Bifurcaciones en un brazo robotico de un grado de libertad con

ley de control hamiltoniana

F. Salas

salas@cartuja.us.es

J.Aracil

aracil@esi.us.es

F. Gordillo

gordillo@esi.us.es

Depto de Ingenierıa de Sistemas y Automatica.Escuela Superior de Ingenieros Universidad de SevillaCamino de los descubrimientos s/n. 41092. Sevilla. Tlf:95 448 73 43. Fax 95 448 73 40.

Resumen

En este artıculo se presenta el analisis de bi-furcaciones de un brazo robotico vertical (pendu-lo invertido simple completamente actuado) de ungrado de libertad, controlado mediante una ley decontrol hamiltoniana. Se pretende con esto ponerde manifiesto la importancia del analisis de bifur-caciones en sistemas no lineales como complemen-to al diseno de controladores.

Palabras clave: Bifurcaciones, sistemasdinamicos, control hamiltoniano

1. Introduccion

La teorıa de bifurcaciones constituye una herra-mienta muy util para comprender el comporta-miento de los sistemas no lineales [2]. En los siste-mas de control no es suficiente, a veces, la linea-lizacion del sistema en torno al punto de trabajo,y es necesario acudir a modelos y esquemas decontrol no lineal. En este contexto, la teorıa debifurcaciones permite obtener una representacionglobal de la estructura del espacio de fases y dela manera en que cambia esta dependiendo de losvalores de los parametros [4],[5].

2. Descripcion del sistema

El sistema esta compuesto por un motor electri-co colocado en posicion horizontal que acciona unbrazo que es el pendulo (figura 1). El objetivo delsistema es mantener el brazo en posicion vertical.Este es un problema de control muy simple peroque, tal y como se vera en el desarrollo del capıtu-lo, presenta una gran riqueza de comportamientodinamico.

Para obtener el modelo de un pendulo invertidosimple de longitud 2l como el de la figura 1 esnecesario conocer el valor de la energıa cinetica:

T =1

2Jaθ2, (1)

θθ

g

l

m

τ

Figura 1: Pendulo invertido simple

y de la energıa potencial:

V = mgl cos θ, (2)

donde θ el angulo del pendulo medido desde laposicion superior; Ja representa la inercia del sis-tema; m es la masa del brazo y g es la gravedad.

Ademas existen dos fuerzas no potenciales queson el par motor τ y la friccion del sistema ρθ (sesupone que solo existe friccion viscosa), donde ρ esel coeficiente de rozamiento asociado a la friccion.

Las ecuaciones del sistema pueden obtenidas co-mo un sistema hamiltoniano generalizado [6].

Usando las coordenadas hamiltonianas q = θ yp = Jaθ, la funcion de Hamilton es:

H(q, p) = T + V =1

2

p2

Ja

+ mgl cos q, (3)

y por la tanto las ecuaciones hamiltonianas corres-pondientes, de las que se obtiene el modelo delsistema, son:

q =∂H

∂p=

p

Ja

(4)

p = −∂H

∂q− ρθ + τ = α sen q − βp + u, (5)

donde α = mgl; β = ρJa

y u = τ es la senal decontrol.

Este es un ejemplo simple de un sistema de con-trol hamiltoniano generalizado con disipacion [6]de la forma

x = [J − R]∂H

∂x+ gu, (6)

donde

x =

[x1

x2

]

=

[q

p

]

∈ S1× R, (7)

J =

[0 1

−1 0

]

,R =

[0 00 ρ

]

,g =

[01

]

. (8)

Como puede observarse ambas descripciones, la-grangiana y hamiltoniana son equivalentes.

Se observa a partir del modelo del sistema queante una senal de control nula, el sistema tiene si-metrıa en θ. En efecto, el espacio de fases es uncilindro S1 × R. Ası pues, para conservar la sime-trıa en el espacio de fases, y que el sistema unavez controlado siga siendo simetrico en θ, la leyde control u debe ser una funcion periodica en θ.

