FÍSICA IFÍSICA I

CINEMÁTICA (MRU)

CONCEPTO DE CINEMÁTICAEstudia las propiedades geométricas de las trayectorias que describen los cuerpos en movimiento mecánico, independientemente de la masa del cuerpo y de las fuerzas aplicadas.

1 . SISTEMA DE REFERENCIAPara describir y analizar el movimiento mecánico, es necesario asociar al observador un sistema de coordenadas cartesianas y un reloj (tiempo). A este conjunto se le denomina sistema de referencia.

2. MOVIMIENTO MECÁNICOEs el cambio de posición que experimenta un cuerpo respecto de un sistema de referencia en el tiempo. Es decir, el movimiento mecánico es relativo.

3. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICOa) MóvilEs el cuerpo que cambia de posición respecto de un sistema de referencia. Si el cuerpo no cambia de posición, se dice que está en reposo relativo.b) TrayectoriaEs aquella línea continua que describe un móvil respecto de un sistema de referencia. Es decir la trayectoria es relativa. Si la trayectoria es una línea curva, el movimiento se llama curvilíneo y si es una recta, rectilíneo.

c) Recorrido (e)Es la longitud de la trayectoria entre dos puntos (A y B).d) Desplazamiento (d)Es aquella magnitud vectorial que se define como el

cambio de posición que experimenta un cuerpo. Se consigue uniendo la posición inicial con la posición final. Es independiente de la trayectoria que sigue el móvil.

e) Distancia (d)Es aquella magnitud escalar que se define como el

módulo del vector desplazamiento. Se cumple que:

4. MEDIDA DEL MOVIMIENTOa) Velocidad media (Vm)Es aquella magnitud física vectorial, que mide la rapidez del cambio de posición que experimenta el móvil respecto de un sistema de referencia. Se define como la relación entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente.

EJEMPLO:Una mosca se traslada de la posición A (2;2) a la posición B(5; 6) en 0,02 segundo, siguiendo la trayectoria mostrada. Determinar la velocidad media entre A y B.

b) Rapidez Lineal (RL)Es aquella magnitud física escalar que mide la rapidez del cambio de posición en función del recorrido. Se define como la relación entre el recorrido (e) y el intervalo de tiempo correspondiente.

5. MOVIMIENTO RECTILÍNEOEl móvil describe una trayectoria rectilínea respecto de un sistema de referencia.

En esta forma de movimiento, la distancia y el recorrido tienen el mismo módulo, en consecuencia el módulo de la velocidad media y la rapidez lineal tienen el mismo valor.

6. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)Es aquel tipo de movimiento que tiene como trayectoria una línea recta, sobre el cual el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales. Se caracteriza por mantener su velocidad media constante en módulo, dirección y sentido, durante su movimiento.

a) Velocidad (V)Es aquella magnitud física vectorial que mide la rapidez del cambio de posición respecto de un sistema de referencia. En consecuencia la velocidad tiene tres elementos: módulo, dirección y sentido. Al módulo de la velocidad también se le llama RAPIDEZ.

b) Desplazamiento (d)El desplazamiento que experimenta el móvil es directamente proporcional al tiempo transcurrido.

c) Tiempo de encuentro (Te)Si dos móviles inician su movimiento simultáneamente en sentidos opuestos, el tiempo de encuentro es:

d) Tiempo de alcance (Ta)Si dos móviles inician su movimiento simultáneamente en el mismo sentido, el tiempo de alcance es:

CINEMÁTICA (MRUV)

¿QUÉ ES EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO?Es un movimiento mecánico que experimenta un móvil donde la trayectoria es rectilínea y la aceleración es constante.

¿QUÉ ES LA ACELERACIÓN?Es una magnitud vectorial que nos permitedeterminar la rapidez con la que un móvilcambia de velocidad.

EJEMPLO:Un móvil comienza a moverse sobre una trayectoria horizontal variando el módulo de su velocidad a razón de 4 m/s en cada 2 segundos. Hallar la aceleración.

RESOLUCIÓN:

POSICIÓN DE UNA PARTÍCULA PARA EL M.R.U.V.La posición de una partícula, que se mueve en el eje “x” en el instante “t” es.

