Bolet´ın de Problemas de Matem´atica Discretama1.eii.us.es/Material/md_ii_boletin.pdf ·...

Escuela Tecnica Superior

de Ingenierıa Informatica

Curso 2008/2009

Boletın de Problemas

de

Matematica Discreta

Depto. de Matematica Aplicada I

MATEMATICA DISCRETA Boletın de Problemas Curso 2008/2009

Introduccion a la teorıa de grafos

1. a) ¿Cuantas aristas tiene Kn?

b) ¿Cuantas aristas tiene Km,n?

2. Sea S = {0, 1, 2, . . . , 9} y supongamos que decimos que dos elementos de S estan relacionados si su sumaes par. Dibujar el grafo correspondiente a esta relacion.

3. Probar que los grafos G1 = (V1, A1) y G2 = (V2, A2) no son isomorfos, siendo:

V1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y V2 = {a, b, c, d, e, f}

A1 = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 6}, {3, 5}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}}A2 = {{a, b}, {a, d}, {a, f}, {b, c}, {b, e}, {c, d}, {c, f}, {d, e}, {e, f}}

4. Sea G=(V, A) el grafo definido por V = {palabras de longitud 3 en el alfabeto {0, 1}}, A = {pares depalabras que difieren exactamente en una posicion}. Probar que el grafo G es isomorfo al formado por lasesquinas y aristas de un cubo ordinario.

5. Contestar, razonadamente, a las siguientes cuestiones independientes:

a) ¿Es cierto que en un grafo regular G = (V, A) todos los vertices tienen grado igual a 2 |A||V | ?

b) ¿Cual es el menor numero de vertices que puede tener un grafo regular de 310 aristas?

6. Probar que en todo grafo con mas de un vertice hay, al menos, dos vertices con el mismo grado.

7. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cual(es) falsas?

a) Al sumar los grafos bipartitos K1,m y K1,n se obtiene el grafo bipartito Km+1,n+1.

b) El grafo complementario del grafo bipartito Km,n contiene tanto a Kn como a Km.

c) Al sumar los complementarios de los grafos completos Km y Kn se obtiene el grafo bipartito Km,n.

d) La suma de los grafos Kn y Km es el grafo completo Km+n.

8. Sea G(V, A) un grafo. Llamamos L(G) (grafo de lınea de G) al grafo cuyos vertices son las aristas (ai ∈ A)de G y donde {ai, aj} es una arista de L(G) si ai y aj tienen en G un vertice comun.

a) Obtener el grafo de lınea del grafo completo K4 (L(K4)).

b) Demostrar que el numero de aristas de L(G) es∑

v∈V

(δ(v)2

)y que si a = {vi, vj} entonces δ(a) =

δ(vi) + δ(vj)− 2, donde δ(a) representa el grado de a en L(G).

9. Estudiar cual(es) de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) El grafo de lınea de un grafo regular no tiene por que ser un grafo regular.

b) Si un grafo es isomorfo a su grafo de lınea entonces tiene el mismo numero de vertices que de aristas.

c) Un grafo con el mismo numero de aristas que de vertices no tiene por que ser isomorfo a su grafo delınea.

d) El grafo de lınea de un grafo ciclo Cn es el propio grafo ciclo Cn.

10. ¿Es posible que las siguientes listas representen los grados de los vertices de un grafo? Cuando la respuestasea afirmativa dar una resolucion del grafo.

a) (3, 3, 2, 1, 1, 1) b) (5, 3, 3, 2, 1, 0) c) (3, 3, 2, 2, 2) d) (5, 5, 4, 2, 2, 2)

11. Si (7, x, 5, 5, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1) es la lista de grados de un grafo, ¿cuanto vale x?

E.T.S.I.Informatica Grafos Pagina 1


12. Hallar todos los grafos regulares 4-valentes con 7 vertices (salvo isomorfismos).

13. Sean G1 = (V1, A1) y G2 = (V2, A2) dos grafos r-valentes con igual numero de vertices, ¿son necesariamenteisomorfos?

14. Se define el grafo complementario de uno dado G = (V, A) y se denota por G = (V, A), como aquel quetiene los mismos vertices que G y por aristas a todas aquellos pares de vertices que no se encuentran entrelas aristas de G. Diremos que un grafo es autocomplementario si es isomorfo a su complementario. Se pide:

a) Si G tiene n vertices, de grados d1, d2, . . . , dn y a aristas, ¿cuantos vertices y aristas tiene su comple-mentario?, ¿cuales son los grados de los vertices de G?

b) Pruebese que dos grafos son isomorfos si y solo si lo son sus complementarios.

c) Justifıquese si son, o no, isomorfos los grafos G1 y G2 de la siguiente figura:

�

��

��

� � �

��

��

� �

a

b

c

d

e

f

g

h

1

2

3

4

5

6

7

8

G1 G2

d) ¿Cuantas aristas ha de tener un grafo autocomplementario de n vertices?

e) Representar todos los grafos autocomplementarios de n vertices para n ≤ 5.

f ) Probar que Cn es autocomplementario si y solo si n = 5.

15. ¿Cuales de los siguientes grafos son autocomplementarios?

G1 G2 G3

G4 G5

16. Sea G un grafo autocomplementario (isomorfo a su complementario) de cinco vertices. ¿Cual(es) de lassiguientes afirmaciones son verdaderas y cual(es) falsas?

a) Su lista de grados es (4, 4, 2, 1, 1).

b) No puede tener un vertice aislado.

c) Tiene al menos un vertice de valencia 2.

d) Su lista de grados podrıa ser (2, 2, 2, 2, 2).

17. Demostrar que todo grafo de 3n vertices de valencias comprendidas entre n y n+2 contiene al menos bienn vertices de valencia n, bien n + 2 vertices de valencia n + 1, bien n + 1 vertices de valencia n + 2.

E.T.S.I.Informatica Grafos Pagina 2


18. Usar el metodo de induccion para probar que si un grafo de 2n vertices no contiene 3–ciclos entoncestiene, como maximo, n2 aristas.

