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Versión 2014

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

CCAAPPIITTUULLOO 77

PPRROOYYEECCTTOO YY CCÁÁLLCCUULLOO DDEE EEJJEESS

YY EELLEEMMEENNTTOOSS AACCCCEESSOORRIIOOSS

División 1

Generalidades. Revisión de métodos estáticos

Métodos Dinámicos y por Fatiga

Versión 2014


1. Introducción

En este capítulo se darán herramientas para el cálculo de ejes y sus accesorios afines. En la

presente División 1, se efectuará un repaso de la metodología de análisis y cálculo estático de

ejes y se introducirán esquemas para el estudio de resistencia por fatiga, que es lo más

importante desde el punto de vista de diseño.

2. Generalidades

Un eje es un elemento de máquina generalmente rotatorio y a veces estacionario, que tiene

sección normalmente circular de dimensiones menores a la longitud del mismo. Tiene

montados sobre sí, elementos que transmiten energía o movimiento, tales como poleas (con

correas o cadenas), engranajes, levas, volantes, etc. En la Figura 7.1 se puede apreciar un eje

con diferentes tipos de montajes, como los mencionados anteriormente.

Figura 7.1. Eje con diferentes tipos de montajes.

La solicitación sobre un eje puede ser de diferentes características, estática o dinámica en

cuanto a la variación temporal de las solicitaciones, o bien, flexional, torsional, axial en

cuanto al modo en que actúa la solicitación.

3. Procedimiento de Diseño de Eje

En la Figura 7.2 se puede apreciar una distribución cualquiera de las solicitaciones a que

puede estar sometido un eje, flexionales, cortantes por flexión, axiales y torsionales. Un

procedimiento general para el cálculo y diseño de ejes se puede condensar en las siguientes

etapas:

1. Desarrollar un diagrama de cuerpo libre, reemplazando los diversos dispositivos

por sus correspondientes acciones o solicitaciones, de manera de obtener un

sistema estático equivalente.

2. Evaluar los momentos flectores, torsores, esfuerzos de corte y esfuerzos axiales en

el tramo completo del eje.

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3. Seleccionar las secciones más conflictivas y de ellas los puntos más conflictivos.

Esta tarea está asociada a la determinación de factores de concentración de

tensiones debidos a entallas geométricas y otros factores debidos según ha sido

explicado en el Capítulo 2.

4. Evaluar los estados tensionales en los puntos conflictivos.

5. Seleccionar el criterio o teoría de falla estática o dinámica en función del tipo de

material (frágil o dúctil) y tipo de rotura estimada (fatiga, etc.)

6. Evaluar la seguridad de los puntos conflictivos.

7. Efectuar un replanteo en términos de diámetro y configuraciones geométricas o

material en tanto que los resultados obtenidos no satisfagan las condiciones de

diseño.

Figura 7.2. Solicitaciones en un eje y diagrama de cuerpo libre.

4. Diseño para solicitación estática

Discriminación de las tensiones normales y cortantes

Dado el tipo de configuración de las solicitaciones se puede discriminar el siguiente estado

tensional genérico debido a flexión, torsión y efecto axial:

A

P

I

cxMx

. ,

J

cxTxy

. (7.1)

Donde M(x), T(x) y P(x) son el momento flector, el momento torsor y la fuerza axial

respectivamente y además:

2

dc ,

64

dI

4 ,

32

dJ

4 ,

4

dA

2 (7.2)

Luego los valores de tensión serán

23xd

xP4

d

xM32

,

3xy

d

xT16

(7.3)

Entonces según las expresiones de tensiones principales y las tensiones de corte máxima y

mínima, según un estado plano de tensiones, se obtienen como:

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2

xy

2

xx

2122

, , 2

xy

2

x

2

minmax , (7.4)

Luego, reemplazando (7.3) en (7.4) se tiene

2

3

2

232321d

T16

d

P2

d

M16

d

P2

d

M16

, (7.5)

2

3

2

23 d

T16

d

P2

d

M16

minmax , (7.6)

Ahora bien, según sea el criterio de rotura que se pretenda emplear se tendrán diferentes

casos, los cuales se tratarán a continuación.

