555

PROBLEMAS

Emplee funciones de singularidad para resolver los siguientes problemas y su-ponga que la rigidez a flexión EI de cada viga es constante.

9.35 y 9.36 Para la viga y la carga mostradas en las figuras, determine a) laecuación de la curva elástica, b) la pendiente en el extremo A, c) la deflexión en elpunto C.

9.37 y 9.38 Para la viga y la carga representadas, determine a) la ecuaciónde la curva elástica, b) la pendiente en el extremo libre, c) la deflexión del extremolibre.

9.39 y 9.40 Para la viga y la carga que se muestran en las figuras, determinea) la pendiente en el extremo A, b) la deflexión en el punto B, c) la deflexión en elextremo D.

M0

x

y

B

CA

L

a b

x

y

BC

P

A

L

a b

Figura P9.35 Figura P9.36

Figura P9.38

Figura P9.39 Figura P9.40

Figura P9.37

a

A

P P

y

B Cx

a

A B

P P

C

a

y

a

x

AC

B

a a a

D

M0 M0

A DCB

P P

a a a

556 Deflexión de vigas 9.41 Para la viga y la carga mostradas en la figura, determine a) la ecuaciónde la curva elástica, b) la pendiente en el punto A, c) la deflexión en el punto C.

9.47 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) la pen-diente en el extremo A, b) la deflexión en el punto B. Utilice E = 29 � 106 psi.

9.45 Para la viga y la carga ilustradas en la figura, determine a) la pendienteen el extremo A, b) la deflexión en el punto medio C. Utilice E = 200 GPa.

9.46 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) lapendiente en el extremo A, b) la deflexión en el punto medio C. Utilice E � 29 �106 psi.

9.42 Para la viga y la carga mostradas en la figura, determine a) la ecuaciónde la curva elástica, b) la deflexión en el punto B, c) la deflexión en el punto C.

9.43 Para la viga y la carga mostradas en la figura, determine a) la ecuaciónde la curva elástica, b) la deflexión en el punto medio C.

9.44 Para la viga y la carga representadas en la figura, determine a) la ecua-ción de la curva elástica, b) la deflexión en el punto B, c) la deflexión en el punto D.

Bx

y

C

w

L/2 L/2

A

Figura P9.42

Figura P9.43

Figura P9.44 Figura P9.45

Figura P9.46 Figura P9.47

x

y

A B

w

C

a a a a

L/2 L/2

BA

y

C D x

ww

L/2

CBA

1.8 m 1.8 m0.9 m 0.9 m

W310 � 60

6.2 kN

3 kN/m

A

S6 � 12.5

4 ft 4 ft

BC

2 kips4 kips/ft A D

1.25 in.

24 in.16 in.

48 in.

8 in.

200 lb

10 lb/in.

B C

Figura P9.41

AC

B x

wy

L

L/3

Problemas 557

9.51 y 9.52 Para la viga y la carga que se muestran en las figuras, determinea) la reacción en el apoyo deslizante, b) la deflexión en el punto B.

9.53 Para la viga y la carga que se ilustran en la figura, determine a) la reac-ción en el punto C, b) la deflexión en el punto B. Utilice E = 200 GPa.

9.54 y 9.55 Para la viga y carga que se ilustran en la figura, determine a) lareacción en el punto A, b) la deflexión en el punto C. Utilice E = 29 � 106 psi.

9.48 Para la viga de madera y la carga mostradas en la figura, determine a) lapendiente en el extremo A, b) la deflexión en el punto medio C. Utilice E = 12 GPa.

9.49 y 9.50 Para la viga y la carga que se muestran en las figuras, determinea) la reacción en el apoyo deslizante, b) la deflexión en el punto C.

Figura P9.48

Figura P9.49 Figura P9.50

Figura P9.51 Figura P9.52

Figura P9.53

Figura P9.54

0.5 m 0.5 m

P � 4 kNw � 5 kN/m

1 m

150 mm

50 mm

DAB C

L/2 L/2

CA

B

M0

BA

C

P

L/2 L/2

A

B

M0 M0

L/4 L/2 L/4

DC

L/3

A B CD

P P

L/3 L/3

CB

A

14 kN/m

W410 � 60

5 m 3 m

BC

9 kips/ft

6 ft 6 ft

A

W12 � 22

B

C

w � 4.5 kips/ft

2.5 ft2.5 ft2.5 ft2.5 ft

A D E

W14 � 22

Figura P9.55

558 Deflexión de vigas

9.7 MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

Cuando una viga se somete a varias cargas concentradas o distribuidas, amenudo es conveniente calcular de manera separada la pendiente y la de-flexión causadas por cada carga. La pendiente y la deflexión totales se ob-tienen aplicando el principio de superposición (vea la sección 2.12) y su-mando los valores de la pendiente o la deflexión correspondiente a lasdiversas cargas.