19. Un conjunto de vertices I de un grafo G=(V, A) se dice independiente si en I no hay dos vertices adya-centes (por ejemplo, en el segundo grafo de la figura del apartado a), el conjunto {1, 3, 8} es independiente,pero el {1, 3, 6} no lo es). Se considera el algoritmo siguiente, que denominamos IND:

I ← ∅, P ← V

mientras P �= ∅x← primer vertice de P con el menor grado posible

I ← I ∪ {x}P ← P − {x} − {y ∈ P | y es adyacente a x}

retorna I

a) Aplicar IND a los grafos siguientes, y verificar que la salida constituye en cada caso un conjuntoindependiente de vertices:

1

2 3

4 5 6

1 2 3

45 6

7 8 9

1 2

3

4

5

6 7

8

9

10

11

G1 G2

G3

b) Para cada uno de los anteriores estudiar cuales de los conjuntos independientes obtenidos son ma-ximales (no contenidos en un conjunto independiente mayor).

c) Probar que el algoritmo IND halla siempre un conjunto independiente maximal.

d) Mostrar que dos conjuntos independientes maximales de un mismo grafo no tienen por que constardel mismo numero de vertices. Sugerencia: encontrar conjuntos independientes maximales para losgrafos de la figura anterior con 3, 4 y 4 vertices, respectivamente.

e) Un conjunto independiente de vertices maximal se dice supremo cuando no existe otro conjuntoindependiente de vertices de cardinal superior (i.e. que conste de mayor cantidad de vertices). Elnumero de independencia de un grafo, que se denota por β(G), consiste en el numero de verticesque tiene cualquier conjunto independiente supremo. Determinar β(G) para los grafos de la figuraanterior.

f ) Mostrar que el algoritmo IND no siempre devuelve conjuntos independientes supremos de vertices.Sugerencia: aplicar IND al grafo de la siguiente figura segun las ordenaciones de vertices dadasrespectivamente por {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} y {2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13}.

1 2 3

45

6

7 8 9

10

11 12

13

Conectividad en grafos

E.T.S.I.Informatica Conectividad en grafos Pagina 3


20. Llamamos 3–ciclo en un grafo a un conjunto de tres vertices mutuamente adyacentes. Construir un grafocon 5 vertices y 6 aristas que no contenga ningun 3–ciclo.

21. Hallar las componentes conexas en los grafos de vertices V = {0, 1, . . . , 9} y aristas

a) A = {{0, 1}, {2, 3}, {4, 5}, {6, 7}, {8, 9}, {1, 4}, {4, 7}, {0, 8}, {3, 9}, {5, 8}}b) A = {0, 6{}, {1, 2{}, {1, 8{}, {0, 9{}, {2, 7{}, {3, 4{}, {3, 5{}, {2, 7{}, {6, 9{}, {7, 8{}

22. Probar que si G=(V, A) es un grafo no conexo entonces su complementario G es conexo. ¿Es cierto elrecıproco?

23. Estudiar que tipo de conectividad tienen los siguientes grafos dirigidos:

v1 v2 v3 v4v5

v6 v7 v8 v9

v1 v2

v3

v4v5

v1v2 v3

v4

v5v6

v7 v8 v9

B CA

24. Sea G un grafo y H un subgrafo suyo con, al menos, tres vertices y una arista.

a) De la siguiente lista de propiedades para G, razonar cuales hereda H :

1) G es bipartito.2) G es un arbol (es conexo y carece de ciclos).3) Tres vertices cualesquiera de G siempre forman un ciclo.

b) Repetir el apartado anterior suponiendo ahora que H es conexo.

25. ¿Cual es el ındice de conectividad (por vertices) del grafo siguiente? ¿Cual es el menor numero de aristasque habra que anadir para aumentar dicho ındice?, ¿entre que vertices?

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

km

26. Sea G el grafo de la figura siguiente.

a) Indicar si tiene vertices de corte y en caso afirmativo, ¿cuantos?

b) Indicar si tiene aristas puente y en caso afirmativo, ¿cuantas?

E.T.S.I.Informatica Conectividad en grafos Pagina 4


c) Calcular el ındice de conectividad (por vertices) del grafo G.

d) Calcular el ındice de conectividad lineal (por aristas) del grafo G.

27. Un grafo G de 15 vertices tiene ındice de conectividad (por vertices) igual a 1 (κ(G) = 1) e ındice deconectividad lineal (por aristas) igual a 7 (λ(G) = 7). Identificar de que grafo se trata y responder a lassiguientes cuestiones:

a) ¿Cuantas aristas tiene G?.

b) ¿Cual es la lista de grados del grafo G?

c) ¿Es cierto que al quitar el vertice de corte se obtiene un nuevo grafo con dos componentes conexas?

28. Sea Ad la matriz de adyacencia de un grafo G=(V, A) con n vertices.

a) Probar que el elemento a(k)ij que ocupa la posicion (i, j) de la matriz Adk representa el numero de

caminos de longitud k que conectan a los vertices i y j de dicho grafo.

b) Probar que si Ad+Ad2 +Ad3 + · · ·+Adn−1 posee algun elemento nulo, el grafo no puede ser conexo.

29. El grafo siguiente modela el sistema de conexiones de un operador por cable de telefonıa y television entrediversas poblaciones. Se pide:

1

2

3

456

78

9

10

11

1213

1415

a) Hallar los cables cuyo fallo individual desconecta alguna poblacion. ¿Cual es el numero maximo degrupos de poblaciones desconectadas entre sı que se forman?

b) Hallar las poblaciones en las que la caıda del servicio desconecta otras poblaciones. ¿Cual es el numeromaximo de grupos de poblaciones desconectadas entre sı que se forman?

c) Como primera medida de seguridad en caso de que se produzca algun fallo en el sistema, la empresapretende agrupar poblaciones vecinas de manera que ante un fallo eventual de un cable o la caıda delservicio en una poblacion, el resto de las poblaciones sigan conectadas por agrupaciones vecinales.Determinar una estructura valida de agrupaciones vecinales.

d) Determinar el numero maximo y el numero mınimo de cables a anadir, ası como las poblacionesa unir en cada caso, para conseguir que el sistema de comunicacion entre las distintas poblacionespueda soportar el fallo eventual de un cable sin llegar a desconectar poblacion ninguna.

e) Determinar el numero maximo y el numero mınimo de cables a anadir, ası como las poblaciones a uniren cada caso, para conseguir que la red de comunicacion entre las distintas poblaciones pueda soportarla caıda eventual del sistema en una poblacion sin llegar a desconectar el resto de poblaciones.

Arboles

30. Sea T =(V, A) un arbol con, al menos, dos vertices. Probar que tiene, al menos, dos vertices de grado 1.

31. Un bosque es un grafo sin ciclos, es decir verificando T2 pero no necesariamente T1. Si un bosque tiene526 vertices y 520 aristas, ¿cuantos arboles contiene?