Teoría de la Energía de Distorsión (Criterio de Von Mises-Hencky)

Se recordará del Capítulo 2, División 4, que el criterio de máxima energía de distorsión

establece que la falla se produce (en un material dúctil) cuando se cumple que:

s

y

21

2

2

2

1n

S (7.7)

Donde Sy y ns son el límite de fluencia del material y el coeficiente de seguridad del material.

En consecuencia, reemplazando los valores de (7.5) en (7.7) se puede obtener la siguiente

expresión:

s

y2

3

2

23 n

S

d

T16

4

3

d

P2

d

M162

(7.8)

Nótese que en (7.8) no se puede obtener el diámetro como forma explícita en función de las

solicitaciones actuantes. Sin embargo en el caso de poder desechar el esfuerzo axial, se puede

obtener la conocida expresión:

322

y

s TMS

n32d

¾

. (7.9)

que si tiene explicitado el diámetro en función de las solicitaciones actuantes.

En definitiva, dentro de la posibilidad de explicitar el diámetro como en (7.9) se puede

obtener una expresión para dimensionar el eje. Pero por lo general se tendrá que recurrir a

expresiones como la (7.8) para verificar el estado tensional, dado que en más frecuente tener

un prediseño geométrico del eje con la localización de todos los concentradores de tensiones.

Teoría de la máxima tensión de corte (Criterio de Coulomb-Tresca)

En este caso la falla se presentará si se cumple que:

s

y

21n

S (7.10)

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Luego reemplazando (7.5) en (7.10) se obtiene

s

y2

3

2

23 n

S

d

T16

d

P2

d

M162

(7.11)

La cual no tiene explicitado el diámetro en función de los esfuerzos. Ahora como en el caso

anterior, en ausencia de cargas axiales (o sea P=0) se puede explicitar el diámetro obteniendo:

322

y

s TMS

n32d

. (7.12)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ejemplo:

Un eje es sometido a una solicitación flexional y una solicitación torsional tal que en el punto

más solicitado se tiene T = 3.5 Nm y M = 50 Nm. Se sabe que el límite de fluencia es de 450

MPa. Se desea comparar la diferencia en el dimensionado del diámetro empleando los

criterios de Von-Mises-Hencky y de Coulomb-Tresca. Suponga que el coeficiente de

seguridad es uno.

Entonces, reemplazando los valores en la (7.9) y en la (7.12) se tiene

mTMS

nd

y

s 03843.0¾.

323

22

1

mTMS

nd

y

s 03845.0.

323

22

2

%041.0[%]2err

Nótese que no hay prácticamente diferencia entre los dos métodos. Sin embargo esto se debe

a que el torque es de un orden de magnitud menor al momento flector. Si se repite el cálculo,

pero modificando el torque a T = 50 Nm se observa:

mTMS

nd

y

s 0463.0¾.

323

22

1

mTMS

nd

y

s 0484.0.

323

22

2

%354.4[%]2err

Aun así la diferencia porcentual está por debajo del 5%. Lo que a veces suele ser aceptable

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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5. Diseño para solicitación Dinámica

Teoría de diseño a la fatiga para materiales dúctiles

En la Figura 7.3 se muestra un elemento diferencial sobre la superficie cilíndrica de un eje. En

tal elemento diferencial se pueden apreciar las componentes media (con subíndice m) y

alternante (con subíndice a) de las tensiones normales y las tensiones cortantes. Además en la

Figura 7.3.b se puede apreciar la distribución de tensiones actuantes en un plano inclinado un

ángulo . Obsérvese que los estados de tensiones son magnificados por coeficientes de

concentraciones de tensiones dinámicos KF para tensiones normales y KFS para tensiones

tangenciales. De todas las posibles combinaciones de solicitación cíclica, la situación más

conflictiva se da cuando las cargas alternantes debidas a los momentos flectores y a los

momentos torsores se encuentran en fase (es decir cuando las tensiones alternantes normal y

tangencial se encuentran en fase).

