Cabello

PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115

Universidad Simón Bolívar

Departamento de matemáticas Puras y Aplicadas

1.- Compruebe que la función indicada sea una solución de la ecuación diferencial dada:

a)

dydx

−2 y=e3ta) y=e3 x+10 e2 x

b)

dydx

+ y=x+1 b) y=x+3e− x

c)

d2 ydx2

−7dydx

+12 y=0 c) y=2e3 x−5e4 x

d)

dydx

=25+ y2 d) y=5 tan 5 x

e)

d2 ydx2

−3dydx

+2 y=0e) y=ex+2 x2+6 x+7

f) (1+x2) d2 y

dx2+4 x

dydx

+2 y=0f)

y= 1

1+x2

g)

dydt

=(2−x )(1−x )g)

Ln2−x1−x

=t

2.- Demuestre que la función f definida por y=(2 x2+2 e3 x+3)e−2 x satisface la ecuación diferencial

dydx

+2 y=6 ex+4 xe−2 x

que satisface la condición f (0)=5 .

3.- Demuestre que la función f definida por y=3 e2 x−2 xe 2 x−cos(2 x ) satisface la ecuación diferencial

d2 ydx2

−4dydx

+4 y=−8 sen(2 x ) que satisface las condiciones iniciales f (0)=2 y f

'( 0)=4

1


EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLESRESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES

1) dydx

= y−1

x2+1Solución

dydx

=y−1

x2+1

dyy−1

=dxx2+1

Integrando se tiene : ∫ dy

y−1=∫ dx

x2+1 de aquí se tiene Ln( y−1 )K=arctgx , K constante luego

( y−1 )K=earctgx , entonces y= earctgx

K+1 ,

2 ) dx=( x−2 )sentdtSolución:

dx=( x−2 )sentdt entonces ∫ dx

x−2=∫ sentdt

de aquí ln( x-2) K=−sent , luego x-2 =e−sent K 1

x =e−sent K1+2

3 ) dydx

=(1+ y2 )(x2−1)

Solucióndy

1+ y2=( x2−1)dx

entonces ∫ dy

1+ y2=∫( x2−1 )dx

de aquí se tiene a rctgy= x3

3−x+C

4 ) (ex+1 ) dydx

= y (1−e x)

Solución:

∫ dyy

=∫ 1−e x

1+exdx

∫ dyy

=∫ 11+ex

dx−∫ ex

1+e xdx

ln (yK )=Ln(2+e x)−Ln (1+ex )

y=Ln(2+ex )(1+ex )

C, C constante

2


5 ) 2 sen ycos x dx+cos y senx dy=0Solución

2 sen y cos x dx+cos y senx dy=0 entonces 2 sen y cos x dx=−cos y senx dy de aquí se tiene

2∫ cos xsenx

dx=−∫ cos yseny

dy entonces 2Ln| senx|=−Ln|seny|+Ln C luego Ln| senx|2+Ln|seny|=Ln C de aquí

sen y sen2 x dx=C luego y= arcsen( C

sen2 x ) , x≠∏ k , k=1,2,3,. ..

6 ) dydx

=xy+x−2 y−2 ; y (0)=2

Solución

dydx

=xy+x−2 y−2 la podemos escribir como

dydx

=( x−2 )( y+1) separando variables

dyy+1

=( x−2 )dx

Luego ln ( y+1)=1

2x2−2x+C

y+1=exp( 12

x2−2 x+C ) para y (0)=2

2+1=exp (12

0−2(0)+C) así C=Ln3=2

y=exp( 12

x2−2 x+ ln 3)−1

7.- ( x2 y− y )dx+( x2−2 yx2 )dy con y (2 )=1

Solución

( x2 y− y )dx+( x2−2 yx2 )dy la podemos escribir como

dydx

=y (1−x2 )

x2 (1−2 y ) separando variables

∫ 1−2 y

ydy=∫ (1−x2 )

x2dx

de aquí ∫ dy

y−2∫ dy=∫ dx

x2−∫dx

Luego ln ( y )−2 y=−1

x−x+C

Como y (2 )=1 se tiene ln (1 )−2(1 )=−1

2−2+C

de aquí C=1

2 luego la solución es

ln ( y )−2 y=−1x−x+1/2

3


8.- cos2 xsenxdy+( ycos3 x−1 )dx=0 y ( π /4 )=1Solución.

cos2 xsenxdy+( ycos3 x−1 )dx=0 y ( π /4 )=1

(cos2 xsenx ) dydx

=1− y cos3 x

dydx

= 1cos2 xsenx

− y cos3 xcos2 xsenx

= 1cos2 xsenx

− y cos xsenx

dydx

+cos xsenx

y= 1

cos2 x senx Ecuación diferencial lineal

Sea μ=e∫ cosx

senxdx=e Ln( senx )=senx de aquí μ=senx

senxdydx

+ y cos x= 1

cos2 x

( y senx )′= 1

cos2 x integrando se tiene y senx=∫ dx

cos2 x=∫sec2 xdx

y senx=tgx+C como y (π /4)=1

1 sen ( π4 )=tg( π

4 )+C de aquí

C=√22

−1 luego la solución es:

y senx=tgx+ √22

−1

7-. Una ecuación cartesiana y=f ( x ) pasa por el origen; por un punto arbitrario de la curva en el primer cuadrante se trazan rectas paralelas a los ejes coordenados que forman un rectángulo con ellos. La curva divide al rectángulo en dos regiones A y B, A es la región superior y B la región inferior.

Si el área de A es n veces el área de B e y=f ( x ) es una función creciente en el primer cuadrante. Hallar f ( x )Solución-

Area A = n área B

x f ( x )−∫0

x f ( t )dt=n ∫0

x f (t )dt

Derivando se tiene

4


f ( x )+x f ' (x )− f ( x )=n f ( x )

x f ' ( x )=n f ( x ); si y=f ( x )

x y' ( x )=n y Ecuación Diferencial

dydx

=nyx

luego

dyy

=ndxx

Ecuación diferencial de variables separables

Ln|y|=nLn|xc| luego y=K xn, como f es creciente K>0 , así f ( x )=K xn

EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES

1.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de variables separables;

a ) ( x−4 ) y4dx−x3( y2−3)dy=0 b) y '=(1+ y2)(3 x2−1)

c )( x2 y− y )dx+( x2−2 yx 2 )dy=0 d ) { y '=Ky3 (1+x2 )−1/2¿

e ) xsenydx+(x2+1)cos y=0 , y (1)=π

2 f ) dy

dx= yex , y(0 )=2e

g ) (ex+1) y '=( x2 y− y )dx+( y2− y )ex h ) y=2 eex

i) dydx

=(x−1) y5

x2 (2 y3− y ) j )

