Càlcul I. Teoria i exercicis

CINCIES APLICADES

Clcul I. Teoria i exercicis

UPCGRAU

M. Carme Leseduarte MilnM. Dolors Llongueras Arola

Antoni Magaa Nieto

UPCGRAU


M. Carme Leseduarte MilnM. Dolors Llongueras Arola

Antoni Magaa Nieto

En collaboraci amb el Servei de Llenges i Terminologia de la UPC

Primera edici: setembre de 2011

Disseny i dibuix de la coberta: Jordi SoldevilaDisseny maqueta interior: Jordi SoldevilaMaquetaci: Merc Aicart

els autors, 2011

Iniciativa Digital Politcnica, 2011 Oficina de Publicacions Acadmiques Digitals de la UPC Jordi Girona Salgado 31, Edifici Torre Girona, D-203, 08034 Barcelona Tel.: 934 015 885 Fax: 934 054 101 www.upc.edu/idp E-mail: [email protected]

Dipsit legal: B-33.170-2011ISBN: 978-84-7653-741-1

Cualquier forma de reproduccin, distribucin, comunicacin pblica o transformacin de esta obra slo puede realizarse con la autorizacin de sus titulares, salvo excepcin prevista en la ley.

ndex

ndex

Presentaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Conceptes previs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1. Test inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2. Polinomis i equacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2. Breu resum teric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2. Problemes resolts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2. Problemes proposats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3. Geometria elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.2. Breu resum teric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.2. Problemes resolts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2. Problemes proposats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.4. Trigonometria plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.2. Breu resum teric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.2. Problemes resolts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.2. Problemes proposats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5. Geometria analtica plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.2. Breu resum teric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.2. Problemes resolts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.2. Problemes proposats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.6. Derivades i integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.2. Breu resum teric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.2. Problemes resolts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.2. Problemes proposats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Els nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.1. Diferents classes de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.2. Els nombres reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5


2.2. Representaci dels nombres sobre una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.2. Propietat de densitat de Q i R\Q en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2. Ordenaci dels nombres reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2. Intervals i semirectes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.2. Inequacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.2. Suprem, nfim, mxim i mnim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.2. Expressi decimal dels nombres reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.2. Valor absolut i distncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.3. Els nombres complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2. Operacions amb complexos en forma binmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.2. Representaci grfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.2. Mdul i argument. Diferents maneres dexpressar un nombre complex . . 702.2. Operacions amb complexos en forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.2. Producte i quocient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.2. Potenciaci. Frmula de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.2. Radicaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.2. Arrels ensimes i polgons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.2. Descomposici dun polinomi en factors primers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771.2. Problemes resolts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781.2. Problemes proposats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.1. Conceptes bsics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.2. Les funcions elementals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.2. Funcions polinmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.2. Funcions racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.2. Funcions exponencials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.2. Funcions logartmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.2. Funcions trigonomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.2. Funcions hiperbliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.3. Operacions algebraiques amb funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.4. Composici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.5. Funci inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.6. Esbs de grfiques de funcions a partir de funcions donades . . . . . . . . . . . . 1053.7. Grfiques de corbes en coordenades polars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.2. Rectes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102.2. Circumferncies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.2. Cargols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.2. Lemniscates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122.2. Roses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131.2. Problemes resolts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1141.2. Problemes proposats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6

ndex

Continutat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12514.1. Lmit duna funci en un punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12512.2. Lmits infinits i lmits en linfinit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12712.2. Operacions amb infinits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12814.2. Continutat duna funci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13012.2. Discontinutat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13112.2. Propietats locals de les funcions contnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13412.2. Propietats de la continutat global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13411.2. Problemes resolts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13911.2. Problemes proposats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Derivaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14515.1. Definici i interpretaci del concepte de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14511.2. Interpretaci fsica. El problema de la velocitat instantnia . . . . . . . . . . . . 14611.2. Interpretaci geomtrica. El problema de la recta tangent . . . . . . . . . . . . . 14711.2. Derivades laterals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15111.2. Idea grfica de la derivabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15311.2. Aproximaci per la tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15411.2. Derivada com a coeficient de variaci o ra de canvi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15515.2. Angle dintersecci entre corbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15615.3. Derivabilitat i continutat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15815.4. Derivada i operacions algebraiques. Derivades dordre superior . . . . . . . . 15911.2. Propietats algebraiques de les funcions derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15911.2. Derivades dordre superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16015.5. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16115.6. Derivada de la funci inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16215.7. Derivades de les principals funcions elementals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16615.8. Derivaci implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16611.2. Aplicaci. Derivada logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16811.2. Derivades dordre superior implcitament . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16915.9. Teoremes del valor mitj i aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1705.10. Extrems absoluts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17415.9. Extrems absoluts duna funci contnua f en un interval tancat . . . . . . . . 17415.9. Extremsabsoluts duna funci f (contnua o no)enun interval, semirecta... 1745.11. Regles de LHpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17515.9. Aplicaci reiterada de la regla de LHpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17815.9. Aplicaci a les indeterminacions 0 , , 00, 0 i 1 . . . . . . . . . . . . 1795.12. La frmula de Taylor. Aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18115.9. Aproximaci de funcions mitjanant polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18115.9. Alguns desenvolupaments de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18415.9. Infinitsims. Aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865.13. Estudi local duna funci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18911.2. Problemes resolts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19211.2. Problemes proposats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

7


Integraci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.1. La integral de Riemann. Propietats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.1. Construcci de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.1. Propietats de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.2. Integraci i derivaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2086.1. Funci integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2086.1. Teorema fonamental del clcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.1. Corollaris del teorema fonamental del clcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.3. Clcul de primitives de funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2146.1. Integrals immediates usuals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156.1. Integraci per descomposici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156.1. Integraci per canvi de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2166.1. Integraci per parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2166.1. Integraci de funcions racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2176.1. Integraci de funcions trigonomtriques i hiperbliques . . . . . . . . . . . . . . . . 2236.1. Integrals irracionals senzilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2266.4. Integrals imprpies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2276.5. Aplicacions de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2316.1. rees planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2316.1. rees planes en coordenades cartesianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2316.1. rees planes en coordenades polars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2346.1. Volums de revoluci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2356.1. Mtode dels discos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2356.1. Mtode de les capes o tubs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2376.1. Volums de secci donada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2401.2. Problemes resolts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2401.2. Problemes proposats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

Successions i sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2517.1. Principi dinducci matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2517.2. Successions de nombres reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2536.1. Operacions amb successions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2546.1. Lmit duna successi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2556.1. Successions montones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2596.1. Infinits i infinitsims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2646.1. Altres criteris de convergncia per a successions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2667.3. Sries numriques reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2676.1. Sries de termes no negatius. Criteris de convergncia . . . . . . . . . . . . . . . . . 2716.1. Convergncia absoluta i condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2747.4. Sries numriques complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2757.5. Sries de potncies reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2766.1. Continutat i derivabilitat duna srie de potncies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2796.1. Integrabilitat duna srie de potncies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

8

ndex

6.1. Operacions amb sries de potncies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2816.1. Srie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2817.6. Sries de potncies complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2841.2. Problemes resolts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2851.2. Problemes proposats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

Corbes parametritzades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2958.1. Parametritzaci duna corba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2958.2. El vector tangent a una corba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2998.3. El tredre de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3038.4. La longitud darc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3078.5. La curvatura duna corba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3098.5. Curvatura per a corbes planes en coordenades cartesianes . . . . . . . . . . . . . . 3098.5. Curvatura per a corbes a lespai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3108.6. La torsi duna corba. Frmules de Frenet-Serret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3128.5. Les frmules de Frenet-Serret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3141.2. Problemes resolts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3151.2. Problemes proposats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

Solucions dels problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

ndex alfabtic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

9

Presentaci

Presentaci

Per cursar qualsevol carrera denginyeria, s necessari tenir uns bons fonaments en lesdisciplines cientfiques bsiques, com s el clcul. Aquest llibre, fruit de la nostra experi-ncia docent durant els darrers anys a lEscola Tcnica Superior dEnginyeries Industriali Aeronutica de Terrassa (ETSEIAT), pretn posar a labast de lestudiantat de lassig-natura Clcul I (tant la que simparteix al Grau de Tecnologies Industrials com les quesimparteixen amb el mateix nom als graus dAeronutica) un resum complet de la te-oria daquesta assignatura. El resum teric va acompanyat duna extensa col.lecci deproblemes resolts, que creiem que pot ajudar la persona interessada a entendre millor i aconsolidar els conceptes terics. Alhora, els problemes resolts es poden utilitzar com amodel en el moment en qu lalumnat hagi de resoldre altres problemes de forma aut-noma. Per afavorir aquest aprenentatge autnom, sha incls un recull de problemes perresoldre (amb les seves solucions respectives).

El llibre est dividit en nou captols. La matria del primer captol, que hem titulat Con-ceptes previs, no forma part, estrictament parlant, del programa de les assignatures declcul que shan mencionat anteriorment. Tanmateix, ens ha semblat oport incloure enaquest captol un breu resum dalguns resultats terics i prctics que, suposadament, jashaurien dhaver explicat en assignatures prvies. Com que sovint aquesta suposici nos del tot certa, es recorden les beceroles del clcul. Per exemple, es repassen propietatsdels polinomis o conceptes bsics de geometria, com ara les frmules per calcular reesdalgunes figures planes o volums de slids regulars. Tamb hi ha un resum de trigono-metria plana i de geometria analtica. Es recorda com es resolen equacions de diversostipus (polinmiques, irracionals, trigonomtriques...) i es repassa el clcul de derivades iel de primitives. Aquest captol comena amb un test que serveix per mesurar els conei-xements inicials de lalumne o lalumna. Daquesta manera, cada estudiant pot decidiren quins aspectes ha daprofundir ms o menys.

