Asintotas en Una Funcion1c2bacss
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DETERMINACIÓN DE ASÍNTOTAS EN UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito. Una definición más formal es: DEFINICIÓN : Si un punto (x, y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función. Las asíntotas pueden ser: ASÍNTOTAS VERTICALES Las asíntotas verticales son paralelas al eje OY: Entonces existe un número “a” tal que: A.V.: x=a Procedimiento para determinar las asíntotas verticales de una función 1º Determinamos el dominio de la función, pues para los valores de x dónde deja de existir puede tener una asíntota vertical. 2º Si la función deja de existir en x=a, existirá asíntota vertical “ x=a “ si . Ejemplo 1: Determina las asíntotas verticales de 1
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DETERMINACIN DE ASNTOTAS EN UNA FUNCIN
DETERMINACIN DE ASNTOTAS EN UNA FUNCINLas asntotas son rectas a las cuales la funcin se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.
Una definicin ms formal es:
DEFINICIN : Si un punto (x, y) se desplaza continuamente por una funcin y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asntota de la funcin.Las asntotas pueden ser:
ASNTOTAS VERTICALES
Las asntotas verticales son paralelas al eje OY:
Entonces existe un nmero a tal que: A.V.: x=a
Procedimiento para determinar las asntotas verticales de una funcin
1 Determinamos el dominio de la funcin, pues para los valores de x dnde deja de existir puede tener una asntota vertical.
2 Si la funcin deja de existir en x=a, existir asntota vertical x=a si .
Ejemplo 1: Determina las asntotas verticales de
1 Determinamos el dominio de la funcin, pues para los valores de x dnde deja de existir puede tener una asntota vertical.
Dominio: Funcin racional fraccionaria no existe si el denominador se anula
Luego tiene como posible asntotas verticales: x=2 y x=-2.?2 A.V. en x=2. ? ?
Estos lmites nos sirven para determinar que x=2 es ASNTOTA VERTICAL pues y y con ellos tambin observamos las tendencias de la funcin (Observar grfica)
A.V. en x=-2. ? ?
No hay asntota vertical, en x=-2 la funcin es discontinua evitable.
Grfica:Ejemplo 2: Determina las asntotas verticales de
1 Determinamos el dominio de la funcin, pues para los valores de x dnde deja de existir puede tener una asntota vertical.
Dominio: Funcin racional fraccionaria no existe si el denominador se anula
Luego tiene como posible asntota vertical: x=4?
2 A.V. en x=4. ? ?
Este lmite nos sirve para determinar que x=4 es ASNTOTA VERTICAL pues y con ellos tambin observamos las tendencias de la funcin (Observar grfica)
Ejemplo 3: Determina las asntotas verticales de
1 Determinamos el dominio de la funcin, pues para los valores de x dnde deja de existir puede tener una asntota vertical.
Dominio: Funcin logartmica slo existe si
luego
Puede tener como asntota vertical cuando se acerca a la izquierda de x=4
2 A.V. en x=4. ? ?
Este lmite nos sirve para determinar que x=4 es ASNTOTA VERTICAL, pues y con el tambin observamos la tendencia de la funcin (Observar grfica)
ASNTOTAS HORIZONTALES
Las asntotas horizontales son paralelas al eje OX:
Si existe entonces y=k ser una asntota horizontal.Procedimiento para determinar las asntotas horizontales de una funcin
Se calcula el y si alguno de ellos toma un valor finito k, existir asntota horizontal y=k.
