Base de Datos Proba

Técnicas de Conteo

1. La clase de Métodos Estadísticos Multivariados tiene 15 alumnos, de los cuales 8 son hombres y 7 son mujeres. Para realizar cierto proyecto se designan al azar 5 estudiantes del curso. Calcular la probabilidad de que entre los estudiantes asignados al proyecto, haya 3 hombres y 2 mujeres.

a)

(82 )(73 )(157 )

b)

(83 )(72 )(155 )

c)

(152 )(73 )(155 )

d)(82 )(73 )

2. De un lote que contiene 20 artículos defectuosos y 80 no defectuosos se escogen 10 al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 5 defectuosos y 5 no defectuosos?

a) 4,34929E-06b) 5,7769E-14c) 0,0215d) 0.5

3. La clase de Métodos Estadísticos Multivariados tiene 15 alumnos, de los cuales 8 son hombres y 7 son mujeres. El curso ha decidido designar al azar un grupo de 4 estudiantes que se encargarán respectivamente, de recoger las tareas, repartir el material del curso, llamar a lista y avisar la hora de terminación de cada clase. Julián Rincón, María Córdoba, Ricardo Camacho y José Buendía son estudiantes de dicho curso. ¿Cuál es la probabilidad de que Julián Rincón resulte encargado de recoger las tareas, María Córdoba de repartir el material del curso, Ricardo Camacho de llamar a lista y José Buendía de avisar la hora de terminación de cada clase?

a.

1

(154 )

b.

(41 )(151 )

c.(154 )

d.

115 !/ 11!

4. De un lote que contiene 80 artículos defectuosos y 20 no defectuosos se escogen 10 al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 5 defectuosos y 5 no defectuosos?

a) 4,34929E-06b) 5,7769E-14c) 0,0215d) 0.5

5. En una escena editada de la famosa película de terror “El amanecer de los muertos”, Roger (el protagonista) se encuentra en una bodega de municiones dentro del centro comercial. En un descuido deja la puerta de la bodega abierta lo que permite que un grupo de 3 zombies entre a atacarlo. En su desesperación y miedo, Roger encuentra una caja de municiones la cual contiene 12 cartuchos de escopeta, de los cuales 7 están vacíos y 5 están llenos. En la escena Roger nunca devuelve uno de los cinco cartuchos seleccionados a la caja de municiones.

Sea Y, la variable aleatoria que denota el número de cartuchos vacíos. La probabilidad de que Roger seleccione más de 3 cartuchos vacíos es:

a) 24.47 %b) 23.74 %c) 24.74 %d) 23.47 %e) 24.77 %

Solución

Por método de técnicas de conteo se obtiene que:

P(Y >3 )=(74 ) (51 )(125 )

+(75) (50)(125 )

=0 .2209+0 .0265

P(Y >3 )=0 .2474


Sea X, la variable aleatoria que denota el número de cartuchos llenos. La probabilidad de que Roger seleccione más de 3 cartuchos es:

a) 4.545 %b) 4.539 %c) 4.540 %d) 4.538 %e) 4.555 %

Solución

Por método de técnicas de conteo se obtiene que:

P(X>3)=(71) (54)(125 )

+(70 ) (55 )(125 )

=0 .04419+0.00126

P(X>3)=0.04545

7. En un día cualquiera, Juan se levanta de la cama a las 6:00 am. para dirigirse al colegio. La mamá de Juan introduce ocho pares de medias en la ropa limpia de Juan la noche anterior, de las cuales 5 son de color blanco y 3 son de color negro. Juan en un estado medio dormido extrae 2 pares de medias. Con base en esta información, la probabilidad de que a lo máximo saque un par de medias blancas es:

a) 0.6482b) 0.6428c) 0.6422d) 0.6488

Solución

Sea X la variable aleatoria que cuenta el número de pares de medias blancas que selecciona Juan. Con base en esto se requiere calcular la siguiente probabilidad:

P(X≤1)=P (X=0 )+P(X=1)

P(X≤1)=(50) (32)

(82)+

(51) (31)(82)

=0 .6428

Probabilidades Condicionales

1. Dos boxeadores se van a enfrentar en una pelea a 3 asaltos. Los observadores opinan que cada boxeador tiene la misma probabilidad de ganar la pelea de un golpe de knock-out y es igual a 0.2. Sin embargo si no se produce knock-out el boxeador 1 por ser más estilista gana el asalto con probabilidad 0.75. También se sabe que si un boxeador gana 2 asaltos seguidos gana la pelea y se termina.

Nota: Los boxeadores ganan la pelea si ganan dos o más asaltos o si “knockean” en cualquiera de los asaltos.

¿Cuál es la probabilidad que el boxeador 1 gane por knock-out?

a) 0.347b) 0.317c) 0.371d) 0.334e) No se puede calcular

2. Dos boxeadores se van a enfrentar en una pelea a 3 asaltos. Los observadores opinan que cada boxeador tiene la misma probabilidad de ganar la pelea de un golpe de knock-out y es igual a 0.2. Sin embargo si no se produce knock-out el boxeador 1 por ser más estilista gana el asalto con probabilidad 0.75. También se sabe que si un boxeador gana 2 asaltos seguidos gana la pelea y se termina.

Nota: Los boxeadores ganan la pelea si ganan dos o más asaltos o si “knockean” en cualquiera de los asaltos.

¿Cuál es la probabilidad que el boxeador 1 gane la pelea?


3. El departamento de crédito de la empresa SINFUTURO informó que el 30% de sus ventas son en Efectivo, el 30% en Cheque y el 40% restante en Tarjeta de Crédito. De acuerdo con las estadísticas de la compañía, el 20% de las ventas en Efectivo y el 90% de las ventas en Cheque, respectivamente, se realizan por un valor superior a $100.000. Adicionalmente, se sabe que la probabilidad de que un cliente de SINFUTURO seleccionado al azar realice una compra inferior o igual a $100.000 y lo haga con Tarjeta de Crédito es de 0.16. Si se escoge al azar un cliente que hizo una compra superior a $100.000, calcule la probabilidad de que haya pagado con Cheque.


4. El departamento de crédito de la empresa SINFUTURO informó que el 30% de sus ventas son en Efectivo, el 30% en Cheque y el 40% restante en Tarjeta de Crédito. De acuerdo con las estadísticas de la compañía, el 20% de las ventas en Efectivo y el 90% de las ventas en Cheque, respectivamente, se realizan por un valor superior a $100.000. Adicionalmente, se sabe que la probabilidad de que un cliente de SINFUTURO seleccionado al azar realice una compra inferior o igual a $100.000 y lo haga con Tarjeta de Crédito es de 0.16. Si se escoge un cliente al azar que hizo una

compra inferior o igual $100.000, calcule la probabilidad de que haya pagado con Efectivo


5. Se cree que Rafael Nadal y Roger Federer disputarán la final del torneo de tenis, US OPEN 2008. La probabilidad de que Rafael Nadal gane son 2 contra 1. Si juegan dos partidos, ¿Cuál es la probabilidad de que Rafael Nadal gane al menos 1 partido?

a) 1/4b) 1/9c) 8/9d) 1/6e) 4/9

6. Se sabe que el 25% de los televisores de cierta compañía requieren un servicio cuando están todavía en garantía, mientras que solo 15% de los DVDs necesitan ese servicio. Si alguien compra un televisor y un DVD fabricado por esta compañía, ¿cuál es la probabilidad de que ambos productos necesiten servicio dentro de la garantía?

a) No es posible responder la pregunta con la información suministradab) 0.64c) 0.04d) 0.025e) 0

7. Se sabe que el 25% de los televisores de cierta compañía requieren un servicio cuando están todavía en garantía, mientras que solo 15% de los DVDs necesitan ese servicio. Si alguien compra un televisor y un DVD fabricado por esta compañía, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de los productos necesite este servicio?

a) 0b) 0.04c) 0.96d) 0.64e) No es posible responder la pregunta con la información suministrada

8. A usted lo han contratado para realizar una auditoría en los procesos de calidad de la Nacional de Chocolates. En la compañía se tienen dos máquinas para hacer los chocolates:

Normal. Turbo.

Dependiendo de la máquina, se incrementan los defectos en los chocolates, los cuales están clasificados en A: mala consistencia, B: mal sabor, C: tamaño inadecuado.

En cada chocolate a lo sumo se presenta un tipo de defecto y cada máquina produce chocolates de manera independiente. Los defectos que se presentan entre los chocolates producidos por la misma máquina también son independientes.

La siguiente tabla muestra las probabilidades con las que cada uno de los defectos ocurre en cualquier chocolate dependiendo de la máquina en la que fue producido:

Máquina Defecto tipo A Defecto tipo B Defecto tipo CNormal 0,07 0,04 0,002Turbo 0,18 0,09 0,03

El 25% de los chocolates se producen en la máquina turbo. ¿Cuál es la probabilidad de que un chocolate seleccionado al azar tenga un defecto tipo A?

a) 5.23 %b) 3.45 %c) 9.25 %d) 9.75 %e) No se puede calcular

9. A usted lo han contratado para realizar una auditoría en los procesos de calidad de la Nacional de Chocolates. En la compañía se tienen dos máquinas para hacer los chocolates:

Normal. Turbo.

Dependiendo de la máquina, se incrementan los defectos en los chocolates, los cuales están clasificados en A: mala consistencia, B: mal sabor, C: tamaño inadecuado.

En cada chocolate a lo sumo se presenta un tipo de defecto y cada máquina produce chocolates de manera independiente. Los defectos que se presentan entre los chocolates producidos por la misma máquina también son independientes.

La siguiente tabla muestra las probabilidades con las que cada uno de los defectos ocurre en cualquier chocolate dependiendo de la máquina en la que fue producido:

Máquina Defecto tipo A Defecto tipo B Defecto tipo CNormal 0,08 0,06 0,005Turbo 0,15 0,08 0,02

El 32% de los chocolates se producen en la máquina turbo. ¿Cuál es la probabilidad de que un chocolate seleccionado al azar tenga un defecto tipo B?

a) 5.99 %b) 6.64 %c) 6.60 %d) 6.32 %e) No se puede calcular

Variables Aleatorias

1. El gerente de una empresa dedicada a la fabricación de equipos de sonido, determina

que la variable aleatoria y , la cual, describe el comportamiento del tiempo de duración (en años) de un equipo de sonido, se ajusta a la siguiente función de probabilidad:

f Y ( y )=67(3 y− y2 ) 0≤ y≤1

Con base en esta información, la probabilidad de que por lo menos un equipo de sonido funciones correctamente más de 0.5 años es:

a) 0.6420b) 0.6428c) 0.6488d) 0.6532e) 0.6528

Solución

Se debe calcular la siguiente probabilidad:

P( y>0 .5)

Para facilitar los cálculos, se sabe por el axioma de la probabilidad del complemento que:

P( y>0 .5)=1−P( y≤0.5 )

Entonces:

P( y>0 .5)=1−67∫0

0 .5

(3 y− y2) dy

Aplicando propiedades de integración por sustitución se obtiene que:

P( y>0 .5)=1−67 [ 32 y2+ y3

3 ]0

0 .5

→ P ( y>0 .5 )=0 .6428

2. El inspector de calidad de una empresa dedicada a la fabricación de cilindros para gas,

determina que para la variable aleatoria X la cual describe el comportamiento del tiempo de duración (en años) de un cilindro para gas, se ajusta a la siguiente función de probabilidad:

f X( x )=67(3 x−x2 ) 0≤x≤1

Con base en esta información, la probabilidad de que por lo menos un cilindro para gas pueda utilizarse entre 0.3 a 0.8 años es:

a) 0.5655 %b) 0.5675 %

c) 0.5685 %d) 0.5658 %e) 0.5657 %

Solución

Se debe calcular la siguiente probabilidad:

P(0 .3 años≤X≤0 .8 años )

Entonces:

P(0 .3 años ≤X≤0 .8 años )=∫0 .3

0 .867

(3 x−x2) dx

Aplicando propiedades de integración por sustitución se obtiene que:

P(0 .3 años ≤X≤0 .8 años )=67 [3 x22 − x3

3 ] |0 .30 .8 → P (0.3 años ≤X≤0 .8 años )=0 .5685

3. Ana es la gerente operativa de ABC Drilling, una empresa encargada de hacer perforaciones de pozos petroleros. Para la próxima perforación Ana está planeando utilizar una nueva tecnología para tratar de alcanzar un nivel alto de profundidad. De acuerdo con la experiencia de otras empresas utilizando dicha tecnología en superficies parecidas, se sabe que en el 20% de los casos se alcanzó una profundidad de 5 mil pies, en el 50% de los casos se alcanzó una profundidad de 8 mil pies, mientras que en el 30% restante se logró una profundidad de 10 mil pies. ¿Cuál es la probabilidad de que la profundidad alcanzada en el proceso de perforación sea mayor a 5000 pies?

a) 0.20b) 0.80c) 0.70d) 0.50

4. El jefe de producción de una empresa encargada de la fabricación de componentes electrónicos determina que la función de probabilidad del tiempo de falla de un componente electrónico en una copiadora (en horas) es:

f x ( x )=e−x1000

1000∀ x∈(0 ,∞)

La probabilidad de que un componente falle en el intervalo de 1000 horas a 2000 horas es:

a) 23.45 %b) 23.10 %c) 23.25 %d) 23.22 %e) 23.48 %

Solución

Se considera que la probabilidad solicitada es P(1000 horas ≤X≤2000 horas); entonces:

P(1000≤X≤2000 )= ∫1000

2000e−x1000

1000dx=e−1−e−2=23 ,25%

5. El departamento financiero de la compañía JJ está interesado en la evaluación de un nuevo proyecto; la evaluación se va a realizar basada en la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria X, que representa la utilidad del proyecto en millones de dólares. Según el departamento financiero la función de densidad de X está definida en el rango de -1 hasta 5, y ésta está definida de la siguiente forma:

f X ( x )={ 16−1<x<5

0de lo contrario

El departamento financiero clasifica el proyecto de acuerdo a las siguiente categorías: malo (utilidad entre -1 y 0.5); aceptable (utilidad entre 0.5 y 3.5) y bueno (utilidad entre 3.5 y 5). Basado en la información anterior, la probabilidad de que el proyecto sea calificado como malo es:

a) 0.250b) 0.500c) 0.750d) 0.167e) 0.833


Sea Y, la variable aleatoria que denota el número de cartuchos vacíos. La probabilidad de que Roger seleccione más de 3 cartuchos vacíos es:

a) 24.47 %b) 23.74 %c) 24.74 %d) 23.47 %e) 24.77 %

Solución

En esta situación se requiere la siguiente probabilidad

P(Y >3 )=P(Y=4 )+P(Y=5)=0.2474

Nota: Este ejercicio también se resolvió por técnicas de conteo

7. El departamento financiero de la compañía JJ está interesado en la evaluación de un nuevo proyecto; la evaluación se va a realizar basada en la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria X, que representa la utilidad del proyecto en millones de dólares. Según el departamento financiero la función de densidad de X está definida en el rango de -1 hasta 5, y ésta está definida de la siguiente forma:

f X ( x )={ 16−1<x<5

0de lo contrario

El departamento financiero clasifica el proyecto de acuerdo a las siguiente categorías: malo (utilidad entre -1 y 0.5); aceptable (utilidad entre 0.5 y 3.5) y bueno (utilidad entre 3.5 y 5). Basado en la información anterior, la probabilidad de que el proyecto no se calificado como aceptable es:

a) 0.250b) 0.500c) 0.750d) 0.167e) 0.833


Sea X, la variable aleatoria que denota el número de cartuchos llenos. La probabilidad de que Roger seleccione más de 3 cartuchos es:

f) 4.545 %g) 4.539 %h) 4.540 %i) 4.538 %j) 4.555 %

Solución

En esta situación se requiere la siguiente probabilidad

P(X>3)=P (X=4 )+P (X=5 )= 0.04545.

Nota: Este ejercicio también se resolvió por técnicas de conteo

Variables Aleatorias Discretas

1. Con el avance tecnológico de los últimos años, la ingeniera de control de calidad, Amanda, ha logrado calcular la concentración promedio de sulfuros en las botellas de agua Riachuelo. Así, ha encontrado que la concentración promedio de sulfuros expresada en microgramos por litro, se comporta como una variable aleatoria con la siguiente función de densidad de probabilidad,

El valor esperado de la concentración promedio de sulfuros en µg/l es:

a) 3.33 b) 10 c) 6d) 1.7e) Ninguna de las anteriores

2. La empresa colombiana Matimba es una de las más importantes del país en cuanto al control de calidad se refiere. La concentración de hipoclorito en sus refrescos representa la variable más importante a controlar dentro del proceso productivo. Antonio, operario de la planta, revisa 15 veces por día el lector de hipoclorito, donde cada revisión resulta ser independiente entre sí. La probabilidad que tiene Antonio de reportar correctamente la concentración reportada por el lector de hipoclorito es igual a 0.3.

¿Cuántas veces se espera que Antonio revise el lector hasta reportar correctamente la concentración de hipoclorito?

a) 3.33 b) 0.3 c) 4.5d) 3.66e) Ninguna de las anteriores

3. Para la materia Aeromodelismo Básico, los estudiantes deben hacer un avión de papel, el cual será probado por el profesor durante la sustentación. El tiempo que dura un avión de papel sostenido en el aire es una variable aleatoria (T), expresada en minutos, con la siguiente función de densidad:

f T ( t )={ t9

0≤t≤3

( 6−t9 ) 3<t≤6

0 dlc .

La nota que un estudiante recibe por el avión que diseñó, depende del tiempo que dura en el aire y es calculada de la siguiente manera:

1 si el avión dura menos de 1 minuto en el aire. 3.5 si el avión dura más de 1 pero menos de 5 minutos en el aire. 5 si el avión dura más de 5 minutos en el aire.

De acuerdo a la información anterior, la nota promedio que recibirá un alumno por su avión en la sustentación será:

a) 3.00b) 2.85c) 3.44d) 3.20e) Ninguno de los anteriores.

4. El tiempo necesario para una operación de ensamblaje de un componente electrónico

(en segundos), es una variable aleatoria S que se distribuye mediante la siguiente función de probabilidad:

f X( x )=0.1 30<S<40

Con base en la información suministrada, la desviación estándar del tiempo requerido para una operación de ensamblaje es:

a) 8.333 segundosb) 2.886 segundosc) 3.333 segundosd) 8.886 segundose) 3.886 segundos

Solución

Se procede mediante:

Var (X )=E [X 2]−[E [ X ] ]2

Var (X )=∫30

40

(0 .1 ) x2 dx − [∫30

40

(0.1) x dx ]2

∴ Var (X )=((40 )3−(30 )3

3 ) (0.1)−[( (40 )2−(30)2

2 )(0 .1 )]2

Var (X )=(12333.33 ) (0 .1 )− 1225

Var (X )=1233 .333−1225 =8.333

La desviación se obtiene mediante:

σ X=√Var (X )=√8 .333

σ X=2 .8866segundos

5. El restaurante de comidas rápidas JJ recibe pedidos a domicilio por una cantidad X de artículos, la cual se distribuye con la siguiente función de probabilidad:

gX ( x )=(5−x)10

x=1 ,2 ,3 ,4

El costo por artículo (en miles de pesos) del pedido esta dado por la siguiente función:

Costo ( x )=7−x2

La moto de la repartidora Astrid solo tiene capacidad para máximo 3 artículos, por lo que no siempre puede realizar el domicilio. El pago promedio que recibirá Astrid por cada domicilio que realice es:


6. En un experimento de laboratorio de física mecánica, se desea conocer el comportamiento de la aplicación de fuerza a un objeto. Para dicho análisis, se dispone de un dispositivo que mide la distancia recorrida (en centímetros) cuando se le aplica

una determinada fuerza al objeto. Sea X la variable aleatoria discreta que describe la

distancia total recorrida del objeto. Se sabe que la función de probabilidad de X está dada por:

f X( x )=160<X≤6 cm

La fuerza aplicada al objeto (medida en Newtons) se calcula mediante la siguiente

expresión:P( x )=x2+3x−2 . Con base en esta información, la fuerza neta promedio aplicada al objeto es:

a) 25.06 Newtonsb) 23.66 Newtonsc) 20.06 Newtonsd) 22.66 Newtonse) 22.60 Newtons

Solución

Se sabe que el valor esperado de una variable aleatoria discreta está dado por:

E( X )=∑∀ x

x f X( x )

Cuando se desea el valor esperado de una función que depende de la variable aleatoria, se considera que:

E( X )=∑∀ x

P ( x ) f X (x )

E( X )=∑x=1

6

( 16 ) ( x2+3 x−2 )=( 16 )∑x=16

x2+( 12 )∑x=16

x−2

E( X )=23 .66 Newtons

7. Estudios de mercado estiman que un nuevo instrumento para el análisis de muestras de suelo será de gran éxito, éxito moderado, o sin éxito, con probabilidades 0.3, 0.6 y 0.1, respectivamente. Los ingresos anuales asociados con un producto de gran éxito, con un éxito moderado o sin éxito son de $ 10 millones, $ 5 millones y $ 1 millón, respectivamente.

Sea X, la variable aleatoria que denota los ingresos anuales del producto. La desviación estándar del ingreso anual asociado a los productos es:

a) 6.245 millonesb) 3.352 millonesc) 6.248 millonesd) 3.852 millonese) 6.225 millones

Solución

La varianza de una variable aleatoria discreta se determina mediante:

V (X )=E (X−μ )2=E (X2−2 Xμ+μ2 )=E (X2 )−[E( X ) ]2

donde,

μ=E (X )→Valor esperadode la var iable

V (X )=∑i=1

3

x i2 f ( x i)−[∑

i=1

3

x i f ( x i )]2

V (X )=($1 )2(0 .1)+( $5 )2(0 .6)+($10 )2(0 .3 )−( $6 .1)2

V (X )=$39millones2

Recuerde que la desviación estándar es equivalente a la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto:

σ=√V (X )→σ=√ $39millones2

σ=$6 .245millones

8. En un experimento de laboratorio de física mecánica, se desea conocer el comportamiento de la aplicación de presión a un gas. Para dicho análisis, se dispone de un dispositivo que mide la distancia recorrida (en centímetros) cuando se le aplica

una determinada presión al gas. Sea X la variable aleatoria discreta que describe la distancia total recorrida de compresión del gas. Se sabe que la función de probabilidad

de X está dada por:

f X( x )=180<X≤8 cm

La presión aplicada al objeto (medida en Libras) se calcula mediante la siguiente

expresión:P( x )=2x2+0.75 x−2 . Con base en esta información, la presión promedio aplicada al gas es:

a) 51.750 Librasb) 50.753 Libras c) 53.375 Librasd) 53.360 Libras

e) 51.735 Libras

Solución

Se sabe que el valor esperado de una variable aleatoria discreta está dado por:

E( X )=∑∀ x

x f X( x )

Cuando se desea el valor esperado de una función que depende de la variable aleatoria, se considera que:

E( X )=∑∀ x

P ( x ) f X (x )

E( X )=∑x=1

8

( 18 ) (2x2+0.75 x−1 )=( 14 )∑x=1

8

x2+( 0 .758 )∑x=1

8

x−1

E( X )=53 .375 Libras

9. Suponga que la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria X está dada por:

f Y ( y )={ y 0≤ y ≤12− y1≤ y≤20d .l . c .