E.T.S.I.InformaticaArboles

Pagina 5


32. En el presente ejercicio se van a considerar arboles que presentan solo dos tipos de vertices: interiores devalencia 4 y hojas (de valencia 1).

(a) Probar que si un arbol del tipo anterior posee i vertices interiores, entonces posee 2i + 2 hojas.

(b) Encontrar todos los arboles existentes de este tipo, salvo isomorfismo, con 1, 2, 3, 4 y 5 verticesinteriores. Para facilitar la representacion, designar por C cada vertice interior y por H cada hoja.

Nota: Estos arboles representan a los hidrocarburos saturados, base de la Quımica Organica.

33. Resolver las siguientes cuestiones independientes:

a) Demostrar que el numero de vertices de grado 1 en un arbol T =(V, A) es: 2 +∑

δ(v)≥3

(δ(v)− 2).

b) ¿Es cierto que todo arbol es un grafo bipartito?

34. De las siguientes afirmaciones sobre un grafo G=(V, A) demostrar cuales son verdaderas y cuales falsas.

a) Si |A| ≥ |V | entonces G contiene, al menos, un ciclo.

b) Si G es conexo y |A| = |V |+ 1 entonces G posee exactamente dos ciclos.

c) ¿Es posible que G posea 15434 vertices todos ellos de diferente grado?

35. Demostrar las siguientes cuestiones, en las que G=(V, A) representa a un grafo conexo de, al menos, dosvertices.

a) Si G posee aristas puente, entonces tiene vertices de valencia impar.

b) Si la media aritmetica de los grados de los vertices de G no es inferior a 2 entonces, no puede tratarsede un arbol.

c) Se verifica que |V | ≤ 2 |A| ≤ |V | (|V | − 1).

d) Si |A| = |V | entonces, G es un grafo cıclico o contiene a un subgrafo cıclico.

36. Un arbol no tiene vertices de valencia superior a 3. Si tiene 43 vertices que no son vertices de corte,¿cuantos vertices de valencia 3 tiene?

37. Un arbol enraizado T =(V, A) posee 10 vertices de grado 5, 8 de grado 4, 12 de grado 3 y 10 de grado 2.Si no tiene vertices de grado superior a 5, ¿cuantas hojas posee?

38. Construir dos arboles enraizados, no isomorfos, con 12 vertices, 6 hojas y altura 4.

39. Hallar el numero de arboles enraizados no isomorfos que tienen 5 vertices y altura p, para 1 ≤ p ≤ 4.

40. Probar que si T es un arbol m-ario (m �= 1) con n vertices, de los cuales i son vertices internos y h sonhojas, se verifican las igualdades siguientes:

1. n =m h− 1m− 1

.

2. h = (m− 1) i + 1

3. i = (h− 1)/(m− 1) = (n− 1)/m

41. Si T es un arbol binario con h hojas, ¿cual(es) de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cual(es)falsas?

a) T tiene que tener un numero impar de vertices internos y un numero par de hojas.

b) Todas las aristas de T son aristas puente.

c) T tiene mas aristas puente que vertices de corte.

d) T tiene exactamente h− 1 vertices de corte.

42. Sea T un arbol m-ario completo (todas las hojas estan al mismo nivel) y T ′ una copia de T . Se enumeranlas hojas del arbol T de 1 a h de manera arbitraria y analogamente se numeran de 1′ a h′ las del arbol T ′

(no necesariamente como se numeraron las de T ). Probar que si conectamos 1 con 1′, 2 con 2′, . . ., h conh′, el grafo G resultante no puede tener ciclos de longitud impar.


Pagina 6


43. Hallar la altura mınima de un arbol de decision para un algoritmo que ordena 4 objetos mediante compa-racion binaria.

44. ¿Cual es la altura mınima que ha de tener un arbol de decision que permita ordenar, mediante comparacionbinaria, 5 numeros cualesquiera?

45. El campeonato de tenis de Wimbledon es un torneo de eliminacion simple (un jugador – o un doble – eseliminado despues de perder un partido). Si 27 jugadores compiten, ¿Cuantos partidos es necesario jugar?

46. Supongamos que tenemos 20 equipos para un torneo de futbol que se organiza por el principio de elimi-nacion: el ganador de cada ronda es quien pasa a la siguiente. Si no hay partidos empatados, construir unesquema en forma de arbol enraizado y probar que son necesarios, al menos, 5 rondas. ¿Puede ocurrir quetodos los descansos de equipos se den en la primera ronda?

47. Un arbol enraizado y m-ario T de altura p y con h hojas, se dice compensado si el nivel de toda hoja esp− 1 o p. Probar que entonces p = �logm h.

48. ¿Cual es el numero de ponderaciones necesarias en el problema de la moneda falsa cuando tenemos unamoneda que sabemos que es genuina y otras 6 monedas, de las que sospechamos que a lo sumo una deellas puede ser falsa (mas ligera o mas pesada de lo normal)? Describir un esquema con este numero deponderaciones.

49. Considerar la siguiente variante del problema de la moneda falsa: tenemos 8 monedas, una de las cuales,aunque no sabemos cual, se sabe que es ligera y las demas son genuinas, pero no hay ninguna genuinaetiquetada con 0. Encontrar un proceso con el mınimo numero de ponderaciones necesarias para encontrarla moneda falsa.

50. Usando el metodo DFS de forma sistematica, encontrar el numero de componentes del grafo cuya lista deadyacencia es:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 142 3 0 1 11 0 11 0 1 10 9 4 1 2 45 8 5 12 14 2 14 5 12 12 6 3 5 67 12 13 7 13 14 9 7 11

13 10

51. Usar el metodo BFS para decidir si es conexo el grafo definido por la tabla de adyacencia:

a b c d e f g h ie d e b a c b b ai g f g c e d d c

h i h f i f

52. Al aplicar el algoritmo BFS de busqueda en anchura a un grafo G, eligiendo los vertices en orden alfabeti-co cuando sea necesario, se ha obtenido el siguiente arbol. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones sonverdaderas y cual(es) falsas?

ab

cd

e

fg h

ij

a) f y b pueden ser adyacentes en G.

b) c y e pueden ser adyacentes en G.

c) f y h pueden ser adyacentes en G.

d) b puede tener grado 5 en el grafo G.

