Caderno RQ6 Estatística - mkmouse.com.br RQ6 Estatística.pdf · 7 PROBABILIDADE ... as de...

0

Caderno RQ6

Estatística

Prof. Milton Araujo

2016 INSTITUTO INTEGRAL | www.institutointegral.com.br

1

Acompanhe nossa série de dicas no blog: http://is.gd/dicas_quentes

Cadastre-se aqui e receba materiais exclusivos:

http://edu.institutointegral.com.br/cadernodetestesanpad

Sumário

1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 4

2 O QUE É ESTATÍSTICA?..................................................................................................................... 5

2.1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA ................................................................................................................ 5

2.2 ESTATÍSTICA INFERENCIAL ............................................................................................................... 5

2.3 TIPOS DE VARIÁVEIS ...................................................................................................................... 6

2.3.1 Variáveis Quantitativas ....................................................................................................... 6

2.3.2 Variáveis Qualitativas ou Categóricas .................................................................................. 6

3 NOMENCLATURA............................................................................................................................. 8

4 FORMAS DE APRESENTAÇÃO DOS DADOS ...................................................................................... 9

4.1 DADOS NÃO AGRUPADOS (OU DADOS “CRUS”) .................................................................................... 9

4.2 DADOS AGRUPADOS POR FREQUÊNCIAS ............................................................................................. 9

4.2.1 Agrupamento pontual ......................................................................................................... 9

4.2.2 Agrupamento intervalar .................................................................................................... 10

5 MEDIDAS ESTATÍSTICAS ................................................................................................................ 11

5.1 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL (MTCS)...................................................................................... 11

5.2 MEDIDAS DE VARIABILIDADE OU DISPERSÃO ..................................................................................... 11

5.3 CÁLCULO DA MÉDIA ARITMÉTICA ................................................................................................... 12

5.3.1 Média Aritmética Simples .................................................................................................. 12

5.3.2 Média Aritmética Ponderada ............................................................................................. 13

5.4 “TRUQUE” PARA O CÁLCULO RÁPIDO DA MÉDIA ARITMÉTICA ................................................................. 16

5.5 CÁLCULO DA MÉDIA GEOMÉTRICA ................................................................................................. 20

5.5.1 Aplicações da média geométrica ....................................................................................... 20

5.6 CÁLCULO DA MÉDIA HARMÔNICA .................................................................................................. 21

5.6.1 Aplicações da média harmônica ........................................................................................ 22

5.7 COMPARATIVO ENTRE MÉDIAS ....................................................................................................... 22

5.7.1 A Amplitude é importante! ................................................................................................ 23

5.8 MODA ..................................................................................................................................... 25

5.9 MEDIANA ................................................................................................................................. 27

5.9.1 Posição da mediana .......................................................................................................... 27

5.10 PROPRIEDADES DAS MTCS ........................................................................................................... 28

5.11 PROPRIEDADE EXCLUSIVA DA MÉDIA ARITMÉTICA ............................................................................... 31

5.12 CÁLCULO DAS MEDIDAS DE VARIABILIDADE ...................................................................................... 33

5.12.1 Desvios simples ............................................................................................................. 33

5.12.2 Variância ....................................................................................................................... 33

5.12.3 Desvio Padrão ............................................................................................................... 35

5.12.4 Coeficiente de Variação ................................................................................................. 36

5.13 PROPRIEDADES DAS MEDIDAS DE VARIABILIDADE ............................................................................... 37

5.14 QUADRO-RESUMO...................................................................................................................... 41

6 MOMENTOS, ASSIMETRIA E CURTOSE .......................................................................................... 42

6.1 MOMENTOS.............................................................................................................................. 42

6.1.1 Momentos Centrados na Média Aritmética ....................................................................... 42

2




6.2 ASSIMETRIA .............................................................................................................................. 43

6.2.1 Gráficos: ............................................................................................................................ 44

6.2.2 Fórmulas para o cálculo da Assimetria .............................................................................. 44

6.3 CURTOSE .................................................................................................................................. 44

6.3.1 Gráficos ............................................................................................................................. 45

7 PROBABILIDADE ............................................................................................................................ 46

8 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE .............................................................................................. 47

8.1 DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE .................................................................................. 47

8.1.1 Distribuição Binomial ........................................................................................................ 47

8.2 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE ................................................................................. 50

8.2.1 Distribuição Normal........................................................................................................... 51

9 TÓPICO ESPECIAL: O ESCORE ANPAD ............................................................................................ 56

9.1 “%” DE CANDIDATOS COM PONTUAÇÃO INFERIOR ............................................................................. 57

10 INTERVALOS DE CONFIANÇA ......................................................................................................... 60

10.1 CÁLCULO DO INTERVALO DE CONFIANÇA .......................................................................................... 60

10.1.1 Erro Padrão de Estimação ............................................................................................. 61

11 EXERCÍCIOS .................................................................................................................................... 63

12 PROVA DE ESTATÍSTICA – FGTAS-2011 .......................................................................................... 80

13 PROVA DE ESTATÍSTICA – AGERGS-2013 ....................................................................................... 91

14 PROVA DE ESTATÍSTICA – CÂMARA-POA 2011 ............................................................................ 105

15 INSTITUTO INTEGRAL EDITORA - CATÁLOGO .............................................................................. 110

16 CURRÍCULO INFORMAL ............................................................................................................... 117

3




Alertamos para o fato de que nosso material passa por constantes revisões,

tanto para a correção de erros, quanto para a inclusão de novos conteúdos

ou questões resolvidas, ou para melhorar as explicações em alguns tópicos.

Tudo baseado nas centenas de dúvidas que recebemos mensalmente.

Não é necessário imprimir o material a cada revisão. Apenas baixe a versão

corrigida e consulte-a no caso de encontrar alguma inconsistência em sua

cópia impressa.

Devido à quantidade e à frequência de nossas revisões, é impossível

"marcar" ponto a ponto as alterações introduzidas em cada versão.

Contamos com a compreensão e, se possível, com a colaboração de todos

para alertar-nos sobre erros porventura encontrados.

Obrigado!

Mantenha seu material didático sempre atualizado!

Consulte periodicamente nossa pasta pública, na qual todo o nosso material

didático é mantido: http://www.facebook.com/groups/souintegral/.

Cadastre-se também aqui:


e receba, via e-mail, informações e atualizações em primeira mão.

Por gentileza, repasse esse material para seus melhores amigos. Obrigado!

Participe do nosso projeto: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pay-

it-forward-corrente-do-bem.html

http://www.facebook.com/groups/souintegral/


http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pay-it-forward-corrente-do-bem.html


4




1 Introdução

Quem cursou essa matéria na faculdade sabe que é impossível resolver questões

sem o auxílio de uma boa calculadora, não é mesmo? Mas como é possível

colocar questões de Estatística em um concurso público, onde não se pode usar

calculadoras? Simples! A matéria é cobrada focalizando-se os conceitos e as

propriedades.

Fui examinador de concursos públicos durante 8 anos. Em 2011 e 2013 elaborei

3 provas de Estatística para os concursos públicos da FGTAS, da AGERGS e da

Câmara de Porto Alegre-RS. Essas provas estão disponíveis neste e-book.

Logo após receber o primeiro convite para trabalhar com essa matéria, pensei em

como seria possível elaborar 20 questões de Estatística para serem resolvidas sem

calculadora... Como o programa proposto era extenso, foi preciso ‘pinçar’

somente os tópicos que não exigiriam dos candidatos a realização de cálculos

exaustivos, mas que premiassem aqueles que estivessem bem preparados, ou

seja, aqueles que tivessem um bom domínio conceitual.

Qual não foi minha surpresa ao receber vários recursos em questões muito

simples, como, por exemplo, as de números 73, 76 e 77 deste livro. Percebi que

as faculdades acabam formando muita gente que só aprende a fazer cálculos de

modo mecânico e sem a devida interpretação dos resultados encontrados, à luz

dos conceitos ou das propriedades envolvidas.

Em minhas aulas, passei a adotar um método de treinamento que ajudasse meus

alunos a enxergarem as respostas de várias questões, sem realizar um cálculo

sequer, como é o caso da média harmônica, por exemplo, em que vale a máxima:

“a média harmônica não se calcula; olhe para a amplitude da série e crave a

resposta certa com 100% de certeza.”

Consulte o link: http://profmilton.blogspot.com.br/2014/09/18-dicas-quentes-de-

mat-estat-rac-log.html para outras dicas desse assunto fascinante!

Abraços e Sucesso!

Prof. Milton Araújo.

http://profmilton.blogspot.com.br/2014/09/18-dicas-quentes-de-mat-estat-rac-log.html

http://profmilton.blogspot.com.br/2014/09/18-dicas-quentes-de-mat-estat-rac-log.html

5




2 O que é Estatística?

O termo Estatística é derivado de Estadística.

Estadística é a ciência de governar. Abrange o conjunto de princípios a serem

adotados para a solução de tudo aquilo que é de interesse do Estado.

A Estatística é uma ciência formal e uma ferramenta que estuda o uso e análise

de uma amostra representativa de dados, procura explicar as correlações e

dependências de um fenômeno físico ou natural para ocorrer aleatoriamente ou

condicionalmente.

Estatística é a ferramenta fundamental para realizar o processo de estatísticas

relacionadas com a investigação científica. Ela também é usada para a tomada de

decisão em diversas áreas e instituições empresariais e governamentais.

2.1 Estatística Descritiva

É dedicada à descrição, visualização e resumo dos dados provenientes dos

fenômenos em estudo. Os dados podem ser resumidos graficamente ou

numericamente. Exemplos de parâmetros estatísticos de base são a média e

desvio padrão. Alguns tipos de gráficos: histograma, polígono, ‘pizza’, entre

outros.

2.2 Estatística Inferencial

É dedicada à geração de modelos, inferências e previsões associados com o

fenômeno em questão, considerando a aleatoriedade das observações. Ele é

usado para modelar padrões nos dados e fazer inferências sobre a população em

estudo. Essas inferências podem assumir a forma de respostas a perguntas sim /

não (teste de hipóteses), as estimativas das características numéricas (de

estimação), previsões de futuras observações, descrições de associação

(correlação), ou modelagem de relações entre as variáveis (análise de regressão) .

Outras técnicas de modelagem incluem ANOVA, séries temporais e mineração

de dados.

6




2.3 Tipos de variáveis

Variável é a característica de interesse que é medida em cada elemento da

amostra ou população. Como o nome diz, seus valores variam de elemento para

elemento. As variáveis podem ter valores numéricos ou não numéricos.

As variáveis podem ser classificadas da seguinte forma:

2.3.1 Variáveis Quantitativas

São as características que podem ser medidas em uma escala quantitativa, ou

seja, apresentam valores numéricos que fazem sentido. Podem ser discretas ou

contínuas.

2.3.1.1 Discretas

São aquelas que podem assumir apenas um número finito ou infinito contável de

valores e, assim, somente fazem sentido valores inteiros (no conjunto dos

números naturais). Geralmente são o resultado de contagens. Exemplos: número

de filhos, número de erros por página em um livro, número de acidentes diários

em determinada estrada, etc.

2.3.1.2 Contínuas

Características mensuráveis que assumem valores em uma escala contínua (no

conjunto dos números reais), para as quais valores fracionais fazem sentido.

Usualmente devem ser medidas através de algum instrumento. Exemplos: peso

(balança), altura (régua), tempo (relógio), pressão arterial, idade, renda (moeda),

etc.

2.3.2 Variáveis Qualitativas ou Categóricas

São as características que não possuem valores quantitativos, mas, ao contrário,

são definidas por várias categorias, ou seja, representam uma classificação dos

indivíduos. Podem ser nominais ou ordinais.

7




2.3.2.1 Nominais

Não existe ordenação dentre as categorias. Exemplos: sexo, cor dos olhos,

fumante/não fumante, doente/sadio.

2.3.2.2 Ordinais

Existe uma ordenação entre as categorias. Exemplos: escolaridade, mês de

observação (janeiro, fevereiro, ..., dezembro), etc.

8




3 Nomenclatura

Meu orientador do Mestrado, Prof. Dr. João Luiz Becker1 certa vez me disse:

“A nomenclatura matemática foi criada para a boa definição e o bom

entendimento dos conceitos e regras. É primordial respeitá-la, para o bem de

todos aqueles que estudam ou praticam ciências exatas.”

Esta lição jamais será esquecida!

Amostra População

Tamanho

Média aritmética

Variância

Desvio padrão

Coeficiente de variação

... ... ...

Observações:

Representam-se dados amostrais através de letras latinas minúsculas. Para

dados populacionais, geralmente usam-se letras gregas.

Dados amostrais são denominados de estatísticas; dados populacionais

são denominados de parâmetros.

1 Aos interessados, principalmente aos que pretendem se tornar pesquisadores acadêmicos,

aconselho consultar o livro: Estatística Básica – Métodos de Pesquisa – transformando dados

em informação, de João Luiz Becker, editado pela Bookman.

9




4 Formas de Apresentação dos Dados

4.1 Dados não agrupados (ou dados “crus”)

Série estatística na qual os dados brutos aparecem enumerados um a um, na

forma de “rol”, sem qualquer preocupação com a ordem.

Exemplo:

Número de filhos dos funcionários do setor X de uma empresa:

Tamanho da amostra:

4.2 Dados agrupados por frequências

O agrupamento dos dados é feito por frequência, através de uma das seguintes

formas, conforme a natureza dos dados.

4.2.1 Agrupamento pontual

Forma de agrupamento própria para variáveis quantitativas discretas.

Exemplo:


Nº de filhos Frequência 0 7

1 9

2 3

3 1

Total 20

10




4.2.2 Agrupamento intervalar

O agrupamento por intervalo de classes é destinado a representar variáveis

quantitativas contínuas.

Exemplo:

Distribuição de idades dos funcionários de uma empresa.

Classe Frequência 18 ⊢ 22 1

22 ⊢ 26 2

26 ⊢ 30 5

30 ⊢ 34 10

34 ⊢ 38 22

38 ⊢ 42 20

42 ⊢ 46 10

46 ⊢ 50 5

Total 75

11




5 Medidas Estatísticas

As medidas estatísticas são classificadas em Medidas de Tendência Central

(MTCs) e em Medidas de Variabilidade ou de Dispersão. Além dessas há

também as Separatrizes (quartis, decis, percentis).

5.1 Medidas de Tendência Central (MTCs)

Como o próprio nome o diz, uma Medida de Tendência Central (MTC) tende a

estar no centro da distribuição.

Abordaremos neste livro:

Média aritmética (simples e ponderada);

Média Geométrica;

Média Harmônica;

Moda;

Mediana.

5.2 Medidas de Variabilidade ou Dispersão

As medidas de variabilidade ou dispersão tendem para as caudas da distribuição,

isto é, medem os afastamentos, geralmente em torno da média aritmética.

São elas:

Amplitude total;

Desvios simples;

Desvio médio;

Variância;

Desvio padrão;

Coeficiente de variação.

12




5.3 Cálculo da Média Aritmética

5.3.1 Média Aritmética Simples

Fórmulas:

Média aritmética para dados amostrais

Média aritmética para dados populacionais

As fórmulas acima são exatamente iguais. A diferença está na nomenclatura.

Consulte o Capítulo 3.

Exemplo:


Média aritmética:

Resposta: No setor X dessa empresa, cada funcionário tem, em média, 0,9 filho.

13




5.3.2 Média Aritmética Ponderada

Fórmulas:

Média aritmética para dados amostrais

Média aritmética para dados populacionais

Exemplo 1:

Calcule a média aritmética do número de filhos dos funcionários do setor X de

uma empresa:

Nº de filhos Frequência 0 7

1 9

2 3

3 1

Total 20

Solução:

Observe que o setor X da empresa constitui uma amostra. Assim, a média

aritmética é dada por:

Acrescentaremos à tabela acima uma coluna com os produtos :

0 7 0

1 9 9

2 3 6

3 1 3

Total 20 18

14




Resposta: No setor X dessa empresa, cada funcionário tem, em média, 0,9 filho.

