Bases de Riesz de exponenciales

Jorge Antezana

bg=whiteBase ortonormal de exponencialesFrecuencias enteras

TeoremaLa familia te2πinp¨qunPZ es una base ortonormal del espacio L2

`“

´ 12 ,12

‰˘

.

Como consecuencia de esto se tiene que todo elemento f P L2`“

´ 12 ,12

‰˘

sepuede escribir como

f ptq “ÿ

nPZαne2πint

donde la convergencia de la serie es en L2`“

´ 12 ,12

‰˘

y la igualdad en casitodo punto. Además

}f }2L2 “ÿ

nPZ|αn|2 “ }tαnu}2`2

por lo tanto el operador lineal

Uptαnuq “ÿ

nPZαne2πint

resulta un isomorfismo isométrico de `2pZq en L2`“

´ 12 ,12

‰˘

.

bg=whiteEl espacio de Paley WienerDefinición

Dada F P L1pRq X L2pRq entonces

pFpωq “`8ż

´8

Fptq e´2πitω dt

y se extiende a todo L2pRq como un operador unitario.

bg=whiteEl espacio de Paley WienerDefinición

Dada F P L1pRq X L2pRq entonces

pFpωq “`8ż

´8

Fptq e´2πitω dt

y se extiende a todo L2pRq como un operador unitario.

DefiniciónEl espacio de Paley Wiener, denotado PWπ , se define como:

PWπ :“

F P L2pRq : sopp pF q Ď“

´ 12 ,12

‰(

.

bg=whiteEl espacio de Paley WienerDefinición

Dada F P L1pRq X L2pRq entonces

pFpωq “`8ż

´8

Fptq e´2πitω dt

y se extiende a todo L2pRq como un operador unitario.

DefiniciónEl espacio de Paley Wiener, denotado PWπ , se define como:

PWπ :“

F P L2pRq : sopp pF q Ď“

´ 12 ,12

‰(

.

F ÝÝÑ Fpxq “8ż

´8

pFpωq e2πiωx dω .

bg=whiteEl espacio de Paley WienerDefinición

Dada F P L1pRq X L2pRq entonces

pFpωq “`8ż

´8

Fptq e´2πitω dt

y se extiende a todo L2pRq como un operador unitario.

DefiniciónEl espacio de Paley Wiener, denotado PWπ , se define como:

PWπ :“

F P L2pRq : sopp pF q Ď“

´ 12 ,12

‰(

.

F ÝÝÑ Fpxq “1{2ż

´1{2

pFpωq e2πiωx dω .

bg=whiteEl espacio de Paley WienerDefinición

Dada F P L1pRq X L2pRq entonces

pFpωq “`8ż

´8

Fptq e´2πitω dt

y se extiende a todo L2pRq como un operador unitario.

DefiniciónEl espacio de Paley Wiener, denotado PWπ , se define como:

PWπ :“

F P L2pRq : sopp pF q Ď“

´ 12 ,12

‰(

.

F ÝÝÑ Fpxq “1{2ż

´1{2

pFpωq e2πiωx dω .

Más aún, usando Plancherel se obtiene que

Fpxq “ż

R

pFpωq e´2πiωxχr´1{2,1{2s dω “ż

R

Fptq sinπpt ´ xqπpt ´ xq dt .

En particular, las evaluaciones poseen norma uno.

bg=whiteTeorema de Shannon-Whittaker-Kotel’nikov

TeoremaSea F P PWπ . Entonces

Fpxq “ÿ

nPZFpnq sinπpx´ nq

πpx´ nq .

La convergencia de la serie es en L2pRq y uniforme.

bg=whiteTeorema de Shannon-Whittaker-Kotel’nikov

TeoremaSea F P PWπ . Entonces

Fpxq “ÿ

nPZFpnq sinπpx´ nq

πpx´ nq .

La convergencia de la serie es en L2pRq y uniforme.

