FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

DEPARTAMENTO ACADÉMICO: CIENCIAS DE LA INGENIERÍA

CICLO: VACACIONAL.

CURSO: MECÁNICA DE FLUIDOS I

ALUMNOS:

CALDERON TERRONES JUAN CARLOS.

CALDERON TERRONES YANIRE SOLEDAD.

MARIN MARIN FREDY ROLANDO.

ROMERO VARGAS OLGA GISSEL.

VASQUEZ VASQUEZ OSCAR ELI.

DOCENTE: ING. JOSE ANTONIO CORONEL DELGADO.

JAÉN – PERÚ

INTRODUCCIÓN

La denominada ecuación o teorema de Bernoulli representa el principio de conservación de la energía mecánica aplicado al caso de una corriente fluida ideal, es decir, con un fluido sin viscosidad (y sin conductividad térmica). El nombre del teorema es en honor a Daniel Bernoulli, matemático suizo del siglo XVIII (1700-

1782), quien, a partir de medidas de presión y velocidad en conductos, consiguió relacionar los cambios habidos entre ambas variables. Sus estudios se plasmaron en el libro Hidrodynamica”, uno de los primeros tratados publicados sobre el flujo de fluidos, que data de 1738.

OBJETIVOS

Encontrar una expresión que relacione energía y presión.

Escribir ecuaciones de energía par fluidos.

Encontrar la ecuación de Bernoulli.

Deducir las ecuaciones del Tubo de Pitot, Tubo de Venturí y teorema de Torricelli

Mencionar las aplicaciones de la ecuación de Bernoulli.

Aplicar las expresiones anteriormente deducidas a

problemas aplicativos.

Determinar la aplicación de Ecuación Bernoulli.

Determinar las alturas totales y las alturas

piezometricas.

ECUACIÓN DE LA ENERGÍA

Se obtiene la ecuación de la energía al aplicar al flujo fluido el principio de conservación de la energía. La energía que posee un fluido en movimiento está integrada por la energía interna y las energías debidas a la presión, a la velocidad y a su posición en el espacio. En la dirección del flujo, el principio de la energía se traduce en la siguiente ecuación, al haber el balance de la misma:

Energía en la sección 1 + Energía añadida - Energía perdida - Energía extraída = Energía en la sección 2

Esta ecuación, en los flujos permanentes de fluidos incompresibles son variaciones en su energía interna es despreciable, se reduce a

La ecuación anterior se conoce con el nombre de Teorema de Bernoulli.

Las unidades de cada término son kgm/kg de fluido o bien metros de fluido. Prácticamente, todos los problemas que extrañan flujos de líquidos se resuelven básicamente con esta ecuación.

ECUACIÓN DE BERNOULLI

Ley de conservación de la energía: la energía no puede ser creada ni destruida, solo se transforma de un tipo en otro.

Cuando se analizan problemas de flujo en conductos, es necesario considerar tres formas de energía:

Energía de Flujo (llamada también Energía de presión o trabajo de flujo):

Representa la cantidad de trabajo necesario para mover el elemento de fluido a través de una cierta sección en contra de la presión p.

Donde: w = peso del fluido, p = presión y γ = peso específico del fluido.

Energía Potencial:

Debido a su elevación, la energía potencial del elemento de fluido con respecto a algún nivel de referencia está dada por:

Energía Cinética:

Debido a su velocidad la energía cinética del elemento de fluido es:

La cantidad total de energía que posee el elemento de fluido será la suma de las tres energías anteriores:

E = EF +EP EK

Considere un elemento de fluido que pasa por las secciones 1 y 2 (tal como se muestra en la figura):

La energía total en la sección 1 es:

La energía total en la sección 2 es:

Si entre las secciones 1 y 2 no se agrega ni se pierde energía, entonces el principio de conservación de la energía establece que:

E1 = E2

Simplificando el peso w del elemento de fluido, se obtiene la

Ecuación de Bernoulli

La Ecuación de Bernoulli se deriva del Principio de Conservación de la Energía Mecánica.

El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de

corriente. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido.

La ecuación de Bernoulli establece que la suma de la presión, la energía cinética por unidad de volumen y la energía potencial por unidad de volumen, tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo de una línea de corriente.