Als captols segents es tracten els temes clssics dun curs de clcul duna variable.El segon captol est dedicat als nombres reals i complexos. El tercer, als conceptesbsics de les funcions duna variable real, com les operacions amb funcions o lesbs dela grfica duna funci en coordenades polars. Al quart captol, sestudia el concepte delmit duna funci en un punt, la noci de funci contnua i les seves propietats. El captol

11


cinqu est dedicat a la derivaci de funcions i les seves aplicacions. Al sis, sintrodueixla integral de Riemann per a funcions duna variable, es veuen mtodes per determinarprimitives i sestudien aplicacions de la integral al clcul drees planes, de volums decossos de revoluci i de volums de cossos de secci donada. Al captol set, sestudienles successions i les sries, comenant pel principi dinducci matemtica i acabant ambles sries de potncies, tant reals com complexes, que seran dutilitat en assignaturesposteriors. Al vuit, sintrodueixen les corbes parametritzades com a funcions dunavariable amb imatge vectorial i sestudien conceptes geomtrics com ara el tredre deFrenet, la curvatura i la torsi.

Finalment, el captol nov cont les solucions del test i de tots els problemes proposatsal llarg del text. Tamb sha incls un ndex alfabtic per facilitar la localitzaci delsconceptes.

Per acabar, volem agrair la col.laboraci dels companys i les companyes de la Secci deTerrassa del Departament de Matemtica Aplicada II; alguns dells han aportat desinte-ressadament problemes que ara formen part daquest recull; daltres han contribut ambels seus comentaris a configurar el material que finalment shi ha incls. Tamb volemdonar les grcies a Iniciativa Digital Politcnica, que sencarrega de ledici i la difusidaquest llibre, versi ampliada i corregida dun llibre anterior.

Terrassa, maig de 2011

M. C. Leseduarte, M. D. Llongueras i A. Magaa

12

Conceptes previs

Conceptes previs

Lobjectiu fonamental daquest captol s refrescar alguns conceptes ja adquirits en cur-sos anteriors. Lenfocament s totalment prctic. Inclou un test inicial que permetr alestudiant, un cop lhagi realitzat, decidir quins aspectes ha de repassar amb ms inten-sitat.

En destaquem cinc grans rees:

Polinomis i equacions: inclou bsicament el desenvolupament dexpressions algebrai-ques, lextracci de factor com, les operacions amb polinomis i la resoluci de-quacions.

Geometria elemental: comprn la semblana de polgons, rees de figures planes i lesrees i els volums de slids regulars.

Trigonometria plana: engloba les raons trigonomtriques (sinus, cosinus...), la resolu-ci dequacions trigonomtriques i de triangles.

Geometria analtica plana: recorda les diferents equacions duna recta, la perpendi-cularitat i el paral.lelisme, i estudia les equacions i els elements principals de lescniques.

Derivades i integrals: es recorda el clcul de derivades i el de primitives.

Objectius

Una vegada desenvolupat el captol, lestudiant ha de ser capa de:

Manipular adequadament les principals operacions algebraiques. Calcular rees i permetres de figures elementals. Determinar rees i volums de slids regulars. Conixer les raons trigonomtriques dels angles notables. Conixer les principals identitats trigonomtriques. Resoldre triangles rectangles i obliquangles.

15


Resoldre equacions trigonomtriques senzilles. Conixer les equacions de la recta. Calcular langle entre dues rectes. Conixer les equacions redudes de les cniques. Identificar els elements principals de les cniques. Calcular derivades aplicant la regla de la cadena. Calcular primitives immediates.

1.1. Test inicial

Problema 1

Un pal de 2 m projecta una ombra d15 m. Laltura dun arbre que a la mateixa horaprojecta una ombra de 35 m s de:

a) 4 m

b) 47 m

c) 55 m

d) 6 m

e) 375 m

Problema 2

El costat dun triangle equilter mesura 2 cm. Lrea s de:

a) 1 cm2

b)

3

3cm2

c)

3 cm2

d)

2 cm2

e) 4 cm2

Problema 3

El volum dun cilindre de radi 5 cm i altura 10 cm s:

a) 125 cm3

b) 100 cm3

c) 50 cm3

d) 500 cm3

e) 250 cm3

16

Conceptes previs

Problema 4

Lequaci de la recta que passa pel punt (1,1) i t pendent 5 s:

a) y = 15x+ 4

5

b) y = 5x4c) y =5x+6d) y = x+5

e) y = x+1

Problema 5

Tant la frmula de la gravitaci universal de Newton com la de latracci elctrica de

Coulomb tenen lestructura F = Cabd2

. El valor de F expressat en notaci cientfica per

al cas C = 9 109, d = 3 104 i a = b = 4 105 s:

a) 16 109b) 16 107c) 16 108d) 4 1010e) 12 109

Problema 6

El resultat de desenvolupar i simplificar lexpressi (2x2 + x3)2 s:

a) x9 +4x5 +2x4

b) x6 +4x4

c) x6 +2x4

d) x6 +4x5 +4x4

e) x9 +4x4

Problema 7

El desenvolupament de (1 x)3 s:

a) x3 +3x23x+1b) x3 +1c) x3 x2 x+1d) x33x2 +3x1e) x61

17


Problema 8

En simplificar el mxim possible la fraccixy x2xy2 x3 , obtenim

a) y xb) 1

yx

c) 0

d) y+ x

e) 1y+x

Problema 9

La derivada de y = cos3 4x s:

a) 12sin2 4xb) 4sin3 4x

c) 3cos2 4x

d) 3cos2 4xe) 12cos2 4x sin4x

Problema 10

El valor de la integral

2xx2 +5

dx s:

a) arctg (x2 +5)+C, on C s una constant.

b) ln(x2 +5)+C, on C s una constant.

c) arcsin(x2 +5)+C, on C s una constant.

d) (x2 +5)3 +C, on C s una constant.

e) No es pot integrar.

1.2. Polinomis i equacions

Continguts: Propietats de les potncies i de les operacions. Binomi de Newton. Nombres combinatoris. Operacions amb fraccions i amb arrels. Equacions de segon grau, biquadrades i irracionals. Operacions amb polinomis.

18

Conceptes previs

Breu resum teoric

Propietats de les potncies.

Si a R i n,m R, llavors es compleix que: an am = an+m

an

am= anm

(an)m = anm

an =1an

a0 = 1

amn = n

am amb a 0

Binomi de Newton. Nombres combinatoris

Recordem que

(ab)2 = a22ab+b2(a+b)(ab) = a2b2(ab)3 = a33a2b+3ab2b3.

En general, si n N, es t

(ab)n =(

n0

)an(

n1

)an1b+

(n2

)an2b2

(n3

)an3b3 + +(1)n

(nn

)bn.

Encara que no amb aquesta notaci, Tartaglia ja coneixia aquest desenvolupament. De fet,Newton va demostrar que la igualtat anterior s vlida per als enters i per als racionals.Posteriorment, Euler la justific tamb per als irracionals. Ara s coneguda com el binomide Newton.

Lexpressi

(mn

)sanomena nombre combinatori i es defineix com

(mn

)=

m!n!(mn)! , on k! = k(k1)(k2) 3 2 1.

Recordem que, per definici, 0! = 1 i que

(mn

)indica el nombre de subconjunts de n

elements que hi ha en un conjunt de m elements.

Observant lexpressi del binomi de Newton, veiem que:

La suma dels exponents de a i de b en cada terme s n.

Els coeficients del desenvolupament de Newton sn els nombres combinatoris de lesdistintes files del triangle de Tartaglia-Pascal:

19


n = 0

(00

)n = 1

(10

) (11

)n = 2

(20

) (21

) (22

)n = 3

(30

) (31

) (32

) (33

)

o b,

n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1

El triangle es genera de manera que, sumant dos elements consecutius duna fila,obtenim el nombre comprs entre els dos de la fila segent.

Equacions de segon grau, biquadrades i irracionals

Definici 1.1 Anomenem equacions biquadrades les equacions de la forma

ax2n +bxn + c = 0, sent n N i a = 0,b,c R.s a dir, lexponent duna de les potncies s el doble de laltra. La denominacibiquadrada deriva del cas particular n = 2, en coincidir que al mateix temps unapotncia s el quadrat de laltra:

ax4 +bx2 + c = 0.

Les equacions biquadrades es converteixen en equacions de segon grau mitjanant elcanvi

xn = z, x2n = z2

Daquesta manera, noms cal resoldre lequaci de segon grau

az2 +bz+ c = 0

i, desprs, desfer el canvi.

Anomenem equacions irracionals aquelles en qu les incgnites estan dins duna arrel.

Generalment, per a la seva resoluci cal allar el radical en un membre de lequaci idesprs elevar els dos membres de la igualtat a la potncia adequada perqu desapareguilarrel. Repetim el procs tants cops com sigui necessari fins a eliminar tots els radicals.

20

Conceptes previs

Mitjanant aquest mtode, hi ha el perill que ens apareguin nombres que, de fet, no snsoluci de lequaci donada. Per aix, sempre cal comprovar si el resultat obtingut satisflequaci inicial.

Problemes resolts

Problema 1

Comproveu que es compleix la igualtat segent:

(82

)+

(83

)=

(93

).

[Solucio]

En efecte, (82

)+

(83

)=

8!2!6!

+8!

3!5!= 84 i

(93

)=

9!3!6!

= 84.

Finalment,

(82

)+

(83

)=

(93

).

Problema 2

Desenvolupeu i simplifiqueu el mxim possible(3 x

3

)5.

[Solucio]

Utilitzant el desenvolupament del triangle de Pascal o de Tartaglia, tenim que(3 x

3

)5= 355 34 x

3+10 33

( x3

)210 32

( x3

)3+5 3

( x3

)4( x

3

)5i, desprs de simplificar, obtenim

(3 x

3

)5= x

5

243+

527

x4 103

x3 +30x2135x+243.

Problema 3

Aplicant el binomi de Newton, calculeu el terme de grau 1 en el desenvolupament de(x1)100.

[Solucio]

El penltim terme del desenvolupament de (x1)100 ser:

(

10099

)x = 100!

99!1!x =100x.

21


Problema 4

Calculeu i simplifiqueu el mxim possible lexpressi segent:

5

758

48+3

27+12

37

108.

