37

Es la parte de la Mecánica Clásica que describe el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas

(fuerzas) que lo producen, limitándose esencialmente al estudio de la trayectoria en función del tiempo. Esta descripción se analiza gráfica y analíticamente en base a las siguientes magnitudes físicas: Longitud, desplazamiento, velocidad, aceleración y tiempo.

• Sistema de referencia: Se llama así al sistema de coordenadas asociado a un cuerpo de referencia

provisto de relojes. En general el cuerpo de referencia es un observador situado en la tierra. • Sistema de referencia inercial: Se llama así al sistema de referencia que está en reposo relativo o se

mueve con velocidad lineal y angular constantes. • Sistema de referencia no inercial: Se llama así al sistema de referencia que tiene movimiento

acelerado, sea este rectilíneo o curvilíneo, o ambos. • Movimiento: Un cuerpo está en movimiento cuando sus coordenadas varían a medida que transcurre el

tiempo respecto a un sistema de referencia fijo, ubicado en O, llamado observador. Ver Fig. 1 Fig. 1 ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO: ü Móvil: Es todo cuerpo o partícula que está cambiando de posición. ü Intervalo de Tiempo �∆��: Tiempo empleado en realizarse un acontecimiento: ∆�� �� �� ü Instante: Se define como un intervalo de tiempo pequeño, tan pequeño que tiende a cero.

∆�→ � ü Vector Posición (��): Es el vector trazado desde el observador hacia el móvil (ver fig. 1) para indicar la

posición del cuerpo en cualquier instante de su movimiento. ü Trayectoria: Es el lugar geométrico formado por los distintos puntos registrados por el móvil a

medida que transcurre el tiempo (Ver fig. 1)

ü Longitud recorrida (l ): Es una magnitud escalar que expresa la longitud de la trayectoria.

ü Desplazamiento (→d): Es una magnitud física vectorial que expresa el cambio de posición del móvil. Se

traza a lo largo de la recta que une los puntos inicial y final del movimiento. Su módulo representa la

distancia entre dos puntos. Ver Fig. 1 →→→

−= orrd

ü Velocidad (→v): Es una magnitud física vectorial que representa la variación instantánea de la posición

en el tiempo. Se expresa en el S.I. en m/s.

ü Velocidad Media (m

V→ ): Magnitud física vectorial definida como el desplazamiento de un cuerpo (

→d)

en el transcurso del tiempo (t).

���� � ��

∆�

Cinemát ica I : Movimiento Rect i líneo

Y

��

���

���

��

��

X O

Trayectoria

l

38

ü Rapidez Media ( v ): Magnitud física escalar definida como la longitud total recorrida por el cuerpo

(l) a través del tiempo ( t )

� ���

ü Aceleración (→

a ): Magnitud física vectorial definida como el cambio instantáneo de la velocidad (→v)

en el tiempo (t). En el S.I. se mide en m/s2.

ü Aceleración media (→

ma ): Magnitud física vectorial definida como el cambio de la velocidad (→

∆ v ) en

un intervalo de tiempo ( t∆ ),

tvam ∆

∆=

→→

→

∆ v = cambio de velocidad

tvva o

m ∆−

=

→→→

t∆ = variación de tiempo

a) Por su Trayectoria:

Movimiento Rectilíneo: Trayectoria recta Movimiento Curvilíneo: Trayectoria curva: circular, parabólica, elíptica, etc.

b) Por su Rapidez:

CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO Movimiento Uniforme: El módulo de la velocidad (rapidez) no Varía con el tiempo.

Movimiento Variado: El módulo de la velocidad cambia con el tiempo.

c) Por la Orientación de los Cuerpos en su Movimiento

Movimiento Rotacional Movimiento de Traslación Movimiento de Traslación y Rotación

39

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)

Características

§ La trayectoria es una línea recta, por lo que el movimiento es unidimensional. § La velocidad se mantiene constante, es decir, la dirección, el modulo y el sentido de la velocidad no

cambian. § En todo instante, la aceleración del cuerpo es nula (a=0). § El móvil recorre distancias iguales en intervalos de tiempo iguales. § La velocidad media coincide con la velocidad instantánea. § La distancia que recorre el cuerpo, es directamente proporcional al tiempo, esto es: d ∞ t.