Donde:

V = velocidad del fluido en la sección considerada. g = aceleración gravitatoria z = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia. P = presión a lo largo de la línea de corriente. ρ = densidad del fluido.

Restricciones de la ecuación de Bernoulli

Es válida solamente para fluidos incompresibles, puesto que el peso específico del fluido se tomó como el mismo en las dos secciones de interés γ1 =γ2.

No puede haber dispositivos mecánicos entre las dos secciones de interés que pudieran agregar o eliminar energía del sistema, ya que la ecuación establece que la energía total del fluido es constante W=0.

No puede haber transferencia de calor hacia adentro o afuera del sistema Q = 0.

No puede haber pérdidas de energía debidas a la fricción ft =0.

Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler.

Un ejemplo de aplicación del principio lo encontramos en el flujo de agua en tubería.

Características

Cada uno de los términos de esta ecuación tienen unidades de longitud, y a la vez representan formas distintas de energía; en hidráulica es común expresar la energía en términos de longitud, y se habla de altura o cabezal, esta última traducción del inglés head. Así en la ecuación de Bernoulli los términos suelen llamarse alturas o cabezales de velocidad, de presión y cabezal hidráulico, del inglés hydraulic head; el término z se suele agrupar con P / γ para dar lugar a la llamada altura piezométrica o también carga piezométrica.

Deducir las formulas del movimiento par un flujo permanente y un fluido cualquiera:

Se considera como cuerpo libre la masa elemental d fluido dM mostrada en la Fig. (a) y (b). El movimiento tiene lugar en el plano del papel y se escoge el eje x paralelo a la dirección del movimiento. No se han representado las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre dM en dirección normal al movimiento. Las fuerzas que actúan en la dirección x se deben a (1) las presiones que actúa sobre las caras de los extremos. (2) la componente del peso y (3) las fuerzas cortantes (dFs en kilogramos) ejercidos por las partículas fluidas adyacentes.

Figura (a) Figura (b)

De la ecuación del movimiento:

Dividiendo (1) por γdA y sustituyendo dl/dt por la velocidad v.

El término representa la resistencia que se opone al movimiento en la longitud dl. Las

fuerzas cortantes pueden sustituirse por el producto de la tensión cortante por el área

sobre la que actúa (perímetro x longitud), es decir

Así, donde R se conoce con el nombre de radio hidráulico y se define como el cociente del área de la sección recta por el perímetro mojado o, en este caso, dA/dP. La suma del trabajo realizado por todas las fuerzas cortantes mide la perdida de energía debida al flujo, mediad en kgm/kg. Será:

Perdida de carga dhL =

Para referencias futuras,

Volviendo sobre la expresión (2), como =dz, adopta finalmente la forma

Esta expresión se conoce con el nombre de ecuación de Euler cuando se aplica a un fluido ideal (perdida de carga =0.) al integrar la ecuación anterior, para fluidos de densidad constante, se obtiene la llamada ecuación de Bernoulli.

CASO 1: Flujo de fluidos incompresibles

Para fluidos incompresibles la integración es como sigue:

Los métodos de cálculo del último término se discutirán en los capítulos siguientes. El termino de la perdida d carga total se representa por HL. Al integrar y sustituir los limites.

Que es la forma más conocida del teorema de Bernoulli, aplicable el flujo de fluidos incompresibles (sin adición de energía exterior)

CASO 2: Flujo de fluidos compresibles

Para fluidos compresibles el término no se puede integrarse hasta no conocer la

expresión de en función de la variable . La relación entre y depende de las condiciones termodinámicas implicadas.

a) Para condiciones isotérmicas (temperatura constante) la ecuación general de los gases puede expresarse en la forma:

Donde es una constante y viene en kg/m2, siendo presión absoluta. Sustituyendo en la ecuación (A),

Integrando y sustituyendo los límites, O bien puesta de la forma más conocida,

Al combinar esta ecuación con la da de continuidad y la ley de los gases perfectos, para condiciones isotérmicas, se llega a una expresión en la que solo es desconocida una velocidad. Así para un flujo permanente,

Y de donde

Sustituyendo en la ecuación de Bernoulli en su forma

b) Para condiciones adiabáticas (sin pérdida ni ganancia de calor) la ley general de los gases perfectos se reduce a :

Donde K es el exponente adiabático

Hallando el valor de dp/γ e integrando se obtiene

Y la ecuación de Bernoulli toma la forma

Combinado esta ecuación con la de continuidad y con la ley de los gases perfectos, para condiciones adiabáticas, se llega a una expresión en que solo figura una velocidad como incógnita.