[Solucio]

Descomponent els radicands i desprs extraient factors fora del radical, en cas que siguipossible, obtenim

5

75848+327 +1237108 == 5

3 5283 42 +33 32 +123722 32 3 == 25

3323+93+123423 =

=283.Problema 5

Efectueu loperaci segent i simplifiqueu-la al mxim:

551

3

33

52

.

[Solucio]

Per operar ms cmodament, racionalitzarem els denominadors:

5

51 =

5 (

5+1)

4,

3

33 =

3 (3+3)6

.

Aix,

5

51

3

33

52

=

5 (

5+1)

4

3 (3+3)6

52

=523+3

4.

Problema 6

Calculeu i simplifiqueu:

2x34x26x(x1)24 +

2x3 +5x2 +4x3(x+1)(x3) .

[Solucio]

Tenint en compte que (x1)24 = x22x3 = (x+1)(x3), podem escriure2x34x26x(x1)24 +

2x3 +5x2 +4x3(x+1)(x3) =

x22x3(x+1)(x3) = 1.

22

Conceptes previs

Problema 7

Resoleu les equacions segents:

a) x817x4 +16 = 0b)

x+5+

2x+8 =

7x+21

[Solucio]

a) s una equaci biquadrada; per tant,

x817x4 +16 = 0 x4 = 17

2252

={

x4 = 16 = x =2x4 = 1 = x =1.

b) s una equaci irracional i, per tant, hem de manipular-la adequadament per desfer-nos de les arrels:

x+5+

2x+8 =

7x+21

x+5+2

x+5 2x+8+2x+8 = 7x+21

2x2 +18x+40 = 2x+4

2x2 +18x+40 = 4x2 +16x+16.

Per tant,

2x22x24 = 0 x1 = 4, x2 =3.Si comprovem aquests resultats a lequaci inicial, observem que x2 =3 no s vlid.Finalment, la soluci de lequaci donada s x = 4.

Problema 8

Descomponeu en factors irreductibles:

a) 25x429x2 +4b) x35x2 +2x+8

[Solucio]

a) Les arrels de lequaci biquadrada 25x4 29x2 + 4 = 0 sn x = 1, x = 25; aix,

podem escriure:

25x429x2 +4 = 25(x1)(x+1)(

x 25

)(x+

25

).

b) Dividint pel mtode de Ruffini (si ms no, una vegada), obtenim que les arrels dex35x2 +2x+8 = 0 sn x =1, x = 2 i x = 4. Per tant,

x35x2 +2x+8 = (x+1)(x2)(x4).

23


Problemes proposats

Propietats de les potencies i de les operacions

Problema 11

Escriviu com a potncia de x:

a) x4x5

b)x5

x3

c) (x6)2

d)

(1x

)1

Problema 12

Escriviu en potncies de 10 els nombres segents:

0001; 3

10.000; 100001 ;

1410.000 ; (10

1/3 103)1 ; 00100001100.

Problema 13

Desenvolupeu i reduu les expressions segents:

a) (2x+5y)(3x2y) (2x1)(3x+2y) (x2y)(5y1)b) (ax2b)(ax22b)+3b(ax2b)+b(b1)c) (a1)(a2)(a3)+6(a1)(a2)+7(a1)d)(

13a2b 5

6ab2 +10b3 +20

)( 45a2b)

Binomi de Newton

Problema 14

Efectueu els desenvolupaments segents:

a) (ab)3b) (2x4)5

c)[(x+ y)2 + z

]2d) (a+b)4

24

Conceptes previs

Problema 15

Determineu el coeficient de x5 en el desenvolupament de

(5x 1

x

)7.

Problema 16

Quin s el terme independent de x en el desenvolupament de

(x2

2 2

x

)9?

Notacio cientfica

Problema 17

Sabent que X = 2 102, Y = 3 103, Z = 4 104, calculeu els nombres segents iexpresseu-ne el resultat en notaci cientfica:

a) X 4Y 5Z2

b)Z4Y 4

X 8.

Problema 18

Escriviu els nombres segents en forma de producte dun enter per una potncia de 10:

304 ; 20.0003 ; 00252 ; (4562)3.

Operacions amb fraccions i amb arrels

Problema 19

Simplifiqueu les fraccions segents:

a)4ax2a2x2a38a

b)a2

a24a+4

c)x2 +2yx+ y2

x2 y2

d)

bc c

b

1+cb

25


Problema 20

Efectueu les operacions segents i simplifiqueu-ne el resultat:

a)a

a2b2 1

a+b

b)a+1a1

(a2 +1)2

a21

c)b2 +2bc+ c2

b21 b+1b+ c

Problema 21

Desenvolupeu i reduu les expressions segents:

a) (3

233+65)(22+23+45)b) (

3+

5)(2

3+3

5) (3325)(3+25)c) (

2+2)2(12)2

Racionalitzacio de denominadors

Problema 22

Racionalitzeu els denominadors de les fraccions segents i simplifiqueu-ne el resultat:

a)5

3+

12

14

3

b)6

54

3

c)22532

d)(3

3+2)(

31)3+1

Problema 23

Efectueu les operacions que sindiquen:

a)2+

231

31

2+

22

b)555+

5 5+

5

55 +55

26

Conceptes previs

Equacions

Problema 24

Resoleu les equacions de segon grau segents:

a)x5

2=

2x2

b) (x+2)2 = 244xc) (x+6)(x6)8 = 14x

d)x5 4

x9 =73

Problema 25

Trobeu les solucions de les equacions segents:

a) x4 +5x236 = 0b) (4x7)(x25x+4)(2x27x+3) = 0c) (x3 +3x21)2 (x32x+1)2 = 0

d)x232

4+

28x29 = 0

Problema 26

Resoleu les equacions irracionals segents i comproveu-ne els resultats:

a)

20+2x = 4

b)

x+4 = 1+

x1c)

x+19 = 12x5d)

3+ x+

x =6

3+ x

Operacions amb polinomis

Problema 27

Obteniu el quocient i el residu de les divisions que sindiquen a continuaci (comproveu-ne el resultat):

a) (3a3 +10a25a+12) : (a+4)b) (x4 x3y+2x2y2 xy3 + y4) : (x2 + y2)c) (a541a120) : (a2 +4a+5)d) (x6 y6) : (x+ y)

27


Problema 28

Descomponeu en factors irreductibles els polinomis segents:

a) 2x25x7b) 2x4 + x38x2 x+6c) 2x37x2 +8x3d) 4x42x328x2 +38x12

Problema 29

Calculeu i simplifiqueu:

a)x+1x3

4x+3

+5x9x29

b)1

1 x +x

1+ x 1+ x

2

x21

c)3

x+2 x

2

x2 + x2 +x2 +1x1

d)x+2

(x24)(x1) +x+1

(x2)(x1)2 x2 +3

(x+2)(x1)

1.3. Geometria elemental

Continguts: Teoremes de Pitgores, de laltura i del catet.

rees i permetres de figures planes.

rees i volums de slids regulars.

Breu resum teoric

Donat un triangle rectangle ABC, amb angle recte en A, es tenen els resultats segents:

Teorema del catet: c2 = a m; b2 = a n

Teorema de laltura: h2 = m nTeorema de Pitgores: a2 = b2 + c2

28

Conceptes previs

Figura Permetre rea

Cercle de radi r 2r r2

Paral.lelogram daltura h i costats a,b (base) 2a+2b b hQuadrat de costa a 4a a2

Rectangle de base a i altura b 2a+2b a b

Rombe de diagonals d,D 2

d2 +D2D d

2

Triangle daltura ha i costats a,b,c a+b+ ca ha

2

Trapezi daltura h i costats paral.lels a i b (a+b) h2

Polgon regular de n costats de longitud l n l n l apotema2

Sector circular dangle i radi r r (arc) r2

2

Taula drees ipermetres de figuresplanes.

Figura rea lateral rea total Volum

Paral.leleppede(ortoedre) darestesa,b,c

2(ab+bc) 2(ab+ac+bc) a b c

Prisma recte ambbase drea Abase ialtura h

h(permetre base) 2Abase + rea lateral Abase h

Pirmide recta ambbase drea Abase ialtura h

Suma drees triangles Abase+ rea lateralAbase h

3

Cilindre circularrecte de radi r ialtura h

2rh 2r(h+ r) r2h

Con circular recte deradi r, altura h igeneratriu g

rg rg+r2r2h

3

Esfera de radi r 4r2 4r3

3

Taula drees i volums decossos.

29


Problemes resolts

Problema 9

Les projeccions dels catets dun triangle rectangle sobre la hipotenusa mesuren 9 cm i16 cm. Determineu la longitud dels catets i de laltura relativa a la hipotenusa.

[Solucio]

Pel teorema de laltura, sabem queh9=

16h

; per tant, h = 12 cm.

Apliquem el teorema del catet dues vegades (o b el teorema de Pitgores) i nobtenimla longitud dels catets: 15 cm i 20 cm.

Problema 10

Les rees de dos polgons semblants sn 36 m2 i 900 m2. Si el permetre del segon fa125 m, quin s el permetre del primer polgon?

[Solucio]

Sabem que si dos polgons, drees A1 i A2, sn semblants, i la ra de semblana entre

els costats s k, llavorsA2A1

= k2. Per tant,90036

= k2 i, daqu, k = 5. Finalment, 5 =

125P1 P1 = 25 m.

Problema 11

Calculeu lrea de la superfcie total dun con de volum 24 i base de radi 1.

[Solucio]

A partir del volum del con, obtenim laltura:

V =

3r2h = 24 = h = 72.

Daltra banda, lrea total ve donada per

Atotal = Alateral +Abase = rg+r2.

Tenint en compte la relaci g2 = 722 +1, determinem la generatriu g =

5.185. Final-ment,

rea total = (

5.185+1).

Problema 12

Un slid est format per un cilindre i dos cons iguals, construts sobre les bases delcilindre, externament a aquest. El volum global s 128, el radi s igual a 4 cm i lageneratriu del con val 5 cm. Quina s lrea de la superfcie total del slid?