Ecuaciones de Movimiento del MRUV:

1. Velocidad: La velocidad media que coincide con la velocidad instantánea, viene dado por: ����� ������ �������

2. Distancia recorrida: La distancia recorrida para dos instantes de tiempo ��, t (con t>��), viene dado por:

d=|������ ����|=�������� ���� Si el cuerpo regresa al punto de partida la distancia recorrida es nula, pues, la posición inicial ��� y final ���� coinciden.

3. Posición final: La posición final del cuerpo, corresponde al instante del tiempo “t”, viene dado por:

���� ���� � ������� ���

4. Tiempo de alcance (��): El tiempo que demora en alcanzar el móvil B al móvil A, separados inicialmente por una distancia “d”, viene dado por:

��= ������

Siendo, �� � �� las rapideces con las que se mueven B y A, respectivamente.

5. Tiempo de encuentro (��): El tiempo que demoran en encontrarse los móviles A y B, inicialmente separa dos por una distancia “d”, viene dado por:

��= ������

Siendo, �� y �� las rapideces con las que se mueven A y B, respectivamente.

* A B

VB VA tE tE

d

A B

VB VA

d

40

DESCRIPCIÓN GRÁFICA DEL MRU

Fig. 2 Fig. 3

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) Características:

• Su trayectoria es una línea recta, no necesariamente en una sola dirección, la aceleración es constante.

• En este tipo de movimiento, la variación de la velocidad (→

∆V ) es directamente proporcional al tiempo. • En tiempos iguales, las distancias recorridas son diferentes. • La velocidad media es igual a la semisuma de su velocidad inicial y su velocidad final. • Si la velocidad inicial (����) es nula, las distancias recorridas son directamente proporcionales a los

cuadrados de los tiempos empleados: 31 22 2 2

1 2 3

dd d ctet t t

= = =

Ecuaciones de Movimiento del MRUV:

���� ���� � ��. � ............ (1) �� � ��

� � 2��. �� ............ (2) ��� ������ �

����� ............ (3)

��� �����������

��� ............ (4)

��� ��� � ������ �

����� ............ (5)

��� � ���� � �

����2� � 1�

desplazamiento recorrida en el enésimo segundo ............ (6)

¡ATENCIÓN! La fórmula (6) es la simplificación de: ��� � ������ �

����2� � 1��� donde, como

el recorrido es en 1 segundo, el tiempo se reemplaza por t = 1 s

Distancia: d = |A1 – A2|

Longitud recorrida:

l = |A1| + |A2|

41

El módulo de la aceleración de la gravedad cambia con la latitud y la altitud. A 45º de latitud y a una altura pequeña respecto al radio terrestre se puede considerar que la aceleración de la gravedad, tiene un valor constante, e igual a:

g = 9,8 m/s2 ó g = 32 pies/s2

Cabe resaltar que como la tierra no tiene forma esférica perfecta, sino mas bien, el de una geoide (achatada en los polos y ensanchada en el ecuador) es que la gravedad no es la misma en todos los puntos de la superficie terrestre.

DESCRIPCIÓN GRÁFICA DEL MRUV

Fig. 4 Fig. 5

Fig. 6

CAÍDA LIBRE DE UN CUERPO

Con la experiencia de Galileo Galilei, se comprobó que la caída libre de los cuerpos, es un movimiento vertical uniformemente variado y que todos los cuerpos, en el vacío, caen con la misma aceleración, siendo ésta la

aceleración de la gravedad (→g ).

