C2_FVC

Capítulo 1

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

1.1. Definiciones

Las siguientes subsecciones se realizaran las definiciones necesarias para una mejor com-prensión de lo que inplican el análisis en variable compleja.

1.1.1. Def. 1: Conjunto de los números complejos

El conjunto de los números complejos esta definido por

C = {(x,y)/z = x + i y , ∀ x ∧ y ∈ R ; i =√−1}

1.1.2. Def. 2: Subconjunto de números complejos

Se denomina subconjunto de números complejos S a cualquier colección de puntos de laforma z = x + i y = (x, y) ⊆ C. Por ejemplo Re(z) ≥ Im(z) ó |z| < 1

X

Y

y ≤ xX

Y

x2 + y2 < 1

Figura 1.1: Subconjuntos de números complejos.

1

2 CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

1.1.3. Def. 3: Vecindad (entorno)

Una Vecindad (o entorno) de radio δ a un punto z0 (δ > 0, es un valor lo más pequeñoque se requiera), es el conjunto de todos los puntos z = x + i y, tales que |z− z0| < δ. Unavecindad se dice reducida si z0 no es parte del conjunto, es decir 0 < |z− z0| < δ.

X

Y

z0 δy0

x0X

Y

z0 δy0

x0

Figura 1.2: Vecindad y vecindad reducida.

1.1.4. Def. 4: Puntos interiores, exteriores y de frontera

Sea el conjunto S ⊆ C y 0 < δ < 1, se cumple que:

z1 es un punto interior si por cada vecindad|z− z1| < δ, los puntos pertenecen alsubconjunto S.

z2 es un punto exterior si por cada vecindad|z− z2| < δ, los puntos no pertenecen alsubconjunto S.

z3 es un punto frontera si por cada vecindad|z− z3| < δ, algunos puntos son interiores yotros son exteriores.

X

Y

z1

z2

z3

S

1.1.5. Def. 4: Conjunto abierto

Se dice que un conjunto S es abierto, si todos los puntos del conjunto son interiores.

1.1.6. Def. 5: Conjunto conexo

El conjunto abierto S es conexo si para dos puntos z1 y z2 del conjunto, estos pueden serunidos por una línea poligonal dentro del conjunto.

1.2. FUNCIÓN DE VARIABLE COMPLEJA 3

X

Y

z1

z2

X

Y

z1

z2

Figura 1.3: Conjunto conexo y no conexo.

1.1.7. Región abierta o dominio

Una región o dominio es todo conjunto D , abierto y conexo. Por ejemplo < > 1, o tam-bién <( 1

z ) > 1 que representa el circulo (x− 12)

2 + y2 < 14 .

1.1.8. Conjunto acotado

Se dice que un conjunto S es acotado, si ∃ un M = ctte < ∞ talque |z| < M, para cadapunto z0 ∈ S.

1.1.9. Conjunto compacto

Se dice que un conjunto S es compacto si es acotado y cerrado.

1.2. Función de variable compleja

Sea z0 ∈ D ⊆ C, se dice que ω ∈ C es una función de variable compleja, si existe unarelación de correspondencia (aplicación) de la forma:

C −→ Cz −→ ω : ω = f (z)

por ejemplo si la función es:ω = f (z) = |z|+ z2, y si z0 = 1 + i , entonces

w0 = f (1 + i ) = |1 + i |+ (1 + i )2 =√

2 + 1 + 2i + i 2 =√

2 + 2i

Nota.- En general el dominio D de una función de variable compleja (FVC) solo esta restrin-gido por la división por cero. Por ejemplo la función f (z) =

√z−2

z2+1 , en esta función se puedeobservar que el dominio D de la función es D f = C− {± i }.


Pz Pω

z0 ω0

ω = f (z)

D

Figura 1.4: Función de variable compleja.

1.3. Imagen de una Función de Variable Compleja

Se denomina imagen de una Función de Variable Compleja a la región < en la que setransforma D medianteω = f (z); para lo cual se considera queω = u+ i v, donde u∧ v ∈ R,entonces:

z = x + i y ∧ω = u + i v

ω = f (z) = f (x, y) + i g(x, y) → u + i v = f (x, y) + i g(x, y)

comparando {u = f (x, y)v = g(x, y)

→ h(u, v) = C

que representa las ecuaciones paramétricas de las curvas que conforman las regiones.