53. Aplicar el metodo de busqueda en anchura para encontrar un arbol recubridor para el grafo de Petersen(P ) y otro para el grafo cubo (Q3), con los vertices numerados como se indican en las siguientes figuras:


Pagina 7


0

1

2

3 4

5

6

7

89

1 2

34

5

6 7

8

54. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones acerca del grafo Kn,n son verdaderas y cual(es) falsas?

a) El arbol recubridor, obtenido por el metodo de busqueda en profundidad (DFS), del grafo Kn,n tienealtura 2n.

b) Para obtener un arbol recubridor de Kn,n hay que quitarle (n− 1)2 aristas.

c) El arbol recubridor, obtenido por el metodo de busqueda en anchura (BFS), del grafo Kn,n tienealtura 2.

d) El diametro del arbol recubridor, obtenido por el metodo de busqueda en anchura (BFS), del grafoKn,n es 3 (se llama diametro de un grafo a la mayor de todas las mınimas distancias entre dos verticescualesquiera del grafo).

55. Encontrar el camino mas corto de A a F en el grafo ponderado especificado por:

A B C D E FA 5 8 3 4 9B 6 1 5 4C 3 9 2D 4 6E 3F

56. Obtener el arbol T de camino mınimo que se obtiene al aplicar al siguiente grafo el algoritmo de Dijkstracon raız en el vertice a:

a

b

c

d

e

f

g

7

12

41

15

16

142

9

5

8

2

57. a) Calcular el diametro de los grafos Kn, Km,n, Cn y Rn, siendo Cn con n ≥ 3 el ciclo de n vertices yRn con n ≥ 3 el grafo rueda de n + 1 vertices.

b) Justificar que d(G) = mınx∈V{long(x)}, donde long(x) representa el peso o altura que tiene el arbol BFS

con raız en x (i.e., el numero de niveles que posee el arbol, sin contar el nivel 0 en que se situa laraız).

c) Haciendo uso de los apartados anteriores calcular d(P ) y d(Q3) (P es el grafo de Petersen y Q3 elgrafo cubo).

58. Se considera el siguiente algoritmo, que toma como entrada un grafo G = (V, A) con n vertices y m aristasA = {a1, . . . , am}:P0 A′ ← ∅, T ← (V, A′)


Pagina 8


P1 Para j = 1 hasta m

P2 Si anadiendo aj a A′, el grafo T no tiene ciclos,

P3 entonces A′ ← A′ ∪ {aj}.P4 Retorna T .

Se pide:

a) Ejecutar este algoritmo sobre el grafo Q3.

b) Decidir razonadamente bajo que condiciones este algoritmo retorna un arbol recubridor del grafo deentrada.

c) Indicar en funcion de n cuantas veces se ejecuta P3.

d) ¿Como se podrıa modificar este algoritmo para que devolviera a la vez el numero de componentesconexas de G?

59. La siguiente tabla muestra las longitudes en metros de las tuberıas de agua entre distintos puntos de unbarrio de la ciudad (la central distribuidora del agua se encuentra en el punto A).

A B C D E F G HA 21 60 20B 21 22 30 19C 22 40 41 28D 30 40 28 50E 60 28 21 26F 20 41 21 25 23G 25H 19 28 50 26 23

a) La empresa suministradora de agua pretende conocer cual debe ser la presion necesaria para llevar elagua a todos los puntos del barrio, y por ello necesita saber cual es la mayor de todas las distanciasdesde la central (punto A) a los distintos puntos del barrio. ¿Cual es esta distancia y cual es elrecorrido que sigue el agua hasta llegar a ese punto mas alejado?

b) La corrosion ha atacado a las tuberıas, dejandolas inservibles. ¿Cuales son los tramos que hay quereconstruir para que se pueda llevar el agua a todos los puntos del barrio con el mınimo coste y portanto con la menor cantidad de metros de tuberıa?, ¿cuantos metros seran necesarios reconstruir?

60. El estadio Da Luz de Lisboa dispone de un reten de 10 unidades de bomberos para atender otros tantospuntos estrategicos, distanciados segun el diagrama adjunto.

A

B

C

D

EFG

H

I

J

Reten

3

12

2

2

5

2

2

2

2

3 3

5

3

43

2

1

a) Se quiere conectar en un sistema de alarma todos los enclaves con el reten. Determinar un esquemaque utilice la menor cantidad posible de metros de cable.

b) Calcular las rutas optimas desde el reten para las unidades de bomberos, ası como las distancias queestas recorren.

c) ¿Son unicos los esquemas de los apartados anteriores?


Pagina 9


61. Encontrar la longitud del camino mas corto desde x2 hasta x4 en el grafo ponderado de la figura siguiente,ası como una ruta optima. ¿Es unica esta ruta? Interpretar la respuesta en el funcionamiento del algoritmode Dijkstra.

x1

x2

x3

x4

x5 x6

x7

4

15 3

27

6

5

44

3

3

62. Dar un ejemplo de un grafo en el que el arbol de distancias mas cortas desde un vertice pese mas que unarbol recubridor de peso mınimo. Justificar razonadamente por que un arbol de peso mınimo puede nodar las distancias mas cortas entre todos sus vertices.

63. Sea G un grafo con, al menos, dos vertices y Ad su matriz de adyacencia. Sabiendo que el elemento queocupa la posicion ij de la matriz Adm representa el numero de caminos de longitud m que conectan losvertices i y j de dicho grafo, se pide:

a) Probar que si G es un arbol, la traza de Ad2n−1 es nula cualquiera que sea n ∈ N. ¿Es cierto elrecıproco?

b) Si la traza de Ad2n es nula para algun n ∈ N ¿puede ser G un arbol?

64. Se considera el algoritmo (que denominaremos MB) siguiente, que recibe un grafo ponderado G comoentrada:

Sea T una copia del grafo G en la que ordenamos las aristas por longitud, poniendo antes las maslargas: A = {a1, a2, . . . , an} con l(a1) ≥ l(a2) ≥ . . . ≥ l(an).

Para i = 1 hasta nSi ai pertenece a un ciclo en T , eliminamos de T la arista ai.

Y sea G0 = (V, A) el grafo de vertices V = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10} y en el que dos vertices son adyacentessi no son primos entre sı y a cada arista a = {n, m} ∈ A se le asigna una longitud igual a l(a) =mcm(n, m)/mcd(n, m). Se pide:

a) Aplicar MB al grafo G0 y demostrar que el grafo T obtenido es un arbol recubridor de G0.

b) ¿Es cierto que para cualquier grafo G el algorimo MB obtendrıa un arbol recubridor del grafo G?Razonese la respuesta.

c) Demostrar que no es cierto que para cualquier grafo G, el camino mas corto entre dos verticescualesquiera este siempre sobre el grafo T obtenido al aplicar MB a G.

