrales Por Ej Se podriacutea estar interesado en el nuacutemero de caras que hay en cada punto

muestral Si definimos una variable Xi como el nuacutemero de caras en el punto muestral si Xi tomaraacute los valores X1 = 2 X2 = 1 X3 = 1 X4 = 0 Por lo tanto

Xi es una variable aleatoria

Una variable X es una variable aleatoria si es una magnitud susceptible de tomar diversos valores con determinadas probabilidades Es una regla que asocia un

nuacutemero con cada evento simple en el espacio muestra de un experimento Por lo general esta regla se simboliza por medio de las mayuacutesculas X Y o Z

DEFINICIOacuteN Una variable aleatoria es una funcioacuten que asocia un nuacutemero

real a cada elemento del espacio muestral O tambieacuten Una Variable

Aleatoria es una funcioacuten que asigna un nuacutemero real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio

Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de un

experimento aleatorio Esta variable aleatoria puede ser discreta o continua Si puede tomar soacutelo un nuacutemero limitado de valores entonces es una variable

aleatoria discreta En el otro extremo si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado entonces se trata de una variable aleatoria continua

La distribucioacuten de probabilidad X se describe por una foacutermula que enuncia la

probabilidad como una funcioacuten de x Es decir la distribucioacuten de X estaacute especificada por la funcioacuten )()( xXPxf x El subiacutendice de )(xf x revela la variable aleatoria de

intereacutes El subiacutendice se omitiraacute cuando no halla ninguna confusioacuten sobre la probabilidad del resultado Puesto que )(xf x estaacute definida como una probabilidad

)(xf x es una funcioacuten que va del conjunto de valores posibles de la variable

aleatoria al intervalo [0 1]

DEFINICIOacuteN La funcioacuten 321k)xX(P)x(f kkx que va del conjunto

de los valores posibles de la variable aleatoria discreta X al intervalo [0 1]

recibe el nombre de funcioacuten de probabilidad Para una variable aleatoria

)( xfX x satisface las siguientes propiedades

x

kx

kx

kkx

1)x(f3

0)x(f2

)xX(P)x(f1

Para todo x

Se ha esgrimido el teacutermino experimento estadiacutestico para representar cualquier

proceso a traveacutes del cual se generan diversas observaciones al azar Con frecuencia no interesan los detalles asociados con cada punto muestral sino

simplemente alguna descripcioacuten numeacuterica del resultado Por ejemplo el espacio muestral que da una descripcioacuten detallada de cada uno de los resultados posibles

de los alumbramientos de una mujer en 3 ocasiones pueden escribirse asiacute S = (Espacio Muestral) = HHH HHM HMH MHH HMM MHM MMH MMM

Si lo que interesa es soacutelo el nuacutemero de hembras que alumbra la mujer entonces

se podriacutea asignar un valor numeacuterico de 0 1 2 oacute 3 a cada uno de los puntos muestrales

Los nuacutemeros 0 1 2 y 3 son cantidades aleatorias que se determinan a traveacutes del

resultado del experimento Se podriacutea pensar como los valores que toma alguna

variable aleatoria X que en este caso representa el nuacutemero hembras que nacen cuando la mujer tiene 3 alumbramientos

DEFINICIOacuteN Si un espacio muestral contiene un nuacutemero finito de posibilidades o una secuencia sin final con igual nuacutemero de elementos que nuacutemeros enteros se

le denomina variable aleatoria discreta (espacio muestral discreto) A una variable aleatoria se le denomina variable aleatoria discreta si su conjunto de

posibles resultados es contable Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede pude tomar un nuacutemero determinado de valores

Las variables aleatorias discretas representan datos que se refieren tales

como el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos en una muestra de m de ellos o el nuacutemero de accidentes en carreteras por antildeo en un estado determinado

EJEMPLO si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz si se tira un dado puede salir un nuacutemero de 1 al 6 en una ruleta el nuacutemero puede tomar un

valor del 1 al 32

El resultado de un experimento estadiacutestico que puede no ser finito ni contable Un ejemplo de este paradigma ocurre cuando se produce una investigacioacuten para

medir las distancias que recorre cierta marca de automoacutevil en una distancia de prueba especificado con 5 litros de gasolina Asumiendo que el trayecto es una

variable que se puede medir con cualquier grado de precisioacuten entonces resulta claro que se tiene un nuacutemero infinito de distancias posibles en el espacio muestral

y que no puede igualarse al nuacutemero de nuacutemeros enteros Si se registrara tambieacuten la cantidad de tiempo en que se efectuacutea el recorrido de la diferentes marcas da

nueva cuenta de los intervalos de tiempos posibles que conforman el espacio muestral serian infinitos en nuacutemero e incontables Se observa con esto que no

todos los espacios muestrales son necesariamente discretos

DEFINICIOacuteN Si un espacio muestral contiene un nuacutemero infinito de

posibilidades iguales al nuacutemero de puntos que se encuentran en un segmento de

liacutenea se le denomina variable aleatoria continua (espacio muestral

continuo) Las distribuciones continuas son aquellas que presentan un nuacutemero infinito de posibles soluciones Cuando una variable aleatoria puede tomar valores

en una escala continua se le denomina variable aleatoria continua

EJEMPLO El peso medio de los alumnos de una clase puede tomar infinitos valores dentro de cierto intervalo (4237 kg 423764 kg 42 376541kg etc) la

esperanza media de vida de una poblacioacuten (725 antildeos 7513 antildeos 72 51234 antildeos)

Con frecuencia los valores posibles de una variable aleatoria continua son

precisamente los mismos valores contenidos en el espacio muestral continuo Tal es el caso de aquella variable aleatoria que representa la distancia que cierta

marca de automoacutevil puede recorrer en un camino de prueba con 5 litros de gasolina En la mayoriacutea de los problemas praacutecticos las variables aleatorias

continuas representan datos medidos tales como alturas pesos temperaturas

distancias o periacuteodos de vida posibles

Se puede especular en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de un desarrollo a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo

en un hospital para tratamiento del caacutencer de pulmoacuten no se tiene manera de saber con exactitud cuaacutentos hombres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera Si

los registros diarios del hospital indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115 pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria

discreta

Una variable aleatoria es discreta cuando uacutenicamente puede tomar un determinado nuacutemero de valores en un intervalo Por ejemplo la variable aleatoria

Ndeg de caras obtenidas al lanzar 2 monedas es una variable aleatoria discreta en el intervalo (02) Solo puede tomar los valores 0 1 y 2 Si el espacio muestral

consiste en un Conjunto discontinuo de sucesos entonces una variable asociada

con ese conjunto se le llama discreta de otra manera se le llama continua Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor en un

intervalo Supongamos el experimento de lanzar una moneda hacia una liacutenea marcada en el suelo Supongamos que la distancia maacutexima a que puede caer la

moneda de la marca es 1 metro (entendiendo como distancia la del centro de la moneda a la liacutenea) Si definimos una variable aleatoria X que represente esa

distancia X puede tomar cualquier valor en el intervalo [01]

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS

Una variable aleatoria es un evento numeacuterico cuyo valor se determina mediante un proceso al azar Cuando se asignan valores de probabilidad a todos

los datos numeacutericos posibles de una variable aleatoria X ya sea mediante un

listado o a traveacutes de una funcioacuten matemaacutetica se obtiene como resultado una distribucioacuten de probabilidad La suma de las probabilidades para todos los

resultados numeacutericos posibles debe ser Igual a 10 Pueden denotarse los valores de probabilidad individuales mediante el siacutembolo f(x) lo cual implica que hay

impliacutecita una funcioacuten matemaacutetica mediante P(x = X) lo cual implica que la variable aleatoria puede asumir diversos valores especiacuteficos o simplemente

mediante P(X)

Para una variable aleatoria discreta se pueden enumerar todos los valores numeacutericos posibles de la variable en una tabla con las probabilidades

correspondientes Existen diversas distribuciones estaacutendar de probabilidad que pueden utilizarse como modelos para una amplia gama de variables aleatorias

discretas en aplicaciones de negocios

Para una variable aleatoria continua no es posible enumerar todos los posibles valores fraccionarios de la variable y por lo tanto las probabilidades que se

determinan a traveacutes de una funcioacuten matemaacutetica se ilustran en forma graacutefica mediante una funcioacuten de densidad de probabilidad o curva de probabilidad

EJEMPLO 1 En la Tabla A se muestra el nuacutemero de camionetas que se han solicitado para rentar en una arrendadora de automoacuteviles en un periodo de 50

diacuteas En la uacuteltima columna de la Tabla se incluyen las frecuencias observadas en este periodo de 50 diacuteas En la uacuteltima columna de la tabla se incluyen las

frecuencias observadas en ese periodo de 50 diacuteas convertidas en probabilidad Asiacute puede observarse que la probabilidad de que se hayan solicitado exactamente

siete camionetas en un diacutea elegido al azar en ese periodo es de 020 y que la probabilidad de que se hayan solicitado seis o maacutes es de 028 + 020 + 008 =

056

Tabla B Demanda diarios de arrendamiento de camionetas

Durante un periodo de 50 diacuteas

Demandas

Posibles X

Nuacutemero de

Diacuteas

Probabilidad )(XP Valor

Ponderado )( XPX

3 3 006 018

4 7 014 056

5 12 024 120

6 14 028 168

7 10 020 140

8 4 008 064

TOTALES 50 100 665)( XE

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES

DISCRETAS

Las variables aleatorias son aquellas que se relacionan con la ocurrencia de un

fenoacutemeno aleatorio Cuando una de esas variables aleatorias toma diversos valores la probabilidad asociada a cada uno de tales valores puede ser organizada

como una distribucioacuten de probabilidad lo que se denomina distribucioacuten de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores de la variable aleatoria Las

distribuciones de probabilidad logran representarse a traveacutes de una tabla una graacutefica o una foacutermula en cuyo caso tal regla de correspondencia se le denomina

funcioacuten de probabilidad

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETA La variable aleatoria X se dice que es discreta si los nuacutemeros asignados a los sucesos elementales de E son puntos

aislados Sus posibles valores constituyen un conjunto finito o infinito numerable Por ejemplo supongamos el experimento consistente en lanzar tres veces una

moneda no trucada si consideramos la variable aleatoria X = rdquonuacutemero de caras obtenidas en los tres lanzamientosrdquo los valores que puede tomar esta variable

aleatoria son finitos (0123)

Entonces una variable aleatoria discreta adquiere cada uno de sus valores con

cierta probabilidad En el proceso del lanzamiento de una moneda 3 veces la variable X que representa el nuacutemero de sellos toma el valor 2 con una

probabilidad de 38 puesto que 3 de los puntos muestrales igualmente probables dan como resultado 2 sellos y 1 cara Si se suponen arreglos iguales para los

eventos simples del siguiente ejemplo

Un empleado de un depoacutesito le regresa en forma aleatoria tres herramientas de seguridad previamente revisados a tres obreros de un taller Si Sauacutel (S) Jesuacutes

(J) y Boris (B) en ese orden reciben una de las tres herramientas enumere los puntos muestrales para los oacuterdenes posibles de devolucioacuten de las herramientas y

calcule los valores b de la variable aleatoria B que representa el nuacutemero de agrupaciones correctas

SOLUCIOacuteN- Si S J y B representan las herramientas de Saul Jesuacutes y Boris

respectivamente luego los arreglos posibles en los que podriacutean devolverse las herramientas y el nuacutemero de agrupaciones correctas seraacuten

b 3 1 1 0 0 1

Espacio Muestral SJB SBJ JSB JBS BSJ BJS

La probabilidad de que ninguacuten obrero reciba de nuevo la herramienta que teniacutea es decir la probabilidad de que B tome el valor de cero es 13 Los posibles

valores b de B y sus probabilidades estaacuten dados por

b 0 1 3

P(B = b) 3

1

2

1

6

1

Obseacutervese que los valores de b agotan todos los casos posibles y por ello las probabilidades suman 1

Con frecuencia resulta conveniente representar todas las probabilidades de una

variable aleatoria X a traveacutes de una foacutermula Esta foacutermula seria necesariamente funcioacuten de los valores numeacutericos x que se denotaraacuten por f(x) g(x) r(x) y asiacute

sucesivamente Por lo tanto se escribe f(x) = P(X= x) es decir )3X(P)3(f Al

conjunto de pares ordenados (x f(x)) se le denomina funcioacuten de probabilidad o

distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X

DEFINICIOacuteN El conjunto de pares ordenados (x f(x)) es una funcioacuten de probabilidad o una distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X

si para cada posible resultado x

0)(1 xf

1)(2 xf

)()(3 xfxXP

EJEMPLO- Un envioacute de ocho computadoras similares para un distribuidor

contiene tres defectuosas Si un comerciante hace una compra aleatoria de dos de esas computadoras localice la distribucioacuten de probabilidad para el nuacutemero de

computadoras imperfectas

SOLUCIOacuteN- Sea X una variable aleatoria cuyos valores de x son los nuacutemeros posibles de computadoras defectuosas adquiridas por el comerciante Luego x

puede se cualquiera de los nuacutemeros 0 1 y 2 Entonces

28

3)2X(P)2(f

28

15)1X(P)1(f

28

10)0X(P)0(f

8

2

5

0

3

2

8

2

5

1

3

1

8

2

5

2

3

0

Por lo tanto la distribucioacuten de probabilidad de X es

x

0

1

2

f(x)

28

10

28

15

28

3

EJEMPLO Analice la variable aleatoria X como la cantidad de caras observadas cuando se lanzan dos monedas al aire El espacio muestral es el conjunto CC CS

SC SS y se puede observar que la variable X puede tomar como valores 0 1 y 2 Calculando las probabilidades tenemos

P(de no observar caras) = P(SS) = P(X=0) = frac14

P(de observar una cara) = P(SC o CS) = P(X=1) = 24

P(de observar dos caras) = P(CC) = P(X=2) = frac14

Si ahora se organizan estos resultados en el siguiente cuadro

Se alcanzaraacute explicar por queacute se usa el nombre distribucioacuten de probabilidad Con esta informacioacuten se puede construir un histograma como el siguiente

PROBLEMA

X 0 1 2

P(X=x) frac14 24 frac14

Se Lanzan dos dados al aire iquestCuaacutel es probabilidad de que la suma de los puntos

en los dados sea menor que 8

SOLUCIOacuteN Si asumimos que todos los resultados observados al lanzar los dos dados son equiprobables (si todos los sucesos elementales que lo integran tienen

la misma probabilidad) entonces el espacio muestral del experimento con treinta y seis posibles resultados se presentan a continuacioacuten

Tabla 1 Espacio muestral

resultante al lanzar dos dados

Como nos interesa la suma de los puntos observados si obtenemos el resultado (3 5) le asignamos el valor 8 correspondiente a la suma de 3 y 5 Podemos

calcular la probabilidad de que la suma sea igual a 8 contando todos los resultados donde la suma es ocho El evento de que la suma es ocho contiene 5

resultados (26) (35) (44) (5 3) (62) por lo tanto la probabilidad deseada es 536 Podemos repetir este proceso con cada uno de los resultados

para obtener las siguientes sumas probables al lanzar dos de acuerdo con la tabla 2

Tabla 2 Distribucioacuten de probabilidad del total de las sumas observadas al lanzar dos dados

Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Probabilidades 36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1

Hemos encontrado la distribucioacuten de probabilidad de los valores posibles de la

suma al tirar dos dados Si R representa el resultado observado en el dado rojo y V el resultado que se observaraacute en el dado verde podemos expresar el valor que

nos interesa asiacute X = R + V Antes de lanzar los dados no sabemos queacute valores observaremos para R y V por lo tanto tampoco lo sabemos para X

El valor que asumiraacute X puede variar de lanzada en lanzada sujeto a la distribucioacuten

especificada en la tabla de arriba Asiacute X es una variable que asume un nuacutemero finito de valores sujeto a una distribucioacuten de probabilidad Este es un ejemplo de

una variable aleatoria discreta Otros ejemplos son las variables R y V En general si S es un espacio muestral con una medida de probabilidad P definimos una

variable aleatoria como una funcioacuten que asigna un nuacutemero real a cada uno de los elementos de S

Interpretamos por ejemplo X = 8 como el evento de que se observoacute el resultado 8

al lanzar los dos dados es decir el evento (26) (35) (44) (5 3) (62)

ocurrioacute Tambieacuten asignamos a X = 8 la probabilidad de ese evento Asiacute vemos que P(X=8) = P( (26) (35) (44) (5 3) (62)) = 536= 014 Es usual denotar

las variables aleatorias por letras mayuacutesculas y los valores que puede asumir por letras minuacutesculas

1 2 3 4 5 6

1 11 21 31 41 51 61

2 12 22 32 42 52 62

3 13 23 33 43 53 63

4 14 24 34 44 54 64

5 15 25 35 45 55 65

6 16 26 36 46 56 66

En este caso la variable X puede asumir un valor entre un conjunto finito de valores posibles Cualquier variable que pueda asumir un nuacutemero finito de valores

decimos es una variable aleatoria discreta Tambieacuten son variables aleatorias discretas aquellas que pueden asumir un nuacutemero muy grande o infinito de valores

que potencialmente podriacutean ser contados tal como el nuacutemero de habitantes del planeta el nuacutemero de granos de maiacutez producidos en el planeta en una fecha

determinada el nuacutemero de los aacuterboles de un paiacutes

En la Tabla 2 vemos que a cada valor posible de X le asignamos un nuacutemero correspondiente a su probabilidad Asiacute podemos definir otra funcioacuten

f(x) = P(X = x) para cada nuacutemero x en el campo de valores de la variable X Esta funcioacuten se llama la funcioacuten de probabilidad o distribucioacuten de probabilidad de

la variable X Para el ejemplo de la suma de los puntos al tirar dos dados los valores de esta funcioacuten estaacuten dados en la Tabla 2 la cual se puede reescribir

usando los conceptos estudiados


x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

)x(f 36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1

Vemos que f(x) nunca adquiere un valor menor de cero Esto se debe a que f(x)

representa una probabilidad la cual nunca puede ser menor de cero De igual manera f(x) nunca puede ser menor de 1 Si sumamos todos los valores que

puede tener f(x) obtenemos 1 debido a que estamos sumando las probabilidades de que la variable aleatoria asuma uno de los valores establecidos Por su

definicioacuten la funcioacuten de probabilidad tiene las siguientes caracteriacutesticas 1 0)x(f para todo valor x en su dominio

2

x

)x(f 1 ( donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en

el dominio de f

Los valores de la funcioacuten de probabilidad se pueden representar en una graacutefica como la siguiente

Diagrama de la distribucion de probabilidad

de la suma de dos dados

0

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Sumas de dos dados

Pro

bab

ilid

ad

es

La probabilidad de observar (En la grafica) un valor particular de la variable

aleatoria digamos X = 3 estaacute dado por la altura de la barra sobre el 3 es decir P(X = 3) = 236 = 0056 De igual manera en vez de asociar la altura de la barra

con la probabilidad podemos ver que el aacuterea de la barra sobre el 3 es 236 1 = 236 = 0056 ya que la altura de la barra es 236 y su ancho es 1 Usar el aacuterea

de las barras para representar la probabilidad es muy uacutetil para extender la nocioacuten de probabilidad a otras variables

Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como

P(X 4) Vemos que P(X 4) = P(X =2 oacute X =3 oacute X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) +

P(X = 4) ya que los eventos donde X = 2 X = 3 y X = 4 son disjuntos Entonces P(X 4) = 136 + 236 + 336 = 636 sumando las aacutereas de la barras que estaacuten

sobre el 4 y a su izquierda Debemos ser muy cuidadosos con las desigualdades ya que P(X 4) = 636 mientras que P(Xlt 4) = 326

Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas podemos definir otra

funcioacuten partiendo de la distribucioacuten de probabilidad Si X es una variable aleatoria discreta definimos la funcioacuten de distribucioacuten de X o funcioacuten de distribucioacuten

acumulativa de X de la siguiente manera

ix

i ParaxfxXpxf )()()( ltxlt

Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos y que

posteriormente al hablar de las distribuciones de variables continuas se repetiraacuten de manera muy similar

a) Todos los valores de la distribucioacuten son mayores o iguales que cero y ademaacutes

son menores o iguales que uno

0 le P(X=x) le 1

b) La suma de todas las probabilidades de la distribucioacuten es la unidad Esta demostracioacuten es para mostrar que la distribucioacuten probabiliacutestica binomial cumple

con tales propiedades

)(xf P(X=x) = 1

De donde se puede afirmar que la suma de todas las probabilidades de los

eventos posibles de una variable aleatoria es igual a la unidad Hay que recalcar que estas propiedades se enuncian suponiendo que conocemos el valor de la

probabilidad pero en la realidad esto no ocurre es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con estimaciones Se puede observar que

en ninguacuten caso las combinaciones toma valores negativos y como p y q son positivos o cero entonces todos los valores de la distribucioacuten probabiliacutestica son

positivos o cero Precisamente esto conlleva a modelos teoacutericos que estiman los resultados y los principales son los que a continuacioacuten se exhiben

MODELOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE

VARIABLES DISCRETAS

UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la

misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)= 16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6

BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta

cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de eacutexito constante y con ensayos independientes

GEOMEacuteTRICA Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de

experimentos antes de obtener un eacutexito

HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra

grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten

DE POISSON Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un periodo de tiempo un espacio o un lugar Modelos de distribuciones de

probabilidad de variables discretas

UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)=

16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6

BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de

eacutexito constante y con ensayos independientes

Geomeacutetrica Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de


HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten

De Poisson Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en

un periodo de tiempo un espacio o un lugar La que maacutes nos interesaraacute de estas seraacute la distribucioacuten binomial que explicaremos

posteriormente

MEDIA Y DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR DE UNA

DISTRIBUCIOacuteN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES

DISCRETAS

En una distribucioacuten de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media

utilizando la foacutermula n

xf donde ( ) es la media de la poblacioacuten la cual

puede expresarse como n

fX

Considerando la definicioacuten de probabilidad de un evento P(X) es el cociente de la

frecuencia entre el nuacutemero total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia) por lo que la media de una distribucioacuten de probabilidad de una

variable discreta es

)x(Px

POR EJEMPLO Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en

dos lanzamientos de monedas Es decir X tal que su distribucioacuten de probabilidad sea

Entonces para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operacioacuten

14

12

2

11

4

10)(

2

0

x

xxP

Anaacutelogamente la varianza se definioacute como n

xf

2

2)(

y haciendo un

procedimiento semejante al anterior se tiene

n

f)x( 22

Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta seraacute

Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de

una variable discreta es

)x(P)x( 2

POR EJEMPLO Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo

anterior su desviacioacuten estaacutendar se calcula

)()()(2

2

2

1

4

1

4

1

4

11

2

10

4

11

4

112

2

111

4

110 222

X 0 1 2


ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Valor esperado de una variable aleatoria discreta

Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor

de X se repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para

identificar el valor central de la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la proporcioacuten de ensayos en los que X = x En

consecuencia no es necesario realizar el experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de X puede calcularse corno

el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x

La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su

variable aleatoria

El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria

discreta se puede considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las ponderaciones la probabilidad relacionada con cada

uno de los resultados

Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos

resultantes Por lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE se puede expresar con la siguiente formula

matemaacutetica

)()(1

i

N

i

ix XPXXE

donde

X = Variable aleatoria de Intereacutes

Xi = Resultado i de X )( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X

i= 1 2 3 N

Tambieacuten se puede decir que La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria

discreta X expresada por x o )(XE es

)()( xxfXEx

xx o )()(1

i

N

i

ix XPXXE

La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la

recta real entonces E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de probabilidad puede interpretarse mediante

esta analogiacutea con la mecaacutenica

MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2

Supoacutengase que en el experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El promedio de caras por lanzamiento de las dos

monedas es entonces

06116

)5)(2()7)(1()4)(0(

Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del

experimento Por ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a alguno de sus cheques de pago mensuales

Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que tenga la siguiente forma equivalente

06116

52

16

71

16

40

Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que

resulta en 0 1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las

frecuencias relativas que corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular entonces la media o el promedio de un

conjunto de datos si se conocen los distintos valores que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de observaciones

en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por

lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o aun de 10 000

Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el

nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media

de la distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o

simplemente como cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata

Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor esperado de la variable X y

representarla como E(X)

Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio muestra1 para el experimento es

S = CC CS SC SS

Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables se deduce que

P(X = 0) = P(SS) = 4

1

P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4

1

P(X = 2) = P(HH) = 4

1

Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello

seguida de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos

dados Por consiguiente

014

12

2

11

4

10)(

XE

Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en promedio 1 cara por tirada

EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2

monedas indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable

aleatoria X por su probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando

luego los resultados Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables aleatorias continuas la definicioacuten del valor

esperado es en esencia la misma soacutelo que las sumatorias se reemplazan por in-tegrales

