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Versión 2014

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

CCAAPPIITTUULLOO 33

TTEENNSSIIOONNEESS YY DDEEFFOORRMMAACCIIOONNEESS.. RREEVVIISSIIÓÓNN DDEE

PPRRIINNCCIIPPIIOOSS FFÍÍSSIICCOOSS

División 5

Teorías de Falla Dinámica

Análisis de Falla por Fatiga

1. Introducción

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En División 4 del Capítulo 3 se ha visto el problema de la falla por solicitaciones

estrictamente estáticas o bien por simplificaciones que hagan de la solicitación supuesta cuasi-

estática. En esta división se desarrollarán métodos para el análisis de las solicitaciones que

varían con el tiempo. Cuando piezas o bien partes de una máquina falla estáticamente, es muy

frecuente que las mismas presenten grandes deflexiones pues fue sobrepasado el límite de

elasticidad, y la pieza se reemplaza antes de que se produzca la rotura. Así pues la falla

estática tiene la ventaja de señalar o “avisar” de su presencia. Ahora bien, las fallas dinámicas

o por fatiga son del tipo de fallas que no proporcionan evidencia. Son repentinas y fatales en

muchos casos. El diseño y cálculo contra la falla estática son tareas relativamente sencillas

debido a que el conocimiento del fenómeno de falla estática es bastante completo desde el

punto de vista experimental y su modelación matemática. Sin embargo el diseño de piezas

contra la falla dinámica o bien contra la fatiga es algo de mayor complejidad y actualmente

solo es comprendido en formal parcial y los métodos de cálculo que pueden emplearse se

deben entender en términos estadísticos. Una visión muy conservadora consiste en no emplear

métodos de cálculo por fatiga y multiplicar por 3 o por 4 los coeficientes de seguridad

comúnmente empleados, pero está práctica conduce a diseños poco competitivos; lo cual

conduce a potenciales fracasos en el mercado profesional.

2. Tipos de Cargas dinámicas y sus características

En las piezas de máquinas se pueden hallar diferentes tipos de solicitaciones, las cuales se

pueden distinguir en dos tipos característicos: ESTÁTICAS y DINÁMICAS según que no

varíen o que varíen con el tiempo. También se las suele llamar con otros apelativos. Así pues

las cargas estáticas suelen denominarse “ESTACIONARIAS” o “MONOTONICAS” y a las

cargas dinámicas se las suele denominar “CICLICAS” o “NO ESTACIONARIAS” o

“TRANSITORIAS”. En la Figura 3.79 se pueden apreciar las dos clases de fuerzas.

(a) (b)

Figura 3.79. (a) Fuerzas Estacionarias (b) Fuerzas Transitorias

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En el caso de la Figura 3.79.a se dice que el tipo de análisis implica “Diseño y Cálculo por

Resistencia” y en el caso de la Figura 3.79.b se dice que el tipo de análisis implica “Diseño y

Cálculo para la duración”.

De la Figura 3.79.b se pueden desprender varias configuraciones de solicitación dinámica, sin

embargo dentro de ellas existe una muy característica y que por su sencillez descriptiva (en el

sentido matemático) será la que se utilice en los modelos de análisis de falla por fatiga. En la

Figura 3.80 se puede apreciar la denominada carga cíclica o periódica, que conduce a las

tensiones cíclicas o periódicas. El tipo de fuerzas y/o tensiones cíclicas puede tener diferentes

casos, tales como axiales (tractivas o compresivas), flexional o torsionales.

Figura 3.80. Forma de la Carga Cíclica o periódica

Es claro que la forma más elemental de representación de este tipo de solicitación y/o tensión

puede seguir una ley sinusoidal (3.177), amén de otras que puedan ser fácilmente

representables en términos matemáticos. En la (3.177), A, C y B son constantes que dependen

de la condición y característica de la carga.

BtCSenAt .. (3.177)

Sea la (3.177) u otra mucho más compleja, la expresión genérica para calcular las tensiones

cíclicas, siempre se podrán distinguir las siguientes tensiones notables:

a) Tensión Máxima: max

b) Tensión Mínima: mín

En función de las anteriores dos se pueden definir las siguientes tensiones o entidades

c) Tensión Media: que se obtiene de la siguiente relación

2

máx

m

min

(3.178)

d) Amplitud de Tensión: se obtiene de la siguiente manera

2

máx

a

min

(3.179)

e) Rango de Tensión: es la diferencia entre las tensiones máxima y mínima

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min máxr (3.180)

f) Relación de tensiones: es la razón entre la tensión mínima a la máxima.

máx

SR

min (3.181)

g) Relación de amplitud: es la razón entre la amplitud de tensión y la tensión media

S

S

máx

máx

m

a

aR1

R1A

min

min

(3.182)

De acuerdo a los valores relativos que tengan las expresiones (3.178) a (3.182) se pueden

presentar cuatro casos característicos:

1) Completamente alternante o Invertida. Se verifica cuando se cumple que m=0, RS=

-1 y Aa=. Tal como se puede ver en la Figura 3.81.a.

2) Caso General o de tensión media no nula: Todas las expresiones (3.178) a (3.182)

tienen un valor no nulo. Esto se puede apreciar en la Figura 3.81.b

3) Pulsante tractiva: Se verifica cuando se cumple que min=0, m=max /2, RS= 0 y

Aa=. Tal como se puede ver en la Figura 3.81.c.

4) Pulsante compresiva: Se verifica cuando se cumple que max=0, m=min /2, RS= y

Aa=-. Tal como se puede ver en la Figura 3.81.d.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 3.81. Tipos de configuraciones de solicitación cíclica.

3. El Fenómeno de Fatiga

El mecanismo de Fatiga es uno de los más complejos fenómenos en el estudio de falla en

piezas sometidas a la acción de cargas dinámicas. Este fenómeno puede aparecer súbitamente

y sin aviso previo. Este fenómeno está asociado principalmente a la presencia de patrones de

carga dinámicos de tipo cíclico como los vistos en el apartado anterior. El fenómeno de rotura

súbita ya era conocido desde los albores de la era industrial asociado a la rotura o falla

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catastrófica de puentes (Ver Figura 3.82.a, tomado de Hamrock[2]) con el advenimiento del

ferrocarril se inicio en distintos países del mundo el estudio científico de dicho fenómeno,

para dar la explicación racional a la superstición que la Muerte hollaba en los puentes. Otro

Ejemplo puede verse en la Figura 3.82.b donde la cubierta superior de primera clase de un

avión comercial Boeing 737-200 se separó en el aire y cuya causa fue la fatiga del material

asociada con micro-corrosión.

(a) (b)

Figura 3.82. (a) Alegoría supersticiosa del siglo XIX (b) falla actual en un avión comercial (1988) (Hamrock[2])

Desde mediados del siglo XIX se sabe que en aquellas piezas sometidas a cargas variables,

con un numero grande de aplicaciones se producía la rotura de la pieza prácticamente sin

deformaciones; a este fenómeno se lo llamo “fatiga”, por semejanza al cansancio humano.

Los distintos estudios efectuados, condujeron a distintas teorías, que tomadas en su conjunto

pueden dejar las siguientes conclusiones:

a) Los aceros de construcción de maquinas y en general los metales, no poseen

homogeneidad en su estructura, ni continuidad de resistencia (aun a pesar de la

hipótesis del continuo de la elasticidad clásica) en los metales que poseen cristales de

una sola fase, que variar de tamaño y orientación, hacen que la resistencia promedio

sea sólo valida para solicitaciones estáticas, debido a que estas solicitaciones permiten

un re-acomodamiento adaptativo de los cristales a medida que aumenta la carga.

b) A su vez las cargas variables tienen su aplicación prácticamente instantánea, lo cual no

deja mucho margen temporal para el reacomodamiento elástico, siendo este el motivo

de la separación de los cristales en aquellos lugares donde hay menor cohesión inter-

cristalina, generando el inicio de una microfisura, la que por el efecto de concentración

de tensiones producida por la microentalla, crea en esa zona un incremento de

tensiones que va aumentando rápidamente la fisura hasta que la sección resistente no

puede soportar la carga, produciéndose en ese instante la rotura súbita de la pieza.

c) Las microfisuras o grietas iniciales de fatiga comienzan sobre la superficie de las

piezas en varios puntos simultáneamente y se propagan a los sustratos inferiores. Estas

grietas que son normalmente muy pequeñas y difíciles de observar, pero que se

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propagan en conjunto ante la presencia de un defecto dominante, pueden llevar

rápidamente a la catástrofe.

