calculo asintotas
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1 TRAZADO DE GRAFICAS Y ASINTOTAS DE FUNCIONES RACIONALES
Alberto Rodríguez Ponse | Calculo Diferencial ICl
1. La grafica de f si, 𝒇(𝒙) =𝒙−𝟏
𝒙𝟐−𝒙−𝟔
PASOS CORRESPONDIENTES:
1. Para hallar los puntos de intersección con el eje x, se buscan los ceros del
numerador
𝑥 − 1 = 0
𝒙 = 𝟏
0 =𝑥 − 1
𝑥2 − 𝑥 − 6
0 = 𝑥 − 1
𝒙 = 𝟏
2. Hallar los ceros del denominador. Es una asíntota vertical (se factoriza)
𝑓(𝑥) =𝑥 − 1
𝑥2 − 𝑥 − 6 → (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0 → 𝒙 = 𝟑 ; 𝒙 = −𝟐
Indica el sentido y las asíntotas en -2 y 3 por la izquierda y por la derecha.
3. Encontrar el punto de intersección con el eje “y” cuando f(0).
𝑓(0) =(0) − 1
(0)2 − (0) − 6 → 𝒇(𝟎) =
𝟏
𝟔
Por lo tanto se localiza el punto (𝟎,𝟏
𝟔 )
Tabulación de la función 𝒇(𝒙) =𝒙−𝟏
𝒙𝟐−𝒙−𝟔
x y
-4 -0.357143
-3 -0.666667
-2 ∞
-1 0.5
0 0.1666667
1 0
2 -0.25
3 ∞
4 0.5
2 TRAZADO DE GRAFICAS Y ASINTOTAS DE FUNCIONES RACIONALES
ALBERTO RODRÍGUEZ PONSE | Calculo Diferencial ICl
4. El grado del polinomio del denominador es mayor que el grado de polinomio del
numerador. En este caso la asíntota es la recta y=0
5. Las coordenadas x de los puntos donde la gráfica cruza a la asíntota horizontal
y=0, son soluciones de la ecuación f(x)=0. Se procede a resolver la ecuación: 𝑥 − 1
𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 𝑥 − 1 = 0 𝒙 = 𝟏
Este resultado indica que la gráfica de f se cruzara con la asíntota horizontal, en el
punto tal que x=1.
6. Las asíntotas verticales de la función divide al plano x, y en 3 regiones:
R1→Region a la izquierda de x=-2. Para R1 la gráfica debe aproximarse a
las 2 asíntotas , x=2 y y=0
R2→Region comprendida entre -2˂x˂3. (Para R2 tenemos los dos puntos
(0,𝟏
𝟔 ) y (1,0 ) por los que la gráfica f debe aproximarse).
R3→Region comprendida a la derecha de x=3
Grafica de 𝒇(𝒙) =𝒙−𝟏
𝒙𝟐−𝒙−𝟔
3 TRAZADO DE GRAFICAS Y ASINTOTAS DE FUNCIONES RACIONALES
ALBERTO RODRÍGUEZ PONSE | Calculo Diferencial ICl
2. La grafica de f si, 𝒇(𝒙) =𝒙𝟐
𝒙𝟐−𝒙−𝟐
PASOS CORRESPONDIENTES:
1. Para hallar los puntos de intersección con el eje x, se buscan los ceros del
numerador
√𝑥2
= √0
𝒙 = 𝟎
0 =𝑥2
𝑥2 − 𝑥 − 2
0 = 𝑥2
𝒙 = 𝟎
2. Hallar los ceros del denominador. Es una asíntota vertical (se factoriza)
𝑓(𝑥) =𝑥2
𝑥2 − 𝑥 − 2 → (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0 → 𝒙 = 𝟐 ; 𝒙 = −𝟏
Indica el sentido y las asíntotas en -1 y 2 por la izquierda y por la derecha.
3. Encontrar el punto de intersección con el eje “y” cuando f(0).
𝑓(0) = (0)2
(0)2 − (0) − 2 → 𝒇(𝟎) = 𝟎
Por lo tanto se localiza el punto (𝟎, 𝟎)
Tabulación de la función 𝒇(𝒙) =𝒙𝟐
𝒙𝟐−𝒙−𝟐
x y
-4 0.88888889
-3 0.9
-2 1
-1 ∞
0 0
1 -0.5
2 ∞
3 2.25
4 1.6
4 TRAZADO DE GRAFICAS Y ASINTOTAS DE FUNCIONES RACIONALES
ALBERTO RODRÍGUEZ PONSE | Calculo Diferencial ICl
4. El grado del polinomio del denominador y numerador son iguales. En este caso
la asíntota horizontal es:
𝑓(𝑥) =𝑥2
𝑥2−𝑥−2=
1
1 = 𝟏 f(x)=1, se traza.