9.56 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) la re-acción en el punto A, b) la deflexión en el punto B. Utilice E = 200 GPa.

9.57 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) la re-acción en el punto A, b) la pendiente en el punto C.

9.58 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) la re-acción en el punto A, b) la deflexión en el punto medio C.

9.59 a 9.62 Para la viga y la carga mostradas en cada figura, determine lamagnitud y ubicación de la deflexión más grande hacia abajo.

9.59 La viga y la carga del problema 9.45.9.60 La viga y la carga del problema 9.46.9.61 La viga y la carga del problema 9.47.9.62 La viga y la carga del problema 9.48.

9.63 Las barras rígidas BF y DH están soldadas a la viga de acero laminadoAE, como se muestra en la figura. Para la carga ilustrada, determine a) la deflexiónen el punto B, b) la deflexión en el punto medio C de la viga. Utilice E � 200 GPa.

9.64 La barra rígida DEF está soldada en el punto D a la viga de acero la-minado AB. Para la carga que se ilustra en la figura, determine a) la pendiente en elpunto A, b) la deflexión en el punto medio C de la viga. Utilice E � 200 GPa.

1.2 m

50 kN 50 kN

1.2 m 1.2 m

AB C D

W200 � 52 BA C

L/2 L/2

M0

L/2 L/2

B

A C

w

Dc

H

G

E

CB

F

A

W100 � 19.3

0.15 m

0.5 m 0.3 m 0.3 m 0.5 m

100 kN 1.2 m

50 kN

30 kN/m

1.2 m2.4 m

A BC

FDE W460 � 52

Figura P9.56 Figura P9.57

Figura P9.58

Figura P9.63 Figura P9.64

559

(9.51)

Haciendo y L � 8 m, en las ecuaciones(9.51) y (9.50), se tiene

Combinando las pendientes y deflexiones producidas por las car-gas concentradas y distribuidas, se obtiene:

yD � 1yD2P � 1yD2w � �9 mm � 7.60 mm � �16.60 mm � �5.93 � 10�3 rad

uD � 1uD2P � 1uD2w � �3 � 10�3 � 2.93 � 10�3

� �7.60 mm

1yD2w �20 � 103

241100 � 1062 1�9122 � �7.60 � 10�3 m

1uD2w �20 � 103

241100 � 1062 1�3522 � �2.93 � 10�3 rad

w � 20 kN/m, x � 2 m,

u �dy

dx�

w

24EI 1�4x3 � 6L x2 � L32

Determine la pendiente y deflexión en D para la viga y carga mos-tradas (figura 9.33), sabiendo que la rigidez a flexión de la vigaes EI � 100 MN • m2.

La pendiente y la deflexión en cualquier punto de la vigapueden obtenerse superponiendo las pendientes y deflexiones cau-sadas respectivamente por la carga concentrada y por la carga dis-tribuida (figura 9.34).

EJEMPLO 9.07

Para facilitar el trabajo de los ingenieros, los manuales de ingeniería es-tructural y mecánica incluyen tablas con las deflexiones y pendientes de vi-gas para diversas cargas y apoyos. En el apéndice D se encuentra una de es-tas tablas. Note que la pendiente y la deflexión de la viga de la figura 9.33hubieran podido determinarse a partir de allí. Ciertamente, usando la infor-mación dada en los casos 5 y 6, pudo haberse expresado la deflexión de laviga para cualquier valor Tomando la derivada de la expresión asíobtenida, se habría determinado la pendiente de la viga en el mismo interva-lo. También se observa que la pendiente en los extremos de la viga puede ob-tenerse sumando los valores correspondientes de la tabla. Sin embargo, la

x � L�4.