Mediante y

y la ecuación de Bernoulli adopta la forma

APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI

A. TUBO DE VENTURÍ

Es un tipo de boquilla especial, seguido de un cono que se ensancha gradualmente, accesorio que evita en gran parte la pérdida de energía cinética debido al rozamiento. Es por principio un medidor de área constante y de caída de presión variable

El tubo de venturí se utiliza para medir la rapidez de flujo en un tubo. La parte angosta del tubo se llama garganta.

Deducción de la expresión para la rapidez v1 en términos de de las áreas transversales A1 y A2

y la diferencia de altura h del líquido en dos tubos verticales.

1. Aplicamos la ecuación de Bernoulli a las partes ancha (punto1) y angosta (punto 2) del tubo. La diferencia de altura h entre los dos tubos verticales indica la diferencia de presión entre los puntos 1 y 2.

2. Los dos puntos tienen la misma coordenada vertical (y1=y2), reemplazando en la ecuación de Bernoulli.

3. Por la ecuación de continuidad, Sustituyendo y reacomodando, obtenemos:

4. La diferencia de presión P1 – P2 también es igual a pgh, donde h es la diferencia de nivel del líquido en los dos tubos. Combinado el resultado anterior y despejando v1, obtenemos:

B. TUBO DE PITOT

Sirve para medir la presión total o presión de estancamiento, es decir, la suma de la presión estática y la presión dinámica. En la embocadura del tubo, punto 1, se forma un punto de estancamiento o de remanso, por lo que la velocidad V1 = 0 y la presión aumenta hasta el valor:

A su vez entre 1 y 2:

Como el punto 1 se tiene v1=0 y el punto 2, v2=0 y llamando a z2=∆h, resulta:

En la que:

C. TEOREMA DE TORRICELLI

La velocidad de vaciado (o de llenado) de un estanque depende solamente de la diferencia de elevación entre la superficie libre del fluido y la salida donde se encuentra ubicado el orificio de descarga. Así, entre los puntos 1 y 2:

Debido a que A2 >> A1, el líquido está aproximadamente en reposo en la parte superior del tanque, donde la presión es P. Al aplicar la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2 y advertir que en el agujero P1, es igual a la presión atmosférica P0. Se encuentra que:

Pero y2 - y1 = h, de manera que la expresión se reduce a:

Cuando P es muy grande comparada con P0 (de modo que puede ignorarse el término 2gh), la rapidez de salida del agua es principalmente en función de P. Si el tanque está abierto a la atmosfera, entonces P=P0

y . En otras palabras, para un tanque abierto la rapidez del líquido que sale a través del agujero a una distancia h bajo la superficie es igual a la adquirida por un cuerpo que cae libremente a través de una distancia vertical h.

De acuerdo al teorema de Torricelli, la velocidad con que un fluido se vacía desde un recipiente abierto a través de u orificio lateral, es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del fluido sobre el orificio.

A mayor profundidad, mayor será la velocidad de la salida del fluido a través del orificio. Un comportamiento similar se observa en los flujos de agua, a alta velocidad, de un embalse.

PROBLEMA

El ancho de un canal rectangular abierto se reduce a 1.80m a 1.50m y la plantilla se eleva a 0.30m de la primera a la segunda sección. El tirante en la primera sección es de 1.20 y la caída en el nivel de la superficie libre hasta la segunda es de 1.20m y la caída en el nivel de la superficie libre hasta la segunda sección es de 0.08m. Determinar el gasto Q, de agua en el canal, despreciando las pérdidas de energía.