13

y3−2y=1

x+Ln|x|+C

k ) dy

dx=( x+ y+3 )2

l) y=tan( x−c )−x−3

m) 2 y

dydx

=x (16−x2)−1/2, y (5 )=2

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLES

a ) dydx

=f ( ax+by+c ) b≠0

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

1) dydx

=(x+ y+1 )2

Solución

5


dydx

=(x+ y+1 )2 Sea u=x+ y+1 luego

dudx

=1+ dydx entonces

dydx

=dudx

−1 así

dudx

−1=u2

luego

dudx

=u2+1 así

du

u2+1=dx

Entonces arcotg u=x+C sustituyendo el valor de u

arcotg ( x+ y+1)−x=C entonces x+ y+1=tg(C+x ) luego y=tg(C+x ) -x-1

2 )

dydx

= 1

√x+ y , y (0 )=1

Solución

dydx

= 1

√x+ y

Sea u=x+ y luego

dudx

=1+ dydx entonces

dydx

=dudx

−1 así

dudx

−1= 1

√u luego

dudx

= 1

√u+1

así √u du

1+√u=dx

sea u=z2 entonces d u=2 zdz

Sustituyendo en la ecuación se tiene

2z2

1+ z=dx

luego 2(z-1+ 1

1+ z )dz=dx entonces integrando

2( z2

2-z+Ln (1+z ))=x+C

luego z2 -2z+Ln (1+z )2=x+C sustituyendo u=z2 se tiene

u-2√u+Ln (1+√u )2=x+C sustituyendo u=x+ y se tiene

x+y-2 √x+ y+Ln (1+√x+ y )2=x+C

Usando las condiciones iniciales

0+1-2 √0+1+Ln (1+√0+ y )2=0+C luego C=Ln 2−1 Así la solución es

y-2√x+ y+Ln (1+√ x+ y )2=Ln 2−1

3 )

dydx

=cos( x+ y+1)1−cos ( x+ y+1)

,

Solución:

dydx

=cos ( x+ y+1)1−cos ( x+ y+1)

,Sea u=x+ y luego

dudx

=1+ dydx entonces

dydx

=dudx

−1 así

dudx

−1=cosu1−cosu luego

dudx

=cosu1−cosu

+1 así

dudx

= 11−cosu entonces (1−cos u)du=dx

6


u -senu=x +C luego x+ y+1-sen( x+ y+1)=x +C entonces y+1-sen( x+ y+1)=C

EJERCICIOS RESUELTOS DE LA ECUACION LINEAL

dydx

+P (x ) y=f ( x )

.-Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales Lineales

1.- (1+ex ) dy

dx+ex y=0

Solución

(1+ex ) dydx

+ex y=0 luego

dydx

+ ex

1+exy=0

Ecuación lineal donde P (x )= e x

1+ex , y f ( x )=0

El factor integrante es: u( x )=eP (x )ds=e∫ ex

1+exdx

=1+ex

Multiplicando la ecuación por el factor integrante se tiene :

(1+ex ) dydx

+(1+e x) ex

1+exy=0

de aquí se tiene d (1+ex ) y=0 integrando se tiene (1+ex ) y=C

Entonces y= C

1+ex

2.- y '−2y

x-1=( x−1 )3

Solución:

y '−2yx-1

=( x−1 )3 donde

P (x )= −2x−1 y u( x )=eP (x )ds=e

−∫ 2x−1

dx=e−2 Ln( x−1)

Multiplicando la ecuación por el factor integrante se tiene :

e-2L(x-1 ) y '−e-2L(x-1)2yx-1

=e-2L(x-1 )( x−1)3

(y e-2L( x-1))′=e-2L(x-1)( x−1 )3

y e-2L(x-1)=∫e-2L(x-1)( x−1)3 dx+C

7


y e-2L(x-1)=∫( x−1)−2( x−1 )3 dx+C

y =( x−1 )2(C+( x−1 )2

2 )3.- x { y '−2y=x3 , y (1)=2¿Solución:

x { y '−2y=x3 , y (1)=2¿ x≠0

dydx

− 2x

y= x2

Ecuación Lineal

donde P (x )=−2

x y u( x )=eP (x )ds=e−∫ 2

xdx=x−2=

así x-2dy

dx− 2

x3y=1

entonces ( x-2 y )′=1 entonces x

-2 y=x+CHaciendo uso de las condiciones iniciales y (1)=2 se tiene

(1)(2 )=1+C luego C=1 Así la solución es: x-2 y=x+1 lo que es y=x3+x2

EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA ECUACION LINEAL

9.-Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales:

dydx

+P (x ) y=Q( x )

e) { y '+1

2y=senx ¿ b) x y '+( x+1) y=x3

c) { y '+2 x+1

xy=e−2 x¿

d)

dxdt

+( ln|t|) x=t−t

e) x y '+ y=3 xy ; y (1 )=0 f) (1+x ) y '+ y=cos x ; y (0)=1

g) (1+x2) y '+4 xy=x y (2)=1h)

dydx

+3yx=6 x2

i)

dydx

+3 y=3 x2 e−3 x

j)

dydx

+ 1x

y= 12 x

k) { y ' (e y−x )= y ¿l)

x dydx

−2 y=x4 y3 y (2 )=8

8


EJERCICIOS RESUELTOS DE LA ECUACION DE BERNOULLIResolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli

1.- dydx

−3x

y=x3 y2/5 ; y (1)=32

Solución:dydx

−3x

y=x3 y2/5 ; y (1)=1 Ecuación de Bernoulli con

n=25 , Consideremos

w= y1−2/5= y3 /5 luego w= y3 /5

luego dwdx

=35

y-2/5 dydx luego tenemos

dydx

=53

y2/5 dwdx sustituyendo en la ecuación original

53

y2/5 dwdx

−5x

y=x3 y2/5

simplificando se tiene dwdx

−3x

w=35

x3

Ecuación Lineal

Sea μ( x )=e∫−3

xdx=x−3

luego μ( x )=x−3

x−3 w '−3 x−2 w=35

( x−3 w )′=35 luego

x−3w=35

x+C así

w=35

x4+Cx3

sustituyendo w= y3 /5

y3/5=35

x4+Cx3

sustituyendo el valor inicial se tiene (32)3 /5=3

5+C

Entonces C=37

5 luego la solución de la ecuación es y3/5=3

5x4+37

5x3

2.- y y '= y2

x− x+1

2, x≠0

Solución

y y '= y2

x− x+1

2, x,y≠0

tenemos { y '= y

x−1

y ( x+12 ) , x,y≠0¿

Ecuación de Bernoullin=-1 sea

w= y2 derivando

dwdx

=2 y y '

luego

dydx

= 12 y

dwdx

9


1

2 ydwdx

−1x

y=(−x−12 ) y−1

dwdx

−2x

y2=−x−1

dwdx

−2x

w=−x−1 Ecuación lineal

μ (x )=e-2∫dx

x = 1x2

1

x2 ( dw

dx−2

xw)= 1

x2(−x−1 )

( wx2 )

′

= 1x2

(−x−1 ) Integramos

w

x2=∫ 1

x2(−x−1 ) dx

luego w=x2( 1

x−Ln( x ))

y2=x2( 1x−Ln( x ))

