structura- ingenieria estructural- procesos de diseño de ing. y su analisis- metodo de analisis y estabiliudad externaY TAMBN EJEMPLOS ARMADURAS PORTICOS DE VIGAS

estabilidad e hiperestaticidad

ademas dos ejemplos de portikos, armadura , etcestructura- ingenieria estructural- procesos de diseño de ing. y su analisis- metodo de analisis y estabiliudad externa

INTRODUCCION

La resolución de problemas de diseño en ingeniería es todo un proceso; proceso que comienza con el análisis de las necesidades, en donde se obtienen unas especificaciones preliminares y en donde el mayor trabajo consiste en formular preguntas. A medida que el proceso avanza mediante la definición, análisis, síntesis, etc., (ver Fig. 1), las especificaciones del problema se dan cada vez más detalladas hasta obtener las especificaciones finales. En este momento se tiene toda la información para iniciar la construcción de prototipos y programación de pruebas. Este proceso posee un carácter iterativo, ya que muchas veces durante el mismo se descubren nuevos datos o se adquieren nuevas perspectivas que exigen repetir algunos de los pasos anteriores. En ciertos casos la resolución de un problema no requiere de todos los pasos del proceso mostrado en las figuras 1 y 7. Todas las fases del proceso, a excepción de la fase creativa, necesitan de bastante información. Por ejemplo, para definir el problema es necesario recopilar información, procesarla y comunicarla; sin embargo, no en todos los casos llega a ser explícita dicha información, sino que se puede utilizar en breves razonamientos. El comienzo de cualquier diseño lleva implícita la suposición de la factibilidad económica en la elaboración de una solución al problema planteado En general, el diseñador no recibe un problema sino la situación del mismo, y es bajo estas circunstancias que tendrá que desarrollar definiciones claras de los problemas totales. Salvo en las situaciones simples, no se podrán plantear los problemas hasta no encontrar las dificultades y las metas de la situación que hay que resolver (ver Figura 2). Una vez entendida la situación del problema, se pueden percibir las dificultades reales y se puede iniciar la formulación de preguntas apropiadas. Preguntas ¿Quién? ¿Qué? ¿Cuándo? Al comienzo las preguntas sirven para aislar los factores importantes. Posteriormente las preguntas servirán para clarificar las relaciones causales y correlativas. Preguntas ¿Cómo? ¿Por qué? etc. Las preguntas sugieren datos adicionales que requieren ser buscados, y exigen un especial cuidado en la organización de datos para lograr sacar de éstos el máximo significado. Las interrogantes ahora pueden reunirse y combinarse para formar una enunciación del problema. Dicha enunciación expone claramente los elementos involucrados para alcanzar una solución posible, (ver Fig. 3). La preparación de la anterior exposición solo podrá lograrse una vez se haya comprendido completamente la situación del problema. El proyecto procede de lo abstracto a lo concreto. Este comienza con un pensamiento, el cual posteriormente puede expresarse en palabras, formas geométricas, ilustraciones gráficas o símbolos matemáticos que en alguna forma se ajustan a las circunstancias del problema. La descripción simbólica capacita al diseñador para utilizar datos relativos al concepto con el propósito de anticipar analíticamente el comportamiento del prototipo.

Cuando el procedimiento es abierto, la solución se enuncia como una hipótesis o un modelo mental que se puede probar:

Relacionándola con la experiencia. Relacionándola con la información conseguida. Mediante manipulaciones analíticas o lógicas. Mediante la experimentación Por último entre las soluciones válidas se selecciona la mejor.

DESARROLLO DEL PROCESO GENERAL DE DISEÑO ESTUDIO DE FACTIBILIDAD

El propósito del estudio sobre la factibilidad es obtener un conjunto de soluciones útiles para el problema del proyecto. Dicho estudio comienza con el análisis de las necesidades' la meta de este análisis es determinar las necesidades reales que el sistema debe satisfacer. Esta parte del estudio proporciona las bases para definir los objetivos totales de la planeación del proyecto. En el siguiente paso se realiza el análisis de la actividad el cual consiste en un estudio de las condiciones que limitan al sistema. La meta de este estudio está en determinar los límites y las condiciones limitativas que se aplicarán al sistema y con los cuales deberá coincidir dicho sistema antes de poderlo considerar como una solución posible (ver Figura 3).