Transversalidad en grafos

65. Encontrar ejemplos de los siguientes tipos de grafos:

a) Euleriano y hamiltoniano.

b) No Euleriano y hamiltoniano.

c) Euleriano y no hamiltoniano.

d) Conexo, no euleriano y no hamiltoniano.

66. En la isla de Wanda los lugares interesantes y los caminos que los unen estan representados por el grafocuya lista de adyacencia es:

E.T.S.I.Informatica Transversalidad en grafos Pagina 10


0 1 2 3 4 5 6 7 81 0 1 0 3 0 1 0 13 2 3 2 5 4 5 2 35 6 7 4 6 7 6 57 8 8 8 8 7

Estudiar si es posible encontrar

a) un recorrido euleriano.

b) un circuito euleriano.

c) un camino hamiltoniano.

67. Responde a las siguientes cuestiones independientes respecto al caracter euleriano de los grafos completos:

a) ¿Para que valores de n tiene un recorrido euleriano el grafo completo Kn?. ¿Para que valores de n eseuleriano el grafo completo Kn?

b) ¿Es euleriano K4,6? En caso afirmativo, descomponerlo en ciclos simples. Encontrar una condicionnecesaria y suficiente para que Km,n sea euleriano.

c) ¿Puede un grafo euleriano tener un numero impar de aristas?.

68. Las calzadas de un jardın tienen forma de una rueda, que representamos como un grafo de verticesV = {0, 1, . . . , n} y aristas:

A = {{0, 1}, {0, 2}, . . . , {0, n}, {1, 2}, . . . , {n− 1, n}, {n, 1}}Describir una ruta que comience y termine en el vertice 0 y visite cada vertice una y solo una vez.

69. Responder a las siguientes cuestiones respecto al caracter hamiltoniano de los grafos completos:

(a) Un grafo bipartito Kn,m contiene 16 aristas, m ≤ n. Determinar m y n:

(i) Si Kn,m posee un circuito euleriano pero no un ciclo hamiltoniano.(ii) Si Kn,m posee un circuito euleriano y un ciclo hamiltoniano.

(b) ¿Existe un ciclo hamiltoniano en K4,4? ¿Y en K4,5? ¿Y en K4,6?

(c) Establecer una condicion necesaria y suficiente para la existencia de un ciclo hamiltoniano en Kn,m.

d) Probar que el grafo completo Kn es hamiltoniano, ∀n.

70. Sea G un grafo conexo, subgrafo recubridor del grafo bipartito completo Kn,m (n ≥ m).

a) Demostrar que si n �= m, entonces G no es hamiltoniano.

b) ¿Es cierto que si n = m entonces G es hamiltoniano? En caso afirmativo, demostrarlo. En casocontrario dar un contraejemplo.

c) ¿Es cierto que si G posee un camino hamiltoniano entonces n = m + 1?.En caso afirmativo, demos-trarlo. En caso contrario dar un contraejemplo.

71. Dado un grafo G simple y conexo, se define como G(2) el multigrafo obtenido convirtiendo cada arista deG en una arista doble.

a) Estudiar la relacion existente entre el caracter euleriano de G y el de G(2).

b) Estudiar la relacion existente entre el caracter hamiltoniano de G y el de G(2).

72. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cual(es) falsas?

a) La suma de dos grafos hamiltonianos es siempre un grafo hamiltoniano.

b) La suma de dos grafos eulerianos es siempre un grafo euleriano.

c) La interseccion de dos grafos hamiltonianos es siempre un grafo hamiltoniano.

d) La interseccion de dos grafos eulerianos es siempre un grafo euleriano.

E.T.S.I.Informatica Transversalidad en grafos Pagina 11


73. Estudiar el caracter euleriano y hamiltoniano del grafo de la figura siguiente:

ab

cd

ef

gh i

74. Demostrar que si G es euleriano entonces su grafo de lınea, L(G), es euleriano y hamiltoniano.

Usar K4 para probar que L(G) puede ser euleriano sin serlo G.

75. Conociendo que el numero de aristas de un grafo G = (V, A) de 10 vertices de grados no inferiores a 6 esdivisible por 13, se pide:

a) demostrar que es conexo,

b) hallar el numero de aristas,

c) probar que posee ciclos de longitud impar y

d) hallar el numero de vertices de grado 6 sabiendo que todos los demas tienen el mismo grado y que Gno es euleriano.

76. Se considera el grafo G0 = (V, A), siendo V = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10} y en el que dos vertices son adyacentessi no son primos entre sı. A cada arista a = {n, m} ∈ A se le asigna una longitud igual a l(a) =mcm(n, m)/mcd(n, m). Representar el grafo G0. ¿Es un grafo euleriano?, ¿es hamiltoniano?

Coloreado

77. Un raton intenta comerse un cubo 3×3×3 de queso; empieza en una esquina y se come cada vez un cubo1× 1× 1 antes de pasar a uno adyacente. ¿Puede el raton comerse el cubo central en ultimo lugar?

78. Encontrar tres reordenaciones de los vertices de un cubo de modo que el algoritmo voraz de coloreadorequiera 2, 3 y 4 colores respectivamente.

79. Determinar el numero cromatico de los siguientes grafos, dados por sus listas de adyacencia:

G1 : ((2,3,4,5,6,7,8,9), (1,3,9), (1,2,4), (1,3,5), (1,4,6), (1,5,7), (1,6,8), (1,7,9),(1,2,8))

G2 : ((2,3,5,6), (1,3,4), (1,2,4,5,6), (2,3,5), (1,3,4,6), (1,3,5))

80. Determinar el numero cromatico del siguiente grafo:

1

2

34

5

6

7

8

91011

E.T.S.I.Informatica Coloreado Pagina 12


81. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones acerca del numero cromatico son verdaderas y cual(es) falsas?

a) Los grafos completos y grafos ciclos impares tienen numero cromatico mayor que la valencia maximade sus vertices.

b) Si el numero cromatico de un grafo vale χ(G) = n entonces el grafo G contiene al grafo completo Kn.

c) Si el numero cromatico de un grafo vale χ(G) = n, al eliminar cualquiera de sus vertices se obtieneun grafo cuyo numero cromatico es χ(G− v) = n− 1.

d) Si el numero cromatico de un grafo vale χ(G) = n entonces todos los vertices de G tienen valenciamayor o igual que n− 1 (δ(G) ≥ n− 1).