+C

3.- ex ( y+2 y2(1−ex ))dx−( ex−1 )dy=0Solución

ex ( y+2 y2(1−ex ))dx−( ex−1 )dy entonces ex ( y+2 y2(1−ex ))dx=( ex−1 )dy

ex ( y+2 y2(1−ex ))=(ex−1) dydx luego

ex ( y+2 y2 (1−ex ))ex−1

=dydx

dydx

=e x ( y+2 y2(1−ex))

ex−1=

ex y+2 y2 ex(1−ex )ex−1

= ex y

e x−1+

2 y2 e x(1−e x)ex−1

= ex y

ex−1−2 y2 ex

dydx

− ex ye x−1

=−2 y2e x

, Ecuación de Bernoulli con n=2

Sea w= y−1 luego

dwdx

=− y−2 dydx , entonces

dydx

=− y2 dwdx

− y2 dwdx

− ex

ex−1y=−2 y2ex

10


dwdx

+ e x

ex−1y−1=2ex

de aquí

dwdx

+ e x

ex−1w=2 ex

es una ecuación lineal

Sea μ=e∫ ex

ex−1dx

= ex−1

(ex−1) dwdx

+(e x−1 ) ex

ex−1w=2ex (ex−1)

((ex−1)w )′=2 ex (ex−1)

(ex−1)w=e2 x− ex

2

w= e2 x

ex−1− ex

2( ex−1 ) de aquí se tiene y-1= e2 x

e x−1− ex

2(ex−1) luego

y=2(e x−1 )2e2 x−e x

4.- y y '= y2

x− x+1

2, x≠0

Solución

y y '= y2

x− x+1

2, x,y≠0

tenemos { y '= y

x−1

y ( x+12 ) , x,y≠0¿

Ecuación de Bernoullin=-1 sea

w= y2 derivando

dwdx

=2 y y '

luego

dydx

= 12 y

dwdx

1

2 ydwdx

−1x

y=(−x−12 ) y−1

dwdx

−2x

y2=−x−1

dwdx

−2x

w=−x−1 Ecuación lineal

μ (x )=e-2∫dx

x = 1x2

11


1

x2 ( dw

dx−2

xw)= 1

x2(−x−1 )

( wx2 )

′

= 1x2

(−x−1 ) Integramos

w

x2=∫ 1

x2(−x−1 ) dx

luego w=x2( 1

x−Ln( x ))

y2=x2( 1x−Ln( x ))

+C

5.- Resolver la ecuación diferencial dydx

= y− x e- 2 x y3

Solución.-

La ecuación

dydx

= y− x e- 2 x y3

(1) es una ecuación de Bernoulli con n=3. Sea u= y- 2luego

u'= - 2 y- 3 y '. Despejando y

'. Tenemos

y '−12

u' y3

(2) Multiplicando la ecuación (1) por la

ecuación (2) resulta -

12

u' y3= y−x e−2 x y3

-12

u'= y−2−x e−2 x

de aquí -

12

u'−u=−xe−2 x

de aquí u'+2 u=2 x e−2 x

(3) Ecuación lineal

Con solución u=x2e−2 x+Ce−2 x con C∈R .

Ahora como u= y- 2 se tiene y

- 2=( x2+K ) e- 2x

6.- Resolver la ecuación diferencial con valor inicial y y '= y2

x+x-1

2 , y (1)= 1

SOLUCIÓN.

y y '= y2

x+x-1

2 De aquí y '= y

x+x-1

2y lo que es equivalente y '− y

x=x-1

2y Ecuación de Bernoulli. n=-1. sea

w= y2 entonces

dwdx

=2 y y '

luego

dydx

= 12 y

dwdx Asi se tiene

12 y

dwdx

−1x

y= y−1 x−12 luego

dwdx

−2x

w=x−1 Ecuación Lineal u( x )=e

∫−2dxx =x−2

12


(x−2 dwdx

−x−2 2x

w)′

= ( x−1 ) x−2

luego (x−2 dw

dx−x−3 2

w)=∫( x−1−x−2 )dxentonces

x−2w=∫( x−1−x−2 )dx=Lnx+ 1x+C

entonces w=x2 Lnx+ x+Cx

y2=x2 Lnx+x+Cx Usando la condición y (1)=1 se tiene 1=1 Ln 1+1+C 1 , luego C=0 y por lo tanto la

solución es y2=x2 Lnx+x .

7.- Determine la solución de la ecuación diferencial

e x( y−3 y2 (ex+1 )2)dx+( ex+1)dy=0SOLUCION:

e x( y−3 y2 (ex+1 )2)dx+( ex+1)dy=0

e x (( y−3 y2 (ex+1 )2 )+(ex+1)) dydx

=0

dydx

=ex (3 y2( ex+1)2− y ))

ex+1 de aquí se tiene

dydx

=3 y2(e x+1)− ex ye x+1

dydx

+ ex

e x+1y=3 y2 (ex+1 )ex

Ecuación de Bernoulli con n=2

Sea w= y−1 entonces

dwdx

= y−2 dydx así

dydx

=− y2 dwdx

− y2 dwdx

+ e x

ex+1y=3 ex (ex+1 ) y2

dwdx

− ex

ex+1w=−3ex (ex+1 )

Ecuación lineal de primer orden

u( x )=e−∫ ex

e x+1dx

= 1ex+1

1ex+1

dwdx

− ex

(ex+1 )2w=−3ex

( wex+1 )

′

=−3e x

entonces se tiene

w

ex+1=−3∫e x dx

luego w=−3 (ex+1 )e x+C Entonces

1y=−3(ex+1)ex+C

entonces y= 1

−3( ex+1)e x+C

8.- Resolver la ecuación diferencial 3 t { x ' -2x= t3

x2¿

Solución

13


3 t { x ' -2x= t3

x2¿

tenemos x '− 2

3t x=t2

3x−2

Ecuación de Bernoulli

x2 x '− 23t

x3= t2

3 Hacemos el cambio u= x3 luego u

'= 3 x2 x'

13

u'− 23t

u= t2

3 entonces u'−2

t u=t2

Ecuación lineal en u(t) (*)

μ (x )=e-2∫dx

t = 1t2

Multiplicando (*) por el factor integrante

1

t2u'− 2

t3u=1

( 1t2

u)′

=1 Integramos

1

t2u =t+C

luego u=t3+C t2, así

x ( t )=(t3+Ct2 ))1/3+C

EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA ECUACION DE BERNOULLI

10.-Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales Bernoulli:

dydx

+P (x ) y=Q( x ) y(n)

a) { y '+ y=3 xy ; y (1 )=0¿ b) { y '+ y=cos x ; y( 0)=1¿

c)

dydx

+ y=xy 3

d) { y '+ 1

xy= 1

2 xy2¿

e)

dydx

− yx=− y2

x f)

dydx

+ y2 x

= x

y3 , y (1)=2

g) x

dydx

+6 y=3 xy4 /3

h) ( x2+1) dy

dx+4 xy=3 x

i) ex y−3( ex+1)2 dx+(ex+1)dy=0j)