La función de distribución acumulada, FY(y), de Y está dada por:

a. FY ( y )={0 y<0

y20≤ y<1

y2−11≤ y<2

1 y≥2

b. FY ( y )={ y2

20≤ y<1

2 y− y2

2−11≤ y<2

0d . l . c .

c. FY ( y )={ y2

20≤ y<1

2 y− y2

2−321≤ y<2

0 d . l . c .

d. FY ( y )={0 y<0

y2

20≤ y<1

2 y− y2

2−11≤ y<2

1 y≥2

e) FY ( y )={ y2

20≤ y<1

2 y− y2

2−11≤ y<2

10. Estudios de mercado estiman que un nuevo instrumento para el análisis de muestras de suelo será de gran éxito, éxito moderado, o sin éxito, con probabilidades 0.5, 0.3 y 0.2, respectivamente. Los ingresos anuales asociados con un producto de gran éxito, con un éxito moderado o sin éxito son de $ 11 millones, $ 7 millones y $ 2 millón, respectivamente.

Sea X, la variable aleatoria que denota los ingresos anuales del producto. La desviación estándar del ingreso anual asociado a los productos es:

a) 3.245 millonesb) 4.352 millonesc) 3.244 millonesd) 3.464 millonese) 4.225 millones

Solución

La varianza de una variable aleatoria discreta se determina mediante:

V (X )=E (X−μ )2=E (X2−2 Xμ+μ2 )=E (X2 )−[E( X ) ]2

donde,

μ=E (X )→Valor esperadode la var iable

V (X )=∑i=1

3

x i2 f ( x i)−[∑

i=1

3

x i f ( x i )]2

V (X )=($2 )2(0 .2)+($7 )2(0 .3 )+($ 11)2 (0 .5 )−($8 )2

V (X )=$12millones2

Recuerde que la desviación estándar es equivalente a la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto:

σ=√V (X )→σ=√ $12millones2

σ=$3 .464millones

Generatriz de Momentos

1. Determine la función generatriz de momentos de la siguiente f.d.p:

f X(x )={ 1b−a

a<x<b

0d . l . c .

a. Ψ X=es(b−a)

(b−a ) s

b. Ψ X=esb−esa

(b−a ) s

c. Ψ X=esb−esa

(b−a )

d. Ψ X=s (e¿¿ sb−esa)

(b−a )¿

e. No se tiene información suficiente

Variables Aleatorias Conjuntas

1. La producción diaria de enzimas del cuerpo humano de un hombre viene dada por una variable aleatoria X, mientras que para las mujeres la producción de enzima está dada por una variable aleatoria Y. De esta forma, la Función de Distribución de Probabilidad Conjunta de X,Y es:

f X, Y ( x , y )={2e−2x e− y ; x ≥0 , y ≥00 ;d .l . c .

a) X y Y son independientes, donde

f X ( x )={2e−2 x ; x≥00 ;d .l . c .

f Y ( y )={e− y ;Y ≥00 ;d . l . c .

b) X y Y son independientes, donde

f X ( x )={e−2x ; x ≥00 ;d .l . c .

f Y ( y )={2e−2 y ;Y ≥00 ;d .l . c .

c) X y Y no son independientes, pero

f X ( x )={2e−2 x ; x≥00 ;d .l . c .

f Y ( y )={e− y ;Y ≥00 ;d . l . c .

d) No se puede calcular las funciones marginales de X y Y, porque no son independientes.

e) Ninguna de las anteriores.

2. La conversión de la reacción de saponificación en un reactor CSTR viene dada por una variable aleatoria X, mientras que para un reactor tubular con membranas está dada por una variable aleatoria Y. De esta forma, la Función de Distribución de Probabilidad Conjunta de X,Y es:

f X, Y ( x , y )={2e−2x e− y ; x ≥0 , y ≥00 ;d .l . c .

a) X y Y no son independientes, pero

f X ( x )={2e−2 x ; x≥00 ;d .l . c .

f Y ( y )={e− y ;Y ≥00 ;d . l . c .

b) X y Y son independientes, donde

f X ( x )={e−2x ; x ≥00 ;d .l . c .

f Y ( y )={2e−2 y ;Y ≥00 ;d .l . c .

c) X y Y no son independientes, pero

f X ( x )={2e−2 x ; x≥00 ;d .l . c .

f Y ( y )={e− y ;Y ≥00 ;d . l . c .

d) X y Y son independientes, donde

f X ( x )={2e−2 x ; x≥00 ;d .l . c .

f Y ( y )={e− y ;Y ≥00 ;d . l . c .

e) Ninguna de las anteriores.

3. El rendimiento físico (medido en horas) de un hombre para realizar ejercicios cardiovasculares es una variable aleatoria X; mientras que el rendimiento físico de una mujer para la misma actividad es una variable aleatoria Y. La relación entre el comportamiento de las dos variables se presenta en la siguiente función de probabilidad conjunta:

f XY ( x , y )={k (1− y )0

0≤x≤ y≤1d .l .c .

Con base en ésta información, la función de probabilidad que describe el rendimiento físico (en horas) de un hombre para realizar ejercicios cardiovasculares es:

a) f X( x )=(1−x )2 0≤x≤1

b) f X( x )=

32(1−x )4 0≤x≤1

c) f X( x )=3 (1−x )2 0≤x≤1

d) f X( x )= 3 (1−x2 ) 0≤x≤1

e) f X( x )=1−x 0≤x≤1

Solución

∫01∫0

yk (1− y )dxdy=1 →

∫01k (1− y ) x|0

y dy=1

∫01( y− y2 )dy=1

k

y2

2− y3

3|01 = 1

k⇒ 12−13=1k

⇒ k=6

Ahora se procede con el cálculo de la marginal:

f X( x )=∫x

1

6 (1− y ) dy =−3 (1−x )2|x1=3(1−x )2 0≤x≤1

4. Se sabe que el tiempo de espera de un cliente en un banco en particular, es una

variable aleatoria X que se distribuye exponencial con tasa λ . Adicionalmente el tiempo de atención, el cual se considera independiente con respecto al tiempo de

espera, es una variable aleatoria Y que se distribuye exponencial con tasa μ . Con base en esta información, la función de probabilidad conjunta es:

a) f XY (x , y )= λμ e−( λ x+ μ y ) x>0 , y>0

b) f XY (x , y )=μ e−(λ x+μ y ) x>0 , y>0

c) f XY (x , y )=μ2 e−( λx+μy ) x>0 , y>0

d) f XY (x , y )= λμ e−( λ x−μ y ) x>0 , y>0

e) f XY (x , y )= λμ e−(μ x− λ y ) x>0 , y>0

Solución

Se sabe que el tiempo de espera y el tiempo de atención son variables aleatorias independientes; por lo tanto:

f X( x )= λ e− λ x x>0

f Y ( y )=μ e−μ y y>0

f XY (x , y )=f X (x ) f Y ( y )= ( λ e− λ x ) (μ e−μ y )=λμ e−( λ x + μ y ) x>0 , y>0

5. El profesor de un curso de Termodinámica para ingenieros industriales establece que según el número de fallas que tenga un estudiante, éste puede aprobar o reprobar el curso. En vista de esta situación, Juan considera sus posibilidades de acuerdo a la siguiente función de densidad de probabilidad conjunta considerando que el número de

fallas es una variable aleatoria Y ∈ { 1, 2 , 3 , 4 } y la aprobación o pérdida del curso de

Termodinámica es representado por la variable aleatoria X ∈ { 1 , 2 } :Y\X Aprobar Reprobar

(1) (2)1 0.07142 0.071422 0.07142 0.142853 0.14285 0.214284 0.07142 0.21428

Si Juan reprobó el curso de Termodinámica, ¿cuál es la probabilidad de que Juan tuviera por lo menos dos fallas?

a) P(Y≥2|X=2)=0 .50

b) P(Y≥2|X=2)=0 .0052

c) P(Y≥2|X=2)=0 .3452

d) P(Y≥2|X=2)=0 .8888

e) P(Y≥2|X=2)=0 .2222

Solución

Se procede con la probabilidad condicional: P(Y≥2|X=2) ; entonces:

P(Y≥2|X=2)=P(Y≥2∩ X=2 )

P (X=2 )=P (Y=2 , X=2 ) +P (Y=3 , X=2) +P(Y=4 , X=2 )

P(X=2)

P(Y≥2|X=2) ]=(0 .14285 ) +(0 .21428 ) +(0 .21428)

0 .64283=0 .8888

6. Se sabe que el número de clientes que llegan a un banco en particular, es una variable

aleatoria X que se distribuye Poisson con tasa λ t . Adicionalmente el número de clientes que son atendidos, el cual se considera independiente con respecto al número

de clientes que llegan al banco, es una variable aleatoria Y que se distribuye Poisson

con tasa μ t . Con base en esta información, la función de probabilidad conjunta es:

a) f XY (x , y )=

( λμ t )x+ y e−(λ + μ ) t

x ! y !x>0 , y>0

b) f XY (x , y )=

( λμ t )x e−(λ + μ ) t

x ! y !x>0 , y>0

c) f XY (x , y )=

( λxμ y ) ( t )x+ y e−(λ − μ) t

x ! y !x>0 , y>0

d) f XY (x , y )=

( λxμ y ) ( t )x+ y e−(λ + μ ) t

x ! y !x>0 , y>0

e) f XY (x , y )=

( λy μx ) ( t )x+ y e−(λ − μ) t

x ! y !x>0 , y>0

Solución

Se sabe que las dos variables son independientes; por lo tanto:

f X( x )=( λ t )x e−λ t

x !x>0

f Y ( y )=( μ t ) y e−μ t

y !y>0

f XY (x , y )=f X (x ) f Y ( y )=( λx μ y ) t x+ y e−( λ+ μ) t

x ! y !x>0 , y>0

7. El profesor de un curso de Física Moderna para ingenieros industriales establece que según el número de fallas que tenga un estudiante, éste puede aprobar o reprobar el curso. En vista de esta situación, Pedro considera sus posibilidades de acuerdo a la siguiente función de probabilidad conjunta considerando que el número de fallas es una

variable aleatoria Y ∈ { 1, 2 , 3 , 4 } y la aprobación o pérdida del curso de

Termodinámica es representado por la variable aleatoria X ∈ { 1 , 2 } :Y\X Aprobar