El análisis de la actividad está basado en el análisis de las entradas y salidas exigidas a un sistema cuya forma es desconocida (ver Figura 4).

DEFINICION

El problema de diseño se debe definir en forma amplia y precisa sin considerar detalles y sin preocuparse por soluciones. Es probable que mientras se está definiendo el problema se esté pensando en algunas soluciones las cuales pueden ser archivadas momentáneamente. Sin embargo el fin propio de esta parte del proceso es el de definir el problema. Lo anterior puede ocurrir a cualquier nivel del proceso. En general la definición del problema debe incluir mayor parte del problema total; pues a mayores subdivisiones del problema menor probabilidad de que la solución total resulte óptima. Todo problema puede definirse con diversos grados de amplitud el ingeniero definirá el problema tan ampliamente como las circunstancias lo permitan. Un problema puede definirse en forma verbal gráfica o simbólica. En esta etapa se hace un esfuerzo por entender el problema enunciar las metas que se propone alcanzar el diseñador y verificar la validez de la existencia económica de la necesidad.

ANÁLISIS

Una vez definido el problema se siguen determinando especificaciones las cuales pueden comprender parámetros restricciones y criterios. Esta parte del proceso está caracterizada por la gran cantidad de preguntas que hay que formular. Con esta forma de trabajo se pretende entender las necesidades funcionales y establecer el valor relativo de las funciones. Para cumplir este objetivo el diseñador determina: el insumo (condiciones existentes antes de la transformación deseada) el producto (condiciones existentes después de la transformación deseada) las variables de entrada (una característica de los datos de entrada. que puede variar) las variables de salida (cualquier 'característica de los resultados. que puede variar) las variables de solución (una característica alterable de la solución; por ejemplo. tamaño. material. etc.) las restricciones (un límite de la magnitud que puede tener una variable. Las restricciones pueden ser: reales sobre las que el diseñador no tiene ningún control; ficticias eliminación injustificada y perjudicial de una o varias posibilidades perfectamente legítimas; sub-óptimas las cuales no pueden satisfacerse o que se satisfarán a un precio muy alto) volumen (número de unidades que se fabricarán) uso (número de veces que se va a utilizar la solución. Por ejemplo: si la calidad es importante el diseñador deberá considerar un mayor número de materiales y características del que en otras ocasiones hubiera deseado). El análisis del problema implica la recopilación y procesado de gran cantidad de información. Al finalizar esta fase el problema debe quedar claramente definido en términos técnicos. Los pasos que hay que seguir en el análisis se pueden resumir mediante la determinación de los elementos que intervienen en la transformación de un medio o recurso a un fin u objetivo éstos son:

Entradas deseadas (insumo) Entradas indeseadas o Salidas deseadas (producto) Salidas indeseadas • Restricciones a las entradas (por ejemplo: límites. especificaciones.

etc.). Restricciones al sistema (por ejemplo: volumen. peso. velocidad. Etc Restricciones a las salidas (por ejemplo: dimensiones. tolerancias. etc.). Medidas de valor para cuantificar el análisis. Criterios para medir la validez del sistema. Lo anterior se puede realizar partiendo de las

relaciones apropiadas entre las variables o sea las entradas las salidas y los parámetros del proyecto.

