Bisectriz 

Construcción gráfica con regla y compás. 

 

La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de

 

los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia ) de las semirrectas de un ángulo.

Características

El punto de la bisectriz es equidistante a los dos lados (rectas) del ángulo. Recíprocamente, dos

rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos y cada uno de ellos define una bisectriz. Estas

bisectrices resultan ser el lugar geométrico de los puntos equidistante. 

 Aplicación en triángulos 

Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que

equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de

la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del

triángulo.

 

Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O la intersección de las

bisectrices D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (AB) y (AC).

Como O pertenece a D', entonces también equidista de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la

igualdad, es equidistante de (AC) y (BC), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a

D". Al ser equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferencia cuyo radio sea justamente la

distancia común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los lados. 

Propiedades 

Considere el triángulo ABC y la circunferencia circunscrita. La mediatriz MN, del lado BC corta el

arco BMC en su punto medio. Como el ángulo inscrito BAC subtiende dicho arco, los ángulos BAM y

MAC son iguales y la recta AM resulta ser la bisectriz del ángulo BAC. Las rectas AN y AM son

ortogonales, porque el lado MN del triángulo AMN es diámetro de la circunferencia y el vértice A se

halla sobre dicha circunferencia. La recta AN es bisectriz del ángulo exterior al triángulo ABC en el

vértice A. Por lo anteriormente expuesto, se puede decir: La mediatriz de un lado de un triángulo y 

las bisectrices del ángulo opuesto se intersecan sobre la circunferencia circunscrita 

Este hecho se usa en la discusión de la circunferencia de los nueve puntos