Solución:

El área hidráulica en las secciones 1 y 2 es:

De la ecuación de Bernoulli resulta que:

Pero:

Entonces:

Despejando Q:

De acuerdo con los datos:

TUBO DE PRANDTL

La idea de Prandtl fue la de combinar en un solo instrumento un tubo de Pitot y

un tubo piezométrico: El tubo de Pitot mide la presión total; el tubo piezométrico

mide la presión estática, y el tubo de Prandtl mide la diferencia de las dos, que

es la presión dinámica.

En el croquis se aprecia esquemáticamente, un tubo de Prandtl inmerso en un

fluido de densidad ρ, conectado a un manómetro diferencial cuyo líquido

manométrico tiene densidad ρm.

El tubo de Prandtl, al igual que el tubo de Pitot, al ser introducido en el fluido en

movimiento, produce una perturbación que se traduce en la formación en el de un punto de estancamiento, de manera que:

En el punto 0 la corriente no perturbada tiene la presión  y la velocidad   

que es la que se quiere medir.

El punto 1 es la entrada del tubo de Pitot, y el punto 2, donde se indica en la

figura. En el punto 2 lo que se tiene es un tubo piezométrico, con varias

entradas laterales interconectadas que no perturban la corriente y que por lo

tanto miden la presión estática.

Despreciando las diferencias de altura de velocidad y geodésica entre los

puntos 0 y 2 que suele ser muy pequeña por ser el tubo muy fino, y estar

corriente en 2 prácticamente normalizada después de la perturbación en 1, se tiene, despreciando también las pérdidas:

Donde:

 = velocidad teórica en la sección 0.

La ecuación de Bernoulli entre 0 y 1 (  ,   - punto de estancamiento)

  y expresado de otra forma: 

Por otra parte yendo de 1 a 2 por el interior del manómetro, estando tanto el

fluido principal como el fluido manométrico en reposo, se puede aplicar la

ecuación fundamental de la hidrostática entre 1 y 2 ( ) de la siguiente

forma:

De las ecuaciones anteriores se deduce:

(presión dinámica teórica, tubo de Prandtl)

Despejando se tiene:

En el caso particular de que la medición de velocidad se efectúe en un flujo de

agua:

(velocidad teórica de la corriente, tubo de Prandtl)

Donde: δ - densidad relativa del líquido manométrico.

En la práctica  es algo mayor que , y por lo tanto según la ecuación general

de Bernoulli   es algo menor que . Adicionalmente, en el punto 1, si el eje

del tubo de Prandtl está inclinado con relación a las líneas de corriente, puede

producirse una velocidad distinta de cero y por lo tanto una presión. Se

debe introducir por lo tanto un coeficiente , llamado coeficiente de velocidad

del tubo de Prandtl, que tiene valores próximos a 1, determinados

experimentalmente en laboratorio.

La velocidad real  será determinada, para el agua, por la expresión:

APLICACIONES

A continuación estudiaremos algunos fenómenos interesantes que acontecen

cuando los fluidos se mueven en relación a un conducto y cuando un objeto se

mueve en relación a ellos. El personaje central de esta apasionante historia es

Daniel Bernoulli, cuyo perfil podemos ver en el recuadro:

a) Sopla por encima de una hoja de papel dispuesto horizontalmente bajo tu boca, como se indica en la figura 81. A muchas personas les sorprenderá ver que el papel se levanta. Una variante de este experimento consiste en soplar por el espacio que hay entre dos globos ligeramente separados, como lo indica la figura 82. Aquí también ocurre algo inesperado para la mayoría de las personas: los globos se juntan. 

b) Sopla por una pajilla doblada sobre una abertura de modo que funcione como atomizador, tal como se ilustra en la figura 83. Es curioso observar que el agua asciende por el tubo vertical. 

c) Afirma con un dedo una pelota de pimpón en un embudo (preferiblemente transparente, para que puedas ver lo que ocurre) y justo cuando soples fuertemente saca el dedo. Esto también produce una sorpresa: la pelotita, en vez de caer, se mantiene dentro del embudo, como muestra la figura 84. 

