Técnica radiografica intrabucal periapical bisectriz del ángulo.
Bisectriz Del Ángulo Formado Por Dos Rectas
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I.E.S. Jaime Ferrán. Departamento de Matemáticas. מ
Bisectriz del ángulo formado por dos rectas
La bisectriz de un ángulo divide al ángulo en dos ángulos iguales
Propiedad de las bisectrices Los puntos de la bisectriz de un ángulo equidistan de los lados del ángulo
Ecuación de la bisectriz Supongamos dos rectas de ecuaciones 0=++≡ CByAxr y 0=++≡ 'Cy'Bx'As Un punto P(x, y) estará en la bisectriz si y sólo si ( ) ( )s,Pdr,Pd = . La distancia del punto P(x, y) a la recta 0=++≡ CByAxr es
( )22 BA
CByAxr,Pd
+
++=
Análogamente, la distancia del punto P(x, y) a la recta 0=++≡ 'Cy'Bx'As es
( )22 'B'A
'Cy'Bx'As,Pd
+
++=
Luego los puntos de la bisectriz verifican la ecuación :
22 BA
CByAx
+
++ =
22 'B'A
'Cy'Bx'A
+
++
Esta igualdad con valores absolutos equivale a dos igualdades:
I. 22 BA
CByAx
+
++ =
22 'B'A
'Cy'Bx'A
+
++
II. 22 BA
CByAx
+
++ = −
22 'B'A
'Cy'Bx'A
+
++
que son las ecuaciones de las dos bisectrices determinadas por las dos rectas. Nótese que dos rectas determinan dos bisectrices
( ) ( )s,Pdr,PdbP =⇔∈
I.E.S. Jaime Ferrán. Departamento de Matemáticas. מ
Ejemplo
Calcular las bisectrices de los ángulos determinados por las rectas de ecuaciones
=−+≡=+−≡
055120134
yxsyxr
Solución
Las ecuaciones de las bisectrices son en este caso : 2324
134
+
+− yx =
25212
5512
+
−+ yx que
corresponden a las dos rectas :
I. 5
134 +− yx =
135512 −+ yx
II. 5
134 +− yx = −
135512 −+ yx
Es decir, las dos bisectrices son: b1 : 4 x + 32 y - 19 = 0 b2: 56 x - 7 y - 6 = 0
Representación gráfica:
Podemos observar fácilmente que estas dos rectas son perpendiculares, pues el producto escalar de los vectores normales es nulo: 4 · 56 - 32 · 7 = 0 ✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎
Ejercicio. Calcular las bisectrices de los ángulos determinados por las rectas de ecuaciones
=−≡=−+≡
0401243
xsyxr
Solución b1 : x - 2 y - 4 = 0 ; b2 : 2 x + y - 8 = 0
Ejercicio. Comprobar que las bisectrices de los ejes de coordenadas son las rectas y = x y y = - x.
Ejercicio. Calcular las bisectrices de los ángulos determinados por las rectas de ecuaciones x - 3y + 5 = 0 y 3x - y - 2 = 0 Solución b1 : 4x - 4 y + 3 = 0 ; b2 : 2 x + 2y - 7 = 0