30

Conceptes previs

[Solucio]

Fixem-nos que el volum total est format pel volum del cilindre, ms dues vegades el delcon. Siguin h laltura del con i H la del cilindre.

Aplicant el teorema de Pitgores, es dedueix que h = 3 cm. Per tant,

Volum total = Vcil +2Vcon = 42H +2 13 42 3 = = 128 H = 6 cm.

rea total = Acil +2Alateral con = 2 4 6+2 4 5 = 88 cm2.

Problemes proposats

Generalitats

Problema 30

En un triangle rectangle, laltura sobre la hipotenusa la divideix en dues parts que mesu-ren 3 cm i 12 cm. Esbrineu les longituds de laltura i dels catets.

Problema 31

Les rees de dos polgons semblants sn 74 cm2 i 1.850 cm2. Si el permetre del primers de 37 cm, calculeu-ne el del segon.

Problema 32

Si un camp est dibuixat a escala 1:500, quina ser sobre el terreny la distncia que en eldibuix fa 34 cm?

Problema 33

El permetre dun triangle s 27 cm, i els costats dun triangle semblant mesuren 2 cm, 3cm i 4 cm. Calculeu les longituds dels costats del primer triangle.

Problema 34

Quants costats t un polgon regular tal que el seu angle interior s de 162?

31


Arees de figures planes

Problema 35

Lrea dun trapezi issceles s de 420 cm2, les bases mesuren 40 cm i 30 cm. Determineu-ne les longituds dels costats no paral.lels.

Problema 36

Donat un paral.lelogram de costats 24 cm i 36 cm, calculeu-ne el valor de laltura, sabentque la projecci del costat petit sobre el gran s de 12 cm. Determineu tamb lrea delparal.lelogram.

Problema 37

Trobeu lrea dun hexgon regular de costat 25 m.

Problema 38

Determineu la longitud dun arc de circumferncia corresponent a un angle de 42, sa-bent que el radi s 4 m.

Problema 39

Calculeu la graduaci dun sector circular de 10472 cm2 drea i 10 cm de radi. Trobeutamb la longitud de larc corresponent.

Arees i volums de solids regulars

Problema 40

Lrea de la superfcie dun cub s 600 cm2. Determineu:

a) la longitud de laresta;b) la longitud de la diagonal;c) el volum del cub.

Problema 41

Un prisma recte t per base un hexgon regular de 8 cm daresta i 10 cm daltura. De-termineu lrea total de la superfcie i el volum del prisma.

Problema 42

Determineu el volum duna pirmide recta de base quadrada, sabent que lrea de la bases 64 cm2 i lapotema lateral de 5 cm.

Problema 43

Quina s laltura dun cilindre de 16 drea de la base i drea lateral el doble quelrea de la base?

Problema 44

Determineu la superfcie lateral dun con lrea de la base del qual s 625 cm2 i lalturas 4 cm.

32

Conceptes previs

1.4. Trigonometria plana

Continguts: Relacions fonamentals. Resoluci de triangles: teoremes del sinus i del cosinus. Raons trigonomtriques dangles notables. Raons trigonomtriques de la suma dangles. Frmules de langle doble i de langle meitat. Frmules de transformaci de la suma en producte. Identitats i equacions trigonomtriques.

Breu resum teoric

Relacions fonamentals

sinB =ba

= cosC = cos(90 B)

cosB =ca

= sinC = sin(90 B)

tgB =bc=

sinBcosB

= cotgC = cotg(90 B)

cosecB =1

sinB= secC = sec(90 B)

secB =1

cosB= cosecC = cosec(90 B)

Si s un angle qualsevol, es compleixen:

sin2+ cos2= 1 1+ tg 2= sec2

Teorema del sinus:

asinA

=b

sinB=

csinC

Teorema del cosinus:

a2 = b2 + c22bccosAb2 = a2 + c22accosBc2 = a2 +b22abcosC

33


Raons trigonometriques dangles notables

radiants graus sin cos tg

0 0 0 1 0

630

12

3

2

3

3

445

2

2

2

21

360

3

212

3

290 1 0

Raons trigonometriques de la suma dangles

sin(ab) = sina cosb cosa sinb. cos(ab) = cosa cosb sina sinb.

tg(ab) = tga tgb1 tga tgb .

Raons trigonometriques de langle doble

sin2a = 2 sina cosa.

cos2a = cos2 a sin2 a = 12sin2 a = 2cos2 a1. tg2a =

2tga1 tg 2a .

Raons trigonometriques de langle meitat

sina2=

1 cosa2

(signe + si a

2est als quadrants I o II

signe si a2

est als quadrants III o IV

)

cosa2=

1+ cosa2

(signe + si a

2est als quadrants I o IV

signe si a2

est als quadrants II o III

)

tga2=

1 cosa1+ cosa

(signe + si a

2est als quadrants I o III

signe si a2

est als quadrants II o IV

)

Transformacio de sumes de raons trigonometriques en productes,i viceversa

sina+ sinb = 2 sina+b

2cos

ab2

34

Conceptes previs

sina sinb = 2 cos a+b2

sinab

2

cosa+ cosb = 2 cosa+b

2cos

ab2

cosa cosb = 2 sin a+b2

sinab

2

sina sinb =12

[cos(ab) cos(a+b)

] cosa cosb =

12

[cos(ab)+ cos(a+b)

] sina cosb =

12

[sin(ab)+ sin(a+b)

]

Les equacions trigonomtriques sn aquelles en qu les incgnites apareixencom a variables dalguna funci trigonomtrica.

Problemes resolts

Problema 13

Trobeu tots els valors que satisfan lequaci cos2x+ sinx = 1.

[Solucio]

A partir de lexpressi del cosinus de langle doble cos2x = cos2 x sin2 x, substituint alequaci inicial obtenim:

2sin2 x+ sinx = 0 sinx(2sinx+1) = 0.Aix,

sinx = 0 x = ko b,

sinx = 12

x =

6+2k

x = 56+2k, k Z.

Problema 14

Trobeu tots els valors de x que satisfan lequaci

sinx+ cos2 x =54.

35


[Solucio]

A partir de la igualtat fonamental sin2 x+ cos2 x = 1, obtenim cos2 x = 1 sin2 x, i subs-tituint a lequaci inicial

4sin2 x+4sinx1 = 0,que s una equaci de segon grau en sinx. Aix,

sinx = 12

x = 6+2k

x = 56+2k, k Z.

Problema 15

Una persona de 2 m dalria, que est a la vora dun riu, veu la punta ms alta dunarbre, situat a la vora oposada, amb un angle de 60. En allunyar-sen 40 m, aquest anglees redueix a 30. Determineu laltura de larbre i lamplada del riu.

[Solucio]

Siguin h laltura de larbre i a lamplada del riu. Llavors,

tg60 =h2

a

tg30 =h2a+40

3 =h2

a3

3=

h2a+40

a = 20 m.

Finalment, h =

3a+2, s a dir, laltura de larbre s de 20

3+2 m.

Problemes proposats

Identitats

Problema 45

Demostreu les identitats segents:

a) sin2=1 cos2

2

b) cos2=1+ cos2

2

c) tg+ cotg =2

sin2

d) 6sin2+8cos2= 7+ cos2

e) sin(+) sin() = sin2 sin2f) 1+ tg 2= sec2

36

Conceptes previs

Equacions trigonometriques

Problema 46

Resoleu les equacions segents:

a) 2sin2 x = sin2x

b)cos2x

2= 23sin2 x

Resolucio de triangles

Problema 47

Calculeu lrea dun trapezi issceles de base petita de 14 m, sabent que els costats valen53 m i que langle daquests amb la base petita s de 135.

Problema 48

Esbrineu el valor del costat dun pentgon regular tal que el radi de la circumfernciacircumscrita s de 2 cm.

Problema 49

Dues forces de 145 N i 231 N donen una resultant de 105 N. Quin angle formen entresi i quins angles formen amb la resultant?

Problema 50

A una distncia de 30 m duna torre, nobservem el punt ms alt sota un angle de 60.Si ens nallunyem 10 m en la direcci torre-observador, amb quin angle veurem el puntms alt de la torre esmentada?

Problema 51

Donat el grfic de la figura 1.1, calculeu la distncia BC.

Fig. 1.1Resoluci dun triangle.

37


1.5. Geometria analtica plana

Continguts: Equaci de la recta. Angle i distncia entre dues rectes. Circumferncia: equaci reduda, recta tangent en un punt. El.lipse: equaci reduda, centre, semieixos, vrtexs, focus, excentricitat i recta

tangent en un punt. Hiprbola: equaci reduda, centre, semieixos, vrtexs, focus, excentricitat, asmp-

totes i recta tangent en un punt. Parbola: equaci reduda, vrtex, parmetre, focus, excentricitat, recta directriu i

recta tangent en un punt.

Breu resum teoric

Equacions de la recta

Equaci vectorial: x =a +v , R, ona = (a1,a2) s un punt particular de larecta, v = (v1,v2) s el vector director i x = (x,y) s un punt qualsevol de la recta.

Equaci contnua:xa1

v1=

ya2v2

.

Equaci cartesiana o implcita: Ax+By+C = 0 (notem que v = (B,A)).

Equaci explcita: y =AB

x CB

o, equivalentment, y = mx+n , on m = tg pen-

dent de la recta (= angle format per la recta i leix dabscisses).

Equaci de la recta, coneguts un punt, P= (x1,y1), i el pendent m: y y1 = m(x x1) .

Angle entre dues rectes

Considerem dues rectes r i s de pendents respectius m i m1, i sigui langle que formenles rectes r i s. Llavors,

tg=

mm11+m m1.

(Tamb podem determinar mitjanant el producte escalar, un cop coneguts els vectorsdirectors de les rectes.)

Estudi de les coniques

Tota secci cnica o, simplement, cnica, es pot descriure com la intersecci dun conde doble fulla amb un pla. Segons la inclinaci del pla respecte de la generatriu del con,sobtenen una parbola, una el.lipse o una hiprbola (figura 1.2). Si el pla passa pel vr-tex, la figura resultant sanomena cnica degenerada i es redueix a un punt o una recta.