Exemplo 2:

Na distribuição de idades dos funcionários de uma empresa, apresentada a seguir,

calcule a média aritmética.

Classe Frequência 18 ⊢ 22 1

22 ⊢ 26 2

26 ⊢ 30 5

30 ⊢ 34 10

34 ⊢ 38 22

38 ⊢ 42 20

42 ⊢ 46 10

46 ⊢ 50 5

Total 75

Observe que a tabela acima apresenta a distribuição das idades de todos os

funcionários da empresa. Trata-se, portanto, de uma população. Assim, a média

aritmética é dada por:

Nas distribuições por intervalo de classes, as variáveis devem ser

representadas pelos respectivos pontos médios das classes :

20 1 20

24 2 48

28 5 140

32 10 320

36 22 792

40 20 800

44 10 440

48 5 240

Total 75 2800

15




O cálculo realizado acima é exaustivo! Em uma prova, consumiria um tempo

razoável do candidato, e a probabilidade de cometer algum erro é alta...

5.3.2.1 Dica

Na introdução deste livro, alertamos para este ponto: a exaustividade dos

cálculos em questões de Estatística. O candidato bem preparado deve sempre

focalizar primeiro os conceitos e as propriedades!

Pois bem, a média aritmética é uma Medida de Tendência Central, isto é, tende

para o centro da distribuição. Observe, na tabela a seguir, que as frequências

simples crescem até um valor máximo e depois decrescem novamente:

1, 2, 5, 10, 22, 20, 10, 5

Vê-se, claramente, que a média aritmética está no intervalo 34 ⊢ 38

A questão acima caiu em uma prova de Raciocínio Quantitativo do Teste

ANPAD, em 2006 (veja a questão nº 26 na lista de exercícios).

Normalmente, questões deste tipo solicitam o cálculo de duas informações: uma

fácil e outra aparentemente trabalhosa.

16




Deixe a informação aparentemente trabalhosa em segundo plano e calcule a mais

fácil primeiro! Há 99% de chance que você não precise realizar o cálculo

trabalhoso...

5.4 “Truque” para o cálculo rápido da média aritmética

Vou antecipar aqui uma parte do próximo capítulo, que tratará das medidas de

variabilidade ou dispersão. Mais particularmente, falarei dos desvios simples em

torno da média aritmética.

Exemplo:

Dado o conjunto de dados:

Sua média aritmética é:

Define-se o desvio simples (símbolo: ) por:

Conjunto formado pelos desvios simples:

Somatório dos desvios simples:

Propriedade:

“Para qualquer conjunto de dados, o somatório dos desvios simples em torno da

média aritmética é sempre nulo.”

Significa que, se colocássemos os desvios em uma balança, com o apoio no zero,

e os tratássemos como “pesos”, teríamos um equilíbrio nesta balança.

17




Desconsideremos o valores negativos, pois eles indicam apenas que os valores

considerados são menores do que a média aritmética.

Então, temos à esquerda do valor zero um peso total de 3 unidades; e à direita do

zero também temos um peso total de 3 unidades.

Veremos as propriedades das MTCs um pouco mais adiante, mas também

anteciparei aqui uma importante propriedade da média aritmética:

“Ao somarmos ou subtrairmos uma constante em cada valor de um conjunto de

dados, sua média aritmética ficará somada ou subtraída dessa mesma constante

.

Voltando ao conjunto de dados , vamos subtrair uma unidade de

cada valor do conjunto :


Observe que agora a média aritmética ficou uma unidade menor do que a média

aritmética anterior.

Se a constante for igual à média aritmética do conjunto, a nova média ficará

igual a zero. Bingo! Temos aqui algo bastante útil para o cálculo rápido da média

aritmética de um conjunto de dados.

Sei que ainda não ficou 100% claro, mas o exemplo seguinte ajudará o leitor a

captar o ponto em que pretendo chegar.

Exemplo:

Vamos tomar o conjunto de dados da questão 25 da lista de exercícios:

18




61, 66, 66, 67, 71, 72, 72, 72, 77, 78

Por simples observação, não sabemos qual é a média aritmética exata do

conjunto acima, mas, como a média aritmética é uma medida que tende a estar no

centro da distribuição, podemos desconfiar que ela não está muito distante do 71.

Então, vamos arriscar inicialmente o 71 como o possível valor para a média

aritmética do conjunto, subtraindo-o de cada um dos valores originais do

conjunto de dados:

-10, -5, -5, -4, 0, 1, 1, 1, 6, 7

Coloquemos os dados na balança...

Observe (figura seguinte) que o apoio da balança foi colocado sobre o valor 71.

A balança apresenta um “peso” de 24 unidades à esquerda e um “peso” de 16

unidades à direita. Isto significa que a verdadeira média aritmética do conjunto é

um valor ligeiramente inferior a 71, pois a balança tem um peso maior à esquerda

do valor 71.

Para a confirmação, calculemos o valor da média aritmética para o conjunto

acima:

Pela propriedade da média aritmética enunciada no quadro da página 17,

sabemos que a média –0,8 é 71 unidades menor do que a verdadeira média do

conjunto. Então:

19




Observe o leitor que não havia necessidade de calcular com exatidão a verdadeira

média aritmética do conjunto. Para a questão citada, bastaria apenas sabermos

que era um valor ligeiramente menor do que 71...

Para finalizar, segue mais um exemplo:

Calcule a média aritmética do conjunto:

Sabemos que a média aritmética deve estar próxima do valor 102. Para facilitar

os cálculos, vamos arbitrá-la inicialmente como sendo igual a 100 e subtraí-la de

cada valor do conjunto de dados:

Sabe-se que o valor da média aritmética do conjunto é

um valor ligeiramente maior do que 100.

Calculando-se a média aritmética dos “desvios” e acrescentando

100 unidades, chegaremos à verdadeira média aritmética do conjunto de dados:

Para mais informações, consulte este link:

http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-estatistica-1.html


20




5.5 Cálculo da Média Geométrica

Para o cálculo da média geométrica, utiliza-se a seguinte fórmula:

O símbolo significa “produtório”

Por simplicidade, adotaremos a seguinte fórmula:

Exemplo:

Calcular a média geométrica entre 25 e 64.

Solução:

5.5.1 Aplicações da média geométrica

Aplica-se a média geométrica a valores que seguem uma lei geométrica. Veja o

exemplo 1 neste link: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-

estatistica-3.html.

Também aplica-se a média geométrica para o cálculo da taxa média em juros

compostos. Veja o exemplo 2 no mesmo link acima.

A média geométrica quase não aparece em provas de concursos públicos, nem no

Teste ANPAD. A razão parece óbvia: para , por exemplo, é necessário

calcular a raiz cúbica, tarefa nada agradável de se realizar sem o auxílio de uma

calculadora...



21




5.6 Cálculo da Média Harmônica

Para o cálculo da média geométrica, utiliza-se a seguinte fórmula:

Por simplicidade, adotaremos a fórmula escrita como segue:

Exemplo:

Calcular a média geométrica entre 4 e 16.

Solução:

Atalho:

Quando , e apenas quando , a média harmônica pode ser calculada

do seguinte modo:

Assim, a solução do problema acima fica:

22




5.6.1 Aplicações da média harmônica

Aplica-se a média harmônica nos seguintes casos:

Dados com grande amplitude. Exemplo: vestibular, concursos públicos,

Teste ANPAD, etc.

Dados que apresentem grandezas de naturezas diferentes relacionadas.

Exemplo: velocidade (relaciona distância com tempo); densidade

(relaciona massa com volume), etc.

5.6.1.1 O que é Amplitude?

Amplitude em um conjunto de dados é a diferença entre o maior valor e o menor

valor da distribuição.

Exemplo: 16, 18, 20, 25

Amplitude:

5.7 Comparativo entre médias

No link:


consta um comparativo entre as médias aritmética, geométrica e harmônica.

Tomamos duas distribuições simples:

e

Calculamos, para as distribuições e as médias aritmética, geométrica e

harmônica:


23




[Fonte: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-estatistica-2.html]

Observação: para qualquer conjunto de dados

5.7.1 A Amplitude é importante!

A amplitude do conjunto é: .

Observe que o valor da amplitude do conjunto é um valor que está entre 4 e 16,

portanto, essa amplitude é considerada grande. Em outras palavras, 12 é um

valor que está entre 4 e 16.

A amplitude do conjunto é: .

Observe que o valor da amplitude do conjunto é um valor fora do intervalo

entre 10 e 12. Aqui a amplitude é pequena. Em outras palavras, 2 é um valor que

não está entre 10 e 12.

5.7.1.1 A média harmônica não se calcula!

Agora o leitor já está preparado para entender a provocação que coloquei lá na

introdução deste livro!


24




Quando a amplitude de um conjunto de dados for pequena, a média harmônica

será pouca coisa menor do que a média aritmética.

Quando a amplitude de um conjunto de dados for grande, a média harmônica

será pouca coisa menor do que o dobro do menor valor desse conjunto.

Exemplo:

Durante a realização de uma gincana escolar, uma das provas consiste em

caminhar em linha reta do ponto A até o ponto B, e, em seguida, retornar ao

ponto A. Pela regra da prova, cada competidor não pode andar mais do que 50

passos por minuto em um dos trechos, nem mais de 100 passos por minuto no

outro trecho. Dois dos competidores, João e Pedro, têm passadas iguais, isto é, a

cada passo, ambos percorrem igual distância. Os dois partem ao mesmo tempo.

João percorre o trecho de A até B dando 40 passos por minuto, e o trecho de B

até A com 60 passos por minuto. Pedro percorre o trecho de A até B com 100

passos por minuto. Ao retornar de B para A, já cansado, só consegue dar 10

passos por minuto.

Quem venceu a prova?

A) Nenhum dos dois venceu, pois cruzaram juntos a linha de chegada.

B) Eles teriam cruzado juntos a linha de chegada se João percorresse o trecho de

A até B com 50 passos por minuto.

C) Pedro venceu a prova.

D) João venceu a prova.

E) Não é possível determinar quem foi o vencedor.

[Fonte: banco de questões do autor]

Solução/Comentários:

Dados:

João vai de A para B com velocidade de 40 ppm (passos por minuto), e volta de

B para A com velocidade de 60 ppm.

Pedro vai de A para B com velocidade de 100 ppm, e volta com velocidade de 10

ppm.

25




Observa-se que os dados relacionam distância percorrida e tempo gasto

(velocidade). Logo, deve-se calcular a média harmônica dos dois competidores.

Mas, antes de mais nada, calculemos as amplitudes de cada competidor:

João: (pequena)

Pedro: (grande)

Disto, podemos concluir que a velocidade média de João é pouca coisa menor do

que 50 ppm (ou um pouco menor do que a média aritmética).

A velocidade média de Pedro não é o dobro da menor velocidade, ou seja, é um

valor inferior a 20 ppm.

Conclusão: João venceu a prova!

Resposta: Alternativa: D

Divirta-se com essa pequena lista de exercícios:


5.8 Moda

A Moda é a medida estatística que ocorre com maior frequência.

Uma distribuição de dados pode ser amodal (que não tem moda), bimodal (duas

modas), ou polimodal, quando tem 3 modas ou mais.

Exemplo:

1) Dados não agrupados:


Moda do conjunto:


26




2) Dados agrupados por pontos:

Moda do conjunto:

3) Dados agrupados por intervalo de classe:

Neste caso, localiza-se, através da maior frequência, a classe modal.

Há três formas de se determinar a moda do conjunto:

1. Moda bruta: calcula-se o ponto médio da classe modal:

2. Moda de King: cálculo realizado através de fórmula.

27




3. Moda de Czuber: cálculo realizado através de fórmula.

Cálculos da moda realizados através das fórmulas de King e Czuber não caem

em provas de concursos públicos, nem no Teste ANPAD.

5.9 Mediana

A Mediana é uma separatriz, pois divide a distribuição exatamente ao meio. Para

localizá-la, é necessário ordenar os dados do menor para o maior valor.

Exemplo:


Ordenamento dos dados:

5.9.1 Posição da mediana

A posição da mediana é dada por:

onde:

: é a posição da mediana;

: é o tamanho da amostra.

No exemplo acima:

28




Significa dizer que a mediana está posicionada entre o 10º e o 11º elementos.

Neste caso, é necessário calcular a média aritmética desses dois elementos:

5.10 Propriedades das MTCs

Adicionando-se uma constante em cada valor de um conjunto de dados, sua

média aritmética, sua mediana e sua moda (se houver) ficarão somadas dessa

mesma constante .

Exemplo 1:

Média aritmética:

Mediana:

Moda:

Exemplo 2:

Vamos adicionar a cada elemento do conjunto:

Média aritmética:

29




Mediana:

Moda:

Observe que a média aritmética, a mediana e a moda do conjunto ficaram

adicionadas de uma unidade.

Subtraindo-se uma constante de cada valor de um conjunto de dados, sua

média aritmética, sua mediana e sua moda (se houver) ficarão subtraídas dessa

mesma constante .

Exemplo 3:

Conjunto original:

Vamos subtrair uma unidade de cada elemento do conjunto:

Média aritmética:

Mediana:

Moda:

30





subtraídas de uma unidade.

Multiplicando-se cada valor de um conjunto de dados por uma constante , sua

média aritmética, sua mediana e sua moda (se houver) ficarão multiplicadas por

essa mesma constante .

Exemplo 4:

Conjunto original:

Vamos multiplicar cada elemento do conjunto por 2:

Média aritmética:

Mediana:

Moda:


multiplicadas por 2.

Dividindo-se cada valor de um conjunto de dados por uma constante , sua

média aritmética, sua mediana e sua moda (se houver) ficarão divididas por essa

mesma constante .

Exemplo 5:

Conjunto original:

Vamos dividir cada elemento do conjunto por 2:

31




Média aritmética:

Mediana:

Moda:


divididas por 2.

5.11 Propriedade exclusiva da média aritmética

A média aritmética é afetada pelos valores extremos da distribuição de dados.

Acrescentando-se novos valores próximos ao extremo inferior da distribuição de

dados, a nova média aritmética será menor do que a média aritmética original.

Exemplo:

Acrescentando-se outro valor 1:

32




Acrescentando-se novos valores próximos ao extremo superior da distribuição de

dados, a nova média aritmética será maior do que a média aritmética original.

Exemplo:

Acrescentando-se mais um 5 ao conjunto :

33




5.12 Cálculo das Medidas de Variabilidade

5.12.1 Desvios simples

Exemplo:



Define-se o desvio simples (símbolo: ) por:

Conjunto formado pelos desvios simples:

Somatório dos desvios simples:

Propriedade:

“Para qualquer conjunto de dados, o somatório dos desvios simples em torno da

média aritmética é sempre nulo.”

5.12.2 Variância

Como o somatório de todos os desvios simples em torno da média aritmética é

sempre nulo, decidiu-se elevar os desvios ao quadrado e somá-los:

34




Propriedade:

“O somatório dos quadrados dos desvios simples em torno da média aritmética é

um mínimo.”

Da propriedade acima, nasceu o Método dos Mínimos Quadrados, amplamente

usado na Estatística.

5.12.2.1 Cálculo da Variância pelo método longo

O cálculo da Variância (símbolo: , para população; para amostra) pelo

método longo é dado por uma das fórmulas a seguir:

Para a população

ou

Para a amostra

Exemplo:



O somatório dos quadrados dos desvios simples em torno da média aritmética (já

calculado) é:

Variância:

35




5.12.2.2 Cálculo da Variância pelo método breve ou curto

Para a população

ou

Para a amostra

Exemplo:



Variância pelo método curto:

5.12.3 Desvio Padrão

O desvio padrão de um conjunto de dados é calculado pela raiz quadrada de sua

variância.