En consecuencia la vida o duración de una pieza se puede maximizar si se tienen en cuenta las

siguientes pautas:

1) Minimizando defectos superficiales: con esto se tiene un gran cuidado de no

generar superficies demasiado rugosas y en consecuencia susceptibles a los

fenómenos de fatiga, y en consecuencia las superficies son cuidadosamente

protegidas.

2) Maximizando el tiempo de iniciación: se ha observado que las tensiones

residuales superficiales se reducen por medio de procesos de acabado de

manufactura como el granallado o el bruñido.

3) Maximizando el tiempo de propagación: también son importantes las

propiedades del sustrato superficial, dado que las grietas se propagan más

rápido por las fronteras reticulares que a través de los granos. De esta manera

empleando materiales que no presenten granos alargados en la dirección de

propagación de la grieta permite maximizar el tiempo de propagación.

4) Maximizando la longitud crítica de la grieta. Existe una condición para la

cual la grieta puede mantenerse estable. Esto se verá en la División 6 del

presente capítulo.

Las roturas por fatiga tienen dos zonas características. En la Figura 3.83 se muestran las

diferentes zonas de la sección fallada. La (1) es la zona de rotura por fatiga neta, donde puede

apreciarse un granulado liso y fino, casi aterciopelado al tacto. Por otro lado la (2) es la Zona

de rotura súbita, es aquella parte de la sección resistente original que por ser menor que la

sección necesaria a la carga nominal se rompe abruptamente, dejando una superficie de grano

grueso y deforme con un cierto brillo en los aceros.

(a) (b)

Figura 3.83. Zonas de Falla de fatiga (a) solicitación variable suave (b) solicitación variable intensa

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Sin embargo la sección (2) puede presentar dos sub-zonas, una característica y apariencia

superficial más bien gruesa en comparación con la zona (1), luego la zona de falla final

(normalmente pequeña) puede presentar un aspecto que da la idea de una fractura frágil o bien

presentar un aspecto de ligero deslizamiento fibroso que sugiere una rotura dúctil. Así pues en

la Figura 3.83 se muestran esquemáticamente dos aspectos típicos de la falla/rotura por fatiga

por flexión rotativa, en las Figuras 3.84 se muestran dos fotografías de fracturas reales

ocurridas en ejes de transmisión (ver referencias [5] y [4], respectivamente), con sus patrones

de rotura fibrosos remarcados. En la Figura 3.85 se puede apreciar el patrón de rotura de un

perno de una biela experimental (tomado de referencia [5]). En la Figura 3.85.a se muestra

una mitad de la pieza y en la Figura 3.85.b se muestran las zonas de rotura en la sección

(a) (b)

Figura 3.84. Roturas en ejes bajo flexión rotativa.

(a) (b)

Figura 3.85. Rotura de perno de biela (a) perfil del perno (b) sección del perno

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La Figura 3.85, muestra pues la zona de rápido deslizamiento, entendiendo que la falla

evoluciona en el sentido de la flecha, en tres secuencias, la primera con el típico aspecto grano

cristalográfico fino, la segunda con aspecto más grueso y la final con patrones de

deslizamiento.

En la Figura 3.86 se muestran algunos patrones de rotura por fatiga en piezas sometidas a la

acción de esfuerzos predominantemente torsionales.

Figura 3.86. Roturas por fatiga en ejes bajo efecto predominantemente torsional.

La teoría de fatiga a partir de la deformación unitaria

La fatiga como fenómeno, es un proceso donde se sucede daño acumulativo manifestado por

la propagación de grietas, sin embargo la propagación de grietas no es posible sin la presencia

de deformaciones plásticas en el extremo de la grieta. Téngase presente que aunque sea muy

pequeño el volumen donde se ejerce una tensión suficientemente alta para generar alguna

deformación plástica, si los campos de tensiones en el extremo de la fisura son de índole

elástica, la fisura no se propagará de una manera continua. En estas circunstancias, el empleo

de los límites de resistencia a la fluencia o el límite de resistencia a la rotura presentan

inconvenientes debido a que los valores cambian ciclo a ciclo de carga y son propiedades que

dependen de su manufactura, tratamientos térmicos, etc. Un ejemplo de esto se puede ver en

las Figuras 3.87.a y 2.87.b, para los ensayos estático y cíclico, en aceros H11 y SAE 4142,

respectivamente. Nótese que para las cargas cíclicas, un tipo de acero muestra la evolución de

la tensión con relación a la deformación censada entre los dos ensayos estáticos de

compresión y de tracción de progresión de carga monótona, en cambio para el otro acero tal

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variación se halla por debajo. Otros tipos de materiales metálicos y no metálicos presentan

variantes particulares a su propia naturaleza.

(a) (b)

Figura 3.87. Ensayos monótonos y cíclicos (a) Acero H11 660 Bhn (b) acero SAE 4142 de 400 Bhn

Considerando las dificultades para poder identificar un parámetro de resistencia ante la fatiga,

se han propuesto diferentes enfoques para analizar el comportamiento del material

(principalmente las relaciones de deformación y de tensión) en la zona de grietas. Una de las

formas de solución a este problema (fuertemente basado en aspectos experimentales) es la

relación de Manson-Coffin que establece que la deformación unitaria total en cada

semiperiodo, se puede hallar como la suma de las componentes elástica y plástica de la

deformación según la expresión (3.183). Los detalles deductivos de esta expresión no se darán

en el presente curso y pueden hallarse con mayor extensión en la Referencia [1] y en la

Referencia [6].

N2N2E222

f

afpe

(3.183)

donde e y p son las componentes elástica y plástica de la deformación, N es el número de

ciclos antes de la falla, f y f son la tensión de fractura en para un ciclo de carga y la

deformación total correspondiente a un ciclo de carga respectivamente. En tanto que a y son

exponentes de resistencia a fatiga y de ductilidad de fatiga respectivamente.

En la Figura 3.88 se puede apreciar el ciclo de histéresis con el cual se deduce la expresión

(3.183). Nótese en tal figura que se producen mayores deformaciones a niveles más bajos de

tensión. Por otro lado, son claramente comprensibles los aportes elástico y plástico según se

puede ver en la Figura 3.88.b. En la Figura 3.89 se muestra el perfil de evolución con el

número de ciclos de la expresión (3.183). En tal Figura se puede ver claramente la suma de

ambos efectos elástico y plástico. En la Figura 3.89 se muestran las dos líneas (logarítmicas)

de evolución de deformaciones elástica y plástica con la carga cíclica, nótese que ambas

coinciden en el punto Nf donde ocurre la falla. En virtud de lo que se puede apreciar en la

Figura 3.89, la expresión (3.183) deja como principal aporte, que la resistencia a la fatiga

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está fuertemente vinculada (y se demostró experimentalmente) a la resistencia a la

rotura (estática) de un material dado. Esto puede verse con un poco más de detalle en la

Figura 3.94 que muestra la relación entre la resistencia a la fatiga y la resistencia (estática) a

la rotura.

(a) (b)

Figura 3.88. Ensayos cíclicos (a) Ciclo de histéresis (b) descripción de deformaciones en un ciclo

Figura 3.89. Grafica de la relación de deformación a número de ciclos.

La Resistencia a la Fatiga

El fenómeno de fatiga es de trama eminentemente estocástica o probabilística, y como tal

debe ser entendido en su faceta de cálculo. En los problemas analizados en las Divisiones

anteriores de este capítulo se han puesto en juego frases como “la peor de las condiciones de

carga”. En términos de fatiga este escenario de peor condición está asociado a imponer el

cálculo en lugares donde no se maximice el tiempo de aparición de grietas. Aún así esta

operatoria debe ser tratada con muchísimo cuidado en casos o condiciones críticas.

Si bien el principio de análisis de la fatiga a partir de la deformación total, presentado en el

apartado anterior, es sustancialmente representativo, el mismo es exige controles

experimentales muy estrictos, lo cual redunda en un costo muy alto para la caracterización de

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un material determinado. Los ensayos experimentales más conocidos y fáciles de implementar

son los de flexión de viga rotatoria bajo cargas alternativas, dado que el fenómeno es más

propenso de ser observado en elementos de máquina rotantes. En la Figura 3.90 se puede

apreciar un espécimen estándar para los ensayos de fatiga por flexión, en tanto que en las

Figuras 3.91 y 2.92 se pueden apreciar dos tipos de máquina distintos para poner en marcha

un protocolo de ensayos de fatiga, junto con sus respectivos mecanismos de solicitación

flexional.

Figura 3.90. Probeta estándar para ensayos de Flexión (para la Máquina R.R. Moore)

Figura 3.91. Máquina de Ensayo.