3. Sistema con ley de control

hamiltoniana

En esta seccion se va a proceder a realizar unanalisis de bifurcaciones del sistema controladomediante una ley de control hamiltoniana, de ma-nera que el sistema en bucle cerrado ha de cum-plir las condiciones necesarias para preservar la si-metrıa y mantener el espacio de fases del sistemacontrolado como un cilindro S1 × R, y mantenerel pendulo en la posicion deseada.

3.1. Determinacion de la ley de con-

trol

La funcion de Hamilton del sistema sin compen-sar es

H =1

2

p2

Ja︸︷︷︸

T

+α cos q︸ ︷︷ ︸

V

, (9)

con α = mgl; T la energıa cinetica y V la poten-cial.

Se pretende, que la posicion vertical superior(0, 0) sea un equilibrio estable del sistema.

La geometrıa de la representacion grafica de lafuncion hamiltoniana H presentada en la figura2, junto con la representacion de la curva de laenergıa potencial V = α cos q de la figura 3 y elretrato de estados del sistema en bucle abierto da-do por la figura 4, permiten ver que el equilibrio(0, 0) es inestable en bucle abierto.

En efecto, los mınimos de la funcion hamilto-niana H coinciden con los mınimos de la funcion

−4

−2

0

2

4

−1

−0.5

0

0.5

1−0.5

0

0.5

1

qp

H

Figura 2: Funcion hamiltoniana en bucle abierto.

−3 −2 −1 0 1 2 3−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

q

V

Figura 3: Funcion potencial en bucle abierto.

de energıa potencial V , y los puntos de ensilladurade H coinciden con los maximos de V .

Como se observa en la figura 4 los mınimos dela funcion de Hamilton son puntos de equilibrioestable en el espacio de estados (±π, 0) (en el ca-so en que el sistema sea conservativo), es decir, elrozamiento del sistema ρ sea nulo, estos puntos secorresponderıan con centros en el espacio de esta-dos del sistema (figura 5), mientras que los puntosde ensilladura de H corresponden con puntos desilla en el espacio de estados.

En concreto, como era de esperar, en bucleabierto, la posicion vertical del pendulo es inesta-ble, mientras que la posicion estable es la inferior.

El siguiente paso consiste en adoptar una fun-cion de Hamilton deseada que haga que el sistematenga un equilibrio estable en el origen, es decir,que la funcion de Hamilton deseada tenga un mıni-mo en dicho punto.

Para ello se tomara como funcion de Hamiltondeseada

Hd =1

2

p2

Ja︸︷︷︸

T

−α cos q︸ ︷︷ ︸

V

(10)

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−0.46

−0.36

−0.36

−0.36

−0.18

−0.18

−0.18

−0.18

−0.18

0.06

0.06

0.06

0.06

0.06

0.06

0.38

0.38

0.38

0.38

0.38

0.38

0.77

0.77

0.77

0.77

PSfrag replacements

q

p

q3

q2

−q3

−q2

q

Figura 4: Retrato de estados del sistema en bucleabierto con las superficies de nivel del hamiltonia-no.

x ’ = y/1 y ’ = alfa sin(x) − beta y − sat(l1 x + l2 y)

l1 = 0l2 = 0

alfa = 0.5beta = 0

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−0.46

−0.36

−0.36

−0.36

−0.18

−0.18

−0.18

−0.18

0.06

0.06

0.06

0.06

0.06

0.06

0.38

0.38

0.38

0.38

0.38

0.38

0.77

0.77

0.77

0.77

PSfrag replacements

q

p

q3

q2

−q3

−q2

q

Figura 5: Retrato de estados del sistema en bucleabierto con las superficies de nivel del hamiltonia-no, suponiendo friccion nula.

que, como puede observarse al compararla con lade bucle abierto, se obtiene al cambiar de signola energıa potencial, o lo que es lo mismo, equiva-le a invertir la gravedad. Ası pues, si se consiguetransformar el sistema para que tenga dicha fun-cion hamiltoniana, se conseguira que la posicionsuperior sea estable, ya que, como puede obser-varse en la figura 6, tiene un mınimo en el punto(0, 0).