Exemplo:


Sua variância é:

Seu desvio padrão é:

36




5.12.4 Coeficiente de Variação

Coeficiente de Variação (ou Variabilidade Relativa) mede a variação relativa

entre o desvio padrão e a média aritmética de uma distribuição de dados

estatísticos.

Para a população

ou

Para a amostra

Exemplo:



Seu desvio padrão é:

Coeficiente de Variação:

Quanto maior for o Coeficiente de Variação, mais heterogênea é a distribuição.

Quanto menor for o Coeficiente de Variação, mais homogênea é a distribuição.

37




5.13 Propriedades das Medidas de Variabilidade

Ao adicionar-se ou subtrair-se uma constante em cada valor de um conjunto de

dados, sua variância e seu desvio padrão não sofrerão qualquer alteração.

Exemplo 1:

Média aritmética:

Variância:

Desvio padrão:

Coeficiente de variação:

Exemplo 2:

Vamos adicionar a cada elemento do conjunto:

Média aritmética:

Variância:

Desvio padrão:

38





Análise dos resultados:

(1) Adicionamos uma constante em cada valor do conjunto original e tanto a

variância, quando o desvio padrão não sofreram qualquer alteração.

(2) Adicionando-se uma constante a cada valor de um conjunto de dados, o

coeficiente de variação do conjunto será menor do que o original.

Exemplo 3:

Conjunto original:

Vamos subtrair uma unidade de cada elemento do conjunto:

Média aritmética:

Variância:

Desvio padrão:


39





(1) Subtraindo-se uma constante de cada valor do conjunto original: variância

e desvio padrão não sofrem qualquer alteração.

(2) Subtraindo-se uma constante de cada valor de um conjunto de dados, o

coeficiente de variação do conjunto será maior do que o original.

Multiplicando-se cada valor de um conjunto de dados por uma constante , sua

variância ficará multiplicada por e o seu desvio padrão fica multiplicado por

.

Exemplo 4:

Conjunto original:

Vamos multiplicar cada elemento do conjunto por 2:

Média aritmética:

Variância:

Desvio padrão:



40




Multiplicando-se cada valor do conjunto original por uma constante , sua

variância ficará multiplicada por e o seu desvio padrão fica multiplicado por

, enquanto que o seu coeficiente de variação não sofre qualquer alteração.

Dividindo-se cada valor de um conjunto de dados por uma constante , sua

média aritmética, sua mediana e sua moda (se houver) ficarão divididas por essa

mesma constante .

Exemplo 5:

Conjunto original:

Vamos dividir cada elemento do conjunto por 2:

Média aritmética:

Variância:

Desvio padrão:



Dividindo-se cada valor do conjunto original por uma constante , sua variância

ficará dividida por e o seu desvio padrão fica dividido por , enquanto que o

seu coeficiente de variação não sofre qualquer alteração.

41




5.14 Quadro-resumo

Somando-se uma

constante a

cada valor da

distribuição

Subtraindo-se

uma constante

a cada valor da

distribuição

Multiplicando-se

cada valor da

distribuição por uma

constante

Dividindo-se

cada valor da

distribuição por

uma constante

Média

aritmética

Fica somada

de

Fica subtraída

de

Fica multiplicada

por

Fica dividida

por

Moda Fica somada

de

Fica subtraída

de

Fica multiplicada

por

Fica dividida

por

Mediana Fica somada

de

Fica subtraída

de

Fica multiplicada

por

Fica dividida por

Variância Não se altera Não se altera Fica multiplicada

por

Fica dividida por

Desvio

Padrão Não se altera Não se altera

Fica multiplicado

por

Fica dividido por

Coeficiente

de Variação Diminui Aumenta Não se altera Não se altera

42




6 Momentos, Assimetria e Curtose

6.1 Momentos

Sejam as ocorrências assumidas pela variável em uma

distribuição.

Define-se:

com e

O primeiro momento de assimetria, que ocorre para , é a média aritmética.

(ver questão 83)

Exemplo:

Para o conjunto , calcule o primeiro e o segundo momentos.

Solução:

a) Primeiro momento:

b) Segundo momento:

6.1.1 Momentos Centrados na Média Aritmética

O momento de ordem centrado na média aritmética é definido por:

43




Se , (veja a propriedade da página 33).

Se , (o segundo momento centrado na média aritmética é a

variância).

Exemplo:

Para o conjunto , calcule o primeiro e o segundo momentos

centrados na média aritmética.

Solução:

a) Primeiro momento centrado na média aritmética:

b) Segundo momento centrado na média aritmética:

Observe que o segundo momento centrado na média aritmética é, precisamente, a

variância da distribuição.

6.2 Assimetria

Assimetria é o grau de desvio, ou afastamento da simetria, de uma distribuição.

Se a curva de frequência de uma distribuição tem uma “cauda” mais longo à

direita da ordenada máxima do que à esquerda, diz-se que a distribuição é

assimétrica para a direita, ou que ela é positivamente assimétrica. Se ocorre o

inverso, a distribuição é assimétrica para a esquerda, ou negativamente

assimétrica.

44




6.2.1 Gráficos:

Assimétrica para a esquerda Simétrica Assimétrica para a direita

6.2.2 Fórmulas para o cálculo da Assimetria

No caso de se tratar de uma distribuição amodal, pode-se adotar a fórmula:

As duas fórmulas acima são denominadas, respectivamente, primeiro e segundo

coeficientes de assimetria de Pearson.

6.3 Curtose

Curtose é o grau de achatamento de uma distribuição, considerado usualmente

em relação à distribuição normal. A distribuição que tem um pico relativamente

alto (gráfico da esquerda na figura abaixo) é denominada leptocúrtica. Com o

pico achatado, a distribuição é dita platicúrtica. A distribuição normal,

intermediária às duas anteriormente citadas, é chamada de mesocúrtica.

45




6.3.1 Gráficos

Leptocúrtica Mesocúrtica Platicúrtica

46




7 Probabilidade

Revise o conteúdo de Probabilidade no seguinte livro digital:

https://www.facebook.com/groups/souintegral/1025941660790318/

(para fazer o download, basta você se associar à comunidade Sou Integral)

Para um melhor aproveitamento do conteúdo de Probabilidade, convém revisar

também o conteúdo de Análise Combinatória.

Baixe o seguinte livro digital:




47




8 Distribuições de Probabilidade

Uma Distribuição de Probabilidade mede a chance de uma variável ocorrer ao

longo de um espaço de valores. Ela é uma função cujo domínio são os valores da

variável e cuja imagem são as probabilidades de a variável assumir cada valor do

domínio. O conjunto imagem deste tipo de função está sempre restrito ao

intervalo entre 0 e 1.

Uma distribuição de probabilidade pode ser discreta ou contínua. É comum o uso

de funções que se ajustem à distribuição de probabilidade.

8.1 Distribuições Discretas de Probabilidade

Uma distribuição discreta de probabilidade é aplicável quando um experimento é

realizado vezes, cada prova tendo uma probabilidade de sucesso e sendo

independente de qualquer outra prova anterior.

São distribuições discretas de probabilidade: de Boltzmann, de Bernoulli,

Binomial, Binomial Negativa, Geométrica, Hipergeométrica e de Poisson.

Dentre as distribuições elencadas acima, a mais popular é a Distribuição

Binomial. Para provas de Concursos Públicos, ou do Teste ANPAD, convém o

leitor estar familiarizado com essa distribuição discreta.

8.1.1 Distribuição Binomial

Conforme já foi dito três parágrafos acima, considera-se, na Distribuição

Binomial, a realização de um experimento com dois resultados possíveis: sucesso

ou fracasso. Adota-se a hipótese de que cada prova é independente, o que

significa dizer que a chance de sucesso em qualquer uma das provas não é

afetada pelos resultados de outras provas.

Exemplo:

48




Um cientista realiza um experimento vezes. A probabilidade de sucesso em

cada prova é , e a probabilidade de fracasso é – . A probabilidade de o

cientista obter sucesso em tentativas é dada pela seguinte fórmula.

Fórmula:

–

onde:

é a combinação de elementos, tomados a .

Exemplo:

Lança-se uma moeda equilibrada 6 vezes. Calcule a probabilidade de:

a) Ocorrer cara em exatamente 2 lançamentos;

b) Ocorrer cara em pelo menos 1 lançamento.

Solução:

Dados:

Distribuição de Probabilidades:

0 0,0156 0,0156

1 0,0938 0,1094

2 0,2344 0,3438

3 0,3125 0,6563

4 0,2344 0,8906

5 0,0938 0,9844

6 0,0156 1,0000

a)

49




b)

ou

8.1.1.1 Esperança ou Expectância da Variável Aleatória Binomial

A esperança ou expectância da variável aleatória binomial também é conhecida

como valor esperado, e é dada por:

Exemplo:

No exemplo anterior, calcule o valor esperado de sucessos para a ocorrência do

evento cara.

Solução:

8.1.1.2 Variância da Variável Aleatória Binomial

50




Exemplo:

No exemplo anterior, calcule a variância e o desvio padrão.

Solução:

Desvio padrão:

8.1.1.3 Aplicações da Distribuição Binomial

Número de questões que um candidato pode esperar acertar por palpite

em uma prova de múltipla escolha;

Número de sinistros que uma companhia de seguros deve pagar;

Número de lançamentos livres que um jogador de basquete faz durante

uma temporada.

8.2 Distribuições Contínuas de Probabilidade

Distribuição Uniforme: é o modelo mais simples para variáveis aleatórias

contínuas.

Distribuição com variável no intervalo entre 0 e 1: Beta

Distribuições em intervalos semi-infinitos: Gama, Qui-quadrado, Exponencial

Distribuições contínuas em intervalos infinitos: de Cauchy, Log-normal, Normal,

Logística, de Pareto, de Weibull.

Para provas de Concursos Públicos, ou do Teste ANPAD, convém o leitor estar

familiarizado com a Distribuição Normal.

https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_de_Cauchy

51




8.2.1 Distribuição Normal

A distribuição normal é um exemplo de distribuição de variável aleatória

contínua.

Identifica-se a distribuição normal através de dois números: sua média e sua

variância. A média está localizada no pico da distribuição. A variância define a

forma da normal (se ela é muito dispersa ou se a maior parte da área se concentra

na proximidade do pico.

Se é uma variável aleatória normal, com média e variância , então a

função de densidade é dada por:

em que é o número de Euler e vale, aproximadamente, 2,7182818... e é um

velho conhecido e vale, aproximadamente, 3,141592...

8.2.1.1 Notação da Distribuição Aproximadamente Normal

Lê-se: Distribuição aproximadamente normal, com média e desvio padrão .

8.2.1.2 Gráficos

O gráfico da distribuição normal é conhecido como curva de Gauss, ou função

sample ou, simplesmente, “sino”, devido à sua forma, que se assemelha a de um

sino.

52




Na figura a seguir, apresentam-se gráficos de distribuições normais com médias

aritméticas iguais, mas com variâncias diferentes.

8.2.1.3 Distribuição Normal Padronizada

Na maioria das vezes em que necessitamos da área sob a curva normal,

recorremos a uma tabela. Como o leitor pode observar pelos gráficos acima, não

há um único tipo de normal, visto que tanto a média aritmética quanto a variância

são diferentes para cada distribuição.

Em vista disto, houve uma padronização que permite calcular os resultados para

qualquer distribuição que se aproxime de uma normal. A padronização é feita

com base em uma distribuição que tem média aritmética igual a zero e variância

igual a um, ou seja:

,

Essa distribuição normal especial é chamada de distribuição normal padronizada,

e é

8.2.1.4 Notação da Distribuição Normal Padronizada

Lê-se: Distribuição aproximadamente normal, com média e desvio padrão

.

53




8.2.1.5 Exemplo de Tabela da Normal Padronizada

Área da

Distribuição

Normal

1,00 0,3413

1,28 0,3997

1,50 0,4332

1,96 0,4750

2,00 0,4772

2,58 0,4951

3,00 0,4987

Onde é a quota da distribuição normal padronizada e mede a quantidade de

desvios padrões a partir da média aritmética.

8.2.1.6 Como padronizar uma distribuição normal

Onde:

: quota da distribuição normal padronizada (mede a quantidade de desvios

padrões a partir da média aritmética);

: valor assumido pela variável aleatória na distribuição original;

: média aritmética da distribuição original;

: desvio padrão da distribuição original.

Exemplo:

Uma variável aleatória possui média aritmética igual a 45 ( ) e desvio

padrão igual a 15 ( ). Calcule a quantidade de desvios padrões que se

encontra afastada da média aritmética a ocorrência .

Solução:

Resposta: a ocorrência está um desvio padrão abaixo da média aritmética

da distribuição.

54




Observe que a distribuição normal padronizada está centrada no valor zero

( ). Fica fácil verificar que valores de abaixo da média aritmética

terão e valores de acima da média aritmética terão .

8.2.1.7 Densidade de Probabilidade (área sob a curva)

A área sob a curva da função densidade de probabilidade fornece a probabilidade

da ocorrência do evento para um determinado intervalo da variável aleatória.

8.2.1.8 Intervalo

Observe (figura acima) que um intervalo centrado na média aritmética, com um

desvio padrão para cada lado, contém 68,26% das observações.

8.2.1.9 Intervalo

Com dois desvios para cada lado (centro na média aritmética), o intervalo contém

95,46% das observações.

55




8.2.1.10 Intervalo

O intervalo centrado na média aritmética que abrange três desvios padrões para

cada lado conterá 99,74% das observações.

56




9 Tópico Especial: O Escore ANPAD

Onde:

é o escore atingido pelo candidato na prova ;

é o número de acertos do candidato na prova ;

é a média do número de acertos da prova ; e

é o desvio padrão da prova .

Exemplo:

Vamos supor que, em uma das provas do Teste ANPAD, a média de acertos foi

de 10 questões ( ) e o desvio padrão foi de 3 questões ( ).

Quais foram os escores nessa prova dos candidatos, cujos números de acertos na

prova estão a seguir?

a) acertos;

b) acertos;

c) acertos;

d) acertos.

Solução:

a) acertos

b) acertos

c) acertos

57




d) acertos

Veja as questões 65 e 71.

9.1 “%” de Candidatos com Pontuação Inferior

No resultado obtido no Teste ANPAD, o candidato recebe dois resultados:

1. O escore atingido em cada prova e geral;

2. O percentual de candidatos que ficaram com pontuação inferior (por prova

e geral)

Exemplo:

No exemplo anterior, calcule a “% de candidatos com pontuação inferior” para

cada um dos candidatos cujos escores foram calculados.

Com o auxílio da figura a seguir, determinaremos rapidamente a densidade de

candidatos que tiveram escores inferiores a:

a) pontos e acertos;

b) pontos e acertos;

c) pontos e acertos;

d) pontos e acertos.

58




Solução:

a) pontos e acertos

Observe no gráfico acima que, à esquerda de , temos uma área igual a

ou

Resposta: Um candidato que tenha acertado 7 questões nessa prova, ficou com

um Escore de 200 pontos e deixou 15,87% dos demais candidatos para trás.

b) pontos e acertos

Observe no gráfico acima que, à esquerda de , temos uma área igual a 50%.

Resposta: Um candidato que tenha acertado 10 questões nessa prova, ficou com

um Escore de 300 pontos. Com esse escore, ele ficou melhor classificado do que

50% dos demais concorrentes.

c) pontos e acertos

Observe no gráfico acima que, à esquerda de , temos uma área igual a:

59




Resposta: Um candidato que tenha acertado 13 questões nessa prova superou

84,13% dos concorrentes.

d) pontos e acertos

Observe no gráfico da página anterior que, à esquerda de , temos uma área

igual a:

Resposta: Um candidato que tenha acertado 16 questões nessa prova superou

97,73% dos concorrentes.

60




10 Intervalos de Confiança

Um intervalo de confiança é baseado em observações de uma amostra e

construído de maneira que haja uma probabilidade específica de o intervalo

conter o verdadeiro valor desconhecido de um parâmetro (geralmente, a média

aritmética).