5. Las coordenadas x de los puntos donde la gráfica cruza a la asíntota horizontal
y=1, son soluciones de la ecuación f(x)=1. Se procede a resolver la ecuación:
𝑥2
𝑥2 − 𝑥 − 2=
1
1 → 𝑥2 = 𝑥2 − 𝑥 − 2 → 0 = −𝑥 − 2 → 𝒙 = −𝟐
Este resultado indica que la gráfica de f se cruzara con la asíntota horizontal, en el
punto tal que x=-2.
6. Las asíntotas verticales de la función divide al plano x, y en 3 regiones:
R1→Region a la izquierda de x=-1. Para R1 la gráfica debe aproximarse a
la asíntotas, x=-1, ya que si logra tocar la asíntota horizontal y=1, en la
coordenada (-2,1).
R2→Region comprendida entre -1˂x˂2. (Para R2 tenemos el punto (0,0 )
por el que la gráfica f debe aproximarse).
R3→Region comprendida a la derecha de x=2
Grafica de 𝒇(𝒙) =𝑥2
𝑥2−𝑥−2
5 TRAZADO DE GRAFICAS Y ASINTOTAS DE FUNCIONES RACIONALES
ALBERTO RODRÍGUEZ PONSE | Calculo Diferencial ICl
3. La grafica de f si, 𝒇(𝒙) =𝟒𝒙−𝟏
𝟐𝒙+𝟑
PASOS CORRESPONDIENTES:
1. Para hallar los puntos de intersección con el eje x, se buscan los ceros del
numerador
4𝑥 − 1 = 0
𝒙 = 𝟏𝟒⁄
0 =
0 =4𝑥 − 1
2𝑥 + 3
𝒙 = 𝟏𝟒⁄
2. Hallar los ceros del denominador. Es una asíntota vertical (se factoriza)
𝑓(𝑥) =4𝑥−1
2𝑥+3 → 2𝑥 + 3 = 0 → 𝒙 = −𝟑
𝟐⁄
Indica el sentido y la asíntota en 𝒙 = −𝟑𝟐⁄ por la izquierda y por la derecha.
3. Encontrar el punto de intersección con el eje “y” cuando 𝑓(𝑥) = 0
𝑓(0) =4(0) − 1
2(0) + 3 → 𝒇(𝟎) = −
𝟏
𝟑
Por lo tanto se localiza el punto (0, −𝟏
𝟑 )
Tabulación de la función 𝒇(𝒙) =𝟒𝒙−𝟏
𝟐𝒙+𝟑
x y
-2 -7
-1 -5
-1.5 ∞
0 -
0.33333333
1 3.8
2 7.85714286
3 11.8888889
6 TRAZADO DE GRAFICAS Y ASINTOTAS DE FUNCIONES RACIONALES
ALBERTO RODRÍGUEZ PONSE | Calculo Diferencial ICl
4. El grado del polinomio del denominador y numerador son iguales. En este caso
la asíntota horizontal es:
𝑓(𝑥) =𝟒𝒙−𝟏
𝟐𝒙+𝟑=
4
2 = 𝟐 f(x)=2, se traza
5. Las coordenadas x de los puntos donde la gráfica cruza a la asíntota horizontal
y=2, son soluciones de la ecuación f(x)=2. Se procede a resolver la ecuación: 4𝑥 − 1
2𝑥 + 3= 2 4𝑥 − 1 = 4𝑥 + 6 − 𝟏 = 𝟔
Como -1 es diferente de 6 para cualquier valor de x, este resultado indica que la
gráfica de f no se cruzara con la asíntota horizontal, o sea son diferentes.
6. Las asíntotas verticales de la función divide al plano x, y en 2 regiones:
R1→Region a la izquierda de x=-1.5. Para R1 la gráfica debe aproximarse a
las 2 asíntotas. Como la gráfica no puede cruzar el eje x, debe estar arriba
de la asíntota horizontal.
R2→Region a la derecha de x=-1.5 Para R2 tenemos los dos puntos
(0, −𝟏
𝟑 ) y (
1
4, 0 ) por los que la gráfica f debe aproximarse.
Gráfica de 𝒇(𝒙) =4𝑥−1
2𝑥+3