555

PROBLEMAS

Emplee funciones de singularidad para resolver los siguientes problemas y su-ponga que la rigidez a flexin EI de cada viga es constante.

9.35 y 9.36 Para la viga y la carga mostradas en las figuras, determine a) laecuacin de la curva elstica, b) la pendiente en el extremo A, c) la deflexin en elpunto C.

9.37 y 9.38 Para la viga y la carga representadas, determine a) la ecuacinde la curva elstica, b) la pendiente en el extremo libre, c) la deflexin del extremolibre.

9.39 y 9.40 Para la viga y la carga que se muestran en las figuras, determinea) la pendiente en el extremo A, b) la deflexin en el punto B, c) la deflexin en elextremo D.

M0

x

y

B

CA

L

a b

x

y

BC

P

A

L

a b

Figura P9.35 Figura P9.36

Figura P9.38

Figura P9.39 Figura P9.40

Figura P9.37a

A

P P

y

B Cx

a

A B

P P

C

a

y

a

x

AC

B

a a a

D

M0 M0

A DCB

P P

a a a

556 Deflexin de vigas 9.41 Para la viga y la carga mostradas en la figura, determine a) la ecuacinde la curva elstica, b) la pendiente en el punto A, c) la deflexin en el punto C.

9.47 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) la pen-diente en el extremo A, b) la deflexin en el punto B. Utilice E = 29 106 psi.

9.45 Para la viga y la carga ilustradas en la figura, determine a) la pendienteen el extremo A, b) la deflexin en el punto medio C. Utilice E = 200 GPa.

9.46 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) lapendiente en el extremo A, b) la deflexin en el punto medio C. Utilice E 29 106 psi.

9.42 Para la viga y la carga mostradas en la figura, determine a) la ecuacinde la curva elstica, b) la deflexin en el punto B, c) la deflexin en el punto C.

9.43 Para la viga y la carga mostradas en la figura, determine a) la ecuacinde la curva elstica, b) la deflexin en el punto medio C.

9.44 Para la viga y la carga representadas en la figura, determine a) la ecua-cin de la curva elstica, b) la deflexin en el punto B, c) la deflexin en el punto D.

Bx

y

C

w

L/2 L/2

A

Figura P9.42

Figura P9.43

Figura P9.44 Figura P9.45

Figura P9.46 Figura P9.47

x

y

A B

w

C

a a a a

L/2 L/2

BA

y

C D x

ww

L/2

CBA

1.8 m 1.8 m0.9 m 0.9 m

W310 60

6.2 kN

3 kN/m

A

S6 12.5

4 ft 4 ft

BC

2 kips4 kips/ft A D

1.25 in.

24 in.16 in.

48 in.

8 in.

200 lb

10 lb/in.

B C

Figura P9.41

AC

B x

wy

L

L/3

Problemas 557

9.51 y 9.52 Para la viga y la carga que se muestran en las figuras, determinea) la reaccin en el apoyo deslizante, b) la deflexin en el punto B.

9.53 Para la viga y la carga que se ilustran en la figura, determine a) la reac-cin en el punto C, b) la deflexin en el punto B. Utilice E = 200 GPa.

9.54 y 9.55 Para la viga y carga que se ilustran en la figura, determine a) lareaccin en el punto A, b) la deflexin en el punto C. Utilice E = 29 106 psi.

9.48 Para la viga de madera y la carga mostradas en la figura, determine a) lapendiente en el extremo A, b) la deflexin en el punto medio C. Utilice E = 12 GPa.

9.49 y 9.50 Para la viga y la carga que se muestran en las figuras, determinea) la reaccin en el apoyo deslizante, b) la deflexin en el punto C.