EJEMPLO Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos

SOLUCIOacuteN Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por

)x(fxx

7

3

3

3

4

para x = 0 1 2 3

Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute

35

4)3(

35

18)2(

35

12)1(

35

1)0(

7

3

3

33

4

3

7

3

3

23

4

2

7

3

3

13

4

1

7

3

3

03

4

0

ffff

Los caacutelculos obtenidos son

f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces

7017

12

35

60

35

43

35

182

35

121

35

10)(

XE

Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a

partir de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos

EJEMPLO En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5

doacutelares si al tirar a aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3 doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la

ganancia esperada de jugador

SOLUCIOacuteN El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma

equivalente si la moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es

S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una de estas posibilidades es igualmente posibles y ocurre con una

probabilidad igual a 18 Un enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos independientes con cada uno de los elementos del

espacio muestral (S) asiacute

8

1

2

1

2

1

2

1)()()()(

SPCPCPCCSP Recuerde que la probabilidad de salir cara es

igual a la de salir sello es decir frac12

La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede

ganar y los valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3

$ si ocurre el evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se

presentan con probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que

14

33

4

15)(

XE

Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3

monedas

Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay

una ganancia esperada de cero es decir 0

Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que

cambia de una presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera

de saber con exactitud cuaacutentas mujeres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera

De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores numeacutericos correspondientes a

cada posible resultado del experimento aleatorio Si los registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115

pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta

En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de

frecuencias Hasta donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico podemos utilizar este registro para asignar una

probabilidad a cada nuacutemero posible de pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B mediante la normalizacioacuten de la

distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el nuacutemero total de diacuteas

en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de probabilidad

para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable

aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor

esperado o esperanza matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable aleatoria por la probabilidad de que la variable

aleatoria tome esos valores En la tabla B mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos dan informacioacuten acerca de

la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se

efectuara de nuevo

TABLA B

NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100 DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA

Valores posibles de la

Variable Aleatoria

(1)

Nuacutemero de diacuteas que se

observa este nivel (fi)

(2)

Probabilidad de que la variable aleatoria

tome estos valores (3)

Esperanza Matemaacutetica

(1)x(3)

100 1 001 100

101 2 002 202

102 3 003 306

103 5 005 515

104 6 006 624

105 7 007 735

106 9 009 954

107 10 010 1070

108 12 012 1296

109 11 011 1199

110 9 009 990

110 8 008 888

112 6 006 672

113 5 005 565

114 4 004 456

115 2 002 230

TOTALES 100 10802

El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en

una clinicardquo es igual 10802

Grafica correspondiente a la distribucion de

probabilidad para la variable aleatoria discreta

nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica

0

002

004

006

008

01

012

014

10 100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas

PR

OB

AB

ILID

AD

Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos

de edad viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere real-

mente que una mujer de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera

al diacutea siguiente En lo concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes

y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado o esperanza matemaacutetica

Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de la

cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha cantidad

EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500

boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que

salga cara es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares

EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale

480000 boliacutevares

SOLUCIOacuteN La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000

1 entonces

nuestra esperanza matemaacutetica es

480000x 4801000

480000

1000

1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido

estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el

boleto

PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de

Bs1250000 Bs 800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000

iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia esperada

SOLUCIOacuteN Si se sustituye

120250350240

2500001000008000001250000

4321

4321

PyPPP

xxxx

Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se tiene

)()(1

i

N

i

ix XPXXE

579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este resultado indica

que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura

PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es

04

3

4

1)(

33

xxf

xx

x

1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica

SOLUCIOacuteN

64

1

4

3

4

1)3(

64

9

4

3

4

1)2(

64

27

4

3

4

1)1(

64

27

4

3

4

1)0(

033

3

23

2

23

1

303

0

f

fff

Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad

x 0 1 2 3 )(xf

6427

6427

649

641

Aplicando la siguiente formula )()(1

i

N

i

ix XPXXE

Se tiene

7504

3

64

48

64

1)3(9)2(27

64

13

64

92

64

271

64

270

E

Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075

FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA

En la teoriacutea de probabilidades y estadiacutesticas la funcioacuten de distribucioacuten

acumulativa (FDA) o simplemente funcioacuten de distribucioacuten describe la probabilidad de que un valor real variable aleatoria X con una determinada

distribucioacuten de probabilidad se encontraraacute en un valor menor o igual que x Las funciones de distribucioacuten acumulativa tambieacuten se utilizan para especificar la

distribucioacuten de muacuteltiples variables aleatorias Diremos que F es la Funcioacuten de distribucioacuten acumulada de probabilidad de X

Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a

x0) La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad

acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y

se denota por F(x0) Entonces )( 0xF es igual a

)()( 000

ixX

xpxXPxF

OBSERVACIONES

1 F(xo) = P[X le xo] = p(x1) + p(x2) + + p(xo)

2 Si X 0 1 2 3 4 entonces

F(0) = P[X le 0] = P(X lt 0 ) + P(X = 0) = 0 + p(0) = p(0) F(1) = P[X le 1] = P(X le 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1)

F(2) = P[X le 2] = P(X le 1) + P(X = 2) = p(0) + p(1) + p(2) F(3) = P[X le 3] = P(X le 2) + P(X = 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)

etc En general

F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)

3 Si X 0 1 2 3 n entonces F(x) = 0 si X lt 0 La acumulada siempre empieza en 0 Siendo funcioacuten de probabilidad no puede tomar valores

negativos F(x) = 1 si X ge n Como en el caso anterior siendo una funcioacuten de probabilidad no puede ser mayor que 1

FORMA DE PRESENTAR LA DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA

Si la funcioacuten de probabilidad de X viene dada por

X x1 x2 x3 x4

p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )

La funcioacuten de distribucioacuten acumulada F seraacute

CONSIDERACIONES A TOMARSE EN CUENTA EN LA DISTRIBUCIOacuteN

ACUMULADA

)()(

ixX

iii xpxXPxF

EJEMPLOS

Sea X una variable aleatoria discreta cuya funcioacuten de probabilidad viene dada por

X 0 1 2 3

p(x) 18 38 38 18

a) Obtenga la funcioacuten de distribucioacuten acumulada de X b) Usando la distribucioacuten acumulada encuentre P(X le 2) P(X gt 2)

b) P(1 le X le 2) y P(1 lt X le 2) c)

d)

SOLUCIOacuteN

a) Recordemos que para todo valor de X menor que el miacutenimo valor implica que

F(x) = 0

Del mismo modo para X mayor o igual que el maacuteximo valor de X se tendraacute

F(x) = 1

Tomando en cuenta estos criterios la funcioacuten acumulada viene dada por

b)Puesto que F(a) = P(X le a) entonces

P(X le 2) = F(2) = 78

Usando complemento P(X gt 2) = 1 P(X gt2) = 1 - F(2) = 1 - 78 = 18

Usando propiedades P(1 le X le 2) = F(2) - F(1) + P(X = 1) = 78 - 48 +

38 = 68

Del mismo modo P(1 lt X le 2) = F(2) - F(1) = 78 - 48 = 38

Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la

probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a

x0)

La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad

acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y se denota por F(x0) )()( 00 xXPxF

Ejemplo 7 Encuentre los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la variable aleatoria X descrita en el ejemplo 3

X f(X) F(X)

2 136 136

3 236 336

4 336 636

5 436 1036

6 536 1536

7 636 2136

8 536 2636

9 436 3036

10 336 3336

11 236 3536

12 136 3636

Obseacutervese que F(X=5) = f(X=2) + f(X=3) + f(X=4) + f(X=5) =

La graacutefica de la funcioacuten distribucioacuten acumulada de una variable discreta es siempre

una graacutefica escalonada

Fig 6 Funcioacuten distribucioacuten para la variable aleatoria del ejemplo 43

EJEMPLO 8 Halle los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la

variable aleatoria X del ejemplo 5

X f(X) F(X)

0 1545 1545

1 2445 3945

2 645 4545

Ahora demostraremos que la probabilidad de un evento se puede expresar en teacuterminos de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) donde x1 y

x2 son dos de los valores cualesquiera

Obseacutervese que y son eventos mutuamente exclusivos su unioacuten es

el evento

Por el axioma 3 de probabilidad obtenemos

P( ) = P( ) + P( )

Despejando P se tiene

P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)

En consecuencia F(x) determina en forma uacutenica la distribucioacuten de probabilidades

de la variable aleatoria correspondiente

FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Si X es una variable aleatoria continua entonces la regla de la correspondencia

que define la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) es

Hemos usado v para representar la variable de integracioacuten ya que x se usa para

representar al liacutemite superior de la integracioacuten El integrando f es la funcioacuten densidad de probabilidad y al derivar la expresioacuten anterior (Teorema Fundamental

del Caacutelculo) se tiene que

La funcioacuten distribucioacuten acumulada es

F(x0) =

PROPIEDADES DE LA FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA

2 si X es discreta

si X es continua

Fig 47 Funcioacuten distribucioacuten

3 si X es continua

4 Si X es continua

EJEMPLO 49 Determinar el valor de la constante c tal que f(x) defina una funcioacuten densidad en el intervalo dado y determinar la regla de correspondencia de

la funcioacuten de distribucioacuten acumulada correspondiente

a

b

SOLUCIOacuteN La integral sobre todo el intervalo es la probabilidad del espacio muestral que es igual a 1 Una vez evaluada la integral definida se despeja la

constante c lo cual garantizaraacute que la funcioacuten obtenida es una funcioacuten densidad

de probabilidad

a

b

Sustituyendo el valor de c se obtiene la funcioacuten densidad

La funcioacuten distribucioacuten es entonces la integral de la funcioacuten densidad para

cualquier intervalo (0x) la cual permitiraacute calcular probabilidades para cualquier intervalo

c Para el segundo caso se haraacute lo mismo que para el anterior con la diferencia que tenemos una integral impropia

La funcioacuten densidad es entonces

Las propiedades de la funcioacuten distribucioacuten acumulada son

2 si X es discreta

si X es continua

3 si X es continua

4 Si X es continua

DISTRIBUCIONES DE VARIABLE DISCRETAS MAacuteS

IMPORTANTES

DISTRIBUCIOacuteN POISSON La Distribucioacuten de Poisson es una distribucioacuten de probabilidad discreta que enuncia a partir de una frecuencia de ocurrencia media

la probabilidad de ocurrencia de un determinado nuacutemero de eventos durante cierto periodo de tiempo La funcioacuten de masa de la distribucioacuten de Poisson es

Doacutende k es el nuacutemero de ocurrencias del evento o fenoacutemeno (la funcioacuten origina la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces) λ es un paraacutemetro positivo que significa el nuacutemero de veces que se

espera que ocurra el fenoacutemeno durante un intervalo dado Por ejemplo si el suceso analizado ocurre en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en

la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos

usaremos un modelo de distribucioacuten de Poisson con λ = 10times4 = 40 e es la base de los logaritmos naturales (e = 271828 )

DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICA La distribucioacuten geomeacutetrica es cualquiera de las

dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un

eacutexito contenido en el conjunto 1 2 3 o la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero Y = X minus 1 de fallos antes del primer eacutexito contenido en el conjunto 0 1

2 3 Cuaacutel de eacutestas es la que uno llama la distribucioacuten geomeacutetricardquo es una cuestioacuten de convencioacuten y conveniencia Si la probabilidad de eacutexito en cada

ensayo es p entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para

obtener un eacutexito es para x = 1 2 3 Equivalentemente la probabilidad de que haya x fallos antes del primer eacutexito es

para x = 0 1 2 3

DISTRIBUCIOacuteN HIPERGEOMEacuteTRICA La distribucioacuten hipergeomeacutetrica es una distribucioacuten discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo

Imagiacutenese que se posee una poblacioacuten de N elementos de los cuales d

pertenecen a la categoriacutea A y N-d a la B La distribucioacuten hipergeomeacutetrica mide la

probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoriacutea A en una muestra de n elementos de la poblacioacuten original La funcioacuten de probabilidad de

una variable aleatoria con distribucioacuten hipergeomeacutetrica puede deducirse a traveacutes de razonamientos combinatorios y es igual a

donde N es el tamantildeo de poblacioacuten n es el tamantildeo de la muestra extraiacuteda d es el nuacutemero de elementos en la poblacioacuten original

que pertenecen a la categoriacutea deseada y x es el nuacutemero de elementos en

la muestra que pertenecen a dicha categoriacutea La notacioacuten

N

n

hace

referencia al coeficiente binomial es decir el nuacutemero de combinaciones

posibles al seleccionar n elementos de un total N

DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME DISCRETA En teoriacutea de la probabilidad una

distribucioacuten uniforme discreta es una distribucioacuten de probabilidad que toma un nuacutemero finito de valores con la misma probabilidad donde los elementos de un

conjunto finito son equiprobables Si la distribucioacuten asume los valores reales

su funcioacuten de probabilidad es

y su funcioacuten de distribucioacuten la funcioacuten escalonada

Su media estadiacutestica es

y su varianza

LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL

LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL es una distribucioacuten de probabilidad discreta que mide el nuacutemero de eacutexitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli

independientes entre siacute con una probabilidad fija p de ocurrencia del eacutexito entre los ensayos Estos experimento de Bernoulli se caracterizan por ser dicotoacutemico

vale decir que uacutenicamente son posibles dos resultados A uno se le designa como eacutexito y presenta una probabilidad de ocurrencia p y al otro se le llama fracaso

con una probabilidad q = 1 - p En la distribucioacuten binomial el anterior experimento se repite n veces de forma independiente y se trata de calcular la probabilidad de

un determinado nuacutemero de eacutexitos Para n = 1 la binomial se convierte de hecho en una distribucioacuten de Bernoulli Para representar que una variable aleatoria X

sigue una distribucioacuten binomial de paraacutemetros n y p se escribe

La funcioacuten de probabilidad es

Donde y Siendo las combinaciones

de en ( elementos tomados de en )

El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la

distribucioacuten de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos

sucesivos del desarrollo binomial n)qp( donde p expresa la probabilidad de

eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q es la probabilidad de

ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con dicho

evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o

Binomio de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio

elevado a una potencia n que en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural

En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que

bababbaa)ba( iinn

i

n

i

nn

n

nn

n

nn

nn

n

1

1

1

1

10

Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la

propiedad de conmutatividad de los nuacutemeros reales

La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n

intentos esta dada por la ecuacioacuten

xnqxp

n

xxP

La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces

en n intentos esta expresada por la ecuacioacuten

xnx

xx

xx

n

x

nx

xx

x qpP

TRIAacuteNGULO DE PASCAL Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de

Pascal Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 esta el

exponente del binomio Ejemplo Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo

de Pascal en donde despueacutes del 1 esta el 5 es decir 1 5 10 10 5 1 De igual

manera se procede para ubicar los coeficientes de cualquier binomio

El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se

comienza por 1 y cada nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el segundo el segundo con el tercero el tercero

con el cuarto cuarto con el quinto el quinto con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada recuerde que el uacuteltimo

nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)

1

1 1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y 5)yx( desarrolle los mismos aplicando

el triaacutengulo de Pascal

yxyyxyxyxx)yx(

)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(

543223455

543223455

24381010807202403232

332532103210325232

yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL 1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos

2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma

el valor 0 3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo

a otro 4- Los ensayos son independientes

EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara

o no sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)

Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios

A la probabilidad de eacutexito se le denomina p

A la probabilidad de fracaso se le denomina q Verificaacutendose que

p + q = 1

EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire Probabilidad de que salga cara p = 05

Probabilidad de que no salga cara q = 05

p + q = 05 + 05 = 1

EJEMPLO 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad

Probabilidad de ser admitido p = 025

Probabilidad de no ser admitido q = 075

p + q = 025 + 075 = 1

Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000 Probabilidad de acertar p = 000001

Probabilidad de no acertar q = 099999

p + q = 000001 + 099999 = 1

Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias

1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas

2 IJna maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas

Sea X = nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan 3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es

10 Sea X = nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras por analizar

4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se

reciben con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir

5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro

opciones y se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas contestadas de manera correcta

6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas

7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35

experimenta una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de

pacientes que experimentan mejoriacutea Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general

que incluya estos experimentos como casos particulares

Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el

experimento (1) la produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de

ensayos que cumplen con un criterio especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o no en consecuencia cada

ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las preguntas

soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten

de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede resumirse como un fracaso

Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para

este fin ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de

partes defectuosas la produccioacuten de eacutestas es un eacutexito

A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos

no tiene ninguacuten efecto sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que

la parte nuacutemero 5 es defectuosa no tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea defectuosa Asimismo a menudo es

razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en cada ensayo es constante En el

experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y soacutelo adivina la

respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad de una respuesta correcta para cada pregunta es 14

PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como

defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que

toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son

Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD

x 0 1 1 1 2 2 2 3

Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce

supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es

El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama

variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados

por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de

probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es

)pnx(b)x(f)xX(P

Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n

ensayos en el caso de un experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x fracasos en un orden especificado Tomando

en cuenta que los ensayos son independientes se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados Cada eacutexito ocurre con

una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior)

es xnxqp Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el

experimento que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el

otro el cual esta determinado por nx)xn(

n

x

CC

=

)xn(x

n

(n se lee factorial

de n donde por definicioacuten factorial de cero es igual 1) Como esas particiones son

mutuamente excluyentes se suman las probabilidades de todas las particiones

diferentes para obtener la formula general o se multiplica xnxqp por n

x

DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un

fracaso con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos

independientes es

nxqp)x(f)pnx(b xnxn

x

3210

Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos

binomiales

Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute

)N(P)D(P)N(P)NDN(P64

94

34

14

3

x)x(fxb

xx

x

32104

3

4

1

4

13

33

Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento asiacute

64

1

4

3

4

13

64

9

4

3

4

12

64

27

4

3

4

11

64

27

4

3

4

10

033

3

123

2

213

1

303

0

)(f)(f

)(f)(f

La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es

x 0 1 2 3 )x(f

6427)x(f

6427

649

641

EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un

canal de transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en

los proacuteximos cuatro que seraacuten transmitidos

Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada

resultado Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)

En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento

puede describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el

cuarto bit son erroacuteneos y los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es

Resultado x Resultado x

CCCC 0 ECCC 1

CCCE 1 ECCE 2

CCEC 1 ECEC 2

CCEE 2 ECEE 3

CECC 1 EECC 2

CECE 2 EECE 3

CEEC 2 EEEC 3

CEEE 3 EEEE 4

El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados

S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE

Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la probabilidad de EECC es

P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081

Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente

P(X = 2) = 6(00081) = 00486

En general

P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x

(09)4-x CIlOs II i

Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede

construirse un resultado que contiene x errores separando los cuatro ensayos en

dos grupos El tamantildeo de uno de los grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute formado por los ensayos donde no hay

errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los cuales tiene tamantildeo x es

)xn(x

x

44

Por tanto en este ejemplo

)(f)X(P

))(()(f)X(P

)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx

x

0486022

04860810010622

9010229010 2424

2

44

OTROS EJEMPLO

Los siguientes son ensayos Binomiales

Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso

El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea

Las respuestas en una prueba determinada puden ser correcta o incorrecta

Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas 1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y

2 Los ensayos son independientes entre siacute 3

Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q

Hay que notar que las probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1

POR EJEMPLO Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple

con cuatro opciones y que seraacute contestado al azar

Podemos utilizar el siguiente ejemplo

1- Las flores de la cayena son de color

a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas

2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792

3- El significado de la palabra planta es

a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto

Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las

respuestas de una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de ensayos y q =1 ndash p = 34

Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten

Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el

nuacutemero de respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3

Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos

como E los eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene que

P(X=0)

= P(F1F2F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3)

= (34

)3 = 276

4

= 1middot(34)3middot(1

4)0

P(X=1)

=

P[(E1 F2F3)(F1E2

F3)

(F1 F2 E3)]

=

812

56

=

3middot(34)2middot(1

4)1

P(X=2)

=

P[(E1E2F3) (E1F2

E3) (F1 E2 E3)]

=

964

=


4)2

P(X=

3)

= P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP

(E3)

= (14

)3 = 164


4)3

Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente

EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las

poliacuteticas familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia

X P(X=x)

0 0422

1 0422

2 0141

3 0016

decisiva en la compra de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70

de las familias Suponga que 4 familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos

ejerza una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en

la seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias

c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4 familias

SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son

independiente y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una

influencia decisiva en la seleccioacuten de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que

2646009049022

4

30070022

43210300700704

224

2

4

))((

)()()(f)x(P)doseexactament(P)a

x)x(f)x(bxnx

x

Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos

ejerzan una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646

b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber

91630083701

08370107560008101

307030701

10122

43221

3141

4040

)()(C)()(C

)(p)(p)x(P)

tambieno)(p)(p)(p)x(P)

Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se

le deja al estudiante para que la realice

c)- P(4 familias) = 2401017004

43070 4044

4 )()(

)()(C

La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es de 02401 = 2401

PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que

enviacutea la fabrica RANICA a un comerciante se lleva a cabo un procedimiento que consiste en seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero

que presenta defectos Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10 seleccionados Se supone que el nuacutemero de

artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de artiacuteculos iquestCuaacutel es la

probabilidad de rechazarlo

SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la

probabilidad de observar un articulo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces

xx

x

)()()x(f)x(p

10

10

950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote

es

xx

x x

)()(

xx

x x

)()()rechazar(P)b

serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a

)aceptar(P

))()(())()(()aceptar(P

)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)

)()()aceptar(P

)(p)(p)aceptar(P

1010

2

10

91110

100010

1010

2

10

950050

6080860914011

40919140

315059906302005010599011

950050950050101

95005012

101

El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser

igual al obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los

caacutelculos de la parte b y el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)

LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL

El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy

grandes Por tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar

valores de x que son altamente improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica Por lo tanto es de gran importancia

conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la varianza de la variable aleatoria binomial x

La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial

son

npq

npq

np)x(E

2

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea

de contar Las variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y decimales Cuando la variable es continua el modelo

probabiliacutestico que maacutes se usa es la distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la propiedad de que son el resultado de

contar sus valores posibles variacutean en forma discreta (a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de medir sus valores

posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales

Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables

continuas es diferente a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en nuestro estudio de las continuas utilizaremos

este paralelo con las discretas

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES CONTINUAS La variable aleatoria X seraacute continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera dentro de ciertos intervalos es decir puede tomar cualquier valor de R Por ejemplo si

consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el peso de los

estudiantes de una universidad y tomamos la variable aleatoria X=rdquo peso de los estudiantes de una universidadrdquo esta puede tomar valores entre 30 y maacutes

infinito Entonces Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados liacutemites por ejemplo la estatura de un

estudiante

DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME Se dice que una variable aleatoria continua X que

toma todos los valores del intervalo [a b] real sigue una distribucioacuten uniforme de

paraacutemetros a y b si su funcioacuten de densidad de probabilidad es

10)()(

1

)(

xbsiasibxasiab

axxXPxF

bxasiab

xf

DISTRIBUCIOacuteN NORMAL Se dice que una variable aleatoria continua X tiene

una distribucioacuten normal o de Gauss de paraacutemetros μ y σ si su funcioacuten de densidad de probabilidad es

La representacioacuten graacutefica asiacute coacutemo los significados de la esperanza y varianza son

DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL Se dice que una variable aleatoria continua X

tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es

DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA

FUNCIOacuteN DE DENSIDAD

Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones

El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para

intervalos

P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a

Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o

[a b] o cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas

tienen la funcioacuten de probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de

modo que cuando sea necesario aclarar a cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a la f

PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias

discretas se definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza 2 y la

desviacioacuten tiacutepica de una variable aleatoria continua de la siguiente forma

TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la

variable

XZ tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada

de X Podemos decir que mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica de X

DISTRIBUCIOacuteN NORMAL

Se llama distribucioacuten normal distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue

el primero que demostroacute la siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la

distribucioacuten normal

2xe

Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto

con el tiacutetulo de Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que

aparece por primera vez la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se conoce como distribucioacuten de Gauss

Es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con maacutes frecuencia aparece aproximada en fenoacutemenos reales La graacutefica de su funcioacuten de densidad tiene una forma acampanada y es simeacutetrica respecto de un determinado

paraacutemetro La importancia de esta distribucioacuten radica en que permite modelar numerosos fenoacutemenos naturales sociales y psicoloacutegicos

El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de

variables continuas

Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania) Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)

Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que

encontraraacute la suma de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute

asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra el maestro se dio cuenta

de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un humilde albantildeil

Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A esa edad aprendioacute a leer y

hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la escuela

primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades

de la geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del

duque de Brunswick quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten

le interesaban los claacutesicos y los idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas resultaron ser una atraccioacuten irresistible

Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono

regular de diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su

profesor quieacuten se demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era

imposible pero Gauss demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo

negar lo evidente afirmoacute que tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y la fecha de su descubrimiento 30 de