(1)Reprobar

(2)1 0.07142 0.071422 0.07142 0.142853 0.14285 0.214284 0.07142 0.21428

Si Pedro, ¿cuál es la probabilidad de que Juan tuviera por lo menos dos fallas?

a) P(X=1|Y≥2)=0

b) P(X=1|Y≥2)=0 .3333

c) P(X=1|Y≥2)=0 .01020

d) P(X=1|Y≥2)=0 .6666

e) P(X=1|Y≥2)=0 .100085

Solución

Se procede con la probabilidad condicional: P(X=1|Y≥2) ; entonces:

P(X=1|Y≥2)=P( X=1 ∩ Y≥2 )

P(Y≥2)=P( X=1 , Y=2 ) +P(X=1 , Y=3) +P(X=1 , Y=4 )

P(Y=2 )+P(Y=3 )+P(Y=4 )

P(X=1|Y≥2) ]=(0 .07142 )+ (0 .14285)+ (0 .07142)

0 .8571=0 .3333

Covarianza

1. Leche La Mejor S.A. es una empresa encargada de la producción y distribución de leche en el Departamento del Norte de Santander. Dentro de su plan de producción se considera la fabricación de leche semidescremada y de leche descremada, las cuales

son dos variables aleatorias X e Y (medidas en litros/minuto), respectivamente; que se distribuyen mediante la siguiente función de densidad conjunta:

f XY (x , y )=x y16

0≤x≤2 , 0≤ y≤4

Se sabe que en promedio se producen 4/3 litros/minuto de leche semidescremada y 8/3 litros/minuto de leche descremada. La relación entre los dos tipos de leche es:

a. Cov (X ,Y )=1

b. Cov (X ,Y )=0 .05

c. Cov (X ,Y )=0

d. Cov (X ,Y )=3 .5555

e. Cov (X ,Y )=2 .6666

Solución

Se procede con el cálculo de E [XY ] :

E [XY ]=∫0

2

∫0

4x2 y2

16dx dy =32

9

Ahora se aplica la ecuación de la covarianza entre dos variables aleatorias:

Cov (X ,Y )=E [XY ]− E[ X ] E [Y ] ∴ Cov (X ,Y )=(329 )−( 43 ) ( 83 ) → Cov (X ,Y )=0

2. Leche La Mejor S.A. es una empresa encargada de la producción y distribución de leche en el Departamento del Norte de Santander. Dentro de su plan de producción se considera la fabricación de leche pasteurizada y de leche ultrapasteurizada, las cuales

son dos variables aleatorias X e Y (medidas en litros/minuto), respectivamente; que se distribuyen mediante la siguiente función de densidad conjunta:

f XY (x , y )=x y16

0≤x≤4 , 0≤ y≤2

Se sabe que en promedio se producen 8/3 litros/minuto de leche semidescremada y 4/3 litros/minuto de leche descremada. La relación entre los dos tipos de leche es:

a. Cov (X ,Y )=1

b. Cov (X ,Y )=0

c. Cov (X ,Y )=0 .3333

d. Cov (X ,Y )=2 .6666

e. Cov (X ,Y )=3 .5555

Solución

Se procede con el cálculo de E [XY ] :

E [XY ]=∫0

2

∫0

4x2 y2

16dx dy =32

9

Ahora se aplica la ecuación de la covarianza entre dos variables aleatorias:

Cov (X ,Y )=E [XY ]− E[ X ] E [Y ] ∴ Cov (X ,Y )=(329 )−( 83 ) ( 43 ) → Cov (X ,Y )=0

3. Un profesor de probabilidad y estadística aplicó un corto examen compuesto por una parte de selección múltiple y otra de pregunta abierta. Para un estudiante seleccionado

al azar, sea X la variable aleatoria que describe el puntaje obtenido en la parte de

selección múltiple, y Y la variable aleatoria que describe el puntaje obtenido en la parte de pregunta abierta. La función de probabilidad conjunta de las dos variables se presenta en la siguiente tabla:

p(x,y)Y

0 5 10 15

X0 0.02 0.06 0.02 0.105 0.04 0.15 0.20 0.10

10 0.01 0.15 0.14 0.01

Con base en esta información y mediante el cálculo de la covarianza entre el puntaje obtenido en la parte de selección múltiple y la parte de pregunta abierta, se puede inferir que:

a. Cov ( x , y )=0 no existe correlación entre las dos parte del parcial

b. Cov ( x , y )=−3 .20 existe correlación negativa entre las dos parte del parcial

c. Cov ( x , y )=2.30 existe correlación positiva entre las dos parte del parcial

d. Cov ( x , y )=−5.80 existe correlación negativa entre las dos parte del parcial

e. Cov ( x , y )=5.80 existe correlación positiva entre las dos parte del parcial

Solución

Se procede inicialmente con el cálculo de los valores esperados:

E( X )=∑∀ x

x px( x )=(0 )(0 .2 )+(5 )( 0.49 )+(10 )(0 .31 )=5 .55

E(Y )=∑∀ Y

y pY ( y )=(0 )(0 .07)+(5)(0 .36 )+(10)(0 .36 )+(15 )(0.21)=8 .55

E( XY )=44 .25

Aplicando la ecuación de la covarianza, se obtiene:

Cov (X ,Y )=44 .25−(5.55 )(8.55 ) ∴ Cov( X ,Y )=−3 .2025

Existe una correlación negativa entre el puntaje obtenido en la parte de selección múltiple y la parte de pregunta abierta.

4. Un profesor de Control de Producción aplicó un corto examen compuesto por una parte de selección múltiple y otra de pregunta abierta. Para un estudiante seleccionado al

azar, sea X la variable aleatoria que describe el puntaje obtenido en la parte de

selección múltiple, y Y la variable aleatoria que describe el puntaje obtenido en la parte de pregunta abierta. La función de probabilidad conjunta de las dos variables se presenta en la siguiente tabla:

p(x,y)Y

0 5 10 15

X0 0.01 0.06 0.02 0.015 0.04 0.15 0.19 0.10

10 0.02 0.15 0.15 0.10

Con base en esta información y mediante el cálculo de la covarianza entre el puntaje obtenido en la parte de selección múltiple y la parte de pregunta abierta, se puede inferir que:

a. Cov ( x , y )=0 no existe correlación entre las dos parte del parcial

b. Cov ( x , y )=−2.35 existe correlación negativa entre las dos parte del parcial

c. Cov ( x , y )=3.20 existe correlación positiva entre las dos parte del parcial

d. Cov ( x , y )=−3 .20 existe correlación negativa entre las dos parte del parcial

e. Cov ( x , y )=1.82 existe correlación positiva entre las dos parte del parcial

Solución

Se procede inicialmente con el cálculo de los valores esperados:

E( X )=∑∀ x

x px( x )=(0 )(0 .1 )+(5)(0 .48 )+(10 )(0 .42)=6 .6

E(Y )∑∀Y

y pY ( y )=(0)(0 .07 )+(5 )( 0.36 )+(10 )(0.36 )+(15 )(0 .21 )=8 .55

E( XY )=58 .25

Aplicando la ecuación de la covarianza, se obtiene:

Cov (X ,Y )=58 .25−(6 .6 )(8 .55) ∴ Cov (X ,Y )=1.82

Existe una correlación positiva entre el puntaje obtenido en la parte de selección múltiple y la parte de pregunta abierta.

Valor esperado condicional

1. Playtoys es una empresa dedicada a la fabricación de juguetes para niños entre los 3 y 7 años. Dentro de su plan de investigación y desarrollo proponen el diseño de prototipos de un juguete tipo 1 y un juguete tipo 2. El número de prototipos es una

variable aleatoria X e Y , para el juguete tipo 1 y tipo 2, respectivamente. La función de probabilidad conjunta para los dos tipos de juguetes es la que se presenta a continuación:

pXY ( x , y )= x+2 y18

; x=1,2 . y=1,2

Si el departamento de investigación y desarrollo construye dos prototipos del juguete Y , el número de prototipos del juguete X es:

a. E [X|Y=2 ]=17/11

b. E [X|Y=2 ]=12/10

c. E [X|Y=2 ]=20/11

d. E [X|Y=2 ]=17/12

e. E [X|Y=2 ]=11/17

Solución

Se calcula la función marginal de y :

pY ( y )=∑x=1

2x+2 y18

= 118

∑x=1

2

x + y9∑x=1

2

1

pY ( y )=16+ 2 y9

; y=1, 2

La función de probabilidad condicional es:

pX|Y (x|y )=

x+2 y1816+2 y9

=x+2 y186

+36 y9

=x+2 y3+4 y

→

pX|Y=2( x|y=2)=

x+411

El valor esperado es entonces:

E [X|Y=2 ]= 111

∑x=1

2

( x2+4 x ) ∴ E[ X|Y=2 ]=1711

2. Playtoys es una empresa dedicada a la fabricación de juguetes para niños entre los 3 y 7 años. Dentro de su plan de investigación y desarrollo proponen el diseño de prototipos de un juguete tipo 1 y un juguete tipo 2. El número de prototipos es una

variable aleatoria X e Y , para el juguete tipo 1 y tipo 2, respectivamente. La función de probabilidad conjunta para los dos tipos de juguetes es la que se presenta a continuación:

pXY ( x , y )= x+2 y18

; x=1,2 . y=1,2

Si el departamento de investigación y desarrollo construye dos prototipos del juguete X , el número de prototipos del juguete Y es:

a. E [Y |X=2 ]=8/10

b. E [Y |X=2 ]=12/10

c. E [Y |X=2 ]=10/8

d. E [Y |X=2 ]=8/5

e. E [Y |X=2 ]=5/8

Solución

Se procede con el cálculo de la función marginal de X :

pX( x )=∑y=1

2x+2 y18

= x18

∑y=1

2

1 + 19∑y=1

2

y → p X( x )=x9+ 39= x+3

9; x=1,2

Ahora se calcula la función de probabilidad condicional:

pY|X ( y|x )=

x+2 y18x+39

=x+2 y2(x+3 )

→ pY |X=2( y|x=2)=1+ y5

El valor esperado condicional es:

E [Y |X=2 ]=∑y=1

2y+ y2

5=15∑y=1

2

y + 15∑y=1

2

y2

3. Un comerciante de automóviles paga una cantidad X (en miles de dólares) por un

carro usado y lo vende después por una cantidad Y . Se conoce que las variables

aleatorias X e Y se ajustan a al siguiente función de densidad conjunta:

f XY (x , y )=x36

0≤x≤ y≤6

Con base en la información anterior, si el comerciante paga 2 mil dólares por un carro usado, la ganancia promedio por la venta del mismo es:

a. E [Y |X=2 ]=4

b. E [Y |X=2 ]=3 .28

c. E [Y |X=2 ]=6

d. E [Y |X=2 ]=2.5

e. E [Y |X=2 ]=5 .45

Solución

Considere el cálculo de la función marginal de X :

f X( x )=∫x

6x36

dy =x (6−x )36

0<x<6


f Y|X( y|x )=

x36

x (6−x )36

=16−x

El valor esperado condicional se calcula de la siguiente manera:

E [Y |X ]=∫x

6y6−x

dy =12 [ y2

6−x|x6 ]=12 [36−x2

6−x ] =12 [ (6− x )(6+x )6−x ]

E [Y |X ]=12(6+x ) → E[Y|X ]=3+ x

2E [Y |X=2 ]=3+1 ∴ E [Y |X=2] = 4 mil dólares

4. Orlando y Elena quedaron de encontrarse en el Auditorio León de Greiff para asistir al concierto de opera de la obra Don Giovanni de Wolfgang Amadeus Mozart, entre las 7:00 p.m y 8:00 p.m. Considere que el tiempo de llegada (medido en horas) de

Orlando, es una variable aleatoria X , y el tiempo de llegada (medido en horas) de

Elena, es una variable aleatoria Y . La función de densidad conjunta del tiempo es:

f XY (x , y )=x+ y , 0<x<1 , 0< y<1

Si Orlando llega al Auditorio 36 minutos después de las 7:00 p.m., el tiempo promedio de llegada de Elena después de las 7:00 p.m. al Auditorio es:

a. E [Y |X=0.6 ]=30minutos

b. E [Y |X=0.6 ]=35minutos

c. E [Y |X=0.6 ]=1hora

d. E [Y |X=0.6 ]=45minutos

e. E [Y |X=0.6 ]=39minutos

Solución

Se procede con el cálculo de la marginal de X :

f X( x )=∫0

1

( x+ y ) dy=2 x+12

0< x<1


f Y|X( y|x )=x+ y2x+12

=2( x+ y )2 x+1


E [Y |X ]=( 22 x+1 )∫0

1

y ( x+ y ) dy= 3x+23 (2x+1)

0<x<1

Entonces:

E [Y |X=0 .6 ]= 3 (0 .6 )+23(2∗0 .6+1)

=0 .575757 ≈ 35minutos

5. John Jairo y Makacio quedaron de encontrarse en el centro comercial Plaza de las Américas para asistir al concierto de Silvestre Dangond entre las 8:00 p.m y 9:00 p.m. Considere que el tiempo de llegada (medido en horas) de John Jairo es una variable

aleatoria X , y el tiempo de llegada (medido en horas) de Makacio es una variable

aleatoria Y . La función de densidad conjunta del tiempo es:

f XY (x , y )=x+ y , 0<x<1 , 0< y<1

Si John Jairo llegó al centro comercial media hora después de las 8:00 p.m., el tiempo promedio de llegada de Makacio después de las 8:00 p.m al centro comercial Plaza de las Américas es:

a. E [Y |X=0.5 ]=35minutos

b. E [Y |X=0.5 ]=30minutos

c. E [Y |X=0.5 ]=1hora

d. E [Y |X=0.5 ]=45minutos

e. E [Y |X=0.5 ]=39minutos

Solución

Se procede con el cálculo de la marginal de X :

f X( x )=∫0

1

( x+ y ) dy=2 x+12

0< x<1


f Y|X( y|x )=x+ y2x+12

=2( x+ y )2 x+1


E [Y |X ]=( 22 x+1 )∫0

1

y ( x+ y ) dy= 3x+23 (2x+1)

0<x<1

Entonces:

E [Y |X=0 .5 ]= 3(0 .5)+23(2∗0 .5+1 )

=0 .58333 ≈ 35minutos

Distribución Normal

1. Un elevador de carga grande puede transportar un máximo de 10:000 libras. Supóngase que una carga, que contiene 45 cajas, se debe transportar mediante el elevador. La experiencia ha demostrado que el peso de una caja de este tipo de carga se ajusta a una distribución de probabilidad con una media µ = 200 libras y una desviación estándar de σ = 55 libras. Calcular la probabilidad de que las 45 cajas se puedan transportar simultáneamente.

a. 0.9966b. 0.0034c. 0.0071d. 0.8922e. 0

Solución

X i N (200 ,552 )

∑i=1

45

X i N (45∗200,45∗552 )

P(∑i=1

45

X i≤10000)P(Z≤ 10000−45∗20055√45 )=P (Z ≤2.7103 )=0.9966

2. En un curso de Calculo Integral se encuentran inscritos 40 estudiantes. El instructor del curso sabe por experiencia que el tiempo requerido para calificar un parcial

seleccionado al azar es una variable aleatoria Y con media 7 minutos y desviación de 6 minutos. Los tiempos de calificación son independientes.

Si el instructor empieza a calificar a las 7:50 p.m., la probabilidad de que termine de calificar todos los parciales entre las 11:30 p.m. a 12:30 a.m es:

a. 70 .19 %

b. 51 .19 %

c. 15 .38 %

d. 52 .19 %

e. 44 .29 %

Solución

Se sabe que: Y T ~ N (nμ , √n σ ) ∴ Y T ~N (280 , 37 .94 )

La probabilidad requerida se obtiene mediante la siguiente forma:

P(220≤Y T≤280 )=P(220−28037 .94≤Z≤280−280

37 .94 ) ∴ P (−1 .58≤Z≤0 )

P(220≤Y T≤280 )=P(Z≤0 )−P(Z≤−1 .58 )=0 .5−0.0571

P(220≤Y T≤280 )=0 .4429

3. Para determinar la calidad de los insumos de producción, como el mineral de hierro, el carbón y el azúcar sin refinar, se toman periódicamente pequeñas muestras cuando el material se mueve sobre una banda transportadora. Sea Y1, Y2, Y3,…,Yn los valores observados donde Yi representa el volumen de la i-ésima muestra pequeña con E[Yi] = µ y Var[Yi] = 4. Se requiere que el volumen total de la muestra exceda las 200 pulgadas cúbicas con una probabilidad de 0.95 cuando se seleccionan n = 50 muestras pequeñas. ¿Cuál debe ser el valor de µ para satisfacer los requerimientos del muestreo?

a. 4.46b. 4.23c. 3.53d. 3.76e. 2.47

Solución

∑i=1

50

Y i N (50µ,50∗4 )

0.95=P(∑i=1

50

Y i≥200)0.95=1−P(Z≤ 200−50 µ2√50 )Z0.05=

200−50µ2√50

=−1.644

µ=4.46

4. En un curso de Fundamentos de Estadística se encuentran inscritos 40 estudiantes. El instructor del curso sabe por experiencia que el tiempo requerido para calificar un

parcial seleccionado al azar es una variable aleatoria Y con media 6 minutos y desviación de 6 minutos. Los tiempos de calificación son independientes.

Si el instructor empieza a calificar a las 6:50 p.m., la probabilidad de que termine de calificar todos los parciales antes de las 11:00 p.m. es:

a. 70 .19 %

b. 51 .19 %

c. 80 .32 %

d. 60 .26 %

e. 61 .41 %

Solución

Se procede mediante:

Y T ~ N (nμ , √n σ ) ∴ Y T ~N (240 , 37 .94 )

La probabilidad requerida se calcula de la siguiente forma:

P(Y T≤250 )=P(Y T−nμ

√n σ≤250−24037 .94 ) ∴ P(Y T≤250 ) =P (Z≤0 .26 )

P(Y T≤250) = 0 .6026

5. En una empresa dedicada a la venta de mesas plásticas considera que el tiempo del

proceso de ensamble de una mesa es una variable aleatoria X normalmente distribuida con media de 1.5 minutos y desviación estándar de 0.3 minutos. En un día en particular, el encargado del proceso de ensamble toma una muestra aleatoria de 12 mesas plásticas.

Con base en esta información, la probabilidad de que el tiempo total de ensamblaje de

las 12 mesas XT=∑

i=1

12

X i, esté entre 17 y 20 minutos es:

a. P(17 ≤XT≤20 )=19 .48 %

b. P(17 ≤XT≤20 )=51.99 %

c. P(17 ≤XT≤20 )=80 .41 %

d. P(17 ≤XT≤20 )=41 .08 %

e. P(17 ≤XT≤20 )=58 .59 %

Solución

Se sabe que XT ~N (12 μ , √12 σ ); entonces: XT ~N (18 , 1.039 )

La probabilidad requerida es:

P(17≤XT≤20)=P (17−12μ√12 σ≤XT−12 μ

√12σ≤20−12μ

√12σ )=P (17−181.039≤Z≤20−18

1.039 )P(17≤XT≤20)=P (−0.96≤Z≤1.92 )=P(Z≤1.92 )−P(Z≤−0 .96)

P(17≤XT≤20)=0 .9726−0 .1685 ∴ P (17≤XT≤20 )=0 .8041

6. Para determinar la calidad de los insumos de producción, como el mineral de hierro, el carbón y el azúcar sin refinar, se toman periódicamente pequeñas muestras cuando el material se mueve sobre una banda transportadora. Sea Y1, Y2, Y3,…,Yn los valores observados donde Yi representa el volumen de la i-ésima muestra pequeña con E[Yi] = µ y Var[Yi] = 2. Se requiere que el volumen total de la muestra no exceda las 150 pulgadas cúbicas con una probabilidad de 0.90 cuando se seleccionan n = 50 muestras

pequeñas. ¿Cuál debe ser el valor de µ para satisfacer los requerimientos del muestreo?

a. 4.46b. 2.74c. 3.53d. 3.76e. 2.24

Solución

∑i=1

50

Y i N (50µ,50∗2 )

0.90=P(∑i=1

50

Y i≤150)0.90=P(Z≤ 150−50µ10 )Z0.90=

150−50µ10

=1.28

µ=2.74

7. En una empresa dedicada a la venta de mesas plásticas considera que el tiempo del

proceso de ensamble de una mesa es una variable aleatoria X normalmente distribuida con media de 1.5 minutos y desviación estándar de 0.3 minutos. El encargado del proceso de ensamblaje considera que el tiempo total de ensamblaje

XT=∑i=1

12

X i debe ser a lo máximo de 20 minutos

Con base en esta información, el número de mesas plásticas que se deben considerar para concluir que en un 90% el tiempo total de ensamblaje sea a lo máximo de 20 minutos, es:

a. n=19b. n=12c. n=15d. n=20e. n=13

Solución

Se sabe que:

XT ~N (nμ , √nσ ) ∴ XT ~ N (n(1 .5) , √n (0 .3))

La probabilidad establecida es:

P(XT≤20 )=0 .90 ∴ P( XT−n(1 .5 )

√n (0 .3)≤20−n(1.5 )√n(0 .3 ) ) → P(Z≤

20−n(1.5 )√n(0 .3) )=0 .90

20−n(1 .5 )√n (0.3 )

≈Z0 .90 ∴ 20≈n(1.5 )+Z0 .90√n (0 .3)

20≈n (1 .5)+√n(0 .8159 ) (0 .3 ) ∴ 20≈(12)(1 .5 )+√12 (0 .8159 ) (0 .3) ∴ 20≈18.84

El tamaño de muestra apropiado para obtener un tiempo total de ensamblaje cercano a veinte minutos es de 12 mesas plásticas.

8. La compañía cervecera Su Cerveza S.A. compró una nueva máquina para embasar la cerveza que produce, por especificaciones de la maquina se sabe que la cantidad de liquido que se embasa en cada botella se distribuye como una variable aleatoria X con E[X] =300 ml. y Var(X)=36 ml.2. Para analizar el desempeño de la maquina, los ingenieros de la compañía quieren seleccionar una cantidad n de botellas embasadas y analizar la cantidad promedio embasada en las botellas seleccionadas. Usted ha sido seleccionado para colaborar en el estudio que se va a realizar, por lo que se le ha formulado la siguiente pregunta, ¿Cuál debe ser el número n de botellas estudiadas, para asegurar que con probabilidad 0,90 el promedio de cantidad embasada no va a exceder los 301 ml?

a. 30b. 35c. 42d. 53e. No se puede calcular.