Figura P9.48

Figura P9.49 Figura P9.50

Figura P9.51 Figura P9.52

Figura P9.53

Figura P9.54

0.5 m 0.5 m

P 4 kNw 5 kN/m

1 m

150 mm

50 mm

DAB C

L/2 L/2

CA

B

M0

BA

C

P

L/2 L/2

A

B

M0 M0

L/4 L/2 L/4

DC

L/3

A B CD

P P

L/3 L/3

CB

A

14 kN/m

W410 60

5 m 3 m

BC

9 kips/ft

6 ft 6 ft

A

W12 22

B

C

w 4.5 kips/ft

2.5 ft2.5 ft2.5 ft2.5 ft

A D E

W14 22

Figura P9.55

558 Deflexin de vigas

9.7 MTODO DE SUPERPOSICINCuando una viga se somete a varias cargas concentradas o distribuidas, amenudo es conveniente calcular de manera separada la pendiente y la de-flexin causadas por cada carga. La pendiente y la deflexin totales se ob-tienen aplicando el principio de superposicin (vea la seccin 2.12) y su-mando los valores de la pendiente o la deflexin correspondiente a lasdiversas cargas.

9.56 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) la re-accin en el punto A, b) la deflexin en el punto B. Utilice E = 200 GPa.

9.57 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) la re-accin en el punto A, b) la pendiente en el punto C.

9.58 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) la re-accin en el punto A, b) la deflexin en el punto medio C.

9.59 a 9.62 Para la viga y la carga mostradas en cada figura, determine lamagnitud y ubicacin de la deflexin ms grande hacia abajo.

9.59 La viga y la carga del problema 9.45.9.60 La viga y la carga del problema 9.46.9.61 La viga y la carga del problema 9.47.9.62 La viga y la carga del problema 9.48.

9.63 Las barras rgidas BF y DH estn soldadas a la viga de acero laminadoAE, como se muestra en la figura. Para la carga ilustrada, determine a) la deflexinen el punto B, b) la deflexin en el punto medio C de la viga. Utilice E 200 GPa.

9.64 La barra rgida DEF est soldada en el punto D a la viga de acero la-minado AB. Para la carga que se ilustra en la figura, determine a) la pendiente en elpunto A, b) la deflexin en el punto medio C de la viga. Utilice E 200 GPa.

1.2 m

50 kN 50 kN

1.2 m 1.2 m

AB C D

W200 52 BA C

L/2 L/2

M0

L/2 L/2

B

A C

w

Dc

H

G

E

CB

F

A

W100 19.3

0.15 m

0.5 m 0.3 m 0.3 m 0.5 m

100 kN 1.2 m

50 kN

30 kN/m

1.2 m2.4 m

A BC

FDE W460 52

Figura P9.56 Figura P9.57

Figura P9.58

Figura P9.63 Figura P9.64

559

(9.51)

Haciendo y L 8 m, en las ecuaciones(9.51) y (9.50), se tiene

Combinando las pendientes y deflexiones producidas por las car-gas concentradas y distribuidas, se obtiene:

yD 1yD2P 1yD2w 9 mm 7.60 mm 16.60 mm 5.93 103 rad

uD 1uD2P 1uD2w 3 103 2.93 103

7.60 mm

1yD2w 20 103

241100 1062 19122 7.60 103 m 1uD2w 20 10

3

241100 1062 13522 2.93 103 rad

w 20 kN/m, x 2 m,

u dydx

w

24EI 14x3 6L x2 L32

Determine la pendiente y deflexin en D para la viga y carga mos-tradas (figura 9.33), sabiendo que la rigidez a flexin de la vigaes EI 100 MN m2.

La pendiente y la deflexin en cualquier punto de la vigapueden obtenerse superponiendo las pendientes y deflexiones cau-sadas respectivamente por la carga concentrada y por la carga dis-tribuida (figura 9.34).

EJEMPLO 9.07

Para facilitar el trabajo de los ingenieros, los manuales de ingeniera es-tructural y mecnica incluyen tablas con las deflexiones y pendientes de vi-gas para diversas cargas y apoyos. En el apndice D se encuentra una de es-tas tablas. Note que la pendiente y la deflexin de la viga de la figura 9.33hubieran podido determinarse a partir de all. Ciertamente, usando la infor-macin dada en los casos 5 y 6, pudo haberse expresado la deflexin de laviga para cualquier valor Tomando la derivada de la expresin asobtenida, se habra determinado la pendiente de la viga en el mismo interva-lo. Tambin se observa que la pendiente en los extremos de la viga puede ob-tenerse sumando los valores correspondientes de la tabla. Sin embargo, la

x L4.

