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Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Tema 3Prof.Dr. Emilio Gómez GonzálezDpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería
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Tema 3: Cinemática de
la partícula*
Física I
Grado en Ingeniería Electrónica,
Robótica y Mecatrónica (GIERM)
Primer Curso
*Prof.Dra. Ana Mª Marco Ramírez
Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Tema 3Prof.Dr. Emilio Gómez GonzálezDpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería
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Índice
Introducción
Cinemática del movimiento en una dimensión
(movimiento rectilíneo)
Cinemática del movimiento en dos y tres dimensiones.
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Introducción (I)
La Mecánica es la parte de la Física que
estudia el movimiento de los cuerpos, así
como los conceptos relacionados de fuerza y
energía.
Clasificación:
Cinemática: descripción únicamente geométrica
del movimiento, sin atender a las causas.
Dinámica: principios y leyes físicas. Fuerza,
energía.
Estática: cuerpos en reposo permanente o
equilibrio. Caso particular de la dinámica.
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Introducción (I)
Modelo de partícula o punto material.
Definición: cuerpo de dimensiones tan
pequeñas comparadas con las distancias que
recorre que podemos representarlo como un
punto geométrico.
Ej: La Tierra, en su movimiento en torno al Sol,
puede ser tratada como una partícula:
Diámetro Tierra ~13 × 106m
Distancia Tierra-Sol ~15 × 1010m
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Índice
Introducción
Cinemática del movimiento en una dimensión
(movimiento rectilíneo)
Posición y desplazamiento
Velocidad: media e instantánea
Aceleración
Ejemplos de movimiento rectilíneo
Cinemática del movimiento en dos y tres dimensiones.
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Cinemática del movimiento en una
dimensión: velocidad
Velocidad media: 𝑣𝑚 =∆𝑥
∆𝑡
Velocidad instantánea: 𝑣 = lim∆𝑡→0
∆𝑥
∆𝑡=
∆𝑥
∆𝑡= 𝑥
Dimensiones: 𝑣 = 𝐿 ⋅ 𝑇−1 Unidades SI: m/s
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Cinemática del movimiento en una
dimensión: aceleración
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Cinemática del movimiento en una
dimensión: ejemplos
Movimiento rectilíneo uniforme:
𝑎 = 0𝑣 = 𝑣0
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:
𝑎 = 𝑐𝑡𝑒𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +1
2𝑎𝑡2
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Índice
Introducción
Cinemática del movimiento en una dimensión
(movimiento rectilíneo)
Cinemática del movimiento en dos y tres dimensiones
Desplazamiento, velocidad y aceleración
Movimiento de proyectiles (tiro parabólico)
Movimiento circular
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Cinemática del movimiento en
dos y tres dimensiones: 𝒓 y ∆𝒓
Vector posición 𝑟:
𝑟 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧𝑘 𝑟 = 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
Vector desplazamiento ∆ 𝑟:
∆ 𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑥2 − 𝑥1 𝑖 + 𝑦2 − 𝑦1 𝑗+ 𝑧2 − 𝑧1 𝑘
∆ 𝑟 = (𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1)
2+(𝑧2 − 𝑧1)2
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Cinemática del movimiento en
