BLOQUE 3. ESTIMACIÓN PUNTUAL: PROPIEDADES Y MÉTODOS DE OBTENCIÓN.

1) De una población ξ queremos estimar su varianza 2σ . Para ello

tomamos dos estimadores 1

2_

2

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=∑

n

xxS

i

. Determinar cuál de los

dos estimadores es insesgado. 2) Consideremos una población ξ que sigue la distribución uniforme en

el intervalo [ ]b;0 . Para estimar b obtenemos una muestra aleatoria

4321 ,,, xxxx y tomamos como estimador 4

ˆ 4321 xxxxkb +++= .

Se pide determinar el valor de k para que b̂ sea insesgado. 3) Una variable ξ tiene como función de densidad f(x)= xe λλ − ; x>0. Tomamos una muestra al azar d tamaño dos: 101 =x y 122 =x . Estimar el valor de λ por el método de la máxima verosimilitud. 4) Con los mismos datos que el ejercicio anterior, estimar el valor de λ

por el método de los momentos. 5) El número de llamadas que recibe por hora una central telefónica

sigue la distribución de Poisson con parámetro λ desconocido. Se observan 4 horas que arrojan los siguientes resultados: 1, 5 ,4 , 2. Se pide estimar el valor de λ por el método de la máxima verosimilitud. 6) La altura de los alumnos de una facultad es una variable aleatoria

que se distribuye normalmente con media desconocida.

Para estimar m se escogen al azar 100 estudiantes con las siguientes alturas (en cm):

( )ix altura )º( sestudiantenni 160-164 15 164-168 20 168-172 30 172-176 25 176-180 10

Se pide obtener la altura media de los alumnos de esa Facultad mediante la estimación por máxima verosimilitud. 7) Obtener la varianza de la distribución del ejercicio anterior por el

método de la máxima verosimilitud. 8) Hallar los estimadores por máxima verosimilitud de la población:

1 2 3 X ξ 1P 2P 3P P en virtud de la muestra 1 2 3 iX X 21 =n 42 =n 43 =n Frecuencias

10321 =++ nnn

9) Dada la población normal ( )1;m≡ξ se consideran como estimadores

de la media:

2111 31

32ˆ xxml +==

22 m̂l = el estimador de máxima verosimilitud Se pide:

a. ¿Son insesgados estos estimadores? b. Varianza de los estimadores c. ¿Son eficientes?

10) Dada una población N(m;5), se obtiene una muestra aleatoria simple

de tamaño 3, utilizándose como estimadores de m los estadísticos:

1/ 1 1 2 31 1 1ˆ3 4 2

m x x x= + + ; 2/ 1 2 32ˆ

3x x xm + +

= .

Analizar:

a) Si son o no estimadores insesgados.

b) La varianza de dichos estimadores.

c) Si son o no estimadores eficientes.

11) Una población se distribuye uniformemente en el intervalo (0;θ).

Mediante una muestra aleatoria simple de tamaño n se estima θ,

utilizándose como estimador ˆ kxθ = . Determinar k para que la

estimación sea centrada. Determinar, así mismo, la varianza de θ*.

12) La distribución de Pareto tiene por función de distribución:

( ) 1 , siendo , 0k

F x x kx

α

α= − > >⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Obtener el estimador por momentos y por máxima verosimilitud del

parámetro α.

13) De una población N(m;1), se obtienen dos estimadores de m en una

muestra aleatoria simple de tamaño 2:

a) 1 1 22 1ˆ3 3

m x x= + ; b) 2 1 22 4ˆ5 5

m x x= + .

Analizar si dichos estimadores son eficientes.

14) En una población de Poisson se estima λ:

a. Mediante la media muestral;

b. Mediante la cuasivarianza muestral.

Siendo

( )2

2 21cV s

n nλ λ

= +−

analizar cuál de ambas estimaciones es más eficiente. Aplicarlo al caso

en que λ = 2, n = 50.