La accion de control necesaria para conseguirque el sistema en bucle cerrado tenga como fun-cion de Hamilton Hd se obtiene de la ecuacion[1],[3]:

[J − R]∂H

∂x+ gu = [J − Rd]

∂Hd

∂x, (11)

en la que, sustituyendo los valores del sistema ob-jeto de estudio, queda:

∂H

∂p=

∂Hd

∂p(12)

−∂H

∂q− ρ

∂H

∂p+ u = −

∂Hd

∂q− ρd

∂Hd

∂p(13)

−4

−2

0

2

4

−1

−0.5

0

0.5

1−0.5

0

0.5

1

qp

Hd

Figura 6: Funcion hamiltoniana en bucle cerrado.

donde, despejando u, se obtiene la ley de control:

u = −2 α sen q +(ρ − ρd)

Ja

p (14)

que hace que el sistema en bucle cerrado tengacomo funcion de Hamilton Hd.

En lo sucesivo, con el fin de estudiar el efectodel cambio de los parametros de la ley de controlen la estabilidad del sistema, se tomara como leyde control

u = −l1 sen q − l2p. (15)

Una vez determinada la ley de control hay quehacer notar que el sistema controlado en buclecerrado preserva la simetrıa respecto a q, y el es-pacio de fases sigue siendo un cilindro S1×R. Estoquiere decir que solo hay que analizar el sistemaen el intervalo de q ∈ [−π, π], ya que, debido a laforma cilındrica ya comentada, el valor q = −π esel mismo que q = π. Esto puede verse claramenteen la figura 7, donde se representa el espacio defases de la figura 5 en su forma cilındrica.

−0.5

0.5

−0.5

0.5−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

0

PSfrag replacements

π

q

p

Figura 7: Retrato de estados del sistema en bucleabierto sin friccion, representado en un cilindro

3.2. Analisis del sistema

En este caso las ecuaciones del sistema contro-lado son:

q =p

Ja

p = (α − l1) sen q − (β + l2)p. (16)

Resolviendo el correspondiente sistema de ecua-ciones se obtienen los puntos de equilibrio del sis-tema como solucion de la ecuacion:

(α − l1) sen q = 0. (17)

Ası pues, los puntos de equilibrio del sistema son(q0, p) = (0, 0) y (q1, p) = (π, 0).

Estos puntos son siempre equilibrios del siste-ma, independientemente del valor de los parame-tros l1 y l2, salvo en el caso degenerado en quel1 = α en el que existen infinitos puntos de equili-brio en cualquier valor de q y con p = 0.

Ası pues, los parametros de bifurcacion l1 y l2no influyen en el numero de equilibrios, aunquesı lo hacen en su estabilidad.

La matriz jacobiana del sistema es

J =

[0 1

Ja

(α − l1) cos q −(β + l2)

]

. (18)

En lo sucesivo, y a efectos practicos, se supon-dra que l1 solo puede tomar valores positivos,mientras que el otro parametro de bifurcacion l2puede ser tanto positivo como negativo, suponien-do que se pretenda compensar la friccion.

En primer lugar se realiza el analisis del siste-ma suponiendo que l2 > −β y que l1 es el unicoparametro de bifurcacion.

La matriz jacobiana particularizada en el puntode equilibrio (0, 0) es:

J(0,0) =

[0 1

Ja

(α − l1) −(β + l2)

]

(19)

de la que puede deducirse que el punto de equili-brio (0, 0) es estable siempre que l1 > α e inestablepara l1 < α.

Del valor de la matriz jacobiana particularizadaen el punto de equilibrio (q1, 0) = (π, 0),

J(π,0) =

[0 1

Ja

−(α − l1) −(β + l2)

]

, (20)

se obtiene que la posicion vertical inferior presentaun comportamiento opuesto a la superior, es decir,es estable para valores de l1 < α e inestable sil1 > α.