Nota: En el caso de funciones del tipo existir asntota horizontal si grado de P(x) grado de Q(x). En estos casos: = =k En el caso de funciones del tipo exponencial existir asntota horizontal y=0 si
Para determinar la posicin relativa de la curva y la asntota y=k hacemos lo siguiente:
Y1=f(x)Y1- KSituacin relativa de la grfica y la asntota
x=100
Y1- K > 0La grfica esta por encima de la asntota
en el +
Y1- K < 0La grfica esta por debajo de la asntota
en el +
x=-100
Y1- K > 0La grfica esta por encima de la asntota
en el -
Y1- K < 0La grfica esta por debajo de la asntota
en el -
Ejemplo 4: Determina las asntotas horizontales de
1 Se calcula el : El -0 indica que la curva se encuentra por debajo de la asntota y=0
2 Tenemos dos opciones: - Calcular
El +0 indica que la curva se encuentra por encima de la asntota y=0
- O directamente calculamos la posicin relativa de la grfica y la asntota:
Y1-kSituacin relativa de la grfica y la asntota
x=100
-0,0099-0 0La grfica esta por encima de la asntota
en el -
(como se observa en la grfica adjunta)
Ejemplo 5: Determina las asntotas horizontales de
1 Se calcula el
Luego y=2 ser una asntota horizontal.2 Se determina la posicin relativa de la grfica y la asntota:
Y1- 2Situacin relativa de la grfica y la asntota
x=100
2,00080032-2>0La grfica esta por encima de la asntota
en el +
x=-100
2,00080032-2>0La grfica esta por encima de la asntota
en el -
(como se observa en la grfica adjunta)
Ejemplo 6: Determina las asntotas horizontales de (ejemplo 1)1 Se calcula el
Luego y=1 ser una asntota horizontal.2 Se determina la posicin relativa de la grfica y la asntota:
Y1- 1Situacin relativa de la grfica y la asntota
x=100
1,020408163-1>0La grfica esta por encima de la asntota en el +
x=-100
0,9803921-1 < 0La grfica esta por debajo de la asntota en el -
(como se observa en la grfica adjunta)
Ejemplo 7: Determina las asntotas horizontales de
1 Se calcula el
Luego y=-2 ser una asntota horizontal.2 Se determina la posicin relativa de la grfica y la asntota:
Y1-(-2)Situacin relativa de la grfica y la asntota
x=100
-1,990003998+2>0La grfica esta por encima de la asntota en el +
x=-100
-2,00999960+2 < 0La grfica esta por debajo de la asntota en el -
(como se observa en la grfica adjunta)
Ejemplo 8: Determina las asntotas horizontales de .
Nota: En este caso por no ser una funcin del tipo hay que calcular y :1 Se calcula el : Luego no existe asntota horizontal en el +. (como se observa en la grfica adjunta)
2 Se calcula el :
Luego y=10 ser una asntota horizontal.
3 Posicin relativa de la grfica y la asntota.
Y1-(10)Situacin relativa de la grfica y la asntota
x=-100
La grfica esta por encima de la asntota en el -
(como se observa en la grfica adjunta)
ASNTOTAS OBLICUASSon rectas asntotas a una funcin del tipo
Si una funcin tiene asntotas horizontales no tiene oblicuas.
Procedimiento para determinar las asntotas oblicuas de una funcin
1 Se calcula m: o
2 Se calcula n: o
Nota:
Si una funcin tiene asntotas horizontales no tiene oblicuas.
En el caso de funciones del tipo existir asntota oblicua si grado de P(x) = grado de Q(x) +1. Si m 0 en el caso de funciones del tipo este valor es el mismo cuando x + y x -, por lo tanto slo es necesario calcular el valor cuando x +.3 Para determinar la posicin relativa de la curva y la asntota hacemos lo siguiente:
Y1=f(x)Y2=mx+nY1- Y2Situacin relativa de la grfica y la asntota
x=100
Y1- Y2 > 0La grfica esta por encima de la asntota en el +
Y1- Y2 < 0La grfica esta por debajo de la asntota en el +
x=-100
Y1- Y2 > 0La grfica esta por encima de la asntota
en el -
Y1- Y2 < 0La grfica esta por debajo de la asntota
en el -
Ejemplo 9: Determina las asntotas oblicuas de
1 Se calcula m:
Si m0 en el caso de funciones del tipo este valor es el mismo cuando x + y x - por lo tanto slo es necesario calcular el valor cuando x +.
Por lo tanto existe una asntota oblicua
2 Se calcula el n:
Luego ser una asntota oblicua.
Para determinar la posicin relativa de la curva y la asntota hacemos lo siguiente:
Y1- Y2situacin
x=100
La grfica esta por encima de la asntota en el +
x=-100
-
La grfica esta por debajo de la asntota en el -
( como se observa en la grfica adjunta)
Ejemplo 10: Determina las asntotas oblicuas de
1 Se calcula m:
Si m0 en el caso de funciones del tipo este valor es el mismo cuando x + y x - por lo tanto slo es necesario calcular el valor cuando x +.
Por lo tanto existe una asntota oblicua y = x+n n = y -x2 Se calcula el n:
Luego y=x ser una asntota oblicua. Para determinar la posicin relativa de la curva y la asntota hacemos lo siguiente:
Y=xY1- Y2situacin
x=100
La grfica esta por debajo de la asntota en el +
x=-100
-
La grfica esta por encima de la asntota en el -
( como se observa en la grfica adjunta)
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