Como la carga concentrada en la figura 9.34b se aplica a uncuarto del claro, pueden usarse los resultados obtenidos para laviga y la carga del ejemplo 9.03 y escribirse

Por otra parte, recordando la ecuación de la curva elástica obte-nida para la carga uniformemente distribuida en el ejemplo 9.02,la deflexión en la figura 9.34c se expresa como:

(9.50)

y diferenciando con respecto a x,

y �w

24EI1�x4 � 2L x3 � L3x2

� �9 mm

1yD2P � �3PL3

256EI� �

31150 � 1032 18232561100 � 1062 � �9 � 10�3 m

1uD2P � �PL2

32EI� �

1150 � 1032 1822321100 � 1062 � �3 � 10�3 rad

AD

B

150 kN

20 kN/m2 m

8 m

D

20 kN/m2 m

150 kN

BA

D

BA

D

BA

w � 20 kN/m

x � 2 mL � 8 mL � 8 m

P � 150 kN

b)a) c)Figura 9.34

Figura 9.33

De la tabla del apéndice D (casos 2 y 1) se halla que

1yB2w � � wL4

8EI 1yB2R � �

RBL3

3EI

Determine las reacciones en los apoyos de la viga prismática y lacarga mostradas en la figura 9.36. (Ésta es la misma viga del ejem-plo 9.05 de la sección 9.5.)

La reacción en B se considera redundante y se libera la vigade ese apoyo. La reacción RB se establece como una carga des-conocida (figura 9.37a) y se obtendrá de la condición de que ladeflexión de la viga en B debe ser cero.

EJEMPLO 9.08

deflexión máxima de la viga de la figura 9.33 no puede obtenerse sumandolas deflexiones máximas de los casos 5 y 6, pues éstas ocurren en puntos di-ferentes de la viga.†

9.8 APLICACIÓN DE LA SUPERPOSICIÓN A VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

A menudo será útil el método de la superposición para determinar las reac-ciones en los apoyos de una viga estáticamente indeterminada. Consideran-do primero una viga indeterminada de primer grado (véase sección 9.5), comola que se muestra en la figura 9.35 se seguirá el método descrito en la sec-ción 2.9. Se escoge una de las reacciones como redundante y se elimina omodifica el apoyo correspondiente. La reacción redundante se trata como unacarga desconocida que, junto con las otras, debe producir deformaciones com-patibles con los apoyos originales. La pendiente o la deflexión donde el apo-yo se ha modificado o eliminado se obtiene calculando separadamente lasdeformaciones causadas por las cargas dadas y la reacción redundante, y su-perponiendo los resultados obtenidos. Una vez calculadas las reacciones enlos apoyos, pueden determinarse la pendiente y la deflexión en cualquier pun-to de la viga.

La solución se efectúa tomando por separado la deflexión (yB)w

producida en B por la carga uniformemente distribuida w (figura9.37b) y la deflexión (yB)R producida en el mismo punto por lareacción redundante RB (figura 9.37c).

BA

w

L

w w

B

B

A AB

yB � 0

(yB)w

(yB)R

RB

RB

A

a) b) c)

Figura 9.37

Figura 9.36

Figura 9.35 Las vigas continuas que soportaneste puente de autopista tiene tres soportes queson indeterminados.

† El valor aproximado de la deflexión máxima de la viga se obtiene elaborando la gráfica de losvalores de y correspondientes a varios de x. La determinación de la localización exacta y magnitudde la deflexión máxima requiere igualar a cero la expresión de la pendiente y resolver esta ecuaciónpara x.

560 Deflexión de vigas

La viga estudiada en el ejemplo previo era indeterminada de primer gra-do. En el caso de una viga indeterminada de segundo grado (véase sección9.5), dos reacciones deben designarse como redundantes y los soportes co-rrespondientes eliminados y modificados como corresponda. Las reaccionesredundantes se tratan entonces como cargas desconocidas que, simultánea-mente con las otras cargas, deben producir deformaciones compatibles conlos apoyos originales (véase problema modelo 9.9).

y, despejando a MA,

Los valores RA y RB pueden encontrarse mediante las ecuacionesde equilibrio (9.52) y (9.53).