Todo intervalo de confiança tem um grau de confiabilidade associado a ele, isto

é, uma probabilidade de que o verdadeiro parâmetro esteja contido nesse

intervalo.

Geralmente, utiliza-se um nível de confiança de 95%.

Há várias formas de se determinar um intervalo de confiança para um parâmetro,

e isto dependerá do tamanho da amostra, do conhecimento (ou não) da variância

populacional, etc.

Há intervalos de confiança para a média aritmética, para a variância, para a

proporção, para diferença entre médias de duas amostras, etc.

Nosso propósito neste estudo é focalizar apenas naqueles pontos do tópico que

podem se tornar uma questão adequada ao propósito de um Concurso Público, ou

do Teste ANPAD, pois (reiterando) as questões devem ser resolvidas sem o

auxílio de calculadoras eletrônicas.

Servirá para este propósito os intervalos de confiança para a média aritmética, em

uma amostra que se possa considerar grande (na qual se usa a distribuição

Normal) e com variância populacional conhecida.

10.1 Cálculo do Intervalo de Confiança

Onde:

é a média aritmética da amostra estimadora;

é o erro padrão de estimação.

61




10.1.1 Erro Padrão de Estimação

Onde:

é o erro padrão de estimação.

é o valor da quota da distribuição Normal padronizada (depende da

confiança adotada para o intervalo).

é o nível de significância do intervalo. Para uma confiança de 95%, por

exemplo, teremos uma significância de 5%, o que significa dizer que a confiança

do intervalo é dada por .

é o desvio padrão da população.

é o tamanho da amostra estimadora.

O valor de é extraído de uma tabela. Os valores mais usuais estão

contidos na tabela a seguir:

Confiança

90% 1,28

95% 1,96

97% 2,17

99% 2,58

Exemplo:

A média salarial de uma amostra de 100 funcionários de uma empresa é

. A variância salarial de todos os funcionários dessa empresa é

. Determine o intervalo de confiança para a verdadeira média salarial

dessa empresa, adotando um nível de confiança de 95%.

Solução:

Dados:

62




Erro padrão de estimação:

Da tabela da página anterior:

Intervalo de confiança:

Resposta: Estima-se, com 95% de confiança, que a média aritmética dos salários

de todos os funcionários da empresa esteja contida no intervalo entre R$ 980,40 e

R$ 1.019,60.

(Veja a questão 64. Note que o erro padrão de estimação foi fornecido,

dispensando o leitor de calculá-lo!)

63




11 Exercícios

1) ANPAD-2009 – O coeficiente de assimetria de Pearson é uma medida de

assimetria que expressa a diferença entre a média e a mediana em relação ao

desvio padrão. Se uma determinada amostra tiver coeficiente de assimetria de

Pearson negativo, pode-se concluir que

a) a média é maior que a mediana.

b) a média é menor que a mediana.

c) o desvio padrão é negativo.

d) o desvio padrão é maior que a média.

e) o desvio padrão é maior que a mediana.

2) ANPAD-2009 – Certa empresa resolveu duplicar o salário de cada

funcionário. Com relação à variância e ao desvio padrão dos novos salários,

pode-se afirmar que

a) a variância quadruplicou e o desvio padrão duplicou.

b) a variância duplicou e o desvio padrão quadruplicou.

c) ambos permaneceram iguais.

d) ambos quadruplicaram.

e) ambos duplicaram.

3) ANPAD-2010 – Na tabela ao lado,

tem-se a distribuição dos salários dos

funcionários de uma dada empresa (em

salários mínimos). Para esse conjunto de

dados, os valores aproximados da média e

da mediana são iguais, respectivamente, a

a) 4,0 e 4,0

b) 4,25 e 4,6

c) 4,5 e 4,0

Classes de salários

(em salários

mínimos)

Frequência

(%)

1 ⊢ 3 25

3 ⊢ 5 40

5 ⊢ 7 20

7 ⊢ 9 10

9 ⊢ 11 5

d) 4,6 e 6,0

e) 4,6 e 4,25

4) ANPAD-2010 – Marcos submeteu-se a quatro provas. Sabe-se que as notas da

primeira e da quarta prova são, respectivamente 7 e 8. A nota da terceira prova é

maior que a nota da segunda, e as notas referentes a essas duas provas são

64




números inteiros entre 0 e 10. Sabendo-se que a média aritmética das quatro

notas é igual a 6, pode-se concluir que uma possibilidade para a nota da terceira

prova e para o valor da mediana são valores respectivamente iguais a

a) 8 e 4,5.

b) 7 e 3,5.

c) 6 e 6,5.

d) 5 e 4,5.

e) 4 e 6.

5) ANPAD-2010 – Flávia e Maria estão cursando uma

disciplina cuja nota final será a média ponderada dos

resultados obtidos em quatro avaliações: A1, A2, A3 e

A4, que, respectivamente, têm pesos 1, 2, 3 e 4.

Nota A1 A2 A3

Flávia 7,0 7,5 7,0

Maria 8,0 7,0 7,5

Na tabela ao lado, estão dispostas as três primeiras notas de cada aluna.

Sabendo-se que a média de aprovação na disciplina é 6,0 e que as referidas

alunas fizeram a quarta avaliação em dupla, conclui-se que, dentre as

alternativas, a menor nota A4 que as aprova na disciplina é

a) 5.

b) 4.

c) 3.

d) 2.

e) 1.

6) ANPAD-2010 – Em relação ao salário

mensal, a distribuição dos funcionários de

uma empresa é aquela mostrada na tabela

ao lado. O salário médio mensal e a

distribuição são, respectivamente,

a) 5 salários mínimos e simétrica.

b) 5 salários mínimos e assimétrica à

direita.

c) 5 salários mínimos e assimétrica à

esquerda.

d) 7 salários mínimos e assimétrica à

direita

Salário Mensal

(nº de salários

mínimos) Frequência

1 ⊢ 3 45

3 ⊢ 5 40

5 ⊢ 7 30

7 ⊢ 9 20

9 ⊢ 11 10

11 ⊢ 13 5

Total 150

e) 7 salários mínimos e assimétrica à esquerda.

65




7) ANPAD-2011 – O diretor de certa empresa afirmou: “A média de vendas de

cada mês do último ano duplicou em relação à média mensal de vendas de cada

um dos respectivos meses do ano anterior.” Dessa informação pode-se concluir,

no que diz respeito às vendas do último ano em relação às vendas do ano

anterior, que

a) a variância quadruplicou e a mediana duplicou.

b) o desvio padrão não alterou e a média anual duplicou.

c) o desvio padrão quadruplicou e a média anual duplicou.

d) o desvio padrão duplicou e a mediana anual quadruplicou.

e) o desvio padrão, a mediana, a média anual e a variância duplicaram.

8) ANPAD-2011 – Os custos mensais com material de limpeza de certa empresa

seguem, estatisticamente, uma distribuição normal com média de R$ 250,00 e

desvio padrão de R$ 20,00. Logo, pode-se afirmar que

a) aproximadamente 68% dos custos com material de limpeza estão entre R$

230,00 e R$ 270,00.

b) aproximadamente 78% dos custos com material de limpeza estão entre R$

230,00 e R$ 270,00.

c) aproximadamente 95% dos custos com material de limpeza estão entre R$

230,00 e R$ 270,00.

d) aproximadamente 95% dos custos com material de limpeza estão entre R$

190,00 e R$ 310,00.

e) aproximadamente 99% dos custos com material de limpeza estão entre R$

210,00 e R$ 290,00.

9) ANPAD-2011 – Em uma determinada empresa, a razão entre o número de

funcionários que trabalham na administração e o número de funcionários que

trabalham no chão de fábrica é de sete para quatro. O tempo médio de

permanência na empresa é de 5 anos entre os funcionários da administração e de

11 anos entre os funcionários do chão de fábrica. Então, supondo-se que só

existam essas duas áreas na empresa (administração e chão de fábrica), o tempo

médio geral de permanência na empresa está mais próximo de

a) 10 anos.

b) 9 anos.

c) 8 anos.

66




d) 7 anos.

e) 6 anos.

10) ANPAD-2011 – A partir de uma

pesquisa com dez funcionários de

uma empresa, foi elaborada a tabela

ao lado, contendo as variáveis idade,

estado civil e grau de instrução. Com

base nos dados da tabela, fazem-se as

seguintes afirmações:

I. A idade média é de 25 anos.

II. A mediana da variável idade é

igual a 25,5 anos.

III. A moda da variável idade é 26

Funcio

nário Idade

Estado

Civil

Grau de

Instrução

1 23 Casado Ensino Médio

2 21 Solteiro Graduação

3 23 Casado Ensino Médio

4 21 Casado Mestrado

5 25 Solteiro Mestrado

6 26 Solteiro Ensino Médio

7 26 Casado Graduação

8 27 Solteiro Doutorado

9 27 Solteiro Ensino Médio

10 26 Casado Graduação

anos.

IV. Existem três funcionários casados que têm apenas o ensino médio.

V. Apenas 1% dos funcionários tem doutorado.

Dentre as afirmações acima, são CORRETAS

a) apenas I e II.

b) apenas I e III.

c) apenas II e III.

d) apenas II, III e IV.

e) apenas II, III, IV e V.

11) ANPAD-2012 – O critério de avaliação da disciplina de Estatística é baseado

na média aritmética ponderada das notas de quatro provas, cujos pesos são 1, 2, 3

e 4, respectivamente. Se a média das quatro provas for maior ou igual a 8,5, o

aluno fica dispensado da apresentação de um trabalho. Se Marcos tirou, nesta

ordem, notas 6,0, 10,0 e 9,0 nas três primeiras avaliações, para que ele fique

dispensado da apresentação do trabalho, a sua quarta nota deverá ser no mínimo

igual a

a) 7,8.

b) 8,0.

c) 8,5.

67




d) 8,7.

e) 9,0.

12) ANPAD-2011 – O gráfico a seguir representa a distribuição das notas que 40

alunos do curso de Administração obtiveram em determinada prova.

A média aritmética e a mediana das notas dos 40 alunos nessa prova são,

respectivamente,

a) 4,4 e 5,5.

b) 5,5 e 5,5.

c) 4,4 e 6,0.

d) 5,5 e 6,0.

e) 5,0 e 5,0.

13) ANPAD-2012 – A média aritmética das idades das crianças em uma colônia

de férias é de 9 anos. Quando essas crianças são separadas em meninos e

meninas, a média aritmética das idades é de 11 anos para os meninos e de 6 anos

para as meninas. Então, a razão entre o número de meninos e meninas é

a) 3/2.

b) 2/3.

c) 11/6.

d) 6/11.

e) 9/5.

68




14) ANPAD-2012 – O salário médio mensal de todos os funcionários de certa

organização é de R$ 2.000,00. Os salários médios mensais para os homens e

mulheres funcionários dessa mesma organização são, respectivamente, de R$

1.700,00 e R$ 2.100,00. A porcentagem de mulheres empregadas pela

organização é de

a) 80%.

b) 75%.

c) 60%.

d) 30%.

e) 25%.

15) ANPAD-2013 – Maria jogou 11 partidas de um jogo e fez média de 49

pontos. Se a média foi de 38 pontos nas cinco primeiras partidas e 59 pontos nas

cinco últimas, então na sexta partida Maria fez

a) 40 pontos.

b) 45 pontos.

c) 49 pontos.

d) 51 pontos.

e) 54 pontos.

16) ANPAD-2013 – Um professor decidiu consultar a seguinte listagem de notas

obtidas pelos seus sete alunos na prova final do semestre:

2,5 4 4 6 * 9,5 10

Embora a quinta nota da lista estivesse ilegível, o professor sabia que a média das

notas coincidia com a mediana e que a lista estava em ordem crescente de notas.

Assim, o professor pôde concluir que a nota ilegível era:

a) 6,0.

b) 6,5.

c) 7,5.

d) 8,5.

e) 9,0.

17) ANPAD-2014 – A média de tempo dos oito corredores de uma prova de 100

m rasos foi de 11 segundos e 20 centésimos. Após a realização de exames anti-

doping, apenas o atleta que havia chegado em primeiro lugar foi desclassificado e

a média de tempo entre os corredores restantes subiu para 11 segundos e 40

centésimos. Determine qual foi o tempo, em segundos, do atleta acusado de

69




doping.

a) 9,8.

b) 10,0.

c) 10,2.

d) 10,4.

e) 10,6.

18) ANPAD-2014 – A média das alturas dos irmãos João, Carlos e André é igual

a 190 cm, que, por coincidência, equivalem à altura de André. Sabendo que o

desvio-padrão das três alturas é igual a , determine qual é a diferença, em

centímetros, entre as alturas de João e Carlos.

a) 2.

b) 4.

c) 6.

d) 8.

e) 10.

19) ANPAD-2014 – Em um jogo de futebol, que durou 90 minutos ao todo, o

time visitante ganhou por 7 a 1. Os gols do time visitante saíram aos 11, 23, 24,

26, 29, 72 e 80 minutos de jogo. Desconsiderando o intervalo de tempo entre o

primeiro e o segundo tempo, determine quantos minutos, em média, o time

vencedor ficou sem marcar gols nessa partida.

a) 10.

b) 10,65.

c) 11,25.

d) 11,43.

e) 12,95.

20) ANPAD-2015 – A média aritmética dos números e é igual a 6,0, e a

média aritmética dos números e é igual a 6,4. Qual é a média

aritmética desses 8 números?

a) 1,55.

b) 6,25.

c) 6,30.

d) 6,35.

e) 10,00.

21) ANPAD-2015 – Uma amostra é composta por 5 dados numéricos, dispostos

em ordem crescente. Retirando-se o primeiro dado dessa amostra, a mediana dos

70




dados restantes torna-se 15,2. Se, da amostra inicial, for retirado o seu último

dado, então a mediana dos dados restantes torna-se igual a 9,3. A diferença entre

o quarto dado e o segundo dado da amostra inicial é igual a

a) 15,0.

b) 14,2.

c) 13,4.

d) 12,6.

e) 11,8.

22) ANPAD-2015 – Um atleta correu durante uma hora a passadas que tinham,

em média, uma largura de 50 cm. Nos primeiros quinze minutos, a largura média

das passadas foi de 42 cm, nos dez minutos seguintes a largura média aumentou

para 60 cm e, nos vinte minutos seguintes, reduziu para 54 cm. Qual foi, em

centímetros, a média da largura das passadas desse atleta nos últimos quinze

minutos da corrida?

a) 40.

b) 42.

c) 44.

d) 46.

e) 48.

23) ANPAD-2015 – Para um aluno obter aprovação, a média aritmética das suas

notas nas duas provas de um dado curso deve ser igual ou superior a 5. Na

primeira prova, certo aluno tirou 4 e, na hora de receber sua segunda nota, o

professor lhe entregou um papel em que estava escrito o seguinte: “O desvio-

padrão das suas duas notas foi 1, e a sua média final não foi suficiente para você

ser aprova. Entretanto, se você deduzir corretamente qual foi a sua segunda nota,

eu o aprova no curso”. Qual foi a segunda nota desse aluno?

a) 1.

b) 2.

c) 3.

d) 5.

e) 6.

24) ANPAD-2015 – Em uma festa infantil, cinco pessoas disputaram o jogo

“dança das cadeiras” em que, a cada rodada, uma das pessoas é eliminada, até

sobrar somente uma – a vencedora. A tabela abaixo mostra como variou a média

das massas dos participantes em função do número de participantes de cada

rodada

71




Número de participantes 5 4 3 2 1

Média das massas (kg) 21,4 21,75 22 21,5 22

Com base na tabela acima e considerando que a última rodada teve apenas um

participante e que não há variação nas massas individuais dos participantes

durante todo o jogo, conclui-se que o participante mais pesado do jogo foi o

a) primeiro a sair.

b) segundo a sair.

c) terceiro a sair.

d) quarto a sair.

e) vencedor.