Aquest enfocament de les seccions cniques fou donat pel grec Apol.loni de Perga elsegle III a.C. Hi ha, per, diverses maneres de definir les cniques:

38

Conceptes previs

Parbola Ellipse Hiprbola

Fig. 1.2Cniques.

Com a intersecci de pla i con.

Algebraicament, mitjanant una equaci de segon grau amb dues variables. En aquestcas, una cnica s el conjunt de punts (x,y) del pla que satisfan una equaci de la forma

Ax2 +By2 +Cxy+Dx+Ey+F = 0.

Aquest procs el discutirem ms endavant.

Com una col.lecci de punts que satisfan una propietat geomtrica determinada.Aquest darrer punt de vista s el que considerarem tot seguit.

Ellipse

Definici 1.2 Anomenem el.lipse el lloc geomtric dels punts P del pla tals que la su-ma de distncies a dos punts fixos, F1 i F2, anomenats focus (figura 1.3), s constant:

PF1 +PF2 = k.

Designem per a i b els semieixos. Si a > b, aquesta constant s k = 2a; mentre que sia < b, tenim k = 2b.

Fig. 1.3Ellipse.

39


Fig. 1.4Elements caractersticsde lellipse amb >a b.

Lequaci cannica o reduda de lel.lipse de centre (x0,y0) i semieixos a i b s

(x x0)2a2

+(y y0)2

b2= 1.

Si a > b, t els elements caracterstics segents (figura 1.4):

centre (x0,y0)

a semieix major, b semieix menor

vrtexs (x0a,y0); (x0 +a,y0); (x0,y0b); (x0,y0 +b) 2c distncia entre focus, on a2 = b2 + c2

focus (x0 c,y0); (x0 + c,y0) excentricitat e =

ca, 0 < e < 1

Fig. 1.5Elements caractersticsde lellipse amb

Conceptes previs

Si a < b, t els elements caracterstics segents (figura 1.5):

centre (x0,y0) a semieix menor, b semieix major vrtexs (x0 a,y0); (x0 +a,y0); (x0,y0 b); (x0,y0 +b) 2c distncia entre focus on b2 = a2 + c2

focus (x0,y0 c); (x0,y0 + c) excentricitat e =

cb, 0 < e < 1

Cas particular. Notem que, si a = b, lel.lipse es transforma en una circumferncia decentre (x0,y0) i radi r = a = b, com ens mostra la figura 1.6.

Definici 1.3 Anomenem circumferncia el lloc geomtric dels punts del pla queequidisten dun punt fix anomenat centre. Aquesta distncia es coneix com a radi.

Fig. 1.6Circumferncia de radi r.

Lequaci cannica de la circumferncia de centre (x0,y0) i radi r s

(x x0)2 +(y y0)2 = r2.

Hiperbola

Definici 1.4 Sanomena hiprbola el lloc geomtric dels punts P del pla tals que elvalor absolut de la diferncia de distncies a dos punts fixos, F1 i F2, anomenats focus(figura 1.7), s constant:

|PF1 PF2|= k.Aquesta constant, k, s igual a la longitud de leix transversal, que va de vrtex avrtex.

Lequaci cannica de la hiprbola de centre (x0,y0) i eix transversal 2a s

(x x0)2a2

(y y0)2

b2= 1.

41


Fig. 1.7Hiprbola.

T els elements caracterstics segents (figura 1.8):

centre (x0,y0) a semieix real, b semieix imaginari vrtexs (x0a,y0); (x0 +a,y0) 2c distncia entre focus, on c2 = a2 +b2

focus (x0 c,y0); (x0 + c,y0) asmptotes y y0 =ba (x x0) excentricitat e =

ca, e > 1

Fig. 1.8Elements caractersticsde la hiprbola amb eix

transversal 2 .a

Lequaci cannica de la hiprbola de centre (x0,y0) i eix transversal 2b s

(x x0)2

a2+

(y y0)2b2

= 1


centre (x0,y0) a semieix imaginari, b semieix real vrtexs (x0,y0b); (x0,y0 +b)

42

Conceptes previs

2c distncia entre focus, on c2 = a2 +b2

focus (x0,y0 c); (x0,y0 + c) asmptotes y y0 =ba (x x0) excentricitat e =

cb, e > 1

Fig. 1.9Elements caractersticsde la hiprbola amb eixtransversal 2b.

Observaci 1.5 Si a = b, la hiprbola sanomena equiltera. En aquest cas, les asmp-totes sn les bisectrius del 1r i el 3r quadrants, i del 2n i el 4t quadrants. Un exempleespecialment interessant dhiprbola equiltera s la que t equaci

xy = k.

Lequaci xy = k sobt a partir de lequaci cannica, fent un gir de 4rad. En aquest

cas, les asmptotes sn els eixos de coordenades (figura 1.10).Fig. 1.10Hiprboles equilteres

= .xy k

Parabola

Definici 1.6 Anomenem parbola el lloc geomtric dels punts P del pla que equi-disten dun punt fix, F , anomenat focus, i duna recta r, anomenada directriu (figu-ra 1.11).

PF = Pr.

43


Fig. 1.11Parbola.

Lequaci cannica de la parbola de vrtex (x0,y0), distncia del focus a la directriu2c i eix paral.lel a leix dordenades s

(x x0)2 =4c(y y0).


Fig. 1.12Elements caractersticsde la parbola amb eix

parallel a .OY

vrtex (x0,y0) focus F = (x0,y0 c) eix x = x0 directriu y = y0 c excentricitat e = 1

Lequaci cannica de la parbola de vrtex (x0,y0), distncia del focus a la directriu2c i eix paral.lel a leix dabscisses s

(y y0)2 =4c(x x0).


vrtex (x0,y0) focus F = (x0 c,y0) eix y = y0 directriu x = x0 c excentricitat e = 1

44

Conceptes previs

Fig. 1.13Elements caractersticsde la parbola amb eixparallel a .OX

Propietats reflectores de les cniques

A cada punt P de lel.lipse, els radis focals F1 P i F2 P formen amb la tangent anglesiguals. La conseqncia fsica s que la llum o el so emesos des dun focus dun re-flector el.lptic sn concentrats per aquest cap a laltre focus. En podem veure unail.lustraci a la figura 1.14.

Fig. 1.14Propietat reflectora delellipse.

A cada punt P duna hiprbola, la tangent s la bisectriu de langle format pels radisfocals F1 P i F2 P (figura 1.15). La conseqncia fsica s que la llum o el so emesosdes dun focus dun reflector hiperblic sn reflectits per aquest cap a la direcci de larecta que passa per laltre focus. Saplica en telemetria (clcul de distncies).

Fig. 1.15Propietat reflectora de lahiprbola.

45


Fig. 1.16Propietat reflectores de

la parbola.

La tangent a una parbola en un punt P forma angles iguals amb:

a) La recta que passa per P i pel focus.

b) La recta que passa per P i s paral.lela a leix de la parbola.

La conseqncia fsica s que la llum procedent duna font situada en el focus dunmirall parablic es reflecteix en el mirall i forma un feix paral.lel al seu eix; aquest sel principi del projector. En tenim un esquema a la figura 1.16.

Tamb significa que un feix de llum que arriba al mirall paral.lelament al seu eixser completament reflectit cap al focus; aquest s el principi del telescopi de reflexi(figura 1.16).

Problemes resolts

Problema 16

Calculeu el valor de b, de manera que les rectes 2x+2y7 = 0 i bxy+14 = 0 forminun angle de 45.

[Solucio]

Considerem r : 2x+2y7 = 0 i s : bx y+14 = 0. Llavors, dedum quemr =1 i ms = b.

Per tant,

1 = tg45 =

mrms1+mr ms=1b1b

b = 0.Problema 17

Determineu lequaci duna circumferncia de la qual sabem que els punts A(3,2) iB(1,6) sn els extrems dun dels seus dimetres.

46

Conceptes previs

[Solucio]

A partir dels dos punts donats, obtenim

C =A+B

2= (1,4),

r = d[(3,2),(1,4)] =

8.

Per tant, lequaci s

(x1)2 +(y4)2 = 8.

Problema 18

Trobeu el centre i el radi de la circumferncia

x2 + y22x+4y20 = 0.[Solucio]

Podem completar quadrats a lequaci donada, de manera que sigui immediat determinar-ne el centre i el radi:

x2 + y22x+4y20 = 0 (x1)2 +(y+2)2 = 25.Aix, dedum que C = (1,2) i r = 5.

Problema 19

Determineu lequaci de lel.lipse que t els focus a leix dabscisses i el centre a lorigende coordenades, si sabem que 2a = 20 i 2c = 8.

[Solucio]

A partir de a = 10 i c = 4, utilitzant la relaci

a2 = b2 + c2,

obtenim b2 = 84. Lequaci demanada s

x2

100+

y2

84= 1.

47


Problema 20

Determineu lequaci de la hiprbola que t els focus a leix dabscisses i el centre alorigen de coordenades, si sabem que 2c = 10 i 2b = 8.

[Solucio]

A partir de c = 5 i b = 4, utilitzant la relaci

c2 = a2 +b2,

obtenim a2 = 9. Lequaci s

x2

9 y

2

16= 1.

Problema 21

Determineu lequaci de la parbola amb vrtex a lorigen de coordenades, si sabemque est situada en el semipl de les abscisses negatives, s simtrica respecte de OX i2c = 1

2.

[Solucio]

El vrtex de la parbola s (0,0) i c = 14.

Lequaci demanada s

y2 =x.

48

Conceptes previs

Problemes proposats

Equacions de la recta. Parallelisme. Perpendicularitat

Problema 52

Calculeu el valor de m de manera que els punts A= (1,1), B= (2,3) i C = (5,m) estiguinalineats.

Problema 53

Determineu lequaci de la recta que passa pel punt A = (5,2) i s:

a) paral.lela a la recta 2x3y5 = 0,b) perpendicular a la recta x+5y37 = 0.