Ejemplo 1.1: Hallar la imagen de 1 < Im(z) ≤ 2, medianteω = z2.Solución.- Puesto que

z = x + i y → Im(z) = y → D : 1 < y ≤ 2

ademas

ω = z2 = (x + i y)2 = (x2 − y2) + i 2xy →{

u = x2 − y2

v = 2xy

ahora, si:

y = 1 →{

u = x2 − 1v = 2x

→ u =v2

4− 1

y = 2 →{

u = x2 − 4v = 4x

→ u =v2

16− 4

lo que representan dos parábolas y cuya región se muestra en la siguiente figura:

Ejemplo 1.2: Siω = 1z , determinar la imagen de:

a) arg(z) = 34π

1.4. FUNCIÓN COMPLEJA DE VARIABLE REAL 5

X

Y

1 < Im(z) ≤ 2

X

Yu = v2

16 − 4

u = v2

4 − 1

b) |z| = 12

Solución.- Si bien es posible resolver en coordenadas cartesianas como en el anterior ejem-plo, en este caso es más factible realizar en coordenadas exponenciales, para lo cual, sea

z = x + i y = r eiθ y ω = u + i v = ρ eiϕ

entonces

ω =1z

→ ρ eiϕ =1

r eiθ =1r

e−iθ →

ρ =1r

ϕ = −θ

ahora analizamos cada caso.

a) Si arg(z) = 34π entonces θ = 3

4π que la línea radial que sale del origen y con un ángulo de34π , reemplazando en la ecuación de transformación

θ =34π → ϕ = −3

4π

que también es una radial, pero parte del infinito y acaba en cero, como se muestra en lafigura.

b) Si |z| = r = 12 es una circunferencia de radio un medio, entonces | 1

ω | =12 , de donde

|ω| = ρ = 2, que representa una circunferencia de radio 2.

1.4. Función compleja de variable real

Una función compleja de variable real es una aplicación de la forma:

R → Ct → z : z = z(t) = x(t) + i y(t)


X

Y

U

V

θ = 3π4

θ = − 3π4

X

Y

U

V

|z| = 12

|ω| = 2

donde x = x(t) y y = y(t) representan las ecuaciones paramétricas de la función y su gráficase denomina hodografa; eliminando el parámetro t se obtiene la gráfica f (x, y) = C.

Ejemplo 1.3: Hallar la hodografa de la función z(t) = R cos t + i R sen t, en el intervalo0, π [, y obtener su imagen mediante la aplicaciónω = z

z .

Solución.- De la función{x = R cos t → x2 = R2 cos2 ty = R sen t → y2 = R2 sen2 t

→ x2 + y2 = R2

que representa una semicircunferencia de radio R; que puede ser escrito como

|z| = R : 0 ≤ θ < π

Por otra parte para determinar la imagen de la función

ω =zz=

zz

zz=

z2

|z|2 =(x + i y)2

x2 + y2 =

(x2 − y2

x2 + y2

)+ i

(2xy

x2 + y2

)de donde

u =x2 − y2

x2 + y2 → u =R2 cos2 t− R2 sen2 tR2 cos2 t + R2 sen2 t

= cos 2t

v =2xy

x2 + y2 → v =2 R cos t R sen t

R2 cos2 t + R2 sen2 t= sen 2t

→ u2 + v2 = 1

que es una circunferencia de radio unitario; en este caso es necesario determinar los extremosdel intervalo para obtener los extremos del gráfico de la imagen. Otra forma de determinar es

1.5. FUNCIÓN UNÍVOCA 7

aplicando coordenadas exponenciales, es decir

ω =zz

→ ρ eiϕ =r eiθ

r e−iθ = ei 2θ →{ρ = 1ϕ = 2θ

claramente es una circunferencia de radio unitario y la segunda expresión muestra que elintervalo del ángulo se duplica, es decir 0 ≤ϕ < 2π , como se muestra en el gráfico.

X

Y

U

V

|z| = R |ω| = 1

1.5. Función unívoca

Se dice queω = f (z) es una función unívoca si ∀ z ∈D ⊆ C, existe un únicoω ∈ C, porlo que representa una relación uno a uno.

Por ejemplo f (z) = z2, se tiene que

ω = z2 → ρ eiϕ = (r eiθ)2 = r2ei 2θ →{ρ = r2

ϕ = 2θ

X

Y

U

V

|z| = R |ω| = 1

z1 = r1 eiθ1 → ω1 = r21 ei 2θ

z2 = r1 ei (θ1+π2 ) → ω2 = r2

1 ei (2θ+π)

z3 = r1 ei (θ1+π) → ω3 = r21 ei (2θ+2π) = r2

1 ei 2θ =ω1


1.6. Función Multívoca

Sea ω = f (z) una función que ∃∀ z ∈D ⊆ C, se dice que es una función multívoca ómultiforme si para cada punto z0 ∈D existe por lo menos dos puntos ω ∈ C en la imagen.Una función multiforme puede considerarse como una colección de funciones uniformes querepresentan cada una de las ramas de la función. Al punto z0 se denomina punto de ramificación(singularidad de las ramas, punto espiral) de ω = f (z) si por lo menos dos ramas de lafunción asignan el mismo valor o divergen al infinito.

