Calculo

3. Ecuaciones diferenciales

Mayo, 2009

Clasificacion de las ecuaciones diferenciales

1. Ecuaciones diferenciales ordinarias1.a Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

I Nociones generales

I Ecuaciones diferenciales separablesI Ecuaciones diferenciales homogeneasI Ecuaciones diferenciales exactasI Ecuaciones diferenciales linealesI Otros tipos: de Bernoulli, de Riccati, ...

1.b Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superiorI Ecuaciones diferenciales lineales

Ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantesEcuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables

I Ecuaciones diferenciales no lineales

2. Ecuaciones en derivadas parciales

Ejemplo de aplicacion: trayectorias ortogonales

(x+1)2 +2(x+1)(y−3)− (y−3)2 = C =⇒ y′ =−x+ y−2x− y+4

y′ =x− y+4x+ y−2

=⇒ (x+1)2−2(x+1)(y−3)− (y−3)2 = C

E. D. de variables separadas

La ecuacion diferencial

y′ = f (x,y)⇐⇒ dydx

= f (x,y)

es de variables separadas si

f (x,y) =g(x)h(y)

.

Para resolverla integraremos separadamente las variables:

dydx

=g(x)h(y)

=⇒ h(y)dy = g(x)dx =⇒∫

h(y)dy =∫

g(x)dx+C

Nota: La constante de integracion se calcula imponiendo la condiciony(x0) = y0 del problema de valor inicial

E. D. homogeneas

La ecuacion y′ = f (x,y) es homogenea si la funcion f verfica:

f (λx,λy) = f (x,y) .

En este caso hacemos el cambio de variable:

u =yx.

Asıy = ux =⇒ y′ = u′x+u,

y, al sustituir, obtenemos una e. d. de variables separables:

u′x+u = f (x,ux) = f (1,u) .

E. D. exactasLa ecuacion g(x,y)dx+h(x,y)dy = 0 es exacta si existe una funcion φ ,llamada funcion potencial, tal que:

∂φ

∂x= g(x,y) ,

∂φ

∂y= h(x,y) .

En este caso, la solucion general es:

φ(x,y) = C

Propiedad: Si g y h son funciones de clase C 1, la ecuacion diferencial esexacta si y solo si:

∂g∂y

=∂h∂x

.

El calculo de la funcion φ se realiza en dos pasos:

(1)∂φ

∂x= g(x,y) =⇒ φ(x,y) =

∫g(x,y)dx+p(y) ,

(2) Como∂φ

∂y= h(x,y) =⇒ ∂

∂y

∫g(x,y)dx+p′(y) = h(x,y). Entonces:

p(y) =∫ [

h(x,y)− ∂

∂y

∫g(x,y)dx

]dy.

E. D. lineales

Una ecuacion diferencial lineal tiene la forma

y′+p(x)y = q(x)

Si multiplicamos ambos miembros de la ecuacion por el factor integrante:

µ(x) = e

∫p(x)dx

tenemos una ecuacion, equivalente a la original, del tipo exacta. En efecto,

e∫

p(x)dxy′+ e∫

p(x)dxp(x)y = e∫

p(x)dxq(x)ddx

[e∫

p(x)dxy]

= e∫

p(x)dxq(x)

e∫

p(x)dxy =∫

e∫

p(x)dxq(x)dx+C =⇒ y = e−∫

p(x)dx[

C +∫

q(x)e∫

p(x)dx dx]

E. D. lineales de orden n con coeficientes constantes

Son de la forma:

anyn) +an−1yn−1) + ...+a1y′+a0y = f (t) (1)

donde los coeficientes ai son constantes.

La e.d. homegenea asociada es:

anyn) +an−1yn−1) + ...+a1y′+a0y = 0 (2)

La solucion general de (1) es:

y(t) = yh(t)+ yp(t) ,

donde:

I yh es la solucion general de la e.d. homogenea (2),I yp es una solucion particular de la ecuacion completa (1).

E. D. lineales de orden n con coeficientes constantesPara resolver la ecuacion homogenea (2):

anyn) +an−1yn−1) + ...+a1y′+a0y = 0 ,

buscamos soluciones del tipo eλ t, donde λ es raız de la denominadaecuacion caracterıstica:

p(λ ) = anλn +an−1λ

n−1 + ...+a1λ +a0 = 0 .