(a) (b)

Figura 7.3. Elemento diferencial de superficie cilíndrica en un eje.

Para deducir una expresión de cálculo a la fatiga en ejes, se pueden contabilizar diferentes

situaciones. La manera más simple es analizando el estado tensional tangencial sobre el plano

oblicuo A, que se ve en la Figura 7.3, esto significa emplear una variante del criterio de

Máxima Tensión de Corte.

Efectuando una sumatoria sobre la tangente del plano inclinado en , se obtiene:

0

dASenCosK

dASenSenKdACosCosKdA

aFm

aFSmaFSm

(7.13)

simplificando y recurriendo a las definiciones de ángulos dobles se obtiene

2

22

SenKCosK aFmaFSm (7.14)

con lo cual se puede separar en componentes alternantes y componentes medias de la tensión

de corte

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2

22

2

22

SenKCosK

SenCos aFaFSmmam (7.15)

En la Figura 7.4 se muestra el criterio de fatiga de Soderberg para un estado tensional

cortante, del cual se puede extractar la siguiente relación:

OD

CD

OA

CB

CB

CD

OA

OD

2S2Sn

1

y

m

e

a

s //

(7.16)

Luego reemplazando (7.15) en (7.16) se obtiene la siguiente forma

2SenA2CosA2n

121

s

con e

aFS

y

m

SK

SA

1 ,

e

aF

y

m

SK

SA

2 (7.17)

Figura 7.4. Diagrama de Fatiga de Soderberg para estado tensional cortante.

La condición de máxima seguridad, se tendrá cuando la expresión recuadrada de (7.17) sea

mínima, es decir:

02CosA22SenA4

n

1

d

d21

s

1

2

A2

A2Tan

2Cos

2Sen

(7.18)

de la cual se puede obtener:

2

1

2

2

2

A4A

A2Sen

,

2

1

2

2

1

A4A

A2Cos

(7.19)

Reemplazando (7.19) en (7.17) y operando se puede lograr la siguiente expresión de tensión:

22

4

a

e

FSy

ma

e

Fy

m

s

y

S

KS

S

KS

n

S (7.20)

Dado que en un estado plano de tensiones la tensión de corte máxima viene dada por

2

2

2

max (7.21)

o bien aplicando la condición del criterio de máxima tensión cortante:

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max

/

2Sn

y

s

22

s

y4

n

S (7.22)

De manera que comparando (7.20) y (7.22) se puede obtener las siguientes expresiones:

a

e

Fy

mS

KS , a

e

FSy

mS

KS (7.23)

Teniendo en cuenta que de (7.23) se puede escribir:

33

3232

d

M

S

KS

d

M a

e

Fym

,

33

1616

d

T

S

KS

d

T a

e

FSym

(7.24)

Donde Mm y Ma son momentos flectores medio y alternante, mientras que Tm y Ta son

momentos torsores medio y alternante. Luego, reemplazando (7.24) en (7.20) se puede

obtener:

22

3

32

a

e

FSy

ma

e

Fy

m

s

yT

S

KSTM

S

KSM

dn

S

Expresión de Fatiga por criterio de

máxima tensión de corte (7.25)

de la (7.25) se puede despejar el diámetro o el coeficiente de seguridad o el valor de la tensión

de fluencia según sea el tipo de cálculo que se encare.

Por otro lado se puede demostrar que para la teoría de máxima energía de deformación se

obtiene la siguiente expresión (ver referencia [2])

22

3 4

332

a

e

FSy

ma

e

Fy

m

s

yT

S

KSTM

S

KSM

dn

S

Expresión de Fatiga por criterio

de máxima energía de

deformación

(7.26)

NOTA: En determinadas circunstancias y aplicaciones es común que alguno de los esfuerzos

Mm, Ma, Tm y Ta sea nulo. Por ejemplo en el caso de flexión es más preponderante Ma que Mm

y en torsión ocurre lo contrario. Sin embargo esto depende estrictamente de las aplicaciones.