Problema 54

Calculeu el valor de a, de manera que les rectes x+2y1 = 0 i ax y+3 = 0 forminun angle de 60.

Circumferencia

Problema 55

Determineu lequaci de la circumferncia en cadascun dels casos segents:

a) la circumferncia passa per lorigen de coordenades i el seu centre s C(6,8);b) els punts A(3,2) i B(1,6) sn extrems dun dels dimetres de la circumferncia;c) el centre de la circumferncia s C(1,1) i la recta 5x12y+9 = 0 s tangent a la

circumferncia.

Problema 56

Esbrineu quines de les equacions segents determinen una circumferncia. Trobeu tambel centre i el radi de cadascuna delles.

a) (x5)2 +(y+2)2 = 0b) x2 + y22x+4y20 = 0c) x2 + y2 +4x2y+5 = 0d) x2 + y2 + y = 0

Problema 57

El centre duna circumferncia est en la recta x+y= 0. Determineu lequaci daquestacircumferncia, si sabem que passa pel punt dintersecci de les dues circumferncies:

(x1)2 +(y+5)2 = 50, (x+1)2 +(y+1)2 = 10.

49


EllipseProblema 58

Determineu lequaci de lel.lipse que t els focus a leix dabscisses i el centre a lorigende coordenades en cadascun dels casos segents:

a) els semieixos sn 5 i 2.b) 2a = 10 i 2c = 8c) 2a = 20 i e = 3

5

Problema 59

Trobeu lequaci de lel.lipse, sabent que leix major s 26 i els focus sn F1(10,0) iF2(14,0).

Problema 60

Comproveu que cadascuna de les equacions segents determina una el.lipse i trobeu-nelequaci reduda:

a) 5x2 +9y230x+18y+9 = 0b) 16x2 +25y2 +32x100y284 = 0c) 4x2 +3y28x+12y32 = 0

Hiperbola

Problema 61

Determineu lequaci de la hiprbola que t els focus a leix dabscisses i el centre alorigen de coordenades en cadascun dels casos segents:

a) 2a = 10 i 2b = 8b) 2c = 10 i 2b = 8c) 2c = 20 i les equacions de les asmptotes sn y = 4

3x.

Problema 62

Comproveu que cada una de les equacions segents determina una hiprbola i calculeu-ne lequaci reduda:

a) 16x29y264x54y161 = 0b) 9x216y2 +90x+32y367 = 0c) 16x29y264x18y+199 = 0

Problema 63

Trobeu lequaci duna hiprbola tal que, per a qualssevol dels seus punts, la difernciade distncies als punts (3,0) i (3,3) s 2.

50

Conceptes previs

Parabola

Problema 64

Determineu lequaci de la parbola amb vrtex lorigen de coordenades en cadascundels casos segents:

a) la parbola est situada en el semipl de les abscisses positives, s simtrica respectede OX i 2c = 3;

b) la parbola est situada en el semipl de les abscisses negatives, s simtrica respectede OX i 2c = 1

2;

c) la parbola est situada en el semipl inferior, s simtrica respecte de OY i 2c = 3.

Problema 65

Comproveu que cadascuna de les equacions segents determina una parbola i trobeu lescoordenades del seu vrtex, del focus i lequaci de la directriu:

a) x+3+(y2)2 = 0b) y24y4x = 0c) x2 +4x+4y4 = 0d) x2 = 6y+2

1.6. Derivades i integrals

Continguts: Derivades de les funcions elementals. Primitives de les funcions elementals.

Breu resum teoric

Derivades de les funcions elementals

La taula segent cont les derivades principals.

(xr) = rxr1 ( f r(x)) = r f r1(x) f (x)

(ax) = ax lna (logax) =1x logae

(ex) = ex (lnx) =1x

(sinx) = cosx (arcsinx) =1

1 x2

(cosx) =sinx (arccosx) = 11 x2

(tgx) =1

cos2 x= 1+ tg 2x (arctgx) =

11+ x2

(cotgx) =1

sin2 x(arccotg x) =

11+ x2

51


Primitives de les funcions elementals

A la taula segent teniu les integrals immediates ms usuals. Per simplificar la notaci,escrivim f en comptes de f (x).

f f r dx = fr+1

r+1+C(r =1)

f

fdx = ln | f |+C

f ef dx = ef +C

f af dx = a

f

lna+C (a (0,){1})

f cos f dx = sin f +C

f sin f dx =cos f +Cf

cos2 fdx = tg f +C

f

sin2 fdx =cotg f +C

f

sin fdx = ln

tg f2+C f 1 f 2 dx = arcsin f +C f

1 f 2 dx = arccos f +C

f

1+ f 2dx = arctg f +C

Problemes resolts

Problema 22

Calculeu la derivada de les funcions segents:

a) f (x) = (x4 +3)cosx

b) f (x) = tg 2x e3x2 + sin4 x[Solucio]

a) Notem que tenim una funci elevada a una altra funci i, per tant, no podem derivardirectament utilitzant les derivades elementals. Es tracta dutilitzar la derivaci lo-gartmica, s a dir, aplicar logaritmes i tot seguit les propietats dels logaritmes amblobjectiu de poder derivar amb facilitat.

Apliquem logaritmes a banda i banda:

ln f (x) = ln(x4 +3)cosx = cosx ln(x4 +3);

derivemf (x)f (x)

=sinx ln(x4 +3)+ cosx 4x3

x4 +3,

i, finalment,

f (x) = (x4 +3)cosx[sinx ln(x4 +3)+ cosx 4x

3

x4 +3

].

b) Derivant i aplicant la regla de la cadena, obtenim

f (x) = 2tgx1

cos2 x6xe3x2 +4sin3 x cosx.

52

Conceptes previs

Problema 23

Calculeu les integrals segents:

a)

sin3+2cos

d

b)

t2t3 +9

dt

c)

tg 2xdx

d)

2x+5x2 +25

dx

[Solucio]

a)

sin3+2cos

d=12

2sin3+2cos

d=12

ln |3+2cos|+C

b)

t2 dtt3 +9

=13

3t2 (t3 +9) 12 dt = 2

3

t3 +1+C

c)

tg 2xdx =

sin2 xcos2 x

dx =

1 cos2 xcos2 x

dx = tgx x+C

d)

2x+5x2 +25

dx =

2x dxx2 +25

+

5 dx

x2 +25= ln(x2 +25)+

525

dx(x5

)2+1

Finalment,

2x+5x2 +25

dx = ln(x2 +25)+ arctgx5+C.

Problema 24

Calculeu la integral

x33x2x3 x2 dx.

[Solucio]

Dividint els dos polinomis, obtenim:x33x2

x3 x2 = 1+x23x2

x3 x2 .Descomponem en fraccions simples:

x23x2x3 x2 =

x23x2x2(x1) =

Ax+

Bx2

+C

x1 =Ax(x1)+B(x1)+Cx2

x2(x1) .

Ara, igualant i donant valors a la x, obtenim

x23x2 = Ax(x1)+B(x1)+Cx2 = A = 5,B = 2,C =4.

53


Finalment,

x33x2

x3 x2 dx =

1dx+5

1x

dx+2

1x2

dx4

1x1 dx

= x 2x+5ln |x|4ln |x1|+C.

Problema 25

Calculeu la integral

sin2 x dx.

[Solucio]sin2 x dx =

()

1 cos2x

2dx =

x2 sin2x

4+C.

() Sobt la identitat sin2 x = 1cos2x2

restant, terme a terme, les dues igualtats segents:

1 = cos2 x+ sin2 x

cos2x = cos2 x sin2 x

}

Problemes proposats

Calcul de derivades

Problema 66

Calculeu la derivada de les funcions segents:

a) f (x) =

4x27x+2b) f (x) = 2x3 ln 34x2c) f (x) = (2x+3)8 (4x27x)

d) f (t) = lnt3

et +

t

e) y = 13tg 3x tgx+ x

f) y = cos21x1+

x

g) u = sin2 (cos3v)

h) y = (x2 +1)sinx

54

Conceptes previs

Calcul de primitives

Problema 67

Calculeu les integrals immediates segents:

a)

x dx

b)

dxx2

c)

10x dx

d)(x+1)15 dx

e)

x

1 x2 dx

f)

x2 5

x3 +2 dx

g)

sin3 x cosx dx

h)

sinxcos2 x

dx

i)

cos3 x sin2x dx

Problema 68


a)

2lnxx

dx

b)

3xx+2

dx

c)

sin5 xcosx dx

d)

sinx1+ cos2 x

dx

e)

cosx

sin3 xdx

f)

cos5x dx

55


Problema 69


a)

sin(3x+

2) dx

b)

e50x dx

c)

x(x24)3 dx

d)

1+ cos2 x1+ cos2x

dx

e)

tg 2x dx

f)

3x1x2 +9

dx

g)

ex

e2x +1dx

h)

6x2 +3

dx

i)

3cos2x

cos2 x sin2 xdx

56

Els nombres

Els nombres

2.1. Diferents classes de nombres

Els primers nombres que vam conixer, ja de petits, van ser els nombres naturals. Sor-geixen de la necessitat de comptar: N = {1,2,3,4, . . .}. Aquests, per, no sn suficientsper descriure moltes situacions quotidianes elementals, com ara una quantitat de dinersque devem a alg, una temperatura sota zero... Des dun punt de vista estrictament ma-temtic, la insuficincia de N es manifesta en intentar resoldre lequaci x+ b = a, quenoms t soluci en N si a s ms gran que b.

Per tal de resoldre aquest tipus de situacions i daltres de semblants, es construeix elconjunt dels nombres enters: Z = {. . . ,3,2,1,0,1,2,3, . . .}. Tanmateix, si volemrepartir equitativament un litre de suc de taronja entre 3 persones, la quantitat exactaque correspon a cadascuna delles no es pot expressar mitjanant un nombre enter. Comabans, des dun punt de vista matemtic, equacions del tipus q x = p (amb q = 0) nosempre tenen soluci en Z.