GENERACIÓN DE POSIBLES SOLUCIONES

Constituye uno de los puntos más importantes para el Ingeniero y es aquí donde se da rienda suelta a la creatividad. Una vez se tenga toda la documentación con respecto al problema que se identificó y con las restricciones del caso bien contextualizadas, se procede a generar el mayor número de ideas que sean posibles soluciones al problema, entre mayor sea el número mejor, después tendrá bastante de donde escoger.Después de generar el mayor número de soluciones posibles, se debe seleccionar las que cumplan, de la mejor manera posible, los criterios de selección y todas las restricciones impuestas

DESCARTE DE LAS SOLUCIONES NO VIABLES

Primero se descartan las soluciones no viables.Las que quedan se examinan detenidamente y se las compara usando una matriz de selecciónUna idea se considera viable cuando su desempeño técnico, su costo, el tiempo y el esfuerzo humano que lleva implementarla están dentro de lo aceptableLa habilidad clave para realizar este paso es la del pensamiento convergente que es sistemático, lógico y crítico

Aquí debe tener en cuenta:

Centrar la atención en lo que es más efectivo No perder de vista el problema Guardar las ideas que no sirvan Anticipar los problemas que se puedan presentar Adoptar una actitud positiva No desalentarse No perder de vista los objetivos Selección de la mejor solución

Después de cumplir con la depuración mencionada en el paso anterior se genera la solución mas viable u optima al problema planteado, si por el contrario ninguna de las ideas logró superar la etapa

anterior, se debe iniciar el proceso de nuevo. Recordemos que este es iterativo, es decir en cualquier momento nos podemos devolver a pasos anteriores e incluso al principio con el fin de cumplir con los objetivos.

ESPECIFICACIONES DE LA SOLUCIÓN

Una vez seleccionada la solución, después de cumplir con todo el proceso mencionado anteriormente, se procede a desarrollarla por completo, es decir generar todo el fundamento teórico y experimental que garantice la resolución del problema planteado inicialmente.

DOCUMENTACIÓN Y COMUNICACIÓN

En este punto ya se llega con la plena seguridad de haber escogido la solución más óptima, por esto se debe preparar una presentación muy clara y concisa a cerca de la misma, en la cual se muestra todos los factores que se tendrán en cuenta para satisfacer la necesidad planteada inicialmente por el cliente.

ESTABILIDAD DE ESTRUCTURAS

Estructuras estables: son aquellas que están diseñadas para soportar cualquier sistema de cargas sin perder su estabilidad, dependiendo de las fuerzas aplicadas las reacciones que aparecerán para equilibrar la estructura El primer caso es similar al caso a) al cual le hemos eliminado una articulación convirtiendo a la estructura en isostática y la podemos calcular con la aplicación de las condiciones de equilibrio que nos proveerán las ecuaciones necesarias para el cálculo de las 3 reacciones. En el segundo caso hemos eliminado la otra articulación modificando el sistema y convirtiendo a la estructura en un hiperestático de Primer Orden o Grado, ya que tiene un vínculo sobreabundante o no estrictamente necesario para la estabilidad del sistema. Para calcular este caso necesitamos aplicar, además de las Condiciones de Equilibrio, Condiciones de Deformación. Del camino que elijamos para resolver el conjunto de ecuaciones que nos proveen las Condiciones de Equilibrio y la Compatibilidad de las Deformaciones surgirán los dos principales Métodos que daremos en el curso:

ESTABILIDAD E INDETERMINACIÓN

Durante los primeros cursos de estática, se aplican los principios elementales del equilibrio de sistemas de fuerza [1,2]. Desde entonces se plantea que la resultante de dichos sistemas debe ser cero. Tanto las vigas como las armaduras representan las primeras estructuras en las cuales se determinan los valores de las fuerzas de reacción necesarias para que la suma total sea cero. Es decir, para que la estructura esté en equilibrio. El requisito indispensable para poderlas analizar es que sean isostáticas, es decir, que sólo tengan las reacciones o apoyos necesarios para que sean estables. Aquí, se considera una estructura estable aquella que tiene tantos apoyos y dispuestos en forma tal que impidan movimientos de cuerpo rígido. Considérese por ejemplo una viga simple sujeta a cualquier sistema de carga (Fig. 1):

El apoyo fijo en el extremo izquierdo ofrece dos direcciones de soporte, mientras que el apoyo del extremo derecho ofrece solamente una. A cada extremo se le nominará como nudo 1 y 2 respectivamente. Las reacciones que sostienen a la viga son las que se indican en la figura 2. De acuerdo a un sistema coplanar general, se disponen de tres ecuaciones de equilibrio. Estas son ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣMz = 0. Debido a que se tienen igualmente tres reacciones desconocidas, Rx1, Ry1, Ry2, la estructura se dice isostática. Es decir, el número de reacciones debidas a los apoyos es igual al número de ecuaciones disponibles para establecer su equilibrio.