Observación: Si en vez de evaluar en Z se evalúa en Z` α, con α P R, seobtiene el mismo resultado:

Fpxq “ÿ

nPZFpn` αq sinπpx´ pn` αqq

πpx´ pn` αqq

puesto que el espacio es invariante por traslaciones y dichas traslacionesactúan unitariamente en PWπ .

bg=whiteBases de exponenciales en Rd

Sea Ω un abierto conexo de medida uno contenido en Rd.

DefiniciónDadas f , g P L1locpΩq decimos que g “ Bxj f si para toda φ P C80 pΩq

ż

Ω

gpxqφpxq dx “ ´ż

Ω

fBφBxj

dx.

Sea Dj el operador definido como ´iBxj en C80 pΩq.

Pregunta (Segal ’58)¿Cuándo los operadores Dj se pueden extender a operadores autoadjuntos(no acotados) en L2pΩq?

Teorema (Fuglede ’74)Se puede si y sólo si L2pΩq admite una b.o.n. de exponenciales.

bg=whiteBases de exponenciales en Rd

Sea Ω un abierto conexo de medida uno contenido en Rd.

DefiniciónDadas f , g P L1locpΩq decimos que g “ Bxj f si para toda φ P C80 pΩq

ż

Ω

gpxqφpxq dx “ ´ż

Ω

fBφBxj

dx.

Sea Dj el operador definido como ´iBxj en C80 pΩq.

Pregunta (Segal ’58)¿Cuándo los operadores Dj se pueden extender a operadores autoadjuntos(no acotados) en L2pΩq?

Teorema (Fuglede ’74)Se puede si y sólo si L2pΩq admite una b.o.n. de exponenciales.

bg=whiteBases de exponenciales en Rd

Sea Ω un abierto conexo de medida uno contenido en Rd.

DefiniciónDadas f , g P L1locpΩq decimos que g “ Bxj f si para toda φ P C80 pΩq

ż

Ω

gpxqφpxq dx “ ´ż

Ω

fBφBxj

dx.

Sea Dj el operador definido como ´iBxj en C80 pΩq.

Pregunta (Segal ’58)¿Cuándo los operadores Dj se pueden extender a operadores autoadjuntos(no acotados) en L2pΩq?

Teorema (Fuglede ’74)Se puede si y sólo si L2pΩq admite una b.o.n. de exponenciales.

bg=whiteFugledeRetículos

Sea Λ es un retículo de Rd, i.e., Λ “ AZd donde A es una matriz inversiblede tamaño d ˆ d.

v1v2

DominioFundamental

bg=whiteFugledeRetículos

Sea Λ es un retículo de Rd, i.e., Λ “ AZd donde A es una matriz inversiblede tamaño d ˆ d.

v1v2

DominioFundamental

El retículo dual, que denotaremos ΛK, es otro retículo en Rd que estádefinido por

ΛK “ tx P Rd : e2πix¨λ “ 1 para todo λ P Λu“ tx P Rd : x ¨ λ P Z para todo λ P Λu.

Comentario: Si Λ “ AZd entonces ΛK “ pA´1q˚Zd.

bg=whiteFugledeTeselaciones

Se dice que un conjunto Ω genera un teselado de Rd al ser trasladado con elconjunto Λ si

∆Ωpxq :“ÿ

λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.

Ejemplos:

bg=whiteFugledeTeselaciones

Se dice que un conjunto Ω genera un teselado de Rd al ser trasladado con elconjunto Λ si

∆Ωpxq :“ÿ

λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.

Ejemplos:

bg=whiteFugledeTeselaciones

Se dice que un conjunto Ω genera un teselado de Rd al ser trasladado con elconjunto Λ si

∆Ωpxq :“ÿ

λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.

Ejemplos:

bg=whiteFugledeTeselaciones

Se dice que un conjunto Ω genera un teselado de Rd al ser trasladado con elconjunto Λ si

∆Ωpxq :“ÿ

λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.