Solución

∑i=1

n

Y i

nN (300 , 36n )

0.90=P(∑i=1n

Y i

n≤301)

0.90=P(Z≤ 301−3006

√n )Z0.90=

301−3006

√n

=1.28

n=53

9. El contenido de pulpa [cm3] en los jugos de caja Del Campo es una variable aleatoria X que se distribuye normalmente con media 500 y varianza 4 unidades. La probabilidad P(500≤X≤502) se puede expresar como:

a) 0.64b) 0.84 c) 0.50d) 0.34e) Ninguna de las anteriores.

10. Según estudios demográficos del DANE realizados a 100.000 habitantes del departamento del Norte de Santander, la vida media de los habitantes de Colombia es de 85 años con una desviación de 5. Con base en esta información, la probabilidad de que un habitante viva entre 75 y 82 años es:

a) 0.252b) 0.271c) 0.022d) 0.500e) Ninguna de las anteriores

11. El contenido en gramos de las microemulsiones realizadas por el grupo de investigación Uniandes, es una variable aleatoria X que se distribuye normalmente con media 500 y varianza 4 unidades. En las pruebas realizadas con cerdos, para verificar la penetración de la microemulsión, se encontró que las que tenían un contenido igual a 504 g, eran las que más penetraban en la piel. La probabilidad P(498≤X≤504) se puede expresar como:


12. En el examen final de Probabilidad y Estadística 1 del semestre 2008-1, la nota obtenida por los estudiantes se puede representar con la variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad Normal con media 3.5 y desviación 1. Con base en la información anterior calcule la probabilidad de que un estudiante obtenga una nota que lo ubique dentro del mejor 10% de los estudiantes.

a) 4.14b) 4.55c) 4.81d) 4.73e) No se puede calcular con la información dada.

13. En el examen final de Probabilidad y Estadística 1 del semestre 2008-1, la nota obtenida por los estudiantes se puede representar con la variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad Normal con media 3.0 y desviación 0.8. Con base en la información anterior calcule la probabilidad de que un estudiante obtenga una nota que lo ubique dentro del mejor 5% de los estudiantes.

a) 4.44b) 4.32c) 4.14d) 4.81e) No se puede calcular con la información dada.

Camila

Andrés

Pizzeria

12

Distribución Exponencial

1. En una pizzería de la ciudad, se han tomado las órdenes de dos clientes conocidos: Camila y Andrés, las cuales deben ser entregadas en sus respectivas casas. El repartidor conoce un trayecto que debe realizar para entregar a tiempo las pizzas, tal como indica la figura.

El tiempo que el repartidor se demora para entregar la orden de Camila “X ”, y la

orden de Andrés “Y ”, se distribuyen exponencial con tasa λ1=0 .8 h−1

y

λ2=0.95 h−1

, respectivamente. Los tiempos de demora para cada cliente son

independientes. Con base en esta información, el tiempo promedio total “Z=X+Y ” para entregar las dos ordenes es:

a.μZ=2.30 horas

b.μZ=4 .25 horas

c.μZ=1 .50 horas

d.μZ=3.00 horas

e.μZ=1 .89 horas

Solución

Se sabe que el tiempo de las órdenes son independientes; por lo tanto:

μZ=ddt [M X( t ) MY ( t ) ] |t=0=μX+μY ∴ μZ=

ddt [M X( t ) MY ( t )] |t=0=

1λ1

+ 1λ2

=λ1+λ2λ1 λ2

μZ=(0.8 ) h−1 + (0 .95) h−1

(0 .8) ( 0.95 ) h−2 =2 .30 horas

2. El tiempo en minutos que dura una llamada telefónica en la oficina Ml 752, se puede representar con una variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad Exponencial con media igual a 2 minutos. Si una persona que está hablando por teléfono lleva un minuto en la línea, calcule la probabilidad de que la llamada dure en total menos de 3 minutos.

a) 0.78b) 0.63 c) 0.39d) 0.13e) Ninguna de las anteriores.

3. El tiempo en minutos que dura una llamada telefónica en la oficina Ml 752, se puede representar con una variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad Exponencial con media igual a 2 minutos. Calcule la probabilidad de que la llamada dure más de 3 minutos.


4. METALFLEX S.A. es una empresa dedicada a la fabricación de láminas de acero inoxidable. Dentro del estudio de seguridad industrial de la empresa se determina que un trabajador en particular puede presentar 3 accidentes por semana en promedio. Calcule la probabilidad de que pase más de una semana antes del siguiente error.

a) 0.95b) 0.05c) 0.63d) 0.37e) Ninguna de las anteriores.

Distribuciones Z, Χ2, F y t

1. En un experimento de Física Mecánica, los estudiantes deben aplicar dos cargas a una viga, tal como se observa en la figura:

a1 a2

O X1X2

El momento de flexión en el origen debido a las cargas aplicadas es: M 0=a1 X1+a2X2 . Suponga que las distancias

X1 y X 2 son variables aleatorias

independientes con medias de 5 y 8 m., respectivamente y la desviación estándar de 0.3 y 0.9 m., respectivamente.

Si a la viga se le aplican las cargas a1=2 lb y

a2=5 lb , la probabilidad de que el momento de flexión en el origen sea a lo máximo 52 lb.m. es:

a. 45 %b. 32 %c. 89 %d. 67 %e. 76 %

Solución

Se procede con el cálculo del momento de flexión promedio y la desviación estándar:

E (M 0 )=a1E(X 1)+a2E(X 2) ∴ E (M 0 )=(2 lb )(5 m) + (5 lb )(8 m) ∴ E (M 0)=50 lb .mVar (M 0 )=a1

2 Var (X1 )+a22 Var (X2 ) ∴ Var (M 0 )=4 (0 .3 )

2+25( 0.9 )2

σM0=√20.61 lb2 .m2 ∴ σM0

=4 .539 lb .m


P (M 0≤52 lb .m)=P( M 0−M 0

σM0

≤52−504 .539 ) → P (Z≤0 .44 )=67 %

2. En el proceso de moldeo de láminas de acero, es importante el control de la variabilidad del espesor de las láminas. Se considera que el espesor de las láminas de acero es una variable aleatoria que se distribuye normal con desviación estándar de 0.15 cm. El jefe de control de calidad, toma una muestra aleatoria de 30 láminas y obtiene que la desviación estándar muestral es de 0.1172 cm.

Con base en esta información, la probabilidad de que la varianza muestral exceda (0.1172 cm)2 es:

a. P [S2>(0 .1172 cm )2]=0.05

b. P [S2>(0 .1172 cm )2]=0.95c. P [S2>(0 .1172 cm )2]=0.10d. P [S2>(0 .1172 cm )2]=0.90e. P [S2>(0 .1172 cm )2]=0.15

Solución

Se considera que la probabilidad requerida es:

P [S2>(0 .1172 cm )2] ∴ P [(n−1)S2σ2>(30−1) (0 .1172 cm)2

(0 .15 cm)2 ] ∴ P [ χ 292 >17 .704 ]

P [ χ292 >17 .704 ] =0 .95008≈0 .95

3. En la fabricación de láminas de acero se requieren las operaciones de corte, moldeado y pulido. El tiempo de cada operación se distribuye normal y los tres tiempos son independientes entre si. Los valores promedios de cada operación son 15, 30 y 20 minutos, respectivamente y las desviaciones estándar son 1, 2 y 1.5 min respectivamente.

Con base en esta información, la probabilidad de que una lámina de acero requiera por lo menos una hora de procesamiento es:

a. P(T≥1 hora)=0 .031

b. P(T≥1 hora)=0 .123

c. P(T≥1 hora)=0 .968

d. P(T≥1 hora)=0 .876

e. P(T≥1 hora)=0 .914

Solución

Se procede con el cálculo del tiempo promedio y desviación estándar del procesamiento de una lámina de acero:

T=X 1+X2+X3 ∴ T=15+30+20 ∴ T=65minutos

σ T=√σ12+σ22+σ32 ∴ σT=√1+4+(1.5 )2 ∴ σT= 2 .6925 minutos


P (T≥1 hora )=P(T−Tσ T

≥60−652 .6925 ) ∴ P (T≥1 hora )=1−P (Z<−1 .857 )

P(T≥1 hora)=0 .9678≈0.968

4. En el proceso de moldeo de láminas de plástico, es importante el control de la variabilidad del espesor de las láminas. Se considera que el espesor de las láminas de plástico es una variable aleatoria que se distribuye normal con desviación estándar de 0.1 cm. El jefe de control de calidad, toma una muestra aleatoria de 25 láminas y obtiene que la desviación estándar muestral es de 0.1176 cm.

Con base en esta información, la probabilidad de que la varianza muestral exceda (0.1176 cm)2 es:

a. P [S2>(0 .1176 cm)2 ]=0 .95b. P [S2>(0 .1176 cm)2 ]=0 .10c. P [S2>(0 .1176 cm)2 ]=0 .90d. P [S2>(0 .1176 cm)2 ]=0 .05e. P [S2>(0 .1176 cm)2 ]=0 .15

Solución

Se considera que la probabilidad requerida es:

P [S2>(0 .1176 cm)2 ] ∴ P[ (n−1 )S2σ 2>(25−1) (0.1176 cm)2

(0 .1 cm )2 ] ∴ P [ χ242 >33 .191 ]

P [ χ242 >33 .191 ] =0 .100107≈0 .10

5. En el proceso de templado de un acero, se considera su calor específico (QC ) es una variable aleatoria que se distribuye normal con media de 29.021 Kcal. Se toma una muestra aleatoria de 5 piezas de acero y se obtiene que la media y desviación muestral son de 31.2 Kcal. y 1.3 Kcal., respectivamente.