ECUACIONES DEL M.R.U.V.

TIPOS DE MOVIMIENTOI. ACELERADO– El signo (+) es para un movimiento acelerado (aumento de velocidad).

II. DESACELERADO– EL signo (–) es para un movimiento desacelerado (disminución de velocidad).

OBSERVACIÓN:Números de Galileo

EJEMPLO:Un móvil que parte del reposo con MRUV recorre en el primer segundo una distancia de 5m. ¿Qué distancia recorre en el cuarto segundo?

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEHemos expresado la posición x de un objeto como una Hemos expresado la posición x de un objeto como una función del tiempo t indicando la función matemática función del tiempo t indicando la función matemática que relacionaba a x y a t. Luego se obtuvo su que relacionaba a x y a t. Luego se obtuvo su velocidad calculando la derivada de x con respecto a t. velocidad calculando la derivada de x con respecto a t. Finalmente, se calculó la aceleración a de un objeto Finalmente, se calculó la aceleración a de un objeto derivando la velocidad con respecto al tiempo t. Un derivando la velocidad con respecto al tiempo t. Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél en el cual la movimiento rectilíneo uniforme es aquél en el cual la velocidad es constante, por tanto, la aceleración es velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero (la derivada de una constante es cero).cero (la derivada de una constante es cero).

La función desplazamiento es la integral de la función La función desplazamiento es la integral de la función velocidad que en este caso es constante v ( t ) = C, por velocidad que en este caso es constante v ( t ) = C, por tanto el desplazamiento será x ( t ) = xo + v . t , tanto el desplazamiento será x ( t ) = xo + v . t , donde x0 será la posición inicial del móvildonde x0 será la posición inicial del móvil

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADOACELERADO

Si un objeto se mueve con aceleración constante en Si un objeto se mueve con aceleración constante en una sola dimensión ¿Existe alguna forma de ir de a a una sola dimensión ¿Existe alguna forma de ir de a a v y luego a x ? Sí, por un proceso llamado integración. v y luego a x ? Sí, por un proceso llamado integración. Dada la aceleración podemos obtener la función Dada la aceleración podemos obtener la función velocidad integrando la aceleración y dada la velocidad integrando la aceleración y dada la velocidad podemos obtener la función desplazamiento velocidad podemos obtener la función desplazamiento integrando la velocidad.integrando la velocidad.

La función velocidad es la integral de la aceleración a La función velocidad es la integral de la aceleración a ( t ) = C , por tanto la velocidad será v ( t ) = v0 + a . ( t ) = C , por tanto la velocidad será v ( t ) = v0 + a . t . La función desplazamiento es la integral de la t . La función desplazamiento es la integral de la velocidad, por tanto:velocidad, por tanto:

Esta es la expresión general de la posición de un objeto en el caso del movimiento en una dimensión con aceleración constante, donde x0 es la posición inicial del objeto.

CAÍDA LIBRECAÍDA LIBRESi permitimos que un cuerpo caiga en vacío, de modo Si permitimos que un cuerpo caiga en vacío, de modo que la resistencia del aire no afecte su movimiento, que la resistencia del aire no afecte su movimiento, encontraremos un hecho notable: todos los cuerpos encontraremos un hecho notable: todos los cuerpos independientemente de su tamaño, forma o independientemente de su tamaño, forma o composición, caen con la misma aceleración en la composición, caen con la misma aceleración en la misma región vecina a la superficie de la Tierra. Esta misma región vecina a la superficie de la Tierra. Esta aceleración, denotada por el símbolo g , se llama aceleración, denotada por el símbolo g , se llama aceleración en caída libreaceleración en caída libreSi bien hablamos de cuerpos en caída, los cuerpos con Si bien hablamos de cuerpos en caída, los cuerpos con movimiento hacia arriba experimentan la misma movimiento hacia arriba experimentan la misma aceleración en magnitud y dirección. El valor exacto de aceleración en magnitud y dirección. El valor exacto de la aceleración en caída libre varía con la latitud y con la la aceleración en caída libre varía con la latitud y con la altitud. Hay también variaciones significativas causadas altitud. Hay también variaciones significativas causadas por diferencias en la densidad local de la corteza por diferencias en la densidad local de la corteza terrestre, pero este no es el caso que vamos a estudiar terrestre, pero este no es el caso que vamos a estudiar en esta sección.en esta sección.Las ecuaciones vistas en la sección anterior para un Las ecuaciones vistas en la sección anterior para un movimiento rectilíneo con aceleración constante movimiento rectilíneo con aceleración constante pueden ser aplicadas a la caída libre, con las siguientes pueden ser aplicadas a la caída libre, con las siguientes variaciones:variaciones:

Establecemos la dirección de la caída libre como el eje Establecemos la dirección de la caída libre como el eje Y y tomamos como positiva la dirección hacia arriba.+Y y tomamos como positiva la dirección hacia arriba.+

Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado a la aceleración por -g , uniformemente acelerado a la aceleración por -g , puesto que nuestra elección de la dirección positiva puesto que nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacia arriba, significa que la aceleración del eje Y es hacia arriba, significa que la aceleración es negativa.es negativa.Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado a la aceleración por -g , uniformemente acelerado a la aceleración por -g , puesto que nuestra elección de la dirección positiva puesto que nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacia arriba, significa que la aceleración del eje Y es hacia arriba, significa que la aceleración es negativa.es negativa.

En la gráfica podemos observar la dirección de los vectores aceleración y velocidad, de un objeto que ha sido lanzado hacia arriba con una velocidad inicial; en el primer instante (bola a la izquierda) notamos que el vector velocidad apunta hacia arriba, en el sentido positivo del eje Y, mientras el vector aceleración ( g ) tiene una dirección hacia abajo, en el sentido negativo del eje Y. En el segundo instante cuando el objeto cae (bola a la derecha) la dirección de la velocidad es hacia abajo en el mismo sentido del desplazamiento y el vector aceleración ( g ) mantiene su misma dirección, en el sentido negativo del eje Y.

Con estas variaciones las ecuaciones resultan ser: Con estas variaciones las ecuaciones resultan ser:

a ( t ) = - g a ( t ) = - g

v ( t ) = v0 - g v ( t ) = v0 - g

MOVIMIENTO PARABÓLICOMOVIMIENTO PARABÓLICO

Llamamos movimiento parabólico a la trayectoria de Llamamos movimiento parabólico a la trayectoria de un objeto que describe un vuelo en el aire después de un objeto que describe un vuelo en el aire después de haber sido lanzado desde un punto cualquiera en el haber sido lanzado desde un punto cualquiera en el espacio. Si el objeto tiene una densidad de masa espacio. Si el objeto tiene una densidad de masa suficientemente grande, los experimentos muestran suficientemente grande, los experimentos muestran que, a menudo, podemos despreciar la resistencia del que, a menudo, podemos despreciar la resistencia del aire y suponer que la aceleración del objeto es debida aire y suponer que la aceleración del objeto es debida sólo a la gravedad. Como de costumbre, vamos a sólo a la gravedad. Como de costumbre, vamos a definir el eje x como horizontal y el +y en la dirección definir el eje x como horizontal y el +y en la dirección vertical hacia arriba. En este caso la aceleración es a = vertical hacia arriba. En este caso la aceleración es a = -g . j , entonces:-g . j , entonces:

Supongamos que un proyectil se lanza de forma que su Supongamos que un proyectil se lanza de forma que su velocidad inicial v0 forme un ángulo q con el eje de velocidad inicial v0 forme un ángulo q con el eje de las x , como se muestra en la figura:las x , como se muestra en la figura:

Descomponiendo la velocidad inicial, obtenemos las Descomponiendo la velocidad inicial, obtenemos las componentes iniciales de la velocidad:componentes iniciales de la velocidad:

Para deducir las ecuaciones del movimiento parabólico, Para deducir las ecuaciones del movimiento parabólico, debemos partir del hecho de que el proyectil debemos partir del hecho de que el proyectil experimenta un movimiento rectilíneo uniforme a lo experimenta un movimiento rectilíneo uniforme a lo largo del eje x , y uniformemente acelerado a lo largo largo del eje x , y uniformemente acelerado a lo largo del eje y . De esta forma tenemos que: del eje y . De esta forma tenemos que:

Si derivamos estas ecuaciones obtenemos la aceleración Si derivamos estas ecuaciones obtenemos la aceleración y si integramos obtenemos el desplazamiento:y si integramos obtenemos el desplazamiento:

Eliminamos el tiempo de las ecuaciones del Eliminamos el tiempo de las ecuaciones del desplazamiento x e y , obtenemos la ecuación de la desplazamiento x e y , obtenemos la ecuación de la trayectoria :trayectoria :

y = ax2 +bx +cy = ax2 +bx +c

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Examinaremos ahora el caso especial en que una Examinaremos ahora el caso especial en que una partícula se mueve a velocidad constante en una partícula se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular. Como veremos, tanto la velocidad trayectoria circular. Como veremos, tanto la velocidad como la aceleración son de magnitud constante, pero como la aceleración son de magnitud constante, pero ambas cambian de dirección continuamente. Esta ambas cambian de dirección continuamente. Esta situación es la que se define como movimiento situación es la que se define como movimiento circular uniforme. Para el movimiento en círculo, la circular uniforme. Para el movimiento en círculo, la coordenada radial es fija coordenada radial es fija ( r )( r ) y el movimiento queda y el movimiento queda descrito por una sola variable, el ángulo descrito por una sola variable, el ángulo , que puede , que puede ser dependiente del tiempo ser dependiente del tiempo (t (t). Supongamos que ). Supongamos que durante un intervalo de tiempo durante un intervalo de tiempo dtdt, el cambio de , el cambio de ángulo es ángulo es dd..

La longitud de arco recorrida durante ese intervalo está La longitud de arco recorrida durante ese intervalo está dada por dada por ds = r dds = r d. Al dividir entre el intervalo de tiempo . Al dividir entre el intervalo de tiempo dtdt, obtenemos una ecuación para la rapidez del , obtenemos una ecuación para la rapidez del movimiento:movimiento:

De donde De donde dd/dt/dt es la rapidez de cambio del ángulo es la rapidez de cambio del ángulo y se y se define como la define como la velocidad angularvelocidad angular, se denota por , se denota por y sus y sus dimensiones se expresan en radianes por segundo (rad/s) dimensiones se expresan en radianes por segundo (rad/s) en el SI. En terminos de w, tenemos que: en el SI. En terminos de w, tenemos que:

v = r wv = r w

Una cantidad importante que caracteriza el movimiento Una cantidad importante que caracteriza el movimiento circular uniforme es el período y se define como el tiempo circular uniforme es el período y se define como el tiempo en que tarda el cuerpo en dar una revolución completa, en que tarda el cuerpo en dar una revolución completa,

como la distancia recorrida en una revolución es 2como la distancia recorrida en una revolución es 2r, el r, el período T es:período T es:

2 r = v T

La frecuencia es el número de revoluciones que La frecuencia es el número de revoluciones que efectúa la partícula por unidad de tiempo, por lo efectúa la partícula por unidad de tiempo, por lo general es 1 segundo. La unidad en el SI es el hertz general es 1 segundo. La unidad en el SI es el hertz (Hz), que se define como un ciclo por segundo. La (Hz), que se define como un ciclo por segundo. La frecuencia es el inverso del período, esto es:frecuencia es el inverso del período, esto es:

ACELERACIÓN CENTRÍPETAACELERACIÓN CENTRÍPETAAunque la rapidez es constante en el caso del movimiento Aunque la rapidez es constante en el caso del movimiento circular uniforme, la dirección de la velocidad cambia, por lo circular uniforme, la dirección de la velocidad cambia, por lo tanto, la aceleración no es cero.tanto, la aceleración no es cero.