82. El k–cubo Qk es el grafo cuyos vertices son las palabras de longitud k en el alfabeto {0, 1} y cuyas aristasunen las palabras que difieren exactamente en una posicion. Probar que Qk es un grafo regular con valenciak y que su numero cromatico es 2.

83. El grafo Mr (r ≥ 2) se obtiene a partir del ciclo C2r anadiendo aristas extras que unan cada par de verticesopuestos. Demostrar que

a) Mr es bipartito si r es impar.

b) χ(Mr) = 3 si r es par y r �= 2.

c) χ(M2) = 4

84. Sea G un grafo regular con 10 aristas y numero cromatico χ(G) = 3, ¿cuantos vertices tiene?

85. Obtener el numero cromatico e ındice cromatico de los siguientes grafos:

G1 G2 G3

86. Probar que para cada entero positivo n, el grafo bipartito completo Kn,n admite una arista–coloracioncon n colores. Obtener una arista–coloracion con 4 colores del grafo K4,4.

87. Se conoce como grafo de Heawood al grafo resultante de enumerar los vertices del ciclo C14 mediante loselementos de Z14 y anadirle las aristas {i, i + 5} para i = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12. Demostrar que el grafo G deHeawood es bipartito y construir una arista–coloracion de dicho grafo que utilice el mınimo numero decolores posibles.

88. Sea T un arbol con n vertices y valencia maxima ∆. ¿Cuanto vale su ındice cromatico?

89. Calcular el mınimo numero de colores necesarios para una arista–coloracion de los siguientes grafos

a) El grafo completo K4.

b) El grafo completo K5.

c) El cubo.

90. Demostrar que χ1(K2n+1) = 2n + 1 y χ1(K2n+2) = 2n + 1.

91. Sea G un grafo 4-regular, cuyo ındice cromatico es 4. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones, referentesa su numero de vertices, son verdaderas y cual(es) falsas?

a) Tiene un numero de vertices par y mayor o igual que 6.

E.T.S.I.Informatica Coloreado Pagina 13


b) Tiene un numero de vertices impar y mayor o igual que 7.

c) Tiene exactamente 5 vertices.

d) Tiene un numero de vertices menor que 6.

92. Deducir cual es el mınimo numero de jornadas para un calendario deportivo a una vuelta que enfrenta ak equipos entre sı, dos a dos.

93. Sea G un grafo no necesariamente conexo y con, al menos, 3 vertices. Se dice que G es crıtico para elcolor si para todo vertice v de G, al eliminar v y todas las aristas incidentes con v del grafo G, el numerocromatico del grafo resultante disminuye. Se pide:

a) Explicar por que los ciclos impares son crıticos para el color, mientras que los pares no lo son.

b) ¿Cuando es crıtico para el color el grafo completo Kn?

c) Probar que si G es crıtico para el color, entonces G es conexo.

d) Demostrar que si G es crıtico para el color y χ(G) = k, entonces para todo vertice v de G esδ(v) ≥ k − 1.

94. a) Sea G=(V, A) un grafo y G′ = (V ′, A′) un subgrafo suyo, con al menos una arista, obtenido elimi-nando vertices de G. Contestar, razonadamente a las siguientes cuestiones:

1) ¿Es posible que G′ sea conexo sin serlo G?2) ¿Es posible que G sea conexo y G′ no lo sea?3) ¿Es posible que G′ sea bipartito sin serlo G?4) ¿Es posible que G sea bipartito y G′ no lo sea?

b) Contestar a las cuestiones anteriores si el grafo G′ se obtiene eliminando aristas de G.

95. Sea G = (V, A) un grafo donde V = {1, 2, 3..., 1998} y dos vertices a,b son adyacentes si a + b es multiplode 3. Se pide:

a) Hallar el grado de cada vertice. ¿Es G un grafo regular?Indicacion: para cada vertice x considerar x (mod 3), es decir, cada x ∈ V es tal que x = 3ko x = 3k + 1 o x = 3k + 2, k ∈ Z+

b) Demostrar que G tiene exactamente dos componentes conexas y que estas no son isomorfas.

c) Hallar el numero cromatico de cada componente conexa, demostrando el resultado.

d) Estudiar cada una de las componentes de G. ¿Alguna de ellas es un grafo euleriano? ¿Y hamiltoniano?Justificar la respuesta.

e) Identifica las componentes conexas de G, ¿que grafos son?

96. Sean T = (V, A) y T ′ = (V ′, A′) dos arboles. Consideremos B = {v1, ..., vr} con B ⊆ V , B′ = {v′1, ..., v′r}con B′ ⊆ V ′ y A = {{v1, v

′1}, {v2, v

′2}, ..., {vr, v

′r}}. Si definimos el grafo G de la siguiente manera: G =

(V ∪ V ′, A ∪A′ ∪A)

a) Demostrar que G es arbol ⇐⇒ r = 1.

b) Probar que si G es euleriano entonces T y T ′ tienen el mismo numero de vertices de grado impar yque este numero es precisamente r.

c) Probar que si T y T ′ poseen el mismo numero de vertices impares y estos son precisamente los de By B′, entonces G es euleriano.

d) Demostrar que si r es un numero impar, entonces G no es euleriano.

e) ¿Es G siempre bipartito? Poner ejemplos de dos grafos G y G′ tales que χ(G) = 2 y χ(G′) > 2

97. Probar que si G es el grafo resultante de eliminar una arista del grafo completo Kn, su numero cromaticoes χ(G) = n− 1.

98. ¿Que relacion existe entre el ındice cromatico del grafo Kn,n (χ1(Kn,n)), su ındice de conectividad(κ(Kn,n)) y su ındice de conectividad lineal (λ(Kn,n)) ?

E.T.S.I.Informatica Emparejamientos Pagina 14


Emparejamientos

99. Sea G = (X ∪ Y, A) el grafo bipartito dado por X = {a, b, c, d, e} e Y = {v, w, x, y, z} y cuya lista deadyacencias viene dada por:

a b c d e v w x y zw w w w v e a e a by z y y x b c e

z c dd

¿Admitira un emparejamiento completo? Obtener un emparejamiento maximo.

100. Utilizar la condicion de Hall para probar que el siguiente grafo bipartito no admite ningun emparejamientocompleto.

��

��

��

��

��x1 x2 x3 x4 x5

y1 y2 y3 y4 y5

Hallar un emparejamiento maximo para dicho grafo.