Con base en esta información, la probabilidad de que el valor máximo del calor específico del acero sea de 31.2 Kcal. es:

a. P(QC≤31 .2 Kcal )=0 .10

b. P(QC≤31 .2 Kcal )=0 .80

c. P(QC≤31 .2 Kcal )=0 .15

d. P(QC≤31 .2 Kcal )=0 .90

e. P(QC≤31 .2 Kcal )=0 .20

Solución

Se procede con el cálculo de probabilidad:

P (QC≤31 .2 Kcal ) ∴ P (QC−μQ

SQ√n

≤31.2 Kcal−29 .021 Kcal1 .3 Kcal

√5 )

P (QC≤31 .2 Kcal )=P ( t4≤3.747) → P (QC≤31.2 Kcal)=0 .90

Propiedades de Estimadores

1. En un estudio de presupuesto bancario, se determinó que el capital de inversión es una

variable aleatoria X , que se distribuye con media E( X )=θ y varianza

Var (X )=σ 2 . Los analistas del presupuesto consideran el siguiente estimador para la media de la distribución:

θ∗¿∑i=1

n

x i−( xn+1+xn+2 )

n−2

Con base en esta información, se puede concluir que:

a. El estimador de la media es sesgado b (θ )= θ

n−2

b. El estimador de la media es insesgado b (θ )=0

c. El estimador de la media es sesgado b (θ )=θ

d. El estimador de la media es sesgado b (θ )=1e. El estimador es eficiente absoluto

Solución

Se procede con el análisis de insesgadez para el estimador:

E ¿¿E(θ∗)=( 1

n−2 ) (nE (X )−E(X )−E (X )) ∴ E(θ∗)=E (X ) ( n−2n−2 )E(θ∗)=E (X )=θ

El estimador de la media es insesgado b (θ )=0

2. En un estudio de presupuesto bancario, se determinó que el capital de inversión es una

variable aleatoria X , que se distribuye con media E( X )=θ y varianza

Var (X )=σ 2 . Los analistas del presupuesto consideran el siguiente estimador para la media de la distribución:

θ∗¿∑i=1

n

x i−( xn+1+xn+2 )

n−2

Con base en esta información, se puede concluir que:

a. El estimador de la media es inconsistente Var (θ∗)=Var (X )/(n−2)

b. El estimador de la media es inconsistente Var (θ∗)=Var (X )/(n−2)2

c. El estimador de la media es consistente Var (θ∗)=Var (X )/(n−2)

d. El estimador de la media es consistente Var (θ∗)=Var (X )/(n−2)2

e. El estimador de la media es inconsistente Var (θ∗)=Var (X )

Solución

Se procede con el cálculo de la varianza del estimador:

Var (θ∗)=Var [∑i=1n xi−( xn+1+xn+2 )

n−2 ] → Var (θ∗)=[ 1

(n−2)2 ] [∑i=1

n

Var ( xi )−Var ( xn+1 )−Var ( xn+2 )]Var (θ∗)=Var (X ) [ n−2

(n−2 )2 ] ∴ Var (θ∗)=Var ( X )n−2

Se procede con la propiedad de consistencia del estimador:

Limn→∞

Var (θ∗)=Limn→∞

Var (X ) [ 1n−2 ] ∴ Var ( X ) [Limn→∞

1/n1−2/n ] ∴ Lim

n→∞Var (θ∗)=0

El estimador es consistente.

3. En una tipografía de la ciudad, se sabe que el número de errores tipográficos por página de contendido en un libro de Probabilidad y Estadística traducido al español, es

una variable aleatoria X distribuida Poisson con parámetro λ . Se toma una muestra aleatoria de “n” páginas de una edición de dicho libro.

Dentro del análisis estadístico del número de errores tipográficos del libro se plantea el

siguiente estimador para el parámetro λ :

λ1¿

=∑i=1

n

x i

n−2

Con base en la información anterior, el estimador del parámetro λ es:

a. Es un estimador insesgado

b. Es un estimador sesgado b (λ1

¿ )= 2 λn−2

c. Es un estimador asintóticamente insesgado b (λ1

¿ )= 2 λn−2

d. Es un estimador sesgado b (λ1

¿ )= λn−2

e. Es un estimador asintóticamente insesgadob (λ1

¿ )= 2n−2

Solución

Para conocer si el estimador es insesgado o no, se procede con el cálculo del valor esperado del estimador:

E (λ1¿ )=E [∑i=1n x i

n−2 ] → E (λ1¿ )=n E(X )

n−2= λnn−2

; el estimador es sesgado:

b (λ1¿ )= 2 λ

n−2 , pero Limn→∞

b( λ1¿ )=(2 λ ) Lim

n→∞

1/n1−2 /n

∴ Limn→∞

b (λ1¿ )=0

, entonces el estimador es asintóticamente insesgado.

4. En una tipografía de la ciudad, se sabe que el número de errores tipográficos por página de contendido en un libro de Programación de Producción traducido al español,

es una variable aleatoria X distribuida Poisson con parámetro λ . Se toma una muestra aleatoria de “n” páginas de una edición de dicho libro.

Dentro del análisis estadístico del número de errores tipográficos del libro se plantea el

siguiente estimador para el parámetro λ :

λ1¿

=∑i=1

n

x i

n−2

Con base en la información anterior, el estimador del parámetro λ es:

a. El estimador es consistente Limn→∞

Var (λ1¿ ) =0

b. El estimador es inconsistente Limn→∞

Var (λ1¿ ) = λ

c. El estimador es inconsistente Limn→∞

Var (λ1¿ ) =2λ

d. El estimador es consistente Limn→∞

E (λ1¿ ) =0

e. El estimador es inconsistente Limn→∞

E (λ1¿ ) =λ

Solución

Se procede con el cálculo de la varianza del estimador:

Var ( λ1¿ )=Var [∑i=1n xi

n−2 ] → Var ( λ1¿ )= n λ

(n−2)2 ; ahora se procede con el cálculo del límite de la varianza:

Limn→∞ ( nλ

(n−2)2 ) ∴ λ Limn→∞ ( 1/n

(1−2/n )2 ) → Limn→∞

Var ( λ1¿

)=0.

Por lo tanto, el estimador es consistente

Pruebas de Hipótesis

1. Se sabe que la vida en horas de una bombilla de 75 watts tiene una distribución

aproximadamente normal, con desviación estándar σ= 12 horas . Una muestra

aleatoria de 50 bombillas tiene una vida media de x=1 003 horas . Una posible afirmación del comportamiento de las bombillas es que éstas duren más de

1 000 horas .

Con base en esta información y considerando un nivel de significancia del 5 %, se puede concluir que:

a. La hipótesis nula es H0 : μ=1 000 horas

y se acepta con un P-value de 0 .0392

b. La hipótesis nula es H0 : μ>1 000 horas

y se rechaza con un P-value de 0 .0392

c. La hipótesis nula es H0 : μ=1 000 horas y se rechaza con un P-value de 0 .0392

d. La hipótesis alternativa es H1 : μ> 1 000 horas


e. La hipótesis alternativa es H1 : μ>1 000 horas


Solución

Se procede con la definición de prueba de hipótesis para la media:

{H 0 : μ=1 000 horas ¿ ¿¿¿

Se sabe que se rechaza la hipótesis nula si Z0>Z0.05 ó α>P−value . El estadístico

de la prueba es:

Z0=x−μσ /√n

=1003− 100012/√50

=1 .7677

Se puede observar que 1 .7677>Z0 .05=−1.64

ó 0 .05>0 .0392 ; por lo tanto se

concluye que se debe rechazar la hipótesis nula H0 : μ=1 000 horas

con un P-value

de 0 .0392 .

2. Se sabe que la vida en horas de una bombilla de 100 watts tiene una distribución

aproximadamente normal, con desviación estándar σ= 13 horas . Una muestra

aleatoria de 40 bombillas tiene una vida media de x=1 004 horas . Una posible afirmación del comportamiento de las bombillas es que éstas duren más de

1 000 horas .

Con base en esta información y considerando un nivel de significancia del 5 %, se puede concluir que:

a. La hipótesis nula es H0 : μ=1 000 horas


b. La hipótesis nula es H0 : μ>1 000 horas


c. La hipótesis nula es H0 : μ=1 000 horas y se acepta con un P-value de 0 .0255

d. La hipótesis alternativa es H1 : μ> 1 000 horas


e. La hipótesis alternativa es H1 : μ>1 000 horas


Solución

Se procede con la definición de prueba de hipótesis para la media:

{H 0 : μ=1 000 horas ¿ ¿¿¿

Se sabe que se rechaza la hipótesis nula si Z0>Z0.05 ó α>P−value . El estadístico

de la prueba es:

Z0=x−μσ /√n

=1004 − 100013/√40

=1.950

Se puede observar que 1 .950>Z0 .05=−1 .64

ó 0 .05>0 .0255 ; por lo tanto se

concluye que se debe rechazar la hipótesis nula H0 : μ=1 000 horas

con un P-value

de 0 .0255 .

3. En el estudio de la velocidad de combustión de dos cargas propulsoras sólidas diferentes usadas en el sistema de expulsión de la tripulación de un avión, se sabe que ambas cargas propulsoras tienen aproximadamente la misma desviación estándar para

la velocidad de combustión σ 1=σ2=3 cm /s

. Se toman dos muestras aleatorias de n1=10 y

n2=10 ejemplares de cada carga y se obtiene que las medias muestrales

de la velocidad de combustión son x1=18 cm /s

y de x2=24 cm / s

.

En el estudio se considera la hipótesis que las velocidades de ambas cargas propulsoras tienen la misma velocidad de combustión. Con base en esta información y considerando un nivel de significancia del 5 %, se puede concluir:

a. No se rechaza la hipótesis nula ya que -4.47 < 1.96b. No se rechaza la hipótesis nula ya que -1.96 > -4.47c. Se rechaza la hipótesis nula ya que -4.47 < 1.96d. Se rechaza la hipótesis nula ya que -4.47 < -1.96e. Ninguna de las anteriores

Solución

Se procede con la definición de la prueba de hipótesis para la diferencia de medias:

{H 0 :μ1−μ2=0¿ ¿¿¿

Se sabe que se rechaza la hipótesis nula si se cumple que Z0<Zα /2 ó

Z0>Z1−α /2 .

El estadístico de prueba es:

Z0=18−24√9/10+9/10

=−4 .47

Observe que −4 .47<Z0.025=−1.96

por lo tanto se rechaza la hipótesis nula.

4. En la fabricación de proyectiles de corto alcance, se analiza las velocidades iniciales de los proyectiles utilizando un nuevo tipo de pólvora. Para esto se tomó una muestra aleatoria de 8 proyectiles y se obtiene que la media y desviación estándar muestral de

la velocidad de un proyectil es de 2 959 ft /s y 38 .68 ft / s , respectivamente. El fabricante de los proyectiles afirma que la nueva fórmula imprime una velocidad media

mayor a 3 000 ft /s .

Con base en esta información y considerando un nivel de significancia del 2,5 %, se puede concluir que:

a. No se rechaza la hipótesis nula ya que 2.306 > -2.99 b. Se rechaza la hipótesis nula ya que -2.99 < 2.365c. No se rechaza la hipótesis nula ya que 2.365 > -2.99 d. Se rechaza la hipótesis nula ya que -2.99 < 2.306 e. Ninguna de las anteriores

Solución

Se procede con la definición de prueba de hipótesis:

{H 0 : μ=3 000 ft / s ¿ ¿¿¿

Se sabe que se rechaza la hipótesis nula si t0>t1−α .


t0=x−μs /√n

=2959−300038 .68/√8

=−2.998

Observe que −2 .998<t0.975=2.365 , por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula.

5. En el estudio de la velocidad de combustión de dos cargas propulsoras sólidas diferentes usadas en el sistema de expulsión de la tripulación de un avión, se sabe que ambas cargas propulsoras tienen aproximadamente la misma desviación estándar para

la velocidad de combustión σ 1=σ2=5 cm /s

. Se toman dos muestras aleatorias de n1=10 y

n2=10 ejemplares de cada carga y se obtiene que las medias muestrales

de la velocidad de combustión son x1=18 cm /s

y de x2=24 cm / s

.