Necessitem, doncs, un altre conjunt ms gran que Z, on les qestions anteriors tinguin

resposta. Aquest conjunt s el dels nombres racionals: Q ={

x = pq

: p,q Z,q = 0}

.

Daquests quocients entre dos nombres enters, en diem fraccions. Hi ha infinites fracci-ons que representen el mateix nombre racional; penseu, per exemple, en 1

2, 2

4, 3

6... Es diu

que dues fraccions sn equivalents si representen el mateix nombre racional. De totes lesfraccions equivalents a una donada, sanomena fracci irreductible aquella tal que el m-xim com divisor (m.c.d.) del denominador i el numerador s 1 (s a dir, p

qs irreductible

si m.c.d.(p,q) = 1).

Observem que tots els nombres naturals sn enters i que tots els enters sn nombresracionals. Notem tamb que hem considerat el 0 com a nombre enter per no natural.Malauradament, tots aquests nombres sn insuficients per mesurar exactament determi-nades longituds.

Per exemple, donat un triangle rectangle amb catets duna unitat, quant fa exactament lahipotenusa? Si designem per x la hipotenusa i apliquem el teorema de Pitgores (figu-

59


ra 2.1), tindrem x2 = 1+ 1, don x =

2. Per resulta que

2 no s racional. Comampliem ara el conjunt de nombres?

1

1x

Fig. 2.1Diagonal 2.

2.2. Els nombres reals

Els nombres reals constituiran el suport del nostre curs. En aquesta secci, veurem comes representen i quines propietats tenen.

Representacio dels nombres sobre una recta

Considerem una recta i, en un punt arbitrari, hi col.loquem el nmero 0 (aquest puntlanomenarem lorigen). A la dreta del 0, a una distncia indeterminada que podem triarcom vulguem, hi col.loquem el nmero 1, la unitat. Els altres nombres queden fixatssobre la recta: els naturals ordenats cap a la dreta del 0 separats un del segent per unaunitat. Anlogament, per cap a lesquerra, hi afegim els enters negatius.

Per dibuixar els racionals, dividim la unitat en parts iguals, tantes com indica el denomi-nador, i nagafem les que indica el numerador partint del 0 i tenint en compte el signe.Entre dos racionals qualssevol, hi ha un altre racional (sabreu dir-ne cap?). Amb tot ai-x queden a la recta molts forats, com ara,

2,,e... Aquests forats representen els

nombres irracionals i els designarem per R\Q. Finalment, la reuni de tots els nombresque hem exposat constitueixen el conjunt dels nombres reals i els designarem per R. Lafigura 1.2 esbossa aquest conjunt. Tenim R=Q (R\Q).

Fig. 2.2Els nombres reals.

Els irracionals es designen R \Q perqu representen el complementari de Q dins R.Clarament, les relacions dinclusi entre els conjunts numrics que hem descrit sn

N ZQ RR\Q R

A cada nombre real, li correspon un nic punt de la recta i, a cada punt de la recta, licorrespon un nic nombre real. Aix, la recta sanomena recta real. Daquesta manera,parlarem indistintament de nombres i de punts (figura 2.3).

60

Els nombres

Fig. 2.3Equivalncia entrenombres reals i punts.

Propietat de densitat de Q i R\Q en REntre dos reals diferents qualssevol hi ha infinits racionals i tamb infinits irracionals.Per tant, no podem agafar cap segment de la recta real que estigui format noms perracionals, o noms per irracionals (com il.lustra la figura 2.4). Daix, sen diu propietatde densitat de Q i de R\Q en R.

Fig. 2.4Densitat dels racionals iels irracionals dins R .

Ordenacio dels nombres reals

Els nombres situats a la dreta de lorigen sn els positius i els de lesquerra, els negatius(figura 2.5). Utilitzem els smbols ,= per establir la posici relativa entre dos puntsen la recta. Els podem combinar i obtenim els nous smbols , .

Fig. 2.5Orientaci dels nombresreals.

Lexpressi a b significa que a s ms petit o igual que b, i, anlogament, a b significaque a s ms gran o igual que b. Aleshores, sn certes les expressions

5 < 7, 4 9, 7 7, 7 = 7, 6 > 2, 8 3, 1 1;en canvi, sn falses les expressions 7 < 7, 5 > 5, 3 5.A lhora de manipular expressions amb desigualtats, hem de tenir en compte les reglessegents.

Propietats de les desigualtats. Per a qualssevol nombres reals a,b,c, es compleix:

a < b i b < c = a < c. a < b = a+ c < b+ c i a c < b c.

61


a < b i c < d = a+ c < b+d. a < b =

{ac < bc si c > 0.ac > bc si c < 0.

En particular, a < b =b

1b> 0.

a < 0 < b = 1a< 0 1a>

1b.

Intervals i semirectes

Els intervals i les semirectes (o intervals no fitats) sn subconjunts notables de R. Percomoditat, a lhora de designar-los (i per altres avantatges), introduirem els smbols +i. Conv insistir especialment en el fet que + i no sn nombres. Ms endavanttamb es far palesa la seva utilitat en lestudi dels lmits.

Interval obert

(a,b) = {x R : a < x < b}ba

Interval tancat

[a,b] = {x R : a x b}ba

Intervals mixtos

[a,b) = {x R : a x < b}ba

(a,b] = {x R : a < x b}ba

Semirectes obertes

(a,+) = {x R : x > a}a

(,b) = {x R : x < b}b

Semirectes tancades

[a,+) = {x R : x a}a

(,b] = {x R : x b}b

62

Els nombres

Inequacions

Sanomena inequaci tota desigualtat algebraica en qu apareixen nombres iincgnites. El conjunt de nombres que compleixen la desigualtat sanomenasoluci de la inequaci.

En el procs de resoluci de les inequacions, cal tenir en compte les propietats de lesdesigualtats.

Exemple 2.1

Resolem la inequaci2x1x+1

1. Es compleix que

2x1x+1

1 2x1x+1

1 0 x2x+1

0

Per tant, cal considerar els casos en qu el numerador sigui positiu o 0 i el denominadornegatiu, o b que el numerador sigui negatiu o 0 i el denominador positiu:{

x2 0x+1 < 0

o b

{x2 0x+1 > 0

i aix, {x 2x 1

Finalment, el conjunt soluci s: x (1,2].

Suprem, nfim, maxim i mnim

Sovint ens interessar situar un conjunt determinat dins la recta real, en el sentit de coni-xer nombres que en limitin labast; per exemple, nombres que siguin ms grans o igualsque tots els elements del conjunt.

Definici 2.2 Sigui A un conjunt de nombres reals.

Un nombre k R s una fita superior de A, si x k, x A. Un nombre k R s una fita inferior de A, si x k, x A.

bviament, si k R s una fita superior (resp. inferior) de A, aleshores qualsevol nombrereal ms gran (resp. petit) o igual que k tamb ns fita superior (resp. inferior).


Si A t alguna fita superior, sanomena conjunt fitat superiorment. Si A t alguna fita inferior, sanomena conjunt fitat inferiorment.

Un conjunt fitat superior i inferiorment es diu conjunt fitat.

63


Exemples 2.4

Estudiem uns quants conjunts de nombres reals.

a) Els intervals [0,1] i (0,1) sn conjunts fitats. En efecte, qualsevol nombre ms gran oigual que 1 ns fita superior, i qualsevol nombre negatiu o 0 ns fita inferior. Aix,el conjunt de les fites superiors s [1,+), i el de les fites inferiors, (,0].

b) El conjunt dels nombres naturals s fitat inferiorment, per no superiorment, en R.s evident que 1 n, n N. Per tant, l1 i qualsevol nombre real menor que 1 snfites inferiors de N. En canvi, no existeix cap nombre real ms gran o igual que totsels nombres naturals a la vegada.

c) El conjunt dels nombres racionals no s fitat, ni superiorment ni inferiorment.


Si A s fitat superiorment, la ms petita de les fites superiors de A sanomenael suprem del conjunt A i es designa per supA. Quan supA A, aquest nombresanomena el mxim del conjunt A i sescriu mxA.

Si A s fitat inferiorment, la ms gran de les fites inferiors de A sanomena lnfimdel conjunt A i es designa per infA. En cas que infA A, aquest nombre sano-mena el mnim del conjunt A i es designa per mnA.

Els conjunts fitats superiorment tenen suprem, per no sempre tenen mxim. El mximdun conjunt, quan existeix, s lelement ms gran del conjunt. Anlogament, els con-junts fitats inferiorment tenen nfim; en canvi, lexistncia del mnim depn de cada cas.

Exemples 1.6

Vegem-ne un parell dexemples concrets.

a) Considerem el conjunt A= (0,1]. El seu suprem s 1. Ats que 1 A, aquest supremtamb s el mxim. Aix significa que l1 s lelement ms gran de linterval (0,1].Daltra banda, la fita inferior ms gran de A s 0; aleshores, infA = 0. En aquest cas,per, 0 / A; per tant, el conjunt A no t mnim. Intutivament, no hi ha cap nombrereal dins linterval (0,1] que sigui el ms petit de tots dins el propi interval.

b) El conjunt N no t suprem i, per tant, no t mxim perqu no s fitat superior-ment. Com que N s fitat inferiorment, t nfim i val 1. A ms a ms, 1 N i, pertant, mnN= 1 (l1 s el nombre natural ms petit).

Expressio decimal dels nombres reals

Els nombres reals admeten una representaci decimal de la forma a0 a1a2a3 . . . Aquestarepresentaci s finita o infinita peridica (s a dir, es repeteix a partir dun lloc determi-nat) quan el nombre s racional, i s infinita no peridica quan el nombre s irracional,com s el cas de o de e. Aqu teniu, per exemple, les 100 primeres xifres decimals delnmero :

64

Els nombres

= 3141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592

307816406286208998628034825342117068...

