Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures

En Ciència és inevitable cometre errades, si més no perquè el nostre aparell de mesura no és prou bo. A diferència del món polític, on els errors s'oculten, en Ciència s'exhibeixen i es valoren tan exactament com sigui possible de tal manera que les persones que facin servir les nostres mesures tenguin present quina confiabilitat tendran.

Qualitat de les mesuresQualitat de les mesuresNosaltres mai sabrem quin és el valor real d'una quantitat, només coneixem aproximacions, potser molt bones. Habitualment, la millor estimació del valor real d'una magnitud que coneixem és la mitjana que s'obté mesurant repetides vegades i dividint la suma de totes les mesures entre el nombre d'observacions

Qualitat de les mesuresQualitat de les mesuresAlguns errors provenen de la falta de PRECISIÓ de l'aparell que és una combinació entre la SENSIBILITAT (la mínima mesura que pot fer, per exemple 1 mm) i la FIDELITAT (la característica de repetir una mesura i donar sempre el mateix valor)

Qualitat de les mesuresQualitat de les mesuresL'EXACTITUD és la característica d'un aparell que indica que està ben calibrat i que dóna valors molt pròxims al valor real o al valor més probable, parlant en termes més realístics

Qualitat de les mesuresQualitat de les mesuresPer expressar els errors feim servir:L'ERROR ABSOLUT que és la diferència entre el valor més probable i el valor observat

i l'ERROR RELATIU que és el quocient entre l'error absolut i el valor més probable. És freqüent donar aquesta mesura en forma de percentatge

Qualitat de les mesuresQualitat de les mesuresSi tenim una col·lecció de mesures i volem descartar algunes d'elles que no considerem confiables hi ha criteris estadístics que ens ajuden a decidir quines mesures hem de descartar, com ara la desviació típica

Si una mesura difereix de la mitjana en menys de 2σn-1 la considerarem bona i si difereix en més de3σn-1 la considerarem dolenta

Qualitat de les mesuresQualitat de les mesuresIgualment, l'error quadràtic mitjà

Permet assegurar que, el vertader valor, té:Una prob. del 68,27% d'estar entre x-σx i x+σx Una prob. del 95,45% d'estar entre x-2σx i x+2σx Una prob. del 99,70% d'estar entre x-3σx i x+3σx

Qualitat de les mesuresQualitat de les mesuresD'aquesta manera l'única manera correcta de donar una mesura d'una magnitud és amb el valor més probable més o manco la meitat de l'interval d'incertesa que hàgim determinat

M = 31,4 ± 0,1 gL = 16,5 ± 0,2 cm

Qualitat de les mesuresQualitat de les mesuresEls intervals d'error no es donen mai amb més d'un decimal, en casos molt excepcionals amb dos. Si se'n tenen més s'ha d'arrodonir fent servir la regla habitual: si el primer decimal que es deixa és 5 o més de cinc s'arrodoneix per excés i si és inferior a 5 s'arrodoneix per defecte

0,0053 s'arrodoneix a 0,0050,0056 s'arrodoneix a 0,0061,53 s'arrodoneix a 21,35 s'arrodoneix a 126,44576 s'arrodoneix a 3012234,22345 s'arrodoneix a 1200042234,55877 s'arrodoneix a 42000

Qualitat de les mesuresQualitat de les mesuresNo és pot donar un interval d'error que sigui més petit que la màxima resolució de l'aparell.Per exemple, si es fa una mesura amb un regla que permet mesurar mil·límetres no es pot donar un valor, com ara

L = 12,3 ± 0,05 cm

Qualitat de les mesuresQualitat de les mesuresPer determinar el marge d'error d'unes mesures ...