De la figura: Movimiento vertical a) Hacia arriba: Movimiento desacelerado b) Hacia abajo: Movimiento acelerado

1) Al mismo nivel: V1 = V5 ; V2 = V4 2) En la altura máxima: V3 = 0 3) Para iguales desplazamientos: t1 = t2

Fig. 7

Si el área A, que forma la gráfica con el eje del tiempo, está sobre el mismo, ésta se considera (+), en caso contrario, cuando esté debajo del eje del tiempo, ésta se considerará (-). a = tg θ = cte

42

¡OBSERVA! “���” = Es la distancia vertical entre dos puntos de la trayectoria “����” = Es el desplazamiento vertical en el n-ésimo segundo módulo.

Ecuaciones de caída vertical:

���� ���� � ��. � tvuelo = gV o2

(tiempo de vuelo)

�� � ��� � 2��. ��� hmáx =

gV o

2

2 (altura máxima)

���� ������ �

�����

���� �����������

���

���� � ���� � �

����2� � 1�

Velocidad limite

Cuando una bolita de radio “R”, densidad “��” se suelta en A dentro de un líquido de densidad “��” y viscosidad “�”, este se mueve durante el tramo AB con movimiento acelerado bajo la acción de su peso, empuje y fuerza de fricción, hasta alcanzar en B una velocidad llamada limite (��), a partir del cual, se mueve con velocidad constante anulándose la aceleración, la expresión de a velocidad limite, viene dado por:

�� � �������������

Ejemplos ilustrativos: 1. Un motociclista emprende la subida de un cerro de 4 Km de altura, el tiempo total que se demora en llegar

a la cima es 4h, pero en el trayecto el motociclista descansó una hora. Si la diferencia de lecturas del kilometraje es 80 Km, entonces la rapidez media, en Km/h, es:

a) 20 b) 26,66 c) 1 d) 1,33 e) 21 Solución: Datos: Tiempo total: t = 4h Distancia recorrida: l = 80 Km

La rapidez media será : Vm = tl =

480 = 20 Km/h

Rpta: a

a>0

a=0

A

��=0

B

��

C

��

43

2. Carlitos sale puntualmente todos los días de su casa a las 7:00 a.m. para dirigirse al CPU; llegando a este a

las 7:20 a.m. Si el diagrama representa la trayectoria descrita por este dedicado alumno, calcular: A) La distancia recorrida , en m B) El desplazamiento, en m C) La rapidez media, en m/s D) El módulo de la velocidad media, en m/s

a) 325 ; 325 b) 301,04 ; 300∧i -25

∧j c) 325 ; 300

∧i + 25

∧j

0,25 ; 0,25 0,27 ; 0,27 0,25 ; 0,27

d) 325 ; 300∧i - 25

∧j e) 325 : 325

∧i - 325

∧j

0,27 ; 0,25 0,27 ; 0,27

Considere: A : Casa de Carlitos B : Puerta de entrada del CPU Solución: Aislemos la trayectoria efectuada por Carlitos

A) Longitud recorrida l = 100 + 10 + 80 + 15 + 120 = 325 m

B) Desplazamiento :

∧∧→−= j25i300d

C) Longitud recorrida: l = 325 m

44

Tiempo empleado: de 7:00 a.m. a 7:20 a.m. han transcurrido 20 min. t = 20 min = 1200 s

Rapidez media: V= smVt

/27,01200325

=⇒=l

D) Desplazamiento: ∧∧→

−= j25i300d ⇒ 22 25300|d| +=→

m04,301|d| =→

Tiempo completo: t = 1200 s

Módulo de la velocidad media: ����� �� ��

∆�� ���,��

����� 0,25� /�. Rpta. d

Observación:

Cabe resaltar que l ≠ |d|→

y →

≠ |V|V m__

3. Los móviles mostrados están separados por una distancia de 181 m en el instante mostrado, y se mueven con velocidades constantes de módulos 3 m/s y 4m/s respectivamente. Después de qué tiempo, en segundos, a partir de este instante se encontraran a la misma distancia del punto A, sabiendo que en ese momento los separa una longitud de 6 2 m?

