C 1 CINEMÁTICA Movimiento Mecánico. Bases para su estudio.

C 1 CINEMÁTICAC 1 CINEMÁTICA • Movimiento Mecánico. Bases para su Movimiento Mecánico. Bases para su estudio. estudio. • Métodos vectorial, de coordenadas y Métodos vectorial, de coordenadas y natural. natural. • Magnitudes cinemáticas.Magnitudes cinemáticas.• Movimiento unidimensional. Movimiento unidimensional. • Movimiento rectilíneo uniformemente Movimiento rectilíneo uniformemente variado. Movimiento rectilíneo uniforme.variado. Movimiento rectilíneo uniforme.• Caída libreCaída libre• EjemplosEjemplos

Bibliog. Sears, Física UniversitariaBibliog. Sears, Física Universitaria

Mecánica de Mecánica de los cuerpos los cuerpos

macroscópicosmacroscópicos

Movimiento Movimiento mecánicomecánico

Cinemática: Cinemática: Rama de laRama de la Mecánica Mecánica que se dedica a la descripción del que se dedica a la descripción del movimiento mecánico movimiento mecánico sin interesarse sin interesarse por las causaspor las causas que lo provocan. que lo provocan.

Dinámica: Dinámica: Rama de laRama de la Mecánica Mecánica que se dedica a que se dedica a investigar las causasinvestigar las causas que provocan el movimiento que provocan el movimiento mecánico. mecánico.

Movimiento Mecánico: Movimiento Mecánico: Cambio de Cambio de posición de posición de un cuerpoun cuerpo respecto respecto a otrosa otros, , tomados como referencia.tomados como referencia.

Carácter: Carácter: RelativoRelativo

Definir sistema Definir sistema bajo estudiobajo estudio

Definir Definir Sistema de Sistema de Referencia Referencia

(SR)(SR)

Bases para el estudio del Bases para el estudio del movimiento mecánicomovimiento mecánico

• Definición del Sistema de Referencia (Definición del Sistema de Referencia (SRSR))

• Utilización de Utilización de magnitudes físicasmagnitudes físicas apropiadas y apropiadas y relaciones entre ellas.relaciones entre ellas.

• Empleo de modelos para el sistema físico: Empleo de modelos para el sistema físico: Modelo de cuerpo rígidoModelo de cuerpo rígido y y Modelo de partículaModelo de partícula..

• Utilización del Utilización del principio de independenciaprincipio de independencia de de los movimientos de Galileo así como del los movimientos de Galileo así como del principio de superposiciónprincipio de superposición..

SRSR:: Cuerpos que se toman como referencia para Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio.describir el movimiento del sistema bajo estudio.


x(t)x(t)

y(t)y(t)

z(t)z(t)

Se le asocia Se le asocia

• ObservadorObservador

• Sistema de Sistema de CoordenadasCoordenadas

y

x

z

• RelojReloj


SRISRI:: Es aquel para el cual el Es aquel para el cual el sistema bajo estudio en sistema bajo estudio en

ausencia de la acción de otros ausencia de la acción de otros cuerpos, se mueve con MRU.cuerpos, se mueve con MRU.


Magnitudes Físicas Magnitudes Físicas

CinemáticasCinemáticas

Posición, Posición, Velocidad, Velocidad,

Aceleración Aceleración

Dinámicas Dinámicas

Fuerza, Torque Fuerza, Torque


ModelosModelos

de Partícula: de Partícula: el cuerpo puede ser el cuerpo puede ser considerado como un objeto puntual.considerado como un objeto puntual.

de Cuerpo Rígido: de Cuerpo Rígido: Las distancias Las distancias entre los diferentes puntos del entre los diferentes puntos del cuerpo no varían.cuerpo no varían.

Traslación puraTraslación pura

Rotación pura de cuerpo Rotación pura de cuerpo sólidosólido

Es aplicable el modelo del cuerpo Es aplicable el modelo del cuerpo rígido pero no el de partícularígido pero no el de partícula

ObjetivoObjetivo

Determinación de las Determinación de las Leyes del Leyes del MovimientoMovimiento

Posición (t), Velocidad (t), Aceleración (t)

Describir el Describir el Movimiento Movimiento

mecánicomecánico

MétodosMétodos•Vectorial Vectorial ((conciso, elegante)conciso, elegante)

•de Coordenadasde Coordenadas Mayor número de Mayor número de ecuacionesecuaciones

•NaturalNatural Coordenadas curvilíneasCoordenadas curvilíneas

Problemas de Problemas de la cinemáticala cinemática

Posición (t)Posición (t)

VelocidadVelocidad (t)(t)

AceleraciónAceleración (t)(t)

P. D

irectoP

. Directo P

. In

vers

oP

. In

vers

o

Con

d. I

nic

iale

sC

ond.