25) ANPAD-2006 – Foi realizado um levantamento em relação ao peso de 10

estudantes universitários do curso de administração. Obteve-se o seguinte

resultado (em kg): 61, 66, 66, 67, 71, 72, 72, 72, 77, 78. Assim, a mediana e a

média aritmética desse conjunto são, respectivamente,

a) 71,5 e 70,2.

b) 71,5 e 71,5.

c) 71 e 70,2.

d) 70,2 e 71,5.

e) 72 e 70,2.

26) ANPAD-2006 – Os dados da tabela abaixo se referem às idades dos

funcionários de uma empresa

Classe Frequência

18 ⊢ 22 1

22 ⊢ 26 2

26 ⊢ 30 5

30 ⊢ 34 10

34 ⊢ 38 22

38 ⊢ 42 20

42 ⊢ 46 10

46 ⊢ 50 5

Total 75

A idade média das pessoas que trabalham na empresa e a porcentagem de

funcionários que têm idade igual ou superior a 38 anos são, respectivamente,

a) 35,4 e 40%.

72




b) 35,4 e 62,5%.

c) 37,3 e 45%.

d) 37,3 e 46,66%.

e) 42,3 e 46,66%.

27) ANPAD-2006 – A média de idade de 20 funcionários de uma empresa é 30.

Sabendo-se que, nessa empresa, não há funcionários com menos de 18 anos de

idade, nem com mais de 75, pode-se afirmar que

a) necessariamente, dez desses funcionários têm mais de 20 anos.

b) quatro desses funcionários podem ter 20 anos, quatro podem ter 35, dez

podem ter 30 e os demais podem ter 40 anos.

c) dois desses funcionários podem ter 20 anos, quatro podem ter 25, dez podem

ter 35, e os demais podem ter 40 anos.

d) obrigatoriamente, cada funcionário tem mais de 25 anos.

e) dez desses funcionários podem ter 45 anos.

28) ANPAD-2005 – Considere-se a seguinte sequência de valores, à qual falta

apenas um número: 5, 7, 10, 12, 15, 20, 27. Sabendo-se que a média aritmética

do conjunto é 13, qual é o número que está faltando?

a) 8.

b) 10.

c) 12.

d) 15.

e) 20.

29) ANPAD-2005 – Sabendo-se que a sequência de números 2, 7, 8, 10, 10, 15,

20 não está completa e tem como única moda o número 8, conclui-se que essa

sequência

a) necessita de, pelo menos, mais um número 8.

b) necessita de, pelo menos, mais dois números 8.

c) necessita de, pelo menos, mais três números 8.

d) necessita de, pelo menos, mais quatro números 8.

e) necessita de, pelo menos, mais cinco números 8.

30) ANPAD-2005 – Durante quatro anos consecutivos, o proprietário de uma

fazenda comprou um tipo de inseticida. No primeiro ano, o custo foi de R$ 16,00

por galão; no segundo, de R$ 18,00; no terceiro, de R$ 20,00; e no quarto, de R$

25,00. Sabe-se que no período considerado o gasto anual com inseticida foi

73




constante, de R$ 3.600,00. O custo médio aproximado dos inseticidas para o

período de quatro anos foi de

a) R$ 26,00.

b) R$ 25,33.

c) R$ 24,15.

d) R$ 19,22.

e) R$ 16,30.

31) ANPAD-2005 – Analise as seguintes afirmações:

I. A mediana de um conjunto de números, ordenados em ordem de grandeza,

é a média aritmética desses números.

II. A moda de um conjunto de números é o valor que ocorre com maior

frequência.

III. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.

IV. A variância é a raiz quadrada do desvio padrão.

Estão CORRETAS

a) I e II.

b) I e III.

c) II e IV.

d) II e III.

e) I, II e III.

32) ANPAD-2005 – Em uma prova de 20 questões realizada por 100 pessoas,

40% obtiveram média aritmética de 15 acertos. Qual foi a média aritmética de

acertos das outras pessoas se a média total foi de 9 acertos?

a) 8,5.

b) 7,5.

c) 6,0.

d) 5,5.

e) 5,0.

33) ANPAD-2005 – As idades de 20 pessoas que participaram de um

campeonato de truco são: 21, 27, 28, 29, 30, 33, 35, 35, 35, 36, 36, 37, 39, 39, 40,

41, 42, 43, 48 e 49. O gráfico que melhor representa a distribuição das idades em

classes é

74




34) ANPAD-2004 – Na classe A, de 40 alunos, a média de matemática era 6,0.

Cinco dos alunos passaram para a classe B, que tinha 25 alunos e cuja média de

matemática era 5,0. Sabendo que os alunos transferidos tinham as seguintes

notas: 7,0, 8,0, 7,0, 7,0 e 8,0, então a nova média de matemática da classe B é

a) 5,4.

b) 5,5.

c) 5,8.

d) 6,0;

e) 6,2.

35) ANPAD-2004 – Uma pequena indústria de confecções produz por semana

200 camisetas brancas, ao custo unitário de R$ 12,00; 180 camisetas estampadas,

ao custo unitário de R$ 15,00; e 120 camisetas personalizadas ao custo unitário

de R$ 16,00. Então, o custo médio de uma camiseta é

a) R$ 13,53.

b) R$ 14,04.

c) R$ 14,33.

d) R$ 14,44.

e) R$ 15,00.

36) ANPAD-2004 – O exame final em Estatística aplicado a 54 alunos da

Faculdade X, cuja média de aprovação é 6,0, teve a seguinte distribuição de

frequência

75




Notas Frequências

1,5 ⊢ 3,0 3

3,0 ⊢ 4,5 4

4,5 ⊢ 6,0 6

6,0 ⊢ 7,5 23

7,5 ⊢ 9,0 12

9,0 ⊢ 10,0 6

Total 54

O símbolo a ⊢ b significa que inclui a e exclui b.

O número de alunos aprovados é

a) 13.

b) 23.

c) 29.

d) 41.

e) 47.

37) ANPAD-2004 – Considerando-se os dados da questão anterior, o percentual

aproximado de alunos reprovados é

a) 13%.

b) 24%.

c) 42%.

d) 67%.

e) 76%.

38) ANPAD-2003 – Cronometrando o tempo para várias provas de uma gincana,

encontram-se

Equipe 1: 30 provas

Tempo médio: 40 segundos

Variância: 400 segundos ao quadrado

Equipe 2:

Tempo de cada prova (segundos) 20 40 50

Número de provas 5 10 10

Pode-se afirmar que as equipes

a) têm o mesmo tempo médio e o desvio padrão iguais.

b) têm o mesmo tempo médio e o desvio padrão da equipe 1 é maior do que o da

76




equipe 2.

c) têm o mesmo tempo médio e o desvio padrão da equipe 2 é maior do que o da

equipe

d) têm tempo médio diferentes e o desvio padrão da equipe 1 é maior do que o da

equipe 2.

e) têm tempo médio diferentes e o desvio padrão da equipe 2 é maior do que o da

equipe 1.

39) ANPAD-2003 – Oito pessoas fizeram uma prova com 20 itens. As primeiras

4 pessoas tiveram média aritmética de 12 acertos. Para que a prova tivesse uma

média final de 14 acertos, a média das outras 4 pessoas foi

a) 12.

b) 13.

c) 14.

d) 16.

e) 18.

40) ANPAD-2003 – Em determinada comunidade a razão do número de

mulheres para o de homens é de 8 para 5. A idade média das mulheres é 28 e a

idade média dos homens é 32. Então, a idade média aproximada dessa

comunidade é

a) 27,8.

b) 28,9.

c) 29,5.

d) 30,1.

e) 31,4

41) ANPAD-2003 – A distribuição dos salários de uma empresa é dada pela

tabela abaixo

Salário (R$) Número de

funcionários

200,00 25

800,00 10

1.500,00 10

4.000,00 4

6.000,00 1

Total 50

Se forem contratados dois novos funcionários com salários de R$ 200,00 cada

77




a) a média salarial da empresa aumentará.

b) a média salarial da empresa diminuirá.

c) a média salarial da empresa ficará a mesma.

d) a moda dos salários da empresa ficará R$ 1.500,00.

e) a mediana dos salários da empresa ficará R$ 1.500,00.

42) ANPAD-2008 – A média aritmética das idades de um grupo de pessoas é de

20 anos. Nesse grupo, a média aritmética das idades das mulheres é de 18 anos e

a dos homens é de 24 anos. Pode-se, então, afirmar que no grupo

a) os homens têm seis anos a mais que as mulheres.

b) os homens têm quatro anos a mais que as mulheres.

c) o número de mulheres é igual ao número de homens.

d) o número de homens é o dobro do número de mulheres.

e) o número de mulheres é o dobro do número de homens.

43) ANPAD-2008 – Na tabela abaixo é apresentada a distribuição dos salários de

uma pequena empresa.

Salário (R$) Frequência

500 10

800 5

1.000 6

2.500 2

Total 23

O número de funcionários dessa empresa que recebem salários de valor inferior

ao salário médio é

a) 2.

b) 8.

c) 13.

d) 15.

e) 21.

44) ANPAD-2007 – Uma escola do bairro Ribeirão tinha 15 professores. O

professor Carlos Henrique se aposentou e foi substituído por um professor de 25

anos. Levando em conta tais dados, a média das idades dos professores diminuiu

3 anos. Então, pode-se afirmar que o professor Carlos Henrique tem

a) 67 anos.

78




b) 68 anos.

c) 69 anos.

d) 70 anos.

e) 71 anos.

45) ANPAD-2007 – Em uma empresa foi realizada uma pesquisa com 1.000

funcionários sobre o número de filhos de cada um deles. Os dados obtidos foram

organizados na tabela abaixo.

Número de filhos 0 1 2 3 4 5 Total

Frequência relativa (%) 10 35 28 20 5,5 1,5 100%

Baseando-se nesta tabela, pode-se afirmar que

a) existe uma tendência de os funcionários terem, aproximadamente, 3 filhos.

b) existe uma tendência de os funcionários terem, aproximadamente, 2 filhos.

c) existe uma tendência de os funcionários terem, aproximadamente, 1 filho.

d) 10% dos funcionários têm 4 ou 5 filhos.

e) 45% dos funcionários têm 2 ou 3 filhos.

46) FDRH-2012 – Numa escola, a disciplina de Matemática é composta por

quatro provas bimestrais por ano, cujos pesos são os seguintes: 1 para a prova P1,

2 para a prova P2, 3 para a prova P3, e 4 para a prova P4. Sabendo-se que, nessa

escola, a média para aprovação sem exame é 7,0, que nota necessitará tirar na P4

um aluno que tem notas 7,0 na P1, 6,0 na P2 e 5,0 na P3, para passar por média?

a) 6,0.

b) 7,0.

c) 9,0.

d) 9,0.

e) 10,0.

[Fonte: banco de questões do autor]

79




Baixe os Cadernos com as provas de Raciocínio Lógico e Raciocínio

Quantitativo do Teste ANPAD (período: Fev/09 a Set/15) no Grupo Sou

Integral.

Volume 1.0: https://www.facebook.com/groups/souintegral/703217953062692/

Volume 2.0: https://www.facebook.com/groups/souintegral/984763674908117/

Volume 2.1: http://edu.institutointegral.com.br/cadernodetestesanpad

(Associe-se ao grupo para fazer o download)

Gabarito

1-B 2-A 3-E 4-C 5-A 6-B 7-A 8-A 9-D 10-C

11-B 12-B 13-A 14-E 15-E 16-A 17-A 18-C 19-C 20-B

21-E 22-D 23-B 24-C 25-A 26-D 27-B 28-A 29-B 30-D

31-D 32-E 33-A 34-A 35-B 36-D 37-B 38-B 39-D 40-C

41-B 42-E 43-D 44-D 45-B 46-D

Participe do nosso projeto:






80




12 Prova de Estatística – FGTAS-2011

Cargo: Estatístico

Organizadora: FDRH

Banca: Profª. Tatiani Secretti2 e Prof. Milton Araújo

47) Dados dois conjuntos de dados A = {100; 101; 102; 103; 104; 105} e

B = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, podemos afirmar que:

A) A média de A é igual à média de B multiplicada por 100.

B) A média de A é igual à média de B.

C) A média de A é igual à média de B dividida por 100.

D) A média de A é igual à média de B, mais a constante 100.

E) A média de A é igual à média de B.

48) Os dados abaixo se referem ao rendimento mensal (R$), e carga horária

semanal (em horas) de 10 funcionários de certa empresa:

Variáveis Média Desvio-

padrão

Rendimento (R$) 1.251,67 267,53

Carga horária semanal (horas) 26 12

A partir dos resultados obtidos, em termos relativos, quem possui menor

variabilidade:

A) A carga horária semanal, pois o desvio-padrão é menor.

B) A carga horária, pois tem menor variação absoluta.

C) A carga horária, pois tem menor média e desvio padrão.

D) O rendimento, pois tem maior desvio padrão.

E) O rendimento, pois o coeficiente de variação é menor.

49) Foi realizado um levantamento em relação ao consumo com cartões de

créditos de 5 estudantes universitários do curso de administração de certa

2 A Profª Tatiani Secretti é formada em Matemática pela UFSM, Mestre e Doutora em Estatística pela UFRGS.

81




universidade. Obteve-se o seguinte resultado (em R$): 950 – 950 – 890 – 1.200 –

1.150. Assim, a média, mediana, e a moda desse conjunto são, respectivamente,

A) R$1.028,00, R$ 950,00 e R$ 950,00

B) R$ 1.028,00, R$ 890,00 e R$ 950,00.

C) R$ 1.028,00, R$ 950,00 e R$ 890,00.

D) R$1.050,00, R$ 950,00 e R$ 950,00.

E) R$ 1.100,00, R$ 890,00 e R$ 950,00.

50) Para casais sócios de um clube, as probabilidades de o marido votar (A), a

esposa votar (B), ou ambos votarem nas eleições para presidente do clube são

0,39; 0,46 e 0,31, respectivamente. A partir desta informação, a probabilidade de

pelo menos um deles votar é:

A) 31%

B) 39%

C) 46%

D) 54%

E) 85%

51) Um concurso realizado simultaneamente nos locais A, B e C apresentou as

médias: 65, 70 e 50 pontos, obtidas, respectivamente, por 40, 30 e 30 candidatos.

A média geral do concurso é:

A) 61,7

B) 62,0

C) 70,6

D) 72,0

E) 75,5

52) Suponha que de um grupo de funcionários sejam selecionados alguns e

anotados o número de compras realizadas via internet. Considere que foram

selecionados cinco funcionários, cujo número de compras são: 10, 15, 22, 10 e

16, cuja média aritmética é 14,6, mediana 15 e desvio padrão 4,98. Considere

que um novo funcionário foi sorteado e que o número de compras realizadas é de

200. Digamos que esse é um valor discrepante. Das medidas que você obteve no

item anterior quais serão mais afetadas por esse valor discrepante.

82




A) A média aritmética e a mediana.

B) A média aritmética e o desvio padrão.

C) A mediana e o desvio-padrão.

D) Apenas a média aritmética.

E) Apenas o desvio padrão.

53) Média, mediana e moda são medidas de:

A) Variabilidade.

B) Posição.

C) Tendência central.

D) Dispersão.

E) Heterogeneidade.

54) Considere a seguinte distribuição de frequência correspondente aos diferentes

preços de um determinado produto em 100 lojas pesquisadas:

Preços (R$) Nº de lojas

50 ⊢ 52 8

52 ⊢ 54 15

54 ⊢ 56 38

56 ⊢ 58 30

58 ⊢ 60 9

Total 100 O símbolo a ⊢ b significa que inclui a e exclui b.

Assim, a média e a classe modal de preços desse conjunto são, respectivamente,

A) Aproximadamente R$ 55,00 e 54 ⊢ 56

B) Aproximadamente R$ 55,00 e 56 ⊢ 58.