d) Con un secador de pelo puedes mantener flotando en el aire una pelotita de pimpón del modo que se ilustra en la figura 85. Lo que debe llamar tu atención es que, cuando la pelota está en equilibrio, al mover el chorro de aire de un lado a otro, la pelota sigue al chorro y continúa en equilibrio. Si inclinas un poco el chorro de aire, constatarás que tampoco cae. 

e) Si estás a la orilla de una carretera y pasa por ella un bus o camión muy grande y muy rápido, ¿qué sientes? Esta observación puede ser muy peligrosa, especialmente si vas en bicicleta, pues una fuerza te empujará hacia la carretera y puedes caer sobre ella.

f) Si acercas una pelota que cuelga de un hilo al chorro de agua que sale de una llave observarás que la pelota puede mantenerse en equilibrio en la posición que se indica en la figura 86; es decir, parece que el flujo de agua y la pelota se atraen. 

Todas estas situaciones tienen algo en común: fluidos en rápido movimiento.

Los experimentos señalados en las figuras 81 a 86 encuentran una fácil explicación. Por ejemplo, al soplar encima de un papel, el aire en movimiento aplica en esa cara una presión menor a la que el aire en reposo aplica sobre la otra cara, por lo que la fuerza resultante sobre la hoja de papel estará dirigida hacia arriba, haciendo que el papel se eleve. Lo mismo ocurre con los globos: la presión del aire en la superficie de los globos donde está en movimiento es menor que en las restantes, produciendo sobre ellos la fuerza que los junta. Por otra parte, si soplamos el extremo superior de un tubo sumergido en un líquido, la presión en este también será menor que la presión atmosférica normal y el líquido dentro de él ascenderá. Además, si soplamos alrededor de una pelota, las zonas de esta por donde el aire circula más rápidamente, ejercerán sobre ella una presión inferior que en las otras. Por ejemplo, en el caso de la pelota que se aproxima al chorro de agua, la zona en que el agua se mueve recibirá una presión menor que del otro lado y en consecuencia la fuerza total sobre ella estará dirigida hacia el chorro de agua. Lo mismo explica el caso del secador de pelo.

Es interesante analizar lo que ocurre cuando hay un fuerte viento: contrariamente a lo que podría pensarse, la presión atmosférica es menor que la normal. Esta es la explicación de por qué tornados y huracanes quiebran los vidrios de los ventanales hacia fuera, abren las puertas también hacia fuera y levantan las techumbres, tal como se ilustra en la figura 91. 

En juegos de pelota, como el tenis o el fútbol, hay un efecto considerado comúnmente curioso que encuentra aquí su explicación: nos referimos al “chanfle”. Este efecto se consigue haciendo girar la pelota sobre sí misma mientras se desplaza. La diferente rapidez de ciertas partes de la pelota respecto del aire circundante produce presiones diferentes, lo cual tiene como consecuencia la acción de una fuerza que implica una desviación en la trayectoria rectilínea que tendría si no girase. La figura 92 ilustra el efecto. 

El caso más espectacular es el del ala de un avión. La figura 93 ilustra la particular forma del corte de un ala típica. La gracia de su diseño consiste en obligar al aire a circular con mayor rapidez por la parte superior que por la inferior, lo que se consigue haciendo que, en el mismo tiempo, el aire deba recorrer una distancia mayor. Al ser la rapidez del aire mayor por arriba que por debajo del ala, la presión que actúa arriba es inferior a la que actúa abajo y, en consecuencia, aparece una fuerza total sobre el ala dirigida hacia arriba. Cuando esta fuerza total sobre las alas, debida a esta diferencia de presión, es mayor que el peso del avión, este se empieza a elevar. 

La figura 94 ilustra un experimento que puedes realizar con el propósito de verificar lo anterior. La idea es hacer un ala con papel corriente que, colgada de un dinamómetro por medio de hilos, la expongas a la corriente de un ventilador. Luego compara lo que marca el dinamómetro cuando el ventilador no funciona, con lo que marca cuando gira con diferentes velocidades. 