En el estudio se considera la hipótesis que las velocidades de ambas cargas propulsoras tienen la misma velocidad de combustión. Con base en esta información y considerando un nivel de significancia del 5 %, se puede concluir:

a. Se rechaza la hipótesis nula ya que -2.68 < -1.96b. No se rechaza la hipótesis nula ya que -2.68 < 1.96c. No se rechaza la hipótesis nula ya que -1.96 > -2.68d. Se rechaza la hipótesis nula ya que -2.68 < 1.96e. Ninguna de las anteriores

Solución

Se procede con la definición de la prueba de hipótesis para la diferencia de medias:

{H 0 :μ1−μ2=0¿ ¿¿¿

Se sabe que se rechaza la hipótesis nula si se cumple que Z0<Zα /2 ó

Z0>Z1−α /2 ó α>P−value . El estadístico de prueba es:

Z0=18−24√25/10+25 /10

=−2.6832

−2 .6832<Z0 .025=−1 .96 ó

−2 .6832>1 .96

0 .05>2(0 .003681)→0 .05>0 .00736

6. En la fabricación de proyectiles de corto alcance, se analiza las velocidades iniciales de los proyectiles utilizando un nuevo tipo de pólvora. Para esto se tomó una muestra aleatoria de 8 proyectiles y se obtiene que la media y desviación estándar muestral de

la velocidad de un proyectil es de 2 959 ft /s y 38 .68 ft / s , respectivamente. El fabricante de los proyectiles afirma que la nueva fórmula imprime una velocidad media

mayor a 3 000 ft /s .

Con base en esta información y considerando un nivel de significancia del 2,5 %, se puede concluir que:

a. No se rechaza la hipótesis nula ya que 2.306 > -1.895b. Se rechaza la hipótesis nula ya que -1.895 < 2.365c. No se rechaza la hipótesis nula ya que 2.365 > -1.895d. Se rechaza la hipótesis nula ya que -1.895 < 2.306 e. Ninguna de las anteriores

Solución

Se procede con la definición de prueba de hipótesis:

{H 0 : μ=3 000 ft / s ¿ ¿¿¿

Se sabe que se rechaza la hipótesis nula si t0>t1−α .


t0=x−μs /√n

=2959−300074 .6286 /√8

=−1 .895

Observe que −1 .895< t0 .975=2 .365 , por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula.

Regresión

1. Un estudio para la valoración de la capacidad de sistemas de humedecimiento de suelos mediante flujo subsuperficial para eliminar la Demanda Bioquímica de Oxígeno (DBO) y varios otros constituyentes químicos, arrojan los siguiente resultados:

X 3 8 10 11 13 16 27 30 35 37 38 44 103

142

Y 4 7 8 8 10 11 16 26 21 9 31 30 75 90

Sea X: la carga masiva de DBO, y sea Y: la eliminación masiva de DBO. Con los resultados se construye la siguiente regresión lineal:

y¿

=β0+β1 x¿

Utilizando el programa SPSS, se obtiene la siguiente información parcial de significancia global:

ModeloSuma de

Cuadrados gl Media Cuadrática FRegresión 8510,896 1 8510,896 260.564Residual 391,961 12 32.663 Total 8902,857 13

Completando los datos de la tabla de significancia global y considerando una significancia del 5 %, se puede concluir que:

a. El estimador de la variable que describe la carga masiva de DBO es significativa para el modelo de regresión.

b. El estimador de la variable que describe la eliminación masiva de DBO es significativa para el modelo de regresión.

c. Los estimadores de las variables son significativos para el modelo de regresión.

d. El estimador de la variable que describe la eliminación masiva de DBO no es significativo para el modelo de regresión.

e. El estimador de la variable que describe la carga masiva de DBO no es significativo para el modelo de regresión.

2. Un estudio para la valoración de la capacidad de sistemas de humedecimiento de suelos mediante flujo subsuperficial para eliminar la Demanda Bioquímica de Oxígeno (DBO) y varios otros constituyentes químicos, arrojan los siguiente resultados:

X 3 8 10 11 13 16 27 30 35 37 38 44 103

142

Y 4 7 8 8 10 11 16 26 21 9 31 30 75 90

Sea X: la carga masiva de DBO, y sea Y: la eliminación masiva de DBO. Con los resultados se construye la siguiente regresión lineal:

y¿

=β0+β1 x¿

Utilizando el programa SPSS, se obtiene la siguiente información parcial de significancia individual:

Modelo Coeficientes no estandarizadosCoeficientes

estandarizados tB Error típ Beta

(Constante) 0,626 2,135

0.293

cargaDBO 0,652 0,04 0,978 16.3

Completando los datos de la tabla parcial de significancia individual y considerando una significancia del 5 %, se concluye con respecto a la variable que representa la carga masiva de DBO:

a. Que el estimador asociado a esta variable no es significativo para el modelo de regresión propuesto.

b. Que el estimador asociado a esta variable es significativo para el modelo de

regresión propuesto. β1¿

<0.

c. Que el estimador asociado a esta variable es significativo para el modelo de


>0.

d. Que el estimador asociado a esta variable no es significativo para el modelo de


≠0.

e. Que el estimador asociado a esta variable no es significativo para el modelo de


>0.

3. Los precios promedios de venta de casas nuevas para una sola familia durante un periodo de ocho años se presentan en la siguiente tabla:

Año Precio promedio de venta (US $)x 10001972 27.61973 32.61974 35.91975 39.31976 44.21977 48.8

Se desea ajustar los datos al siguiente modelo de regresión lineal y¿

=β0+β1 x¿

,

donde y representa el precio promedio de venta; para esto, se utilizó el programa SPSS de donde se obtiene la siguiente información parcial de significancia individual:

Modelo Coeficientes no estandarizadosCoeficientes

estandarizados tB Error típ Beta

(Constante) 23,674 0,555 42.656Año 4,12 0,142 0,998 29.014

Completando los datos de la tabla de significancia individual y considerando una significancia del 5%, se concluye con respecto a la variable que representa el precio promedio de venta:

a. Que el estimador asociado a esta variable no es significativo para el modelo de regresión propuesto.

b. Que el estimador asociado a esta variable es significativo para el modelo de


<0.

c. Que el estimador asociado a esta variable es significativo para el modelo de


>0.

d. Que el estimador asociado a esta variable no es significativo para el modelo de


≠0.

e. Que el estimador asociado a esta variable no es significativo para el modelo de


>0.

4. Los precios promedios de venta de casas nuevas para una sola familia durante un periodo de ocho años se presentan en la siguiente tabla:

Año Precio promedio de venta (US $)x 10001972 27.61973 32.61974 35.91975 39.31976 44.21977 48.8

Se desea ajustar los datos al siguiente modelo de regresión lineal y¿

=β0+β1 x¿

,

donde y representa el precio promedio de venta; para esto, se utilizó el programa SPSS de donde se obtiene la siguiente información parcial de la tabla de significancia global:

ModeloSuma de

Cuadrados gl Media Cuadrática FRegresión 297.052 1 297.052 835.981Residual 1.421 4 0.355 Total 298.473 5

Completando los datos de la tabla de significancia global y considerando una significancia del 5 %, se concluye que:

a. El estimador de la variable que describe el año en que se venden casas nuevas es significativa para el modelo de regresión.

b. El estimador de la variable que describe el precio promedio de venta es significativa para el modelo de regresión.

c. Los estimadores de las variables son significativos para el modelo de regresión.

d. El estimador de la variable que describe el precio promedio de venta no es significativo para el modelo de regresión.

e. El estimador de la variable que describe el año en que se venden casas nuevas no es significativo para el modelo de regresión.

5. De un modelo de regresión lineal de la forma Y = β0 + β1X1 + e, se tomaron un total de 20 observaciones obteniendo el siguiente resultado, entre otros:

Coeficientes a

Modelo Coeficientes no estandarizados

Coeficientes estandarizado

s

t Sig. B Error típ. Beta1 (Constante) -12,795 2,819 -- ,000 TV hours/week ,695 ,034 ,837 -- ,000

a Variable dependiente: Age

De la información anterior se puede concluir que:

a. El valor de la estadística t calculada, asociada a la variable TV hours/week tiene un valor de 20,441.

b. El valor de la estadística t calculada, asociada a la variable TV hours/week tiene un valor de 0,830.

c. El valor de la estadística t calculada, asociada a la variable TV hours/week tiene un valor de 0,049.

d. El valor de la estadística t calculada, asociada a la variable TV hours/week tiene un valor de 0,000.

e. Ninguna de las afirmaciones anteriores es verdadera.

t c=0,6950,034

=20,441

6. De un modelo de regresión lineal de la forma Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β3X3 + e, se tomaron un total de 20 observaciones obteniendo el siguiente resultado, entre otros:

Coeficientes a

Modelo Coeficientes no estandarizados

Coeficientes estandarizado

s

t Sig. B Error típ. Beta1 (Constante) 4,802 1,591 3,017 ,008 Cilindrada en cc ,001 ,001 ,698 2,346 ,032

Peso total (kg) ,006 ,003 ,525 2,015 ,061

Potencia (CV) -,022 ,016 -,320 -1,392 ,183

a Variable dependiente: Consumo (1/100Km)

Utilizando un nivel de significancia de α = 0.05, con base en la información anterior se puede concluir que:

a. No hay en el modelo ninguna variable significativa.b. La variable más significativa en el modelo es la variable Potencia puesto que su

significancia es 0,183.c. No se puede concluir nada sobre la significancia de las variables puesto que no se

tiene el valor de la estadística F.d. La estadística “t” asociada a la significancia de la variable Peso total tiene 19 grados de

liberta.e. La única variable significativa en el modelo es la variable Cilindrada puesto que su

significancia es menor a 0.05.

7. De un modelo de regresión lineal de la forma Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β3X3 + e, se tomaron un total de 20 observaciones obteniendo el siguiente resultado, entre otros:

ANOVA b

Modelo Suma de

cuadrados glMedia

cuadrática F Sig.1 Regresión 226,240 3 -- --- ,000a

Residual 40,560 16 --Total 266,800 19

a Variables predictoras: (Constante), Potencia (CV), Peso total (kg), Cilindrada en ccb Variable dependiente: Consumo (1/100Km)


a. La SCR es mayor que SCE, por lo tanto, el modelo es globalmente significativo.

b. El valor de β̂1 es igual a 226,24

c. Cada una de las variables que están en el modelo son significativas, puesto que la significancia de la estadística F es igual a 0,000 < 0.05.

d. La estadística F tiene 1 grado de libertad en el numerador y 19 grados de libertad en el denominador.

e. La estadística F calculada es igual a 29,748

FC=

SCRk−1SCEn−k

=

226,2403

40,56016

=75,4132,535

=29,748

8. De un modelo de regresión lineal de la forma Y = β0 + β1X1 + e, se tomaron un total de 181 observaciones obteniendo el siguiente resultado, entre otros:

ANOVA b

Modelo Suma de

cuadrados glMedia

cuadrática F Sig.1 Regresión 36342,410 1 -- -- ,000 a

Residual 15494,430 179 --

Total 51836,840 180

a Variables predictoras: (Constante), TV hours/weekb Variable dependiente: Age


a. La estadística F calculada es igual a 419,847b. La estadística F calculada es igual a 2,346c. La estadística F calculada es igual a 3,346d. La estadística F calculada es igual a 1,426e. La estadística F calculada es igual a 3,327

FC=

SCRk−1SCEn−k

=

36342,4101

15494,430179

=36342,41086,561

=419,847

Base de Datos Proba

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