( x2+x−2 ) dydx

+3( x+1 ) y=( x−1 ) y3

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEA

14


Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

1) x y3 y '=2 y4+x4

Solución

x y3 y '=2 y4+ x4 es una ecuación homogénea

Sea y=x v , entonces

dydx

= v +x dvdx sustituyendo en la ecuación se tiene

x (x v )3(v+xdvdx )=2( xv )4+x4

simplificando se tiene v4+ x v3 dv

dx=2 v4+1

luego x

dvdx

= v4+1v3

Así

dxx

= v3

v4+1dx

integrando se tiene

Ln|x|−14

Ln( v4+1)=C luego

Lnx

(v 4+1 )1/4=0

así ( x k )4=v4+1

Como v= y

x se tiene ( x k )4= y4

x4+1

entonces x 8 C = y4+x4 si C=k 4

se tiene

y4= x 8 C −x4

2 ) (x - ycos( yx ))dx+xcos ( y

x )dy x≠0

Solución:

(x - ycos( yx ))dx+xcos( y

x )dy =0

(1 -yx

cos( yx ))dx+cos ( y

x )dy =0 entonces

(1 -yx

cos( yx ))dx=-cos( y

x )dy , luego

(1 -yx

cos( yx ))=-cos( y

x ) dydx de aquí

-dydx

=1 -

yx

cos( yx )

cos( yx )

, cos ( yx )≠0

sea u= y

x entonces y=ux

Entonces Sea y=x u , entonces

dydx

= u +x dudx sustituyendo en la ecuación se tiene

u +x dydx

=−( 1−ucosucos u )

entonces x

dydx

=−( 1−ucosucosu )−u

simplificando x

dydx

= −1cosu

- cosu du =dxx entonces integrando senu =−Ln (x )+C sustituyendo el valor de

u= yx se tiene

15


senyx

=−Ln( x )+C entonces

yx

=arcsen (−Ln( x )+C ) entonces

y =xarcsen (−Ln( x )+C )

3 ) 2 y x { y ' cos2( yx )dx=2 y2 cos2( y

x )+xysen2 ( yx )¿

Solución

2 y x { y ' cos2( yx )dx=2 y2 cos2( y

x )+xysen2( yx )¿

simplificando se tiene { y '= y

x+ 1

2tg 2( y

x )¿

Sea y=x u , entonces

dydx


u +x dudx

=u+ 12

tg2 u

dudx

=12

tg2u entonces

du

tg2 u= 1

2 xdx

luego -c tgu -u=1

2ln|x|+C

entonces c tg( y

x ) -yx=1

2ln|x|+C

Si y=0 se tiene solución singular ya que al sustituir en la ecuación diferencial se tiene 0=0

4 ) ( x− yLn|y|+ yLn|x|)dx+x ( Ln|y|−Ln|x )dy=0|Solución:

( x− yLn|y|+ yLn|x|)dx+x ( Ln|y|−Ln|x )dy=0|

(1 -yx

cos( yx ))dx+cos ( y

x )dy =0 entonces

(1 -yx

cos( yx ))dx=-cos( y

x )dy , luego

dydx

=y (Ln|y|−Ln|x|)−x

x (Ln|y|−Ln|x|)= y

x− 1

Ln( yx )

de aquí

dydx

= yx− 1

Ln( yx )

,

dydx

+ 1

Ln( yx )

= yx

sea u= y

x entonces y=ux

Entonces Sea y=x u , entonces

dydx


u +x dudx

+ 1Lnu

=u entonces

x dudx

+ 1Lnu

=0 entonces integrando

x

dudx

=− 1Lnu de aquí

Lnu du =−dxx integrando u Lnu -u=−Lnx+LnC sustituyendo el

valor de u= y

x se tiene

yx

Lnyx− y

x=−L nx+LnC

5.- ( x3+ y3 )dx−3 x y2 dy=0Solución

( x3+ y3 )dx−3 x y2 dy=0 simplificando se tiene ( x3+ y3 ) −3 x y2 dy

dx=0

16


dydx

= x3+ y3

3 x y2=

1+( yx )

3

3( yx )

2

luego

dydx

=1+( y

x )3

3 ( yx )

2

Sea y=x u , entonces

dydx


u+xdudx

=1+u3

3u2

x

dudx

=1+u3

3u2 integrando

∫3u2

1-2u3du=∫ dx

x de aquí

12

Ln (1−2 u3 )=Ln( xC )⇒

Ln (1−2u3)1/2=Ln( xC )⇒ √1−2u3=xC⇒1−2 u3=x2 C2

luego 2 u3=1−x2C2 ⇒2( y

x )3

=1−x2C2

y3= x3

2(1−x2 C2)

EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAA

1.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas;

dydx

=f ( yx)

1) { y '= x2+ y2

x2¿

2 ) ( x+ y )dx−(x− y )dy=0

3 ) ( x2−3 y2 )dx+2 xydy=0 4 ) { y '=cos ( x+ y+1)1-cos( y+x+1)

¿

5 .)−( y+√ x2+ y2 )dx−xdy=0 ,y (0 )=0 6 ) 2 xy { y '=4 x2+3 y2¿

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGENEA

Halle la solución general de las ecuaciones diferenciales

1 .− ( y−2 x+2 ) dx+(3x−4 y−3 )dy=0 Solución:

17


( y−2 x+2 ) dx+(3x−4 y−3 )dy=0 dydx

= 2 x− y−23x−4 y−3 Ecuación Reducible a Homogénea

Consideremosl1 :2 x− y−2=0l2 : 3x−4 y−3=0

Pendientes de las rectas:

ml1=2

ml2=:−34 luego l1 sec ortacon l2

Puntos de Corte:2 x− y−2=03x−4 y−3=0 luego (1,0) es el punto de corteConsideremos x=u+1y=v de aquí

dydx

=dvdu

dvdu

= 2u+2−v−23u+3−4 v−3

= 2 u−v3 u−4 v

dvdu

= 2u−v3 u−4 v Ecuación Homogénea

Sea z= v

u luego v=u z entonces

dvdu

=z+udzdu

dvdu

=2− v

u

3−4vu

=2−z3−z

de aquí

dvdu

=2−z3−z luego

z+udzdu

=2−z3−z luego

udzdu

=2−z3−z

−z= z2−4 z+23−z Ecuación de Variable separables

udzdu

= z2−4 z+23− z entonces

∫ 3−z

z2−4 z+2 dz=∫ du

u lo que es equivalente

∫ z−3

z2−4 z+2 dz=−∫ du

u

Resolviendo la integral de la izquierda ∫ z−3

z2−4 z+2 dz

se tiene:

18


∫ z−3

z2−4 z+2 dz=1

2∫2 z−6

z2−4 z+2 dz=1

2∫2 z−4

z2−4 z+2 dz−1

2¿∫ ¿dz

z2−4 z+2 = ¿ ¿ ¿¿∫ ¿ ¿ 1

2ln ( z2−4 z+2 )−ln ( z−2−√2

z+2+√2 )+K=12

n(z2−4vu+2)−1

2ln ( z−2−√2

z+2+√2 )+K ¿¿

∫ z−3

z2−4 z+2 dz=

12

ln(( vu )

2

−4vu+2)−ln(

vu−2−√2

vu−2+√2 )+ K

∫ z−3

z2−4 z+2 dz=

12

ln(( yx−1 )

2

−4y

x−1+2)−ln(

yx−1

−2−√2

yx−1

−2+√2 )+ K

2 . (− y−3 x+2 ) dx+( x−1 )dy=0 Solución:

(− y−3 x+2 )+( x−1)dy=0 dydx

=3 x+ y−2x−1 Ecuación Reducible a Homogénea

Consideremosl1 :3 x+ y−2=0l2 : x−1=0


ml1=−3ml2=:1 luego l1 se corta con l2

Puntos de Corte: (1,-1) es el punto de corteConsideremos x=u+1y+1=v de aquí

dydx

=dvdu se tiene

dvdu

=3u+vu

=3+ vu

dvdu

=3 u+vu Ecuación Homogénea

Sea z= v


dvdu

=z+udzdu

z+udzdu

=3+z luego

dzdu

=3u Ecuación de Variable separables

19


dz=3duu entonces

∫ dz=3∫ duu

Resolviendo la integral

z =3 Ln|u|++ C Devolviendo el cambio: y+1 x−1

=3 Ln|x−1|+C

y=3 ( x−1) Ln|x−1|+C (x−1)−1

3 . { y '=2 x+ y−1

x+2y-1 quue pasa por el punto (0,2)¿

Solución:

y '=2x+ y−1x+2y-1

y '=2x+ y−1x+2y-1

Ecuación Reducible a Homogénea

Consideremosl1 :2 x+ y−1=0l2 : x+2y−1=0


ml1=−2ml2=:−1 /2 luego l1 se corta con l2

Puntos de Corte: (1/3,1/3) es el punto de corteConsideremos x=u+1 /3y=v+1/3 de aquí

dydx

=dvdu

dvdu

=2(u+1/3 )+v+1/3−1u+1/3+2v+2/3−1

=2 u+vu+2v

dvdu

=2 u+vu+2 v Ecuación Homogénea

dvdu

=2+ v

u

1+2vu

Sea z= v


dvdu

=z+udzdu

z+udzdu

= 2+ z1+2 z luego

u dzdu

=2−2 z2

1+2 z Ecuación de Variable separables

1+2z

2-2z2dz=du

u entonces ∫ 1+2z

2-2z2dz=∫ du

u

20


∫ dz

2(1-z2 )+ 1

2∫−4 z

2(1-z2 )=∫ du

u

12

Ln|1−z1+z

|+ 12

Ln|2−2 z2|=Ln|ku|

12

Ln|1− v

u

1+vu

|+12

Ln|2−2( vu )

2

|=Ln|ku|

entonces

12

Ln|1− y−1/3

x+1/3

1+y−1/3x+1/3

|+12

Ln|2−2( y−1/3x+1/3 )

2

|=Ln|k ( x+1 /3 )|

12

Ln|1−− y+2/3x+ y

|+ 12

Ln|2−2( 3 y−13 x+1 )

2

|=Ln|k ( x+1/3)|

Como se quiere que pase por el punto (0,2)

12

Ln|−2+2/32 /3

|+12

Ln|2−2( 6−11 )

2

|=Ln|k3|

3 ( 12

Ln 2+ 12

Ln 48)=Ln|k| entonces e

3 (12

Ln 2+ 12

Ln 48)=k=m

12

Ln|1−− y+2/3x+ y

|+ 12

Ln|2−2( 3 y−13 x+1 )

2

|=Ln|m( x+1/3 )|

4.- y '= x+2 y−4

2x+y-5

Solución:

y '= x+2 y−42x+y-5

y '= x+2 y−42x+y-5

Ecuación Reducible a Homogénea

Consideremos

21


l1 : x+2 y−4=0l2 : 2x+ y−5=0


ml1=−1/2ml2=:−2 luego l1 se corta con l2

Puntos de Corte: (2,1) Consideremos x=u+2y=v+1 de aquí

dydx

=dvdu

dvdu

=u+2 v2 u+v

dvdu

=u+2 v2u+v Ecuación Homogénea

dvdu

=1+2

vu

2+vu

Sea z= v


dvdu

=z+udzdu

z+udzdu

=1+2 z2+ z luego

u dzdu

=1+2 z2

2+ z Ecuación de Variable separables

2+z

1-z2dz=du

u entonces ∫ 2+z

1-z2dz=∫ du

u

∫ 3/3 dz1-z

+ 12∫

1/21+z

=∫ duu

-32

Ln(1−z )+ 12

Ln(1+z )=Ln(u)+C

-32

Ln(1− vu)+ 1

2Ln(1+ v

u)=Ln (u )+C

entonces

-32

Ln|1− y−1x−2

|+ 12

Ln|1+ y−1x−2

|=Ln|x−2|+C

5.- ( x-2y+1)dx+(4x-3y-6 )dy=0Solución

22


dydx

=2y-x−14x-3y-6 Ecuación Homogenea

Consideremos l1 :2 y−x−1=0l2 : 4x−3y−6=0


ml1=1/2ml2=:4 /3 luego l1 se corta con l2

Puntos de Corte: (3,2) Consideremos x=u+3y=v+2 de aquí

dydx

=dvdu

dvdu

=2(v+2 )−(u+3)−1

4(u+3 )−3( v+2)−6=2 v−u

4 u−3

dvdu

= 2 v−u4 u−3 v Ecuación Homogénea

dvdu

=(2 v

u−1)u

(4−3vu )u

=(2 v

u−1)

(4−3vu ) luego

dvdu

=(2 v

u−1)

(4−3vu )

Sea z= v


dvdu

=z+udzdu

z+udzdu

=2 z−14−3 z luego

u dzdu

= 2 z−14−3 z

−z=3 z2−2 z−14−3 z Ecuación de Variable separables

4−3 z

3 z2−2 z−1dz=du

u entonces integrando ∫ 4−3 z

3 z2−2 z−1dz=∫ du

u

12

Ln (3 z2−2 z−1 )−34

Ln( 3 z−33 z+1 )=−Ln(u )+ Ln(C )

Ln (3 z2−2 z−1 )2−34

Ln( 3 z−33 z+1 )

3

=−Ln( Ku4

)+Ln(C )

Ln(3 ( vu )

2

−2( vu )−1)

2

−34

Ln( 3( vu )−3

3( vu )+1 )

3

=Ln| ku4

|

23


Ln(3 ( y−2x−3 )

2

−2( y−2x−3 )−1)

2

−34

Ln( 3( y−2x−3 )−3

3( y−2x−3 )+1 )

3

=Ln| k( x−3 )4

|

EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGENEA

1) { y '= x -y-4 y+x-10

¿ 2 ) { y '=4 x+3y+8 -6y+8 x-7

¿

3 ) { y '= x+2y-4 y+2x-5

¿4.- ( x−2 y+1 ) dx+(4x−3 y−6 )dy=0

5.- Determine la solución de la ecuación diferencial y ' =2x+y-1

x+2y-1 que pasa por el punto (0,2) .