Marzo de 1796 fue importante en la historia de las matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos regulares con la

regla y el compaacutes

A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de

un poliacutegono de diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas

contribuyoacute a formar una base para encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales

La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y

modo son iguales el aacuterea total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05

Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la

media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos desviacuteos estaacutendar encierran un

95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales Administracioacuten

fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una

funcioacuten de densidad

Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es

propio que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de

densidad cuya graacutefica tiene forma de campana

En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de

frecuencias se aproximan a una curva en forma de campana En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que

hay muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal

Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de

una especie pejm tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros

Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un

faacutermaco o de una misma cantidad de abono

Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos puntuaciones de examen

Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de

adaptacioacuten a un medio

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes

Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media

Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales

Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores

En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten

normal y sus desviacuteos estaacutendares

Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las

magnitudes incluida la inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene expresada por la funcioacuten

Donde

e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)

es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)

x es la abscisa cualquier punto del intervalo

es la media de la variable aleatoria

es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria

2 es la varianza de la variable aleatoria

f(x) la ordenada de la curva

Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de

frecuencias altas en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidadLa medida de la distancia al valor central es indicado por la

desviacioacuten tipo o estaacutendar

Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros

Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribucioacuten normal de

paraacutemetros μ y σ y se denota X~N (μ σ) si su funcioacuten de densidad estaacute dada por

Donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviacioacuten estaacutendar (σ2 es la varianza) Se llama distribucioacuten normal estaacutendar a aqueacutella en la que sus

paraacutemetros toman los valores μ = 0 y σ = 1

Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los

dos paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros

En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar

visualmente como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la

proporcioacuten de puntuaciones que se encuentran en el intervalo dado

La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica y la representamos asiacute )(N Para cada valor de y se

tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la expresioacuten )(N

representa una familia de distribuciones normales

Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de

densidad es 1 La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene

forma de campana

Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre

los valores a y b es el aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL 1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana

2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre

y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1

3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de

variables existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la

media y un 50 de observar un dato menor

4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es igual a una desviacioacuten tiacutepica () Cuanto mayor sea maacutes aplanada

seraacute la curva de la densidad

5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un

95 de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961

6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La

media indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de

la graacutefica es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el

valor de maacutes se dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes

plana Un valor pequentildeo de este paraacutemetro indica por tanto una gran

probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribucioacuten

7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por

los valores de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y

varianza 1

8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva (probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media

9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media

FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN

Puede tomar cualquier valor (- + )

Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media

Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)

F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica

LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza un

sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun

cuando las distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten

patroacuten es necesario referirlas en la misma unidad de medida Esta unidad de

medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles transformados a una

unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar

las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en

los tres anaacutelisis con las unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe

quedar claro que las comparaciones uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos etc

Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros

hay un nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente al transformar los valores de todas las distribuciones

normales a los valores de una distribucioacuten normal estandarizada (tipificada)

representada por la curva normal estandarizada

Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o

tipificada se llama Z y se obtiene mediante la foacutermula

xZ

Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar

En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica

en que las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace posible si se convierten las puntuaciones de ambas

distribuciones a puntuaciones z que corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada

Por tanto su funcioacuten de densidad es

y su funcioacuten de distribucioacuten es

Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente

A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de densidad curva normal tipificada

CARACTERIacuteSTICA DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL TIPIFICADA (REDUCIDA O ESTAacuteNDAR)

No depende de ninguacuten paraacutemetro Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1

La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y Tiene un maacuteximo en el eje Y

Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1

La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad

equivale al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea

bajo cada mitad de la curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la

distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1 se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para

cada punto de la curva de esta distribucioacuten

Ejemplo

Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento se distribuyen normalmente Si sabemos que el peso medio en el

momento de nacer son 325 Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg

91460820

2534

XZ

Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146

En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten

se puede apreciar en la figura 2

Luego

Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg

es de 180

EJEMPLOS

A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla

B)

z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823

Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por

lo tanto

P (z lt ndash135) = 00885

La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115 C) Una distribucioacuten

63) D)

Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06

z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549

Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257

Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743 EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades

1) P(z gt ndash243)

2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)

4) P(z lt 239)

5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)


Consideremos el siguiente problema

Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80

Kg y una desviacioacuten estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un peso superior a 100 Kg

SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los

individuos en esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta

caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente

Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute

Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que

Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla

resultando ser Por lo tanto la probabilidad buscada de que una

persona elegida aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg

es de

1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23

De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre 60 y 100 Kg

Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que

Por el ejemplo anterior se sabe que 977202 )z(P Para la segunda

probabilidad sin embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no

proporcionan el valor de )z(P 2 para valores negativos de la variable Sin

embargo haciendo uso de la simetriacutea de la distribucioacuten normal se tiene que

Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un

peso entre 60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir

aproximadamente de un 95 Resulta interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de la distribucioacuten normal

No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que

habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el

problema se plantea a la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la

poblacioacuten que se desea estudiar se realizan una serie de mediciones y se desea

extrapolar los resultados obtenidos a la poblacioacuten de origen

EJEMPLO Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa

misma poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una

desviacioacuten estaacutendar muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten

acerca del valor medio real de ese peso en la poblacioacuten original

La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la

teoriacutea estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas

mismas una distribucioacuten normal con igual media que la de la poblacioacuten y

desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten dividida por n En nuestro caso

podremos entonces considerar la media muestral

n

NX con lo cual a

partir de la propiedad de la normal se conoce que aproximadamente un 95 de

los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo

n

n

961961

Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos pensar en

aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando

Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la

poblacioacuten de origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica

subyacente es mucho maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza para la media de una poblacioacuten

EJEMPLO Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante

una va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor

entre 39 y 48 es decir

4839 XP

SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable

9

45

81

45

XXXZ De modo que

XP 803737804839

Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un

valor menor o igual a z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el segundo decimal en la cabecera de la tabla

z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009

00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359

01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753

02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141

03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517

04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879

05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224

06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549

07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852

08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133

09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389

10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621

11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830

12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015

13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177

14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319

15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441

16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545

17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633

18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706

19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767

20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817

21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857

22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890

23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916

24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936

25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952

26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964

27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974

28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981

29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986

30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990

31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993

32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995

33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997

34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998

35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998

36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000

iquestCOacuteMO SE LEE ESTA TABLA

La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos

conocer La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando

EJEMPLO queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275

Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada

(099702 es decir 997)

ATENCIOacuteN la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde

el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad

concreta en ese punto En una distribucioacuten continua en el que la variable puede

tomar infinitos valores la probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable

EJEMPLO Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y

5 La probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998

1999791 etc Veamos otros ejemplos

Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486

Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115 Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574

Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal

EJEMPLO el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1

milloacuten de Bs Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs

Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada

para ello se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviacioacuten tiacutepica

XZ

En el ejemplo la nueva variable seriacutea

1

5

XZ

Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que corresponde a una variable X de valor 7 es

21

57

Z

Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta

probabilidad es 097725

Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs

es del 97725

EJERCICIO 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una

distribucioacuten normal Calcular

a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs

b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos

c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media


SOLUCIOacuteN

Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada

221

4

XZ

Recuede que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)

El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816

P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)

Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor

Tenemos un problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es

simeacutetrica respecto al valor medio

Por lo tanto

P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)

Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor

P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075

Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs

b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada

Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es

el 09 (90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior

Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada

XXX)(

X 575457142212821

221

42821

Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos

superiores a 557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada

c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten

con renta media

Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el 08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad

acumulada es del 50 quiere decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad

Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de

poblacioacuten con renta media

El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de

la variable X correspondientes a estos valores de Z

Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297 millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el

60 de la poblacioacuten con un nivel medio de renta

EJERCICIO 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de 25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000

habitantes a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos

b) c) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos

d) SOLUCIOacuteN

a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos

b)

Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos

415

6875Z

Por lo tanto

P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808

Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos

c) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos

d) Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos

615

6860Z

Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt

16) = 00548

Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a

esta edad

EJERCICIO 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59 litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una


a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe

b) c) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho

iquestqueacute podriacutea argumentar en su defensa

d) a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe

b) Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es

el 095 (95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante


8767

5887958645166

586451

X

XX)(X

Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de

6787 litros al antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza

b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho

Vamos a ver en que nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros

de cerveza consumidos

Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros

226

5845Z

Por lo tanto

P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139

Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la

bebida

EJERCICIO 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media ha sido un 55 con una varianza de 11

a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una fiesta para celebrar su eacutexito

b) b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se

hayan clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso

a) Ha obtenido usted un 77

b) Vamos a ver con ese 77 en que nivel porcentual se ha situado usted para ello

vamos a comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente

120491

5577

Z

A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada

(ver tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se encuentra un 1786

Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes

como hay 100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la mejor de las fiestas

b) Repesca para el 20 de los candidatos

Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante

Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X equivalente

386

55883055049184200491

558420

X

)(XX))((

X

Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual

se podraacute acudir al Nuevo Ingreso

LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT La distribucioacuten t (de Student) es una distribucioacuten de probabilidad que florece

del problema de estimar la media de una poblacioacuten normalmente distribuida cuando el tamantildeo de la muestra es pequentildeo Aparece de manera natural al

realizar la prueba t de Student para la determinacioacuten de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construccioacuten del intervalo de confianza para la

diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacioacuten

tiacutepica de una poblacioacuten y eacutesta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra La distribucioacuten t de Student es la distribucioacuten de probabilidad del

cociente

vV

Z donde Z tiene una distribucioacuten normal de media nula y varianza 1

V tiene una distribucioacuten chi-cuadrado con grados de libertad Z y V son

independientes Si μ es una constante no nula el cociente

vV

Z es una

variable aleatoria que sigue la distribucioacuten t de Student no central con paraacutemetro de no-centralidad μ

En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de

procedimientos un poco diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que por lo general se asocian con la

distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados

preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra

caracteriacutestica que permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten

estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una razoacuten para utilizar la T de Student

Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las

distribuciones de muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente

normales siendo la aproximacioacuten tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es

adecuada y empeora al decrecer N de modo que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los estadiacutesticos para

pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son

vaacutelidos tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t

Definamos el estadiacutestico NS

)X(

N

S

Xt

que es anaacutelogo al estadiacutestico z

dado por NX

N

XZ

INTERVALOS DE CONFIANZA

Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de

confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados

N

StX

2 Donde

NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X

GRADOS DE LIBERTAD

Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la

poblacioacuten si estos paraacutemetros son desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra

iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores

que se pueden escoger libremente

Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar

36182

baba

iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan

tomar en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos

valores cuya suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18

Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10

entonces 10 + b = 36 por lo tanto b = 26

Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo

conocemos la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute

determinado por el hecho de que los 2 elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que tenemos un grado de libertad

Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la

media de estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten

167

gfedcba

En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden

especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima

variable puesto que esa queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad

suponiendo que n es el tamantildeo de la muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar una media de poblacioacuten y se

utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la muestra

Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis

Distribucioacuten t de Student para varios valores

Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t

alfa = aacuterea a la derecha de t(df alfa)

T~t(df) P(Tgtt(dfalfa))

grados

de libertad

alfa

01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005

1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578

2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600

3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924

4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610

5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869

6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959

7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408

8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041

9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781

10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587

11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437

12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318

13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221

14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140

15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073

16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015

17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965

18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922

19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883

20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850

21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819

22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792

23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768

24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745

25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725

26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707

27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689

28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674

29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660

30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646

31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633

32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622

33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611

34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601

35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591

36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582

37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574

38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566

39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558

40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551

60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460

120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373

inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291

DISTRIBUCIOacuteN F Usada en teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten

F es una distribucioacuten de probabilidad continua Tambieacuten se le conoce como distribucioacuten F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribucioacuten F de

Fisher-Snedecor Una variable aleatoria de distribucioacuten F se construye como el

siguiente cociente donde U1 y U2 siguen una distribucioacuten chi-

cuadrado con d1 y d2 grados de libertad respectivamente y U1 y U2 son

estadiacutesticamente independientes

La distribucioacuten F aparece frecuentemente como la distribucioacuten nula de una prueba estadiacutestica especialmente en el anaacutelisis de varianza Veacutease el test F La funcioacuten de

densidad de una F(d1 d2) viene dada por

para todo nuacutemero real x ge 0 donde d1 y d2 son enteros positivos y B es la funcioacuten beta

DISTRIBUCIOacuteN JI CUADRADO La distribucioacuten 2 (de Pearson) llamada Chi

cuadrado o Ji cuadrado es una distribucioacuten de probabilidad continua con un

paraacutemetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria

donde Zi son variables aleatorias normales independientes de

media cero y varianza uno El que la variable aleatoria X tenga esta distribucioacuten se

representa habitualmente asiacute 2

kX Es conveniente tener en cuenta que la

letra griega χ se transcribe al latiacuten como chi y se pronuncia en castellano como ji

Funcioacuten de densidad

donde Γ es la funcioacuten gamma

DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL La variable aleatoria continua X tiene una distribucioacuten exponencial con paraacutemetro szlig Se dice que una variable aleatoria

continua X tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es

La distribucioacuten exponencial es un caso particular de distribucioacuten gamma con k = 1 Ademaacutes la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribucioacuten

exponencial es una variable aleatoria expresable en teacuterminos de la distribucioacuten

gamma

DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME (CONTINUA) En teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten uniforme continua es una familia de distribuciones de

probabilidad para variables aleatorias continuas tales que cada miembro de la familia todos los intervalos de igual longitud en la distribucioacuten en su rango son

igualmente probables El dominio estaacute definido por dos paraacutemetros a y b que son sus valores miacutenimo y maacuteximo La distribucioacuten es a menudo escrita en forma

abreviada como U(ab) La funcioacuten de densidad de probabilidad de la distribucioacuten uniforme continua es

La funcioacuten de distribucioacuten de probabilidad es

001

)(

dondeyxexf

x

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x Sucesos px

0 zzz 18

1 czz zcz zzc

38

2 ccz czc zcc

38

3 ccc 18

En el caso de las variables discretas como en el ejemplo es una funcioacuten que para

cada valor de la variable da su probabilidad

EJEMPLO 3 Sea el evento experimental lanzar al aire 2 monedas Se sabe que el espacio muestral de este experimento contiene 4 puntos muestra les

S = (c c) (c s) (s c) (s s) donde el primer elemento de cada par indica si

se obtuvo cara (c) o sello (s) en la primera moneda y el segundo lo mismo con

respecto a la segunda moneda La probabilidad de cada punto muestral es entonces 14 Ahora bien normalmente no estamos interesados en los puntos

muestrales sino en cierta magnitud asociada con los puntos muestrales Por Ej Se podriacutea estar interesado en el nuacutemero de caras que hay en cada punto

muestral Si definimos una variable Xi como el nuacutemero de caras en el punto muestral si Xi tomaraacute los valores X1 = 2 X2 = 1 X3 = 1 X4 = 0 Por lo tanto

Xi es una variable aleatoria

Una variable X es una variable aleatoria si es una magnitud susceptible de tomar diversos valores con determinadas probabilidades Es una regla que asocia un

nuacutemero con cada evento simple en el espacio muestra de un experimento Por lo general esta regla se simboliza por medio de las mayuacutesculas X Y o Z

DEFINICIOacuteN Una variable aleatoria es una funcioacuten que asocia un nuacutemero

real a cada elemento del espacio muestral O tambieacuten Una Variable

Aleatoria es una funcioacuten que asigna un nuacutemero real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio

Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de un

experimento aleatorio Esta variable aleatoria puede ser discreta o continua Si puede tomar soacutelo un nuacutemero limitado de valores entonces es una variable

aleatoria discreta En el otro extremo si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado entonces se trata de una variable aleatoria continua

La distribucioacuten de probabilidad X se describe por una foacutermula que enuncia la

probabilidad como una funcioacuten de x Es decir la distribucioacuten de X estaacute especificada por la funcioacuten )()( xXPxf x El subiacutendice de )(xf x revela la variable aleatoria de

intereacutes El subiacutendice se omitiraacute cuando no halla ninguna confusioacuten sobre la probabilidad del resultado Puesto que )(xf x estaacute definida como una probabilidad

)(xf x es una funcioacuten que va del conjunto de valores posibles de la variable

aleatoria al intervalo [0 1]

DEFINICIOacuteN La funcioacuten 321k)xX(P)x(f kkx que va del conjunto

de los valores posibles de la variable aleatoria discreta X al intervalo [0 1]



x

kx

kx

kkx

1)x(f3

0)x(f2

)xX(P)x(f1

Para todo x
















valor del 1 al 32






















discreta














mediante P(X)










056



Demandas

Posibles X

Nuacutemero de

Diacuteas


Ponderado )( XPX

3 3 006 018

4 7 014 056

5 12 024 120

6 14 028 168

7 10 020 140

8 4 008 064

TOTALES 50 100 665)( XE


DISCRETAS



















b 3 1 1 0 0 1




b 0 1 3

P(B = b) 3

1

2

1

6

1









0)(1 xf

1)(2 xf

)()(3 xfxXP






28

3)2X(P)2(f

28

15)1X(P)1(f

28

10)0X(P)0(f

8

2

5

0

3

2

8

2

5

1

3

1

8

2

5

2

3

0


x

0

1

2

f(x)

28

10

28

15

28

3








PROBLEMA

X 0 1 2













Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Probabilidades 36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1












1 2 3 4 5 6

1 11 21 31 41 51 61

2 12 22 32 42 52 62

3 13 23 33 43 53 63

4 14 24 34 44 54 64

5 15 25 35 45 55 65

6 16 26 36 46 56 66










x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

)x(f 36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1





2

x


el dominio de f




0

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Sumas de dos dados

Pro

bab

ilid

ad

es












ix






0 le P(X=x) le 1



)(xf P(X=x) = 1







VARIABLES DISCRETAS




















posteriormente



DISCRETAS





fX




)x(Px




14

12

2

11

4

10)(

2

0

x

xxP


xf

2

2)(

y haciendo un


n

f)x( 22




)x(P)x( 2



)()()(2

2

2

1

4

1

4

1

4

11

2

10

4

11

4

112

2

111

4

110 222

X 0 1 2











variable aleatoria






matemaacutetica

)()(1

i

N

i

ix XPXXE

donde



i= 1 2 3 N



)()( xxfXEx

xx o )()(1

i

N

i

ix XPXXE







monedas es entonces

06116

)5)(2()7)(1()4)(0(




06116

52

16

71

16

40














S = CC CS SC SS


P(X = 0) = P(SS) = 4

1

P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4

1

P(X = 2) = P(HH) = 4

1




014

12

2

11

4

10)(

XE









)x(fxx

7

3

3

3

4

para x = 0 1 2 3


35

4)3(

35

18)2(

35

12)1(

35

1)0(

7

3

3

33

4

3

7

3

3

23

4

2

7

3

3

13

4

1

7

3

3

03

4

0

ffff


f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces

7017

12

35

60

35

43

35

182

35

121

35

10)(

XE











8

1

2

1

2

1

2

1)()()()(







14

33

4

15)(

XE


monedas



















efectuara de nuevo

TABLA B



Variable Aleatoria

(1)



(2)




(1)x(3)

100 1 001 100

101 2 002 202

102 3 003 306

103 5 005 515

104 6 006 624

105 7 007 735

106 9 009 954

107 10 010 1070

108 12 012 1296

109 11 011 1199

110 9 009 990

110 8 008 888

112 6 006 672

113 5 005 565

114 4 004 456

115 2 002 230

TOTALES 100 10802






0

002

004

006

008

01

012

014

10 100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115


PR

OB

AB

ILID

AD














1 entonces


480000x 4801000

480000

1000



boleto





120250350240

2500001000008000001250000

4321

4321

PyPPP

xxxx


)()(1

i

N

i

ix XPXXE




04

3

4

1)(

33

xxf

xx

x


SOLUCIOacuteN

64

1

4

3

4

1)3(

64

9

4

3

4

1)2(

64

27

4

3

4

1)1(

64

27

4

3

4

1)0(

033

3

23

2

23

1

303

0

f

fff


x 0 1 2 3 )(xf

6427

6427

649

641


i

N

i

ix XPXXE

Se tiene

7504

3

64

48

64

1)3(9)2(27

64

13

64

92

64

271

64

270

E











)()( 000

ixX

xpxXPxF

OBSERVACIONES





etc En general

F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)





X x1 x2 x3 x4

p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )



ACUMULADA

)()(

ixX

iii xpxXPxF

EJEMPLOS


X 0 1 2 3

p(x) 18 38 38 18



d)

SOLUCIOacuteN


F(x) = 0


F(x) = 1



P(X le 2) = F(2) = 78



38 = 68




x0)




X f(X) F(X)

2 136 136

3 236 336

4 336 636

5 436 1036

6 536 1536

7 636 2136

8 536 2636

9 436 3036

10 336 3336

11 236 3536

12 136 3636







X f(X) F(X)

0 1545 1545

1 2445 3945

2 645 4545




el evento


P( ) = P( ) + P( )


P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)










F(x0) =


2 si X es discreta

si X es continua


3 si X es continua

4 Si X es continua



a

b



de probabilidad

a

b







2 si X es discreta

si X es continua

3 si X es continua

4 Si X es continua


IMPORTANTES













para x = 0 1 2 3









N

n

hace









y su varianza




















bababbaa)ba( iinn

i

n

i

nn

n

nn

n

nn

nn

n

1

1

1

1

10





xnqxp

n

xxP



xnx

xx

xx

n

x

nx

xx

x qpP










1

1 1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1



yxyyxyxyxx)yx(

)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(

543223455

543223455

24381010807202403232

332532103210325232

yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156










p + q = 1



p + q = 05 + 05 = 1




p + q = 025 + 075 = 1



p + q = 000001 + 099999 = 1


































x 0 1 1 1 2 2 2 3







)pnx(b)x(f)xX(P








n

x

CC

=

)xn(x

n

(n se lee factorial




x



independientes es

nxqp)x(f)pnx(b xnxn

x

3210


binomiales



94

34

14

3

x)x(fxb

xx

x

32104

3

4

1

4

13

33


64

1

4

3

4

13

64

9

4

3

4

12

64

27

4

3

4

11

64

27

4

3

4

10

033

3

123

2

213

1

303

0

)(f)(f

)(f)(f


x 0 1 2 3 )x(f

6427)x(f

6427

649

641










CCCC 0 ECCC 1

CCCE 1 ECCE 2

CCEC 1 ECEC 2

CCEE 2 ECEE 3

CECC 1 EECC 2

CECE 2 EECE 3

CEEC 2 EEEC 3

CEEE 3 EEEE 4




P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081


P(X = 2) = 6(00081) = 00486

En general


(09)4-x CIlOs II i





)xn(x

x

44


)(f)X(P

))(()(f)X(P

)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx

x

0486022

04860810010622

9010229010 2424

2

44

OTROS EJEMPLO
























P(X=0)


= (34

)3 = 276

4


4)0

P(X=1)

=

P[(E1 F2F3)(F1E2

F3)

(F1 F2 E3)]

=

812

56

=


4)1

P(X=2)

=

P[(E1E2F3) (E1F2

E3) (F1 E2 E3)]

=

964

=


4)2

P(X=

3)


(E3)

= (14

)3 = 164


4)3




X P(X=x)

0 0422

1 0422

2 0141

3 0016









2646009049022

4

30070022

43210300700704

224

2

4

))((


x)x(f)x(bxnx

x




91630083701

08370107560008101

307030701

10122

43221

3141

4040

)()(C)()(C

)(p)(p)x(P)




c)- P(4 familias) = 2401017004

43070 4044

4 )()(

)()(C









xx

x

)()()x(f)x(p

10

10


es

xx

x x

)()(

xx

x x

)()()rechazar(P)b


)aceptar(P

))()(())()(()aceptar(P


)()()aceptar(P

)(p)(p)aceptar(P

1010

2

10

91110

100010

1010

2

10

950050

6080860914011

40919140

315059906302005010599011

950050950050101

95005012

101










son

npq

npq

np)x(E

2














estudiante




10)()(

1

)(

xbsiasibxasiab

axxXPxF

bxasiab

xf










intervalos











variable







2xe







variables continuas


















































Donde


























forma de campana





















varianza 1























xZ


















Ejemplo



91460820

2534

XZ




Luego


es de 180

EJEMPLOS


B)

z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823


lo tanto

P (z lt ndash135) = 00885


63) D)


z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549



1) P(z gt ndash243)

2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)

4) P(z lt 239)














es de

























n

NX con lo cual a



n

n

961961









4839 XP


9

45

81

45

XXXZ De modo que

XP 803737804839



z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009

00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359

01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753

02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141

03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517

04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879

05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224

06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549

07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852

08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133

09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389

10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621

11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830

12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015

13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177

14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319

15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441

16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545

17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633

18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706

19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767

20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817

21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857

22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890

23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916

24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936

25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952

26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964

27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974

28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981

29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986

30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990

31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993

32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995

33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997

34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998

35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998

36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000






(099702 es decir 997)