Sea P1 la posición de la partícula en el tiempo t1 y P2 su Sea P1 la posición de la partícula en el tiempo t1 y P2 su posición en el tiempo t2. La velocidad en P1 es V1, un vector posición en el tiempo t2. La velocidad en P1 es V1, un vector tangente a la curva en P1. La velocidad en P2 es V2, un tangente a la curva en P1. La velocidad en P2 es V2, un vector tangente a la curva en P2. Los vectores V1 y V2 vector tangente a la curva en P2. Los vectores V1 y V2 tienen la misma magnitud V , ya que la velocidad es tienen la misma magnitud V , ya que la velocidad es constante, pero sus direcciones diferentes. La longitud de la constante, pero sus direcciones diferentes. La longitud de la trayectoria descrita durante trayectoria descrita durante tt es la longitud del arco del es la longitud del arco del punto P1 a P2, que es igual a punto P1 a P2, que es igual a r.r. ( donde q esta medida en ( donde q esta medida en radianes ), la velocidad es la derivada del desplazamiento radianes ), la velocidad es la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo, de esta forma: con respecto al tiempo, de esta forma: r . = V . t

Podemos ahora trazar los vectores V1 y V2 de tal Podemos ahora trazar los vectores V1 y V2 de tal forma que se originen en un punto en común:forma que se originen en un punto en común:

Esta figura nos permite ver claramente el cambio en Esta figura nos permite ver claramente el cambio en la velocidad al moverse la partícula desde P1 hasta P2 la velocidad al moverse la partícula desde P1 hasta P2 . Este cambio es: . Este cambio es: V1 - V2 = V1 - V2 = V V

Ya que la dirección de la aceleración promedio es la Ya que la dirección de la aceleración promedio es la misma que la de misma que la de VV, la dirección de a está siempre , la dirección de a está siempre dirigida hacia el centro del círculo o del arco circular dirigida hacia el centro del círculo o del arco circular en el que se mueve la partícula. Para un movimiento en el que se mueve la partícula. Para un movimiento circular uniforme, la aceleración centrípeta es:circular uniforme, la aceleración centrípeta es:

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADOACELERADO

Cuando el movimiento es uniformemente acelerado, existe Cuando el movimiento es uniformemente acelerado, existe una aceleración angular, y se define como la razón una aceleración angular, y se define como la razón instantánea de cambio de la velocidad angular:instantánea de cambio de la velocidad angular:

Las unidades de la aceleración angular son radianes Las unidades de la aceleración angular son radianes por segundo al cuadrado. Si la aceleración angular es por segundo al cuadrado. Si la aceleración angular es constante, entonces la velocidad angular cambia constante, entonces la velocidad angular cambia linelmente con el tiempo; es decir,linelmente con el tiempo; es decir,

= = 0 + a t0 + a t

donde w0 es la velocidad angular en t = 0. Entonces, donde w0 es la velocidad angular en t = 0. Entonces, el ángulo está expresado porel ángulo está expresado por

(t) = (t) = 0 + 0 + 0 t + ½ a t ²0 t + ½ a t ²

EJERCICIOSEJERCICIOS

1.1. (15) Dos coches partieron al mismo tiempo uno de “A” con (15) Dos coches partieron al mismo tiempo uno de “A” con dirección a “B” y el otro de “B” con dirección a “A”, cuando se dirección a “B” y el otro de “B” con dirección a “A”, cuando se encontraron había recorrido el primer coche 36 km más que el encontraron había recorrido el primer coche 36 km más que el segundo. A partir del momento en que se encontraron. El primero segundo. A partir del momento en que se encontraron. El primero tardó 1 hora en llegar a “B” y el segundo 4 horas en llegar a “A”. tardó 1 hora en llegar a “B” y el segundo 4 horas en llegar a “A”. Hallar la distancia entre “A” y “B”.Hallar la distancia entre “A” y “B”.