Figura 3.92. Máquinas de Ensayo (Tomado de Gunt Machines [7]).

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La información experimental colectada se reproduce en diagramas denominados, Diagramas

S-N o Diagramas de Wöhler. En la Figura 3.93.a se puede apreciar la razón de tensión a la

fatiga, es decir la relación entre la tensión de resistencia a la fatiga y la resistencia a la rotura,

para un acero forjado. En la Figura 3.93.b muestra las tensiones de resistencia a la fatiga para

las aleaciones de aluminio. En la Figura 3.93.a se pueden ubicar tres zonas distintivas, que se

pueden identificar con los siguientes tres regímenes de fatiga

a) Régimen de Fatiga de Bajo Ciclaje

b) Régimen de Fatiga de Alto Ciclaje de vida finita

c) Régimen de Fatiga de Alto Ciclaje vida “Infinita”

(a) (b)

Figura 3.93. Resistencia a la fatiga (a) Aleaciones de acero (b) Aleaciones de aluminio

Figura 3.94. Relaciones de resistencia a la fatiga respecto a la resistencia estática a la rotura.

Según el diagrama S-N, la zona de Falla por fatiga de bajo ciclaje, se halla por debajo de los

1000 ciclos, la zona de falla por fatiga de alta ciclaje se halla por encima de los 1000 ciclos,

hasta 106 ciclos, luego de esta zona, se halla una zona intermedia de hasta los 10

7 ciclos y a

partir de allí la zona de vida “infinita”. En la Figura 3.95 se puede apreciar con mayor claridad

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la distinción entre las tres zonas o regímenes de fatiga mencionados; en este caso se trata de

un acero UNS G41300

Figura 3.95. Diagrama S-N para un acero UNS G41300

Resistencia a la Fatiga en la zona de bajo ciclaje

Esta zona se halla generalmente por debajo de los 1000 a 1500 ciclos de evolución de la carga

de solicitación. Este tipo de carga es común en una gran variedad de elementos o piezas de

máquinas, como por ejemplo: las cerraduras de las guanteras de los automóviles, pernos de

llantas de vehículos de carga pesada camiones, tractores, excavadoras.

Muchas veces para el rango bajo de fatiga, muchos diseñadores emplean solo consideraciones

estáticas, ignorando por completo la fatiga del material y empleando únicamente coeficientes

de seguridad y tensiones permisibles.

Para tener en cuenta los efectos de bajo ciclaje, se suele emplear la evidencia experimental

basada en la relación entre la resistencia a la fatiga y la resistencia a la rotura del material.

Para las aleaciones ferrosas (aceros al carbono, aceros aleados, hierros forjados, etc) se

pueden considerar las siguientes relaciones:

torsiónSS

axialSS

flexiónSS

Aceros

uL

uL

uL

72.0

75.0

90.0

(3.184)

Resistencia a la Fatiga en la zona de vida infinita

Esta zona comienza a partir de 106 o 10

9 ciclos dependiendo del tipo de material. Observando

la Figura 3.93.a se puede establecer la siguiente relación para los límites de fatiga, a

semejanza de lo hecho con el apartado anterior

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torsiónSS

axialSS

flexiónSS

Aceros

ue

ue

ue

29.0

45.0

50.0

(3.185)

Se debe tener en cuenta que tanto la ecuación (3.184) como la ecuación (3.185) son de

características estimativas y cuyos valores reflejan una media de los casos experimentales más

frecuentes. Solo se deben emplear cuando no se tenga información efectiva y validada con

ensayos apropiadamente calificados. En las referencias [1] a [4], [9] y [10] se pueden

encontrar otros valores para los límites LS y eS para aceros con diferentes composiciones

microestructurales (austenítica, martensítica, ferrítica, etc.) de aceros al carbono y aceros

aleados, así como también para materiales no ferrosos como el aluminio o el cobre.

Resistencia a la Fatiga en la zona de alto ciclaje de vida finita

En una gran proporción de las piezas de dispositivos o máquinas mecánicas, la vida útil que

pueden tener oscila entre 103 y 10

9 ciclos de carga. Los ejemplos más clásicos de esta

situación son las bisagras y las manijas de las puertas de los automóviles, las juntas

articuladas de los balancines de los vehículos, etc. Las expresiones que se desarrollan a

continuación suelen recibir el nombre de Ecuaciones de Basquin.

De acuerdo con las Figuras 3.93.a o 3.95 se puede ver que el valor de la resistencia a la fatiga

respecto del número de ciclos de carga, sigue una ley lineal (en forma de logarítmicos

decimales). Para hallar esta recta que define para un número específico de ciclos de carga, la

resistencia a la fatiga correspondiente, es necesario conocer los límites de fatiga

correspondientes a esta zona. En consecuencia se deben LS y eS , que son el límite de fatiga

para NL ciclos y el límite de fatiga para Ne ciclos. Así pues la relación lineal logarítmica para

la zona de vida finita de alto ciclaje se puede obtener por medio de:

STSf CNLogBSLog (3.186)

donde SB y SC son la pendiente de la recta y un punto de intersección con el eje de

ordenadas, respectivamente. Mientras que TN es el número de ciclos hasta una falla en un

determinado instante, para una determinada condición de carga o tensión de fatiga. Así pues

conociendo LS y eS , de (3.186) se tiene:

SLSL CNLogBSLog (3.187)

SeSe CNLogBSLog (3.188)

Restando la (3.188) de la (3.187) se puede obtener la pendiente como:

e

L

e

L

eL

eLS

N

NLog/

S

SLog

NLogNLog

SLogSLogB (3.189)

Luego reemplazando la ecuación (3.189) en (3.188) se obtiene la constante de intersección:

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ee

e

L

e

LS SLogNLog

N

NLog/

S

SLogC

(3.190)

Ahora bien, reemplazando los valores numéricos de LS y eS se pueden obtener valores

numéricos para la pendiente (3.189) y la constante de intersección (3.190), En consecuencia

de la expresión (3.186) se puede obtener el valor de la tensión de fatiga en la zona de vida

finita de alto ciclaje como:

eLT

B

T

C

f N,NNN10S SS (3.191)

o bien el número de ciclos necesarios para llevar a la rotura por fatiga bajo una tensión

establecida como:

Lef

BC

fTSSSSN

SS

, 10/1

(3.192)

NOTA: Dependiendo de los límites NL y Ne se pueden obtener diferentes expresiones

para las ecuaciones (3.191) y (3.192). Es práctica común adoptar NL=103 ciclos y Ne=10

6

ciclos. En el caso que no se tenga bien definida la zona de bajo ciclaje se suele emplear

NL=1 ciclo, es decir que la ecuación de Basquin se desarrolla a partir de la rotura

estática (téngase presente que Log[1] = 0, lo que simplifica mucho el álgebra).

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ejemplo:

Se tiene una pieza sometida a flexión rotativa completamente revertida. Se sabe que el límite de resistencia

estática es Sut = 500 MPa y se evaluarán las siguientes hipótesis:

a) Se sabe que el límite de fatiga se da a los 2.000.000 ciclos y el límite de bajo ciclaje se da a los 2000 ciclos.

b) el límite de fatiga es igual al anterior pero no se sabe nada del límite de bajo ciclaje.

Compare que sucede con la vida bajo una tensión de trabajo S1 = 0.65 Sut.

Entonces, Sut = 5 108 Pa, luego

810 5.25.0 ute

SS Pa que se verifica a 000.000.2e

N ciclos, para los

casos a) y b) indistintamente.

De acuerdo con el caso a) se tiene 810 5.49.0

utLSS Pa que se verifica a 000.2

LN ciclos, mientras

que para el caso b) es 810 5

utLSS Pa que se verifica a 1

LN ciclo.

Luego, si se emplean las (3.189) y (3.190) para calcular BS y CS. Así pues se tiene:

08509.010 2

10 2/

5.0

9.06

3

Log

S

SLogB

ut

ut

SA

9341.810 5.210 2 86 LogLogBCSASA

04777.010 2

1/

5.0 6

Log

S

SLogB

ut

ut

SB

6989.810 5.210 2 86 LogLogBCSBSB

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Luego si se reemplazan los valores que correspondan en la (3.192), con utf

SSS 65.01

) 8242

) 9161210

/1

bcasoN

acasoNS

TB

TABC

f

SS

Se puede observar que la opción b) es mucho más conservadora.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Factores de modificación de la tensión de resistencia a la Fatiga

En los experimentos a la fatiga, se suelen disponer las condiciones de laboratorio ideales para

extender la vida o la durabilidad de la probeta. Sin embargo, los resultados que se obtengan en

laboratorio, rara vez se pueden utilizar en las condiciones de trabajo convencionales de una

pieza. Esto se debe a varias razones entre las que figuran los aspectos geométricos de la pieza,

la forma en que fue fabricada la pieza, las condiciones térmicas de trabajo, etc. Estas razones

impulsan a establecer modificaciones sobre el valor de la resistencia a la fatiga obtenida en

condiciones de laboratorio, la cual normalmente se obtiene con valor de tensión media nula.