Como la carga concentrada en la figura 9.34b se aplica a uncuarto del claro, pueden usarse los resultados obtenidos para laviga y la carga del ejemplo 9.03 y escribirse

Por otra parte, recordando la ecuacin de la curva elstica obte-nida para la carga uniformemente distribuida en el ejemplo 9.02,la deflexin en la figura 9.34c se expresa como:

(9.50)

y diferenciando con respecto a x,

y w

24EI1x4 2L x3 L3x2

9 mm

1yD2P 3PL3

256EI 31150 1032 18232561100 1062 9 103 m

1uD2P PL2

32EI

1150 1032 1822321100 1062 3 103 rad

AD

B

150 kN

20 kN/m2 m

8 m

D

20 kN/m2 m

150 kN

BA

D

BA

D

BA

w 20 kN/m

x 2 mL 8 mL 8 m

P 150 kN

b)a) c)Figura 9.34

Figura 9.33

De la tabla del apndice D (casos 2 y 1) se halla que

1yB2w wL4

8EI 1yB2R RBL

3

3EI

Determine las reacciones en los apoyos de la viga prismtica y lacarga mostradas en la figura 9.36. (sta es la misma viga del ejem-plo 9.05 de la seccin 9.5.)

La reaccin en B se considera redundante y se libera la vigade ese apoyo. La reaccin RB se establece como una carga des-conocida (figura 9.37a) y se obtendr de la condicin de que ladeflexin de la viga en B debe ser cero.

EJEMPLO 9.08

deflexin mxima de la viga de la figura 9.33 no puede obtenerse sumandolas deflexiones mximas de los casos 5 y 6, pues stas ocurren en puntos di-ferentes de la viga.

9.8 APLICACIN DE LA SUPERPOSICIN A VIGAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS

A menudo ser til el mtodo de la superposicin para determinar las reac-ciones en los apoyos de una viga estticamente indeterminada. Consideran-do primero una viga indeterminada de primer grado (vase seccin 9.5), comola que se muestra en la figura 9.35 se seguir el mtodo descrito en la sec-cin 2.9. Se escoge una de las reacciones como redundante y se elimina omodifica el apoyo correspondiente. La reaccin redundante se trata como unacarga desconocida que, junto con las otras, debe producir deformaciones com-patibles con los apoyos originales. La pendiente o la deflexin donde el apo-yo se ha modificado o eliminado se obtiene calculando separadamente lasdeformaciones causadas por las cargas dadas y la reaccin redundante, y su-perponiendo los resultados obtenidos. Una vez calculadas las reacciones enlos apoyos, pueden determinarse la pendiente y la deflexin en cualquier pun-to de la viga.

La solucin se efecta tomando por separado la deflexin (yB)wproducida en B por la carga uniformemente distribuida w (figura9.37b) y la deflexin (yB)R producida en el mismo punto por lareaccin redundante RB (figura 9.37c).

BA

w

L

w w

B

B

A AB

yB 0

(yB)w

(yB)R

RB

RB

A

a) b) c)

Figura 9.37

Figura 9.36

Figura 9.35 Las vigas continuas que soportaneste puente de autopista tiene tres soportes queson indeterminados.

El valor aproximado de la deflexin mxima de la viga se obtiene elaborando la grfica de losvalores de y correspondientes a varios de x. La determinacin de la localizacin exacta y magnitudde la deflexin mxima requiere igualar a cero la expresin de la pendiente y resolver esta ecuacinpara x.

560 Deflexin de vigas

La viga estudiada en el ejemplo previo era indeterminada de primer gra-do. En el caso de una viga indeterminada de segundo grado (vase seccin9.5), dos reacciones deben designarse como redundantes y los soportes co-rrespondientes eliminados y modificados como corresponda. Las reaccionesredundantes se tratan entonces como cargas desconocidas que, simultnea-mente con las otras cargas, deben producir deformaciones compatibles conlos apoyos originales (vase problema modelo 9.9).

y, despejando a MA,

Los valores RA y RB pueden encontrarse mediante las ecuacionesde equilibrio (9.52) y (9.53).