NOTA: Obsérvese que en las expresiones (7.17) a (7.25), el factor KF/Se o KFS/Se (según

convenga) se puede reemplazar por la expresión (2.193b) con los coeficientes de

concentración de tensiones que correspondan.

Teoría de diseño a la fatiga para materiales frágiles

Aunque generalmente los ejes son fabricados con materiales dúctiles, en algunas aplicaciones

los ejes se hacen de fundición, es decir un material frágil. En consecuencia para plantear un

método de análisis, se emplea la suma de componentes normales al plano de la sección A en

la Figura 7.3.b. es decir

0dASenSenK

dACosSenKdASenCosKdA

amc

amcsamcs

(7.27)

donde Kc y Kcs son factores de concentración de tensiones. Téngase presente que hay una

diferencia entre la concentración de tensiones para materiales frágiles que para materiales

dúctiles. Esta es la razón por la cual los coeficientes se aplican en ambas componentes de

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tensión para los materiales frágiles y solo en la componente alternante en el caso de materiales

dúctiles. En la Figura 7.5 se muestra el criterio de Goodman para tensiones normales.

Figura 7.5. Diagrama de Fatiga de Goodman para estado de tensiones normales.

Siguiendo el mismo procedimiento que en el apartado anterior (el trabajo algebraico se deja al

alumno) se obtiene la siguiente expresión genérica en términos de la tensión:

2

a

e

u

m

2

CS

2

a

e

u

m

2

Ca

e

u

mC

s

u

S

SK4

S

SK

S

SK

n

S2

(7.28)

Luego teniendo en cuenta las expresiones de los momentos flectores y torsores (7.24) se tiene:

2

a

e

u

m

2

CS

2

a

e

u

m

2

Ca

e

u

mC3

s

u TS

STKM

S

SMKM

S

SMK

d

16

n

S

Expresión de

Fatiga por

criterio de

máxima

tensión normal

(7.29)

de la (7.29) se puede despejar el diámetro o el coeficiente de seguridad o el valor de la tensión

de fluencia según sea el tipo de cálculo que se encare.

6. Diseño de accesorios de sujeción

Los accesorios de sujeción más comunes son las denominadas chavetas. Las mismas pueden

tener una gran variedad de formas y diseños según el tipo de aplicación. En la Figura 7.6 se

pueden ver diferentes tipos de chavetas y ranurados para chavetas para ser empleadas como

elementos de conexión de los ejes con las poleas, engranajes, y algunos tipos de

acoplamientos, entre otros dispositivos. Las chavetas y otros elementos de sujeción de

dispositivos a los ejes normalmente se calculan a dos tipos de solicitación diferentes

1) por corte

2) por aplastamiento

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Figura 7.6. Diferentes Tipos de Chavetas.

En la Figura 7.7 se muestra un tipo de chaveta paralelepípeda normalizada. El cálculo de falla

debido al corte de la chaveta se obtiene de:

Lwd

T2

A

P

2d

TP diseño

../ (7.30)

Siendo P la fuerza de corte, T el momento torsor, d el diámetro del eje, w y L el ancho y

longitud de la chaveta. Para la falla por aplastamiento se tiene

hLd

T4

2hLd

T2

Ad

T2

A

P

cc

diseño../...

(7.31)

recordar que para (7.30) y (7.31) se deberán cumplir condiciones de seguridad apropiadas, las

cuales se dan por las siguientes expresiones:

s

y

s

sy

diseñon

S400

n

S . ,

s

y

diseñon

S900. (7.32)

Figura 7.7. Chavetas rectangulares o paralelepípedas

Otros accesorios de retención son los anillos de ajuste o de retención como las que se pueden

ver en la Figura 7.8. Para seleccionar este tipo de accesorio es siempre necesario recurrir a los

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catálogos de los fabricantes. En la Figura 7.9 se muestran otros accesorios de sujeción

elasticos, son denominados resortes de ajuste.