MA � 18 wL2 MA � 1

8 wL2 g

uA � � wL3

25EI�

MAL

3EI� 0

uA � 1uA2w � 1uA2M � 0

Escribiendo que la deflexión en B es la suma de estas dos canti-dades y que debe ser cero, se tiene

y resolviendo para

Dibujando el diagrama de cuerpo libre de la viga (figura 9.38)y escribiendo las correspondientes ecuaciones de equilibrio, setiene

(9.52)

(9.53)

Solución alternativa. El par en el extremo empotrado Apuede considerarse redundante y reemplazarse el extremo fijo porun apoyo de segundo género. El par MA es ahora una carga des-conocida (figura 9.39a) y se calculará de la condición de que la

MA � 18 wL2 g

MA � 12 wL2 � RBL � 1

2 wL2 � 38 wL2 � 1

8 wL2

MA � RBL � 1wL2 112L2 � 0�ggMA � 0:

RA � 58 wL c

RA � wL � RB � wL � 38 wL � 5

8 wL RA � RB � wL � 0� c gFy � 0:

RB � 38 wL RB � 3

8 wL cRB,

yB � � wL4

8EI�

RBL3

3EI� 0

yB � 1yB2w � 1yB2R � 0

pendiente debe ser cero en el punto A. La solución se consigueconsiderando separadamente la pendiente (θA)w producida en Apor la carga uniformemente distribuida w (figura 9.39b) y la pen-diente (θA)M producida por el mismo punto por el par desconoci-do MA (figura 9.39c).

Usando la tabla del apéndice D (casos 6 y 7) y observandoque A y B deben intercambiarse en el caso 7, se halla que:

Escribiendo que la pendiente en A es la suma de estas dos canti-dades y que debe ser cero, se halla que:

1uA2w � � wL3

24EI 1uA2M �

MAL

3EI

BA

wMA

MA

w

BA

a) b)c)

A � 0� ( A)w�

( A)M�

BA

Figura 9.39

B

wL

MA

RA RB

A

L

L/2

Figura 9.38

9.8 Aplicación de la superposición a vigas 561estáticamente indeterminadas

562

PROBLEMA MODELO 9.7

Para la viga y carga mostradas en la figura, determine la pendiente y la deflexión delpunto B.

SOLUCIÓN

Principio de superposición. La carga dada puede obtenerse superponiendo lascargas mostradas en la siguiente “película de ecuación de carga”. La viga AB es, na-turalmente, la misma en cada parte de la figura.

BC

w

A

L/2 L/2

BC

w

A

y

L/2 L/2

B

x

yBA

B

w

Carga I Carga II

A

L

BC

w

A

L/2 L/2

�B

y

B

A

B

xx(yB)I

( B)I

A

y

�

( B)II�

(yB)II

B

w

Carga I

Carga II

A

Ly

B

x

(yB)I

( B)I

A

�

�

BC

w

A

L/2 L/2

A C

B

x

y ( B)II�( C)II

(yB)II

(yC)II

Para cada una de las cargas I y II, la pendiente y la deflexión en B se determinanusando la tabla de Deflexiones y pendientes de viga del apéndice D.

Carga I

Carga II

En la porción CB, el momento flector para la carga II es cero y, por tanto, la curvaelástica es una línea recta.

Pendiente en el punto B

Deflexión en B

yB �41wL4

384EI T >yB � 1yB2I � 1yB2II � �

wL4

8EI�

7wL4

384EI� �

41wL4

384EI

uB �7wL3

48EI c >uB � 1uB2I � 1uB2II � �

wL3

6EI�

wL3

48EI� �

7wL3

48EI

�wL4

128EI�

wL3

48EI aL

2b � �

7wL4

384EI

1yB2II � 1yC2II � 1uC2II aL

2b1uB2II � 1uC2II � �

wL3

48EI

1yC2II � � w1L�224

8EI� �

wL4

128EI1uC2II � �

w1L�2236EI

� � wL3

48EI

1yB2I � � wL4

8EI1uB2I � �

wL3

6EI

563

PROBLEMA MODELO 9.8

Para la viga y carga mostradas en la figura, halle a) la reacción de cada apoyo, b) lapendiente en el extremo A.

SOLUCIÓN

Principio de superposición. La reacción RB se escoge como redundante y seconsidera como carga desconocida. Las deflexiones debidas a la carga distribuida ya la reacción RB se examinan separadamente, como se indica en la figura.