Ası pues, el diagrama de bifurcaciones del siste-ma en funcion del parametro l1 es el representadoen la figura 8, donde puede observarse el cambiode estabilidad de los equilibrios para l1 = α enuna doble bifurcacion silla-nodo.

En la figura 10 esta representado el conjuntode bifurcaciones del sistema en el plano (l1, l2),ası como el comportamiento del sistema en cadauna de las regiones delimitadas por las lıneas debifurcacion.

PSfrag replacements

q = π

q = −π

q = 0l1l1 = α

Figura 8: Diagrama de bifurcaciones del sistemaal variar l1 con l2 > −β.

Si se permite ahora la variacion libre delparametro l2, entonces, en l2 = −β, existe otrafrontera de estabilidad.

Efectivamente, como puede deducirse a partirde los autovalores en del jacobiano J(0,0) el casoen que l2 < −β,

λ1,2 =−(β + l2) ±

√

(β + l2)2 + 4(α−l1)Ja

2. (21)

Si l1 < α: Los dos autovalores son reales, yuno de ellos tiene parte real positiva ya que√

(β + l2)2 + 4(α−l1)Ja

> −(β + l2). Ası pues,

el origen es inestable.

Si l1 > α: Para valores de l2 proximos a −β,los autovalores son complejos (ver caso decontrol lineal) y con parte real positiva, porlo que el equilibrio en el origen es inestable.

Para el valor particular l2 = −β, si l1 < α,el sistema tiene dos autovalores reales de distintosigno y si l1 > α, el sistema tiene un par de auto-valores imaginarios puros, por lo que presenta unavariedad de centros.

Si se estudia ahora la estabilidad del otro equili-brio (π, 0) al variar los parametros de bifurcacionl1 y l2, puede comprobarse, a partir de los auto-valores de J(π,0)

λ1,2 =−(β − l2) ±

√

(β + l2)2 + 4(l1−α)Ja

2, (22)

que si l2 < −β, al menos uno de los dos autovalorestiene parte real positiva, por lo que el punto deequilibrio vertical inferior (π, 0) es inestable paracualquier valor de l1.

Todo lo anterior puede resumirse en la figura 11,en la que se presenta el conjunto de bifurcacionesdel sistema en el plano (l2, l1), ası como el com-portamiento del mismo en cada una de las regionesdelimitadas por las lıneas de bifurcacion.

Puede observarse como, partiendo del compor-tamiento deseado del sistema (posicion vertical su-perior estable e inferior inestable para l1 > α yl2 > −β), si se disminuye l2 hasta hacerlo igual a−β, el sistema presenta una variedad de centrosalrededor del origen y una conexion homoclina en(π, 0). Al hacer l2 < −β el origen se inestabiliza,debido a una bifurcacion de Hopf que no deja ciclolımite, quedando el sistema globalmente inestable.

Por otra parte, si se comienza la evolucion des-de los valores l1 < α y l2 > −β (que hacen queel sistema tenga un equilibrio estable en (π, 0) einestable en (0, 0)), y se disminuye l2, al llegara l2 = −β (sistema conservativo), se produce unavariedad de centros en torno a (π, 0) y al disminuiraun mas l2 y hacerlo inferior a −β, dicho punto seinestabiliza por otra bifurcacion de Hopf que nodeja ciclo lımite.

El paso de l1 > α a l1 < α corresponde a la do-ble bifurcacion silla-nodo representada en la figura8.

Llegados a este punto es necesario hacer hinca-pie en que, debido al caracter cilındrico del espaciode estados del sistema, pueden diferenciarse dos ti-pos de orbitas periodicas de diferente naturalezapresentes en el comportamiento del sistema.