Si a la misma viga se remueve uno de sus apoyos, por ejemplo si se elimina el apoyo derecho, entonces es inestable (Fig. 3). Por otro lado, el número de reacciones es igual a dos, mientras que el número de ecuaciones sigue siendo tres. En este caso, la estructura se dice hipostática. La estructura presenta un movimiento de cuerpo rígido. Esto significa que aunque haya desplazamientos no nulos en alguno de sus nudos, los esfuerzos internos son nulos. Es importante remarcar que los desplazamientos así obtenidos son indeterminados. Para el ejemplo mostrado tanto el giro en el nudo 1 como el giro y el desplazamiento del nudo 2 son no nulos.

De igual forma, si se elimina la reacción horizontal del apoyo izquierdo (esto se puede lograr transformando el apoyo de pasador fijo por el de otro rodillo como el del nudo 2), la viga presenta también un número menor de incógnitas que el de ecuaciones (Fig. 4). La estructura sigue siendo hipostática y el desplazamiento indeterminado se da en ambos nudos en la dirección horizontal. Esto también representa un movimiento de cuerpo rígido. Nuevamente, los esfuerzos internos son nulos y los desplazamientos no se pueden evaluar.

Por último, considérese el caso contrario a los anteriores, es decir, en lugar de eliminar reacciones, se agregan apoyos a la misma viga (Fig. 5).

El empotramiento en el extremo izquierdo origina una nueva restricción al apoyo. Esta le impide girar, por lo que se tienen ahora cuatro reacciones incógnitas contra tres ecuaciones de equilibrio. A esta estructura se le dice hiperestática. Y a la diferencia entre el número de reacciones y el de ecuaciones proporcionadas por la estática se le conoce como grado de indeterminación estática (gie). Así, en este caso el gie = 1. La solución requiere que se planteen ecuaciones adicionales hasta igualar el número de ecuaciones con el de las incógnitas por determinar.

Se puede seguir incrementando el número de restricciones a los desplazamientos de los nudos. Por ejemplo, si se cambia el rodillo por otro empotramiento en el nudo 2 (Fig. 7), se impedirá tanto el desplazamiento horizontal como el giro en ese extremo. El número de incógnitas aumenta ahora a 6 y el gie = 3 ya que para todos los casos se trata de un problema plano en el que se disponen de tres ecuaciones de equilibrio.

Las reacciones para estas condiciones de apoyo se muestran en la figura

El mismo concepto puede aplicarse a estructuras espaciales. En este caso se dispone de seis ecuaciones de equilibrio las cuales implican tres sumas de fuerzas y tres de momentos: ΣFx, ΣFy, ΣFz, ΣMx, ΣMy, ΣMz. Para ilustrar el caso espacial puede revisarse el marco mostrado en la figura 9. Ya que se consideran empotradas todas las columnas, existen 6 reacciones a la base de cada una de ellas.

Esto hace un total de 24 reacciones por determinar, lo que implica un grado de indeterminación estática muy elevado (gie = 18). Puede verse también que la estructura mostrada en la figura 9 se asemeja a estructuras frecuentes. Esta es de hecho una de las estructuras espaciales más simples. Lo que indica que con mucha frecuencia, se requiere analizar estructuras altamente indeterminadas. Sin embargo, el alto grado de indeterminación de las estructuras no representa ninguna limitación para el análisis estructural, si no por el contrario, es donde se encuentra su mayor interés. En resumen, para estructuras planas y espaciales la indeterminación estática se define por:

gie = nR - 3 1.1) gie = nR - 6 1.2)

Si: gie < 0 Hipostática gie = 0 Isostática gie > 0 Hiperestática

Donde nR representa el número total de reacciones de apoyo.