B

w

A C

2L/3

L

L/3

B

B

w

A

A

y

C

xC

2L/3 L/3RB RB

B

w

A C

2L/3 L/3

BA C

2L/3 L/3

[ yB � 0 ]B

A

y

xC

(yB)w( A)w�

B

A

y

xC

(yB)R( A)R�

B

w

A C

RA � 0.271 wL RB � 0.688 wL

RC � 0.0413 wL

Para cada carga, la deflexión en el punto B se halla usando la tabla de deflexiones ypendientes de viga del apéndice D.

Carga distribuida. Se utiliza el caso 6 del apéndice D

En el punto B,

Carga por la reacción redundante. Del caso 5, apéndice D, con yse tiene

a. Reacciones de los apoyos. Recordando que se tiene

Como la reacción RB ahora es conocida, se utiliza el método de la estática para de-terminar las otras reacciones:

b. Pendiente en el extremo A. Refiriéndose de nuevo al apéndice D, se tiene

Carga distribuida.

Carga de reacción redundante. Para y

Finalmente,

uA � 0.00769

wL3

EI c >

uA � �0.04167

wL3

EI� 0.03398

wL3

EI� �0.00769

wL3

EI

uA � 1uA2w � 1uA2R1uA2R � 0.03398

wL3

EI1uA2R � �

Pb1L2 � b226EIL

� � 0.688wL

6EIL aL

3b cL2 � aL

3b2 d

b � 13 LP � �RB � �0.688wL

1uA2w � �

wL3

24EI� �0.04167

wL3

EI

RA � 0.271wL c RC � 0.0413wL c >

RB � 0.688wL c >0 � �0.01132

wL4

EI� 0.01646

RBL3

EI

yB � 1yB2w � 1yB2RyB � 0,

1yB2R � � Pa2b2

3EIL� �

RB

3EIL a2

3 Lb2aL

3b2

� 0.01646

RBL3

EI

b � 13 L,

a � 23 L

1yB2w � � w

24EI c a2

3 Lb4

� 2L a2

3 Lb3

� L3a2

3 Lb d � �0.01132

wL4

EI

x � 23 L:

y � �

w

24EI 1x4 � 2L x3 � L3x2

564

PROBLEMA MODELO 9.9

Para la viga y carga mostradas, determine la reacción en el empotramiento C.

SOLUCIÓN

Principio de superposición. Suponiendo que la carga axial en la viga es ce-ro, la viga ABC es indeterminada de segundo grado y se escogen como redundantesla fuerza vertical RC y el par MC. Las deformaciones producidas por la carga P, lafuerza RC y el par MC se consideran separadamente como se muestra.

B

P

C

L

a b

A

B

P

C

C

a b

ABA

PMC MC

RC RCa b

C

C

L

A

C

C

A

A

L

BBC

C

A

A A( C)M�

(yC)M

��

( C)P

�( C)R

�( B)P

(yC)P

(yC)R

(yB)P

[ B� 0 ]

[ yB� 0 ]

L

a bRA RC

Pa2bL2MC �

PPab2

L2MA �

Pb2

L3RA � (3a � b)Pa2

L3RC � (a � 3b)

Para cada carga, la pendiente y la deflexión en C se encuentran en la tabla Deflexio-nes y pendientes de viga del apéndice D.

Carga P. Se observa que, para esta carga, la porción BC de la viga es recta.

Fuerza RC

Par MC

Condiciones de frontera. En el extremo C la pendiente y la deflexión debenser cero.

(1)

(2)

Componentes de la reacción en C. Resolviendo simultáneamente las ecua-ciones (1) y (2) se encuentran las reducciones

La reacción en A puede hallarse ahora usando los métodos de estática.

MC �Pa2b

L2 b >MC � � Pa2b

L2

RC �Pa2

L3 1a � 3b2 c >RC � � Pa2

L3 1a � 3b2

0 � � Pa2

6EI 12a � 3b2 �

RC L3

3EI�

MC L2

2EI

yC � 1yC2P � 1yC2R � 1yC2M3x � L, yC � 0 4 :0 � �

Pa2

2EI�

RC L2

2EI�

MC L

EI

uC � 1uC2P � 1uC2R � 1uC2M3x � L, uC � 0 4 :

1yC2M � � MC L2

2EI1uC2M � �

MC L

EI

1yC2R � � RC L3

3EI1uC2R � �

RC L2

2EI

� � Pa3

3EI�

Pa2

2EI b � �

Pa2

6EI 12a � 3b2

1uC2P � 1uB2P � � Pa2

2EI 1yC2P � 1yB2P � 1uB2p b