Así pues, el Límite de fatiga modificado se obtiene empleando la siguiente expresión:

evACFSTMTRsfe SkkkkkkkkS cumpliéndose que 1vACFSTMTRsf kkkkkkkk (3.193)

Donde:

eS es el límite de fatiga experimental en condiciones ideales.

kf es el factor de acabado superficial

ks es el factor de dimensiones y geometría

kR es el factor de confiabilidad.

kT es el factor de temperatura.

kTM es el factor de tratamientos mecánicos.

kFS es el factor de fatiga superficial o “fretting”.

kAC es el factor de aplicación de carga.

kv es el factor de efectos varios:

Así pues, la (3.193) se tiene que usar con los valores que se tienen de las (3.184), (3.185) o

(3.191), según corresponda a una condición de durabilidad establecida. A continuación se

explicarán con mayor detalle los alcances y usos de aquellos factores.

Factor de acabado superficial: kf

La probeta empleada en los experimentos (Ver Figura 3.90) tiene una superficie altamente

pulida en la dirección axial para reducir el efecto de las estrías circunferenciales del

maquinado. Pero para diferentes condiciones de acabado superficial los factores que afectan a

la tensión de resistencia a la fatiga pueden ser obtenidos de los experimentos que se

condensan en los siguientes gráficos. En la Figura 3.96 se muestran los coeficientes de

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acabado superficial para diferentes procesos de manufactura. En la Figura 3.97 se hace lo

propio para diferentes grados de acabado superficial en términos de la rugosidad. Nótese que

ambos se dan en función de la resistencia a la rotura estática del material. En ambos casos se

trata de acero. Por otro lado los coeficientes de la Figura 3.96 se pueden obtener también

empleando la siguiente expresión

utf Sk (3.194a)

donde Sut es la resistencia a la rotura del material y los valores de y se pueden tomar de la

Tabla 3.16. En estos casos se debe tener extremo cuidado con las unidades para calcular los

mencionados factores.

Tipo de Manufactura Factor

Exponente para Sut en MPa para Sut en ksi

Esmerilado 1.58 1.34 -0.085

Maquinado o estirado en frío 4.51 2.70 -0.265

Laminado en caliente 57.7 14.70 -0.718

Tal como sale de forja 272.0 39.90 -0.995

Tabla 3.16. Factores para hallar la influencia del acabado superficial

Figura 3.96. Factor de acabado superficial para distintos procesos de manufactura (acero)

-

Figura 3.97. Factor de acabado superficial para distintos grados de rugosidad

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Factor de dimensiones y geometría: ks

El factor de dimensiones y geometría está asociado al diámetro específico de la probeta

estándar, que tiene 0.30 pul. Para otros diámetros se utilizan los siguientes valores:

pul00254pul0051dd00083708590mm0051mm792d627d

pul0010pul002dd0212508590

pul002pul110d30d

k1070

1070

s

.;....;../

.;...

.;../

.

.

(3.194b)

Para el caso de una solicitación netamente axial el efecto de dimensiones y de la geometría es

insensible y en consecuencia se toma ks = 1. En el caso de secciones no circulares se emplea

en (3.194b) el denominado diámetro equivalente que se muestra en la Tabla 3.17

Tipo de sección Diámetro Equivalente

Redonda flexión rotativa y/o torsión d

Redonda, Flexión no rotativa 0.37 d

Rectángulo, Flexión no rotativa 0.808 (b h)1/2

Tabla 3.17. Diámetros equivalentes para los factores de dimensiones y geometría

Factor de confiabilidad: kR

El factor de confiabilidad depende de la probabilidad de supervivencia a una tensión en

particular. Los valores de este factor se pueden calcular con la siguiente expresión basada en

una desviación estándar de 8%.

ZkR 08.01 (3.194c)

Téngase presente que Z es el valor que se obtiene de la Tabla 3.2 correspondiente a una cierta

confiabilidad R o probabilidad de supervivencia.

Confiabilidad en porcentaje factor de confiabilidad

50% 1.000

90% 0.897

95% 0.868

99% 0.813

99.9% 0.753

99.99% 0.689

Tabla 3.18. Factores de confiabilidad

Los valores de la Tabla 3.18 son solamente para tener una idea de la variación. En caso de ser

necesario se deberá emplear la ecuación de cálculo con los valores que correspondan.

Factor de temperatura: kT

Existen muchas piezas que tienen un servicio a temperaturas muy altas, mayores de las

correspondientes al ensayo de laboratorio. Para hallar el factor de temperatura se efectúan

convalidaciones experimentales adicionales estableciendo la siguiente relación:

Versión 2014


refut

utT

S

Sk

/

(3.194d)

donde Sut es la resistencia estática a la rotura por tracción a una temperatura determinada,

mientras que Sut/ref es la resistencia estática a la rotura por tracción a una temperatura de

referencia (típicamente 20°C). En la Tabla 3.19 se indican algunos valores de kT para un acero

típico.

Temperatura [°C] factor de temperatura

20 1.000

50 1.010

100 1.020

200 1.020

300 0.975

400 0.900

500 0.768

600 0.549

Tabla 3.19. Factores de temperatura

Factor de tratamientos mecánicos: kTM

Este factor cuantifica el efecto de la presencia de tensiones residuales compresivas como las

provocadas por el denominado proceso de granallado o bien según el proceso de laminado

superficial (de inglés “surface rolling”). Se sugiere el empleo de la siguiente fórmula (según

las referencias [8] y [9])

YkTM 1 (3.194e)

Donde el coeficiente Y se puede obtener de la siguiente Tabla 3.19 para los dos tipos de

tratamientos mecánicos mencionados:

Granallado Laminado superficial

Superficie Coeficiente Y Superficie Coeficiente Y

Extra Pulida 0.04 Ejes de Acero 0.20 a 0.80

Pulida 0.05 a 0.22 Pulido/mecanizado 0.06 a 0.50

Mecanizada 0.25 Magnesio 0.50

Laminada 0.25 a 0.50 Aluminio 0.20 a 0.30

Forjada 1.00 a 2.00 Fundición de Hierro 0.20 a 1.93

Tabla 3.19. Coeficientes Y para granallado y para laminado superficial

Téngase en claro que el efecto del tratamiento mecánico es mejorar la calidad resistente en la

superficie de la pieza. En estas circunstancias el tratamiento mecánico mejora a las peores

superficies (laminada en caliente y forjada). Aún así se ha sugerido (ver referencia [9]) que el

producto de los factores de acabado superficial y de tratamientos mecánicos esté

condicionado según la siguiente expresión:

90.070.0 TMf kk (3.195)

Versión 2014


Esta expresión ha permitido condicionar ciertas situaciones perjudiciales que genera el

granallado en una pieza, como por ejemplo en el caso que la pieza esté pulida al espejo.

Factor de fatiga superficial o “fretting”: kFS

Téngase en cuenta que el “fretting” es un fenómeno de desgaste superficial por rozamiento

que suele hallarse en superficies en deslizamiento relativo separadas entre 2 y 100 m. Para

un entendimiento más detallado del fenómeno mencionado se sugiere la lectura de tratados de

tribología. En cuanto a los valores prácticos en el caso de ser empleado este factor se sugiere

un valor de 0.95 para el caso de ajustes deslizantes muy precisos. En los casos que haya cierto

desajuste se sugieren valores comprendidos entre 0.70 y 0.80 (referencia [9]).

Factor de aplicación de carga: kAC

Este factor tiene en cuenta aspectos de brusquedad de la aplicación de las cargas. Este factor

se aplica en el caso que las solicitaciones actuantes en la pieza no están apropiadamente

estimadas (caso de impactos, choques, etc.) o sean obtenidas con formas simplificadas (el

caso más común). Para ejes se suele sugerir los valores kAC=1.00 en el caso que la solicitación

se aplique en forma suave, kAC=0.67 para choques de baja intensidad y kAC=0.50 para choques

intensos.

