Teoría de colas modelo M/M/C/FIFO/∞/∞Investigación de Operaciones II

Autor: Luis Cabello 25265957

Definición• Este modelo se ocupa de “c” servidores paralelos

idénticos, y se asume que los clientes no abandonan el sistema por limitaciones del mismo.

λ= λefectiva μ

μ

μ

Ecuaciones del modelo• λn=λ , n≥0

• μn=

• Pn =

• 1

nμ , n<cc μ ,n≥ c

, n<c

,n≥ c

, ρ/c <1

Ls = Lq+ρ

Ws = Ls/λ Wq = Lq/λ

C* = λ/(c μ)

*

Ejemplo

• Una pequeña oficina de correos tiene dos ventanillas abiertas. Los clientes llegan según una distribución de Poisson a razón de 1 cliente cada 3 minutos. No obstante, solo el 80% de los clientes busca servicio en las ventanillas . El tiempo de servicio por cliente es exponencial , con una media de 5 minutos.

• Todos los clientes que llegan forman una sola línea frente a las ventanillas y pasan según una disciplina FIFO.

Determine:a)La probabilidad de que un cliente que llega espere en la línea.b)La probabilidad de que ambas ventanillas estén ociosas.c)La longitud promedio de la cola.d)El tiempo promedio en el sistema.e)El % de ocio de las ventanillas.f)¿Es posible ofrecer un servicio razonable con una sola ventanilla?Explique.

Teoría de colas modelo M/M/C/FIFO/N/∞ , Investigación de Operaciones II

Definición• Este modelo se ocupa de “c” servidores paralelos

idénticos. No obstante, el sistema tiene una capacidad finita igual a N. Los clientes dejan de llegar cuando el sistema esta lleno.

λ efectiva

μ

μ

μ

Población

λ perdida

λ

N= COLA+ SERVIDORES

Ecuaciones del modelo

Ls = Lq+ρ

Ws = Ls/λef Wq = Lq/λef

C* = λtotal/(c μ)

Ejemplo

• Los alumnos de primer ingreso en la U de A se caracterizan, porque tratan de llegar a clase en automóvil. Durante el primer par de semanas del semestre de otoño, en el campus prevalece una confusión de tráfico porque los alumnos tratan desesperadamente encontrar cajones de estacionamiento.

Con una dedicación extraordinaria, esperan pacientemente en los carriles del estacionamiento a que alguien salga, para poder estacionarse. Imaginemos el siguiente escenario específico: el estacionamiento tiene 30 cajones, pero también pueden caber 10 automóviles más en los carriles.

Esos 10 automóviles adicionales no se pueden estacionar en forma permanente en los carriles, y deben esperar que haya disponible uno de los 30 cajones de estacionamiento.

Los alumnos de ingreso reciente llegan al estacionamiento siguiendo una distribución de Poisson, con 20 por hora de promedio. El tiempo de estacionamiento por automóvil es de 60 minutos en promedio, pero en realidad tiene una distribución exponencial.

Determine:

a) ¿Cuál es el porcentaje de alumnos que se salen por no caber en el estacionamiento? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil que llegue espere en los carriles?c) ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil que llegue ocupe el único cajón vacío en el

estacionamiento? d) Calcule la cantidad promedio de cajones ocupados. e) Calcule la cantidad promedio de espacios ocupados en los carriles. f) Calcule la cantidad de alumnos que no llegan a clase durante un periodo de 8 horas porque el

estacionamiento está totalmente lleno.

0.014%

(19.99)(0.0462)

(1-Pn<=29=0.2467)

Teoría de colas modelo M/M/R/FIFO/K/K , Investigación de Operaciones II

Definición• Este modelo se ocupa de “R” servidores paralelos

idénticos. La fuente es finita, y de tamaño K. Este sistema generalmente se asocia a un taller con K máquinas, de tal manera que tener “n” máquinas en el sistema equivale a tener “n” máquinas descompuestas.

μ

μ

μ

Población de

tamaño K

λ=Tasa de descomposturas por

máquina

Kλ =TASA TOTAL DE LLEGAS AL SISTEMA

K TAMAÑO DE LA FUENTE = CAPACIDAD DEL SISTEMA

λ perdida

λ efectiva

Ecuaciones del modelo

Ejemplo

• Un operador atiende a 5 máquinas automáticas. Cuando una máquina termina un lote, el operador la debe restablecer para iniciar el siguiente lote. El tiempo para terminar un procesamiento de lote es exponencial, con 45 minutos de promedio. El tiempo de preparación de la máquina también es exponencial con un promedio de 8 minutos.

Determine:

a) Calcule la cantidad promedio de máquinas que esperan su restablecimiento, o que están siendo restablecidas.

b) Calcule la probabilidad de que todas las máquinas estén trabajando.

c) Determine el tiempo promedio que una máquina está sin trabajar.

d) La utilización del operador.

Teoría de colas Modelo (M/G/1) : (DG//)—FÓRMULA DE POLLACZEK-KHINTCHINE (P-K), Investigación de Operaciones II

DefiniciónLos modelos no

markovianos son complejos, y se

sugiere analizarlos con simulación.

Sin embargo, P-K permite obtener resultados en los

casos en que:

El tiempo de servicio t se

represente por una distribución de

probabilidades con media E(T) y

Varianza Var(t).

Los resultados de este modelo

permiten calcular Ls, Lq, Ws y Wq.

No es posible calcular Pn ya que por su complejidad no puede realizarse de forma analítica.

Ecuaciones del modelo

Distribución uniforme.

Ejemplo

• Optica, Ltd., fabrica anteojos bajo receta de acuerdo con los pedidos de los clientes. Cada trabajador se especializa en ciertos tipos de anteojos. La empresa ha tenido demoras inusuales en el procesamiento de recetas bifocales y trifocales. El trabajador a cargo recibe 30 pedidos en cada día de 8 horas. Después de tardar entre 2 y 4 minutos, distribuidos uniformemente, en la inspección de los anteojos, el trabajador puede comenzar una nueva receta.

• Calcule lo siguiente:

a) La probabilidad de que el trabajador a cargo no esté haciendo nada.b) La cantidad de recetas bifocales y trifocales en lista de espera, en Optica. c) El tiempo promedio que un cliente debe esperar para que se le

entreguen sus anteojos.