(a) (b)

Figura 7.8. Diferentes Tipos de anillos de sujeción.

(a) (b)

Figura 7.9. Diferentes Tipos de resortes de sujeción. (ver referencia [5])

7. Diseño y cálculo de Volantes

Cuando se presentan en mecanismos, grandes variaciones de aceleración, se transmiten pares

torsores con mucha fluctuación. Para suavizar este comportamiento de cambios bruscos de

velocidad y para estabilizar el flujo de ida y vuelta de energía del equipo de rotación, se

coloca un volante sobre el eje. Las funciones del volante son:

Reducir la amplitud de fluctuación de la velocidad

Reducir la amplitud del par torsor fluctuante

Almacenar y liberar energía cuando sea necesario.

En la Figura 7.10 se tiene un ejemplo de montaje de volante sobre un eje. La energía cinética

que posee tal volante es:

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2

me I2

1K (7.33)

Siendo Im la inercia de la masa del volante y w la velocidad de rotación con dimensiones del

sistema internacional. Por otro lado en el volante de la Figura 7.10 se puede establecer la

siguiente ley de equilibrio dinámico

dt

dITT mml

(7.34)

siendo Tl el par de la carga y Tm el par del motor de accionamiento.

Figura 7.10. Esquema de un volante montado en un eje.

Ahora bien dado que

d

d

dt

d

d

d

dt

d . (7.35)

y teniendo en cuenta que en el par del motor Tm = Tprom, luego se puede escribir

d

dITT mproml (7.36)

Integrando queda

22m

proml2

IdTT minmax

max

min

(7.37)

Para la selección del tamaño del volante es necesario establecer o conocer un parámetro que

pondere la variabilidad de la velocidad de rotación. Este parámetro de variación se llama

Coeficiente de Fluctuación y viene dado por la relación entre la velocidad de fluctuación y la

velocidad promedio:

minmax

minmaxminmax

2C

promprom

f

F (7.38)

Así pues la energía cinética (7.33) se puede expresar en función del coeficiente de fluctuación

como:

F

2

promm

m

e CI2

IK minmaxminmax (7.39)

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De donde se puede despejar la inercia en función del resto de términos, es decir

F

2

prom

e

mC

KI

(7.40)

El momento de inercia se puede obtener conociendo el coeficiente de fluctuación, el cual es

dato para muchos tipos diferentes de aplicaciones. En el Caso de Estudio 12 se puede ver el

análisis de diferentes tipos de solicitaciones para diseñar un Volante. El diseño más eficiente

se obtiene maximizando la inercia del volante.

El procedimiento para dimensionar volantes es el siguiente:

1. graficar el par de torsion de carga Tl en función del ángulo

2. se determina el par torsor promedio a lo largo del ciclo

3. se encuentran localizaciones para max y min

4. Determinar la energía cinética por integración de la curva del par de torsión

5. Establecer el valor de prom

6. Determinar la inercia Im con la ecuación (7.33)

7. Obtener las dimensiones del volante.

En la Tabla 7.1 se pueden apreciar algunos valores de coeficientes de amortiguamiento para

diferentes aplicaciones de volantes. Estos valores son orientativos y deben considerarse como

cotas máximas en caso de no tener información suficiente como para iniciar los cálculos.

En los volantes se deben tener en cuenta en más de una oportunidad los estados tensionales.

Como hipótesis de análisis se supone que un volante es un cilindro de espesor uniforme con

un orificio central y que es sometido a dos tipos de esfuerzos. Uno debido a efectos

centrífugos y otro debido a efectos de presión de ajuste (según se vio en el Capítulo 2). Así

pues, el estado de tensiones circunferencial y radial viene dado por:

rprr

p

(7.41)

donde los subíndices y r identifican las componente circunferencial y radial y los subíndices

y p identifican las componentes debidas a efectos centrífugos y de presión.