Factor de efectos varios: kv

En este factor se condensan distintos efectos que pueden alterar el valor de la resistencia a la

fatiga, entre los cuales se pueden citar:

- La presencia de tensiones residuales como resultado de procesos de recuperación

elástica. Presentes en procesos de manufactura como la soldadura, tratamientos

térmicos, etc. En este caso se sugiere el empleo de un factor comprendido entre 0.50 y

0.85 (ver Referencias [8,9])

- Fenómenos de corrosión de la macro y micro estructura del material. Las principales

causas de corrosión en los metales se deben a la presencia de oxígeno y de hidrógeno.

Este último puede generar la denominada “fragilidad por adsorción de hidrógeno”,

ayudando a propagar más rápidamente las grietas. En estos casos se sugiere el empleo

de un factor comprendido entre 0.40 y 0.55 (ver Referencias [8,9]).

- Los tratamientos superficiales de electrodeposición que evidencien porosidad como

los óxidos anodinados (ver Referencias [8,9]).

Factor de concentración de tensiones

Debido a que los sitios donde existen concentraciones de tensiones, son los más probables

para el inicio de una grieta, es necesario contabilizar de alguna manera este efecto para

afectarlo al cálculo de la resistencia por fatiga. Sin embargo los coeficientes de concentración

Versión 2014


de tensiones que se introdujeron en la división 4 del presente capítulo no son útiles en

problemas de fatiga, puesto que en el comportamiento estático muchos materiales

reacomodan su constitución cristalina, liberando algunas zonas de tensiones plastificantes,

retardando así el inicio de las grietas, lo cual no ocurre en las solicitaciones dinámicas.

Para cargas estáticas se utiliza el factor de concentración de tensiones KC, en tanto que para

cargas cíclicas se emplea el denominado factor de concentración de tensiones a fatiga KF.

Este factor se calcula de la siguiente manera:

entallas CON pieza fatiga deTensión

entallas SIN pieza fatiga deTensión FK (3.196)

Los coeficientes KF y KC se relacionan mediante resultados experimentales asociados al tipo y

forma de carga. Se ha observado experimentalmente que la concentración de tensiones en

fatiga es menor que para carga estática o bien que el KF < KC. A su vez, para un dado estado

de tensión nominal , se puede conocer la tensión en el punto de entalla, tanto para carga

estática, que será KC, como para carga alternante, que será KF . Luego, las diferencias

entre ambas serán:

1

1

CCC

FFF

KK

KK

(3.197a)

Si establece la relación entre ambas por medio de una razón llamada factor de sensibilidad

de entalla, que se define de la siguiente manera:

1

1

C

F

C

Fn

K

Kq

(3.197b)

El factor de sensibilidad de entalla se emplea en términos generales para poder hallar con

unos pocos experimentos, el factor KF en función del factor KC que depende exclusivamente

de aspectos geométricos, lo cual conduce a:

1Kq1K CnF (3.198)

Es claro que si no hay entallas KF=KC. Luego el factor ko se obtiene de la siguiente manera:

F

oK

1k (3.199)

Para la obtención de KF, es necesario emplear el diagrama que se muestra en al Figura 3.98.

Versión 2014


Figura 3.98. Sensibilidad a la entalla en función de parámetros geométricos

En el caso de haber en la pieza muescas o entallas de cualquier tipo el valor de Se dado por la

expresión (3.193) debe ser modificado por el factor de concentración de tensiones dado por

(3.199), es decir:

F

eeoec

K

SSkS (3.200)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ejemplo: Un acero al carbono tiene un límite de rotura de 76000 Psi, y se lo considera como la primera opción

para una pieza en cuyo diseño se plantean las siguientes características:

a) La pieza será torneada con la calidad que la máquina permita.

b) La pieza deberá tener muy larga duración.

c) La pieza tiene terminación uniforme en la parte más tensionada que sufre flexión.

d) Se requiere una confiabilidad del 99.9%.

Bajo estas condiciones se quiere establecer o estimar el coeficiente de resistencia a la fatiga.

De los datos del ejemplo se sabe que Su = 76000 Psi, que la pieza es sometida a flexión y que el cálculo que sea,

se hará para vida infinita. En consecuencia de la (3.185) se tiene: Psi 380005.0 ue

SS .

Ahora bien, según a) la pieza se termina solamente por torno, o sea es maquinada, con ello de la (3.194a) y de la

Tabla 3.16 se tiene kf = 0.857. TENGASE PRESENTE LAS UNIDADES EN LA (3.194a), Su = 76 Kpsi, NO

Su = 76000 Psi. Luego de la Tabla 3.18 para una confiabilidad del 99.9% se tiene un coeficiente kR = 0.753.

Como no se menciona nada en relación a efectos de temperatura o efectos de tamaño o efectos de entalla, entre

otros, los demás coeficientes ki = 1. En consecuencia, el límite de resistencia a la fatiga modificado se calcula

como:

Psi 24522efRe

SkkS

Versión 2014


Cuando se toman en cuenta todos los coeficientes mencionado en la (3.193) es muy probable que el límite de

resistencia a fatiga modificado sea del orden del 10% al 15% del límite de rotura o bien muy inferior al 25% del

límite de fluencia.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Daño Acumulativo

Los diagramas de las Figuras 3.93, 3.94 y 3.95 se basan en resultados experimentales de

solicitación completamente invertida (o sea m = 0, Figura 3.81.a). Sin embargo dado que el

problema de fatiga está asociado a la acumulación de daño en la estructura cristalográfica del

material, y que muchas solicitaciones reales no son tan exactas como la representada en

Figura 3.81.a, es necesario establecer un patrón de análisis que permita evaluar el proceso de

daño ante la presencia de solicitaciones como la de la Figura 3.99.

Figura 3.99. Tipo de solicitación con diferentes niveles de intensidad de tensión

Para un material determinado con LS y eS conocidos, ante un tipo de solicitación

Le1 SSS , existirá una cantidad determinable de ciclos hasta su rotura de 1N . Pero si a la

misma pieza ante la misma solicitación 1S durante un número de ciclos 11 Nn , no se

registrará rotura, pero si un determinado daño. Otro tanto ocurriría con niveles de solicitación

de 2S , 3S en ciclos de 22 Nn , 33 Nn , etc. En estas circunstancias se puede establecer la

ley de daño lineal o ley de Palmgren-Miner, que predice falla si se cumple:

1N

nZ

1i i

i

, siendo Z el número de distintas intensidades de carga (3.201)

Esta ley supone que la secuencia u orden o historia de la solicitación no es influyente y a su

vez estipula que el daño ante cualquier solicitación es directamente proporcional al número de

ciclos. Sin embargo esta ley aunque posee algunas limitaciones (la linealidad es una de ellas

para el tipo de fenómeno que está tratando) es fácil de usar y de interpretar como para

emplearla en cálculos estimativos. Así pues si TN es el número de ciclos total hasta la falla,

cuando existen patrones cíclicos con diferentes intensidades de carga se tendrá para cada

intensidad de carga:

Versión 2014


Tjj

T

j

j NnN

n

(3.202)

y sustituyendo en (3.201) se tiene

T

N

i i

i

NN

C

1

1

, siendo NC el número de distintas intensidades de carga (3.203)

Con esta ecuación se calcula el tiempo de vida de una pieza.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ejemplo:

Una pieza construida con una aleación de acero de Su = 135000 Psi y Sy = 120000 Psi, tiene un patrón de

resistencia a la fatiga que experimentalmente se analizado y que puede observarse en la figura adjunta. Si la

pieza, de área 0.1 pul2, sufre una solicitación uniaxial completamente revertida sin el riesgo de pandeo y soporta

las siguientes condiciones de carga:

P1 = 11000 lb durante 3000 ciclos => 1 = 110000 Psi.

P2 = 8300 lb durante 20000 ciclos => 2 = 83000 Psi.

P3 = 6500 lb durante 150.000.000 ciclos => 3 = 65000 Psi.

Se desea saber si la pieza puede resistir.

En efecto si se aplica la ley de Palmgren-Miner se tiene:

1871.0000.000.150

000.48

000.20

600.6

000.31

1

1

Z

i iN

n

Con lo cual se observa que no se cumple la condición (3.201). Luego la pieza puede sobrevivir sin

inconvenientes, a pesar que en una condición de solicitación trabaje durante 150 millones de ciclos.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Métodos de Análisis con esfuerzo medio no nulo

Muchos Elementos de Máquinas poseen esfuerzos y tensiones fluctuantes cuyo valor medio

es distinto de cero. Este es el caso más general y uno de los más frecuentes. En determinadas

circunstancias no se puede contar con otra información experimental que no sea la

Versión 2014


correspondiente a los ensayos de flexión rotativa (m = 0), y la influencia de la tensión media

no nula se calcula por medio de varias relaciones empíricas que determinan la falla en una

vida determinada cuando las tensiones alternantes y medias son distintas de cero.