XZ


1

5

XZ


21

57

Z




es del 97725







SOLUCIOacuteN


221

4

XZ







Por lo tanto

P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)


P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075






XXX)(

X 575457142212821

221

42821




con renta media












d) SOLUCIOacuteN


b)


415

6875Z

Por lo tanto

P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808




615

6860Z


16) = 00548


esta edad










8767

5887958645166

586451

X

XX)(X







226

5845Z

Por lo tanto



bebida








120491

5577

Z








386

55883055049184200491

558420

X

)(XX))((

X








cociente

vV




vV

Z es una















)X(

N

S

Xt


dado por NX

N

XZ




N

StX

2 Donde


GRADOS DE LIBERTAD






36182

baba











167

gfedcba











grados

de libertad

alfa

01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005

1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578

2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600

3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924

4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610

5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869

6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959

7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408

8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041

9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781

10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587

11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437

12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318

13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221

14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140

15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073

16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015

17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965

18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922

19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883

20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850

21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819

22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792

23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768

24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745

25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725

26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707

27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689

28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674

29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660

30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646

31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633

32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622

33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611

34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601

35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591

36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582

37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574

38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566

39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558

40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551

60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460

120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373

inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
























gamma






001

)(

dondeyxexf

x

BIBLIOGRAFIacuteA


































































BIBLIOWEB


































x

kx

kx

kkx

1)x(f3

0)x(f2

)xX(P)x(f1

Para todo x
















valor del 1 al 32






















discreta














mediante P(X)










056



Demandas

Posibles X

Nuacutemero de

Diacuteas


Ponderado )( XPX

3 3 006 018

4 7 014 056

5 12 024 120

6 14 028 168

7 10 020 140

8 4 008 064

TOTALES 50 100 665)( XE


DISCRETAS



















b 3 1 1 0 0 1




b 0 1 3

P(B = b) 3

1

2

1

6

1









0)(1 xf

1)(2 xf

)()(3 xfxXP






28

3)2X(P)2(f

28

15)1X(P)1(f

28

10)0X(P)0(f

8

2

5

0

3

2

8

2

5

1

3

1

8

2

5

2

3

0


x

0

1

2

f(x)

28

10

28

15

28

3








PROBLEMA

X 0 1 2













Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Probabilidades 36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1












1 2 3 4 5 6

1 11 21 31 41 51 61

2 12 22 32 42 52 62

3 13 23 33 43 53 63

4 14 24 34 44 54 64

5 15 25 35 45 55 65

6 16 26 36 46 56 66










x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

)x(f 36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1





2

x


el dominio de f




0

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Sumas de dos dados

Pro

bab

ilid

ad

es












ix






0 le P(X=x) le 1



)(xf P(X=x) = 1







VARIABLES DISCRETAS




















posteriormente



DISCRETAS





fX




)x(Px




14

12

2

11

4

10)(

2

0

x

xxP


xf

2

2)(

y haciendo un


n

f)x( 22




)x(P)x( 2



)()()(2

2

2

1

4

1

4

1

4

11

2

10

4

11

4

112

2

111

4

110 222

X 0 1 2











variable aleatoria






matemaacutetica

)()(1

i

N

i

ix XPXXE

donde



i= 1 2 3 N



)()( xxfXEx

xx o )()(1

i

N

i

ix XPXXE







monedas es entonces

06116

)5)(2()7)(1()4)(0(




06116

52

16

71

16

40














S = CC CS SC SS


P(X = 0) = P(SS) = 4

1

P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4

1

P(X = 2) = P(HH) = 4

1




014

12

2

11

4

10)(

XE









)x(fxx

7

3

3

3

4

para x = 0 1 2 3


35

4)3(

35

18)2(

35

12)1(

35

1)0(

7

3

3

33

4

3

7

3

3

23

4

2

7

3

3

13

4

1

7

3

3

03

4

0

ffff


f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces

7017

12

35

60

35

43

35

182

35

121

35

10)(

XE











8

1

2

1

2

1

2

1)()()()(







14

33

4

15)(

XE


monedas



















efectuara de nuevo

TABLA B



Variable Aleatoria

(1)



(2)




(1)x(3)

100 1 001 100

101 2 002 202

102 3 003 306

103 5 005 515

104 6 006 624

105 7 007 735

106 9 009 954

107 10 010 1070

108 12 012 1296

109 11 011 1199

110 9 009 990

110 8 008 888

112 6 006 672

113 5 005 565

114 4 004 456

115 2 002 230

TOTALES 100 10802






0

002

004

006

008

01

012

014

10 100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115


PR

OB

AB

ILID

AD














1 entonces


480000x 4801000

480000

1000



boleto





120250350240

2500001000008000001250000

4321

4321

PyPPP

xxxx


)()(1

i

N

i

ix XPXXE




04

3

4

1)(

33

xxf

xx

x


SOLUCIOacuteN

64

1

4

3

4

1)3(

64

9

4

3

4

1)2(

64

27

4

3

4

1)1(

64

27

4

3

4

1)0(

033

3

23

2

23

1

303

0

f

fff


x 0 1 2 3 )(xf

6427

6427

649

641


i

N

i

ix XPXXE

Se tiene

7504

3

64

48

64

1)3(9)2(27

64

13

64

92

64

271

64

270

E











)()( 000

ixX

xpxXPxF

OBSERVACIONES





etc En general

F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)





X x1 x2 x3 x4

p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )



ACUMULADA

)()(

ixX

iii xpxXPxF

EJEMPLOS


X 0 1 2 3

p(x) 18 38 38 18



d)

SOLUCIOacuteN


F(x) = 0


F(x) = 1



P(X le 2) = F(2) = 78



38 = 68




x0)




X f(X) F(X)

2 136 136

3 236 336

4 336 636

5 436 1036

6 536 1536

7 636 2136

8 536 2636

9 436 3036

10 336 3336

11 236 3536

12 136 3636







X f(X) F(X)

0 1545 1545

1 2445 3945

2 645 4545




el evento


P( ) = P( ) + P( )


P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)










F(x0) =


2 si X es discreta

si X es continua


3 si X es continua

4 Si X es continua



a

b



de probabilidad

a

b







2 si X es discreta

si X es continua

3 si X es continua

4 Si X es continua


IMPORTANTES













para x = 0 1 2 3









N

n

hace









y su varianza




















bababbaa)ba( iinn

i

n

i

nn

n

nn

n

nn

nn

n

1

1

1

1

10





xnqxp

n

xxP



xnx

xx

xx

n

x

nx

xx

x qpP










1

1 1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1



yxyyxyxyxx)yx(

)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(

543223455

543223455

24381010807202403232

332532103210325232

yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156










p + q = 1



p + q = 05 + 05 = 1




p + q = 025 + 075 = 1



p + q = 000001 + 099999 = 1


































x 0 1 1 1 2 2 2 3







)pnx(b)x(f)xX(P








n

x

CC

=

)xn(x

n

(n se lee factorial




x



independientes es

nxqp)x(f)pnx(b xnxn

x

3210


binomiales



94

34

14

3

x)x(fxb

xx

x

32104

3

4

1

4

13

33


64

1

4

3

4

13

64

9

4

3

4

12

64

27

4

3

4

11

64

27

4

3

4

10

033

3

123

2

213

1

303

0

)(f)(f

)(f)(f


x 0 1 2 3 )x(f

6427)x(f

6427

649

641










CCCC 0 ECCC 1

CCCE 1 ECCE 2

CCEC 1 ECEC 2

CCEE 2 ECEE 3

CECC 1 EECC 2

CECE 2 EECE 3

CEEC 2 EEEC 3

CEEE 3 EEEE 4




P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081


P(X = 2) = 6(00081) = 00486

En general


(09)4-x CIlOs II i





)xn(x

x

44


)(f)X(P

))(()(f)X(P

)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx

x

0486022

04860810010622

9010229010 2424

2

44

OTROS EJEMPLO
























P(X=0)


= (34

)3 = 276

4


4)0

P(X=1)

=

P[(E1 F2F3)(F1E2

F3)

(F1 F2 E3)]

=

812

56

=


4)1

P(X=2)

=

P[(E1E2F3) (E1F2

E3) (F1 E2 E3)]

=

964

=


4)2

P(X=

3)


(E3)

= (14

)3 = 164


4)3




X P(X=x)

0 0422

1 0422

2 0141

3 0016









2646009049022

4

30070022

43210300700704

224

2

4

))((


x)x(f)x(bxnx

x




91630083701

08370107560008101

307030701

10122

43221

3141

4040

)()(C)()(C

)(p)(p)x(P)




c)- P(4 familias) = 2401017004

43070 4044

4 )()(

)()(C









xx

x

)()()x(f)x(p

10

10


es

xx

x x

)()(

xx

x x

)()()rechazar(P)b


)aceptar(P

))()(())()(()aceptar(P


)()()aceptar(P

)(p)(p)aceptar(P

1010

2

10

91110

100010

1010

2

10

950050

6080860914011

40919140

315059906302005010599011

950050950050101

95005012

101










son

npq

npq

np)x(E

2














estudiante




10)()(

1

)(

xbsiasibxasiab

axxXPxF

bxasiab

xf










intervalos











variable







2xe







variables continuas


















































Donde


























forma de campana





















varianza 1























xZ


















Ejemplo



91460820

2534

XZ




Luego


es de 180

EJEMPLOS


B)

z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823


lo tanto

P (z lt ndash135) = 00885


63) D)


z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549



1) P(z gt ndash243)

2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)

4) P(z lt 239)














es de

























n

NX con lo cual a



n

n

961961









4839 XP


9

45

81

45

XXXZ De modo que

XP 803737804839



z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009

00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359

01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753

02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141

03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517

04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879

05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224

06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549

07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852

08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133

09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389

10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621

11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830

12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015

13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177

14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319

15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441

16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545

17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633

18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706

19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767

20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817

21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857

22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890

23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916

24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936

25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952

26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964

27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974

28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981

29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986

30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990

31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993

32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995

33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997

34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998

35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998

36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000






(099702 es decir 997)















XZ


1

5

XZ


21

57

Z




es del 97725







SOLUCIOacuteN


221

4

XZ







Por lo tanto

P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)


P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075






XXX)(

X 575457142212821

221

42821




con renta media












d) SOLUCIOacuteN


b)


415

6875Z

Por lo tanto

P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808




615

6860Z


16) = 00548


esta edad










8767

5887958645166

586451

X

XX)(X







226

5845Z

Por lo tanto



bebida








120491

5577

Z








386

55883055049184200491

558420

X

)(XX))((

X








cociente

vV




vV

Z es una















)X(

N

S

Xt


dado por NX

N

XZ




N

StX

2 Donde


GRADOS DE LIBERTAD






36182

baba











167

gfedcba











grados

de libertad

alfa

01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005

1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578

2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600

3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924

4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610

5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869

6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959

7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408

8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041

9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781

10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587

11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437

12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318

13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221

14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140

15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073

16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015

17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965

18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922

19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883

20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850

21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819

22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792

23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768

24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745

25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725

26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707

27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689

28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674

29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660

30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646

31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633

32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622

33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611

34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601

35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591

36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582

37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574

38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566

39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558

40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551

60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460

120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373

inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
























gamma






001

)(

dondeyxexf

x

BIBLIOGRAFIacuteA


































































BIBLIOWEB













































discreta














mediante P(X)










056



Demandas

Posibles X

Nuacutemero de

Diacuteas


Ponderado )( XPX

3 3 006 018

4 7 014 056

5 12 024 120

6 14 028 168

7 10 020 140

8 4 008 064

TOTALES 50 100 665)( XE


DISCRETAS



















b 3 1 1 0 0 1




b 0 1 3

P(B = b) 3

1

2

1

6

1









0)(1 xf

1)(2 xf

)()(3 xfxXP






28

3)2X(P)2(f

28

15)1X(P)1(f

28

10)0X(P)0(f

8

2

5

0

3

2

8

2

5

1

3

1

8

2

5

2

3

0


x

0

1

2

f(x)

28

10

28

15

28

3








PROBLEMA

X 0 1 2













Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Probabilidades 36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1












1 2 3 4 5 6

1 11 21 31 41 51 61

2 12 22 32 42 52 62

3 13 23 33 43 53 63

4 14 24 34 44 54 64

5 15 25 35 45 55 65

6 16 26 36 46 56 66










x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

)x(f 36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1





2

x


el dominio de f




0

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Sumas de dos dados

Pro

bab

ilid

ad

es












ix






0 le P(X=x) le 1



)(xf P(X=x) = 1







VARIABLES DISCRETAS




















posteriormente



DISCRETAS





fX




)x(Px




14

12

2

11

4

10)(

2

0

x

xxP


xf

2

2)(

y haciendo un


n

f)x( 22




)x(P)x( 2



)()()(2

2

2

1

4

1

4

1

4

11

2

10

4

11

4

112

2

111

4

110 222

X 0 1 2











variable aleatoria






matemaacutetica

)()(1

i

N

i

ix XPXXE

donde



i= 1 2 3 N



)()( xxfXEx

xx o )()(1

i

N

i

ix XPXXE







monedas es entonces

06116

)5)(2()7)(1()4)(0(




06116

52

16

71

16

40














S = CC CS SC SS


P(X = 0) = P(SS) = 4

1

P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4

1

P(X = 2) = P(HH) = 4

1




014

12

2

11

4

10)(

XE









)x(fxx

7

3

3

3

4

para x = 0 1 2 3


35

4)3(

35

18)2(

35

12)1(

35

1)0(

7

3

3

33

4

3

7

3

3

23

4

2

7

3

3

13

4

1

7

3

3

03

4

0

ffff


f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces

7017

12

35

60

35

43

35

182

35

121

35

10)(

XE











8

1

2

1

2

1

2

1)()()()(







14

33

4

15)(

XE


monedas



















efectuara de nuevo

TABLA B



Variable Aleatoria

(1)



(2)




(1)x(3)

100 1 001 100

101 2 002 202

102 3 003 306

103 5 005 515

104 6 006 624

105 7 007 735

106 9 009 954

107 10 010 1070

108 12 012 1296

109 11 011 1199

110 9 009 990

110 8 008 888

112 6 006 672

113 5 005 565

114 4 004 456

115 2 002 230

TOTALES 100 10802






0

002

004

006

008

01

012

014

10 100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115


PR

OB

AB

ILID

AD














1 entonces


480000x 4801000

480000

1000



boleto





120250350240

2500001000008000001250000

4321

4321

PyPPP

xxxx


)()(1

i

N

i

ix XPXXE




04

3

4

1)(

33

xxf

xx

x


SOLUCIOacuteN

64

1

4

3

4

1)3(

64

9

4

3

4

1)2(

64

27

4

3

4

1)1(

64

27

4

3

4

1)0(

033

3

23

2

23

1

303

0

f

fff


x 0 1 2 3 )(xf

6427

6427

649

641


i

N

i

ix XPXXE

Se tiene

7504

3

64

48

64

1)3(9)2(27

64

13

64

92

64

271

64

270

E











)()( 000

ixX

xpxXPxF

OBSERVACIONES





etc En general

F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)





X x1 x2 x3 x4

p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )



ACUMULADA

)()(

ixX

iii xpxXPxF

EJEMPLOS


X 0 1 2 3

p(x) 18 38 38 18



d)

SOLUCIOacuteN


F(x) = 0


F(x) = 1



P(X le 2) = F(2) = 78



38 = 68




x0)




X f(X) F(X)

2 136 136

3 236 336

4 336 636

5 436 1036

6 536 1536

7 636 2136

8 536 2636

9 436 3036

10 336 3336

11 236 3536

12 136 3636







X f(X) F(X)

0 1545 1545

1 2445 3945

2 645 4545




el evento


P( ) = P( ) + P( )


P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)










F(x0) =


2 si X es discreta

si X es continua


3 si X es continua

4 Si X es continua



a

b



de probabilidad

a

b







2 si X es discreta

si X es continua

3 si X es continua

4 Si X es continua


IMPORTANTES













para x = 0 1 2 3









N

n

hace









y su varianza




















bababbaa)ba( iinn

i

n

i

nn

n

nn

n

nn

nn

n

1

1

1

1

10





xnqxp

n

xxP



xnx

xx

xx

n

x

nx

xx

x qpP










1

1 1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1



yxyyxyxyxx)yx(

)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(

543223455

543223455

24381010807202403232

332532103210325232

yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156










p + q = 1



p + q = 05 + 05 = 1




p + q = 025 + 075 = 1



p + q = 000001 + 099999 = 1


































x 0 1 1 1 2 2 2 3







)pnx(b)x(f)xX(P








n

x

CC

=

)xn(x

n

(n se lee factorial




x



independientes es

nxqp)x(f)pnx(b xnxn

x

3210


binomiales



94

34

14

3

x)x(fxb

xx

x

32104

3

4

1

4

13

33


64

1

4

3

4

13

64

9

4

3

4

12

64

27

4

3

4

11

64

27

4

3

4

10

033

3

123

2

213

1

303

0

)(f)(f

)(f)(f


x 0 1 2 3 )x(f

6427)x(f

6427

649

641










CCCC 0 ECCC 1

CCCE 1 ECCE 2

CCEC 1 ECEC 2

CCEE 2 ECEE 3

CECC 1 EECC 2

CECE 2 EECE 3

CEEC 2 EEEC 3

CEEE 3 EEEE 4




P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081


P(X = 2) = 6(00081) = 00486

En general


(09)4-x CIlOs II i





)xn(x

x

44


)(f)X(P

))(()(f)X(P

)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx

x

0486022

04860810010622

9010229010 2424

2

44

OTROS EJEMPLO
























P(X=0)


= (34

)3 = 276

4


4)0

P(X=1)

=

P[(E1 F2F3)(F1E2

F3)

(F1 F2 E3)]

=

812

56

=


4)1

P(X=2)

=

P[(E1E2F3) (E1F2

E3) (F1 E2 E3)]

=

964

=


4)2

P(X=

3)


(E3)

= (14

)3 = 164


4)3




X P(X=x)

0 0422

1 0422

2 0141

3 0016









2646009049022

4

30070022

43210300700704

224

2

4

))((


x)x(f)x(bxnx

x




91630083701

08370107560008101

307030701

10122

43221

3141

4040

)()(C)()(C

)(p)(p)x(P)




c)- P(4 familias) = 2401017004

43070 4044

4 )()(

)()(C









xx

x

)()()x(f)x(p

10

10


es

xx

x x

)()(

xx

x x

)()()rechazar(P)b


)aceptar(P

))()(())()(()aceptar(P


)()()aceptar(P

)(p)(p)aceptar(P

1010

2

10

91110

100010

1010

2

10

950050

6080860914011

40919140

315059906302005010599011

950050950050101

95005012

101










son

npq

npq

np)x(E

2














estudiante




10)()(

1

)(

xbsiasibxasiab

axxXPxF

bxasiab

xf










intervalos











variable







2xe







variables continuas


















































Donde


























forma de campana





















varianza 1























xZ


















Ejemplo



91460820

2534

XZ




Luego


es de 180

EJEMPLOS


B)

z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823


lo tanto

P (z lt ndash135) = 00885


63) D)


z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549



1) P(z gt ndash243)

2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)

4) P(z lt 239)














es de

























n

NX con lo cual a



n

n

961961









4839 XP


9

45

81

45

XXXZ De modo que

XP 803737804839



z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009

00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359

01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753

02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141

03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517

04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879

05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224

06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549

07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852

08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133

09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389

10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621

11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830

12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015

13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177

14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319

15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441

16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545

17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633

18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706

19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767

20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817

21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857

22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890

23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916

24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936

25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952

26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964

27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974

28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981

29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986

30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990

31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993

32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995

33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997

34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998

35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998

36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000






(099702 es decir 997)















XZ


1

5

XZ


21

57

Z




es del 97725







SOLUCIOacuteN


221

4

XZ







Por lo tanto

P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)


P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075






XXX)(

X 575457142212821

221

42821




con renta media












d) SOLUCIOacuteN


b)


415

6875Z

Por lo tanto

P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808




615

6860Z


16) = 00548


esta edad










8767

5887958645166

586451

X

XX)(X







226

5845Z

Por lo tanto



bebida








120491

5577

Z








386

55883055049184200491

558420

X

)(XX))((

X








cociente

vV




vV

Z es una















)X(

N

S

Xt


dado por NX

N

XZ




N

StX

2 Donde


GRADOS DE LIBERTAD






36182

baba











167

gfedcba











grados

de libertad

alfa

01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005

1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578

2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600

3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924

4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610

5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869

6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959

7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408

8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041

9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781

10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587

11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437

12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318

13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221

14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140

15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073

16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015

17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965

18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922

19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883

20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850

21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819

22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792

23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768

24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745

25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725

26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707

27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689

28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674

29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660

30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646

31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633

32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622

33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611

34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601

35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591

36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582

37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574

38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566

39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558

40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551

60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460

120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373

inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
























gamma






001

)(

dondeyxexf

x

BIBLIOGRAFIacuteA


































































BIBLIOWEB






































056



Demandas

Posibles X

Nuacutemero de

Diacuteas


Ponderado )( XPX

3 3 006 018

4 7 014 056

5 12 024 120

6 14 028 168

7 10 020 140

8 4 008 064

TOTALES 50 100 665)( XE


DISCRETAS



















b 3 1 1 0 0 1




b 0 1 3

P(B = b) 3

1

2

1

6

1









0)(1 xf

1)(2 xf

)()(3 xfxXP






28

3)2X(P)2(f

28

15)1X(P)1(f

28

10)0X(P)0(f

8

2

5

0

3

2

8

2

5

1

3

1

8

2

5

2

3

0


x

0

1

2

f(x)

28

10

28

15

28

3








PROBLEMA

X 0 1 2













Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Probabilidades 36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1












1 2 3 4 5 6

1 11 21 31 41 51 61

2 12 22 32 42 52 62

3 13 23 33 43 53 63

4 14 24 34 44 54 64

5 15 25 35 45 55 65

6 16 26 36 46 56 66










x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

)x(f 36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1





2

x


el dominio de f




0

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Sumas de dos dados

Pro

bab

ilid

ad

es












ix






0 le P(X=x) le 1



)(xf P(X=x) = 1







VARIABLES DISCRETAS




















posteriormente



DISCRETAS





fX




)x(Px




14

12

2

11

4

10)(

2

0

x

xxP


xf

2

2)(

y haciendo un


n

f)x( 22




)x(P)x( 2



)()()(2

2

2

1

4

1

4

1

4

11

2

10

4

11

4

112

2

111

4

110 222

X 0 1 2











variable aleatoria






matemaacutetica

)()(1

i

N

i

ix XPXXE

donde



i= 1 2 3 N



)()( xxfXEx

xx o )()(1

i

N

i

ix XPXXE







monedas es entonces

06116

)5)(2()7)(1()4)(0(




06116

52

16

71

16

40














S = CC CS SC SS


P(X = 0) = P(SS) = 4

1

P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4

1

P(X = 2) = P(HH) = 4

1




014

12

2

11

4

10)(

XE









)x(fxx

7

3

3

3

4

para x = 0 1 2 3


35

4)3(

35

18)2(

35

12)1(

35

1)0(

7

3

3

33

4

3

7

3

3

23

4

2

7

3

3

13

4

1

7

3

3

03

4

0

ffff


f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces

7017

12

35

60

35

43

35

182

35

121

35

10)(

XE











8

1

2

1

2

1

2

1)()()()(







14

33

4

15)(

XE


monedas



















efectuara de nuevo

TABLA B



Variable Aleatoria

(1)



(2)




(1)x(3)

100 1 001 100

101 2 002 202

102 3 003 306

103 5 005 515

104 6 006 624

105 7 007 735

106 9 009 954

107 10 010 1070

108 12 012 1296

109 11 011 1199

110 9 009 990

110 8 008 888

112 6 006 672

113 5 005 565

114 4 004 456

115 2 002 230

TOTALES 100 10802






0

002

004

006

008

01

012

014

10 100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115


PR

OB

AB

ILID

AD














1 entonces


480000x 4801000

480000

1000



boleto





120250350240

2500001000008000001250000

4321

4321

PyPPP

xxxx


)()(1

i

N

i

ix XPXXE




04

3

4

1)(

33

xxf

xx

x


SOLUCIOacuteN

64

1

4

3

4

1)3(

64

9

4

3

4

1)2(

64

27

4

3

4

1)1(

64

27

4

3

4

1)0(

033

3

23

2

23

1

303

0

f

fff


x 0 1 2 3 )(xf

6427

6427

649

641


i

N

i

ix XPXXE

Se tiene

7504

3

64

48

64

1)3(9)2(27

64

13

64

92

64

271

64

270

E











)()( 000

ixX

xpxXPxF

OBSERVACIONES





etc En general

F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)





X x1 x2 x3 x4

p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )



ACUMULADA

)()(

ixX

iii xpxXPxF

EJEMPLOS


X 0 1 2 3

p(x) 18 38 38 18



d)

SOLUCIOacuteN


F(x) = 0


F(x) = 1



P(X le 2) = F(2) = 78



38 = 68




x0)




X f(X) F(X)

2 136 136

3 236 336

4 336 636

5 436 1036

6 536 1536

7 636 2136

8 536 2636

9 436 3036

10 336 3336

11 236 3536

12 136 3636







X f(X) F(X)

0 1545 1545

1 2445 3945

2 645 4545




el evento


P( ) = P( ) + P( )


P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)










F(x0) =


2 si X es discreta

si X es continua


3 si X es continua

4 Si X es continua



a

b



de probabilidad

a

b







2 si X es discreta

si X es continua

3 si X es continua

4 Si X es continua


IMPORTANTES













para x = 0 1 2 3









N

n

hace









y su varianza




















bababbaa)ba( iinn

i

n

i

nn

n

nn

n

nn

nn

n

1

1

1

1

10





xnqxp

n

xxP



xnx

xx

xx

n

x

nx

xx

x qpP










1

1 1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1



yxyyxyxyxx)yx(

)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(

543223455

543223455

24381010807202403232

332532103210325232

yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156










p + q = 1



p + q = 05 + 05 = 1




p + q = 025 + 075 = 1



p + q = 000001 + 099999 = 1


































x 0 1 1 1 2 2 2 3







)pnx(b)x(f)xX(P








n

x

CC

=

)xn(x

n

(n se lee factorial




x



independientes es

nxqp)x(f)pnx(b xnxn

x

3210


binomiales



94

34

14

3

x)x(fxb

xx

x

32104

3

4

1

4

13

33


64

1

4

3

4

13

64

9

4

3

4

12

64

27

4

3

4

11

64

27

4

3

4

10

033

3

123

2

213

1

303

0

)(f)(f

)(f)(f


x 0 1 2 3 )x(f

6427)x(f

6427

649

641










CCCC 0 ECCC 1

CCCE 1 ECCE 2

CCEC 1 ECEC 2

CCEE 2 ECEE 3

CECC 1 EECC 2

CECE 2 EECE 3

CEEC 2 EEEC 3

CEEE 3 EEEE 4




P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081


P(X = 2) = 6(00081) = 00486

En general


(09)4-x CIlOs II i





)xn(x

x

44


)(f)X(P

))(()(f)X(P

)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx

x

0486022

04860810010622

9010229010 2424

2

44

OTROS EJEMPLO
























P(X=0)


= (34

)3 = 276

4


4)0

P(X=1)

=

P[(E1 F2F3)(F1E2

F3)

(F1 F2 E3)]

=

812

56

=


4)1

P(X=2)

=

P[(E1E2F3) (E1F2

E3) (F1 E2 E3)]

=

964

=


4)2

P(X=

3)


(E3)

= (14

)3 = 164


4)3




X P(X=x)

0 0422

1 0422

2 0141

3 0016









2646009049022

4

30070022

43210300700704

224

2

4

))((


x)x(f)x(bxnx

x




91630083701

08370107560008101

307030701

10122

43221

3141

4040

)()(C)()(C

)(p)(p)x(P)




c)- P(4 familias) = 2401017004

43070 4044

4 )()(

)()(C









xx

x

)()()x(f)x(p

10

10


es

xx

x x

)()(

xx

x x

)()()rechazar(P)b


)aceptar(P

))()(())()(()aceptar(P


)()()aceptar(P

)(p)(p)aceptar(P

1010

2

10

91110

100010

1010

2

10

950050

6080860914011

40919140

315059906302005010599011

950050950050101

95005012

101










son

npq

npq

np)x(E

2














estudiante




10)()(

1

)(

xbsiasibxasiab

axxXPxF

bxasiab

xf










intervalos











variable







2xe







variables continuas


















































Donde


























forma de campana





















varianza 1























xZ


















Ejemplo



91460820

2534

XZ




Luego


es de 180

EJEMPLOS


B)

z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823


lo tanto

P (z lt ndash135) = 00885


63) D)


z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549



1) P(z gt ndash243)

2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)

4) P(z lt 239)














es de

























n

NX con lo cual a



n

n

961961









4839 XP


9

45

81

45

XXXZ De modo que

XP 803737804839



z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009

00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359

01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753

02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141

03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517

04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879

05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224

06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549

07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852

08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133

09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389

10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621

11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830

12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015

13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177

14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319

15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441

16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545

17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633

18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706

19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767

20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817

21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857

22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890

23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916

24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936

25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952

26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964

27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974

28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981

29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986

30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990

31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993

32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995

33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997

34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998

35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998

36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000






(099702 es decir 997)















XZ


1

5

XZ


21

57

Z




es del 97725







SOLUCIOacuteN


221

4

XZ







Por lo tanto

P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)


P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075






XXX)(

X 575457142212821

221

42821




con renta media












d) SOLUCIOacuteN


b)


415

6875Z

Por lo tanto

P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808




615

6860Z


16) = 00548


esta edad










8767

5887958645166

586451

X

XX)(X







226

5845Z

Por lo tanto



bebida








120491

5577

Z








386

55883055049184200491

558420

X

)(XX))((

X








cociente

vV




vV

Z es una















)X(

N

S

Xt


dado por NX

N

XZ




N

StX

2 Donde


GRADOS DE LIBERTAD






36182

baba











167

gfedcba











grados

de libertad

alfa

01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005

1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578

2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600

3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924

4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610

5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869

6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959

7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408

8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041

9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781

10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587

11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437

12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318

13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221

14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140

15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073

16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015

17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965

18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922

19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883

20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850

21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819

22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792

23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768

24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745

25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725

26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707

27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689

28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674

29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660

30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646

31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633

32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622

33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611

34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601

35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591

36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582

37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574

38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566

39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558

40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551

60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460

120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373

inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
























gamma






001

)(

dondeyxexf

x

BIBLIOGRAFIacuteA


































































BIBLIOWEB





































b 3 1 1 0 0 1




b 0 1 3

P(B = b) 3

1

2

1

6

1









0)(1 xf

1)(2 xf

)()(3 xfxXP






28

3)2X(P)2(f

28

15)1X(P)1(f

28

10)0X(P)0(f

8

2

5

0

3

2

8

2

5

1

3

1

8

2

5

2

3

0


x

0

1

2

f(x)

28

10

28

15

28

3








PROBLEMA

X 0 1 2













Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Probabilidades 36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1












1 2 3 4 5 6

1 11 21 31 41 51 61

2 12 22 32 42 52 62

3 13 23 33 43 53 63

4 14 24 34 44 54 64

5 15 25 35 45 55 65

6 16 26 36 46 56 66










x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

)x(f 36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1





2

x


el dominio de f




0

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Sumas de dos dados

Pro

bab

ilid

ad

es












ix






0 le P(X=x) le 1



)(xf P(X=x) = 1







VARIABLES DISCRETAS




















posteriormente



DISCRETAS





fX




)x(Px




14

12

2

11

4

10)(

2

0

x

xxP


xf

2

2)(

y haciendo un


n

f)x( 22




)x(P)x( 2



)()()(2

2

2

1

4

1

4

1

4

11

2

10

4

11

4

112

2

111

4

110 222

X 0 1 2











variable aleatoria






matemaacutetica

)()(1

i

N

i

ix XPXXE

donde



i= 1 2 3 N



)()( xxfXEx

xx o )()(1

i

N

i

ix XPXXE







monedas es entonces

06116

)5)(2()7)(1()4)(0(




06116

52

16

71

16

40














S = CC CS SC SS


P(X = 0) = P(SS) = 4

1

P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4

1

P(X = 2) = P(HH) = 4

1




014

12

2

11

4

10)(

XE









)x(fxx

7

3

3

3

4

para x = 0 1 2 3


35

4)3(

35

18)2(

35

12)1(

35

1)0(

7

3

3

33

4

3

7

3

3

23

4

2

7

3

3

13

4

1

7

3

3

03

4

0

ffff


f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces

7017

12

35

60

35

43

35

182

35

121

35

10)(

XE











8

1

2

1

2

1

2

1)()()()(







14

33

4

15)(

XE


monedas



















efectuara de nuevo

TABLA B



Variable Aleatoria

(1)



(2)




(1)x(3)

100 1 001 100

101 2 002 202

102 3 003 306

103 5 005 515

104 6 006 624

105 7 007 735

106 9 009 954

107 10 010 1070

108 12 012 1296

109 11 011 1199

110 9 009 990

110 8 008 888

112 6 006 672

113 5 005 565

114 4 004 456

115 2 002 230

TOTALES 100 10802






0

002

004

006

008

01

012

014

10 100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115


PR

OB

AB

ILID

AD














1 entonces


480000x 4801000

480000

1000



boleto





120250350240

2500001000008000001250000

4321

4321

PyPPP

xxxx


)()(1

i

N

i

ix XPXXE




04

3

4

1)(

33

xxf

xx

x


SOLUCIOacuteN

64

1

4

3

4

1)3(

64

9

4

3

4

1)2(

64

27

4

3

4

1)1(

64

27

4

3

4

1)0(

033

3

23

2

23

1

303

0

f

fff


x 0 1 2 3 )(xf

6427

6427

649

641


i

N

i

ix XPXXE

Se tiene

7504

3

64

48

64

1)3(9)2(27

64

13

64

92

64

271

64

270

E











)()( 000

ixX

xpxXPxF

OBSERVACIONES





etc En general

F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)





X x1 x2 x3 x4

p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )



ACUMULADA

)()(

ixX

iii xpxXPxF

EJEMPLOS


X 0 1 2 3

p(x) 18 38 38 18



d)

SOLUCIOacuteN


F(x) = 0


F(x) = 1



P(X le 2) = F(2) = 78



38 = 68




x0)




X f(X) F(X)

2 136 136

3 236 336

4 336 636

5 436 1036

6 536 1536

7 636 2136

8 536 2636

9 436 3036

10 336 3336

11 236 3536

12 136 3636







X f(X) F(X)

0 1545 1545

1 2445 3945

2 645 4545




el evento


P( ) = P( ) + P( )


P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)










F(x0) =


2 si X es discreta

si X es continua


3 si X es continua

4 Si X es continua



a

b



de probabilidad

a

b







2 si X es discreta

si X es continua

3 si X es continua

4 Si X es continua


IMPORTANTES













para x = 0 1 2 3









N

n

hace









y su varianza




















bababbaa)ba( iinn

i

n

i

nn

n

nn

n

nn

nn

n

1

1

1

1

10





xnqxp

n

xxP



xnx

xx

xx

n

x

nx

xx

x qpP










1

1 1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1



yxyyxyxyxx)yx(

)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(

543223455

543223455

24381010807202403232

332532103210325232

yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156










p + q = 1



p + q = 05 + 05 = 1




p + q = 025 + 075 = 1



p + q = 000001 + 099999 = 1


































x 0 1 1 1 2 2 2 3







)pnx(b)x(f)xX(P








n

x

CC

=

)xn(x

n

(n se lee factorial




x



independientes es

nxqp)x(f)pnx(b xnxn

x

3210


binomiales



94

34

14

3

x)x(fxb

xx

x

32104

3

4

1

4

13

33


64

1

4

3

4

13

64

9

4

3

4

12

64

27

4

3

4

11

64

27

4

3

4

10

033

3

123

2

213

1

303

0

)(f)(f

)(f)(f


x 0 1 2 3 )x(f

6427)x(f

6427

649

641










CCCC 0 ECCC 1

CCCE 1 ECCE 2

CCEC 1 ECEC 2

CCEE 2 ECEE 3

CECC 1 EECC 2

CECE 2 EECE 3

CEEC 2 EEEC 3

CEEE 3 EEEE 4




P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081


P(X = 2) = 6(00081) = 00486

En general


(09)4-x CIlOs II i





)xn(x

x

44


)(f)X(P

))(()(f)X(P

)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx

x

0486022

04860810010622

9010229010 2424

2

44

OTROS EJEMPLO
























P(X=0)


= (34

)3 = 276

4


4)0

P(X=1)

=

P[(E1 F2F3)(F1E2

F3)

(F1 F2 E3)]

=

812

56

=


4)1

P(X=2)

=

P[(E1E2F3) (E1F2

E3) (F1 E2 E3)]

=

964

=


4)2

P(X=

3)


(E3)

= (14

)3 = 164


4)3




X P(X=x)

0 0422

1 0422

2 0141

3 0016









2646009049022

4

30070022

43210300700704

224

2

4

))((


x)x(f)x(bxnx

x




91630083701

08370107560008101

307030701

10122

43221

3141

4040

)()(C)()(C

)(p)(p)x(P)




c)- P(4 familias) = 2401017004

43070 4044

4 )()(

)()(C









xx

x

)()()x(f)x(p

10

10


es

xx

x x

)()(

xx

x x

)()()rechazar(P)b


)aceptar(P

))()(())()(()aceptar(P


)()()aceptar(P

)(p)(p)aceptar(P

1010

2

10

91110

100010

1010

2

10

950050

6080860914011

40919140

315059906302005010599011

950050950050101

95005012

101










son

npq

npq

np)x(E

2














estudiante




10)()(

1

)(

xbsiasibxasiab

axxXPxF

bxasiab

xf










intervalos











variable







2xe







variables continuas


















































Donde


























forma de campana





















varianza 1























xZ


















Ejemplo



91460820

2534

XZ




Luego


es de 180

EJEMPLOS


B)

z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823


lo tanto

P (z lt ndash135) = 00885


63) D)


z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549



1) P(z gt ndash243)

2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)

4) P(z lt 239)














es de

























n

NX con lo cual a



n

n

961961









4839 XP


9

45

81

45

XXXZ De modo que

XP 803737804839



z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009

00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359

01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753

02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141

03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517

04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879

05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224

06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549

07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852

08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133

09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389

10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621

11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830

12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015

13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177

14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319

15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441

16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545

17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633

18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706

19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767

20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817

21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857

22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890

23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916

24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936

25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952

26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964

27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974

28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981

29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986

30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990

31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993

32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995

33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997

34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998

35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998

36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000






(099702 es decir 997)















XZ


1

5

XZ


21

57

Z




es del 97725







SOLUCIOacuteN


221

4

XZ







Por lo tanto

P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)


P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075






XXX)(

X 575457142212821

221

42821




con renta media












d) SOLUCIOacuteN


b)


415

6875Z

Por lo tanto

P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808




615

6860Z


16) = 00548


esta edad










8767

5887958645166

586451

X

XX)(X







226

5845Z

Por lo tanto



bebida








120491

5577

Z








386

55883055049184200491

558420

X

)(XX))((

X








cociente

vV




vV

Z es una















)X(

N

S

Xt


dado por NX

N

XZ




N

StX

2 Donde


GRADOS DE LIBERTAD






36182

baba











167

gfedcba











grados

de libertad

alfa

01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005

1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578

2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600

3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924

4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610

5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869

6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959

7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408

8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041

9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781

10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587

11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437

12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318

13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221

14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140

15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073

16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015

17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965

18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922

19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883

20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850

21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819

22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792

23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768

24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745

25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725

26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707

27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689

28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674

29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660

30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646

31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633

32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622

33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611

34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601

35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591

36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582

37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574

38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566

39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558

40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551

60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460

120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373

inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
























gamma






001

)(

dondeyxexf

x

BIBLIOGRAFIacuteA


































































BIBLIOWEB
































28

3)2X(P)2(f

28

15)1X(P)1(f

28

10)0X(P)0(f

8

2

5

0

3

2

8

2

5

1

3

1

8

2

5

2

3

0


x

0

1

2

f(x)

28

10

28

15

28

3








PROBLEMA

X 0 1 2













Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Probabilidades 36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1












1 2 3 4 5 6

1 11 21 31 41 51 61

2 12 22 32 42 52 62

3 13 23 33 43 53 63

4 14 24 34 44 54 64

5 15 25 35 45 55 65

6 16 26 36 46 56 66










x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

)x(f 36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1





2

x


el dominio de f




0

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Sumas de dos dados

Pro

bab

ilid

ad

es












ix






0 le P(X=x) le 1



)(xf P(X=x) = 1







VARIABLES DISCRETAS




















posteriormente



DISCRETAS





fX




)x(Px




14

12

2

11

4

10)(

2

0

x

xxP


xf

2

2)(

y haciendo un


n

f)x( 22




)x(P)x( 2



)()()(2

2

2

1

4

1

4

1

4

11

2

10

4

11

4

112

2

111

4

110 222

X 0 1 2











variable aleatoria






matemaacutetica

)()(1

i

N

i

ix XPXXE

donde



i= 1 2 3 N



)()( xxfXEx

xx o )()(1

i

N

i

ix XPXXE







monedas es entonces

06116

)5)(2()7)(1()4)(0(




06116

52

16

71

16

40














S = CC CS SC SS


P(X = 0) = P(SS) = 4

1

P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4

1

P(X = 2) = P(HH) = 4

1




014

12

2

11

4

10)(

XE









)x(fxx

7

3

3

3

4

para x = 0 1 2 3


35

4)3(

35

18)2(

35

12)1(

35

1)0(

7

3

3

33

4

3

7

3

3

23

4

2

7

3

3

13

4

1

7

3

3

03

4

0

ffff


f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces

7017

12

35

60

35

43

35

182

35

121

35

10)(

XE











8

1

2

1

2

1

2

1)()()()(







14

33

4

15)(

XE


monedas



















efectuara de nuevo

TABLA B



Variable Aleatoria

(1)



(2)




(1)x(3)

100 1 001 100

101 2 002 202

102 3 003 306

103 5 005 515

104 6 006 624

105 7 007 735

106 9 009 954

107 10 010 1070

108 12 012 1296

109 11 011 1199

110 9 009 990

110 8 008 888

112 6 006 672

113 5 005 565

114 4 004 456

115 2 002 230

TOTALES 100 10802






0

002

004

006

008

01

012

014

10 100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115


PR

OB

AB

ILID

AD














1 entonces


480000x 4801000

480000

1000



boleto





120250350240

2500001000008000001250000

4321

4321

PyPPP

xxxx


)()(1

i

N

i

ix XPXXE




04

3

4

1)(

33

xxf

xx

x


SOLUCIOacuteN

64

1

4

3

4

1)3(

64

9

4

3

4

1)2(

64

27

4

3

4

1)1(

64

27

4

3

4

1)0(

033

3

23

2

23

1

303

0

f

fff


x 0 1 2 3 )(xf

6427

6427

649

641


i

N

i

ix XPXXE

Se tiene

7504

3

64

48

64

1)3(9)2(27

64

13

64

92

64

271

64

270

E











)()( 000

ixX

xpxXPxF

OBSERVACIONES





etc En general

F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)





X x1 x2 x3 x4

p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )



ACUMULADA

)()(

ixX

iii xpxXPxF

EJEMPLOS


X 0 1 2 3

p(x) 18 38 38 18



d)

SOLUCIOacuteN


F(x) = 0


F(x) = 1



P(X le 2) = F(2) = 78



38 = 68




x0)




X f(X) F(X)

2 136 136

3 236 336

4 336 636

5 436 1036

6 536 1536

7 636 2136

8 536 2636

9 436 3036

10 336 3336

11 236 3536

12 136 3636







X f(X) F(X)

0 1545 1545

1 2445 3945

2 645 4545




el evento


P( ) = P( ) + P( )


P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)










F(x0) =


2 si X es discreta

si X es continua


3 si X es continua

4 Si X es continua



a

b



de probabilidad

a

b







2 si X es discreta

si X es continua

3 si X es continua

4 Si X es continua


IMPORTANTES













para x = 0 1 2 3









N

n

hace









y su varianza




















bababbaa)ba( iinn

i

n

i

nn

n

nn

n

nn

nn

n

1

1

1

1

10





xnqxp

n

xxP



xnx

xx

xx

n

x

nx

xx

x qpP










1

1 1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1



yxyyxyxyxx)yx(

)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(

543223455

543223455

24381010807202403232

332532103210325232

yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156










p + q = 1



p + q = 05 + 05 = 1




p + q = 025 + 075 = 1



p + q = 000001 + 099999 = 1


































x 0 1 1 1 2 2 2 3







)pnx(b)x(f)xX(P








n

x

CC

=

)xn(x

n

(n se lee factorial




x



independientes es

nxqp)x(f)pnx(b xnxn

x

3210


binomiales



94

34

14

3

x)x(fxb

xx

x

32104

3

4

1

4

13

33


64

1

4

3

4

13

64

9

4

3

4

12

64

27

4

3

4

11

64

27

4

3

4

10

033

3

123

2

213

1

303

0

)(f)(f

)(f)(f


x 0 1 2 3 )x(f

6427)x(f

6427

649

641










CCCC 0 ECCC 1

CCCE 1 ECCE 2

CCEC 1 ECEC 2

CCEE 2 ECEE 3

CECC 1 EECC 2

CECE 2 EECE 3

CEEC 2 EEEC 3

CEEE 3 EEEE 4




P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081


P(X = 2) = 6(00081) = 00486

En general


(09)4-x CIlOs II i





)xn(x

x

44


)(f)X(P

))(()(f)X(P

)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx

x

0486022

04860810010622

9010229010 2424

2

44

OTROS EJEMPLO
























P(X=0)


= (34

)3 = 276

4


4)0

P(X=1)

=

P[(E1 F2F3)(F1E2

F3)

(F1 F2 E3)]

=

812

56

=


4)1

P(X=2)

=

P[(E1E2F3) (E1F2

E3) (F1 E2 E3)]

=

964

=


4)2

P(X=

3)


(E3)

= (14

)3 = 164


4)3




X P(X=x)

0 0422

1 0422

2 0141

3 0016









2646009049022

4

30070022

43210300700704

224

2

4

))((


x)x(f)x(bxnx

x




91630083701

08370107560008101

307030701

10122

43221

3141

4040

)()(C)()(C

)(p)(p)x(P)




c)- P(4 familias) = 2401017004

43070 4044

4 )()(

)()(C









xx

x

)()()x(f)x(p

10

10


es

xx

x x

)()(

xx

x x

)()()rechazar(P)b


)aceptar(P

))()(())()(()aceptar(P


)()()aceptar(P

)(p)(p)aceptar(P

1010

2

10

91110

100010

1010

2

10

950050

6080860914011

40919140

315059906302005010599011

950050950050101

95005012

101










son

npq

npq

np)x(E

2














estudiante




10)()(

1

)(

xbsiasibxasiab

axxXPxF

bxasiab

xf










intervalos











variable







2xe







variables continuas


















































Donde


























forma de campana





















varianza 1























xZ


















Ejemplo



91460820

2534

XZ




Luego


es de 180

EJEMPLOS


B)

z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823


lo tanto

P (z lt ndash135) = 00885


63) D)


z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549



1) P(z gt ndash243)

2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)

4) P(z lt 239)














es de

























n

NX con lo cual a



n

n

961961









4839 XP


9

45

81

45

XXXZ De modo que

XP 803737804839



z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009

00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359

01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753

02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141

03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517

04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879

05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224

06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549

07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852

08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133

09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389

10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621

11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830

12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015

13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177

14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319

15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441

16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545

17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633

18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706

19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767

20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817

21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857

22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890

23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916

24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936

25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952

26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964

27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974

28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981

29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986

30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990

31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993

32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995

33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997

34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998

35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998

36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000






(099702 es decir 997)















XZ


1

5

XZ


21

57

Z




es del 97725







SOLUCIOacuteN


221

4

XZ







Por lo tanto

P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)


P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075






XXX)(

X 575457142212821

221

42821




con renta media












d) SOLUCIOacuteN


b)


415

6875Z

Por lo tanto

P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808




615

6860Z


16) = 00548


esta edad










8767

5887958645166

586451

X

XX)(X







226

5845Z

Por lo tanto



bebida








120491

5577

Z








386

55883055049184200491

558420

X

)(XX))((

X








cociente

vV




vV

Z es una















)X(

N

S

Xt


dado por NX

N

XZ




N

StX

2 Donde


GRADOS DE LIBERTAD






36182

baba











167

gfedcba











grados

de libertad

alfa

01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005

1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578

2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600

3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924

4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610

5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869

6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959

7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408

8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041

9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781

10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587

11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437

12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318

13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221

14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140

15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073

16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015

17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965

18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922

19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883

20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850

21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819

22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792

23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768

24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745

25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725

26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707

27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689

28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674

29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660

30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646

31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633

32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622

33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611

34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601

35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591

36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582

37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574

38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566

39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558

40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551

60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460

120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373

inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
























gamma






001

)(

dondeyxexf

x

BIBLIOGRAFIacuteA


































































BIBLIOWEB











































Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Probabilidades 36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1