Teniendo en cuenta las expresiones (2.128) y (2.129) aplicadas a la configuración de un

volante como el mencionado más arriba, se puede escribir las siguientes expresiones del

estado tensional para el volante:

p

2

2

o

2

i

2

o

2

ii2

2

2

o

2

i2

o

2

i

2

r

r1

rr

rpr

3

31

r

rrrr

8

3

(7.42)

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rp

2

2

o

2

i

2

o

2

ii

r

2

2

2

o

2

i2

o

2

i

2

rr

r1

rr

rpr

r

rrrr

8

3

(7.43)

Téngase presente que tanto como r son tensiones principales, en consecuencia para la

obtención de una norma de valoración de seguridad para materiales Frágiles, donde se predice

falla si se cumple:

s

u

n

S (7.44)

Mientras que para materiales dúctiles se empleará una forma similar al criterio de máxima

energía de deformación, en la cual se predice falla si:

s

y

r

2

r

2

n

S (7.45)

Tipo de Aplicación Coeficiente de

fluctuación CF

Máquinas de Trituración 0.200

Máquinas Eléctricas 0.003

Máquinas eléctricas accionadas directamente 0.002

Motores con transmisión por correas 0.030

Máquinas de molienda de granos 0.020

Transmisión por engranajes 0.020

Máquinas para estampado o martillado 0.200

Máquinas herramientas 0.030

Máquinas para fabricación de papel 0.025

Máquinas para bombeo 0.030 a 0.050

Maquinas para cortar 0.030 a 0.050

Máquinas giratorias 0.010 a 0.020

Máquinas para la industria textil 0.025

Tabla 7.1. Coeficientes de Fluctuación para diversas aplicaciones

Los volantes suelen fabricarse con diferentes tipos de materiales, que van desde los materiales

metálicos (acero, fundición, plomo, etc) hasta los materiales cerámicos. Para poder clasificar

su utilidad se suele definir una propiedad denominada “índice de rendimiento” el cual se

obtiene relacionando la máxima tensión del material con respecto a la densidad del mismo.

Esto es, mediante la siguiente ecuación:

maxRI (7.46)

En la Tabla 7.2 se muestran algunos valores de los Índices de rendimiento para diferentes

materiales. Nótese que algunos son poco útiles como materiales para construir volantes (p.e.

el plomo).

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Material Índice de

Rendimiento

Comentario

Cerámicas 200-500 Frágiles. Poco útiles (rompen a

tracción)

Berilio 300 muy caro y también es tóxico

Acero de alta resistencia 100-200 Buenas propiedades y

rendimiento parejo en cada uno. Aleaciones de aluminio 100-200

Aleaciones de titanio 100-200

Aleaciones de plomo 3

Barato y fácil de emplear cuando

el rendimiento está limitado por

velocidad y no por la resistencia.

Plástico reforzado con fibra

carbono 100-400 muy buen material

Tabla 7.2. Comparación de Materiales para volantes

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ejemplo de cálculo de un volante:

Se desea calcular el volante para una prensa de 100 toneladas que siga un patrón de carga

torsional como el que se muestra en la Figura (a). El bastidor de la prensa se construye en

fundición de hierro. La prensa debe realizar 50 ciclos por minuto utilizando hasta el 18% de

toda su energía en cada carrera, esto se hace para evitar el atascamiento (lo que implicaría una

falla catastrófica de la máquina). El motor transfiere potencia a una rueda dentada de pequeño

diámetro y de bw=65 mm de ancho de faja. Se desea obtener las dimensiones del volante y

establecer un coeficiente de fluctuación que sea razonable. Se pretende que el volante no sea

muy voluminoso y que tenga una forma similar a la que se muestra en la Figura (b)

(a) (b)

Figura. (a) Patrón de carga torsional, (b) Forma seccional del volante

Solución:

Se pretende construir el volante con algún material dentro de los industrialmente disponibles.

La opción de fundición de hierro sería una bastante acertada en tanto que el material del

bastidor es también de fundición, con lo cual la densidad es 7850 kg/m3.