a) 0,25

b) 0,5 c) 0,75 d) 1 e) 1,5

Solución: De acuerdo al problema, los movimientos de cada uno son rectilíneos uniformes, de allí que recorrerán las

distancias: d1 = 3t y d2 = 4t hasta que estén a la misma distancia de A. Por proporciones: Del ADE: x 2 = 6 2 x = 6 m Del ABC: Por el teorema de Pitágoras (x + 3t)2 + (x + 4t)2 = ( 181 )2 Donde: x = 6m (6 + 3t)2 + (6 + 4t)2 = 181 36 + 36 t + 9t2 + 36 + 48t + 16t2 = 181 25t2 + 84t + 72 - 181 = 0 25t2 + 84t - 109 = 0 25t 109 t -1 (25t + 109) (t - 1) = 0 t - 1 = 0 t = 1 s Rpta. d

45

4. A continuación se presentan los gráficos de movimiento de un cuerpo que se mueve a lo largo del eje x.

Determine la aceleración del mismo, en m/s2.

a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) Solución:

Del gráfico x vs t Del gráfico V vs t

Del gráfico a vs t d = x - x0 = 10 - 2 = 8m V0 = 2m/s

a = ? (cte) t = 2 s t = 2 s

t = 2 s V ⇒ Deducimos que es un mruv ⇒ En a vs t : Área = ∆V 2a = V - V0 2a = V - 2 V = 2a + 2

Y de la fórmula del MRUV: d = t2

vV0

+

8 = ( ) )2(

22a22 ++

8 = 2a + 4 4 = 2a a = 2m/s2 Rpta. c 5. Un cuerpo se deja caer desde una altura de 80m, ¿qué distancia recorrerá en el segundo segundo de su

movimiento, en m? (g = 10 m/s2) a) 10 b) 12,5 c) 15 d) 17,5

e) 20 Solución: Vo = 0

n = 2 g = 10 m/s2 De la fórmula para la distancia recorrida en el n-ésimo segundo:

46

( )1n2a

21Vd on −+= , donde a = g = 10 m/s2

Reemplazamos los datos:

( )12x210x210dn −+=

m15dn = Rpta. c

PROBLEMAS PROPUESTOS CINEMÁTICA I

01. Un móvil recorre la trayectoria ABC en 8s

Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones: I) El vector posición cuando se encuentra en B es 3 ��+4�� ( ) II) La longitud de la trayectoria recorrida es 4m. ( ) III) El desplazamiento total es 4m ( ) IV)La velocidad media de su movimiento es 1/2 �� m/s ( ) V) La rapidez media de su movimiento es 1m/s ( ) A) FFFVV B) FFVFF C) VVVFF D) FFFFF

E) FFFVF

2. ¿Cuántas afirmaciones son ciertas? a) la cinemática estudia el movimiento de los cuerpos considerando las causas que lo produce. b) El movimiento es un concepto relativo, es decir depende de la descripción del observador. c) La aceleración es una magnitud física vectorial. d) El módulo de la aceleración de un móvil que cambia su rapidez de 40m/s a 60m/s en 5s es 4m/s2 . e) Un movimiento es variado si su rapidez cambia durante el tiempo. f) La aceleración de la gravedad depende del lugar geográfico. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. Los 3 móviles con MRU parten en simultáneo. Halle Vx para que los tres se encuentren en un mismo punto (en m/s)

47

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

4. Cuantos de las siguientes afirmaciones son ciertas. a) En el MRU la rapidez es constante. b) En el MRU el desplazamiento es proporcional a la velocidad. c) En el MRU la gráfica de posición X vs tiempo es una recta inclinada. d) En el MRUV si el móvil parte del reposo, la distancia recorrida es proporcional al cuadrado del tiempo. e) En el MRUV la velocidad cambia a un ritmo constante conforme pasa el tiempo. f) En el MRUV el área bajo las curvas de velocidad vs el tiempo representan la aceleración. A) 4 B) 5 C) 6 D) 3 E) 2