Cada raız aporta a la solucion un termino yk(t), de forma queyh(t) = C1y1(t)+C2y2(t)+ . . .; ası,

I si λk es una raız real y simple de la ecuacion caracterıstica, yk(t) = eλk t

I si λk = αk +βki es una raız compleja y simple de la ecuacion caracterıstica,entonces tambien sera raız de la misma ecuacion su conjugada (αk−βki); a estepar de raıces le corresponde el par de soluciones:

eαk t cos(βkt) y eαk t sin(βkt)

I si λk es una raız de multiplicidad m, su aportacion a la solucion general es:

(Ck +Ck+1t +Ck+2t2 + . . .Ck+m−1tm−1)eλk t (si es real)

eαk t[(Ck + . . .+Ck+m−1tm−1)cos(βkt)+(Ck + . . .+ Ck+m−1tm−1)sin(βkt)

](si es compleja)

E. D. lineales de orden n con coeficientes constantesPara encontrar una solucion particular de la ecuacion (1) utilizaremos elmetodo de los coeficientes indeterminados; ası, buscaremos una solucionyp parecida a la funcion segundo miembro f :

1. Si f es un polinomio, f (t) = amtm + ...+a1t +a0, entonces

yp(t) = ts(Cmtm + ...+C1t +C0) ,

donde s es el numero de veces que λ = 0 es raız de la ecuacioncaracterıstica

2. Si f es el producto de una funcion exponencial por un polinomio,f (t) = eat(amtm + ...+a1t +a0), entonces,

yp(t) = tseat(Cmtm + ...+C1t +C0) ,

donde s es el numero de veces que a es raız real de la ecuacioncaracterıstica

3. Si f es producto de una exponencial, una funcion trigonometrica y unpolinomio, f (t) = eαt sin(β t)(amtm + ...+a1t +a0), entonces

yp(t)= tseαt [(Bmtm + ...+B1t +B0)cos(β t)+(Cmtm + ...+C1t +C0)sen(β t)] ,

donde s es el numero de veces que (α±β i) es raız de la ecuacioncaracterıstica.

Metodo de los coeficientes indeterminados (I)

Segundo miembro f (x)

eαxsinβx

ocosβx

Pm(x)

Buscamos: α ±β i α = 0

Solucion particular yp(x)

Si no es raız: eαx Acosβx+Bsinβx Pm(x)

Si es raız: xseαx xs(Acosβx+Bsinβx) xsPm(x)

Metodo de los coeficientes indeterminados (II)

Segundo miembro f (x)eαx sinβx

oeαx cosβx

eαxPm(x)Pm(x)sinβx

oPm(x)cosβx

Buscamos: α±β i α ±β i

Solucion particular yp(x)

Si no es raız: eαx(Acosβx+Bsinβx) eαxPm(x)Pm(x)cosβx++ Qm(x)sinβx

Si es raız: xseαx(Acosβx+Bsinβx) xseαxPm(x)xsPm(x)cosβx++xsQm(x)sinβx

y′′+ω2y = 0 ω = 2 y(0) =−3 y′(0) = 0

y(t) = yh(t) = C1 cos2t +C2 sin2t =−3cos2t

y′′+4y = sin t y(0) =−3 y′(0) = 0

y(t) = yh(t)+ yp(t) =−3cos2t− 16

sin2t +13

sin t

y′′+4y = sin2t y(0) =−3 y′(0) = 0

y(t) = yh(t)+ yp(t) =−3cos2t +18

sin2t− 14

t cos2t

y′′+2kωy′+ω2y = 0 ω = 2, k = 0,04 y(0) =−3 y′(0) = 0

y(t) = yh(t) = e−kωt[C1 cosω

√1− k2t +C2 sinω

√1− k2t

]

y′′+2kωy′+ω2y = sin t ω = 2, k = 0,08 y(0) =−3 y′(0) = 0

y(t) = e−kωt[C1 cosω

√1− k2t +C2 sinω

√1− k2t

]+

+1

(ω2−1)+4k2ω2

[(ω2−1)sin t−2kω cos t

]

y′′+2kωy′+ω2y = e−t

ω = 2, k = 0,04 y(0) =−3 y′(0) = 0

y(t) = e−kωt[C1 cosω

√1− k2t +C2 sinω

√1− k2t

]+

1ω2−2kω +1

e−t

y′′+2kωy′+ω2y = 0 ω = 2, k = 1 y(0) =−3 y′(0) = 0

y(t) = yh(t) =−3e−2t(1+2t)

y′′+2kωy′+ω2y = sin t ω = 2, k = 1 y(0) =−3 y′(0) = 0

y(t) = (C1 +C2t)e−kωt +1

(ω2−1)2 +4k2ω2

[(ω2−1)sin t−2kω cos t

]

y′′+4y′+4y = e−2t y(0) =−3 y′(0) = 0

y(t) = (−3−6t)e−2t +12

e−2t

y′′+2kωy′+ω2y = 0 ω = 2, k = 1,05 y(0) =−3 y′(0) = 0

y(t) = yh(t) = C1e(−kω+ω

√k2−1)t +C2e(−kω−ω

√k2−1)t

y′′+2kωy′+ω2y = 5sin t ω = 2, k = 1,05 y(0) =−3 y′(0) = 0

y(t) = yh(t)+ yp(t) = yh(t)+5

(ω2−1)2 +4k2ω2

[−2kω cos t +(ω2−1)sin t

]