La velocidad promedio debe ser:

segradrpmprom

/24.550

por otro lado la energía cinética del volante se obtiene de

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2

promme I2

1K

Sin embargo por condicionamiento contra el atascamiento se tiene que cumplir que en una

carrera se gaste hasta el 15% de la energía total del volante. Con lo cual se puede obtener la

siguiente expresión de balance energético:

maxmin egastoe KKK 2

max

2

max

2

min2

1

2

118.0

2

1

mmmIII maxmin

82.0

Ahora bien, como la velocidad promedio es

segradprom

/24.52

minmax

Con las dos expresiones anteriores en las incógnitas min y max se obtiene:

segrad

segrad

/50.5

/98.4

max

min

Luego se puede calcular el coeficiente de fluctuación como:

099.02minmax

minmax

f

C

Ahora bien, siendo que el volante tiene las características indicadas en el Figura (b), y

considerando solo la inercia del anillo externo (despreciando la inercia del disco interno), se

puede obtener el momento de inercia según la siguiente expresión:

w o

i

b d

dVm drrdzdmrI

0

2

0

2/

2/

32

44

032

iw

m ddb

I

Teniendo en cuenta que la energía cinética se puede equilibrar con la capacidad de

transferencia de energía según la Figura (a), se puede escribir:

2

0

2 dTCIKfpromme

Ahora bien, de la Figura (a) se puede determinar una función para T(), cuya expresión será:

2,2/,0,0

,2/,12

maxT

T

En consecuencia, integrando T(), se tiene:

max

2/

max

2

0

2

41

2TdTdTCIK

fpromme

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Ahora bien, de la última expresión se conoce el coeficiente de fluctuación, la velocidad

promedio y el momento torsor máximo, en consecuencia se puede despejar la inercia del

volante y luego calcular los diámetros del volante, sin embargo esta tarea tiene cierta aparente

dificultad matemática por la indeterminación de la solución. Esto se puede sobrellevar

suponiendo una serie de valores de prueba para el diámetro interno y luego se calcula el

diámetro externo. Así pues en la Tabla 1 se muestra una variación entre los diámetros

involucrados. Debe calcular el diámetro externo en función de diámetros internos

establecidos.

Caso di [m] do [m]

1 0.0

2 0.3

3 0.6

4 0.9

5 1.2

6 1.5

7 1.8

8 2.1

Tabla (a). Relaciones de diámetros para el volante

Obviamente, las opciones adoptadas no son las únicas que se pueden tomar en cuenta. Sin

embargo esto dependerá de las alternativas de fabricación del volante que se tengan a

disposición. Se deja a los alumnos la tarea de completar la tabla de arriba con el diámetro

externo y extraer las conclusiones correspondientes.

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8. Bibliografía

[1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002.

[2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000

[3] R.L. Norton, “Diseño de maquinaria”, McGraw Hill 2000.

[4] X. Oliver Olivella y C. Agelet de Saracibar Bosch. “Mecánica de medios continuo para

ingenieros”. Ediciones UPC, Ed. Alfaomega. (2002).

[5] http://www.smalley.com

9. Problemas resueltos y para completar

Problema 1. Cálculo de un eje a fatiga (Planteado y Resuelto en clase: Hamrock 11.8)

Los engranajes 3 y 4 actúan sobre el eje que se muestra en la Figura. La fuerza resultante del

engranaje 3 es de 600 lbf y actúa en un ángulo de 20° desde el eje y. El límite de fluencia del

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eje construido en acero estirado en frío es de 71000 psi y la tensión de rotura es de 85000 psi.

El eje es sólido y tiene un diámetro constante. Se supone un factor de seguridad de 2.6.

Emplear la teoría de la energía de distorsión. Para el cálculo del eje a la fatiga, suponer una

flexión completamente invertida con una amplitud igual a la que se empleó para las

condiciones estáticas. El par torsor alternante es nulo y suponga válida la relación de

Goodman. Se debe determinar un diámetro seguro para solicitación estática y dinámica.