1 2 3 4 5 6

1 11 21 31 41 51 61

2 12 22 32 42 52 62

3 13 23 33 43 53 63

4 14 24 34 44 54 64

5 15 25 35 45 55 65

6 16 26 36 46 56 66










x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

)x(f 36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1





2

x


el dominio de f




0

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Sumas de dos dados

Pro

bab

ilid

ad

es












ix






0 le P(X=x) le 1



)(xf P(X=x) = 1







VARIABLES DISCRETAS




















posteriormente



DISCRETAS





fX




)x(Px




14

12

2

11

4

10)(

2

0

x

xxP


xf

2

2)(

y haciendo un


n

f)x( 22




)x(P)x( 2



)()()(2

2

2

1

4

1

4

1

4

11

2

10

4

11

4

112

2

111

4

110 222

X 0 1 2











variable aleatoria






matemaacutetica

)()(1

i

N

i

ix XPXXE

donde



i= 1 2 3 N



)()( xxfXEx

xx o )()(1

i

N

i

ix XPXXE







monedas es entonces

06116

)5)(2()7)(1()4)(0(




06116

52

16

71

16

40














S = CC CS SC SS


P(X = 0) = P(SS) = 4

1

P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4

1

P(X = 2) = P(HH) = 4

1




014

12

2

11

4

10)(

XE









)x(fxx

7

3

3

3

4

para x = 0 1 2 3


35

4)3(

35

18)2(

35

12)1(

35

1)0(

7

3

3

33

4

3

7

3

3

23

4

2

7

3

3

13

4

1

7

3

3

03

4

0

ffff


f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces

7017

12

35

60

35

43

35

182

35

121

35

10)(

XE











8

1

2

1

2

1

2

1)()()()(







14

33

4

15)(

XE


monedas



















efectuara de nuevo

TABLA B



Variable Aleatoria

(1)



(2)




(1)x(3)

100 1 001 100

101 2 002 202

102 3 003 306

103 5 005 515

104 6 006 624

105 7 007 735

106 9 009 954

107 10 010 1070

108 12 012 1296

109 11 011 1199

110 9 009 990

110 8 008 888

112 6 006 672

113 5 005 565

114 4 004 456

115 2 002 230

TOTALES 100 10802






0

002

004

006

008

01

012

014

10 100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115


PR

OB

AB

ILID

AD














1 entonces


480000x 4801000

480000

1000



boleto





120250350240

2500001000008000001250000

4321

4321

PyPPP

xxxx


)()(1

i

N

i

ix XPXXE




04

3

4

1)(

33

xxf

xx

x


SOLUCIOacuteN

64

1

4

3

4

1)3(

64

9

4

3

4

1)2(

64

27

4

3

4

1)1(

64

27

4

3

4

1)0(

033

3

23

2

23

1

303

0

f

fff


x 0 1 2 3 )(xf

6427

6427

649

641


i

N

i

ix XPXXE

Se tiene

7504

3

64

48

64

1)3(9)2(27

64

13

64

92

64

271

64

270

E











)()( 000

ixX

xpxXPxF

OBSERVACIONES





etc En general

F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)





X x1 x2 x3 x4

p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )



ACUMULADA

)()(

ixX

iii xpxXPxF

EJEMPLOS


X 0 1 2 3

p(x) 18 38 38 18



d)

SOLUCIOacuteN


F(x) = 0


F(x) = 1



P(X le 2) = F(2) = 78



38 = 68




x0)




X f(X) F(X)

2 136 136

3 236 336

4 336 636

5 436 1036

6 536 1536

7 636 2136

8 536 2636

9 436 3036

10 336 3336

11 236 3536

12 136 3636







X f(X) F(X)

0 1545 1545

1 2445 3945

2 645 4545




el evento


P( ) = P( ) + P( )


P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)










F(x0) =


2 si X es discreta

si X es continua


3 si X es continua

4 Si X es continua



a

b



de probabilidad

a

b







2 si X es discreta

si X es continua

3 si X es continua

4 Si X es continua


IMPORTANTES













para x = 0 1 2 3









N

n

hace









y su varianza




















bababbaa)ba( iinn

i

n

i

nn

n

nn

n

nn

nn

n

1

1

1

1

10





xnqxp

n

xxP



xnx

xx

xx

n

x

nx

xx

x qpP










1

1 1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1



yxyyxyxyxx)yx(

)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(

543223455

543223455

24381010807202403232

332532103210325232

yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156










p + q = 1



p + q = 05 + 05 = 1




p + q = 025 + 075 = 1



p + q = 000001 + 099999 = 1


































x 0 1 1 1 2 2 2 3







)pnx(b)x(f)xX(P








n

x

CC

=

)xn(x

n

(n se lee factorial




x



independientes es

nxqp)x(f)pnx(b xnxn

x

3210


binomiales



94

34

14

3

x)x(fxb

xx

x

32104

3

4

1

4

13

33


64

1

4

3

4

13

64

9

4

3

4

12

64

27

4

3

4

11

64

27

4

3

4

10

033

3

123

2

213

1

303

0

)(f)(f

)(f)(f


x 0 1 2 3 )x(f

6427)x(f

6427

649

641










CCCC 0 ECCC 1

CCCE 1 ECCE 2

CCEC 1 ECEC 2

CCEE 2 ECEE 3

CECC 1 EECC 2

CECE 2 EECE 3

CEEC 2 EEEC 3

CEEE 3 EEEE 4




P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081


P(X = 2) = 6(00081) = 00486

En general


(09)4-x CIlOs II i





)xn(x

x

44


)(f)X(P

))(()(f)X(P

)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx

x

0486022

04860810010622

9010229010 2424

2

44

OTROS EJEMPLO
























P(X=0)


= (34

)3 = 276

4


4)0

P(X=1)

=

P[(E1 F2F3)(F1E2

F3)

(F1 F2 E3)]

=

812

56

=


4)1

P(X=2)

=

P[(E1E2F3) (E1F2

E3) (F1 E2 E3)]

=

964

=


4)2

P(X=

3)


(E3)

= (14

)3 = 164


4)3




X P(X=x)

0 0422

1 0422

2 0141

3 0016









2646009049022

4

30070022

43210300700704

224

2

4

))((


x)x(f)x(bxnx

x




91630083701

08370107560008101

307030701

10122

43221

3141

4040

)()(C)()(C

)(p)(p)x(P)




c)- P(4 familias) = 2401017004

43070 4044

4 )()(

)()(C









xx

x

)()()x(f)x(p

10

10


es

xx

x x

)()(

xx

x x

)()()rechazar(P)b


)aceptar(P

))()(())()(()aceptar(P


)()()aceptar(P

)(p)(p)aceptar(P

1010

2

10

91110

100010

1010

2

10

950050

6080860914011

40919140

315059906302005010599011

950050950050101

95005012

101










son

npq

npq

np)x(E

2














estudiante




10)()(

1

)(

xbsiasibxasiab

axxXPxF

bxasiab

xf










intervalos











variable







2xe







variables continuas


















































Donde


























forma de campana





















varianza 1























xZ


















Ejemplo



91460820

2534

XZ




Luego


es de 180

EJEMPLOS


B)

z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823


lo tanto

P (z lt ndash135) = 00885


63) D)


z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549



1) P(z gt ndash243)

2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)

4) P(z lt 239)














es de

























n

NX con lo cual a



n

n

961961









4839 XP


9

45

81

45

XXXZ De modo que

XP 803737804839



z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009

00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359

01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753

02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141

03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517

04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879

05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224

06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549

07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852

08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133

09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389

10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621

11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830

12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015

13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177

14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319

15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441

16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545

17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633

18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706

19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767

20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817

21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857

22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890

23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916

24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936

25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952

26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964

27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974

28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981

29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986

30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990

31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993

32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995

33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997

34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998

35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998

36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000






(099702 es decir 997)















XZ


1

5

XZ


21

57

Z




es del 97725







SOLUCIOacuteN


221

4

XZ







Por lo tanto

P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)


P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075






XXX)(

X 575457142212821

221

42821




con renta media












d) SOLUCIOacuteN


b)


415

6875Z

Por lo tanto

P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808




615

6860Z


16) = 00548


esta edad










8767

5887958645166

586451

X

XX)(X







226

5845Z

Por lo tanto



bebida








120491

5577

Z








386

55883055049184200491

558420

X

)(XX))((

X








cociente

vV




vV

Z es una















)X(

N

S

Xt


dado por NX

N

XZ




N

StX

2 Donde


GRADOS DE LIBERTAD






36182

baba











167

gfedcba











grados

de libertad

alfa

01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005

1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578

2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600

3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924

4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610

5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869

6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959

7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408

8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041

9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781

10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587

11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437

12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318

13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221

14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140

15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073

16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015

17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965

18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922

19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883

20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850

21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819

22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792

23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768

24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745

25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725

26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707

27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689

28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674

29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660

30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646

31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633

32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622

33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611

34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601

35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591

36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582

37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574

38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566

39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558

40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551

60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460

120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373

inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
























gamma






001

)(

dondeyxexf

x

BIBLIOGRAFIacuteA


































































BIBLIOWEB









































x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

)x(f 36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1





2

x


el dominio de f




0

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Sumas de dos dados

Pro

bab

ilid

ad

es












ix






0 le P(X=x) le 1



)(xf P(X=x) = 1







VARIABLES DISCRETAS




















posteriormente



DISCRETAS





fX




)x(Px




14

12

2

11

4

10)(

2

0

x

xxP


xf

2

2)(

y haciendo un


n

f)x( 22




)x(P)x( 2



)()()(2

2

2

1

4

1

4

1

4

11

2

10

4

11

4

112

2

111

4

110 222

X 0 1 2











variable aleatoria






matemaacutetica

)()(1

i

N

i

ix XPXXE

donde



i= 1 2 3 N



)()( xxfXEx

xx o )()(1

i

N

i

ix XPXXE







monedas es entonces

06116

)5)(2()7)(1()4)(0(




06116

52

16

71

16

40














S = CC CS SC SS


P(X = 0) = P(SS) = 4

1

P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4

1

P(X = 2) = P(HH) = 4

1




014

12

2

11

4

10)(

XE









)x(fxx

7

3

3

3

4

para x = 0 1 2 3


35

4)3(

35

18)2(

35

12)1(

35

1)0(

7

3

3

33

4

3

7

3

3

23

4

2

7

3

3

13

4

1

7

3

3

03

4

0

ffff


f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces

7017

12

35

60

35

43

35

182

35

121

35

10)(

XE











8

1

2

1

2

1

2

1)()()()(







14

33

4

15)(

XE


monedas



















efectuara de nuevo

TABLA B



Variable Aleatoria

(1)



(2)




(1)x(3)

100 1 001 100

101 2 002 202

102 3 003 306

103 5 005 515

104 6 006 624

105 7 007 735

106 9 009 954

107 10 010 1070

108 12 012 1296

109 11 011 1199

110 9 009 990

110 8 008 888

112 6 006 672

113 5 005 565

114 4 004 456

115 2 002 230

TOTALES 100 10802






0

002

004

006

008

01

012

014

10 100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115


PR

OB

AB

ILID

AD














1 entonces


480000x 4801000

480000

1000



boleto





120250350240

2500001000008000001250000

4321

4321

PyPPP

xxxx


)()(1

i

N

i

ix XPXXE




04

3

4

1)(

33

xxf

xx

x


SOLUCIOacuteN

64

1

4

3

4

1)3(

64

9

4

3

4

1)2(

64

27

4

3

4

1)1(

64

27

4

3

4

1)0(

033

3

23

2

23

1

303

0

f

fff


x 0 1 2 3 )(xf

6427

6427

649

641


i

N

i

ix XPXXE

Se tiene

7504

3

64

48

64

1)3(9)2(27

64

13

64

92

64

271

64

270

E











)()( 000

ixX

xpxXPxF

OBSERVACIONES





etc En general

F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)





X x1 x2 x3 x4

p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )



ACUMULADA

)()(

ixX

iii xpxXPxF

EJEMPLOS


X 0 1 2 3

p(x) 18 38 38 18



d)

SOLUCIOacuteN


F(x) = 0


F(x) = 1



P(X le 2) = F(2) = 78



38 = 68




x0)




X f(X) F(X)

2 136 136

3 236 336

4 336 636

5 436 1036

6 536 1536

7 636 2136

8 536 2636

9 436 3036

10 336 3336

11 236 3536

12 136 3636







X f(X) F(X)

0 1545 1545

1 2445 3945

2 645 4545




el evento


P( ) = P( ) + P( )


P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)










F(x0) =


2 si X es discreta

si X es continua


3 si X es continua

4 Si X es continua



a

b



de probabilidad

a

b







2 si X es discreta

si X es continua

3 si X es continua

4 Si X es continua


IMPORTANTES













para x = 0 1 2 3









N

n

hace









y su varianza




















bababbaa)ba( iinn

i

n

i

nn

n

nn

n

nn

nn

n

1

1

1

1

10





xnqxp

n

xxP



xnx

xx

xx

n

x

nx

xx

x qpP










1

1 1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1



yxyyxyxyxx)yx(

)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(

543223455

543223455

24381010807202403232

332532103210325232

yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156










p + q = 1



p + q = 05 + 05 = 1




p + q = 025 + 075 = 1



p + q = 000001 + 099999 = 1


































x 0 1 1 1 2 2 2 3







)pnx(b)x(f)xX(P








n

x

CC

=

)xn(x

n

(n se lee factorial




x



independientes es

nxqp)x(f)pnx(b xnxn

x

3210


binomiales



94

34

14

3

x)x(fxb

xx

x

32104

3

4

1

4

13

33


64

1

4

3

4

13

64

9

4

3

4

12

64

27

4

3

4

11

64

27

4

3

4

10

033

3

123

2

213

1

303

0

)(f)(f

)(f)(f


x 0 1 2 3 )x(f

6427)x(f

6427

649

641










CCCC 0 ECCC 1

CCCE 1 ECCE 2

CCEC 1 ECEC 2

CCEE 2 ECEE 3

CECC 1 EECC 2

CECE 2 EECE 3

CEEC 2 EEEC 3

CEEE 3 EEEE 4




P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081


P(X = 2) = 6(00081) = 00486

En general


(09)4-x CIlOs II i





)xn(x

x

44


)(f)X(P

))(()(f)X(P

)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx

x

0486022

04860810010622

9010229010 2424

2

44

OTROS EJEMPLO
























P(X=0)


= (34

)3 = 276

4


4)0

P(X=1)

=

P[(E1 F2F3)(F1E2

F3)

(F1 F2 E3)]

=

812

56

=


4)1

P(X=2)

=

P[(E1E2F3) (E1F2

E3) (F1 E2 E3)]

=

964

=


4)2

P(X=

3)


(E3)

= (14

)3 = 164


4)3




X P(X=x)

0 0422

1 0422

2 0141

3 0016









2646009049022

4

30070022

43210300700704

224

2

4

))((


x)x(f)x(bxnx

x




91630083701

08370107560008101

307030701

10122

43221

3141

4040

)()(C)()(C

)(p)(p)x(P)




c)- P(4 familias) = 2401017004

43070 4044

4 )()(

)()(C









xx

x

)()()x(f)x(p

10

10


es

xx

x x

)()(

xx

x x

)()()rechazar(P)b


)aceptar(P

))()(())()(()aceptar(P


)()()aceptar(P

)(p)(p)aceptar(P

1010

2

10

91110

100010

1010

2

10

950050

6080860914011

40919140

315059906302005010599011

950050950050101

95005012

101










son

npq

npq

np)x(E

2














estudiante




10)()(

1

)(

xbsiasibxasiab

axxXPxF

bxasiab

xf










intervalos











variable







2xe







variables continuas


















































Donde


























forma de campana





















varianza 1























xZ


















Ejemplo



91460820

2534

XZ




Luego


es de 180

EJEMPLOS


B)

z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823


lo tanto

P (z lt ndash135) = 00885


63) D)


z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549



1) P(z gt ndash243)

2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)

4) P(z lt 239)














es de

























n

NX con lo cual a



n

n

961961









4839 XP


9

45

81

45

XXXZ De modo que

XP 803737804839



z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009

00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359

01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753

02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141

03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517

04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879

05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224

06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549

07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852

08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133

09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389

10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621

11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830

12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015

13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177

14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319

15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441

16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545

17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633

18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706

19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767

20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817

21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857

22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890

23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916

24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936

25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952

26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964

27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974

28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981

29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986

30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990

31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993

32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995

33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997

34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998

35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998

36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000






(099702 es decir 997)















XZ


1

5

XZ


21

57

Z




es del 97725







SOLUCIOacuteN


221

4

XZ







Por lo tanto

P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)


P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075






XXX)(

X 575457142212821

221

42821




con renta media












d) SOLUCIOacuteN


b)


415

6875Z

Por lo tanto

P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808




615

6860Z


16) = 00548


esta edad










8767

5887958645166

586451

X

XX)(X







226

5845Z

Por lo tanto



bebida








120491

5577

Z








386

55883055049184200491

558420

X

)(XX))((

X








cociente

vV




vV

Z es una















)X(

N

S

Xt


dado por NX

N

XZ




N

StX

2 Donde


GRADOS DE LIBERTAD






36182

baba











167

gfedcba











grados

de libertad

alfa

01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005

1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578

2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600

3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924

4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610

5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869

6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959

7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408

8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041

9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781

10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587

11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437

12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318

13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221

14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140

15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073

16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015

17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965

18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922

19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883

20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850

21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819

22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792

23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768

24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745

25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725

26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707

27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689

28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674

29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660

30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646

31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633

32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622

33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611

34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601

35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591

36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582

37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574

38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566

39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558

40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551

60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460

120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373

inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
























gamma






001

)(

dondeyxexf

x

BIBLIOGRAFIacuteA


































































BIBLIOWEB


































0

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Sumas de dos dados

Pro

bab

ilid

ad

es












ix






0 le P(X=x) le 1



)(xf P(X=x) = 1







VARIABLES DISCRETAS




















posteriormente



DISCRETAS





fX




)x(Px




14

12

2

11

4

10)(

2

0

x

xxP


xf

2

2)(

y haciendo un


n

f)x( 22




)x(P)x( 2



)()()(2

2

2

1

4

1

4

1

4

11

2

10

4

11

4

112

2

111

4

110 222

X 0 1 2











variable aleatoria






matemaacutetica

)()(1

i

N

i

ix XPXXE

donde



i= 1 2 3 N



)()( xxfXEx

xx o )()(1

i

N

i

ix XPXXE







monedas es entonces

06116

)5)(2()7)(1()4)(0(




06116

52

16

71

16

40














S = CC CS SC SS


P(X = 0) = P(SS) = 4

1

P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4

1

P(X = 2) = P(HH) = 4

1




014

12

2

11

4

10)(

XE









)x(fxx

7

3

3

3

4

para x = 0 1 2 3


35

4)3(

35

18)2(

35

12)1(

35

1)0(

7

3

3

33

4

3

7

3

3

23

4

2

7

3

3

13

4

1

7

3

3

03

4

0

ffff


f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces

7017

12

35

60

35

43

35

182

35

121

35

10)(

XE











8

1

2

1

2

1

2

1)()()()(







14

33

4

15)(

XE


monedas



















efectuara de nuevo

TABLA B



Variable Aleatoria

(1)



(2)




(1)x(3)

100 1 001 100

101 2 002 202

102 3 003 306

103 5 005 515

104 6 006 624

105 7 007 735

106 9 009 954

107 10 010 1070

108 12 012 1296

109 11 011 1199

110 9 009 990

110 8 008 888

112 6 006 672

113 5 005 565

114 4 004 456

115 2 002 230

TOTALES 100 10802






0

002

004

006

008

01

012

014

10 100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115


PR

OB

AB

ILID

AD














1 entonces


480000x 4801000

480000

1000



boleto





120250350240

2500001000008000001250000

4321

4321

PyPPP

xxxx


)()(1

i

N

i

ix XPXXE




04

3

4

1)(

33

xxf

xx

x


SOLUCIOacuteN

64

1

4

3

4

1)3(

64

9

4

3

4

1)2(

64

27

4

3

4

1)1(

64

27

4

3

4

1)0(

033

3

23

2

23

1

303

0

f

fff


x 0 1 2 3 )(xf

6427

6427

649

641


i

N

i

ix XPXXE

Se tiene

7504

3

64

48

64

1)3(9)2(27

64

13

64

92

64

271

64

270

E











)()( 000

ixX

xpxXPxF

OBSERVACIONES





etc En general

F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)





X x1 x2 x3 x4

p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )



ACUMULADA

)()(

ixX

iii xpxXPxF

EJEMPLOS


X 0 1 2 3

p(x) 18 38 38 18



d)

SOLUCIOacuteN


F(x) = 0


F(x) = 1



P(X le 2) = F(2) = 78



38 = 68




x0)




X f(X) F(X)

2 136 136

3 236 336

4 336 636

5 436 1036

6 536 1536

7 636 2136

8 536 2636

9 436 3036

10 336 3336

11 236 3536

12 136 3636







X f(X) F(X)

0 1545 1545

1 2445 3945

2 645 4545




el evento


P( ) = P( ) + P( )


P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)










F(x0) =


2 si X es discreta

si X es continua


3 si X es continua

4 Si X es continua



a

b



de probabilidad

a

b







2 si X es discreta

si X es continua

3 si X es continua

4 Si X es continua


IMPORTANTES













para x = 0 1 2 3









N

n

hace









y su varianza




















bababbaa)ba( iinn

i

n

i

nn

n

nn

n

nn

nn

n

1

1

1

1

10





xnqxp

n

xxP



xnx

xx

xx

n

x

nx

xx

x qpP










1

1 1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1



yxyyxyxyxx)yx(

)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(

543223455

543223455

24381010807202403232

332532103210325232

yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156










p + q = 1



p + q = 05 + 05 = 1




p + q = 025 + 075 = 1



p + q = 000001 + 099999 = 1


































x 0 1 1 1 2 2 2 3







)pnx(b)x(f)xX(P








n

x

CC

=

)xn(x

n

(n se lee factorial




x



independientes es

nxqp)x(f)pnx(b xnxn

x

3210


binomiales



94

34

14

3

x)x(fxb

xx

x

32104

3

4

1

4

13

33


64

1

4

3

4

13

64

9

4

3

4

12

64

27

4

3

4

11

64

27

4

3

4

10

033

3

123

2

213

1

303

0

)(f)(f

)(f)(f


x 0 1 2 3 )x(f

6427)x(f

6427

649

641










CCCC 0 ECCC 1

CCCE 1 ECCE 2

CCEC 1 ECEC 2

CCEE 2 ECEE 3

CECC 1 EECC 2

CECE 2 EECE 3

CEEC 2 EEEC 3

CEEE 3 EEEE 4




P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081


P(X = 2) = 6(00081) = 00486

En general


(09)4-x CIlOs II i





)xn(x

x

44


)(f)X(P

))(()(f)X(P

)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx

x

0486022

04860810010622

9010229010 2424

2

44

OTROS EJEMPLO
























P(X=0)


= (34

)3 = 276

4


4)0

P(X=1)

=

P[(E1 F2F3)(F1E2

F3)

(F1 F2 E3)]

=

812

56

=


4)1

P(X=2)

=

P[(E1E2F3) (E1F2

E3) (F1 E2 E3)]

=

964

=


4)2

P(X=

3)


(E3)

= (14

)3 = 164


4)3




X P(X=x)

0 0422

1 0422

2 0141

3 0016









2646009049022

4

30070022

43210300700704

224

2

4

))((


x)x(f)x(bxnx

x




91630083701

08370107560008101

307030701

10122

43221

3141

4040

)()(C)()(C

)(p)(p)x(P)




c)- P(4 familias) = 2401017004

43070 4044

4 )()(

)()(C









xx

x

)()()x(f)x(p

10

10


es

xx

x x

)()(

xx

x x

)()()rechazar(P)b


)aceptar(P

))()(())()(()aceptar(P


)()()aceptar(P

)(p)(p)aceptar(P

1010

2

10

91110

100010

1010

2

10

950050

6080860914011

40919140

315059906302005010599011

950050950050101

95005012

101










son

npq

npq

np)x(E

2














estudiante




10)()(

1

)(

xbsiasibxasiab

axxXPxF

bxasiab

xf










intervalos











variable







2xe







variables continuas


















































Donde


























forma de campana





















varianza 1























xZ


















Ejemplo



91460820

2534

XZ




Luego


es de 180

EJEMPLOS


B)

z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823


lo tanto

P (z lt ndash135) = 00885


63) D)


z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549



1) P(z gt ndash243)

2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)

4) P(z lt 239)














es de

























n

NX con lo cual a



n

n

961961









4839 XP


9

45

81

45

XXXZ De modo que

XP 803737804839



z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009

00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359

01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753

02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141

03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517

04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879

05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224

06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549

07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852

08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133

09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389

10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621

11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830

12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015

13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177

14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319

15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441

16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545

17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633

18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706

19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767

20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817

21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857

22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890

23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916

24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936

25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952

26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964

27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974

28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981

29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986

30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990

31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993

32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995

33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997

34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998

35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998

36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000






(099702 es decir 997)