C) Aproximadamente R$ 56,00 e 54 ⊢ 56.

D) Aproximadamente R$ 56,00 e 58 ⊢ 60.

E) Aproximadamente R$ 57,00 e não existe classe modal.

55) A probabilidade de que um aluno resolva um problema é de 1/3 e a de um

aluno B o resolva é de 3/4. Se ambos tentarem independentemente, a

probabilidade de o problema ser resolvido é de aproximadamente:

83




A)

B)

C)

D)

E) 0

56) Os seguintes valores se referem a salários de certos gerentes de uma grande

rede de lojas:

Faixa salarial (R$) Número de

gerentes

500 ⊢ 1000 9

1000 ⊢ 1500 12

1500 ⊢ 2000 6

2000 ⊢ 2500 2

2500 ⊢ 3000 1


Marque a opção correta:

A) exatamente 65% dos gerentes têm salário não inferior R$ 1.000,00 e inferior a

R$ 2.500,00.

B) Mais de 65% dos gerentes tem salário de pelo menos R$1.000,00.

C) Menos de 20% dos gerentes tem salário igual a R$ 1.000,00.

D) A soma dos pontos médios dos intervalos de classe é inferior ao tamanho da

amostra.

E) 8% dos gerentes têm salário no intervalo de classe 2000 |- 2500.

57) A média salarial dos 320 trabalhadores de certa empresa é de R$ 500,00, com

desvio padrão de R$ 100,00. Sabendo-se que esses trabalhadores receberam um

reajuste de 20% em seus salários e mais um abono de R$ 100,00, é correto

afirmar que:

A) O coeficiente de variação do novo salário é igual a 20%.

B) O coeficiente de variação do antigo salário é igual a 17,14%.

84




C) O coeficiente de variação do novo salário é maior do que o coeficiente de

variação do antigo salário.

D) O coeficiente de variação do novo salário é menor do que o coeficiente de


E) O coeficiente de variação não sofreu qualquer alteração.

58) Uma concessionária de veículos importados vende certo modelo por R$

250.000,00 e o seguro custa R$ 10.000,00. Se esse modelo apresenta, com base

em levantamentos estatísticos, 2% de probabilidade de sofrer algum sinistro com

perda total, então o valor líquido que essa concessionária espera ganhar em cada

seguro vendido é igual a

A) R$ 2.400,00.

B) R$ 4.800,00.

C) R$ 5.500,00.

D) R$ 7.800,00.

E) R$ 9.500,00.

59) Os custos com material de expediente de certa empresa seguem,

estatisticamente, uma distribuição normal, com média de R$ 10.000,00 e desvio

padrão R$ 800,00. Nessas condições, pode-se dizer que

A) aproximadamente 34% dos custos com material de expediente estão no

intervalo

[R$ 9.200,00; R$ 10.800,00].

B) aproximadamente 68% dos custos com material de expediente estão no

intervalo

[R$ 8.400,00; R$ 11.600,00].

C) aproximadamente 95% dos custos com material de expediente estão no

intervalo

[R$ 8.400,00; R$ 11.600,00].

D) aproximadamente 95% dos custos com material de expediente estão no

intervalo

[R$ 9.200,00; R$ 10.800,00].

E) aproximadamente 99% dos custos com material de expediente estão no

intervalo

[R$ 10.000,00; R$ 10.800,00].

85




60) Uma clínica adquiriu certo tipo de medicamento durante quatro anos

consecutivos. No primeiro ano, o custo foi de R$ 10,00 por frasco; no segundo,

de R$ 12,00; no terceiro, de R$ 15,00; e no quarto, de R$ 20,00. Sabe-se que,

durante o período considerado, o gasto anual dessa clínica com o medicamento

foi constante, de R$ 3.000,00. O custo médio do medicamento para o período de

quatro anos foi de, aproximadamente

A) R$ 12,00.

B) R$ 13,33.

C) R$ 14,25.

D) R$ 15,00.

E) R$ 17,29.

61) Certa marcenaria possui duas equipes de trabalho e o gerente decidiu

comparar seus desempenhos. Para tanto, cronometrou o tempo necessário para

produzir determinado tipo de móvel, e encontrou

Equipe 1: 30 peças

Tempo médio: 40 horas

Variância: 400 horas ao quadrado

Equipe 2:

Tempo (horas) 20 40 50

Número de peças 5 10 10

Pode-se afirmar que as equipes

A) têm o mesmo tempo médio e o desvio-padrão iguais.

B) têm tempo médio diferentes e o desvio-padrão da equipe 2 é maior do que o

da equipe 1.

C) têm o mesmo tempo médio e o desvio-padrão da equipe 2 é maior do que o da

equipe 1.

D) têm tempo médio diferentes e o desvio-padrão da equipe 1 é maior do que o

da equipe 2.

E) têm o mesmo tempo médio e o desvio-padrão da equipe 1 é maior do que o da

equipe 2.

86




62) Em um concurso público, 10% dos homens e 5% das mulheres têm menos de

20 anos. Sabe-se que 60% dos candidatos são mulheres. Se um deles é

selecionado

aleatoriamente e tem menos de 20 anos, então a probabilidade de ser homem é

A)

B)

C)

D)

E)

63) O setor de contabilidade de certa empresa tem 12 funcionários. Um desses

funcionários foi transferido para outra unidade da empresa, e foi substituído por

outro funcionário, que tem 25 anos. Desse modo, a média das idades dos

funcionários do setor de contabilidade diminuiu 2 anos. Então, pode-se afirmar

que o funcionário transferido tem

A) 47 anos.

B) 48 anos.

C) 49 anos.

D) 50 anos.

E) 51 anos.

64) Uma empresa decidiu fazer a escolha do diretor administrativo de modo

totalmente democrático. Um levantamento prévio, realizado por meio de uma

amostra com 100 funcionários, revelou que um dos candidatos contava com 55%

da preferência. Nessas condições, o intervalo de 95% de confiança (z = 1,96),

considerando-se um erro padrão de estimação de, aproximadamente, 0,1 (forma

unitária), é

A) [45%; 65%]

B) [42%; 68%]

C) [40%; 70%]

D) [35%; 75%]

E) [23%; 87%]

87




65) Uma organizadora de concursos públicos adota, para o cálculo do escore

atingido pelo candidato em determinada prova, a seguinte fórmula:

Onde: E é o escore atingido pelo candidato; x é o número de acertos do candidato

na prova; μ é a média de acertos de todos os candidatos do certame; e σ é o

desvio padrão (em número de acertos) da prova.

Se esse concurso teve a participação de 100.000 candidatos, numa prova com 20

questões, cuja média foi de 10 acertos, com desvio padrão de três acertos, então

um candidato que acertou 16 questões nessa prova ficou com um escore de

A) 300 pontos.

B) 350 pontos.

C) 400 pontos.

D) 450 pontos.

E) 500 pontos.

66) A tabela a seguir mostra a distribuição de notas de Estatística de três turmas

de certa faculdade.

Notas Número de alunos

0,00 ⊢ 1,67 45

1,67 ⊢ 3,33 40

3,33 ⊢ 5,00 30

5,00 ⊢ 6,67 20

6,67 ⊢ 8,33 10

8,33 ⊢ 10,0 5


A nota média e a distribuição são, respectivamente,

A) 3,33 e simétrica.

B) 3,33 e assimétrica à direita.

C) 3,33 e assimétrica à esquerda.

D) 6,67 e assimétrica à direita.

88




E) 6,67 e assimétrica à esquerda.

89




Gabarito:

47-D 48-E 49-A 50-D 51-B 52-D 53-C 54-A 55-C 56-B

57-D 58-B 59-C 60-B 61-D 62-A 63-C 64-A 65-E 66-B

Programa:

1 – Distribuições de frequências.

2 – Medidas de Tendência Central: Média Aritmética (simples e ponderada),

Média Geométrica, Média Harmônica; Moda; Mediana.

3 – Medidas de Variabilidade ou Dispersão.

4 – Momentos, Assimetria e Curtose.

5 – Probabilidade.

6 – Distribuições de Probabilidade: Discretas e Contínuas.

7 – Amostragem.

8 – Estimação.

9 – Testes de Hipóteses e Significância.

10 – Teste Qui-Quadrado.

11 – Ajustamento de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados.

12 – Correlação Parcial e Múltipla.

13 – Análise de Séries Temporais.

14 – Análise de Variância.

15 – Testes Não-Paramétricos.

Bibliografia:

1 – SPIEGEL, M. R. Estatística, 4 ed. São Paulo: Bookman, 2007 (Coleção

Schaum).

2 – MEYER, P. L. Probabilidade: Aplicações a Estatística, 2 ed. São Paulo: LTC,

2000.

3 – FONSECA, J. S. da, MARTINS, G. A. Curso de Estatística, 6 ed. São Paulo:

Atlas, 2006.

4 – CASELLA, G. Inferência Estatística, 2 ed. São Paulo: Cengage Learning,

2010.

5 – SILVA, E. M. da, Outros, Estatística Vols. 1 e 2, 1 ed. São Paulo: Atlas,

1997.

6 – SPIEGEL, M. R. Probabilidade e Estatística, edição, São Paulo: Makron

Books, 2001.

90




7 – OLIVEIRA, F. E. M. Estatística e Probabilidade. 2 ed. São Paulo: Atlas,

2009.

91




13 Prova de Estatística – AGERGS-2013

Cargo: Estatístico

Organizadora: FDRH

Banca: Prof. Milton Araújo

A Tabela a seguir poderá ser útil na resolução de algumas questões desta prova.

Área da

Distribuição

Normal

1,00 0,3413

1,28 0,3997

1,50 0,4332

1,96 0,4750

2,00 0,4772

2,58 0,4951

3,00 0,4987

Com base no enunciado a seguir, responda as questões 1, 2 e 3.

Em um Centro Universitário estão matriculados 2000 alunos, sendo que:

I. Há 700 homens;

II. 1000 mulheres foram aprovadas em todas as cadeiras cursadas no semestre

anterior;

III. 150 homens foram reprovados em uma ou mais cadeiras cursadas no

semestre anterior.

O nome de um estudante desse Centro Universitário foi selecionado ao acaso.

67) Sabendo-se que o nome retirado foi de um homem, a probabilidade de ele ter

sido aprovado em todas as cadeiras cursadas no semestre anterior é de

A) 3/14.

B) 3/13.

C) 1/3.

D) 11/31.

E) 11/14.

92




68) Se o nome selecionado é de uma pessoa que foi reprovada em uma ou mais

cadeiras cursadas no semestre anterior, a probabilidade desse nome ser de uma

mulher é de

A) 20/31.

B) 13/20.

C) 2/3.

D) 10/13.

E) 31/40.

69) A probabilidade de o nome selecionado ser de uma pessoa que foi aprovada

em todas as cadeiras cursadas no semestre anterior é de

A) 11/31.

B) 18/43.

C) 31/40.

D) 11/14.

E) 33/35.

70) No vestibular do ano passado em certa Universidade houve 42.457

candidatos inscritos, com abstenção em torno de 13%. Sabe-se que, naquele

certame, a média de acertos na prova de Matemática foi de 10 questões (de um

total de 30), com desvio padrão de 3 questões. No ano corrente houve, na mesma

prova, um aumento de 20% no desempenho de todos os candidatos. Nessas

condições, pode-se afirmar que:

A) O coeficiente de variação na prova de Matemática deste ano é igual a 13%.

B) O coeficiente de variação na prova de Matemática do ano passado é igual a

13%.

C) O coeficiente de variação na prova de Matemática deste ano é maior do que o

coeficiente de variação da mesma prova no ano passado.

D) O coeficiente de variação na prova de Matemática deste ano é menor do que o

coeficiente de variação da mesma prova no ano passado.

E) O coeficiente de variação na prova de Matemática não sofreu qualquer

alteração nos dois anos considerados.

71) A prova de Matemática do vestibular de certa Universidade é composta de 30

questões. Em certo ano, a média de acertos dos candidatos nessa prova foi de 10

93




questões, com desvio padrão de 3 questões. A universidade adota, para o cálculo

do escore do candidato, a seguinte fórmula:

Onde:

é o escore atingido pelo candidato;

é o número de acertos do candidato na prova;

é o número médio de acertos na prova; e

é o desvio padrão (em número de acertos) na prova.

Considerando-se os dados acima, que escore se pode esperar para um candidato

que tenha acertado 16 questões nessa prova?

A) 400 pontos.

B) 500 pontos.

C) 600 pontos.

D) 700 pontos.

E) 800 pontos.

72) Uma pesquisa eleitoral mostrou que certo candidato possui 47,05% das

intenções de voto. Qual é a probabilidade de que, em uma seção eleitoral

constituída de 1.000 eleitores, esse candidato venha a obter a maioria dos votos?

Considere a maioria como sendo 50,25% ou mais.

Dado:

A) 1,60%.

B) 2,28%.

C) 5,48%.

D) 6,82%.

E) 10,60%.

73) Os dados da tabela a seguir se referem às notas finais de Estatística, no

segundo semestre de 2012, obtidas por alunos da Faculdade X.

94




Notas Frequência

2 ⊢ 3 2

3 ⊢ 4 4

4 ⊢ 5 7

5 ⊢ 6 15

6 ⊢ 7 27

7 ⊢ 8 25

8 ⊢ 9 15

9 ⊢ 10 5

∑ 100 [Fonte: dados hipotéticos]

Sabendo-se que a média para alcançar aprovação na cadeira deverá ser igual ou

superior a 7,0, a porcentagem de alunos aprovados e a média geral da turma são,

respectivamente,

A) 35% e 5,67.

B) 45% e 6,71.

C) 45% e 7,22.

D) 50% e 7,89.

E) 60% e 8,05.

74) Um pipoqueiro trabalha em um parque na cidade onde mora. Em um dia

ensolarado chega a ganhar, em média, R$ 50,00 líquidos. Em um dia chuvoso

tem apenas a despesa de R$ 10,00, pois suas vendas caem a zero. Sabendo-se que

a probabilidade de chuva é de 20%, qual é o ganho diário esperado por esse

pipoqueiro?

A) R$ 23,00.

B) R$ 29,00.

C) R$ 33,00.

D) R$ 38,00.

E) R$ 45,00.

75) As notas de Estatística obtidas por alunos da Faculdade X seguem uma

distribuição aproximadamente normal, com média 5,5 e desvio padrão 1,5.

Nessas condições, é correto afirmar que

95




A) aproximadamente 34% dos alunos têm notas contidas no intervalo [5,5; 7,0].

B) aproximadamente 68% dos alunos têm notas contidas no intervalo [2,5; 6,5].

C) aproximadamente 68% dos alunos têm notas contidas no intervalo [2,5; 8,5].

D) aproximadamente 95% dos alunos têm notas contidas no intervalo [1,0; 9,5].

E) aproximadamente 99% dos alunos têm notas contidas no intervalo [1,5; 10,0].

76) Para o conjunto de dados: 16, 18, 20, 25, pode-se afirmar que:

A) A média harmônica é menor do que a média geométrica, e esta é menor do

que a média aritmética.

B) A média harmônica é maior do que a média aritmética, e esta é menor do que

a média geométrica.

C) A média geométrica é maior do que a média aritmética, e esta é maior do que

a média harmônica.

D) A média geométrica é menor do que a média harmônica, e esta é maior do que

a média aritmética.

E) As médias aritmética, geométrica e harmônica são iguais.

77) O conjunto de dados 40, 50, 80

A) tem média aritmética igual a, aproximadamente, 43,09.

B) tem média geométrica igual a, aproximadamente, 40.

C) tem média harmônica menor do que 56,67.

D) tem média geométrica maior do que 56,67.

E) tem média aritmética e média harmônica iguais a 60.

78) Em um concurso público, 10% dos homens e 5% das mulheres foram

aprovados. 60% dos candidatos são homens. Um candidato foi selecionado

aleatoriamente. Sabendo-se que esse candidato foi aprovado no concurso, qual é

a probabilidade de ser homem?