Nota: en este problema se debe calcular primeramente la carga PC. Esto se logra equilibrando

los pares torsores en cada engranaje, es decir

Y el momento torsor entre ambos engranaje vale

Determinación de las reacciones en los cojinetes:

Los momentos flectores y esfuerzos de corte en los planos z e y vienen dados por las

siguientes gráficas

El momento flector total en A es 12.1 kips-pul y en B es 14.4 kips-pul. En tanto que el

momento torsor entre puntos involucrados es T=6.76 kips-pul.

Determinación del diámetro para carga estática

El material tiene las siguientes propiedades: Sy = 71000 psi y Su = 85000 psi.

Luego el diámetro se calcula de la siguiente manera

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Determinación del diámetro para carga dinámica

Para el análisis por fatiga se tendrán presentes las hipótesis:

Malternante = 14400 lib-pul

Mmedio = 0

Talternante = 0

Tmedio = 6760 lib-pul.

Podemos tomar un límite de resistencia a la fatiga de psiSS ue 425005.0 , y el límite de

resistencia a la fatiga modificado se calcula empleando la expresión

esfe SkkS

Donde kf = 0.832 es el factor de terminación superficial se obtiene (de la expresión 7.21

Hamrock) de la siguiente forma kf = 2.70 85-0.265

. ks = 0.804, es el factor de tamaño se obtiene

(de la expresión 7.22 Hamrock) de la siguiente forma ks = 0.869 d-0.112

, donde “d “ es un

diámetro de prueba, en este caso tomamos d = 2 pul (un poco más que el valor para

solicitación estática). Luego Se = 28429 psi.

Dado que no existen entallas en el eje, el coeficiente de concentración de tensiones dinámico:

Kf = 1. En consecuencia, el diámetro para solicitación por fatiga valdrá:

Dado que se ha obtenido un diámetro distinto al supuesto para calcular ks, se debe recalcular

ks y d y verificar. Luego se adopta el diámetro comercial o estándar inmediatamente mayor.

Esto último se deja librado al alumno.

10. Problemas propuestos

Problema 1.

Determine el diámetro del eje y que tipo de material a usar para garantizar la transmisión del

sistema correa-poleas de la figura, con un coeficiente de seguridad de 5. La polea transmisora

de movimiento tiene un diámetro de 300 mm y la otra polea que recibe el movimiento tiene

un diámetro de 500 mm. Las ramas tensa y floja de cada polea son paralelas al eje z.

Problema 2.

Se tiene un eje simplemente apoyado con una carga en el centro de la viga tal que genera un

momento flector y un momento torsor. La longitud de la viga es la unidad y el diámetro del

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eje es 10 veces menor que la longitud. En este contexto programe un descriptor de FlexPDE

para calcular los desplazamientos flexionales y las rotaciones torsionales en el centro de la

viga. Emplee las fórmulas analíticas conocidas para cotejar los resultados.

Problema 3.

Un volante con espesor de 20 mm construido con aleación de aluminio 2014, gira a 9000

RPM en el motor de un auto de competición. Hallar el factor de seguridad si la aleación de

aluminio se esfuerza a un cuarto de su límite de fluencia a 9000 RPM. Para disminuir el

diámetro exterior se emplean materiales especiales de alta densidad. Hallar el mejor material

(según datos de Tabla de densidades de materiales del Apéndice 4 y del presente capítulo) que

permita sustituir la aleación de aluminio 2014 pero manteniendo el mismo factor de

seguridad. El volante está maquinado de una pieza sólida de una aleación de aluminio 2014

sin orificio central y el espesor no puede ser mayor a 20 mm.

Problema 4.

Un motor de combustión interna mono cilíndrico, para un bote pesquero tiene un volante que

le proporciona al motor un coeficiente de fluctuación de 25% cuando está en marcha en vacío

a 180 RPM. El momento de inercia de la masa del volante es de 1.9 kg m². Determinar el

coeficiente de fluctuación a 500 RPM, si en la carrera de compresión consume la misma

cantidad de energía que en todas las velocidades. Calcular también el momento de inercia de

la masa que se necesita para obtener un coeficiente de fluctuación de 20% a 500 RPM.

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