Balance de Masa y Energía 2015

ANÁLISIS TERMODINÁMICO

1. Balances en Termodinámica

Realizar un análisis termodinámico implica llevar a cabo cuatro ecuaciones de

balance. En la tabla 1.1 se muestra el nombre de cada uno de los balances con sus

respectivas ecuaciones.

Tabla 1.1 Tipos de balances y sus ecuaciones

Tipo de balance Tipo de ecuación

Balance de masa Ecuación de conservación de la masa o ecuación

de la continuidad.

Balance de energía Ecuación de conservación de la energía o primera

ley de la termodinámica.

Balance de entropía Ecuación de generación de entropía o segunda ley

de la termodinámica.

Balance de exergía Ecuación de destrucción de exergía

Sistema o masa de control o sistema cerrado

Es una cantidad arbitraria de masa de identidad fija. Un sistema se compone de la

misma cantidad de materia en todo momento. Todo lo externo al sistema constituye el

entorno. La separación entre el sistema y el entorno se denomina frontera del sistema.

Volumen de control o sistema abierto

Es aquella región en el espacio elegida para el análisis. Todo lo externo al volumen

de control constituye el entorno. La frontera de un volumen de control se denomina

superficie de control y puede estar constituida por partes reales y/o imaginarias.

En la tabla 1.2 se muestra los nombres utilizados en Termodinámica y Mecánica de

Fluidos para designar a los sistemas. En la tabla 1.3 se presenta los nombres de las

fronteras según el tipo de sistema.

Tabla 1.2 Nombre de los sistemas según la Termodinámica y Mecánica de Fluidos

Termodinámica Mecánica de fluidos

Sistema cerrado Masa de control o sistema

Sistema abierto Volumen de control

Tabla 1.3 Nombre de las fronteras según el tipo de sistema

Tipo de sistema Tipo de frontera

Sistema cerrado Frontera o contorno del sistema

Sistema abierto Superficie de control

En la figura 1.1 se muestra un sistema cerrado o masa de control mientras que en la

figura 1.2 se presenta un sistema abierto o volumen de control.

Análisis termodinámico

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Material didáctico interno elaborado por el Dr. Ing. Rafael Saavedra Garcia Zabaleta 2

2. Ecuación de conservación de la masa

2.1 Para un sistema cerrado o masa de control

El sistema es una cantidad fija de masa. Por ello, la masa del sistema se conserva y

no cambia1. La conservación de la masa establece que la masa del sistema es constante.

sistemam constante kg (2.1.1)

sistema fsistema m

m dm d

kg (2.1.2)

donde f representa el volumen fluido o volumen material, es decir, el volumen que

contiene siempre las mismas partículas fluidas del sistema y es la densidad.

0sistemadm

dt (2.1.3)

0f f

sistemadm d Dd d

dt dt Dt

(2.1.4)

1 Se supone que no hay reacciones nucleares, en las que la masa se puede convertir en energía.

Figura 1.1 Sistema cerrado o masa de

control o simplemente sistema

Figura 1.2 Sistema abierto o volumen de control


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2.2 Para un sistema abierto o volumen de control

En general, la ecuación de la conservación de la masa para un volumen de control

(VC) deformable o no se define como:

/

, , . 0VC SC

f SC

Flujo másico netoVelocidad de cambio en el tiempode la masa dentro del volumende control

dt d t d

dt

x x V n /kg s (2.2.1)

donde , t x es la densidad, d es un diferencial de volumen, /f SCV es el vector

velocidad del fluido relativo a la superficie de control, , ,1 2 3= n n nn es el vector

normal unitario exterior a la superficie de control y d es el diferencial de área.

Si el volumen de control es no deformable, la ecuación de conservación de la masa

(2.2.1) también se puede expresar como:

/

,, . 0

VC SCf SC

td t d

t

x

x V n /kg s (2.2.2)

Si la densidad del fluido es uniforme dentro del volumen de control, no es necesario

que el fluido sea uniforme en las secciones de entrada y salida, la ecuación (2.2.1) se

convierte en:

/, . 0VC SC

f SC

dt d t d

dt

x V n

SC

VC

/, . 0f SC

d t tt d

dt

x V n /kg s (2.2.3)

Las ecuaciones (2.2.1) y (2.2.3) también pueden expresarse como:

/

, . 0SC

VCf SC

Flujo másico netoVelocidad de cambio en el tiempode la masa dentro del volumende control

dm tt d

dt

x V n /kg s (2.2.4)

Si el número de secciones de entradas y salidas es finito, la (2.2.4) se convierte en:

/ /, . , . 0

e s

VCf SC f SC

e s

dm tt d t d

dt

x V n x V n . /kg s (2.2.5)

El flujo másico o caudal másico o gasto másico im que cruza el área de una

sección “i” se define como:


______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


/, .i

i f SCm t d

x V n /kg s (2.2.6)

Si el fluido entra al volumen de control, la integral de superficie en cada sección de

entrada en la (2.2.5) es negativa mientras que si el fluido sale del volumen de control, la

integral de superficie en cada sección de salida en la (2.2.5) es positiva. Sustituyendo la

(2.2.6) en la (2.2.5) se obtiene

0

VCs e

s e

dm tm m

dt /kg s (2.2.7)

En la (2.2.5), si el flujo es uniforme en cada sección donde el fluido cruza la

superficie del control, se obtiene

/ /. . 0

e s

VCf SC f SC

e s

dm td d

dt

V n V n .