La siguiente Figura 6.100 muestra la evidencia experimental recabada para estados donde la

tensión media 0m . Así pues en la Figura 6.100(a) se muestra la superficie (ajustada

numéricamente) de todos los casos de falla, es decir donde se verificó la falla por fatiga o de

vida finita con 0m . En la Figura 6.100(b) se observa el denominado Diagrama de Haigh

para una zona de rotura por fatiga a N1 y para el límite de vida finita o Ne ciclos, para un

material dúctil. En la Figura 6.100(c) se muestra las envolventes de las zonas de falla para

diferente ciclaje. En la Figura 6.100(d) se observa el diagrama de Haigh para un material

frágil; nótese la diferencia entre la parte compresiva ( 0m ) y la parte tractiva ( 0m ).

(a) (b)

(c) (d)

Figura 3.100. Diagramas para fatiga con tensiones medias no nulas

En consecuencia, el Diagrama de Haigh dará la base para poder efectuar cálculos de

estimación de la vida a fatiga en condiciones en las que la tensión media pueda ser nula,

negativa o positiva.

Versión 2014


Materiales Dúctiles

En la Figura 3.101 se muestra como por medio de cuatro relaciones experimentales se calcula

la influencia de la tensión media no nula, sobre la vida a fatiga para materiales dúctiles

sometidos a tracción. Los enfoques más conocidos son:

- Criterio Parabólico de Gerber o curva de Gerber

- Criterio Lineal de Goodman o Línea de Goodman

- Criterio Lineal de Soderberg o Línea de Soderberg

- Criterio Langer o Línea de fluencia

Figura 3.101. Criterios de Falla ante tensiones medias no nulas

Los mencionados criterios vienen identificados por las siguientes expresiones:

1S

n

S

n2

ut

ms

e

as

, Criterio Gerber (3.204)

syt

m

e

a

n

1

SS

, Criterio Soderberg (3.205)

sut

m

e

a

n

1

SS

, Criterio Goodman (3.206)

syt

m

yt

a

n

1

SS

, Criterio de Langer o de Fluencia (3.207)

donde

- Se es el límite de fatiga modificado

- Sut es la resistencia a la rotura por tracción

- ns es el factor de seguridad

- m es la tensión media

- a es la tensión alternante

Versión 2014


La (3.207) permite establecer la falla por fluencia en el primer ciclo de carga. Si se conocen

los valores de los estados tensionales, se pueden emplear alguno de los anteriores criterios

para establecer la vida a la Fatiga. Nuevamente, en cualquiera de los criterios se puede

emplear el conocido concepto de recta de carga, introducido en la División 4 del Capítulo 3,

para poder establecer una zona segura empleando el coeficiente de seguridad ns.

Las expresiones (3.204) a (3.207) muestran solamente la línea correspondiente al límite de

vida finita, es decir a Ne ciclos (recuérdese entre 106 a 10

9 ciclos) para una tensión media

positiva. Nótese que el criterio de Goodman tiene por límite de tensiones medias, al límite de

la rotura, lo cual no es una buena opción para el dimensionamiento o verificación de piezas a

cargas cíclicas, por la simple razón que un estado tensional que supere el límite elástico de

una pieza dúctil ya tendrá una falla inherente por plastificación. Si por otro lado se necesita

conocer la forma del Diagrama de Haigh en la parte compresiva y a su vez calcular para vida

finita (es decir que la pieza dure una cantidad mínima de ciclos predefinida y menor a Ne, por

ejemplo 10000 ciclos); tal diagrama tendrá la forma que se observa en la Figura 3.102.

(a)

(b)

Figura 3.102. Diagramas de Haigh completos con los enfoques Soderberg y Goodman Modificado

La Figura 3.102(a) muestra el diagrama de Haigh para el criterio de Soderberg en diferentes

ciclos de carga, en tanto que la Figura 3.102(a) muestra el diagrama de Haigh para el criterio

de Goodman modificado que solo considera hasta la parte que tiene comportamiento elástico.

Versión 2014


Cuando se deba calcular a fatiga algún componente que tenga tensiones medias no nulas se

debe emplear el alguno de los dos casos identificados en la Figura 3.102, especialmente

cuando se tenga que determinar el número de ciclos que puede resistir ante una determinada

solicitación.

En la Figura 3.103 se puede apreciar el diagrama de Smith (1942), también denominado

diagrama Goodman (1890) según algunos autores. Como se puede observar en la Figura

3.103 los valores de la tensión alternativa a varían de un máximo fa, zona I del gráfico

(Alternativa pura) como también se nota que dicho valor diminuye a medida que aumenta la

tensión media m, pasando por un punto intermedio, zona III (Intermitente pura), hasta llegar

a valer cero, en la zona V (Estática pura). En la figura, se puede apreciar los enunciados de

Smith, originalmente observados por Goodman, que por el incremento de la tensión media,

las tensiones alternantes diminuye gradualmente hasta llegar al limite en el que la pieza no

puede soportar ninguna variación de carga (Zona V). Con esto se podría establecer

razonablemente como valido que la rotura de una pieza depende de

a) La tensión Media

b) El numero de aplicaciones o ciclos

c) La tensión alternativa respecto de la media

La aplicación de estos conceptos es válida para muchos casos de tensiones variables que se

presentan en el campo de la Ingeniería Mecánica

Sin embargo, el diagrama de la Figura 3.103 puede no ser estrictamente válido y

representativo, debido a que si la tensión alternante máxima llega al estado de fluencia del

material, ya comienza la plastificación del material.

En estas circunstancias, Goodman propuso una modificación al diagrama típico de Smith.

Esta modificación, que se muestra en la Figura 3.104 contempla la observación mencionada

en el párrafo anterior.

Figura 3.103. Diagrama de Smith-Goodman

Versión 2014


Figura 3.104. Diagrama de Goodman Modificado

Teniendo los datos de rotura, fluencia y fatiga para un material determinado es posible

efectuar el diagrama de Goodman modificado, tal como se aprecia en la Figura 3.104. En este

diagrama el criterio de Goodman establecido en la ecuación (3.206) es modificado por la

combinación de falla por fatiga con la falla por fluencia. Así pues los puntos que se hallan

dentro del lugar geométrico descripto por la secuencia de segmentos ABCDEFGH suponen

tensiones fluctuantes que no causarán la falla por fatiga ni por fluencia. Este diagrama es un

diagrama completo ya que en el se contemplan los aspectos de tracción y de compresión en

conjunto. Nótese que los segmentos AB, ED, EF y AH son las líneas del criterio de Goodman

adaptado según se ha mencionado, en tanto que los segmentos FG, GH, BC y DC

corresponden a líneas de fluencia. Así pues, las zonas indicadas con “a” y con “d” son zonas

falla por fluencia, en tanto que las zonas “b” y “c” son zonas de falla por fatiga.

La construcción de este diagrama modificado exige conocer los puntos característicos, para

luego definir las rectas de acción. Tales rectas de acción vienen definidas en un rango

determinado con una expresión determinada según se aprecia en las siguientes expresiones:

Segmento AB,

u

e

meS

SS 1

max válida en

u

e

ey

m

S

S1

SS0

(3.208)

Segmento BC, yS

max válida en ym

u

e

eyS

S

S1

SS

(3.209)

Versión 2014


Segmento CD, ymS 2

min válida en ym

u

e

eyS

S

S1

SS

(3.210)

Segmento DE, e

u

e

mS

S

S

1

min válida en

u

e

ey

m

S

S1

SS0

(3.211)

Segmento EF, emS

min válida en 0SS mye (3.212)

Segmento FG, yS

min válida en yemy SSS (3.213)

Segmento GH, ymS 2

max válida en yemy SSS (3.214)

Segmento HA, emS

max válida en 0SS mye (3.215)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ejemplo:

Se desea establecer un diagrama de Goodman modificado para la parte de tensiones medias positivas. Se sabe

que el límite de rotura es Sut=90 Ksi, el límite de fluencia es Sy = 60 Ksi y el límite de fatiga es Se = 30 Ksi.

En primer lugar se tienen que establecer los puntos A, B, C, D, E, F, que serán los que permitan identificar los

segmentos AB, BC, CD, DE, para establecer a su vez las funciones expuestas en (3.208) a (3.211). Así pues en la

siguiente figura se observa la ubicación de tales puntos. Sin embargo se debe aclarar de donde provienen.

- El punto A y el punto E corresponden a la valoración de Se.

