1 Notas de Algebra II de Eduardo Ortiz R. Bases y dimensión

Bases y dimensión

Definición: Sea 𝑉 un espacio vectorial real. Sea 𝐵 ⊆ 𝑉 no vacío. Decimos que 𝐵 es base de V si:

1) 𝐵 es 𝑙. 𝑖. 2) 𝐿(𝐵) = 𝑉

Proposición: Sea 𝑉 un espacio vectorial real. Sea 𝐵 ⊆ 𝑉. Entonces 𝐵 es base de 𝑉 si y sólo si todo elemento de 𝑉 se puede expresar de forma única como combinación lineal de elementos de 𝐵.

Proposición: Sea 𝑉 un espacio vectorial real. Sean {𝛼1𝛼2, … , 𝛼𝑛} ⊆ 𝑉 tal que 𝐿(𝛼1𝛼2, … , 𝛼𝑛) = 𝑉. Sea {𝛽1𝛽2, … , 𝛽𝑚} ⊆ 𝑉 𝑙. 𝑖. Entonces 𝑚 ≤ 𝑛.

Proposición: Sea 𝑉 un espacio vectorial real. Sean {𝛼1𝛼2, … , 𝛼𝑛} base de 𝑉 Si B es base de 𝑉, entonces |𝐵| = 𝑛

Definición: Sea 𝑉 un espacio vectorial real. Sea B una base de 𝑉. Si B es un conjunto finito de 𝑛 elementos, entonces diremos que 𝑉 es de dimensión finita 𝑛 y escribiremos

𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛 o 𝑑𝑖𝑚𝑹𝑉 = 𝑛

En caso contrario, es decir B un conjunto infinito, diremos que 𝑉 es de dimensión infinita.

Teorema: Sea 𝑉 un espacio vectorial de dimensión finita 𝑛, entonces:

1) Todo conjunto con más de 𝑛 vectores es 𝑙. 𝑑. 2) Ningún conjunto con menos de 𝑛 vectores genera a 𝑉.

Teorema: Todas las bases de un espacio vectorial de dimensión finita tienen el mismo número de vectores.

Proposición: Sea 𝑉 un espacio vectorial de dimensión finita 𝑛. A todo conjunto generador de 𝑉 se le puede extraer una base de 𝑉.

Proposición: Sea 𝑉 un espacio vectorial de dimensión finita 𝑛. Sea 𝑎 ={𝛼1𝛼2, … , 𝛼𝑛} ⊆ 𝑉 𝑙. 𝑖. Entonces 𝑎 se puede extender a una base de 𝑉

2 Notas de Algebra II de Eduardo Ortiz R. Bases y dimensión

Proposición: Sea 𝑉 un espacio vectorial real de dimensión finita 𝑛. Sea 𝑊 un subespacio de 𝑉. Entonces

𝑑𝑖𝑚𝑊 ≤ 𝑛

Además si 𝑑𝑖𝑚𝑊 = 𝑛, entonces 𝑊 = 𝑉.

Teorema: Sea 𝑉 un espacio vectorial real de dimensión finita 𝑛. Sean 𝑊 y 𝑈 dos Subespacios de 𝑉. Entonces

𝑑𝑖𝑚(𝑊 + 𝑈) = 𝑑𝑖𝑚𝑊 + 𝑑𝑖𝑚𝑈 − 𝑑𝑖𝑚(𝑊 ∩ 𝑈)

Definición: Sea 𝑉 un espacio vectorial. Sean 𝑊 y 𝑈 dos Subespacios de 𝑉. Decimos que 𝑊 y 𝑈 forman una suma directa de 𝑉 si 𝑊 ∩𝑈 = {𝑂𝑉}. En tal caso escribiremos 𝑊⊕𝑈.