Lexpressi decimal dun nombre irracional s nica. Tanmateix, hi ha nombres racionalsque admeten dues expressions decimals diferents: sn aquells que, a partir dun llocdeterminat, tenen totes les xifres iguals a 9 o totes les xifres iguals a 0. Vegem-ne unexemple: el nmero 123999... tamb es pot escriure com 124000... Per comprovar queaquestes dues representacions decimals corresponen al mateix nombre racional, nhi haprou a buscar-ne la fracci generatriu, que s 31/25.

Valor absolut i distancia

Definici 2.7 El valor absolut dun nombre real x s

|x|={

x, si x 0.x, si x < 0.

Fig. 2.6Funci valor absolut.

La funci valor absolut t dues branques (figura 1.6). Observem que

|x|= mx{x,x}.|x|=x2.

La noci de valor absolut ens permet definir una distncia molt intutiva sobre R. Geo-mtricament, |x| representa la distncia de x a 0, com podem veure a la figura 2.7.

Fig. 2.7Valor absolut. Distnciadun nombre real alorigen.

Anlogament, per a tot x,y R, la distncia entre x i y sd(x,y) = |x y |= |y x |.

Propietats del valor absolut. Per a tot x,y R, es compleix: |x| 0, |x|= 0 x = 0. |x|= | x|.

65


Fig. 2.8Propietats del valor

absolut.

Si c > 0, |x|< cc < x < c.Si c 0, |x| cc x c.Si c 0, |x| c xc o x c (figura 2.8).

|x| x |x|. |xy|= |x||y|. |x+ y| |x|+ |y| (desigualtat triangular). |x y| |x|+ |y|. |x y| ||x| |y||.

xy= |x||y| si y = 0.

|xn|= |x|n.

2.3. Els nombres complexos

Lequaci x2 +1 = 0 no t cap soluci real ja que no s possible trobar cap nombre realtal que el seu quadrat sigui 1. En aquest cas, una soluci de lequaci anterior s unnombre imaginari, designat per i, tal que i2 =1 (laltra soluci seri). Repassem unamica la histria. De fet, els nombres imaginaris sintroduren en la matemtica com unaeina per resoldre equacions de tercer grau, no noms de segon grau.

Situem-nos a Mil al segle XVI, concretament a lany 1545. En la seva obra Ars Magna,Gerolamo Cardano (1501-1576) dna un mtode per resoldre lequaci cbica mitjan-ant arrels. Ell parteix de lequaci cbica

ax3 +bx2 + cx = d.

Fent la substituci x = y b3a

i dividint per a, obt

y3 +

[3acb2

3a2

]

m

y =27a2d+9abc2b3

27a3 n

s a dir,

y3 +my = n. (2.1)

Per resoldre lequaci (2.1), considera dues variables arbitrries, t i u, de manera que

y = tu.

66

Els nombres

Elevant al cub, obt

y3 = t33t2u+3tu2u3 = t33tu(tu)u3 = t33tuyu3

s a dir,

y3 +3tuy = t3u3. (2.2)Com que t i u sn arbitrries, comparant les equacions (2.1) i (2.2), considera ara{

m = 3tun = t3u3

i aconsegueix lequaci t6 m327nt3 = 0, que s una equaci de segon grau de la variable

t3

(t3)2m(t3) m3

27= 0.

Per tant, utilitzant noms larrel quadrada positiva, obt1

t =3

n2+

n2

4+

m3

27i u =

3

n

2+

n2

4+

m3

27.

Fent y = tu,

y =3

n2+

n2

4+

m3

27 3n

2+

n2

4+

m3

27.

Finalment, substitueix m i n en funci de a,b i c:

m =3acb2

3a2i n =

27ad +9abc2b327a3

,

desf el canvi, x = y b3a

, i determina la soluci x.

Apliquem, per exemple, el procs anterior a lequaci 2x330x2+162x= 350. En aquestcas, el canvi ens dna y3 +6y20 = 0 i tenim2

y =3

10+

108 3

10+

108 = 2, s a dir, x = 7.

I, per a x315x = 4, resulta

x =3

2+121 3

2+121.

11 Substituint la t a n = t3u3 i allant la u.12 No s immediat comprovar que, efectivament, aquesta expressi s 2; cal elevar al cub la igualtat dues

vegades.

67


Qu significa121 ? Sembla fcil dir que lequaci anterior no t soluci, per a

simple vista es comprova que x = 4 ns una.

Davant daquesta situaci, Cardano abandon la recerca. Posteriorment, Rafael Bombe-lli (1526-1573) decid treballar amb les arrels quadrades de nombres negatius aplicantles mateixes regles que sapliquen als nombres reals. Sobserva que

(2+1)3 = 2+111 = 2+121

Anlogament,

(2+1)3 =2+121I llavors, Bombelli va arribar a la soluci

x =3

2+121 3

2+121 = (2+1) (2+1) = 4.

Definici 2.8 Anomenem nombre complex, de part real a i part imaginria b, unaexpressi de la forma

z = a+bi, on a,b R amb i2 =1 .Designem per C el conjunt dels nombres complexos.

Dos nombres complexos sn iguals si i noms si tenen la mateixa part real i la mateixapart imaginria. Si a tot nombre real a li associem el complex a+0 i, aleshores podem dirque el conjunt dels nombres reals est contingut dins el conjunt dels nombres complexos:

N ZQ R C .

Operacions amb complexos en forma binomica

Amb els nombres complexos, tamb es poden fer les operacions aritmtiques usuals. Lasuma i el producte de nombres complexos es defineixen de manera que respectin la sumai el producte dels nombres reals.

Definici 2.9 Donats els nombres complexos z1 = a+bi i z2 = c+d i, definim

la suma: z1 + z2 = (a+bi)+(c+d i) = a+ c+(b+d) i

el producte: z1 z2 = (a+bi) (c+d i) = acbd+(ad+bc) i el quocient, si el denominador no s nul:

z1z2

=a+bic+d i

=(a+bi)(cd i)(c+d i)(cd i) =

ac+bdc2 +d2

+bcadc2 +d2

i

si z2 = 0, s a dir, si c2 +d2 = 0.

68

Els nombres

Representacio grafica

Podem establir una relaci bijectiva (un a un) entre els nombres complexos i els puntsdel pla que anomenarem pla complex anloga a la correspondncia entre els puntsduna recta i els nombres reals. Leix dabscisses es diu eix real, ja que correspon alsnombres reals, i leix dordenades s leix imaginari.

Fig. 2.9Representaci duncomplex.

Nhi ha prou a interpretar el nombre complex x+ y i com un parell ordenat de nombresreals (x,y):

x+ y i (x,y)

Tamb representem un nombre complex com un vector dirigit des de lorigen fins al punt(x,y) (figura 2.9). Lextrem (x,y) sanomena afix del complex.

Aquest enfocament permet aplicar als nombres complexos les mateixes lleis que sapli-quen a les quantitats vectorials utilitzades en la fsica i en la mecnica: forces, velocitats,acceleracions... Per exemple, la suma de complexos es pot obtenir geomtricament ambla regla del paral.lelogram.

Sigui z = x+ y i, aleshores

z = x y i sanomena conjugat de z. z =x y i sanomena oposat de z.La representaci grfica s molt aclaridora (figura 2.10).

Fig. 2.10Conjugat i oposat duncomplex.

Propietats de la conjugaci. Per a tot z,w C, es compleix z+w = z+w. z w = z w. z = z. z = z z R. z =z z s imaginari pur. Re(z) =

z+ z2

, Im(z) =z z

2.

69


Modul i argument. Diferents maneres dexpressar un nombre complex

Definici 2.10 Donat el nombre complex z = x+ y i, anomenem mdul de z la lon-gitud del vector associat i el designem per |z|, s a dir,

|z|=

x2 + y2 =

z z.Si z = 0, langle , format per la direcci positiva de leix real i el vector OZ (me-surat en sentit positiu, s a dir, en sentit contrari al de les agulles del rellotge) sano-mena argument de z (figura 2.11).

Fig. 2.11Mdul i argument dun

complex.

Geomtricament, |z| representa la distncia de lafix (x,y) a lorigen, o la longitud delvector corresponent. Quan y= 0, el mdul es redueix al valor absolut dels nombres reals.

Notem que no s nic, ja que + 2, + 3, 2... tamb sn vlids perrepresentar-ne largument. Normalment, considerarem [0,2). Tanmateix, per co-moditat, en alguns casos treballarem amb (,].

A partir de la figura 2.11 observem que, si z = 0, aleshores

cos=x|z| , sin=

y|z| .

Llavors, escrivim z = x+y i = |z|(cos+ i sin) , expressi anomenada forma trigono-mtrica de z. De fet, tot nombre complex z es pot expressar en les formes:

binmica z = x+ y i

cartesiana z = (x,y)

trigonomtrica z = |z|(cos+ i sin)polar z = |z|exponencial z = |z|ei

El pas de forma cartesiana a forma polar (x,y) (|z|,) ve donat per les relacionssegents:

el mdul s |z|=+x2 + y2

70

Els nombres

i largument, , queda determinat per les dues igualtats:

cos =x|z| ,

sin =y|z| .

Els nombres que corresponen a x = 0, y = 0, estan situats sobre leix imaginari. Podemveurels a la figura 2.12.

Fig. 2.12Nombres complexosimaginaris purs, a leiximaginari.

s convenient representar grficament el nombre complex per determinar-ne largumentamb facilitat.

El pas de forma polar a forma cartesiana (|z|,) (x,y) s immediat:

x = |z|cos, y = |z|sin.

Propietats del mdul dun nombre complex. Per a tot z,w C, es compleix |z| 0, |z|= 0 z = 0. |zw|= |z||w|. |z+w| |z|+ |w| (desigualtat triangular). |z|= |z|= | z|= | z|. |Rez| |z|, |Imz| |z|. |z|=z z. z z = |z|2.

1z=

z|z|2 , si z = 0.

z|z| t mdul1.

71


Exemples 1.11

a) Donat z =2+2 i, expressat en forma binmica, passem-lo a forma polar.Cal determinar-ne el mdul i largument

Càlcul I. Teoria i exercicis

Documents

Transcript of Càlcul I. Teoria i exercicis