MA 18 wL2 MA 18 wL2 g

uA wL3

25EI MAL3EI

0

uA 1uA2w 1uA2M 0

Escribiendo que la deflexin en B es la suma de estas dos canti-dades y que debe ser cero, se tiene

y resolviendo para

Dibujando el diagrama de cuerpo libre de la viga (figura 9.38)y escribiendo las correspondientes ecuaciones de equilibrio, setiene

(9.52)

(9.53)

Solucin alternativa. El par en el extremo empotrado Apuede considerarse redundante y reemplazarse el extremo fijo porun apoyo de segundo gnero. El par MA es ahora una carga des-conocida (figura 9.39a) y se calcular de la condicin de que la

MA 18 wL2 g MA 12 wL2 RBL

12 wL2

38 wL2

18 wL2

MA RBL 1wL2 112L2 0ggMA 0: RA 58 wL c

RA wL RB wL 38 wL 58 wL

RA RB wL 0 c gFy 0:

RB 38 wL RB 38 wL cRB,

yB wL4

8EI

RBL3

3EI 0

yB 1yB2w 1yB2R 0

pendiente debe ser cero en el punto A. La solucin se consigueconsiderando separadamente la pendiente (A)w producida en Apor la carga uniformemente distribuida w (figura 9.39b) y la pen-diente (A)M producida por el mismo punto por el par desconoci-do MA (figura 9.39c).

Usando la tabla del apndice D (casos 6 y 7) y observandoque A y B deben intercambiarse en el caso 7, se halla que:

Escribiendo que la pendiente en A es la suma de estas dos canti-dades y que debe ser cero, se halla que:

1uA2w wL3

24EI 1uA2M MAL3EI

BA

wMA

MA

w

BA

a) b)c)

A 0 ( A)w( A)M

BA

Figura 9.39

B

wL

MA

RA RB

A

L

L/2

Figura 9.38

9.8 Aplicacin de la superposicin a vigas 561estticamente indeterminadas

562

PROBLEMA MODELO 9.7Para la viga y carga mostradas en la figura, determine la pendiente y la deflexin delpunto B.

SOLUCIN

Principio de superposicin. La carga dada puede obtenerse superponiendo lascargas mostradas en la siguiente pelcula de ecuacin de carga. La viga AB es, na-turalmente, la misma en cada parte de la figura.

BC

w

A

L/2 L/2

BC

w

A

y

L/2 L/2

B

x

yBA

B

w

Carga I Carga II

A

L

BC

w

A

L/2 L/2

B

y

B

A

B

xx(yB)I

( B)I

A

y

( B)II

(yB)II

B

w

Carga I

Carga II

A

Ly

B

x

(yB)I( B)I

A

BC

w

A

L/2 L/2

A C

B

x

y ( B)II( C)II

(yB)II

(yC)II

Para cada una de las cargas I y II, la pendiente y la deflexin en B se determinanusando la tabla de Deflexiones y pendientes de viga del apndice D.

Carga I

Carga II

En la porcin CB, el momento flector para la carga II es cero y, por tanto, la curvaelstica es una lnea recta.

Pendiente en el punto B

Deflexin en B

yB 41wL4

384EI T >yB 1yB2I 1yB2II wL

4

8EI

7wL4

384EI

41wL4

384EI

uB 7wL3

48EI c >uB 1uB2I 1uB2II wL

3

6EI

wL3

48EI

7wL3

48EI

wL4

128EI

wL3

48EI aL

2b 7wL4

384EI

1yB2II 1yC2II 1uC2II aL2b1uB2II 1uC2II wL3

48EI

1yC2II w1L224

8EI

wL4

128EI1uC2II w1L22

3

6EI

wL3

48EI

1yB2I wL4

8EI1uB2I wL

3

6EI

563

PROBLEMA MODELO 9.8Para la viga y carga mostradas en la figura, halle a) la reaccin de cada apoyo, b) lapendiente en el extremo A.

SOLUCINPrincipio de superposicin. La reaccin RB se escoge como redundante y se

considera como carga desconocida. Las deflexiones debidas a la carga distribuida ya la reaccin RB se examinan separadamente, como se indica en la figura.