In

icia

les

ttr

tr

)(: trposición

ttV

tV

dtdr

tr

tVvelocidadt

lim

0

)(:dtdV

tanaceleració )(:

mV r

tr

Vmediavelocidad m :

r

)()(: trttrrentodesplazami

t

tVttVanaceleració m

:media

VectorialVectorialdr

)(tx

)(ty

)(tz)(),(),(: tztytxposición

,)(:dtdx

tVvelocidad x

dtdy

tVy )(

dtdz

tVz )(

dtdV

tanaceleració xx )(:

dt

dVta y

y )(

dtdV

ta zz )(

De Coord.De Coord.

y

x

zzyxentodesplazami ,,:

,)(: Vdtds

tVvelocidad

dtdV

taT )(

Ta

a

22

TNaaa

n

0s0s

nV

dtd

Vtanaceleració N 2

)(:

Na

NaturalNatural

)()(: Vdtd

dtdV

tanaceleració

n

)(: tsposición

0s

MetodologíaMetodología• Identificar sistema físicoIdentificar sistema físico

• Selección del SRI (Ubicación del Observador)Selección del SRI (Ubicación del Observador)

• Selección del método o métodos (vectorial, de Selección del método o métodos (vectorial, de coordenadas o natural)coordenadas o natural)

• Resolver el problema directo (Resolver el problema directo (derivandoderivando) o el ) o el indirecto (indirecto (integrandointegrando) o ambos: ) o ambos: Hallar Hallar analíticamente la dependencia temporal de la analíticamente la dependencia temporal de la posición, la velocidad y la aceleración; y posición, la velocidad y la aceleración; y Dibujar las gráficasDibujar las gráficas

y

x

t1

t2

A

B

r

r(t1)

r(t2)

r(t1) Vector posición en el instante t1

r(t2) Vector posición en el instante t2

Vector desplazamiento

El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo [t1 , t2] esta dado por:

¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para hallar el vector desplazamiento?

)t()t( 12rrr

B

t1

t2No es necesario conocer la trayectoria para determinar el vector desplazamiento en el intervalo de tiempo deseado, solo es necesario conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo

A

r

Vector velocidad media

Se define el vector velocidad media en el intervalo de tiempo [t1 , t2] como:

sm

tt

rr

tr

V12

ttm

12

y

x

t1

t2

A

B

rmV

r//Vm

)(t1r

)(t2r

La velocidad media apunta en la misma dirección del vector

desplazamiento

Y(m)

x(m)

t1

t2Δl

:Δl Distancia total recorrida en el intervalo de tiempo [t1 , t2]

r

Rapidez mediaLa rapidez media es igual a la distancia total recorrida entre el tiempo total empleado

tl

empleadotiemporecorridadistancia

v~m

• La rapidez media no es un vector

• la rapidez media no es igual al modulo del vector velocidad media (para el mismo intervalo de tiempo)

mm Vv

t2

t'2

t"2

t1

B

A

Y(m)

x(m)

v

r1

r

r2

mV

r2'

r'

mV

r2"

r"

mV

t3A

Y(m)

x(m)

El vector velocidad instantánea es tangente a la

trayectoria que describe la partícula

t2

t1

)v(t1 )v(t2)v(t3

vv

La velocidad instantánea es la derivada del vector posición respecto del tiempo

Velocidad instantánea

dtdr

tr

limv(t) 0t

Esta expresión podemos expresarla en función de sus componente rectangulares

dtdx(t)

vx dt

dy(t)vy

dtdz(t)

vz

dtdr

tr

limv(t) 0t

Rapidez instantánea

tl

v(t) 0

~tlim

Si 0Δt rt1

t2

Δl

rl dr

vtd

dr

Rapidez instantánea

La rapidez instantánea es igual al modulo de la velocidad instantánea

dtdr

tr

limv~ 0t(t)

)t((t) vv~

Al modulo de la velocidad instantánea se le conoce como rapidez instantánea

A

Y(m)

x(m)

t2t1

12

12m tt

)V(t)V(ta

)v(t1)v(t2

Aceleración media

Se define la aceleración media como la rapidez de cambio de la velocidad instantánea en un determinado intervalo de tiempo

212

12m

s

mtt

)V(t)V(ta

Y(m)

x(m)

La aceleración en este pequeño intervalo de tiempo apunta hacia la concavidad

de la trayectoria

t)v(t

t1 )v(t1

v

v atV

lima ot(t)

a

dtˆd

vdtdv

ˆa

La aceleración instantánea es igual a la derivada del vector velocidad instantánea respecto del tiempo t

(t)a dt

ˆvddtdV

nv

v

ˆdtdv

anaˆaa n

dtdv

a

2

nv

a

2n

2 aaa

Na

Ta

Es la aceleración normal , responsable del cambio de dirección de la velocidad

Es la aceleración tangencial responsable del cambio del modulo de la velocidad

dt(t)dv

a xx

dt

(t)dva y

y dt

(t)dva z

z

Expresado en componentes rectangulares

dtdV

a

Resumen:

Si se conoce la posición de la partícula con el

tiempo r(t) podemos determinar su velocidad y aceleración instantánea por simple derivación

dt

drv (t)

(t)

2(t)

2(t)

(t)dt

rd

dt

dva naa

Problema directo

Así mismo si se conoce la aceleración con el tiempo es posible encontrar la posición y la velocidad usando el camino inverso, es decir integrando:

dtadvdt

dva (t)