dos y tres dimensiones: 𝒗𝒎 y 𝒗
Vector velocidad media:
𝑣𝑚 =∆ 𝑟
∆𝑡= ∆𝑥 𝑖 + ∆𝑦 𝑗+∆𝑧𝑘
Vector velocidad instantánea:
𝑣 = lim∆𝑡→0
∆ 𝑟
∆𝑡=
𝑑 𝑟
𝑑𝑡= 𝑟 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗+ 𝑧𝑘
𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗 + 𝑣𝑧𝑘
Celeridad: 𝑣 = 𝑣 = 𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦
2 + 𝑣𝑧2 =
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
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Cinemática del movimiento
en dos y tres dimensiones: 𝒂
𝑎 = lim∆𝑡→0
∆ 𝑣
∆𝑡= lim
∆𝑡→0
𝑣 𝑡 + ∆𝑡 − 𝑣(𝑡)
∆𝑡=𝑑 𝑣
𝑑𝑡
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Cinemática del movimiento en dos
y tres dimensiones: 𝒂, 𝒂𝒕 y 𝒂𝒏 (I)
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Cinemática del movimiento en dos
y tres dimensiones: 𝒂, 𝒂𝒕 y 𝒂𝒏 (II)
Introduciendo el vector unitario tangente, 𝑇 =𝑣
𝑣∶
𝑎𝑡 = 𝑣 ⋅ 𝑎 𝑣
𝑣2= 𝑇 ⋅ 𝑎 𝑇 = 𝑎𝑡𝑇 ; 𝑎𝑡 = 𝑎∥𝑣 = 𝑇 ⋅ 𝑎
𝑎𝑛 =( 𝑣 × 𝑎) × 𝑣
𝑣2= 𝑇 × 𝑎 × 𝑇 ; 𝑎𝑛 = 𝑎⊥𝑣 = 𝑇 × 𝑎
Definiendo el vector unitario normal, 𝑁 =𝑎𝑛
𝑎𝑛=
𝑇×𝑎 ×𝑇
𝑇×𝑎∶
𝑎𝑛= 𝑎𝑛𝑁
𝑎 = 𝑎𝑡𝑇 + 𝑎𝑛𝑁
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Cinemática del movimiento en dos
y tres dimensiones: 𝒂, 𝒂𝒕 y 𝒂𝒏 (III)
A partir de 𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡y de 𝑣 = 𝑣𝑇, obtenemos:
𝑎 =𝑑 𝑣𝑇
𝑑𝑡=𝑑𝑣
𝑑𝑡𝑇 + 𝑣
𝑑𝑇
𝑑𝑡=𝑑𝑣
𝑑𝑡𝑇 + 𝑣
𝑑𝑇
𝑑𝑡
𝑑𝑇 𝑑𝑡
𝑑𝑇 𝑑𝑡
Identificamos el vector unitario normal 𝑁 = 𝑑𝑇 𝑑𝑡
𝑑𝑇 𝑑𝑡, y vamos
a probar que 𝑁 ⊥ 𝑇. Para ello, basta probar que 𝑇 ⋅𝑑𝑇
𝑑𝑡= 0:
𝑇 ⋅𝑑𝑇
𝑑𝑡=
1
22𝑇 ⋅
𝑑𝑇
𝑑𝑡=
1
2𝑇 ⋅
𝑑𝑇
𝑑𝑡+𝑑𝑇
𝑑𝑡⋅ 𝑇 =
1
2
𝑑 𝑇 ⋅ 𝑇
𝑑𝑡= 0
c.q.d.
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Cinemática del movimiento en dos
y tres dimensiones: 𝒂, 𝒂𝒕 y 𝒂𝒏 (IV)
𝑎𝑡 =𝑑𝑣
𝑑𝑡(cambio en la celeridad)
𝑎𝑡 = 0 ⇔ Movimiento uniforme
𝑎𝑡 = 𝑐𝑡𝑒 ⇔ Mov. uniformemente acelerado
𝑎𝑛 =𝑣2
𝑅(cambio dirección trayectoria)
𝑅, radio de curvatura 𝑅 =𝑣2
𝑎𝑛
𝑎𝑛 = 0 ⇔ Movimiento rectilíneo (𝑅 = ∞)
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Cinemática del movimiento en dos y
tres dimensiones: tiro parabólico
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Condiciones iniciales:
𝑥0 = 0 𝑦0 = 0𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃0 𝑣0𝑦 = 𝑣0 sin 𝜃0
Aceleración: 𝑎 = −𝑔 𝑗
Velocidad:
𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡
Posición:
𝑥 = 𝑣0𝑥𝑡 𝑦 = 𝑣0𝑦𝑡 −1
2𝑔𝑡2
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Cinemática del movimiento en dos y tres
dimensiones: movimiento circular (I)
La trayectoria es una circunferencia:
radio de curvatura constante
𝑟(𝑡) = 𝑟(𝑡 + ∆𝑡) = 𝑅 = 𝑐𝑡𝑒
Se trata de un movimiento plano.
Se introduce 𝜔,velocidad angular,
vector de dirección perpendicular al
plano de la trayectoria y módulo 𝜔 = 𝜃
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Cinemática del movimiento en dos y tres
dimensiones: movimiento circular (II)
Derivamos para obtener la aceleración:
𝑎 =𝑑 𝑣
𝑑𝑡=𝑑𝜔
𝑑𝑡× 𝑟 + 𝜔 ×
𝑑 𝑟
𝑑𝑡= 𝛼 × 𝑟 + 𝜔 × 𝜔 × 𝑟
con 𝛼 =𝑑𝜔
𝑑𝑡,aceleración angular (𝛼 = 𝜔 = 𝜃 en módulo)
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Cinemática del movimiento en dos y tres
dimensiones: movimiento circular (III)
Ahora, desarrollamos para poner 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛𝑁:
𝑎𝑛 = 𝜔 × 𝜔 × 𝑟 = 𝜔 ⋅ 𝑟 𝜔 − 𝜔 ⋅ 𝜔 𝑟 = −𝜔2 𝑟 = −𝑣
𝑅
2
𝑟
Podemos escribir 𝑎𝑛 =𝑣2
𝑅𝑁, siendo 𝑁 = −
𝑟
𝑅
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Cinemática del movimiento en dos y tres
dimensiones: movimiento circular (IV)