Ejemplos:

bg=whiteFugledeTeselaciones

Se dice que un conjunto Ω genera un teselado de Rd al ser trasladado con elconjunto Λ si

∆Ωpxq :“ÿ

λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.

Ejemplos:

bg=whiteFugledeTeselaciones

Se dice que un conjunto Ω genera un teselado de Rd al ser trasladado con elconjunto Λ si

∆Ωpxq :“ÿ

λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.

Ejemplos:

1−1 2

bg=whiteFugledeTeselaciones

Se dice que un conjunto Ω genera un teselado de Rd al ser trasladado con elconjunto Λ si

∆Ωpxq :“ÿ

λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.

Ejemplos:

1 2−1

bg=whiteFugledeTeorema y conjetura

Sea Ω un compacto de Rd tal que |Ω| “ 1 y Λ un retículo.

Teorema (Fuglede ’74)El conjunto de exponenciales te2πiλtuλPΛK es una base ortogonal de L2pΩqsi y sólo si Ω genera un teselado de Rd cuando se lo traslada con Λ.

bg=whiteFugledeTeorema y conjetura

Sea Ω un compacto de Rd tal que |Ω| “ 1 y Λ un retículo.

Teorema (Fuglede ’74)El conjunto de exponenciales te2πiλtuλPΛK es una base ortogonal de L2pΩqsi y sólo si Ω genera un teselado de Rd cuando se lo traslada con Λ.

Conjetura (Fuglede ’74)El espacio L2pΩq admite una b.o.n. de exponenciales si y sólo si Ω tesela Rdcon cierto conjunto Γ.

bg=whiteFugledeTeorema y conjetura

Sea Ω un compacto de Rd tal que |Ω| “ 1 y Λ un retículo.

Teorema (Fuglede ’74)El conjunto de exponenciales te2πiλtuλPΛK es una base ortogonal de L2pΩqsi y sólo si Ω genera un teselado de Rd cuando se lo traslada con Λ.

Conjetura (Fuglede ’74)El espacio L2pΩq admite una b.o.n. de exponenciales si y sólo si Ω tesela Rdcon cierto conjunto Γ.

En los últimos 11 años, a partir de los trabajos deB. FarkasA. IosevichM. KolountzakisM. MatolcsiT. Tao:

TeoremaLa conjetura de Fuglede es falsa (en ambas direcciones) si d ě 3.

bg=whiteLa conjetura de FugledeEn dimensión 1

Sea Ω Ď R un conjunto compacto tal que |Ω| “ 1.

Teorema (Laba ’01)La conjetura de Fuglede vale si Ω es la unión de dos intervalos.

Teorema (Iosevich - Kolountzakis ’12)Si te2πiλp¨quλPΛ es una b.o.n. de L2pΩq entonces existe k P N de modo queΛ “ kZ` tr1, . . . , rku.

bg=whiteLa conjetura de FugledeEn dimensión 1

Sea Ω Ď R un conjunto compacto tal que |Ω| “ 1.

Teorema (Laba ’01)La conjetura de Fuglede vale si Ω es la unión de dos intervalos.

Teorema (Iosevich - Kolountzakis ’12)Si te2πiλp¨quλPΛ es una b.o.n. de L2pΩq entonces existe k P N de modo queΛ “ kZ` tr1, . . . , rku.

Comentario: Algo que se utiliza constantemente es lo siguiente:

A

e2πiλp¨q , e2πiµp¨qE

L2pΩq“ż

Ω

e2πipλ´µqx dx “ pχΩpλ´ µq.

bg=whiteEjemplos sin bases ortonormales

El triángulo:

El disco D: En este caso, sólo existen una cantidad finita deexponenciales ortogonales entre sí.

Conjetura (Fuglede ’74)Los conjuntos de exponenciales mutuamente ortogonales en L2pDq noposeen más de 3 elementos.

bg=whiteBases de Riesz

Si tfλu es una base ortonormal de L2pΩq entonces U : `2 Ñ L2pΩq definidopor:

Uptαλuq “ÿ

λPΛαλ fλ

resulta un isomorfismo isométrico.