101. Sea G = (X ∪ Y, A) el grafo bipartito cuya lista de adyacencias viene dada por la tabla siguiente:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 y2 y3 y4 y5 y6

y1 y1 y1 y3 y3 y4 x1 x3 x1 x3 x4 x5

y3 y3 y2 y4 y4 y5 x2 x2 x4 x6 x6

y4 y5 y6 y6 x3 x4 x5

x5 x6

y M = {{x1, y1}, {x3, y4}, {x4, y5}, {x5, y3}, {x6, y6}} un emparejamiento en el grafo G. Partiendo delemparejamiento M , obtener un emparejamiento maximo. ¿Es este emparejamiento completo?

102. Se tienen cinco comisiones: C1 = {a, c, e}, C2 = {b, c}, C3 = {a, b, d}, C4 = {d, e, f} y C5 = {e, f}. Cadacomision ha de enviar un representante al Congreso Anual de Comisiones; C1 quiere nombrar a e, C2 a b,C3 a a y C4 a f .

a) Demostrar que no es posible respetar los deseos de C1, C2, C3 y C4.

b) Usar el metodo del camino alternado y el grafo asociado para hallar un sistema completo de repre-sentantes distintos.

c) ¿Es posible elaborar un sistema completo de representantes distintos si la comision C1 se niega acambiar su nominacion?

103. A una fiesta de final de carrera acuden un grupo de amigos cuyos nombres son: Alicia (A), Berta (B),Celia (C), Darıa (D), Elena (E), Felipe (F), Gerardo (G), Hilario (H), Ignacio (I) y Jacobo (J). Cada chicasolo acepta bailar con un chico segun el esquema siguiente: A acepta como pareja a F,G,H. B aceptacomo pareja a G,I. C acepta como pareja a F,G. D acepta como pareja a G,I,J. E acepta como parejaa F,G,H

a) Dibujar el grafo que modela la situacion anterior, representando cada persona por un vertice.

b) ¿Es posible conseguir que, a la vez, cada chica baile con un chico de los que acepta como pareja debaile? En caso afirmativo dar dichas parejas de baile. En caso contrario, encontrar el numero maximode parejas de baile posibles cumpliendo las condiciones indicadas.

c) ¿Es posible la situacion b) si Darıa baila con Ignacio? En caso afirmativo dar dichas parejas de baile.



d) Al grupo se incorporan seis nuevos amigos: Luisa (L), Marıa (M), Natalia (N), Otilio (O), Pedro (P)y Quintın (Q) quedando el esquema del siguiente modo: A acepta como pareja a F,G,H,O. Bacepta como pareja a G,I. C acepta como pareja a F,G,O. D acepta como pareja a G,I,J. E aceptacomo pareja a F,G,H,O,P,Q. L acepta como pareja a I,O. M acepta como pareja a J. Nacepta como pareja a G,I,J,O. Resolver las cuestiones b) y c) en esta situacion.

e) Indicar cual es el numero mınimo de bailes necesarios para que cada chica baile con todos y cadauno de los chicos a los que acepta como pareja de baile.

104. En la Eurocopa de Portugal 2004 los 16 equipos participantes se han organizado en grupos de 4, resultandolos siguientes partidos:

Grupo A Grupo B Grupo C Grupo DPortugal–Grecia Suiza–Croacia Dinamarca–Italia Alemania–HolandaEspana–Rusia Francia–Inglaterra Suecia–Bulgaria R. Checa–LetoniaGrecia–Espana Croacia–Francia Italia–Suecia Holanda–R. ChecaRusia–Portugal Inglaterra–Suiza Bulgaria–Dinamarca Letonia–AlemaniaRusia–Grecia Inglaterra–Croacia Bulgaria–Italia Letonia–Holanda

Espana–Portugal Francia–Suiza Suecia–Dinamarca R.Checa–Alemania

Cuartos de final: Portugal–Inglaterra, Grecia–Francia, Holanda–Suecia, R.Checa–Dinamarca.

Semifinales: Portugal–Holanda, Grecia–R.Checa. Final: Portugal–R.Checa.

Para arbitrar los 12 partidos correspondientes a la primera fase de los grupos A y B, se dispone de lossiguientes 12 arbitros que, ademas de no poder pitar ninguno de los partidos del grupo en que se encasilla supropio paıs, se han de ajustar a las siguientes limitaciones: el arbitro espanol no puede pitar ni a Francia nia Inglaterra; el frances, ni a Espana ni a Rusia; el ingles, ni a Espana, ni a Grecia; el portugues, a Croacia;el italiano, ni a Grecia ni a Portugal ni a Francia; el aleman, solo puede pitar partidos que enfrenten a dosde entre Espana, Portugal y Grecia; y los arbitros de Letonia, Bulgaria, Croacia, Grecia, Suiza y Rusiano gozan de excesivo credito en la U.E.F.A., de manera que la organizacion no quiere que arbitren lospartidos de gran repercusion mediatica, tales como los 3 partidos de Portugal, el Francia–Inglaterra o elInglaterra–Croacia.

Se pide:

a) Distribuir los partidos en el menor numero de campos de futbol, de manera que ningun equipo jueguedos veces en el mismo campo.

b) Determinar una asignacion de arbitros para los partidos de los grupos A y B, utilizando los colegiadoscitados con anterioridad, a partir de la siguiente propuesta inicial:

Arbitro aleman leton bulgaro croata suizo rusoPartido Por–Gre Rus–Gre Fra–Cro Esp–Rus Esp–Gre Ing–Sui

c) ¿Serıa posible la asignacion en caso de que el arbitro aleman pitara el Portugal–Grecia?

105. En la siguiente tabla se muestran las conexiones entre los ordenadores de los 12 empleados de una oficina(en cada cuadro se muestra la longitud del cable que une los correspondientes ordenadores):

A B C D E F G H I J K LA 2 6 7B 7 11 13C 2 12D 14 12E 4 14F 10G 8H 3J 9



a) Probar que el grafo que representa esta red de ordenadores es un grafo bipartito, obteniendo los dosconjuntos independientes de vertices.

b) El jefe de la oficina pretende poner a trabajar a sus empleados por parejas que tengan sus ordenadoresconectados. Para ello empieza a emparejarlos de la forma siguiente A con B, C con D y E con F .Siguiendo esta distribucion parcial, y utilizando el algoritmo apropiado, ¿es posible obtener unadistribucion de todos los trabajadores en parejas? En caso afirmativo obtenerla (indicando los pasosseguidos) y en caso negativo obtener el mayor numero de parejas posibles.

c) ¿Obtener, explicando el algoritmo utilizado, la mınima distancia en metros de cable entre los orde-nadores A y J y el camino mınimo entre ellos.

d) Se pretende llevar a cabo la renovacion de las conexiones de los ordenadores, ¿que conexioneshabra que reparar para que, utilizando el menor numero de metros de cable, los ordenadores quedentodos interconectados con las nuevas conexiones?