XZ


1

5

XZ


21

57

Z




es del 97725







SOLUCIOacuteN


221

4

XZ







Por lo tanto

P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)


P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075






XXX)(

X 575457142212821

221

42821




con renta media












d) SOLUCIOacuteN


b)


415

6875Z

Por lo tanto

P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808




615

6860Z


16) = 00548


esta edad










8767

5887958645166

586451

X

XX)(X







226

5845Z

Por lo tanto



bebida








120491

5577

Z








386

55883055049184200491

558420

X

)(XX))((

X








cociente

vV




vV

Z es una















)X(

N

S

Xt


dado por NX

N

XZ




N

StX

2 Donde


GRADOS DE LIBERTAD






36182

baba











167

gfedcba











grados

de libertad

alfa

01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005

1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578

2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600

3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924

4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610

5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869

6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959

7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408

8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041

9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781

10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587

11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437

12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318

13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221

14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140

15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073

16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015

17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965

18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922

19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883

20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850

21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819

22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792

23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768

24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745

25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725

26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707

27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689

28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674

29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660

30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646

31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633

32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622

33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611

34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601

35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591

36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582

37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574

38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566

39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558

40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551

60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460

120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373

inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
























gamma






001

)(

dondeyxexf

x

BIBLIOGRAFIacuteA


































































BIBLIOWEB
































)(xf P(X=x) = 1







VARIABLES DISCRETAS




















posteriormente



DISCRETAS





fX




)x(Px




14

12

2

11

4

10)(

2

0

x

xxP


xf

2

2)(

y haciendo un


n

f)x( 22




)x(P)x( 2



)()()(2

2

2

1

4

1

4

1

4

11

2

10

4

11

4

112

2

111

4

110 222

X 0 1 2











variable aleatoria






matemaacutetica

)()(1

i

N

i

ix XPXXE

donde



i= 1 2 3 N



)()( xxfXEx

xx o )()(1

i

N

i

ix XPXXE







monedas es entonces

06116

)5)(2()7)(1()4)(0(




06116

52

16

71

16

40














S = CC CS SC SS


P(X = 0) = P(SS) = 4

1

P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4

1

P(X = 2) = P(HH) = 4

1




014

12

2

11

4

10)(

XE









)x(fxx

7

3

3

3

4

para x = 0 1 2 3


35

4)3(

35

18)2(

35

12)1(

35

1)0(

7

3

3

33

4

3

7

3

3

23

4

2

7

3

3

13

4

1

7

3

3

03

4

0

ffff


f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces

7017

12

35

60

35

43

35

182

35

121

35

10)(

XE











8

1

2

1

2

1

2

1)()()()(







14

33

4

15)(

XE


monedas



















efectuara de nuevo

TABLA B



Variable Aleatoria

(1)



(2)




(1)x(3)

100 1 001 100

101 2 002 202

102 3 003 306

103 5 005 515

104 6 006 624

105 7 007 735

106 9 009 954

107 10 010 1070

108 12 012 1296

109 11 011 1199

110 9 009 990

110 8 008 888

112 6 006 672

113 5 005 565

114 4 004 456

115 2 002 230

TOTALES 100 10802






0

002

004

006

008

01

012

014

10 100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115


PR

OB

AB

ILID

AD














1 entonces


480000x 4801000

480000

1000



boleto





120250350240

2500001000008000001250000

4321

4321

PyPPP

xxxx


)()(1

i

N

i

ix XPXXE




04

3

4

1)(

33

xxf

xx

x


SOLUCIOacuteN

64

1

4

3

4

1)3(

64

9

4

3

4

1)2(

64

27

4

3

4

1)1(

64

27

4

3

4

1)0(

033

3

23

2

23

1

303

0

f

fff


x 0 1 2 3 )(xf

6427

6427

649

641


i

N

i

ix XPXXE

Se tiene

7504

3

64

48

64

1)3(9)2(27

64

13

64

92

64

271

64

270

E











)()( 000

ixX

xpxXPxF

OBSERVACIONES





etc En general

F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)





X x1 x2 x3 x4

p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )



ACUMULADA

)()(

ixX

iii xpxXPxF

EJEMPLOS


X 0 1 2 3

p(x) 18 38 38 18



d)

SOLUCIOacuteN


F(x) = 0


F(x) = 1



P(X le 2) = F(2) = 78



38 = 68




x0)




X f(X) F(X)

2 136 136

3 236 336

4 336 636

5 436 1036

6 536 1536

7 636 2136

8 536 2636

9 436 3036

10 336 3336

11 236 3536

12 136 3636







X f(X) F(X)

0 1545 1545

1 2445 3945

2 645 4545




el evento


P( ) = P( ) + P( )


P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)










F(x0) =


2 si X es discreta

si X es continua


3 si X es continua

4 Si X es continua



a

b



de probabilidad

a

b







2 si X es discreta

si X es continua

3 si X es continua

4 Si X es continua


IMPORTANTES













para x = 0 1 2 3









N

n

hace









y su varianza




















bababbaa)ba( iinn

i

n

i

nn

n

nn

n

nn

nn

n

1

1

1

1

10





xnqxp

n

xxP



xnx

xx

xx

n

x

nx

xx

x qpP










1

1 1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1



yxyyxyxyxx)yx(

)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(

543223455

543223455

24381010807202403232

332532103210325232

yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156










p + q = 1



p + q = 05 + 05 = 1




p + q = 025 + 075 = 1



p + q = 000001 + 099999 = 1


































x 0 1 1 1 2 2 2 3







)pnx(b)x(f)xX(P








n

x

CC

=

)xn(x

n

(n se lee factorial




x



independientes es

nxqp)x(f)pnx(b xnxn

x

3210


binomiales



94

34

14

3

x)x(fxb

xx

x

32104

3

4

1

4

13

33


64

1

4

3

4

13

64

9

4

3

4

12

64

27

4

3

4

11

64

27

4

3

4

10

033

3

123

2

213

1

303

0

)(f)(f

)(f)(f


x 0 1 2 3 )x(f

6427)x(f

6427

649

641










CCCC 0 ECCC 1

CCCE 1 ECCE 2

CCEC 1 ECEC 2

CCEE 2 ECEE 3

CECC 1 EECC 2

CECE 2 EECE 3

CEEC 2 EEEC 3

CEEE 3 EEEE 4




P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081


P(X = 2) = 6(00081) = 00486

En general


(09)4-x CIlOs II i





)xn(x

x

44


)(f)X(P

))(()(f)X(P

)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx

x

0486022

04860810010622

9010229010 2424

2

44

OTROS EJEMPLO
























P(X=0)


= (34

)3 = 276

4


4)0

P(X=1)

=

P[(E1 F2F3)(F1E2

F3)

(F1 F2 E3)]

=

812

56

=


4)1

P(X=2)

=

P[(E1E2F3) (E1F2

E3) (F1 E2 E3)]

=

964

=


4)2

P(X=

3)


(E3)

= (14

)3 = 164


4)3




X P(X=x)

0 0422

1 0422

2 0141

3 0016









2646009049022

4

30070022

43210300700704

224

2

4

))((


x)x(f)x(bxnx

x




91630083701

08370107560008101

307030701

10122

43221

3141

4040

)()(C)()(C

)(p)(p)x(P)




c)- P(4 familias) = 2401017004

43070 4044

4 )()(

)()(C









xx

x

)()()x(f)x(p

10

10


es

xx

x x

)()(

xx

x x

)()()rechazar(P)b


)aceptar(P

))()(())()(()aceptar(P


)()()aceptar(P

)(p)(p)aceptar(P

1010

2

10

91110

100010

1010

2

10

950050

6080860914011

40919140

315059906302005010599011

950050950050101

95005012

101










son

npq

npq

np)x(E

2














estudiante




10)()(

1

)(

xbsiasibxasiab

axxXPxF

bxasiab

xf










intervalos











variable







2xe







variables continuas


















































Donde


























forma de campana





















varianza 1























xZ


















Ejemplo



91460820

2534

XZ




Luego


es de 180

EJEMPLOS


B)

z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823


lo tanto

P (z lt ndash135) = 00885


63) D)


z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549



1) P(z gt ndash243)

2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)

4) P(z lt 239)














es de

























n

NX con lo cual a



n

n

961961









4839 XP


9

45

81

45

XXXZ De modo que

XP 803737804839



z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009

00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359

01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753

02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141

03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517

04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879

05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224

06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549

07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852

08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133

09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389

10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621

11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830

12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015

13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177

14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319

15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441

16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545

17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633

18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706

19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767

20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817

21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857

22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890

23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916

24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936

25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952

26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964

27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974

28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981

29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986

30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990

31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993

32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995

33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997

34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998

35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998

36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000






(099702 es decir 997)















XZ


1

5

XZ


21

57

Z




es del 97725







SOLUCIOacuteN


221

4

XZ







Por lo tanto

P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)


P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075






XXX)(

X 575457142212821

221

42821




con renta media












d) SOLUCIOacuteN


b)


415

6875Z

Por lo tanto

P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808




615

6860Z


16) = 00548


esta edad










8767

5887958645166

586451

X

XX)(X







226

5845Z

Por lo tanto



bebida








120491

5577

Z








386

55883055049184200491

558420

X

)(XX))((

X








cociente

vV




vV

Z es una















)X(

N

S

Xt


dado por NX

N

XZ




N

StX

2 Donde


GRADOS DE LIBERTAD






36182

baba











167

gfedcba











grados

de libertad

alfa

01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005

1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578

2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600

3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924

4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610

5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869

6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959

7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408

8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041

9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781

10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587

11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437

12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318

13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221

14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140

15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073

16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015

17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965

18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922

19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883

20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850

21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819

22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792

23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768

24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745

25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725

26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707

27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689

28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674

29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660

30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646

31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633

32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622

33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611

34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601

35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591

36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582

37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574

38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566

39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558

40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551

60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460

120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373

inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
























gamma






001

)(

dondeyxexf

x

BIBLIOGRAFIacuteA


































































BIBLIOWEB


































DISCRETAS





fX




)x(Px




14

12

2

11

4

10)(

2

0

x

xxP


xf

2

2)(

y haciendo un


n

f)x( 22




)x(P)x( 2



)()()(2

2

2

1

4

1

4

1

4

11

2

10

4

11

4

112

2

111

4

110 222

X 0 1 2











variable aleatoria






matemaacutetica

)()(1

i

N

i

ix XPXXE

donde



i= 1 2 3 N



)()( xxfXEx

xx o )()(1

i

N

i

ix XPXXE







monedas es entonces

06116

)5)(2()7)(1()4)(0(




06116

52

16

71

16

40














S = CC CS SC SS


P(X = 0) = P(SS) = 4

1

P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4

1

P(X = 2) = P(HH) = 4

1




014

12

2

11

4

10)(

XE









)x(fxx

7

3

3

3

4

para x = 0 1 2 3


35

4)3(

35

18)2(

35

12)1(

35

1)0(

7

3

3

33

4

3

7

3

3

23

4

2

7

3

3

13

4

1

7

3

3

03

4

0

ffff


f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces

7017

12

35

60

35

43

35

182

35

121

35

10)(

XE











8

1

2

1

2

1

2

1)()()()(







14

33

4

15)(

XE


monedas



















efectuara de nuevo

TABLA B



Variable Aleatoria

(1)



(2)




(1)x(3)

100 1 001 100

101 2 002 202

102 3 003 306

103 5 005 515

104 6 006 624

105 7 007 735

106 9 009 954

107 10 010 1070

108 12 012 1296

109 11 011 1199

110 9 009 990

110 8 008 888

112 6 006 672

113 5 005 565

114 4 004 456

115 2 002 230

TOTALES 100 10802






0

002

004

006

008

01

012

014

10 100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115


PR

OB

AB

ILID

AD














1 entonces


480000x 4801000

480000

1000



boleto





120250350240

2500001000008000001250000

4321

4321

PyPPP

xxxx


)()(1

i

N

i

ix XPXXE




04

3

4

1)(

33

xxf

xx

x


SOLUCIOacuteN

64

1

4

3

4

1)3(

64

9

4

3

4

1)2(

64

27

4

3

4

1)1(

64

27

4

3

4

1)0(

033

3

23

2

23

1

303

0

f

fff


x 0 1 2 3 )(xf

6427

6427

649

641


i

N

i

ix XPXXE

Se tiene

7504

3

64

48

64

1)3(9)2(27

64

13

64

92

64

271

64

270

E











)()( 000

ixX

xpxXPxF

OBSERVACIONES





etc En general

F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)





X x1 x2 x3 x4

p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )



ACUMULADA

)()(

ixX

iii xpxXPxF

EJEMPLOS


X 0 1 2 3

p(x) 18 38 38 18



d)

SOLUCIOacuteN


F(x) = 0


F(x) = 1



P(X le 2) = F(2) = 78



38 = 68




x0)




X f(X) F(X)

2 136 136

3 236 336

4 336 636

5 436 1036

6 536 1536

7 636 2136

8 536 2636

9 436 3036

10 336 3336

11 236 3536

12 136 3636







X f(X) F(X)

0 1545 1545

1 2445 3945

2 645 4545




el evento


P( ) = P( ) + P( )


P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)










F(x0) =


2 si X es discreta

si X es continua


3 si X es continua

4 Si X es continua



a

b



de probabilidad

a

b







2 si X es discreta

si X es continua

3 si X es continua

4 Si X es continua


IMPORTANTES













para x = 0 1 2 3









N

n

hace









y su varianza




















bababbaa)ba( iinn

i

n

i

nn

n

nn

n

nn

nn

n

1

1

1

1

10





xnqxp

n

xxP



xnx

xx

xx

n

x

nx

xx

x qpP










1

1 1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1



yxyyxyxyxx)yx(

)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(

543223455

543223455

24381010807202403232

332532103210325232

yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156










p + q = 1



p + q = 05 + 05 = 1




p + q = 025 + 075 = 1



p + q = 000001 + 099999 = 1


































x 0 1 1 1 2 2 2 3







)pnx(b)x(f)xX(P








n

x

CC

=

)xn(x

n

(n se lee factorial




x



independientes es

nxqp)x(f)pnx(b xnxn

x

3210


binomiales



94

34

14

3

x)x(fxb

xx

x

32104

3

4

1

4

13

33


64

1

4

3

4

13

64

9

4

3

4

12

64

27

4

3

4

11

64

27

4

3

4

10

033

3

123

2

213

1

303

0

)(f)(f

)(f)(f


x 0 1 2 3 )x(f

6427)x(f

6427

649

641










CCCC 0 ECCC 1

CCCE 1 ECCE 2

CCEC 1 ECEC 2

CCEE 2 ECEE 3

CECC 1 EECC 2

CECE 2 EECE 3

CEEC 2 EEEC 3

CEEE 3 EEEE 4




P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081


P(X = 2) = 6(00081) = 00486

En general


(09)4-x CIlOs II i





)xn(x

x

44


)(f)X(P

))(()(f)X(P

)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx

x

0486022

04860810010622

9010229010 2424

2

44

OTROS EJEMPLO
























P(X=0)


= (34

)3 = 276

4


4)0

P(X=1)

=

P[(E1 F2F3)(F1E2

F3)

(F1 F2 E3)]

=

812

56

=


4)1

P(X=2)

=

P[(E1E2F3) (E1F2

E3) (F1 E2 E3)]

=

964

=


4)2

P(X=

3)


(E3)

= (14

)3 = 164


4)3




X P(X=x)

0 0422

1 0422

2 0141

3 0016









2646009049022

4

30070022

43210300700704

224

2

4

))((


x)x(f)x(bxnx

x




91630083701

08370107560008101

307030701

10122

43221

3141

4040

)()(C)()(C

)(p)(p)x(P)




c)- P(4 familias) = 2401017004

43070 4044

4 )()(

)()(C









xx

x

)()()x(f)x(p

10

10


es

xx

x x

)()(

xx

x x

)()()rechazar(P)b


)aceptar(P

))()(())()(()aceptar(P


)()()aceptar(P

)(p)(p)aceptar(P

1010

2

10

91110

100010

1010

2

10

950050

6080860914011

40919140

315059906302005010599011

950050950050101

95005012

101










son

npq

npq

np)x(E

2














estudiante




10)()(

1

)(

xbsiasibxasiab

axxXPxF

bxasiab

xf










intervalos











variable







2xe







variables continuas


















































Donde


























forma de campana





















varianza 1























xZ


















Ejemplo



91460820

2534

XZ




Luego


es de 180

EJEMPLOS


B)

z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823


lo tanto

P (z lt ndash135) = 00885


63) D)


z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549



1) P(z gt ndash243)

2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)

4) P(z lt 239)














es de

























n

NX con lo cual a



n

n

961961









4839 XP


9

45

81

45

XXXZ De modo que

XP 803737804839



z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009

00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359

01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753

02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141

03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517

04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879

05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224

06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549

07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852

08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133

09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389

10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621

11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830

12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015

13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177

14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319

15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441

16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545

17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633

18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706

19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767

20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817

21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857

22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890

23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916

24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936

25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952

26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964

27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974

28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981

29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986

30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990

31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993

32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995

33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997

34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998

35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998

36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000






(099702 es decir 997)















XZ


1

5

XZ


21

57

Z




es del 97725







SOLUCIOacuteN


221

4

XZ







Por lo tanto

P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)


P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075






XXX)(

X 575457142212821

221

42821




con renta media












d) SOLUCIOacuteN


b)


415

6875Z

Por lo tanto

P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808




615

6860Z


16) = 00548


esta edad










8767

5887958645166

586451

X

XX)(X







226

5845Z

Por lo tanto



bebida








120491

5577

Z








386

55883055049184200491

558420

X

)(XX))((

X








cociente

vV




vV

Z es una















)X(

N

S

Xt


dado por NX

N

XZ




N

StX

2 Donde


GRADOS DE LIBERTAD






36182

baba











167

gfedcba











grados

de libertad

alfa

01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005

1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578

2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600

3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924

4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610

5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869

6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959

7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408

8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041

9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781

10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587

11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437

12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318

13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221

14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140

15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073

16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015

17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965

18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922

19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883

20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850

21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819

22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792

23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768

24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745

25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725

26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707

27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689

28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674

29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660

30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646

31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633

32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622

33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611

34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601

35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591

36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582

37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574

38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566

39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558

40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551

60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460

120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373

inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
























gamma






001

)(

dondeyxexf

x

BIBLIOGRAFIacuteA


































































BIBLIOWEB









































variable aleatoria






matemaacutetica

)()(1

i

N

i

ix XPXXE

donde



i= 1 2 3 N



)()( xxfXEx

xx o )()(1

i

N

i

ix XPXXE







monedas es entonces

06116

)5)(2()7)(1()4)(0(




06116

52

16

71

16

40














S = CC CS SC SS


P(X = 0) = P(SS) = 4

1

P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4

1

P(X = 2) = P(HH) = 4

1




014

12

2

11

4

10)(

XE









)x(fxx

7

3

3

3

4

para x = 0 1 2 3


35

4)3(

35

18)2(

35

12)1(

35

1)0(

7

3

3

33

4

3

7

3

3

23

4

2

7

3

3

13

4

1

7

3

3

03

4

0

ffff


f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces

7017

12

35

60

35

43

35

182

35

121

35

10)(

XE











8

1

2

1

2

1

2

1)()()()(







14

33

4

15)(

XE


monedas



















efectuara de nuevo

TABLA B



Variable Aleatoria

(1)



(2)




(1)x(3)

100 1 001 100

101 2 002 202

102 3 003 306

103 5 005 515

104 6 006 624

105 7 007 735

106 9 009 954

107 10 010 1070

108 12 012 1296

109 11 011 1199

110 9 009 990

110 8 008 888

112 6 006 672

113 5 005 565

114 4 004 456

115 2 002 230

TOTALES 100 10802






0

002

004

006

008

01

012

014

10 100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115


PR

OB

AB

ILID

AD














1 entonces


480000x 4801000

480000

1000



boleto





120250350240

2500001000008000001250000

4321

4321

PyPPP

xxxx


)()(1

i

N

i

ix XPXXE




04

3

4

1)(

33

xxf

xx

x


SOLUCIOacuteN

64

1

4

3

4

1)3(

64

9

4

3

4

1)2(

64

27

4

3

4

1)1(

64

27

4

3

4

1)0(

033

3

23

2

23

1

303

0

f

fff


x 0 1 2 3 )(xf

6427

6427

649

641


i

N

i

ix XPXXE

Se tiene

7504

3

64

48

64

1)3(9)2(27

64

13

64

92

64

271

64

270

E











)()( 000

ixX

xpxXPxF

OBSERVACIONES





etc En general

F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)





X x1 x2 x3 x4

p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )



ACUMULADA

)()(

ixX

iii xpxXPxF

EJEMPLOS


X 0 1 2 3

p(x) 18 38 38 18



d)

SOLUCIOacuteN


F(x) = 0


F(x) = 1



P(X le 2) = F(2) = 78



38 = 68




x0)




X f(X) F(X)

2 136 136

3 236 336

4 336 636

5 436 1036

6 536 1536

7 636 2136

8 536 2636

9 436 3036

10 336 3336

11 236 3536

12 136 3636







X f(X) F(X)

0 1545 1545

1 2445 3945

2 645 4545




el evento


P( ) = P( ) + P( )


P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)










F(x0) =


2 si X es discreta

si X es continua


3 si X es continua

4 Si X es continua



a

b



de probabilidad

a

b







2 si X es discreta

si X es continua

3 si X es continua

4 Si X es continua


IMPORTANTES













para x = 0 1 2 3









N

n

hace









y su varianza




















bababbaa)ba( iinn

i

n

i

nn

n

nn

n

nn

nn

n

1

1

1

1

10





xnqxp

n

xxP



xnx

xx

xx

n

x

nx

xx

x qpP










1

1 1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1



yxyyxyxyxx)yx(

)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(

543223455

543223455

24381010807202403232

332532103210325232

yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156










p + q = 1



p + q = 05 + 05 = 1




p + q = 025 + 075 = 1



p + q = 000001 + 099999 = 1


































x 0 1 1 1 2 2 2 3







)pnx(b)x(f)xX(P








n

x

CC

=

)xn(x

n

(n se lee factorial




x



independientes es

nxqp)x(f)pnx(b xnxn

x

3210


binomiales



94

34

14

3

x)x(fxb

xx

x

32104

3

4

1

4

13

33


64

1

4

3

4

13

64

9

4

3

4

12

64

27

4

3

4

11

64

27

4

3

4

10

033

3

123

2

213

1

303

0

)(f)(f

)(f)(f


x 0 1 2 3 )x(f

6427)x(f

6427

649

641










CCCC 0 ECCC 1

CCCE 1 ECCE 2

CCEC 1 ECEC 2

CCEE 2 ECEE 3

CECC 1 EECC 2

CECE 2 EECE 3

CEEC 2 EEEC 3

CEEE 3 EEEE 4




P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081


P(X = 2) = 6(00081) = 00486

En general


(09)4-x CIlOs II i





)xn(x

x

44


)(f)X(P

))(()(f)X(P

)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx

x

0486022

04860810010622

9010229010 2424

2

44

OTROS EJEMPLO
























P(X=0)


= (34

)3 = 276

4


4)0

P(X=1)

=

P[(E1 F2F3)(F1E2

F3)

(F1 F2 E3)]

=

812

56

=


4)1

P(X=2)

=

P[(E1E2F3) (E1F2

E3) (F1 E2 E3)]

=

964

=


4)2

P(X=

3)


(E3)

= (14

)3 = 164


4)3




X P(X=x)

0 0422

1 0422

2 0141

3 0016









2646009049022

4

30070022

43210300700704

224

2

4

))((


x)x(f)x(bxnx

x




91630083701

08370107560008101

307030701

10122

43221

3141

4040

)()(C)()(C

)(p)(p)x(P)




c)- P(4 familias) = 2401017004

43070 4044

4 )()(

)()(C









xx

x

)()()x(f)x(p

10

10


es

xx

x x

)()(

xx

x x

)()()rechazar(P)b


)aceptar(P

))()(())()(()aceptar(P


)()()aceptar(P

)(p)(p)aceptar(P

1010

2

10

91110

100010

1010

2

10

950050

6080860914011

40919140

315059906302005010599011

950050950050101

95005012

101










son

npq

npq

np)x(E

2














estudiante




10)()(

1

)(

xbsiasibxasiab

axxXPxF

bxasiab

xf










intervalos











variable







2xe







variables continuas


















































Donde


























forma de campana





















varianza 1























xZ


















Ejemplo



91460820

2534

XZ




Luego


es de 180

EJEMPLOS


B)

z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823


lo tanto

P (z lt ndash135) = 00885


63) D)


z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549



1) P(z gt ndash243)

2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)