DefiniciónLa familia tfλu es una base de Riesz de L2pΩq si el operador S : `2 Ñ L2pΩqdefinido por:

Sptαλuq “ÿ

λPΛαλ fλ

es acotado e inversible.

Comentario: En este caso

A}tαλu}2`2 ď›

›

›

ÿ

λPΛαλ fλ

›

›

›

L2ď B}tαλu}2`2 .

bg=whiteTeselaciones múltiples

Recordemos que un conjunto Ω genera un teselado del espacio Rd al sertrasladado con el conjunto Λ si

∆Ωpxq “ÿ

λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.

Diremos que el teselado tiene multiplicidad k si

∆Ωpxq “ÿ

λPΛχΩpx´ λq “ k, a.e.

bg=whiteTeselaciones múltiples

Recordemos que un conjunto Ω genera un teselado del espacio Rd al sertrasladado con el conjunto Λ si

∆Ωpxq “ÿ

λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.

Diremos que el teselado tiene multiplicidad k si

∆Ωpxq “ÿ

λPΛχΩpx´ λq “ k, a.e.

Ejemplo: Supongamos que Λ “ Z2

1 2−1

bg=whiteTeselaciones múltiples

Recordemos que un conjunto Ω genera un teselado del espacio Rd al sertrasladado con el conjunto Λ si

∆Ωpxq “ÿ

λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.

Diremos que el teselado tiene multiplicidad k si

∆Ωpxq “ÿ

λPΛχΩpx´ λq “ k, a.e.

Ejemplo: Supongamos que Λ “ Z2

1 2−1

bg=whiteTeselaciones múltiples

Recordemos que un conjunto Ω genera un teselado del espacio Rd al sertrasladado con el conjunto Λ si

∆Ωpxq “ÿ

λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.

Diremos que el teselado tiene multiplicidad k si

∆Ωpxq “ÿ

λPΛχΩpx´ λq “ k, a.e.

Ejemplo: Supongamos que Λ “ Z2

1 2−1

bg=whiteTeselaciones múltiples

Recordemos que un conjunto Ω genera un teselado del espacio Rd al sertrasladado con el conjunto Λ si

∆Ωpxq “ÿ

λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.

Diremos que el teselado tiene multiplicidad k si

∆Ωpxq “ÿ

λPΛχΩpx´ λq “ k, a.e.

LemaSi Ω genera un k-teselado de Rd con el retículo Λ, entonces

Ω “ Ω1 Y ¨ ¨ ¨ Y Ωk Y E,

donde |E| “ 0 y los Ωj son dos a dos disjuntos y c/u tesela Rd con Λ.

bg=whiteExistencia de bases de Riesz de exponencialesSea Λ un retículo de Rd y recordemos que

ΛK “ tµ P Rd : e2πiµ¨λ “ 1 @λ P Λu.

Teorema (Grepstad-Lev ’14, Kolountzakis ’14)Existen α1, . . . , αk P Rd tales que para todo conjunto acotado Ω que generaun k-teselado de Rd con Λ, el conjunto

te2πi pαj`µq¨ω χΩpωq : µ P ΛK , 1 ď j ď ku (1)

es una base de Riesz de L2pΩq.

bg=whiteExistencia de bases de Riesz de exponencialesSea Λ un retículo de Rd y recordemos que

ΛK “ tµ P Rd : e2πiµ¨λ “ 1 @λ P Λu.

Teorema (Grepstad-Lev ’14, Kolountzakis ’14)Existen α1, . . . , αk P Rd tales que para todo conjunto acotado Ω que generaun k-teselado de Rd con Λ, el conjunto

te2πi pαj`µq¨ω χΩpωq : µ P ΛK , 1 ď j ď ku (1)

es una base de Riesz de L2pΩq.