Si bien en primera instancia el principio de Bernoulli explica bastante bien el comportamiento de un ala de avión, el vuelo de estas máquinas es un fenómeno bastante más complejo debido a que en el aire se producen torbellinos que este principio no considera. En todo caso, si te interesa el tema puedes investigar más a fondo la estructura aerodinámica de los aviones. Por ejemplo, es instructivo conocer el efecto de los alerones y cómo el piloto se las arregla para ascender, descender y cambiar el rumbo.

ALTURA DE VELOCIDAD

La altura de velocidad representa la energía cinética por unidad de peso que

existe en un punto en particular. Si la velocidad en una sección recta fuera

uniforme, la altura de velocidad calculada con esta velocidad uniforme (o

velocidad media) daría la energía cinética correcta por unidad de peso del

fluido. Pero en general, la distribución de velocidades no es uniforme. La

energía cinética verdadera se determina por integración de las energías

cinéticas diferenciales de una a otra línea de corriente. El factor de corrección

de la energía cinética viene dado por la expresión:

Donde:

V=Velocidad media en la sección recta

v=Velocidad en un punto genérico de la sección recta

A=área de la sección recta

Teóricamente puede verse que

=1,0 para una distribución uniforme de

velocidades, =1,02 a 1,15 para flujos turbulentos y

=2,00 para flujo

laminar. En la mayoría de cálculos en la mecánica de fluidos se toma =1,0,

lo que no introduce serios errores en los resultados ya que la altura de velocidad representa, por lo general, un pequeño porcentaje de la altura total (energía).

LÍNEA PIEZOMÉTRICA

Línea piezométrica como muestra la figura, es la línea que une los puntos hasta los

que el líquido podría ascender si se insertan tubos piezométricos en distintos lugares a

lo largo de la tubería o canal abierto. Es una medida de la altura de presión

hidrostática disponible en dichos puntos.

La expresión analítica de la altura piezométrica es la siguiente:

H= Pγ+ z

LÍNEA DE ENERGÍA

También es llamada línea de carga. La energía total del flujo en cualquier sección, con

respecto a un plano de referencia determinado, es la suma de la altura geométrica o

de elevación Z, la altura piezométrica o de carga, y, y la altura cinética o de presión

dinámica V2/2g. La variación de la energía total de una sección a otra se representa

por una línea denominada de carga o de energía y también gradiente de energía. En

ausencia de pérdidas de energía, la línea de carga se mantendrá horizontal, aún

cuando podría variar la distribución relativa de la energía entre las alturas geométrica,

piezométrica y cinética. Sin embargo, en todos los casos reales se producen pérdidas

de energía por rozamiento y la línea de carga resultante es inclinada.

En la práctica, el término v2/2g, tiene escasa entidad ya que en las redes de

abastecimiento, no conviene que la velocidad del agua alcance grandes valores (de 1

a 1,5 m/seg). Las alturas totales, por ello, tiende a despreciarse estableciéndose que

para las redes de abastecimiento, el balance energético del agua venga determinado

por la línea de alturas piezométricas.

En el supuesto de conducciones de agua, hay que tener en cuenta las pérdidas de

carga por fricción, esta pérdida de carga es directamente proporcional a la longitud (L)

de la tubería, por lo que la anterior expresión debe ser corregida para quedar del modo

siguiente:

p1γ

+z1=p2γ

+z2+KL

Esta expresión también se puede representar de este otro modo.

H 1=H 2+KL

Donde:

L= Longitud del tramo de tubería considerado entre los puntos 1 y 2.

A la caída de presión H debida a la fricción, se le denomina pérdida de carga. K , es

función de diversos parámetros del sistema, como pueden ser entre otros:

El diámetro. La rugosidad. El caudal. El régimen del movimiento (laminar o turbulento).

POTENCIA

La potencia se calcula multiplicando el caudal en peso por la energía, asi resulta.

Potencia=wQH= kgm3×m3

seg×kgmkg

= kgmseg

CONCLUSIONES

Hemos podido deducir las expresiones para el Tubo de Pitot, el Tubo de Venturí y así como también hemos podido deducir el teorema de Torricelli.

Hemos aplicado las formulas anteriormente deducidas a problemas aplicativos.

Llegamos a la conclusión de que la energía cinética puede ser cambiada a energía potencial y viceversa.

En una tubería siempre existen perdidas de energía por fricción.