- El punto F sale de la intersección de la línea de tensión media con la línea de rotura a Sut.

- Luego se obtienen los segmentos AF y EF.

- El punto B sale de la intersección de la línea de fluencia Sy y el segmento AF.

- El punto C sale de la línea de línea de tensiones media con la línea de fluencia a Sy.

- El punto D sale de la intersección entre el segmento EF y la perpendicular a B desde el eje de tensiones

medias.

De tal forma que empleando conceptos básicos de álgebra tales como “por dos puntos pasa una recta”, se

construirán los segmentos AB, BC, CD, DE.

Luego se emplean las formas de (3.208) a (3.211) para hallar los correspondientes segmentos y se obtiene la

siguiente figura:

Versión 2014


Entonces, desarrollando para el caso en estudio las expresiones mencionadas nos queda:

Segmento AB,

90

30130

max m válida en

90

301

30600

m

Segmento BC, 60max

válida en 60

90

301

3060

m

Segmento CD, 302min

m

válida en 60

90

301

3060

m

Segmento DE, 3090

301

min

m válida en

90

301

30600

m

Se deja al alumno verificar estas expresiones.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Materiales Frágiles

En un material frágil, se recordará que la tensión de resistencia a la rotura por compresión es

más grande que su homónima de resistencia a la tracción. Por otro lado en un material frágil

la presencia de entallas o muescas o concentradores de tensión en términos generales, suele

incrementar sustancialmente la probabilidad de rotura por tensiones alternantes. Una forma de

analizar la fatiga en este tipo de materiales es emplear factores concentradores de tensión

tanto en la parte de tensión alternativa como en la parte de tensión media.

Así pues, para una sola tensión normal, el cálculo de un coeficiente de seguridad ante una

solicitación constante m será:

mC

ut

sK

Sn

(3.216)

Ahora en el caso de una tensión alternante a se tiene que reemplazar el factor de entalla Kf

por KC en la ecuación de cálculo de la tensión de fatiga modificada (3.193), así el coeficiente

de seguridad se obtiene de:

Versión 2014


a

e

s

Sn

(3.217)

Para una sola tensión de corte constante m presente en una pieza de material frágil, el factor

de seguridad será:

uc

ut

mCS

ut

s

S

S1K

Sn

(3.218)

Para una tensión de corte alternante a en una pieza de material frágil se emplea el mismo

procedimiento detallado para (3.117) en el cálculo del límite de fatiga modificado y el

coeficiente de seguridad resulta:

uc

ut

a

e

s

S

S1

Sn

(3.219)

En (3.118) y (3.119), por Suc y Sut se deben entender los límites de resistencia a la rotura por

compresión y tracción respectivamente.

5. Agradecimientos

Se desea agradecer formalmente al Ing. Gerardo Pender, del Laboratorio de Mecánica de la

Facultad Regional Bahía Blanca de la U.T.N. por las sugerencias y el valioso aporte de

información experimental.

6. Bibliografía

[1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002.

[2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000

[3] M.F. Spotts y T.E. Shoup, “Elementos de Máquinas”, Prentice Hall 1998.

[4] American Society for Metals. “Metals Handbook” Vol 9. 8th

edition. 1974

[5] P.G. Forrest, “Fatigue of Metals”, Pergamon Press LTD. 1962

[6] M. Mitchell. “Fundamentals of modern Fatigue analysis for design”. Fatigue and

Microstructure, M. Meschii Ed, American Society for Metals Park OH pp. 385-437 (1978).

[7] Gunt Geratebau GmbH, “WP140, Máquina para ensayo de fatiga por flexión rotativa”

http://www.gunt.de

[8] J.H. Faupel y F.E. Fisher. “Engineering Design: a synthesis of stress analysis and material

engineering”. Wiley-Interscience (USA), 1981.

[9] R. Avilés. “Análisis de fatiga en máquinas”. Ed. Thomson, Madrid España, 2005.

[10] R.Norton. “Diseño de máquinas”, McGraw Hill 2001

http://www.gunt.de/

Versión 2014


7. Problemas resueltos y para completar

Problema Tipo 3.7. El actuador lineal de un dispositivo de control en una represa se supone que opera una sola

vez cada tres días para durar unos 50 años, pero repentinamente después de 30 años de

servicio se le exige un régimen de trabajo de 2 operaciones por día. Halle cuanto se debe

aumentar o disminuir el esfuerzo axial totalmente revertido para garantizar vida útil original

de 50 años ante la nueva condición de carga. El material es de acero al carbono AISI 1040

(Sut=520 Mpa) con Ne = 106 ciclos.

Solución del Problema Tipo 3.7. Se tiene la siguiente información:

a) Problema de fatiga axial totalmente revertido => Se=0.45Sut

b) No se sabe el comportamiento de bajo ciclaje => SL=Sut.

c) Vida útil original 50 años a 1 operación cada tres días.

d) Cambia frecuencia de trabajo a los 30 años a 2 operaciones por día.

e) La pieza debe vivir los 50 años para lo que fue originalmente proyectada.

Esta información hace suponer la posibilidad de uso de la ley de Palmgren-Miner con dos

frecuencias de trabajo. O sea que estaremos con que se tiene que verificar como mínimo la

siguiente expresión:

12

2

1

1 N

n

N

n

De tal expresión se pueden conocer según los ítems c) a e) los siguientes ciclajes:

A1) N1, pues es la vida original para la que fue proyectada la pieza.

A2) n1, pues es la cantidad de ciclos antes del cambio

A3) n2, pues es la cantidad de ciclos con el nuevo régimen hasta llegar a vida útil original.

Haciendo los cálculos se tiene:

ciclosdias

ciclo

años

diasañosn

ciclosdias

ciclo

años

diasañosn

ciclosdias

ciclo

años

diasañosN

146002

36520

36503

136530

60833

136550

2

1

1

Luego se despeja N2:

ciclos

N

n

nN

N

n

N

n36500

1

1

1

1

2

2

2

2

1

1

Comparando se tiene que N2 > N1, lo que implica, teniendo en cuenta el diagrama de Basquin

que la tensión de trabajo deberá disminuir forzosamente si se pretende mantener la duración

de la pieza durante los 50 años. Ahora bien, para saber cuánto disminuirá se debe emplear un

razonamiento similar a la ley de Basquin. Así pues, si S1 es el estado tensional original y S2 el

segundo estado tensional se tiene de la (3.187) y (3.188):

SS

SS

CNLogBSLog

CNLogBSLog

22

11=>

1

2

1

2

N

NLogB

S

SLog

S

Versión 2014


Si a la última expresión se le ejecuta el antilogaritmo se tiene

sB

N

N

S

S

1

2

1

2 => 1

1

2

2S

N

NS

sB

Sin embargo BS no se conoce, pero se puede obtener de la (3.189), con la información que se

tiene según

05779.010

1/

45.0

1/

6

LogLog

N

NLog

S

SLogB

e

L

e

L

S

En consecuencia reemplazando en la expresión recuadrada anterior se tiene:

12902.0 SS

O sea se debe disminuir el estado tensional S2 que no debe ser superior aproximadamente al

90% de S1.

Lo que interesa de este ejemplo es que no se necesita toda la información y el detalle preciso

de la ecuación de Basquin para poder resolverlo. Una manipulación juiciosa del álgebra

permite calcular lo que se necesita para luego tomar la decisión que corresponda.

Problema Tipo 3.8. Una pieza es sometida a una solicitación flexional de tipo sinusoidal, que en la zona más

crítica tiene los siguientes valores: min = 250 MPa, max = 350 MPa. Si el material es un

acero AISI 1080 (Sut=615 MPa, Sy =380 MPa) se desea saber su duración si para el cálculo

del límite de fatiga efectivo se emplea un coeficiente k=0.65 que contempla todos los efectos

de minoración de la resistencia (tamaño, temperatura, confiabilidad, etc.). Se sabe que el

límite de vida a fatiga es de 107 ciclos.