1.Es fan les mesures i s'alliberen d'errors sistemàtics (amb la desviació estàndard)

2.Es calculen x i σx

3.Es determina l'error absolut derivat de l'aparell de mesura que és, freqüentment, la precisió (però no sempre)

4.L'error absolut és el major valor entre la precisió de l'aparell (punt 3) i σx

Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures

Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures((Propagació dels errorsPropagació dels errors))

Quan, a partir de mesures afectades per errors coneguts, feim càlculs per determinar altres magnituds derivades és necessari conèixer quin és el valor de l'error que afecta el resultat. Per exemple, a partir de les mesures d'una taula 1,2 ±0,1 m i 3,5 ± 0,2 m volem determinar la superfície de la taula.Evidentment el valor de la superfície serà 1,2*3,5 = 4,2 m però quina serà la incertesa en la seva mesura?

4,2 ± ? m

Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures((Propagació dels errors : SUMAPropagació dels errors : SUMA))

Quan sumam dues (o més) variables mesurades, per determinar l'error de la suma, s'han de sumar, en valor absolut, les incerteses de les variables

Volem sumar dues masses m

1 = 200 ± 2 g m

2 = 150 ± 3 g

mmàx

= 202 + 153 = 355 g mmín

= 198 + 147 = 345 g

m = suma ± (2 + 3) = 350 ± 5 g

Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures((Propagació dels errors : RESTAPropagació dels errors : RESTA))

Quan restam dues (o més) variables mesurades, per determinar l'error del resultat, s'han de sumar, en valor absolut, les incerteses de les variables

Volem restar dues masses m

1 = 200 ± 2 g m

2 = 150 ± 3 g

mmàx

= 202 - 147 = 55 g mmín

= 198 - 153 = 45 g

m = resta ± (2 + 3) = 50 ± 5 g

Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures((Propagació dels errors : MULTIPLICACIÓPropagació dels errors : MULTIPLICACIÓ))

Quan multiplicam dues (o més) variables mesurades, per determinar l'error [aproximat, millor com més petits són els errors] del resultat, s'han de sumar, en valor relatiu, les incerteses de les variables i multiplicar-les pel resultat de multiplicar les variables

Volem multiplicar dues longituds l1 = 20 ± 2 cm l

2 = 15 ± 1 cm

Amàx

= 22 * 16 352 cm2 Amín

= 18 * 14 = 252 cm2

A = producte ± (producte *(2/20 + 1/15)) = 300 ± 50 cm2

Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures((Propagació dels errors : MULTIPLICACIÓPropagació dels errors : MULTIPLICACIÓ))

Quan multiplicam dues (o més) variables mesurades, per determinar l'error [aproximat, millor com més petits són els errors] del resultat, s'han de sumar, en valor relatiu, les incerteses de les variables i multiplicar-les pel resultat de multiplicar les variables

Volem multiplicar dues longituds l1 = 20,0 ± 0,2 cm l

2 = 15,0 ± 0,1 cm

Amàx

=20,2 * 15,1 = 305,02 cm2 Amín

=19,8 * 14,9 = 295,02 cm2

A = producte ± (producte *(0,2/20 + 0,1/15)) = 300 ± 5 cm2

Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures((Propagació dels errors : DIVISIÓPropagació dels errors : DIVISIÓ))

Quan dividim dues variables mesurades, per determinar l'error [aproximat, millor com més petits són els errors] del resultat, s'han de sumar, en valor relatiu, les incerteses de les variables i multiplicar-les pel resultat de dividir les variables

l = 20 ± 2 cm t = 2,0 ± 0,5 sV

màx=22/1,5= 14,67 m/s V

mín=18/2,5 = 7,20 m/s

V = quocient ± (quocient *(2/20 + 0,5/2)) = 10 ± 3,5 cm2

Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures((Propagació dels errors : DIVISIÓPropagació dels errors : DIVISIÓ))

Quan dividim dues variables mesurades, per determinar l'error [aproximat, millor com més petits són els errors] del resultat, s'han de sumar, en valor relatiu, les incerteses de les variables i multiplicar-les pel resultat de dividir les variables

l = 20 ± 1 cm t = 2,0 ± 0,1 sV

màx=21/1,9= 11,05 m/s V

mín=19/2,1 = 9,05 m/s

V = quocient ± (quocient *(1/20 + 0,1/2)) = 10 ± 1 cm2