Grado de indeterminación interna en armaduras Por otro lado, sólo se ha revisado la indeterminación externa mientras que, la composición propia de la estructura puede representar otro grado de indeterminación adicional. A esto se le denomina grado de indeterminación estática interna. Para ilustrar como se determina la misma, se considerará como caso simple, una armadura en la que se requiere conocer la fuerza que se desarrolla en cada una de sus barras.

En cada uno de los nudos debe satisfacerse el equilibrio. Ya que es una estructura plana, a cada nudo se le asocia un sistema coplanar concurrente, por lo que se cuenta con dos ecuaciones por nudo (ΣFx y ΣFy). Esto significa que para qua la estructura sea estáticamente determinada, el número de barras (incógnitas) no debe exceder de dos veces el número de nudos. Para una armadura espacial, el sistema que aparece en cada nudo es concurrente no coplanar, por lo que se dispone de tres ecuaciones por nudo. Deben entonces satisfacerse las siguientes ecuaciones:

Armadura plana m + 3 - 2j = 0 Armadura espacial m + 6 - 3 j = 0

Donde, m es el número de barras y j es el número de nudos. Además, 3 y 6 representan el número de reacciones externas requeridas para que la estructura se isostática externamente. De estas relaciones puede verse que una armadura como la mostrada en la figura 11a) será inestable, ya que: m+3 - 2(4) ⇒ 4+3 < 8.

Para corregir la inestabilidad interna, se requiere agregar una barra como se muestra en la figura 11b. Es importante observar que si se agrega un apoyo lateral al nudo dos, se cumple aparentemente la condición de estabilidad ya que: m + 4 - 2(4) ⇒ 4+4 = 8, sin embargo, aun así, sigue siendo inestable, ya que el desplazamiento lateral de los nudos 3 y 4 no tiene ninguna restricción (Fig. 12). Esto indica, que si se agregan apoyos externos en lugar de barras para cumplir con las relaciones 1.3) y 1.4) sólo puede garantizarse el equilibrio si el apoyo en Ingeniería Civil Universidad Autónoma de Zacatecas cuestión cumple con la función que cumpliría la barra interna (Fig. 13). En este caso se trata de restringir el desplazamiento horizontal de los nudos 3 y 4. Aun así, es necesario

remarcar que siguiendo un análisis riguroso, los resultados de ambas estructuras no serán iguales. En efecto, en la figura 11b, el desplazamiento lateral depende de la rigidez de la barra 5, mientras que en la estructura de la figura 13, el desplazamiento del nudo 4 será cero. Sólo si se desprecia la rigidez axial de las barras (como en la mayoría de los análisis por equilibrio estático), ambos resultados coincidirán.

Estabilidad y grado de indeterminación de pórticos planos

Un pórtico o marco, se compone de vigas y columnas unidas rígidamente. La estabilidad y grado de indeterminación puede investigarse comparando el número de incógnitas (de reacción e internas) con el número de ecuaciones disponibles por estática. Como en el caso de las armaduras, el marco puede separarse en un número de sólidos aislados, igual al de nudos, lo que requiere separar todos los elementos (vigas y columnas) mediante dos secciones (Fig. 14). Por cada sección existen tres incógnitas internas (N, V, M), sin embargo, si se conocen estas cantidades en una sección, se pueden determinar las correspondientes a otra sección cualquiera. Por lo tanto sólo hay tres incógnitas internas e independientes en cada elemento

Si m representa el número total de elementos y r el número de reacciones, el número total de incógnitas independientes en un marco rígido será 3m + r. Para el equilibrio de un nudo, se deben satisfacer tres ecuaciones de equilibrio, ΣFx=0, ΣFy=0 y ΣMz=0 (marco plano). Si además el número total de nudos rígidos es j, entonces podrán escribirse 3j ecuaciones independientes de equilibrio para el sistema completo. Si se introducen articulaciones u otros dispositivos de construcción con el fin de proveer ecuaciones adicionales a las de la estática, el número total de ecuaciones estáticas disponibles será 3j + c, donde c son los dispositivos añadidos. Entonces, los criterios para la estabilidad y grado de indeterminación para un marco plano serán:

1. Si 3m + r < 3j + c intestable 2. Si 3m + r = 3j + c estáticamente determinado, siempre y cuando sea estable 1. Si 3m + r > 3j + c estáticamente indeterminado

EL MÉTODO DE LAS FUERZAS

También denominado de la Flexibilidad, por los coeficientes que aparecen en el proceso de cálculo. Recordemos que en las estructuras hiperestáticas debemos recurrir no sólo a las Condiciones de Equilibrio sino también a las Condiciones (ecuaciones) Suplementarias de Deformación. Aquí aparece la necesidad del anteproyecto y predimensionamiento, ya que las deformaciones dependerán de las cargas, pero también de las secciones adoptadas para los elementos constitutivos (vigas, columnas, etc.). Más precisamente las solicitaciones dependerán de las cargas y de las relaciones de rigideces de los distintos elementos. Podemos referirnos como “vínculos hiperestáticos o sobreabundantes” a aquellos vínculos externos o internos que podrían ser eliminados sin que el sistema se convierta en inestable. El número o cantidad de vínculos que se deben eliminar para que el sistema “hiperestático” se convierta en isostático se denomina “Grado de Hiperestaticidad”. Para una estructura dada el grado de hiperestaticidad es único y perfectamente definido, sin embargo existe la posibilidad de elegir varias alternativas de conjuntos de vínculos que al eliminarse hacen isostática a la estructura, con la salvedad que en cada conjunto el número de vínculos es siempre el mismo. A modo de ejemplo veamos tres casos típicos:

a) Vigas Grado de hiperestaticidad = 2 Se elimina la continuidad en los apoyos mediante 2 articulaciones, quedando 3 vigas simplemente apoyadas. En el segundo caso se eliminan dos apoyos intermedios quedando una viga simplemente apoyada.

b) Pórticos

El pórtico empotrado-empotrado es un hiperestático de tercer grado que lo puedo convertir en isostático en un caso introduciendo tres articulaciones en A, B, y C, que eliminan los vínculos que resisten momentos (2 externos y uno interno). También podemos llegar al isostático con una articulación en B (elimina momento flector), otra articulación en C (elimina reacción de momento) y la eliminación de la reacción horizontal en C convirtiendo el apoyo en móvil.

c) Reticulados

El número de vínculos a eliminar o grado es uno. Puedo en este caso eliminar un apoyo (vínculo externo) o una barra (vínculo interno). Señalaremos que en estos tres casos es posible elegir otros conjuntos de vínculos a eliminar que me producirán otros sistemas isostáticos asociados. Al isostático asociado por la eliminación de vínculos al sistema hiperestático lo denominamos “isostático fundamental”. Su elección depende del calculista, y puede tener importancia en la simplicidad del cálculo pero no en los resultados finales del mismo.

ARMADURAS HIPERESTATICAS

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Armadura hiperestática o estáticamente indeterminada, es aquella, cuyas fuerzas internas no pueden ser determinadas solamente por las ecuaciones de equilibrio. El grado de indeterminación corresponde al número de barras adicionales y se determina por la fórmula:

Donde: G.I : grado de indeterminación; B: número de barras de la armadura, incluyendo los apoyos; N: número de nudos.

Las armaduras hiperestáticas se pueden determinar por el método de las fuerzas. El sistema principal se obtiene, eliminando las barras adicionales o apoyos o por cortes de las barras adicionales cruzadas. En ambos casos, el sistema principal debe ser geométricamente invariable (estable). El sistema de las ecuaciones canónicas del método de las fuerzas tiene la forma:

Los coeficientes son desplazamientos en el sistema principal en la dirección de las conexiones eliminadas y se determinan por la fórmula de Maxwell – Mohr, la cual para armaduras tiene la forma:

Donde: Ni Nk: fuerzas axiales en las barras del sistema principal, debido a la acción de xi = 1 y xk =lL: longitud real

L'=L( A0

A ): Longitud asumida de la barra de la armadura;

A: áreas de las secciones transversales

Para realizar el cálculo será necesario dar el valor de A , expresándolo a través de un área asumida A0 . La sumatoria (1 ≤ j ≤ c) se da por el número de barras de la armadura. Análogamente determinamos los miembros libres de las ecuaciones:

Dónde:

Np: fuerza en la barra del sistema principal, debido a la carga dada.