Por ejemplo consideremosω = f (z) = 3√

z, entonces

ω = 3√

z → ρ eiϕ =3√r eiθ = r

13 ei θ3 →

{ρ = 3√

rϕ = θ

3

X

Y

U

V

|z| = R |ω| = 1

z1 = r1 eiθ1 → ω1 = r21 ei 2θ

z2 = r1 ei (θ1+π2 ) → ω2 = r2

1 ei (2θ+π)

z3 = r1 ei (θ1+π) → ω3 = r21 ei (2θ+2π) = r2

1 ei 2θ = ω1

1.7. Funciones elementales

Se denominan funciones elementales a aquellas que resultan de realizar una combinaciónde operaciones elementales entre funciones f (z) y g(z), de la forma: f (z)± g(z), f (z) · g(z),f (z)/g(z), f a(z), a f (z) y f (z)g(z); donde a ∈ C.

1.7.1. Polinómica

Polinomios de la forma

ω = P(z) = a0 + a1 z + a2 z2 + · · ·+ an zn ; ak ∈ C

1.7. FUNCIONES ELEMENTALES 9

1.7.2. Función Racional

Sean los polinomios P(z) y Q(z), entonces se define la función racional

ω = f (z) =P(z)Q(z)

=

m∑

k=0bk zk

n∑

k=0ak zk

=b0 + b1 z + b2 z2 + · · ·+ bm zm

a0 + a1 z + a2 z2 + · · ·+ an zn ; bk ∧ ak ∈ C

1.7.3. Función Exponencial

Se define la función exponencial aω = ez, puesto que z = x + i y, entonces

ω = ex+i y = ex ei y = ex cis(y) → ω = ez = ex (cos y + i sen y)

Propiedades: Se cumplen las siguientes propiedades:

e−z = 1ez

ez = ez

|ez| = eRe(z) = ex

f (z) = f (z + 2πi ), es decir: ez = ez+2πi

Ejemplo 1.5: Resolver la ecuación: ez = 2iSolución.- Puesto que ez = ex (cos y + i sen y), entonces

ex cos y + i ex sen y) = 2i →{

ex cos y = 0ex sen y = 2

dividiendo la segunda ecuación entre la primera

tan(y) = ∞ → y =π

2+ 2kπ

reemplazando en la segunda ecuación

ex sen(π

2+ 2kπ

)= 2 → ex = 2 → x = ln(2)

por lo que: z = ln(2) + i (π2 + 2kπ).

1.7.4. Función Logarítmica

Sea z = eω = g(ω), entonces f (z) = g−1(ω) = ln(z), puesto que z = eω+2nπi , entonces

z = eω+2nπi = eω e2nπi → ln(z) = ω+ i 2nπ


o tambiénω = ln(z) + i 2kπ ; k ∈ Z

por otra parte, puesto que z = r eiθ, entonces ln(z) = ln(r) + i θ, reemplazando

ω = ln(r) + i (θ+ 2kπ) → ω = ln |z|+ i [arg(z) + 2kπ ]

que representa una función multívoca, cuya rama principal es k = 0. Asimismo se puededeterminar de otra forma:

ω = u + i v ; z = r eiθ → r eiθ = eu+i v →{

r = eu

θ = v

y puesto que eiθ = ei (θ+2kπ), entonces v = θ+ 2kπ , aplicando logaritmos

z = eω → ω = ln(z) = ln(eu) + ln(ei v)

ω = ln(z) = ln(r) + i (θ+ 2kπ)ω = ln(z) = ln |z|+ i [arg(z) + 2kπ ]

X

Y

U

V

|z| = R |ω| = 1

Por ejemplo si z = i i , entonces ω = ln(z) = i ln(i ), por lo que

ln(z) = i[ln |i |+ i

(π2+ 2kπ

)]= −

(π2+ 2kπ

)z = eω → z = e−(

π2 +2kπ)

1.7.5. Función Potencial Generalizada

Seaω = f (z)g(z), entonces ln(ω) = g(z) ln[ f (z)], de donde

ω = e g(z) ln[ f (z)] → ω = e g(z){

ln | f (z)|+i[

arg[ f (z)]+2kπ]}

Por ejemploω = zn, es decir f (z) = z y g(z) = n, entonces

z = r ei theta → |z| = r ; arg(z) = θ


ω = en[

ln(r)+i (θ+2kπ)]= en

[ln(r)+iθ

]ei 2knπ = en

[ln(r)+iθ

]ω = en ln(r) ei nθ = en ln(r) (cos nθ+ i sen nθ)