Solución del Problema Tipo 3.8. Como se puede apreciar las tensiones media y la amplitud alternante se calculan a partir de las

tensiones mínimas y máximas, empleando las fórmulas (3.178) y (3.179):

MPamáx

m300

2

min

, MPamáx

a50

2

min

Estas dos tensiones van a dar el punto de trabajo de la pieza P1. Por otro lado con los datos de

material se obtiene el diagrama de Soderberg correspondiente con Se = 0.5x0.65xSut=138.38

MPa y Sy =380 MPa, tal como se ve en la siguiente figura:

Versión 2014


Ahora bien, la recta Se-Sy da el límite de vida a fatiga (por debajo de esa recta habría vida

infinita), trazando una recta desde Sy que pase por P1, se llega a N1, que dará la duración

pedida. La recta Sy-N1 se calcula con los puntos P1 y Sy. Es decir, a partir de la forma

canónica para hallar una recta a partir de dos puntos P1={x1,y1}={m,a} y

P0={x0,y0}={Sy,0}, se tiene:

0

01

01

0xx

xx

yyyy

=> 380

8

50

mym

ym

a

aSSS

SS

Téngase presente que Sm y Sa en la expresión anterior funcionan como variables. Luego N1

se halla con Sm=0, o sea:

MpaN

5.23738008

51

Así pues en la ecuación de Basquin, Se es el límite tensional de fatiga y N1 el segundo estado

tensional se tiene de la (3.187) y (3.188):

SeSe

SSN

CNLogBSLog

CNLogBLog

11

=>

e

S

e

N

N

NLogB

SLog 11

Si a la última expresión se le ejecuta el antilogaritmo se tiene

SB

ee

N

N

N

S

11

=> e

B

e

NN

SN S

1

1

Sin embargo BS no se conoce, pero se puede obtener de la (3.189), con la información que se

tiene del problema, es decir:

06973.010

1/

65.05.0

1/

7

LogLog

N

NLog

S

SLogB

e

L

e

L

S

En consecuencia reemplazando en la expresión recuadrada anterior se tiene:

ciclosN 43231

Con lo cual se corrobora algo que intuitivamente surge de la figura anterior donde se muestra

el diagrama del criterio de Soderberg, es decir que la situación de solicitación es muy

comprometida y que 4323 ciclos es algo muy pobre para un material que tiene 10 millones de

ciclos como vida de fatiga.

8. Problemas propuestos

Problema 1.

La barra que se muestra en la Figura es de acero AISI 1080 (Sut=615 MPa). La variación de

carga axial cíclica, va de un mínimo de -10 kN a un máximo de 10 kN. Indique donde fallará

primero la barra plana: el agujero, el filete o la acanaladura.

Versión 2014


Problema 2.

Un eje escalonado como el que se muestra en la Figura está maquinado en acero al carbono

AISI 1080 (89 ksi). Se ha medido una sobrecarga de flexión completamente invertida que es

la que se muestra abajo. La misma tiene un patrón repetitivo de 45 segundos. Los diámetros

se calcularon para vida infinita (107 ciclos), pero se desearía saber cuánto tiempo podría estar

aguantando una solicitación como la presentada abajo. Que diferencias se encontrarían si en

vez de ser flexional la solicitación es torsional

Problema 3.

A partir de los datos que se tienen de los ensayos experimentales en la Tabla que se adjunta,

dibuje y halle la curva S-N desde la condición solicitación estática, sabiendo que el límite de

rotura es de 240 KPsi, el límite de fluencia es de 225 KPsi.

S [Psi] Número de ciclos S [Psi] Número de ciclos

110.000 6.600

105.000 9.500 150.000 20.000

100.000 13.500

95.000 19.200 131.000 50.000

90.000 27.500

85.000 39.000 121.000 100.000

80.000 55.000

75.000 87.000 107.000 200.000

73.000 116.000

71.000 170.000 105.000 500.000

70.000 220.000

69.000 315.000 103.000 1.000.000

68.000 400.000

67.000 700.000 102.000 2.000.000

66.000 900.000

Problema 5 Problemas 3 y 4

Problema 4.

Teniendo en cuenta la pieza del Problema 2, y que está siendo solicitada con un momento

flector completamente invertido, determine la cantidad de ciclos que puede sobrevivir si el

valor del momento puede estar contenido en el dominio de 150 Nm a 2000 Nm.

Problema 5.

Un puntal de una aeronave experimental se ha hecho de una aleación especial cuya resistencia

a la rotura estática es de 135 KPsi, la resistencia a fluencia de 120 KPsi con una elongación

del 20% en 2 pulgadas. Las propiedades de fatiga se han obtenido de la tabla adjunta de

experimentos correspondientes a estado de tensión axial completamente invertida, de manera

que los mismos reproducen las condiciones operativas del puntal. Sabiendo que el área de la

sección es de 0.1 pul² y que no hay problemas de pandeo, y que el puntal estará soportando

una secuencia de solicitación con tres amplitudes de carga de valores de Pa = 10,000 lb

durante 4000 ciclos, Pb = 8000 lb durante 8000 ciclos y Pc = 7000 lb durante 20,000 ciclos.

Se desea saber si la pieza podrá soportar 4 secuencias de carga como la descripta.

Versión 2014


Problema 6.

Se desea comparar dos metodologías para analizar la vida a fatiga de un tipo de acero aleado

cuyas propiedades son Su = 600 MPa, Sy = 450 MPa. La primera metodología consiste en

deducir la curva S-N de vida finita a partir de la carga estática. La segunda entre 1000 ciclos y

1.000.000 de ciclos. El problema es de solicitación flexional con inversión completa.

Problema 7.

La barra que se muestra en la Figura es de acero AISI 1080. La variación de carga axial media

cíclica, diferente de cero, va de un mínimo de 2 kN a un máximo de 10 kN. Usando la teoría

de falla de Goodman modificada, determine los factores de seguridad para el agujero, el filete

y la acanaladura. Indique también en qué lugar fallará primero.

Problema 8.

El componente de 7/16” de espesor que se muestra en la Figura, tiene un filete y un agujero.

La carga varía de 12000 a 2000 lb. Se conoce que la resistencia a la rotura es de 56 ksi y la

fluencia es de 41 ksi. Empleando la teoría de falla de Goodman modificada, determine el

factor de seguridad para las dos zonas de entalla. Donde fallará?

Problema 9.

Una barra de acero estirado en frío con una sección transversal sólida, está expuesta a una

fuerza cíclica que varia entre 30000 lb a la compresión y 80000 lb a la tracción. La resistencia

a la rotura es de 158 ksi y la resistencia a la fluencia es de 133 ksi. Para un factor de seguridad

con valor 2, determine:

a) El límite de fatiga modificado

b) El Diámetro de la sección que producirá la falla por fatiga

c) La zona correspondiente a la falla según el diagrama de Goodman

Problema 10.

Un eje de 20 mm de diámetro transmite un momento torsor variable de T = 500 ± 400 N.m a

una frecuencia de 0.2 Hz. Se han hecho pruebas con el material de la pieza que depararon la

siguiente información Su = 800 MPa, Sy = 650 MPa, Sl = 0.45 Su, Se = 0.25 Su, Nl = 3500

ciclos y Ne = 1.700.000 ciclos. Se desea saber cuántas horas puede durar tal pieza.

Problema 11.

En virtud del problema precedente, se desea saber cuál debe ser el diámetro de la pieza para

garantizar vida infinita.

Versión 2014


Problema 12.

Un eslabón como el que se muestra en la figura se construye con AISI 4140 y tiene un peso

estimado de 1000 lb. La carga F=5000 lb es del tipo repetitivo y alternante.

a) Si la superficie es maquinada, cuál debería ser el diámetro para resistir a fatiga con un

coeficiente de seguridad 1.5.

b) Si la superficie es pulida al espejo, cúal sería el diámetro para resistir fatiga. Habrá ahorro

en peso de material, de ser así en que porcentaje se daría?

Problema 13.

Calcule lo mismo que para el problema anterior pero suponiendo que la pieza tiene que

trabajar en un ambiente corrosivo.

Problema 14.

Una varilla de AISI 316, con superficie pulida, se halla sometida a una carga fluctuante entre

6000 N y 18000 N. Se desea calcular:

a) El diámetro necesario para soportar 100000 ciclos de carga, sabiendo que el límite de fatiga

se verificó a los dos millones de ciclos y no se sabe nada de la resistencia a fatiga en bajo

ciclaje.

b) El diámetro del eje si debe vivir 50000 ciclos.

Problema 15.

Una viga bajo flexión de AISI 316, con superficie maquinada simple, en su sección más

comprometida se halla sometida a una solicitación completamente revertida de 1800 N.m. Se

desea calcular:

a) El diámetro necesario para soportar 500000 ciclos de carga, sabiendo que el límite de fatiga

se verificó a los dos millones de ciclos y no se sabe nada de la resistencia a fatiga en bajo

ciclaje.

b) Si la pieza soportó tal régimen de carga durante 350000 ciclos, cuantos ciclos podrá resistir

si repentinamente la carga aumento a 2000 N.m

CAAPPIITTUULLOO 33 T EENNSSIIOONNE ESS …€¦ · De acuerdo a los valores relativos que tengan...

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