B

w

A C

2L/3

L

L/3

B

B

w

A

A

y

C

xC

2L/3 L/3RB RB

B

w

A C

2L/3 L/3

BA C

2L/3 L/3

[ yB 0 ]B

A

y

xC

(yB)w( A)w

B

A

y

xC

(yB)R( A)R

B

w

A C

RA 0.271 wL RB 0.688 wL

RC 0.0413 wL

Para cada carga, la deflexin en el punto B se halla usando la tabla de deflexiones ypendientes de viga del apndice D.

Carga distribuida. Se utiliza el caso 6 del apndice D

En el punto B,

Carga por la reaccin redundante. Del caso 5, apndice D, con yse tiene

a. Reacciones de los apoyos. Recordando que se tiene

Como la reaccin RB ahora es conocida, se utiliza el mtodo de la esttica para de-terminar las otras reacciones:

b. Pendiente en el extremo A. Refirindose de nuevo al apndice D, se tiene

Carga distribuida.

Carga de reaccin redundante. Para y

Finalmente,

uA 0.00769 wL3

EI c >

uA 0.04167 wL3

EI 0.03398

wL3

EI 0.00769

wL3

EI

uA 1uA2w 1uA2R1uA2R 0.03398 wL

3

EI1uA2R Pb1L

2 b226EIL

0.688wL

6EIL aL

3b cL2 aL

3b2 d

b 13 LP RB 0.688wL

1uA2w wL3

24EI 0.04167

wL3

EI

RA 0.271wL c RC 0.0413wL c >

RB 0.688wL c >0 0.01132 wL4

EI 0.01646

RBL3

EI

yB 1yB2w 1yB2RyB 0,

1yB2R Pa2b2

3EIL

RB3EIL

a23

Lb2aL3b2 0.01646 RBL3

EI

b 13 L,a 23 L

1yB2w w24EI c a23

Lb4 2L a23

Lb3 L3a23

Lb d 0.01132 wL4EI

x 23 L:

y w

24EI 1x4 2L x3 L3x2

564

PROBLEMA MODELO 9.9Para la viga y carga mostradas, determine la reaccin en el empotramiento C.

SOLUCINPrincipio de superposicin. Suponiendo que la carga axial en la viga es ce-

ro, la viga ABC es indeterminada de segundo grado y se escogen como redundantesla fuerza vertical RC y el par MC. Las deformaciones producidas por la carga P, lafuerza RC y el par MC se consideran separadamente como se muestra.

B

P

C

L

a b

A

B

P

C

C

a b

ABA

PMC MC

RC RCa b

C

C

L

A

C

C

A

A

L

BBC

C

A

A A( C)M

(yC)M

( C)P

( C)R

( B)P

(yC)P

(yC)R

(yB)P

[ B 0 ]

[ yB 0 ]

L

a bRA RC

Pa2bL2

MC PPab

2

L2MA

Pb2

L3RA (3a b)

Pa2

L3RC (a 3b)

Para cada carga, la pendiente y la deflexin en C se encuentran en la tabla Deflexio-nes y pendientes de viga del apndice D.

Carga P. Se observa que, para esta carga, la porcin BC de la viga es recta.

Fuerza RC

Par MC

Condiciones de frontera. En el extremo C la pendiente y la deflexin debenser cero.

(1)

(2)Componentes de la reaccin en C. Resolviendo simultneamente las ecua-

ciones (1) y (2) se encuentran las reducciones

La reaccin en A puede hallarse ahora usando los mtodos de esttica.

MC Pa2b

L2 b >MC

Pa2bL2

RC Pa2

L3 1a 3b2 c >RC Pa

2

L3 1a 3b2

0 Pa2

6EI 12a 3b2 RC L3

3EI

MC L2

2EI

yC 1yC2P 1yC2R 1yC2M3x L, yC 0 4 :0

Pa2

2EI

RC L2

2EI

MC LEI

uC 1uC2P 1uC2R 1uC2M3x L, uC 0 4 :

1yC2M MC L2

2EI1uC2M MC LEI

1yC2R RC L3

3EI1uC2R RC L

2

2EI

Pa3

3EI

Pa2

2EI b

Pa2

6EI 12a 3b2

1uC2P 1uB2P Pa2

2EI 1yC2P 1yB2P 1uB2p b

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