4) P(z lt 239)














es de

























n

NX con lo cual a



n

n

961961









4839 XP


9

45

81

45

XXXZ De modo que

XP 803737804839



z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009

00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359

01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753

02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141

03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517

04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879

05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224

06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549

07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852

08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133

09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389

10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621

11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830

12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015

13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177

14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319

15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441

16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545

17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633

18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706

19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767

20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817

21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857

22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890

23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916

24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936

25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952

26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964

27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974

28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981

29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986

30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990

31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993

32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995

33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997

34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998

35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998

36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000






(099702 es decir 997)















XZ


1

5

XZ


21

57

Z




es del 97725







SOLUCIOacuteN


221

4

XZ







Por lo tanto

P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)


P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075






XXX)(

X 575457142212821

221

42821




con renta media












d) SOLUCIOacuteN


b)


415

6875Z

Por lo tanto

P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808




615

6860Z


16) = 00548


esta edad










8767

5887958645166

586451

X

XX)(X







226

5845Z

Por lo tanto



bebida








120491

5577

Z








386

55883055049184200491

558420

X

)(XX))((

X








cociente

vV




vV

Z es una















)X(

N

S

Xt


dado por NX

N

XZ




N

StX

2 Donde


GRADOS DE LIBERTAD






36182

baba











167

gfedcba











grados

de libertad

alfa

01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005

1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578

2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600

3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924

4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610

5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869

6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959

7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408

8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041

9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781

10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587

11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437

12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318

13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221

14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140

15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073

16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015

17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965

18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922

19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883

20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850

21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819

22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792

23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768

24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745

25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725

26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707

27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689

28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674

29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660

30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646

31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633

32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622

33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611

34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601

35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591

36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582

37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574

38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566

39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558

40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551

60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460

120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373

inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
























gamma






001

)(

dondeyxexf

x

BIBLIOGRAFIacuteA


































































BIBLIOWEB



































monedas es entonces

06116

)5)(2()7)(1()4)(0(




06116

52

16

71

16

40














S = CC CS SC SS


P(X = 0) = P(SS) = 4

1

P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4

1

P(X = 2) = P(HH) = 4

1




014

12

2

11

4

10)(

XE









)x(fxx

7

3

3

3

4

para x = 0 1 2 3


35

4)3(

35

18)2(

35

12)1(

35

1)0(

7

3

3

33

4

3

7

3

3

23

4

2

7

3

3

13

4

1

7

3

3

03

4

0

ffff


f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces

7017

12

35

60

35

43

35

182

35

121

35

10)(

XE











8

1

2

1

2

1

2

1)()()()(







14

33

4

15)(

XE


monedas



















efectuara de nuevo

TABLA B



Variable Aleatoria

(1)



(2)




(1)x(3)

100 1 001 100

101 2 002 202

102 3 003 306

103 5 005 515

104 6 006 624

105 7 007 735

106 9 009 954

107 10 010 1070

108 12 012 1296

109 11 011 1199

110 9 009 990

110 8 008 888

112 6 006 672

113 5 005 565

114 4 004 456

115 2 002 230

TOTALES 100 10802






0

002

004

006

008

01

012

014

10 100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115


PR

OB

AB

ILID

AD














1 entonces


480000x 4801000

480000

1000



boleto





120250350240

2500001000008000001250000

4321

4321

PyPPP

xxxx


)()(1

i

N

i

ix XPXXE




04

3

4

1)(

33

xxf

xx

x


SOLUCIOacuteN

64

1

4

3

4

1)3(

64

9

4

3

4

1)2(

64

27

4

3

4

1)1(

64

27

4

3

4

1)0(

033

3

23

2

23

1

303

0

f

fff


x 0 1 2 3 )(xf

6427

6427

649

641


i

N

i

ix XPXXE

Se tiene

7504

3

64

48

64

1)3(9)2(27

64

13

64

92

64

271

64

270

E











)()( 000

ixX

xpxXPxF

OBSERVACIONES





etc En general

F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)





X x1 x2 x3 x4

p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )



ACUMULADA

)()(

ixX

iii xpxXPxF

EJEMPLOS


X 0 1 2 3

p(x) 18 38 38 18



d)

SOLUCIOacuteN


F(x) = 0


F(x) = 1



P(X le 2) = F(2) = 78



38 = 68




x0)




X f(X) F(X)

2 136 136

3 236 336

4 336 636

5 436 1036

6 536 1536

7 636 2136

8 536 2636

9 436 3036

10 336 3336

11 236 3536

12 136 3636







X f(X) F(X)

0 1545 1545

1 2445 3945

2 645 4545




el evento


P( ) = P( ) + P( )


P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)










F(x0) =


2 si X es discreta

si X es continua


3 si X es continua

4 Si X es continua



a

b



de probabilidad

a

b







2 si X es discreta

si X es continua

3 si X es continua

4 Si X es continua


IMPORTANTES













para x = 0 1 2 3









N

n

hace









y su varianza




















bababbaa)ba( iinn

i

n

i

nn

n

nn

n

nn

nn

n

1

1

1

1

10





xnqxp

n

xxP



xnx

xx

xx

n

x

nx

xx

x qpP










1

1 1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1



yxyyxyxyxx)yx(

)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(

543223455

543223455

24381010807202403232

332532103210325232

yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156










p + q = 1



p + q = 05 + 05 = 1




p + q = 025 + 075 = 1



p + q = 000001 + 099999 = 1


































x 0 1 1 1 2 2 2 3







)pnx(b)x(f)xX(P








n

x

CC

=

)xn(x

n

(n se lee factorial




x



independientes es

nxqp)x(f)pnx(b xnxn

x

3210


binomiales



94

34

14

3

x)x(fxb

xx

x

32104

3

4

1

4

13

33


64

1

4

3

4

13

64

9

4

3

4

12

64

27

4

3

4

11

64

27

4

3

4

10

033

3

123

2

213

1

303

0

)(f)(f

)(f)(f


x 0 1 2 3 )x(f

6427)x(f

6427

649

641










CCCC 0 ECCC 1

CCCE 1 ECCE 2

CCEC 1 ECEC 2

CCEE 2 ECEE 3

CECC 1 EECC 2

CECE 2 EECE 3

CEEC 2 EEEC 3

CEEE 3 EEEE 4




P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081


P(X = 2) = 6(00081) = 00486

En general


(09)4-x CIlOs II i





)xn(x

x

44


)(f)X(P

))(()(f)X(P

)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx

x

0486022

04860810010622

9010229010 2424

2

44

OTROS EJEMPLO
























P(X=0)


= (34

)3 = 276

4


4)0

P(X=1)

=

P[(E1 F2F3)(F1E2

F3)

(F1 F2 E3)]

=

812

56

=


4)1

P(X=2)

=

P[(E1E2F3) (E1F2

E3) (F1 E2 E3)]

=

964

=


4)2

P(X=

3)


(E3)

= (14

)3 = 164


4)3




X P(X=x)

0 0422

1 0422

2 0141

3 0016









2646009049022

4

30070022

43210300700704

224

2

4

))((


x)x(f)x(bxnx

x




91630083701

08370107560008101

307030701

10122

43221

3141

4040

)()(C)()(C

)(p)(p)x(P)




c)- P(4 familias) = 2401017004

43070 4044

4 )()(

)()(C









xx

x

)()()x(f)x(p

10

10


es

xx

x x

)()(

xx

x x

)()()rechazar(P)b


)aceptar(P

))()(())()(()aceptar(P


)()()aceptar(P

)(p)(p)aceptar(P

1010

2

10

91110

100010

1010

2

10

950050

6080860914011

40919140

315059906302005010599011

950050950050101

95005012

101










son

npq

npq

np)x(E

2














estudiante




10)()(

1

)(

xbsiasibxasiab

axxXPxF

bxasiab

xf










intervalos











variable







2xe







variables continuas


















































Donde


























forma de campana





















varianza 1























xZ


















Ejemplo



91460820

2534

XZ




Luego


es de 180

EJEMPLOS


B)

z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823


lo tanto

P (z lt ndash135) = 00885


63) D)


z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549



1) P(z gt ndash243)

2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)

4) P(z lt 239)














es de

























n

NX con lo cual a



n

n

961961









4839 XP


9

45

81

45

XXXZ De modo que

XP 803737804839



z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009

00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359

01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753

02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141

03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517

04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879

05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224

06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549

07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852

08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133

09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389

10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621

11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830

12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015

13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177

14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319

15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441

16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545

17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633

18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706

19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767

20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817

21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857

22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890

23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916

24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936

25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952

26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964

27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974

28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981

29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986

30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990

31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993

32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995

33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997

34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998

35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998

36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000






(099702 es decir 997)















XZ


1

5

XZ


21

57

Z




es del 97725







SOLUCIOacuteN


221

4

XZ







Por lo tanto

P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)


P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075






XXX)(

X 575457142212821

221

42821




con renta media












d) SOLUCIOacuteN


b)


415

6875Z

Por lo tanto

P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808




615

6860Z


16) = 00548


esta edad










8767

5887958645166

586451

X

XX)(X







226

5845Z

Por lo tanto



bebida








120491

5577

Z








386

55883055049184200491

558420

X

)(XX))((

X








cociente

vV




vV

Z es una















)X(

N

S

Xt


dado por NX

N

XZ




N

StX

2 Donde


GRADOS DE LIBERTAD






36182

baba











167

gfedcba











grados

de libertad

alfa

01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005

1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578

2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600

3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924

4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610

5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869

6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959

7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408

8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041

9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781

10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587

11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437

12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318

13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221

14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140

15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073

16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015

17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965

18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922

19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883

20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850

21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819

22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792

23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768

24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745

25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725

26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707

27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689

28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674

29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660

30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646

31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633

32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622

33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611

34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601

35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591

36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582

37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574

38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566

39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558

40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551

60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460

120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373

inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
























gamma






001

)(

dondeyxexf

x

BIBLIOGRAFIacuteA


































































BIBLIOWEB
































014

12

2

11

4

10)(

XE









)x(fxx

7

3

3

3

4

para x = 0 1 2 3


35

4)3(

35

18)2(

35

12)1(

35

1)0(

7

3

3

33

4

3

7

3

3

23

4

2

7

3

3

13

4

1

7

3

3

03

4

0

ffff


f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces

7017

12

35

60

35

43

35

182

35

121

35

10)(

XE











8

1

2

1

2

1

2

1)()()()(







14

33

4

15)(

XE


monedas



















efectuara de nuevo

TABLA B



Variable Aleatoria

(1)



(2)




(1)x(3)

100 1 001 100

101 2 002 202

102 3 003 306

103 5 005 515

104 6 006 624

105 7 007 735

106 9 009 954

107 10 010 1070

108 12 012 1296

109 11 011 1199

110 9 009 990

110 8 008 888

112 6 006 672

113 5 005 565

114 4 004 456

115 2 002 230

TOTALES 100 10802






0

002

004

006

008

01

012

014

10 100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115


PR

OB

AB

ILID

AD














1 entonces


480000x 4801000

480000

1000



boleto





120250350240

2500001000008000001250000

4321

4321

PyPPP

xxxx


)()(1

i

N

i

ix XPXXE




04

3

4

1)(

33

xxf

xx

x


SOLUCIOacuteN

64

1

4

3

4

1)3(

64

9

4

3

4

1)2(

64

27

4

3

4

1)1(

64

27

4

3

4

1)0(

033

3

23

2

23

1

303

0

f

fff


x 0 1 2 3 )(xf

6427

6427

649

641


i

N

i

ix XPXXE

Se tiene

7504

3

64

48

64

1)3(9)2(27

64

13

64

92

64

271

64

270

E











)()( 000

ixX

xpxXPxF

OBSERVACIONES





etc En general

F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)





X x1 x2 x3 x4

p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )



ACUMULADA

)()(

ixX

iii xpxXPxF

EJEMPLOS


X 0 1 2 3

p(x) 18 38 38 18



d)

SOLUCIOacuteN


F(x) = 0


F(x) = 1



P(X le 2) = F(2) = 78



38 = 68




x0)




X f(X) F(X)

2 136 136

3 236 336

4 336 636

5 436 1036

6 536 1536

7 636 2136

8 536 2636

9 436 3036

10 336 3336

11 236 3536

12 136 3636







X f(X) F(X)

0 1545 1545

1 2445 3945

2 645 4545




el evento


P( ) = P( ) + P( )


P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)










F(x0) =


2 si X es discreta

si X es continua


3 si X es continua

4 Si X es continua



a

b



de probabilidad

a

b







2 si X es discreta

si X es continua

3 si X es continua

4 Si X es continua


IMPORTANTES













para x = 0 1 2 3









N

n

hace









y su varianza




















bababbaa)ba( iinn

i

n

i

nn

n

nn

n

nn

nn

n

1

1

1

1

10





xnqxp

n

xxP



xnx

xx

xx

n

x

nx

xx

x qpP










1

1 1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1



yxyyxyxyxx)yx(

)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(

543223455

543223455

24381010807202403232

332532103210325232

yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156










p + q = 1



p + q = 05 + 05 = 1




p + q = 025 + 075 = 1



p + q = 000001 + 099999 = 1


































x 0 1 1 1 2 2 2 3







)pnx(b)x(f)xX(P








n

x

CC

=

)xn(x

n

(n se lee factorial




x



independientes es

nxqp)x(f)pnx(b xnxn

x

3210


binomiales



94

34

14

3

x)x(fxb

xx

x

32104

3

4

1

4

13

33


64

1

4

3

4

13

64

9

4

3

4

12

64

27

4

3

4

11

64

27

4

3

4

10

033

3

123

2

213

1

303

0

)(f)(f

)(f)(f


x 0 1 2 3 )x(f

6427)x(f

6427

649

641










CCCC 0 ECCC 1

CCCE 1 ECCE 2

CCEC 1 ECEC 2

CCEE 2 ECEE 3

CECC 1 EECC 2

CECE 2 EECE 3

CEEC 2 EEEC 3

CEEE 3 EEEE 4




P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081


P(X = 2) = 6(00081) = 00486

En general


(09)4-x CIlOs II i





)xn(x

x

44


)(f)X(P

))(()(f)X(P

)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx

x

0486022

04860810010622

9010229010 2424

2

44

OTROS EJEMPLO
























P(X=0)


= (34

)3 = 276

4


4)0

P(X=1)

=

P[(E1 F2F3)(F1E2

F3)

(F1 F2 E3)]

=

812

56

=


4)1

P(X=2)

=

P[(E1E2F3) (E1F2

E3) (F1 E2 E3)]

=

964

=


4)2

P(X=

3)


(E3)

= (14

)3 = 164


4)3




X P(X=x)

0 0422

1 0422

2 0141

3 0016









2646009049022

4

30070022

43210300700704

224

2

4

))((


x)x(f)x(bxnx

x




91630083701

08370107560008101

307030701

10122

43221

3141

4040

)()(C)()(C

)(p)(p)x(P)




c)- P(4 familias) = 2401017004

43070 4044

4 )()(

)()(C









xx

x

)()()x(f)x(p

10

10


es

xx

x x

)()(

xx

x x

)()()rechazar(P)b


)aceptar(P

))()(())()(()aceptar(P


)()()aceptar(P

)(p)(p)aceptar(P

1010

2

10

91110

100010

1010

2

10

950050

6080860914011

40919140

315059906302005010599011

950050950050101

95005012

101










son

npq

npq

np)x(E

2














estudiante




10)()(

1

)(

xbsiasibxasiab

axxXPxF

bxasiab

xf










intervalos











variable







2xe







variables continuas


















































Donde


























forma de campana





















varianza 1























xZ


















Ejemplo



91460820

2534

XZ




Luego


es de 180

EJEMPLOS


B)

z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823


lo tanto

P (z lt ndash135) = 00885


63) D)


z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549



1) P(z gt ndash243)

2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)

4) P(z lt 239)














es de

























n

NX con lo cual a



n

n

961961









4839 XP


9

45

81

45

XXXZ De modo que

XP 803737804839



z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009

00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359

01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753

02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141

03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517

04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879

05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224

06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549

07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852

08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133

09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389

10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621

11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830

12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015

13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177

14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319

15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441

16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545

17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633

18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706

19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767

20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817

21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857

22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890

23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916

24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936

25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952

26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964

27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974

28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981

29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986

30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990

31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993

32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995

33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997

34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998

35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998

36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000






(099702 es decir 997)















XZ


1

5

XZ


21

57

Z




es del 97725







SOLUCIOacuteN


221

4

XZ







Por lo tanto

P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)


P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075






XXX)(

X 575457142212821

221

42821




con renta media












d) SOLUCIOacuteN


b)


415

6875Z

Por lo tanto

P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808




615

6860Z


16) = 00548


esta edad










8767

5887958645166

586451

X

XX)(X







226

5845Z

Por lo tanto



bebida








120491

5577

Z








386

55883055049184200491

558420

X

)(XX))((

X








cociente

vV




vV

Z es una















)X(

N

S

Xt


dado por NX

N

XZ




N

StX

2 Donde


GRADOS DE LIBERTAD






36182

baba











167

gfedcba











grados

de libertad

alfa

01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005

1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578

2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600

3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924

4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610

5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869

6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959

7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408

8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041

9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781

10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587

11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437

12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318

13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221

14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140

15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073

16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015

17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965

18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922

19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883

20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850

21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819

22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792

23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768

24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745

25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725

26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707

27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689

28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674

29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660

30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646

31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633

32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622

33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611

34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601

35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591

36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582

37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574

38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566

39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558

40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551

60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460

120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373

inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
























gamma






001

)(

dondeyxexf

x

BIBLIOGRAFIacuteA


































































BIBLIOWEB



































8

1

2

1

2

1

2

1)()()()(







14

33

4

15)(

XE


monedas



















efectuara de nuevo

TABLA B



Variable Aleatoria

(1)



(2)




(1)x(3)

100 1 001 100

101 2 002 202

102 3 003 306

103 5 005 515

104 6 006 624

105 7 007 735

106 9 009 954

107 10 010 1070

108 12 012 1296

109 11 011 1199

110 9 009 990

110 8 008 888

112 6 006 672

113 5 005 565

114 4 004 456

115 2 002 230

TOTALES 100 10802






0

002

004

006

008

01

012

014

10 100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115


PR

OB

AB

ILID

AD














1 entonces


480000x 4801000

480000

1000



boleto





120250350240

2500001000008000001250000

4321

4321

PyPPP

xxxx


)()(1

i

N

i

ix XPXXE




04

3

4

1)(

33

xxf

xx

x


SOLUCIOacuteN

64

1

4

3

4

1)3(

64

9

4

3

4

1)2(

64

27

4

3

4

1)1(

64

27

4

3

4

1)0(

033

3

23

2

23

1

303

0

f

fff


x 0 1 2 3 )(xf

6427

6427

649

641


i

N

i

ix XPXXE

Se tiene

7504

3

64

48

64

1)3(9)2(27

64

13

64

92

64

271

64

270

E











)()( 000

ixX

xpxXPxF

OBSERVACIONES





etc En general

F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)





X x1 x2 x3 x4

p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )



ACUMULADA

)()(

ixX

iii xpxXPxF

EJEMPLOS


X 0 1 2 3

p(x) 18 38 38 18



d)

SOLUCIOacuteN


F(x) = 0


F(x) = 1



P(X le 2) = F(2) = 78



38 = 68




x0)




X f(X) F(X)

2 136 136

3 236 336

4 336 636

5 436 1036

6 536 1536

7 636 2136

8 536 2636

9 436 3036

10 336 3336

11 236 3536

12 136 3636







X f(X) F(X)

0 1545 1545

1 2445 3945

2 645 4545




el evento


P( ) = P( ) + P( )


P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)










F(x0) =


2 si X es discreta

si X es continua


3 si X es continua

4 Si X es continua



a

b



de probabilidad

a

b







2 si X es discreta

si X es continua

3 si X es continua

4 Si X es continua


IMPORTANTES













para x = 0 1 2 3









N

n

hace









y su varianza




















bababbaa)ba( iinn

i

n

i

nn

n

nn

n

nn

nn

n

1

1

1

1

10





xnqxp

n

xxP



xnx

xx

xx

n

x

nx

xx

x qpP










1

1 1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1



yxyyxyxyxx)yx(

)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(

543223455

543223455

24381010807202403232

332532103210325232

yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156










p + q = 1



p + q = 05 + 05 = 1




p + q = 025 + 075 = 1



p + q = 000001 + 099999 = 1


































x 0 1 1 1 2 2 2 3







)pnx(b)x(f)xX(P








n

x

CC

=

)xn(x

n

(n se lee factorial




x



independientes es

nxqp)x(f)pnx(b xnxn

x

3210


binomiales



94

34

14

3

x)x(fxb

xx

x

32104

3

4

1

4

13

33


64

1

4

3

4

13

64

9

4

3

4

12

64

27

4

3

4

11

64

27

4

3

4

10

033

3

123

2

213

1

303

0

)(f)(f

)(f)(f


x 0 1 2 3 )x(f

6427)x(f

6427

649

641










CCCC 0 ECCC 1

CCCE 1 ECCE 2

CCEC 1 ECEC 2

CCEE 2 ECEE 3

CECC 1 EECC 2

CECE 2 EECE 3

CEEC 2 EEEC 3

CEEE 3 EEEE 4




P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081


P(X = 2) = 6(00081) = 00486

En general


(09)4-x CIlOs II i





)xn(x

x

44


)(f)X(P

))(()(f)X(P

)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx

x

0486022

04860810010622

9010229010 2424

2

44

OTROS EJEMPLO
























P(X=0)


= (34

)3 = 276

4


4)0

P(X=1)

=

P[(E1 F2F3)(F1E2

F3)

(F1 F2 E3)]

=

812

56

=


4)1

P(X=2)

=

P[(E1E2F3) (E1F2

E3) (F1 E2 E3)]

=

964

=


4)2

P(X=

3)


(E3)

= (14

)3 = 164


4)3




X P(X=x)

0 0422

1 0422

2 0141

3 0016









2646009049022

4

30070022

43210300700704

224

2

4

))((


x)x(f)x(bxnx

x




91630083701

08370107560008101

307030701

10122

43221

3141

4040

)()(C)()(C

)(p)(p)x(P)




c)- P(4 familias) = 2401017004

43070 4044

4 )()(

)()(C









xx

x

)()()x(f)x(p

10

10


es

xx

x x

)()(

xx

x x

)()()rechazar(P)b


)aceptar(P

))()(())()(()aceptar(P


)()()aceptar(P

)(p)(p)aceptar(P

1010

2

10

91110

100010

1010

2

10

950050

6080860914011

40919140

315059906302005010599011

950050950050101

95005012

101










son

npq

npq

np)x(E

2














estudiante




10)()(

1

)(

xbsiasibxasiab

axxXPxF

bxasiab

xf










intervalos











variable







2xe







variables continuas


















































Donde


























forma de campana





















varianza 1























xZ


















Ejemplo



91460820

2534

XZ




Luego


es de 180

EJEMPLOS


B)

z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823


lo tanto

P (z lt ndash135) = 00885


63) D)


z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549



1) P(z gt ndash243)

2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)

4) P(z lt 239)














es de

























n

NX con lo cual a



n

n

961961









4839 XP


9

45

81

45

XXXZ De modo que

XP 803737804839



z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009

00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359

01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753

02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141

03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517

04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879

05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224

06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549

07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852

08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133

09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389

10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621

11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830

12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015

13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177

14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319

15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441

16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545

17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633

18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706

19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767

20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817

21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857

22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890

23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916

24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936

25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952

26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964

27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974

28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981

29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986

30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990

31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993

32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995

33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997

34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998

35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998

36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999

39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000






(099702 es decir 997)















XZ


1

5

XZ


21

57

Z




es del 97725







SOLUCIOacuteN


221

4

XZ







Por lo tanto

P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)


P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075






XXX)(

X 575457142212821

221

42821




con renta media












d) SOLUCIOacuteN


b)


415

6875Z

Por lo tanto

P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808




615

6860Z


16) = 00548


esta edad










8767

5887958645166

586451

X

XX)(X







226

5845Z

Por lo tanto



bebida








120491

5577

Z








386

55883055049184200491

558420

X

)(XX))((

X








cociente

vV




vV

Z es una















)X(

N

S

Xt


dado por NX

N

XZ




N

StX

2 Donde


GRADOS DE LIBERTAD






36182

baba











167

gfedcba











grados

de libertad

alfa

01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005

1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578

2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600

3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924

4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610

5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869

6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959

7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408

8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041

9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781

10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587

11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437

12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318

13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221

14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140

15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073

16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015

17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965

18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922

19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883

20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850

21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819

22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792

23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768

24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745

25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725

26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707

27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689

28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674

29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660

30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646

31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633

32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622

33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611

34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601

35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591

36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582

37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574

38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566

39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558

40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551

60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460

120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373

inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
























gamma






001

)(

dondeyxexf

x

BIBLIOGRAFIacuteA


































































BIBLIOWEB
































VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

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