EJERCICIOS RESUELTOS DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO

Resolver la ecuación diferencial de segundo orden

1 . x y ' '= y' Ln| y '

x|

SOLUCION

x y' '= y ' Ln| y '

x| ecuación de segundo orden falta la y.

Sea w= y ' entonces w

'= y ' '

x w'= w Ln|wx| luego

w '=wx

Ln|wx|=w

x Lnw-

wx

Lnx

dwdx

=wx

Lnw-wx

Lnx

Sea z=w

x entonces w=x z de aquí

dwdx

=z+xdzdx

24


z+xdzdx

=zLnzx−zLnx entonces

xdzdx

=zLnxz−zLnx−z=zLnz−z

dzdx

=1x

( zLnz− z) ecuación de VS.

dzzLnz−z

=dxx ,

∫ dzz ( Lnz−1 )

=∫ dxx

∫ dzz ( Lnz−1 )

=∫ dxx

, Ln|(Lnz-1)|k=Lnx luego (Lnz-1 ) k=x ,de aquí

Lnz= xk+1 ,

Lnz= x

k+1 ,

luego

z=eexk

de aquí

wx=ee

xk

luego w=xeexk

dydx

=xeexk

luego

y=k xexk −e

xk +C

2.- y y ' '=( y ' )2+ y Solución:La ecuación es de segundo orden no tiene x

y y ' '=( y ' )2+ y

Sea y { '=P ¿ luego y { ' '=dP

dx=dP

dydydx

=PdPdy

¿ luego

y { ' '=PdPdy

¿

Sustituyendo en la ecuación dada y { y ' dP

dy=P2+ y ¿

de aquí y P

dPdy

=P2+ y

dPdy

=Py+1

dPdy

−Py=1

Ecuación lineal

Consideremos u=e

−∫ 1y

dy= 1

y

u=1y

1y

dPdy

− 1

y2

Py=1

y

( 1y

P)′

= 1y luego

1y

P=ln( y )+C1

25


P= y ln( y )+C1 y

dydx

= y ln ( y )+C1 y luego

∫ dyy ( ln ( y )+C1 )

=∫dx sea z=ln( y )+C1 luego

d z=d yy

Luego

∫ dyy ( ln ( y )+C1 )

=∫dx=∫ dzz

=ln( z )+C2=x

ln ( ln( y )+C1 )+C2=x

ln ( ln ( y )+C1 )=x−C

3.- y' '=( x+ y ' )2

Solución:La ecuación es de segundo orden no tiene y

y ' '=( x+ y ' )2

Sea y { '=P ¿ luego y { ' '=dP

dx¿

Sustituyendo en la ecuación dada y' '=( x+ y ' )2 queda {u'=( x+u )2¿

Sea z= x+u luego { z '=1+u'¿ y queda

{ z '=1+z2¿ o lo que es equivalente

dzdx

=1+z2

Ecuación de variables separables

dz

1+z2=dx

luego ∫ dz

1+z2=x+C1

Luego x+C1=arctg / z )=arctg( x+u )=arctg ( x+ y ' ) de donde y '=tan( x+C1 )−x

y=∫ ( tan (x+C1 )−x )dx=−Ln|cos ( x+C1 )|−x2

2∗C2

4.- y { y ' '+( y ' )2=y { y ¿'¿Solución.-

y { y ' '+( y ' )2=y { y ¿'¿ Falta la variable x

Sea y { '=P ⇒ { y ¿' '= P

dPdy

¿

26


y P dPdy

+P2= yP . yP ≠0 de aquí

dPdy

+ Py=1 ⇒dP

dy=1− P

y Ec. Lineal Homogénea

Sea u=P

y⇒ P= u y ⇒dP

dy=u+ y

dudy de aquí se tiene

u+ y dudy

=1−u⇒ y dudy

=1−2u , 1−2u≠0

dudy

=1−2uy

⇒ du1−2u

= dy y integrando se tiene

- 12

Ln|1−2u|= Lny + Ln C

- 12

Ln|1−2u|= Ln( y C ) luego

1 -2u= 1

( y C)2 ⇒1 -

1

(y C)2=2u=2

Py entonces

y2 (1 -

1

( y C)2 )=P=dydx

⇒

dx= 2 ( y C)2

y ( y C )2−1⇒

integrando x=C1 Ln(( yC )2−1)+C2

5.- y { y ' '=( y ' )2¿Solución

Sea y { '=P ⇒ { y ¿' '= P

dPdy

¿ luego la ecuación diferencial se transforma en

y dPdy

=P Ecuación de variables separables:

dPP

=dyy integrando se tiene

P= y C luego

dydx

= y C ⇒ dyy

=C dx luego Lny=Cx+K ⇒ y= eC x+ K

entonces

y=K1 ex

6.- { y ' '=√1+( y ' )2¿Solución

Sea y { '=P ⇒ { y ¿' '= P

dPdy


y { P'=√1+P2¿ Ecuación de variables separables:

P dP

√1+P2=dy

integrando se tiene

√1+P2= y +C luego 1+P2=( y+C1)2 luego P

2=( y+C1)2−1 entonces

P=±√( y+C1 )2−1 integrando se tiene a rcsen ( y+C1 )= x+C2 entonces

27


y= sen (x+C2 )−C1

7.-

dydx (1+( dy

dx )2)=d2 y

dx2

Solución

Sea y { '=P ⇒ { y ¿' '= P

dPdy


1+P2=dPdy Ecuación de variables separables:

dP

1+P2=dy

integrando se tiene

a rct P= y +C luego P=tg ( y+C1) luego

dydx

= tg ( y+C ) integrando

∫ dytg( y+C )

= ∫ dx luego

∫ cos( y+C )dysen ( y+C )

= ∫ dx luego Ln|sen ( y+C )|=x+C1

sen ( y+C ) =Kex de aquí y =arcsen (Kex )+C

8.- y2 d

2 ydx2

= y '

Solución

Sea y { '=P ⇒ { y ¿' '= P

dPdy


P y2 dPdy

=P Ecuación de variables separables:

d P =dy

y2 integrando se tiene

P= - y-1+C luego P=− 1

y+C

luego

dydx

= C y-1

y integrando

∫ yC y-1

dy=dx de aquí

1C

y + 1

C2 ln|Cy-1 |=x+K

9.- { y ' (1+( y ' )2= y ' '¿

Solución

28


Sea y { '=P ⇒ { y ¿' '= P

dPdy


P (1+P2)=P P' , Z≠0 Ecuación de variables separables: 1+P2=P ' integrando se tiene

arctg P= -y +C luego arctg y '= y+C luego

dydx

= tg ( y+C ) integrando

∫ dytg ( y+C )