/ /. . 0

VCf SC e f SC s

e s

dm tA A

dt V n V n . /kg s (2.2.8)

Si el área de cada sección es plana y perpendicular al vector velocidad del fluido

implica que, si la superficie es plana, el vector normal unitario n será el mismo en toda

la sección y además si la superficie es perpendicular al vector velocidad del fluido, el

vector normal unitario n será paralelo al vector velocidad del fluido.

/ / 0

VCf SC s f SC e

s e

dm tV A V A

dt .

0

VCs e

s e

dm tm m

dt /kg s (2.2.9)

donde im es el flujo másico que cruza el área de una sección “i”, el cual se define

como:

im AV /kg s (2.2.10)

Las ecuaciones (2.2.7) y (2.2.9) son idénticas pero la diferencia radica como se

determina el flujo másico im ; en la primera se utiliza la (2.2.6) mientras en la segunda

la (2.2.10).

Si el flujo estacionario o permanente, las ecuaciones (2.2.7) y (2.2.9) resultan:

0s e

s e

m m

e s

e s

m m /kg s (2.2.11)


______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


Estas expresiones indican que en la condición de flujo estacionario, los flujos

másicos que entran y salen del volumen de control deben compensarse idénticamente.

Si el volumen de control tiene una sola entrada 1e y salida 2s , la ecuación

(2.2.11) se expresa como:

1 2m m /kg s (2.2.12)

Si el volumen de control es deformable y el flujo es incompresible, la densidad del

fluido permanece constante en el espacio y en el tiempo ante los cambios de presión,

por lo tanto la (2.2.1) resulta:

SC

VC/ . 0f SC

d td

dt

V n

SC

VC/ . 0f SC

d td

dt

V n 3 /m s

(2.2.13)

Si el volumen de control es no deformable, la ecuación (2.2.13) se transforma en:

SC/ . 0f SC d

V n 3 /m s

(2.2.14)


/ /. . 0e s

f SC f SC

e s

d d

V n V n 3 /m s

(2.2.15)

El flujo volumétrico o caudal iQ que cruza el área de una sección “i” se define

como:

/ .i

i f SCQ d

V n 3 /m s

(2.2.16)

Si el fluido entra al volumen de control, la integral de superficie en cada sección de

entrada en la (2.2.15) es negativa mientras que si el fluido sale del volumen de control,

la integral de superficie en cada sección de salida en la (2.2.15) es positiva.

Sustituyendo la (2.2.16) en la (2.2.15) se obtiene:

0s e

s e

Q Q 3 /m s

(2.2.17)


superficie del control, se obtiene:

/ /. . 0e s

f SC f SC

e s

d d

V n V n .

/ /. . 0f SC e f SC s

e s

A A V n V n . (2.2.18)


______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


Si el área de cada sección es plana y perpendicular al vector velocidad del fluido, la

(2.2.18) se convierte en:

/ / 0f SC s f SC e

s e

V A V A .

0s e

s e

Q Q 3 /m s

(2.2.19)

donde iQ es el flujo volumétrico o caudal que cruza el área de una sección “i” que se

define como:

iQ AV 3 /m s

(2.2.20)

Las ecuaciones (2.2.17) y (2.2.19) son idénticas pero la diferencia radica como se

determina el flujo volumétrico o caudal iQ ; en la primera se utiliza la (2.2.16)

mientras en la segunda la (2.2.20).

Es interesante observar que en la deducción de las ecuaciones (2.2.17) y (2.2.19) no

se ha utilizado la hipótesis de flujo estacionario o permanente, porque se ha considerado

que el volumen de control es no deformable.

Velocidad media o velocidad media volumétrica en un área de sección “i” ,m iV

,

1

im i

i i

QV d

A A V n /m s (2.2.21)

3. Ecuación de conservación de la energía o Primera Ley de la Termodinámica

Principio de conservación de la energía

La energía no se crea ni se destruye durante un proceso; sólo se puede transformar de

una forma a otra.