El error en la determinación de las fuerzas N en el sistema principal, influye directamente en la exactitud de todo el cálculo. Para ello, se comprueba por la fórmula de Gorbunov–Umanski:

∑ NL = ∑ (Px x + Py)y

Donde:

Px y Py: Resultantes horizontal y vertical de la acción de todas las fuerzas, incluido las reacciones de los apoyos.

x e y: coordenadas de los puntos de acción de las fuerzas externas en cualquier sistema de coordenadas elegido. La solución del sistema de ecuaciones determina las magnitudes de las fuerzas en las barras adicionales x1,x2,......, n. Las fuerzas reales o definitivas en todas las barras de la armadura dada, se determinan como sumatoria del producto de las fuerzas unitarias desconocidas por las fuerzas obtenidas anteriormente y debido a la acción de las fuerzas externas, es decir, por la fórmula:

La veracidad de cálculo se comprueba cinemáticamente, calculándose los desplazamientos nulos en la armadura real en la dirección de las conexiones adicionales:

El cálculo de armaduras hiperestáticas ante cargas movibles se basa en la diagramación de las líneas de influencia de las barras de la armadura y se realiza también por el método de las fuerzas. El problema se formula, como la solución del sistema de ecuaciones canónicas en la suposición, que la fuerza es vertical unitaria y que se desplaza por toda la armadura. Por ello, para describir los desplazamientos debido a las cargas, se usan pequeñas letras del alfabeto griego δ1p, δ2p,… δnp; y estas son funciones que dependen de la ubicación de la fuerza. Los gráficos de estas funciones (líneas de influencia de desplazamientos) pueden ser construidos por diferentes métodos. Es conveniente utilizar el teorema de desplazamientos recíprocos:

La magnitud δpi es el diagrama de deflexión del cordón cargado de la armadura (cordón, por el cual se desplaza la fuerza unitaria) debido a la acción de la carga desconocida x i = 1. Consecuentemente, la construcción de las líneas de influencia δpi se puede reemplazar por los diagramas de deflexión. Es adecuado usar el método, cuando el diagrama de deflexiones relativas de la armadura se iguala con el diagrama de momentos flectores en la viga “ficticia” estáticamente indeterminada, en la cual, en los puntos correspondientes a los nudos cargados del cordón de la armadura, actúan las “cargas elásticas”. La carga elástica se iguala con el ángulo de quiebre del cordón cargado en el nudo de la armadura debido a la acción de la carga xi = 1.

Para su cálculo, en el nudo determinado, se debe de aplicar dos momentos unitarios opuestos, determinar las fuerzas Nk que surgen y calcular el desplazamiento por la fórmula Maxwell – Mohr (5.3):

De esta manera, a cada incógnita xi = 1le corresponde su sistema de cargas elásticas. Cargada la viga por el sistema de cargas, graficamos n diagramas de momentos flectores, equivalentes a los diagramas de deflexión del cordón cargado de la armadura, debido a la acción x1 = 1, x2 = 1, .…….., xn = 1.

Para graficar la línea de influencia de las incógnitas, será necesario resolver el sistema de ecuaciones mostrado en la forma:

La línea de influencia de cualquier incógnita xi puede ser calculada como la suma de las líneas de influencia de los desplazamientos en la dirección de las incógnitas x1, x2,…. xn, debido a la acción de la carga unitaria movible, multiplicado por sus correspondientes coeficientes βik (“número de influencia”). Las líneas de influencia de las fuerzas finales en las barras de la armadura hiperestática se grafica en concordancia con la fórmula:

De acuerdo a las líneas de influencia, se pueden determinar las fuerzas en las barras de la armadura hiperestática, debido a la acción de la carga externa (estática y movible).