1 2

1 2

X + 36 x

Durante

Final2 1

etotal = 2x + 36

(I)

e2 = V2 x T2 = X

e1 = V1 x T1 = X + 36

(II)

e2 = V1 x T2 = (V1) (1h)e1 = V2 x T1 = (V2) (4h)

A B

e1 e2

De la ecuación IDe la ecuación I

ee2 2 = X = V= X = V22TT

ee1 1 = X + 36 = V= X + 36 = V11TT Cuando se encuentranCuando se encuentran T T22 = T = T11 = T = T

VV22 = = XX

TT

VV11 = = X + 36X + 36

TT

Reemplazando en las ecuaciones IIReemplazando en las ecuaciones II

ee22 = X = (V = X = (V11) (1h) = ) (1h) = (X + 36) (1)(X + 36) (1) X + 36 = X T X + 36 = X T T= T= X + 36X + 36

TT X X

ee11 = X + 36 = (V = X + 36 = (V22) (4h) = ) (4h) = XX (4) (4)

T T

Reemplazo IIIReemplazo III

X + 36 = (X + 36 = ( X X22 ) (4) ) (4) 4 X 4 X 22 = (X + 36) = (X + 36)2 2 (raíz) X = 36 (raíz) X = 36

X + 36 X + 36

etotal = 2 x + 36 = 2(36) + 36 etotal = 2 x + 36 = 2(36) + 36 = 108 m

2.2. (17)(17) Un móvil parte del reposo con una aceleración Un móvil parte del reposo con una aceleración constante de 10/msconstante de 10/ms22, luego de transcurrir cierto tiempo, el móvil , luego de transcurrir cierto tiempo, el móvil empieza a desacelerar en forma constante con a = 5 m/sempieza a desacelerar en forma constante con a = 5 m/s2 2 hasta hasta detenerse, si el tiempo total empleado es de 30 segundos. ¿Cuál detenerse, si el tiempo total empleado es de 30 segundos. ¿Cuál es el espacio recorrido?.es el espacio recorrido?.

V0 VfT1 T2

e1 e2

X

Ttotal = 30 Seg

T1 + T2 = 30 Seg

X = e1 + e2

Para el primer tramo

Vf1 = V0 ± a T1

Vf1 = 0 + (10) T1

Vf1= 10 T1 (I)

e1 = (V0) (T1) + 1 (10) (T1)2

2

e1 = 1 (10) (T1)2

2

Para el segundo tramo

Vf = Vi ± aT

Vf = Vf1 ± aT

0 = 10 T1 – (5) (T2)

…. Reemplazo (I)

T2 = 2T1 (II)

Como T1 + T2 = 30 ….. (a)

T1 + (2T1) = 30 … reemplazo II en a

3T1 = 30 T1=10

T2 = 20

Se cumple:

e2 = (Vf1) (T2) – 1 (5) (T2) 2

2

e2 = (10 T1) (T2) – 1 (5) (T2)2

2 reemplazo (I)

Sumando eSumando e22 y e y e22

ee11 + e + e22 = 10 T = 10 T11 T T2 – 2 – ( ( 1 1 ) (5) T) (5) T222 2 + 5T+ 5T11

22

22

X = 10 (10) (X = 10 (10) (2020) – ( ) – ( 11 ) (5) (20) ) (5) (20)2 2 + (5) (10)+ (5) (10)22

22

X = 1500 mX = 1500 m

3.3. Una piedra lanzada en un planeta hacia arriba alcanza 100 m Una piedra lanzada en un planeta hacia arriba alcanza 100 m de altura, mientras que lanzada en la Tierra con la misma de altura, mientras que lanzada en la Tierra con la misma velocidad alcanza 20 m. ¿Qué distancia recorrerá en dicho velocidad alcanza 20 m. ¿Qué distancia recorrerá en dicho planeta una piedra soltada de 400 m de altura en el último planeta una piedra soltada de 400 m de altura en el último segundo de su caída?segundo de su caída?

Planeta XPlaneta X

VVff = 0 = 0

h h

VV11

Para la tierraPara la tierra::

VVff2 2 = V= V00

22 ± 2ge± 2ge

0022 = (V = (V11) ) 22 - 2(g) (100) -- raiz- 2(g) (100) -- raiz

VV11 = 20 m/s = 20 m/s (I)(I)

hmax = 100 m

Gravedad

+ -

Vf = V1 – gt ---- Vi = V1

0 = 20 – 10 T

T = 2 Seg

Planeta TierraPlaneta Tierra

Hmax = 20 m

Vf = 0

h

V1

Para el planeta X:Para el planeta X:

VVff22 = V = V00

2 2 ± 2 ge± 2 ge

0022 = (V = (V11))22 - 2 (g) - 2 (g) (100)(100)

202022 = 2(g) (100) = 2(g) (100)

g = 2m/sg = 2m/s221er Tramo1er Tramo

e = Ve = V00t + t + 11 gt gt22

22

400 – X = 0 +400 – X = 0 +11 (2) (T-1) (2) (T-1)22

22

400 – X = (T-1) … 400 – X = (T-1) … (I)(I)VVff = V = V00 + gt + gt

VV11’= 0+(2) (T-1)’= 0+(2) (T-1)

VV11’ = 2 (T-1)’ = 2 (T-1)

VV11’ = 2 (20 – 1) = 38 m/s’ = 2 (20 – 1) = 38 m/s

(II)

V0=0

400-x <-- 1er tramo

X T=1 Seg

2do Tramo

V 1’

2do Tramo2do Tramo

e = Ve = V00T T ± ± 11 g t g t 22

22

e = Ve = V11’ (1) + ’ (1) + 11 (2) (1) (2) (1)22

22

e = Ve = V11’ + 1 ’ + 1 e=38+1= 39 e=38+1= 39 mm

Reemplazo V1 en hReemplazo V1 en h

Tomando el movimiento total:Tomando el movimiento total:e = V1 T ± e = V1 T ± 11 gt2 gt2 400=400=11 (2) (t)2 (2) (t)2 T = T = 2020 2 2 2 2

4.4. (19) Un móvil recorre la trayectoria mostrada en la (19) Un móvil recorre la trayectoria mostrada en la figura con una rapidez constante en el tramo AB y una figura con una rapidez constante en el tramo AB y una aceleración de 6m/saceleración de 6m/s22. Con otra rapidez constante en el . Con otra rapidez constante en el tramo BC y aceleración de 5 m/stramo BC y aceleración de 5 m/s22. Hallar el tiempo que . Hallar el tiempo que demora en el recorrido total ABC.demora en el recorrido total ABC.

Para ABPara ABV = CteV = Cte

a = 6m/sa = 6m/s22

r = 6 mr = 6 m

Para BC

V = Cte

a= 5m/s2

Sabemos: ar = v2 , donde V = velocidad lineal r

Para AB:Para AB:

VV22 = = aarr * r * r

VVABAB22 = = (6) (6)(6) (6)

VVABAB = = 6 m/s6 m/s

Para BC:Para BC:

VV2 = 2 = ar * rar * rVVBCBC2 2 = 5 * 5= 5 * 5

VVBC = 5 m/sBC = 5 m/s

Sabemos que Sabemos que S = S = .r.rPara AB:Para AB:1)1) SSAB = (AB = (∏∏) ( 6 ) ( 6 ) = 6 ) = 6 ∏∏

2)2) SSABAB = e = vt = e = vt 6 6 ∏∏ = VT = VT11

6 6 ∏∏=(6)T=(6)T11 T T11 = = ∏∏ SegSeg

Para BC:Para BC:

1)1) SSBC = (BC = (∏∏) (5) = 5 ) (5) = 5 ∏∏

2)2) egvT egvT 5 5 ∏∏ = 5 = 511TT11 T T22 = = ∏∏SegSeg

Ttotal = TTtotal = T11 + T + T2 2

= 2 = 2 ∏∏ Seg Seg

5. 5. (16)(16) Hallar las velocidades “V Hallar las velocidades “V11”, y “V”, y “V22”. Si lanzadas las ”. Si lanzadas las partículas simultáneamente chocan como muestra la figura.partículas simultáneamente chocan como muestra la figura.

Para 1Para 1

M. HorizontalM. Horizontal

e = V Te = V T

10 = V10 = V1 1 T (I)(I)

Para 2

M. Horizontal

e = V T

30 = V2 T (II)

VY =

0

Vx

Vx

Vx

Vy

Vy

Vy

En y:

H = V1T + 1 (10) T2

2

180 = 1 (10) T2

2

III en I y II

V1 = 10 = 5 m/s

6 3

V2 = 30 = 5 m/s

6

T = 6 (III)