A) 20%.

B) 30%.

C) 50%.

D) 60%.

E) 75%.

96




79) Uma loja de calçados precisa fazer uma redução em seu quadro de pessoal, e

decidiu dispensar um dos três vendedores. Para que o critério seja o mais justo

possível, foi feito um levantamento das vendas médias e respectivos desvios

padrões para os três vendedores, durante dois meses, obtendo-se os seguintes

dados:

Vendedor 1 Vendedor 2 Vendedor 3

Média semanal 50 60 90

Desvio padrão 5 10 20 [Fonte: dados hipotéticos]

Com base nos dados do quadro acima, assinale a alternativa que contém o melhor

critério para a escolha da loja.

A) O vendedor 1 deverá ser dispensado, por apresentar o menor volume semanal

de vendas.

B) O vendedor 3 deverá ser dispensado por apresentar o maior coeficiente de

variação (variabilidade relativa) nas vendas semanais.

C) O vendedor 2 deverá ser dispensado por apresentar um desvio padrão que

representa o dobro do vendedor 1, e um volume de vendas apenas 20% superior.

D) A loja deverá realizar um sorteio entre os vendedores 1 e 2.

E) A loja deverá realizar outro levantamento de dados, com outras variáveis, para

a tomada de decisão, uma vez que os coeficientes de variação das vendas dos três

candidatos são aproximadamente iguais.

80) Um curso preparatório para concursos públicos encomendou de uma gráfica,

durante quatro anos consecutivos, a impressão de banners de divulgação. No

primeiro ano, o custo foi de R$ 100,00 o cento; no segundo, de R$ 120,00; no

terceiro, de R$ 150,00; e no quarto, de R$ 200,00. Sabe-se que, durante o período

considerado, o gasto anual desse curso foi constante, de R$ 5.000,00. Desse

modo, o valor médio pago pelo cento por esse curso no período de quatro anos

foi de, aproximadamente,

A) R$ 120,00.

B) R$ 133,33.

C) R$ 142,50.

D) R$ 150,00.

E) R$ 173,33.

97




81) O diretor de uma escola deverá ser escolhido por votação direta dos alunos.

Um levantamento prévio, realizado por meio de uma amostra com 100 alunos,

revelou que um dos candidatos conta com 55% da preferência do eleitorado.

Nessas condições, o intervalo de 95% de confiança para esse candidato,

considerando-se um erro padrão de estimação de, aproximadamente, 0,1 (forma

unitária), é

A) [23%; 87%].

B) [35%; 75%].

C) [40%; 70%].

D) [45%; 65%].

E) [55%; 75%].

82) O primeiro coeficiente de assimetria de Pearson é dado por

Se uma determinada amostra tiver coeficiente de assimetria de Pearson negativo,

pode-se concluir que

A) a média é maior que o desvio padrão.

B) a média é menor que a moda.

C) a média é maior que a mediana.

D) o desvio padrão é negativo.

E) o desvio padrão é igual à mediana.

83) O valor do primeiro momento para o conjunto de dados 20, 30, 70, 80, 100, é

A) 30.

B) 40.

C) 50.

D) 60.

E) 70.

84) Curtose é o grau de achatamento de uma distribuição, considerado

usualmente em relação a uma distribuição normal, que é denominada

98




mesocúrtica. Uma distribuição que tem um pico relativamente alto, e outra com o

topo achatado são denominadas, respectivamente

A) assimétrica e leptocúrtica.

B) assimétrica e mesocúrtica.

C) isocúrtica e platicúrtica.

D) leptocúrtica e platicúrtica.

E) platicúrtica e mesocúrtica.

85) Em um exame de Estatística, cujas notas apresentaram distribuição

aproximadamente normal, dois estudantes obtiveram variáveis reduzidas de 0,8 e

-0,4, respectivamente. Se suas notas foram 8,8 e 6,4, respectivamente, então, a

média e o desvio padrão da turma foram

A) 7,2 e 2,0.

B) 6,8 e 2,0.

C) 6,5 e 1,8.

D) 6,2 e 1,5.

E) 5,8 e 1,5.

86) Em uma distribuição aproximadamente normal, qual é a porcentagem

esperada para o intervalo ?

A) exatamente 30%.

B) exatamente 34%.

C) aproximadamente 50%.

D) aproximadamente 68%.

E) aproximadamente 95%.

87) Numa turma de Estatística, com 100 alunos, cinco foram aprovados com

média 10. Se sortearmos, aleatoriamente e sem reposição, cinco dos 100 alunos,

a probabilidade de que os cinco sorteados sejam os alunos que alcançaram média

10 é de

A) 0,01.

B) 0,05.

C)

99




D)

E)

88) A tabela a seguir apresenta os salários dos funcionários da empresa XYZ.

Salários Frequência (%)

1000 ⊢ 3000 25

3000 ⊢ 5000 40

5000 ⊢ 7000 20

7000 ⊢ 9000 10

9000 ⊢ 11000 5 [Fonte: dados hipotéticos]

Para esse conjunto de dados, os valores aproximados da média aritmética e da

mediana são, respectivamente,

A) 4000 e 4000.

B) 4250 e 4600.

C) 4500 e 4000.

D) 4600 e 6000

E) 4600 e 4250

89) Carlos e Flávio estão cursando Estatística na Faculdade X. A nota final será a

média ponderada dos resultados obtidos em quatro provas: P1, P2, P3 e P4, que,

respectivamente, têm pesos 1, 2, 3 e 4. Na tabela a seguir estão dispostas as três

primeiras notas de cada aluno.

Nota P1 P2 P3

Carlos 7,0 7,5 7,0

Flávio 8,0 7,0 7,5

Sabe-se que a média de aprovação na disciplina é 6,0 e que o professor lhes

permitiu que realizassem a quarta prova em dupla, desde que a nota fosse

suficiente para que ambos fossem aprovados, caso contrário, eles deveriam

realizar o exame final. Assim a menor nota na P4 que aprovará a dupla deve ser

igual a

A) 1,5.

100




B) 3,0.

C) 3,5.

D) 4,0.

E) 4,5.

90) Em uma fábrica de sucos de frutas, constatou-se que, de um lote de 40

garrafas de 500 ml, 3 estão fora do volume especificado. Selecionando-se,

aleatoriamente, duas garrafas de suco sem reposição, a probabilidade de que

ambas estejam fora do volume especificado é aproximadamente igual a

A) 85,0%.

B) 10,0%.

C) 1,5%.

D) 0,4%.

E) 0,1%.

91) Um professor de Estatística constatou que a média final na disciplina neste

semestre teve um incremento de 50% em relação ao semestre anterior. Dessa

informação o que se pode concluir a respeito da variância, do desvio padrão e do

coeficiente de variação do semestre atual, em relação ao anterior?

A) A variância ficou multiplicada por 1,5, o desvio padrão ficou multiplicado por

1,5 e o coeficiente de variação não sofreu alteração.

B) A variância ficou multiplicada por 1,5, o desvio padrão ficou multiplicado por

2,25 e o coeficiente de variação ficou multiplicado por 1,5.

C) A variância ficou multiplicada por 2,25, o desvio padrão ficou multiplicado

por 2,5 e o coeficiente de variação ficou multiplicado por 2,5.

D) A variância ficou multiplicada por 2,25, o desvio padrão ficou multiplicado

por 1,5 e o coeficiente de variação não sofreu alteração.

E) A variância não sofreu alteração, o desvio padrão ficou multiplicado por 2,5 e

o coeficiente de variação ficou multiplicado por 1,5.

92) Numa empresa, a média das idades dos 35 funcionários do setor X é de 30

anos, com desvio padrão de 5 anos. Sabe-se que, cinco anos após esse

levantamento, não houve mudanças no quadro funcional do setor X, tais como,

aposentadorias, transferências ou demissões. O que se pode concluir a respeito da

idade média, do desvio padrão e do coeficiente de variação dos funcionários do

setor X?

101




A) A idade média é de 30 anos, o desvio padrão é de 5 anos e o coeficiente de

variação não se alterou.

B) A idade média é de 35 anos, o desvio padrão é de 10 anos e o coeficiente de

variação aumentou.

C) A idade média é de 35 anos, o desvio padrão não sofreu qualquer alteração, e

o coeficiente de variação diminuiu.

D) A idade média é de 35 anos, o desvio padrão é de 10 anos e o coeficiente de

variação não se alterou.

E) Não houve qualquer alteração na média, no desvio padrão, nem no coeficiente

de variação.

93) Em um grupo com 10 rapazes e 8 moças, a probabilidade de se sortear uma

dupla com duas pessoas do mesmo gênero é dada por

A)

B)

C)

D)

E)

94) Em um grupo com 10 rapazes e 8 moças, a probabilidade de se sortear um

trio com dois rapazes e uma moça é dada por

A)

B)

C)

D)

E)

102




95) A média das idades dos alunos de certa faculdade é de 20 anos. As idades

médias para as moças e os rapazes dessa faculdade são, respectivamente, 17 anos

e 21 anos. A porcentagem de rapazes matriculados nessa faculdade é de

A) 75%.

B) 60%.

C) 50%.

D) 35%.

E) 25%.

96) Numa seleção para o preenchimento de duas vagas no curso de Mestrado em

Marketing de certa Universidade, chegou-se a um conjunto de 5 rapazes e 3

moças, todos com desempenhos bastante semelhantes durante todo o processo

seletivo. Como último recurso, decidiu-se realizar um sorteio para preencher as

duas vagas. Sabendo-se que ambos os selecionados são do mesmo gênero, a

probabilidade de serem rapazes é de

A) 8/13.

B) 13/28.

C) 1/4.

D) 2/15.

E) 1/14.

103




Gabarito:

67-E 68-C 69-C 70-E 71-D 72-B 73-B 74-D 75-A 76-A

77-C 78-E 79-B 80-B 81-D 82-B 83-D 84-D 85-A 86-E

87-E 88-E 89-E 90-D 91-D 92-C 93-A 94-C 95-A 96-B

Programa:

1 – Distribuições de frequências;

2 – Medidas de Tendência Central: Média Aritmética (simples, ponderada),

Média Geométrica, Média Harmônica; Moda; Mediana;

3 – Medidas de Variabilidade ou Dispersão;

4 – Momentos, Assimetria e Curtose;

5 – Probabilidade;

6 – Distribuições de Probabilidade: Discretas e Contínuas;

7 – Amostragem;

8 – Estimação;

9 – Testes de Hipóteses e Significância;

10 – Teste Qui-Quadrado;

11 – Ajustamento de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados;

12 – Correlação Linear e Múltipla;

13 – Regressão Linear e Múltipla;

14 – Análise de Séries Temporais;

15 – Análise de Variância;

16 – Análise multivariada de dados;

17 – Análise envoltória de dados (DEA);

18 – Estudo de clusters.

Bibliografia:

CASELLA, G. Inferência Estatística, 2 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010.

COCHRAN, W.G. Sampling Techniques. New York: John Wiley & Sons, 1977.

ENDO, S.K. Números Índices. São Paulo: Atual, 1986.

FONSECA, J. S. da, MARTINS, G. A. Curso de Estatística, 6 ed. São Paulo:

Atlas, 2006.

FREUND, J.E. e SIMON, G.A. Estatística Aplicada. Economia, Administração e

Contabilidade. São Paulo: Artes Médicas Sul, 1997.

GUJARATI, D.N. Econometria Básica. São Paulo: Makron Books, 2000.

104




MEYER, P. L. Probabilidade Aplicações a Estatística, 2 ed. São Paulo: LTC,

ano.

MEYER, P.L. Probabilidade. Aplicações à Estatística. Rio de Janeiro: Livros

Técnicos e Científicos, 1983.

MOOD, A.M.; GRAYBILL, F.A. e BOES, D.C. Introduction to the Theory of

Statistics. New York: McGraw-Hill, 1974.

MURTEIRA, B.J.F. Probabilidades e Estatística. Lisboa: McGraw-Hill, 1990,

v.1 e 2.

OLIVEIRA, F. E.M. Estatística e Probabilidade. 2 ed. São Paulo: Atlas, 2009.

SILVA, E. M. da, SILVA, E, M., Outros, Estatística Vols. 1 e 2, 1 ed. São Paulo:

Atlas, ano.

SOARES, J.F.; FARIAS, A.A. e CESAR, C.C. Introdução à Estatística. Rio de

Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1991.

SPIEGEL, M. R. Estatística, 4 ed. São Paulo: Bookman, 2007 (Coleção

Schaum).

SPIEGEL, M. R. Probabilidade e Estatística, edição, São Paulo: Makron Books,

ano.

WONNACOTT, T.H.; WONNACOTT, R.J. Introdução à Estatística. Rio de

Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1980.

105




14 Prova de Estatística – Câmara-POA 2011

Organizadora: FUNDATEC

Banca: Prof. Milton Araújo

97) Um shopping center possui dois sistemas automáticos de proteção contra

incêndios. A eficiência de cada sistema, segundo o fabricante, é de 99%.

Sabendo-se que os sistemas funcionam de modo totalmente independente um do

outro, e ambos permanecem ligados 24 horas por dia, qual é a probabilidade de

que um incêndio seja detectado e neutralizado?

A) 99,99%.

B) 99,00%.

C) 98,01%.

D) 97,00%.

E) 96,66%.

Tópico do Programa abordado nesta questão: Conceitos clássico e empírico de

probabilidade. Experimento aleatório, espaço amostral e eventos.

98) Os 156 funcionários de certa empresa têm salário médio de R$ 1.000,00, com

desvio padrão de R$ 200,00. Sabendo-se que houve nessa empresa um reajuste

salarial de 20% e mais um abono de R$ 200,00, é correto afirmar que:

A) O coeficiente de variação do novo salário é igual a 20%.

B) O coeficiente de variação do antigo salário é igual a 17,14%.

C) O coeficiente de variação do novo salário é maior do que o coeficiente de


D) O coeficiente de variação do novo salário é menor do que o coeficiente de


E) O coeficiente de variação não sofreu qualquer alteração.

Tópico do Programa abordado nesta questão: Medidas de dispersão: amplitude,

variância, desvio-padrão, coeficiente de variação e suas propriedades.

99) Um veículo importado custa R$ 500.000,00, e o seguro total vale R$

30.000,00. Com base em levantamentos estatísticos, esse veículo apresenta 2%

106




de probabilidade de sofrer algum sinistro com perda total. Desse modo, o valor

líquido que uma seguradora espera ganhar em cada seguro vendido para esse tipo

de veículo é igual a

A) R$ 12.500,00.

B) R$ 14.800,00.

C) R$ 15.500,00.

D) R$ 17.800,00.

E) R$ 19.400,00.

Tópico do Programa abordado nesta questão: Distribuição de probabilidades para

variáveis aleatórias discretas.

100) Os dados abaixo se referem ao salário mensal (R$), e carga horária semanal

(em horas) de 50 funcionários de certa empresa:

Média Desvio-padrão

Salário (R$) 1.877,51 401,30

Carga horária semanal (horas) 39 18

A partir dos resultados obtidos, em termos relativos, que variável possui menor

variabilidade? Assinale a alternativa que apresenta uma justificativa correta.

A) O salário, pois tem maior desvio padrão.

B) O salário, pois o coeficiente de variação é menor.

C) A carga horária, pois tem menor variação absoluta.

D) A carga horária semanal, pois o desvio-padrão é menor.

E) A carga horária, pois tem menor média e desvio padrão.

Tópico do Programa abordado nesta questão: Medidas de tendência central para

dados agrupados e não agrupados: média, mediana, moda e suas propriedades.

Medidas de dispersão: amplitude, variância, desvio-padrão, coeficiente de

variação e suas propriedades.

101) Uma turma de Estatística de certa Universidade tem 12 alunos. Um desses

alunos desistiu do curso e outro aluno, com 18 anos de idade, ocupou sua vaga.