En efecto, si se observa la figura 9, que describeel comportamiento dinamico del sistema corres-pondiente a los valores de los parametros l1 > α

y l2 = −β, puede verse facilmente que existen dostipos de orbitas, la primera de ellas se producepor la oscilacion del brazo alrededor del equilibrioque se denominara orbita de vibracion y que serepresenta en el espacio de fases como una orbi-ta cerrada alrededor de (0, 0). La segunda aparecedebido al espacio cilındrico y corresponde a orbi-tas de rotacion que se cierran en el cilindro.

Agradecimientos

Los autores agradecen a la CYCIT por el apoyorecibido a traves de sus proyectos DPI2000-1218-C04-01 y DPI2001-2424-C02-01.

Referencias

[1] J. Aracil. Notas sobre sistemas de control nolineales. Universidad de Sevilla, 1999.

[2] Y.A. Kutnetzov. Elements of applied bifur-cation theory, volume 112. Springer-Verlag,1995. Applied Mathematics Science Series.

x ’ = y/1 y ’ = alfa sin(x) − beta y − l1 sin(x) − l2 y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

PSfrag replacements

αl1 = α

q

p

α = 0,5

l1 = 0,4l2 = −0,5β = 0,5l1 = 1

l1 = 0,25l2 = −0,1

l2 = −1l2 = −0,55

l2

DSN

Hl1

α = 0,5−β

Figura 9: Comportamiento del sistema con l1 > α

y l2 = −β.

[3] R. Ortega, A.J. Van der Schaft, B. Masch-ke, and G. Escobar. Stabilization of port-controlled hamiltonian systemas: Passivationand energy-balancing. 1999.

[4] D.J. Pagano. Bifurcaciones en sistemas decontrol no linales. PhD thesis, ESI. Sevilla,1999.

[5] F. Salas. Bifurcaciones en el control de siste-mas electromecanicos. PhD thesis, ESI. Sevi-lla, 2002.

[6] A. Van der Schaft. L2-Gain and passivity te-chniques in nonlinear control. Springer-Verlag,1996.

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

PSfrag replacements

α

l1 = α

q

q

p

p

α = 0,5

α = 0,5

l1 = 0,4l2 = −0,5

β = 0,5

β = 0,5

l1 = 1

l1 = 0,25

l2 = −0,1

l2 = −0,1

l2 = −1l2 = −0,55

l2

l1

α = 0,5−β

Figura 10: Conjunto de bifurcaciones del sistema con ley de control hamiltoniana no saturada en el plano(α, l1), con l2 > −β.

x ’ = y/1 y ’ = alfa sin(x) − beta y − l1 sin(x) − l2 y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x ’ = y/1 y ’ = alfa sin(x) − beta y − l1 sin(x) − l2 y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x ’ = y/1 y ’ = alfa sin(x) − beta y − l1 sin(x) − l2 y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x ’ = y/1 y ’ = alfa sin(x) − beta y − l1 sin(x) − l2 y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x ’ = y/1 y ’ = alfa sin(x) − beta y − l1 sin(x) − l2 y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x ’ = y/1 y ’ = alfa sin(x) − beta y − l1 sin(x) − l2 y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

PSfrag replacements

αl1 = α

q

q

q q

q

q

p

pp p

p

p

α = 0,5

α = 0,5

α = 0,5 α = 0,5

α = 0,5

α = 0,5

l1 = 0,4

l2 = −0,5 l2 = −0,5

β = 0,5

β = 0,5

β = 0,5 β = 0,5

β = 0,5

β = 0,5l1 = 1

l1 = 1

l1 = 1

l1 = 0,25

l1 = 0,25

l1 = 0,25 l2 = −0,1

l2 = −0,1l2 = −1

l2 = −1

l2 = −0,55

l2

DSN DSN

H

H

l1

α = 0,5

−β

Figura 11: Conjunto de bifurcaciones del sistema con ley de control hamiltoniana no saturada el plano(l1, l2).(H=Bifurcacion de Hopf. DSN=Doble bifurcacion silla-nodo).