Otro ejemplo (−1)−i , en este caso consideramos f (z) = −1 y g(z) = −i ; en este caso | f (z)| =1 y el ángulo arg( f (z)) = π , entonces

(−1)−i = e−i{

ln |1|+i[π+2kπ

]}→ (−1)−i = e(2k+1)π

1.7.6. Función trigonométrica

Tal como se ha mencionado de la identidad de Euler

ei z = cos z + i sen z ; e−i z = cos z− i sen z

de donde se puede obtener

cos z =ei z + e−i z

2; sen z =

ei z − e−i z

2 i; tan z =

sen zcos z

= −i(

ei z − e−i z

ei z + e−i z

)se cumplen las siguientes propiedades

cos2 z + sen2 z = 1

sen(z1 ± z2) = sen z1 cos z2 ± sen z2 cos z1

cos(z1 ± z2) = cos z1 cos z2 ∓ sen z2 sen z1

Ejemplo 1.7: Resolver la ecuación cos z = π i

Solución.- Reescribiendo y multiplicando por el exponencial negativo

cos z =ei z + e−i z

2= π i → ei 2z − 2πi ei z − 1 = 0

resolviendo

ei z =2πi ±

√(2πi )2 + 42

= πi ±√−π2 + 1 = i

(π ±

√π2 − 1

)por otra parte

ei z = ei (x+i y) = e(−y+i x) = e−y ei x = e−y (cos x + i sen x)

entonces

e−y (cos x + i sen x) = i(π ±

√π2 − 1

)→

{e−y cos x = 0e−y sen x = π ±

√π2 − 1


dividiendo la segunda expresión entre la primera

tan(x) = ∞ → x =π

2+ 2kπ ; k ∈ Z

reemplazando en la segunda ecuación

e−y sen(π

2+ 2kπ

)= π ±

√π2 − 1 → y = − ln

(π2+ 2kπ

)por lo que

z =(π

2+ 2kπ

)− i ln

(π2+ 2kπ

); k ∈ Z

1.7.7. Función Hiperbólica

Las funciones hiperbólicas están definidas por

cosh z =ez − e−z

2; senh z =

ez − e−z

2; tanh z =

senh zcosh z

=ez − e−z

ez + e−z

Propiedades:

cosh2 z− senh2 z = 1

senh(z1 ± z2) = senh z1 cosh z2 ± senh z2 cosh z1

cosh(z1 ± z2) = cosh z1 cos z2 ± senh z2 senh z1

senh(i z) = i sen z ; sen(i z) = i senh z

cosh(i z) = cos z ; cos(i z) = cosh z

1.7.8. Funciones Inversas: trigonométricas e hiperbólicas

En general si se cumple que z = g(ω) entonces ω = g−1(z) = f (z); si f (z) es unívocaentonces g(ω) es multívoca y viceversa, es decir

f (z) 7→ ω = f−1(z)unívoca 7→ multívoca

multívoca 7→ unívoca

En particular sea z = senω, entoncesω = arc sen z, para determinar la forma final

z = senω =eiω − e−iω

2i→ ei 2ω − 2zi eiω − 1 = 0


resolviendo

eiω =2zi ±

√(2zi )2 + 42

→ eiω = i ±+i√−z2 + 1 = z i ±

√1− z2

de donde aplicando logaritmos

i ω = Ln(

i z±√

1− z2)

→ ω = −i Ln(

i z±√

1− z2)

por lo quearc sen z = −i Ln

(i z±

√1− z2

)donde Ln(z), solo representa la parte principal del logaritmo. Repitiendo el procedimiento ypara un solo valor de la raíz, se puede obtener que:

a) arc sen z = −i Ln(

i z +√

1− z2)

b) arc cos z = −i Ln(

z +√

z2 − 1)

c) arctan z = − i2

Ln(

1 + i z1− i z

)d) arcsenh z = Ln

(z +√

z2 + 1)

e) arccosh z = Ln(

z +√

z2 − 1)

f) arctanh z = −12

Ln(

1 + z1− z

)

Ejemplo 1.10: Resolver la ecuación cos z = i π

Solución.- Aplicando la función inversa

z = arc cos(i π) → z = −i Ln(

i π +√(i π)2 − 1

)= −i Ln

[i(π +

√π2 + 1

)]de donde

z = −i[ln(π +

√π2 + 1

)+ i

(π2+ 2kπ

)]z =

(π2+ 2kπ

)− i ln

(π +

√π2 + 1

)

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