Grafos planos

106. Un grafo plano y conexo tiene nueve vertices que tienen valencias 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4 y 5. ¿Cuantas aristasposee dicho grafo?.¿Cuantas caras tiene?.

107. Demostrar que es plano cualquier grafo que tenga a lo sumo cuatro vertices.

108. Demostrar que un grafo con a lo sumo 5 vertices de valencia mayor o igual que 3 y a lo sumo 4 verticesde valencia mayor o igual que 4 siempre es plano.

109. Sea G = (V, A) un grafo no plano. ¿Cual es el numero mas pequeno de vertices que puede tener G?, ¿yde aristas?

110. Determinar el numero de vertices, aristas y caras para cada uno de los grafos planos siguientes. A conti-nuacion comprobar el teorema de Euler para grafos planos conexos.

��

� � ��

��

��

a) � ��

� ��

b)

111. Si G es un grafo plano conexo con al menos 3 vertices, ¿cual(es) de las siguientes afirmaciones son verda-deras y cual(es) falsas?

a) Existe al menos un vertice de G con grado estrictamente menor que 6.

b) Todos los vertices de G tienen grado mayor o igual que 6.

c) Todos los vertices de G tienen grado estrictamente menor que 6.

d) Ninguna de las afirmaciones anteriores es verdadera.

112. Probar que cada uno de los grafos siguientes no son planos, encontrando un subgrafo homeomorfo a K5 obien a K3,3.

E.T.S.I.Informatica Grafos planos Pagina 17


��

��

��

��ba

f c

e d ��

��

�

�f

e

d

c

b

a

g

113. Determinar si los grafos siguientes son planos. En caso afirmativo dibujarlos de nuevo de modo que susaristas no se crucen; en caso contrario hallar un subgrafo homeomorfo a K5 o bien a K3,3.

� ��

��

� �

� ��

��

��a b

c

de

f e

a b

cd

g

h

a b

c

d

ef

114. De los siguientes grafos, ¿cuales son planos?

G1 G2 G3

115. a) Sea G = (V, A) un grafo conexo, plano y que determina 53 caras. Si para alguna inmersion plana deG cada cara tiene al menos cinco aristas en su frontera, demostrar que |V | ≥ 82.

b) Sea G = (V, A) un grafo plano 4-regular conexo. Si |A| = 16, determinar el numero de caras que hayen una representacion plana de G.

116. a) Sea G = (V, A) un grafo conexo con |V | ≥ 11. Demostrar que al menos uno de entre G y sucomplementario G debe ser un grafo no plano.

b) El resultado de (a) es verdadero para |V | ≥ 9, pero la demostracion para |V | = 9, 10 es mucho masdifıcil. Encontrar un contraejemplo de la parte (a) para |V | = 8.



117. Encontrar un grafo dual para cada uno de los dos grafos planos de la figura.

��

� �

��

�a b

c

d

e

f

g

h

� �

��

��

t u

v w

x

zy

a) b)

118. Comprobar que los grafos de la figura son isomorfos. Trazar un dual para cada grafo y comprobar que losgrafos ası obtenidos no son isomorfos.

�

� �

��

�

� �

��

a b

dc

e

y z

x

wvb)a)

119. Se dice que un grafo plano es autodual si es isomorfo a su dual. Responder razonadamente a las siguientescuestiones:

a) ¿Es autodual el grafo rueda W5 (de 5 radios)?

b) ¿Es cierto que todo grafo autodual tiene un numero par de vertices?, ¿y de aristas?

c) ¿Que relacion existe entre el numero de caras y de vertices de un grafo autodual?

120. La matriz de adyacencia de un grafo G tiene por filas: (0, 0, 1, 0, 2, 1, 3), (0, 0, 0, 2, 0, 4, 1), (1, 0, 0, 3, 0, 0, 5),(0, 2, 3, 0, 5, 0, 0), (2, 0, 0, 5, 0, 3, 0), (1, 4, 0, 0, 3, 0, 1), (3, 1, 5, 0, 0, 1, 0). Responder razonadamente a las si-guientes cuestiones:

a) ¿Es G plano? En caso afirmativo dar una realizacion plana del mismo.

b) ¿Es G euleriano? ¿Es G hamiltoniano? En caso afirmativo encontrar un circuito euleriano o un ciclohamiltoniano.

c) ¿Es G bipartito? Justifica la respuesta.

d) Calcular el numero cromatico χ(G). Para ello se sugiere seguir los pasos siguientes:

1) Utilizando el algoritmo voraz, dar una vertice coloracion con cuatro colores.2) Justificar que 3 ≤ χ(G) ≤ 4.3) Probar que χ(G) > 3.

e) Hallar el camino mas corto del vertice 2 al vertice 5, construyendo el arbol recubridor de G.

121. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones, que relacionan planaridad con numero e ındice cromatico, sonverdaderas y cual(es) falsas?

a) Para cualquier n ≥ 4 existe un grafo G plano con n vertices y con numero cromatico χ(G) = 4.

b) Si χ(G) ≤ 4 entonces G es un grafo plano.

c) Si G es un grafo no plano entonces χ(G) > 4.



d) Si G es un grafo plano entonces su ındice cromatico es χ1(G) < 5.

122. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones referentes al grafo bipartito completo K2,s, para s ≥ 2, sonverdaderas y cual(es) falsas?

a) Para cualquier s > 2, el ındice cromatico del grafo es 2.

b) K2,s es plano, para cualquier s ≥ 2.

c) Si s = 2 coinciden el numero cromatico y el ındice cromatico de K2,s (χ(K2,s) = χ1(K2,s)).

d) Para s = 7, el ındice cromatico de K2,s vale 7 (χ1(K2,s) = 7).


Bolet´ın de Problemas de Matem´atica Discretama1.eii.us.es/Material/md_ii_boletin.pdf ·...

Documents

Transcript of Bolet´ın de Problemas de Matem´atica Discretama1.eii.us.es/Material/md_ii_boletin.pdf ·...