107




Desse modo, a média das idades dos alunos dessa turma diminuiu 18 meses.

Então, pode-se afirmar que o aluno que desistiu do curso tem

A) 24 anos.

B) 30 anos.

C) 36 anos.

D) 40 anos.

E) 44 anos.



102) Durante quatro anos consecutivos, o cliente de uma gráfica mandou

imprimir cartões de visita para sua empresa. No primeiro ano, a gráfica cobrou

R$ 10,00 o cento; no segundo ano, R$ 12,00; no terceiro, R$ 15,00; e no quarto,

R$ 20,00. Sabe-se que, durante o período considerado, o cliente gastou

exatamente R$ 3.000,00 em cada ano. Nessas condições, o custo médio do cento

de cartões para o período de quatro anos foi de, aproximadamente

A) R$ 11,11.

B) R$ 13,33.

C) R$ 14,25.

D) R$ 15,33.

E) R$ 17,66.


dados agrupados e não agrupados: média aritmética ponderada, média

harmônica, média geométrica.

103) Para o conjunto 20, 40 e 80, pode-se afirmar que

A) A média aritmética é menor do que a média harmônica e maior do que a

média geométrica.

B) A média harmônica é maior do que a média geométrica e menor do que a

média aritmética.

C) A média geométrica é maior do que a média harmônica e menor do que a

média aritmética.

108




D) A média geométrica é maior do que a média aritmética e também é maior do

que a média harmônica.

E) As médias harmônica, geométrica e aritmética são todas iguais.


dados agrupados e não agrupados: médias.

104) A tabela a seguir mostra a distribuição de salários dos funcionários de certa

empresa.

Faixas salariais (R$) Número de empregados

0,00 ⊢ 1666,67 45

1666,67 ⊢ 3.333,33 40

3.333,33 ⊢ 5.000,00 30

5.000,00 ⊢ 6.666,67 20

6.666,67 ⊢ 8.333,33 10

8.333,33 ⊢ 10.000,00 5

Total 150

O símbolo a ⊢ b significa que inclui a e exclui b.

A moda bruta e a porcentagem de funcionários que ganham salários entre R$

6.666,67 e R$ 10.000,00 são, respectivamente,

A) R$ 833,33 e 10,00%.

B) R$ 833,33 e 23,33%.

C) R$ 833,33 e 35,00%.

D) R$ 2.500,00 e 10,00%.

E) R$ 2.500,00 e 23,33%.



109




Gabarito:

97-A 98-D 99-E 100-B 101-C 102-B 103-C 104-A

Programa:

Análise tabular de séries estatísticas. População; censo; amostra. Experimento

aleatório. Variáveis aleatórias discretas e contínuas. Conceito clássico e empírico

de probabilidade. Experimento aleatório, espaço amostral e eventos. Função

densidade de probabilidade. Interpretação de probabilidade como frequência

relativa. Distribuição de probabilidades para variáveis aleatórias discretas.

Distribuição de frequências; intervalos de classe; ponto médio. Frequências

absolutas e relativas; frequências acumuladas. Gráficos: barras, colunas,

histogramas e polígono de frequências. Medidas de tendência central para dados

grupados e não grupados: média, mediana, moda (moda bruta, moda de Pearson,

moda de King e moda de Czuber) e suas propriedades. Medidas de dispersão:

amplitude, variância, desvio-padrão, coeficiente de variação e suas propriedades.

Números relativos: base fixa, móvel e mudança de base. Números índices.

Índices de preços e de quantidades: Laspeyres, Paasche, Fischer e de valor. Poder

aquisitivo da moeda.

Bibliografia de apoio:

CASELLA, G. Inferência Estatística, 2 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010.

FONSECA, J. S. da, MARTINS, G. A. Curso de Estatística, 6 ed. São Paulo:

Atlas, 2006.

MEYER, P. L. Probabilidade: Aplicações a Estatística, 2 ed. São Paulo: LTC,

2000.

OLIVEIRA, F. E. M. Estatística e Probabilidade. 2 ed. São Paulo: Atlas, 2009.

SILVA, E. M. da, Outros, Estatística Vols. 1 e 2, 1 ed. São Paulo: Atlas, 1997.

SPIEGEL, M. R. Estatística, 4 ed. São Paulo: Bookman, 2007 (Coleção

Schaum).

SPIEGEL, M. R. Probabilidade e Estatistica, edição, São Paulo: Makron Books,

2001.

110




15 Instituto Integral Editora - Catálogo

1. Raciocínio Lógico Formal

https://www.facebook.com/groups/souintegral/648

226115228543

2. Raciocínio Lógico Informal


478483703306/ 3. Caderno RQ1 - Teoria dos Conjuntos


452690272552/

4. Caderno RQ2 – Proporcionalidade


512393299915/

5. Caderno RQ3 - Matemática Financeira


923325725487/

6. Caderno de Testes ANPAD - Vol. I


788225172332/













111




7. Caderno de Testes ANPAD - Vol. II

http://edu.institutointegral.com.br/cadernodetestesa

npad

8. 500 questões resolvidas


787848505703/ 9. Caderno RQ4 - Análise Combinatória


897222294764/

10. Caderno RQ5 – Probabilidade


5941660790318/

11. Caderno RQ6 - Estatística


8978173820000/

12. Caderno RQ7 – Funções

https://www.facebook.com/groups/souintegral/files












112




13. Caderno RQ8 - Sequências e Progressões


14. Caderno RQ9 - Matrizes e Determinantes


15. Caderno RQ10 - Geometria Plana,

Geometria Espacial, Geometria Analítica


16. Caderno RQ11 – Matemática

Básica


17. Caderno RQ12 – Problemas do Primeiro

Grau – 1 ou 2 incógnitas







113




Acompanhe os lançamentos da Série "Cadernos RQx":

http://profmilton.blogspot.com.br/2014/01/livros-digitais-gratuitos-

colecao.html

Próximos lançamentos:

12. Caderno RQ7 - Funções

13. Caderno RQ8 - Sequências e Progressões

14. Caderno RQ9 - Matrizes e Determinantes

15. Caderno RQ10 - Geometrias Plana, Espacial e Analítica

16. Caderno RQ11 - Matemática Básica + Dicas, Macetes, Atalhos e Truques

17. Caderno RQ12 – Problemas do 1º Grau – com 1 ou 2 incógnitas

Mantenha seu material didático sempre atualizado!

Consulte periodicamente nossa pasta pública, na qual todo o nosso material

didático é mantido: http://www.facebook.com/groups/souintegral/.

Participe do nosso projeto: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pay-

it-forward-corrente-do-bem.html

http://profmilton.blogspot.com.br/2014/01/livros-digitais-gratuitos-colecao.html


http://www.facebook.com/groups/souintegral/



114




(Quem vai fazer o curso presencial deverá imprimir os itens destacados)

Onde baixar gratuitamente?

1. No grupo Sou Integral no Facebook (associe-se ao grupo):

https://www.facebook.com/groups/souintegral/

2. Através de nossa Lista Preferencial:


http://iintegral.leadlovers.com/iintegral (Técnicas de Superaprendizagem - Vol 1)

3. Em nossa pasta de material didático no Dropbox:

https://www.dropbox.com/sh/oqabx74i7lqb41l/AACvlKhU16hOYSx7k6Rl4o42a?dl=0

Dica para imprimir com baixo custo:


(leia a mensagem até o final!)

Você gostaria de fazer uma doação? Você paga apenas o valor simbólico de R$ 27,00 no link:

http://hotmart.net.br/show.html?a=M156693M. 50% do valor pago será encaminhado a instituições de caridade

no Brasil e também ao Programa Médicos Sem Fronteiras. Os 50% restantes cobrirão custos (comissão da plataforma

de vendas e salários de digitadores, revisores e outros profissionais envolvidos na composição dos livros. Obrigado!)



http://iintegral.leadlovers.com/iintegral

https://www.dropbox.com/sh/oqabx74i7lqb41l/AACvlKhU16hOYSx7k6Rl4o42a?dl=0


http://hotmart.net.br/show.html?a=M156693M

115




MATERIAL EXCLUSIVO!

Manual do Candidato - Teste ANPAD

(mais de 15.000 downloads até outubro de 2015)

O Manual contém, entre outros assuntos:

- O que é Teste ANPAD?

- Provas do Teste ANPAD

- Como se preparar:

- - Material da ANPAD

- - Apostilas e livros

- - Aulas particulares

- - Grupos de estudos

- - Cursos preparatórios

- Roteiro de estudos

- Estratégias para a prova

- Jornada de estudos

- Véspera da prova

- No dia da prova

- Durante a prova

- Ordem de realização das provas

- Escore ANPAD

- Resultado Geral

- Próximas edições

- Edital

E muitas DICAS!

Baixe o Manual do Candidato Teste ANPAD diretamente na comunidade

Sou Integral, no Facebook:



116




LANÇAMENTO EXCLUSIVO!

Aprenda Raciocínio Lógico Formal com Flash Cards

Alguns tópicos abordados neste livro:

- O que é um flash card?

- Como confeccionar um flash card?

- Como memorizar o conteúdo de um flash card?

- Uso de flash cards nas operações lógicas

- Aplicações dos flash cards nas operações

lógicas

- - Aplicações dos flash cards no argumento

lógico dedutivo

- Uso dos flash cards nas equivalências lógicas

notáveis

- Uso de flash cards em Tautologias,

Contradições e Contingências

- Uso dos flash cards nas negações:

Leis de De Morgan

Negação da Condição

Negação da bicondição

Negação das proposições categóricas:

todo, nenhum, algum, algum não é

Disponível em:

http://edu.institutointegral.com.br/tecnicas-de-superaprendizagem

Também disponível aqui:


http://edu.institutointegral.com.br/tecnicas-de-superaprendizagem


117




16 Currículo Informal

Sempre tive facilidade em aprender Matemática. Fui fortemente influenciado por

minha mãe, que fazia cálculos de cabeça e com uma velocidade impressionante.

Em 1972, aos 12 anos, fui convidado por uma professora a auxiliar os colegas em

dificuldades com a matéria. Éramos um grupo de 4 e todos passaram por média.

Ali nasceu o gosto por ensinar...

Aos 14 anos, comecei a reunir grupos em casa para estudar Matemática. Minha

mãe dizia que eu estava dando aulas particulares. Eu dizia que os colegas iam lá

para saborear os quitutes que ela fazia. Como descendente de italianos e

espanhóis, minha mãe era especialista em massas, pães, bolos e outros quitutes

deliciosos e irresistíveis.

Quando terminei o (antigo) segundo grau, virei professor particular de

Matemática, Estatística e Matemática Financeira.

Entrei na faculdade de Engenharia Elétrica da UFJF em 1979. Ainda em Juiz de

Fora-MG, ministrei aulas de Matemática no curso VIP (pré-vestibular) de um

professor amigo, durante o ano de 1980.

Em 1981 fui morar em Brasília-DF, e comecei a estudar Raciocínio Lógico

Formal por conta própria, mas tive muita dificuldade em entender as sutilezas

conceituais do assunto. Em 1983 comecei a faculdade de Matemática na Católica

de Brasília-DF. Foi aí que as portas da Lógica Formal se abriram para mim, pois

conheci o Padre Chico.

Antes de prosseguir, preciso contar brevemente a história e a influência que o

Padre Chico teve sobre o meu aprendizado de Lógica Formal.

O Padre Chico

Padre Chico era alemão. “Chico” era só um apelido que ele recebeu por ter um

nome impronunciável em português.

118




Na faculdade, ele lecionava Cultura Religiosa I, mas logo no primeiro dia de

aula, descobri que ele, além de Teólogo, também era Filósofo e mais meia dúzia

de outras formações. Falava 8 idiomas fluentemente. Um gênio!

Na Segunda Guerra, Padre Chico estudava Teologia em um seminário em Berlim

(Alemanha).

Certo dia, ele vinha pela rua com um colega de seminário, quando seu colega foi

jogar um papel dentro da lata de lixo, e, ao levantar a tampa, uma granada

explodiu, matando o seu colega instantaneamente e ferindo o Padre Chico

gravemente. Por consequência, ele mancava de uma perna.

Primeira Lição

Terminada a primeira aula de Cultura Religiosa I, fui conversar com o Padre

Chico a respeito da Lógica Formal.

– “Então o senhor se interessa por Lógica Formal?” perguntou Padre Chico, com

sua peculiar cordialidade.

– “Sim!”, respondi, “mas estou tendo dificuldades para captar as sutilezas

conceituais. Os conceitos parecem extremamente simples, mas, no momento de

aplicá-los, tudo fica muito confuso!”, completei.

– “Pois bem!”, retrucou Padre Chico, “o problema reside no fato de estares

raciocinando como matemático e Lógica Formal não é matemática! É puramente

filosófica... Filosofia é a ciência de todas as ciências. Cuidado com a arrogância

na qual incorrem muitos matemáticos, ao tentarem igualar a Matemática com a

Filosofia. Pior ainda é quando se tenta colocar a Matemática acima da Filosofia.

Acima da Filosofia, só há Deus...”, completou.

“Como bom padre que é, ele está puxando a brasa para o seu churrasco.”,

pensei.

– “Matematizar a Lógica Formal é arrogância!”, continuou Padre Chico,

“Aristóteles, o ‘Pai da Lógica Formal’, era um filósofo grego, discípulo de

Platão, que viveu entre 384 e 322 a.C. Em nenhum momento, ele pensou

119




matematicamente para propor os conceitos e regras da Lógica Formal. Essa

confusão faz com que muitos continuem sem entender Lógica Formal, ou

interpretando erroneamente seus conceitos.”

...

Preciso interromper aqui, senão transformarei essa breve história em livro... Um

dia, pretendo contar essa e outras histórias em um livro.

Em 1984, mudei-me de Brasília-DF para Porto Alegre-RS. Abandonei a

faculdade de Matemática e me concentrei em concluir a Engenharia

Elétrica/Eletrônica na UFRGS. Por motivos de saúde, este curso foi

interrompido, e só foi concluído em 1998.

Entre 2003 e 2005 cursei Mestrado na UFRGS.

De 1985 até 2001, ministrei aulas de Matemática, Raciocínio Lógico,

Matemática Financeira e Estatística em diversos cursos preparatórios para

concursos públicos.

Em 2000 iniciei as atividades do Instituto Integral, com o propósito de preparar

candidatos ao Teste ANPAD (prova de proficiência para quem vai cursar

Mestrado ou Doutorado em Administração de Empresas).

De 2007 a 2012 fui professor universitário na UFRGS, na Decision-FGV, na

Esade e na Unifin.

Fui examinador de concursos públicos de 2007 a 2014 nas Organizadoras

FAURGS, FDRH e FUNDATEC, tendo elaborado mais de 1.000 questões de

Matemática, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para

diversos concursos no RS, tais como: Banrisul 2010, SEFAZ-RS (Auditor e

Técnico) 2014, SUSEPE 2014, IGP 2011, SEPLAG 2011, etc.

Também sou ex-funcionário concursado da Petrobrás, do Banrisul e da Caixa

Federal.

Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/4955422465156693

http://lattes.cnpq.br/4955422465156693

120




Instituto Integral Editora - 4 anos

Blog da Editora: http://institutointegraleditora.com.br/blog/

Instituto Integral EaD - 4 anos

Plataforma EaD: http://www.institutointegralead.com.br/

Instituto Integral - 16 anos

Site do curso presencial: http://www.institutointegral.com.br

Agradecemos a preferência pelo nosso material didático!

http://institutointegraleditora.com.br/blog/

http://www.institutointegralead.com.br/

http://www.institutointegral.com.br/

Caderno RQ6 Estatística - mkmouse.com.br RQ6 Estatística.pdf · 7 PROBABILIDADE ... as de...

Documents

Transcript of Caderno RQ6 Estatística - mkmouse.com.br RQ6 Estatística.pdf · 7 PROBABILIDADE ... as de...