=x+C1 de aquí ln|sen ( y+C1 )|=x+K luego y=arcsen Kex+C1

10.- y { y ' '=( y ' )2+ y '¿Solución

Sea y { '=P ⇒ { y ¿' '= P

dPdy


y PdPdy

=P2+P=P( P+1 ) P≠0 Ecuación de variables separables:

y dPdy

=P+1 integrando se

tiene Ln|P+1|=Lny+LnC=Ln|yC| luego P+1== y+C1

dydx

= yC1 de aquí ln|(yk )|=C1 x luego yK= K1 ex

11.- {2 { y¿¿ ' '+ y '=y { y¿¿ ' ¿ ¿¿¿

Solución

Sea y { '=P ⇒ { y ¿' '= P

dPdy


2 PdPdy

+P= y P P≠0 Ecuación de variables separables:

2 dPdy

+1= y integrando se tiene

P=( y−1)2

4+ C

2 ⇒

dydx

=( y−1 )2

4+ C

2 ⇒

separando variables

∫ dy

( y−1 )2

4+(√C

2 )2=∫ dx ⇒

integrando

29


2C1

arctg ( √22√C1

( y−1)) √22√C1

=x+C2 ⇒ √22√C1

( y−1)=tg2√C1

√2⇒

y= 2√2

tg (( x−1 )√2 ) , y (1)= y '(1 )=1⇒

y '=2√C1

√2sec2 (Cx ) , y (1)= y '(1 )=1⇒ C=1

12.- { y ' '+ y' √ y2−1=0¿Solución:

Sea y { '=P ⇒ { y ¿' '= P

dPdy


PdPdy

+P√ P2−1=0 Ecuación de variables separables: P (P'+√ P2−1)=0 ⇒P'+√P2−1=0

Entonces

dPdy

=−√P2−1 ⇒dP

√P2−1=− dy

haciendo P=senu ⇒dP=cosudu ⇒

∫ du=-y+C1⇒u=− y+C1 de aquí se tiene

arcsenP=− y+C1⇒ P=sen (− y+C1 )⇒dydx

=sen (− y+C1 )

∫ dysen (− y+C1 )

=∫dx+C2⇒Ln|cosc (C1− y )+ctg(C1− y )|=x+C2

cosc (C1− y )+ctg(C1− y )=C3 ex Ln||=x+C2

13.- { y ' ' x− y '=x2ex ¿ con las condiciones y (1)=1 , { y '(1 )= 0¿

Solución:Sea y { '=P ⇒ { y ¿' '=P' ¿ luego la ecuación diferencial se transforma en

P ' x−P=x2ex Ecuación diferencial lineal

{ P'−1x

P=xex ¿

Entonces el factor integrante μ (x )=e

−∫ 1x

dx=e−Lnx=1

x luego μ (x )=1

x

1x

P '− 1

x2P=e x

luego ( 1

x P)

′

=ex integrando se tiene

1x

P=ex +C1de aquí se tiene

30


P=xe x +xC1 sustituyendo el valor de P nos queda dydx

= xex +xC1 integrando tenemos

∫ dy=∫ ( xex +xC1)dx resultando y=xex−ex+

C1

2x2+C2

Haciendo uso de las condiciones y (1)=1 , { y '(1 )= 0¿ se tiene

1=e−ex+C1

21+C2 entonces C1+2C2=2

y '=xex+ xC1 como { y ' (1)= 0¿ nos queda C1=−e

La solución es

y=xex−ex− e2

x2+1+ e2

14.- y' '− y '=x ex

Solución:

y ' '− y '=x ex ecuación de segundo orden donde falta “y”

Sea y { '=P ⇒ { y ¿' '=P' ¿ luego la ecuación diferencial se transforma en

P '−1x

P=x ex

Ecuación diferencial lineal

Entonces el factor integrante μ (x )=e−∫dx=e−x

luego μ (x )=e− x

e-x P'−e−x P=e x luego (e-x P )′=ex integrando se tiene e

-x P=e x +C1de aquí se tiene

P=e2 x +C1 ex sustituyendo el valor de P nos queda ∫ dy=∫ e2 x dx +∫C1 e x dx integrando tenemos

y=12

e2 x+C1 ex+C2

EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO

13.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden.

:a) y { y ' '−( y ' )2=0¿ b) y2 y ' '= y '

31


c) x { y ' '= y ' Ln

y'

x¿

d) { y ' (1+( y ' )2= y ' '¿e) x { y ' '+2 y '= 6 x¿ f) x { y ' '= y '¿

g) y { y ' '+( y ' )2= y y ' ¿ h) y { y ' '+( y ' )2= y y ' ¿

i) { y ' '=2 y ( y ' )3¿ j) y y ' '=( y ' )2+ y { '¿

32


ALGUNAS APLICACIONES GEOMETRICASEJERCICIOS RESUELTOS DE CURVAS ORTOGONALES

1-.Hallar la ecuación de la familia de curvas ortogonales de las ecuaciones. y=2+ke3 x k∈ RRepresente ambas familias en un mismo plano SOLUCIÓN

Se tiene y=2+ke3 x k∈ R de aquí k=( y−2)e−3 x

y '=3 k e3 x luego y'=3( y-2 )e-3x e3 x de aquí y

'=3( y-2 )

La ecuación ortogonal resulta: y '=-1

3(y-2 )

Luego ∫( y−2 )dy=∫ dx

3 integrando

( y−2 )2

2= x

3+C

luego x+C=

3 ( y−2)2

2

GRAFICAS

2-.Hallar la ecuación de la familia de curvas ortogonales de las ecuaciones. x2+3 y2=k k∈R

Represente ambas familias en un mismo plano SOLUCIÓN

Se tiene x2+3 y2=C C∈R de aquí 2 x+6 y { y '=0 ¿entonces x+3 y { y '=0 ¿de aquí 3 y { y '=−x ¿

de aquí y '=− x

3 y

La ecuación ortogonal es y '=3 y

x

así

dyy

=3 dxx

integrando resulta

Ln( y )=3 Ln(cx )= Ln(cx )3 de aquí y=K x3

GRAFICAS:

33


3-.Hallar la ecuación de la familia de curvas ortogonales de las ecuaciones. x2+ y2=k k∈ R


Se tiene x2+ y2=k k∈ R familia de circunferencias de aquí 2 x+2 y { y '=0 ¿entonces

x+ y { y '=0 ¿de aquí y { y '=−x ¿de aquí y '=− x

y

La ecuación ortogonal es y '= y

x

así

dyy

= dxx

integrando resulta Ln( y )=Ln(cx ) de aquí y=K x

GRAFICAS:

4-.Hallar la ecuación de la familia de curvas ortogonales de las ecuaciones. y=Ln|k x2| k∈RRepresente ambas familias en un mismo plano SOLUCIÓN