5. Se dispara un cuerpo verticalmente desde el piso con una rapidez de 40m/s. ¿en qué instante (en s) su rapidez es 10m/s?, g = 10m/s2 A) 3 y 7 B) 5 y 6 C) 5 y 7 D) 3 y 5 E) 4 y 5

6. Dos cuerpos son lanzados en la misma vertical en simultáneo. Determine luego de cuánto tiempo se encuentran, g

= 10m/s2, (en s)

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

7. Desde la rendija de un edificio un joven ve subir una pelota lanzada verticalmente desde el piso con rapidez de 40m/s, si al cabo de 2s la vuelve a ver en descenso ¿ A qué altura (en m) respecto del suelo se encuentra la rendija? , g = 10m/s2 A) 30 B) 40 C) 50 D) 60

E) 75

8. Desde la parte delantera de un tren de 100m de largo se lanza verticalmente una esfera hacia arriba en el

preciso instante en que el tren inicia su movimiento con una aceleración de 2m/s2. Determine la rapidez ( en m/s) con que se lanzó la esfera si se sabe que impactó en la parte posterior del tren.(g = 10 m/s2)

48

A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 100

9. Dos nadadores a y b parten de orillas opuestas A y B de una piscina de 50m de longitud con rapideces de 3 y 2 m/s respectivamente. ¿A qué distancia de la orilla A se cruzan por quinta vez (en m)? A) 5 B) 10 C) 20 D) 30

E) 40

10. Un móvil cubre una distancia de 160 Km con una rapidez constante V, llegando a las 9:00am, si su velocidad

disminuye en 40 Km/h llega a las 11:00am. Determine V en Km/h. A) 60 B) 70 C) 80 D) 90

E) 100

11. Desde una cornisa de un edificio se suelta un objeto que tarda 0,2s en pasar por una ventana de un 1m de longitud vertical ¿A qué altura por encima de la ventana fue soltada el objeto (en m)? g = 10m/s2 A) 1,4 B) 0,4 C) 1,2 D) 0,6 E) 0,8

12. Halle la rapidez (en m/s) de un hombre que camina sobre una escalera mecánica de 30m en un supermercado, la cual la cruza en 10s caminando a favor y en 30s si camina en contra. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

E) 6

13. Desde lo alto de un edificio de 100m se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una rapidez de

20m/s ¿a qué altura sobre el suelo (en m) se encuentra a los 5s ? g=10m/s2 A) 50 B) 60 C) 65 D) 70

E) 75 14. Halle la rapidez con la que fue lanzado en forma vertical un objeto desde el suelo si a los 48m de altura su

velocidad se reduce a la cuarta parte (en m/s), g = 10m/s2 . A) 24 B) 28 C) 30 D) 32

E) 36 15. Un camión de 20m de longitud adelanta a un caminante en 2s , si este último se dirige en el mismo

sentido en la carretera corriendo a razón de 4m/s . Halle la rapidez de un segundo camión igual al anterior viajando en el mismo sentido si cruza al primero en 2s. ( en m/s) A) 26 B) 32 C) 34 D) 36

E) 44 16. Halle la rapidez mínima constante (en m/s) que debe tener el móvil A para dar alcance al móvil B que parte

del reposo con una aceleración de 4m/s2, si parten en simultáneo.

49

A) 30 B) 40 C) 50 D) 60

E) 80

17. Un móvil con movimiento rectilíneo parte con velocidad inicial de +2�� m/s bajo el siguiente gráfico de aceleración. Halle la rapidez al cabo de 7s (en m/s)

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

E) 4

18. El gráfico de posición para un móvil es la parábola. Determine su rapidez (en m/s) al cabo de 4s.

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

50

19. Dado el siguiente grafico de velocidad para un móvil que parte del origen (x = 0m) . ¿ En qué tiempo (en s)

regresa al punto de partida ?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10

20. Las gráficas de velocidad vs tiempo para dos móviles A y B se indica. ¿Qué distancia (en m) los separa al cabo de 8s desde que parte A?

A) 28 B) 32 C) 38 D) 42 E) 48