(t)(t)

t

t

(t))(t(t)

O

Odtavv

t

t

(t))(t(t)

O

Odtavv

dtvdrdt

drv (t)

(t)(t)

t

t

(t))(t(t)

O

Odtvrr

Son los vectores posición y velocidad en el instante to

Problema inverso

Ejemplo 1:Si el vector posición de una partícula esta dada por:

ktj1)2t(ti1)(2tr 423

(t)ˆˆˆ

Hallar:

1) el vector posición para t= 0 y 2 s 2)El vector desplazamiento en el intervalo [0,2]s3) su velocidad media en el intervalo [0,2]ssu velocidad instantánea en t = 0 y t=2 s5) su aceleración media en el intervalo [0,2]s6) su aceleración instantánea en t = 0 y 2s

Movimiento en una

dimensión

Podemos aplicar lo discutido anteriormente al caso de una partícula moviendose en una sola dimensión, por ejemplo a lo largo del eje x

ivvix(t)r (t)(t)(t)

iaa )t()t(

x)(to

v

(t)v

)(tor

(t)r

Para el movimiento en el eje X las ecuaciones se reducen a:

0ta

Movimiento rectilíneo variado

va Movimiento rectilíneo aceleradov y a igual signo

va

)t(a)t(vtx

Movimiento rectilíneo retardadov y a signos opuestos

X(t)

t

p

Q

R 0v

0v

0v

dt

dxv (t)

Velocidad instantánea

tti tf

t

a > 0a = 0

a < 0

Aceleración instantánea

dt

dva (t)

tti tf

t

En toda gráfica v versus t el área bajo la curva es igual al desplazamiento del móvil

curvalabajoarea2

1

t

t

vdtΔxv

dtdx

Ejemplo 1:

En la gráfica velocidad versus tiempo, haga un análisis del tipo de movimiento e indique en que tramos el movimiento es acelerado o desacelerado

2 4 8 12 16 t(s)

V(t)

Diremos que un movimiento rectilíneo es uniforme variado si la aceleración del móvil permanece constante en todo momento.

Supongamos que una partícula parte de la posición xo en el instante t0=0 , con una velocidad vo

x

t

0

v

v

adtdvo

aov (t)vox

(t)xt=0

Como a= cte. entonces dv/dt=a es fácil de integrar

tvv o(t) a Velocidad instantánea

Problema inverso

Podemos ahora determinar la posición de la partícula en cualquier instante de tiempo t

t

0(t)dtvdx

x

xo

t

0o t)dtvdx a

x

xo

(

tvv o(t) a

2

oo(t) t21

tvxx a

x

aov (t)vox

(t)xt=0

Hallaremos ahora una expresión para determinar la velocidad media en el intervalo de tiempo [0, t]:

ΔtΔx

Vm t

x-xV o(t)

m

x

aov (t)vox

(t)xt=0

t

x-xV o(t)

m

2oo(t) t

21

tvxx at

v-va o(t)

Y usando las ecuaciones anteriormente deducidas

x

aov (t)vox

(t)xt=0

2

vv

t

x-xV o(t)o(t)

m

Finalmente obtenemos

x

aov (t)vox

(t)xt=0

Δx2vv 2

0

2

(t)a

También se puede demostrar:

Donde : 0(t) xxΔx Es el desplazamiento en el intervalo de tiempo [0 , t]

Δx2vv 2

0

2

(t)a

Resumen

0(t) xxΔx

[0 , t]

tvv o(t) a2

oo(t) t21

tvxx a

2

vv

t

x-xV o(t)o(t)

m

2

vv

tt

x-xV )(t)(t

12

)(t)(t

m1212

[t1 , t2 ]

ctea MRUADespejando t en la 1ra y sustituyendo

en la 2da, se obtiene la 3ra

Movimiento Uniformemente AceleradoMovimiento Uniformemente Acelerado

tvv o(t) a

at

tt

Pendiente =

a

xo

x(t)

t

Pendiente = v0

pendiente = v(t)

2

oo(t) t21

tvxx a

O t

a

aPendiente = 0

a

Movimiento Rectilíneo Uniforme MRUMovimiento Rectilíneo Uniforme MRU

datoa :0

atVV 0

0

2

2

00

attVxx

0

aa

VV

xx

tt

tt

tt

xx00

VV00

Movimiento ParabólicoMovimiento Parabólico0xa

xx VV 0

tVxx x00

MRU MRU

Eje xEje x

gay gtVV yy 0

2

2

00

gttVyy y

MRUV MRUV

Eje yEje y

v0 -v0

V =0

Haga click en la bolita verde

jga jvv

00

y

0

gtvv0

2gt21

tvyy00

yg2vv 20

2

av

x

t t

t

v0

-v0-g

tvtv/2

tv

H

jga

gtvv0

2gt21

tvyy00

Problema 7

Una partícula de 2 kg es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 100 m/s, determine:

a) El tiempo que permanece en el aire.

b) Su posición en el instante t = 5 s.

c) La altura máxima alcanzada.

d) Su desplazamiento entre 5 y 15 s

e) El tiempo que demora en cambiar la velocidad de 60 m/s a -60m/s

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