Se tiene y=Ln|k x2| k∈R familia de logaritmos, de aquí y '=2

x

La ecuación ortogonal es y '=− x

2

así dy =− x dx

2

integrando resulta y=− x2

4+ C

.GRAFICAS:

34


5-.Hallar la ecuación de la familia de curvas ortogonales de las ecuaciones. y=2+ce3 x Represente ambas familias en un mismo plano SOLUCIÓN

Se tiene y=2+ce3 x familia de exponenciales donde c=( y−2 )e−3 x , de aquí y'=3 c e3 x ,. así

y '=3( y−2) . La familia ortogonal es y '=− 1

3( y−2 )

3( y-2)dy =−dx integrando resulta

32(y-2 )2=−x

.de aquí 3( y-2)2+2 x= C1 luego

( y-2)2

1/3+ x

1/2= C1

GRAFICAS:

6-.Hallar los valores de K para los cuales las ecuaciones y=c x2 +K sean las trayectorias ortogonales

de las ecuaciones. x2+2 y2− y=C2


Se tiene y=c x2 +K , donde c = y−K

x2 , de aquí

dydx

=2( y−K

x2 ) x,. así

dydx

=2 xy−2 xk

x2. Por otro lado

2 x+4 ydydx

− y '=0 ,

y '=− 2x4 y−1

como se pide que sean ortogonales:

( 2xy−2xk

x2 )( 2 x4 y−1 )=1

de aquí

(2 y−2k )2=4 y−1 luego k =1

4 .Entonces y=c x2 + 1

4

son las trayectorias ortogonales a las ecuaciones

x2+2 y2− y=C2 GRAFICAS:

35


EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLES SEPARABLES

1) dydx

= y−1

x2+1 2 ) dx=( x−2 )sentdt3 )

dydx

=(1+ y2 )(x2−1)

4 ) (ex+1 ) dydx

= y (1−e x)5 ) 2 sen ycos x dx+cos y senx dy=0

6 ) dydx

=y (1−e x)

1+e x

7 ) dydx

=xy+x−2 y−2 ; y (0)=2

ECUACIONES REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLES

.dydx

= f (ax+by+c ) b≠0 Se hace u=ax+by+c

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

1) dydx

=(x+ y+1 )2

2 ) dydx

= 1

√x+ y , y (0 )=1

3 ) dydx

=cos( x+ y+11−cos ( x+ y+1)

,

ECUACION DIFERENCIL LINEAL dydx

+P (x ) y=f ( x )

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales Lineales

1.- (1+ex ) dy

dx+ex y=0

2.y '−2y

x-1=( x−1 )3

3.- x { y '−2y=x3 , y (1)=2¿

4.-cos2( x )sen ( x )dy+( y cos3( x )−1)dx=0 , y ( π

2 )=1

ECUACIONES DIFERENCIALES BERNOULLI

1.-

dydx

−3x

y=x3 y2/5 ; y (1)=322.-

y y '= y2

x− x+1

2, x≠0

36


3.- ex ( y+2 y2(1−ex ))dx−( ex−1 )dy=0 4.- y y '= y2

x− x+1

2, x≠0

5.-

dydx

= y− x e- 2 x y3

6.- y y '= y2

x+x-1

2 y (1)= 1

7.- ex( y−3 y2 (ex+1 )2)dx+( ex+1)dy=0 8.-

3 t { x ' -2x= t3

x2¿

9.-x y'+2 y=2 y1/2 x . sec2( x ) , 10.- 3 t {x '=2 x+ t3

x2¿

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEA

Resolver las ecuaciones diferenciales

1) x y3 y '=2 y4+x4 2 ) (x - ycos( yx ))dx+xcos ( y

x )dy x≠0

3 ) 2 y x { y ' cos2( yx )dx=2 y2cos2( y

x )+xysen2( yx )¿

4 ) ( x− yLn|y|+ yLn|x|)dx+x [ Ln|y|−Ln|x|]|dy=0|

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGENEA

Halle la solución general de las siguientes ecuaciones diferencial reducibles homogéneas

1.- ( y−2 x+2 ) dx+(3x−4 y−3 )dy=0 2.-(− y−3 x+2 ) dx+( x−1 )dy=0

3.-, y '=6 x-3 y + 1

2 x - y + 2 4.- (2 x− y+1 ) dx+(3x−4 y−6 )dy=0

5.-( x+ y ) dx −( x-y )dy=0 ; y (1 )=0

EJERCICIOS RESUELTOS DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO

1.-x y' '= y ' Ln| y '

x|

2.- y y ' '=( y ' )2+ y 3.-y ' '=( x+ y ' )2

4.-x' '+x=0 5.-

x y' '=Lne y '

x x>0

6.-dydx

( y+( y ' )2)= y ' '+y dydx

37


7.-y ' '+ 1

( y ' )2=0

8.- y { y ' '+( y ' )2=y { y ¿'¿ 9 y { y ' '=( y ' )2¿

10.- { y ' '=√1+( y ' )2¿ 11.- - { y ' '=√1+( y ' )2¿ 12 {2 { y¿¿ ' '+ y '=y { y¿¿ ' ¿ ¿¿¿

13.- - { y ' '+ y' √ y2−1=0¿ 14.- y' '− y '=x ex

9.- y ' '= y { '(1+( y ' )2¿

13.- { y ' ' x− y '=x2ex ¿ con las condiciones y (1)=1 , { y '(1 )= 0¿

38


EJERCICIOS RESUELTOS DE CURVAS ORTOGONALES

1-.Hallar la ecuación de la familia de curvas ortogonales de las ecuaciones. y=2+ke3 x k∈ RRepresente ambas familias en un mismo plano SOLUCIÓN

GRAFICAS

2-.Hallar la ecuación de la familia de curvas ortogonales de las ecuaciones. x2+3 y2=k k∈R


GRAFICAS:

3-.Hallar la ecuación de la familia de curvas ortogonales de las ecuaciones. x2+ y2=k k∈ R

Represente ambas familias en un mismo plano SOLUCIÓNGRAFICAS:

4-.Hallar la ecuación de la familia de curvas ortogonales de las ecuaciones. y=Ln|k x2| k∈RRepresente ambas familias en un mismo plano SOLUCIÓNGRAFICAS:

5-.Hallar la ecuación de la familia de curvas ortogonales de las ecuaciones. y=2+ce3 x Represente ambas familias en un mismo plano GRAFICAS:

6-.Hallar los valores de K para los cuales las ecuaciones y=c x2 +K sean las trayectorias ortogonales

de las ecuaciones. x2+2 y2− y=C2

Represente ambas familias en un mismo plano

GRAFICAS:

7-. Una ecuación cartesiana y=f ( x ) pasa por el origen; por un punto arbitrario de la curva en el primer cuadrante se trazan rectas paralelas a los ejes coordenados que forman un rectángulo con ellos. La curva divide al rectángulo en dos regiones A y B, A es la región superior y B la región inferior.

Si el área de A es n veces el área de B e y=f ( x ) es una función creciente en el primer cuadrante. Hallar f ( x )

39

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