Comentarios:Para casi toda k-upla pα1, . . . , αkq P pRdqk vale (1).Todo compacto se aproxima (en medida) por conjuntos que k-teselan

ΩΩε

bg=whiteExistencia de bases de Riesz de exponenciales

Proposición (Agora, A., Cabrelli (Quizás ’15))Si Ω es acotado y L2pΩq admite una base de Riesz de la forma

te2πi pαj`µq¨ω χΩpωq : µ P ΛK , 1 ď j ď ku

entonces Ω genera un k-teselado de Rd con Λ.

bg=whiteExistencia de bases de Riesz de exponenciales

Proposición (Agora, A., Cabrelli (Quizás ’15))Si Ω es acotado y L2pΩq admite una base de Riesz de la forma

te2πi pαj`µq¨ω χΩpωq : µ P ΛK , 1 ď j ď ku

entonces Ω genera un k-teselado de Rd con Λ.

Comentario: Si Ω es un triángulo

entonces L2pΩq no admite una base de Riesz de exponenciales confrecuencias periódicas.

Problema abierto¿Posee L2pΩq una base de Riesz de exponenciales no periódica?

bg=whiteBases de Riesz de exponencialesCaso no periódico

Supongamos que el Ω Ď R es una unión de finitos intervalos disjuntos

Ω “Nď

n“1ran, bns

Si bn ´ an P Q entonces L2pΩq admite una base de Riesz de exponenciales.

bg=whiteBases de Riesz de exponencialesCaso no periódico

Supongamos que el Ω Ď R es una unión de finitos intervalos disjuntos

Ω “Nď

n“1ran, bns

Si bn ´ an P Q entonces L2pΩq admite una base de Riesz de exponenciales.

Problema¿Qué ocurre si Ω “ r0, 1s Y r2, πs?, el espacio L2pΩq ¿admite una base deRiesz de exponenciales?

bg=whiteBases de Riesz de exponencialesCaso no periódico

Supongamos que el Ω Ď R es una unión de finitos intervalos disjuntos

Ω “Nď

n“1ran, bns

Si bn ´ an P Q entonces L2pΩq admite una base de Riesz de exponenciales.

Problema¿Qué ocurre si Ω “ r0, 1s Y r2, πs?, el espacio L2pΩq ¿admite una base deRiesz de exponenciales?

Teorema (Seip ’95)Si Ω es la unión de dos intervalos entonces L2pΩq admite una base de Rieszde exponenciales.

bg=whiteBases de Riesz de exponencialesCaso no periódico

Supongamos que el Ω Ď R es una unión de finitos intervalos disjuntos

Ω “Nď

n“1ran, bns

Si bn ´ an P Q entonces L2pΩq admite una base de Riesz de exponenciales.

Problema¿Qué ocurre si Ω “ r0, 1s Y r2, πs?, el espacio L2pΩq ¿admite una base deRiesz de exponenciales?

Teorema (Seip ’95)Si Ω es la unión de dos intervalos entonces L2pΩq admite una base de Rieszde exponenciales.

ProblemaSupongamos que Ω es una unión finita de intervalos con longitudes Q-LI?,¿admite L2pΩq una base de Riesz de exponenciales?

bg=whiteBases de Riesz de exponencialesEspacios multibanda

Teorema (Kozma-Nitzan ’14)Si Ω Ď R es una unión finita de intervalos, entonces L2pΩq admite una basede Riesz de exponenciales.

bg=whiteBases de Riesz de exponencialesEspacios multibanda

Teorema (Kozma-Nitzan ’14)Si Ω Ď R es una unión finita de intervalos, entonces L2pΩq admite una basede Riesz de exponenciales.

Algunos problemas abiertosQué ocurre si Ω es:

Un abierto acotado;El triángulo en R2;Bp0, 1q Ď Rd, para d ě 2.

bg=whiteFin

¡Muchas gracias!

Riesz basis of exponentials