La primera ley de la Termodinámica o ecuación de conservación de la energía

Es un enunciado matemático del principio de conservación de la energía, es decir, la

primera ley de la termodinámica establece que la energía es una propiedad que se

conserva durante un proceso y no se sabe de ningún proceso que viole esta ley. Por

tanto es razonable concluir que para que ocurra un proceso se debe satisfacer la primera

ley.

Los mecanismos de transferencia de energía son: calor, trabajo y flujo másico. En el

caso de un sistema cerrado la transferencia de energía puede darse solo por calor y

trabajo mientras que en un sistema abierto pueden darse los tres mecanismos. La

transferencia de energía por calor se reconoce cuando la fuerza motriz es una diferencia

de temperatura, por flujo másico cuando éste cruza la superficie de control. Todas las

demás transferencias de energía serán por trabajo.


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Calor

Mecanismos de transferencia de energía Trabajo

Flujo másico

Los mecanismos de transferencia de calor son: conducción, convección y radiación.

Conducción

Mecanismos de transferencia de calor Convección

Radiación

Los mecanismos de transferencia de energía por trabajo se dividen en: formas

mecánicas y no mecánicas del trabajo

Formas mecánicas del trabajoMecanismos de transferencia de energía por trabajo

Formas no mecánicas del trabajo

Trabajo de flecha o de eje

Trabajo de frontera Solo para sistemas cerrados

Trabajo de resorteFormas mecánicas del trabajo

Trabajo realizado sobre barras sólidas elasticas

Trabajo relacionado con el estiramiento de una película liq

Trabajo realizado para elevar o acelerar un cuerpo

Trabajo eléctrico

Formas no mecánicas del trabajo Trabajo magnético

Trabajo de polarización eléctrica

3.1 Para un sistema cerrado o masa de control

La primera ley de la Termodinámica o ecuación de conservación de la energía para

un sistema cerrado o masa de control se define como:

, ,

/

entrada salida sistema final sistema inicial sistema

Transferencia neta de energía Cambio en la energíapor calor y o trabajo total del sistema cerrado

durante un proceso

E E E E E J (3.1.1)

La ecuación (3.1.1) se emplea tanto en procesos irreversibles o reales así como

también en procesos reversibles e internamente o externamente reversibles.

La energía puede cruzar la frontera de un sistema cerrado en forma de calor y

trabajo. En la figura 3.1.1 se muestra el esquema de un sistema cerrado con los

mecanismos de transferencia de energía.


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Comentarios sobre el calor y el trabajo

Tanto el calor como el trabajo son formas que adopta la energía para cruzar la

frontera de un sistema, es decir son energías en tránsito o fenómenos de frontera

(Ver figura 3.1.2).

Los sistemas poseen energía, pero no calor ni trabajo.

Tanto el calor como el trabajo se relacionan con un proceso y no con un estado

termodinámico. A diferencia de las propiedades, ni el calor ni el trabajo tienen

significado en un estado termodinámico.

Tanto el calor como el trabajo son funciones de la trayectoria, es decir sus

magnitudes dependen de la particular trayectoria seguida durante el proceso, así

como del estado termodinámico inicial y final.

Figura 3.1.1 La energía puede cruzar la frontera de un

sistema cerrado en la forma de calor y trabajo

Figura 3.1.2 La energía se reconoce como

transferencia de calor sólo cuando cruza la

frontera del sistema


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______________________________________________________________________


Las funciones de la trayectoria tienen diferenciales inexactas que se denotan por

el símbolo . Por lo tanto, una cantidad diferencial de calor o trabajo se representa

mediante Q o W , respectivamente, en lugar de dQ o dW . Sin embargo, las

propiedades termodinámicas son funciones de estado, es decir, sólo dependen del

estado y no de cómo un sistema llega a ese estado, y tienen diferenciales exactas

designadas por el símbolo d . Por ejemplo, un cambio infinitesimal en la energía interna

por unidad de masa se representa por du .

Tanto el calor como el trabajo son cantidades direccionales y la descripción

completa de sus interacciones requiere la especificación de la magnitud y la dirección.

Una forma de hacer esto es adoptar un convenio de signo: generalmente se acepta para

las interacciones de calor y trabajo un convenio de signo formal (Convención de signos

de la termodinámica) que establece que: la transferencia de calor hacia un sistema y

el trabajo hecho por un sistema son positivos; la transferencia de calor desde un

sistema y el trabajo hecho sobre un sistema son negativos. Otra forma es utilizar los

subíndices entrada y salida para indicar la dirección (Ver figura 3.1.3). Cuando se

desconoce la dirección de una interacción de calor o trabajo, simplemente se supone

una dirección (con el subíndice entrada o salida) para determinar la interacción. Un

resultado positivo indica que la dirección supuesta es correcta, mientras que un

resultado negativo indica que la relación de la interacción es opuesta a la dirección

preestablecida: es como suponer una dirección para una fuerza desconocida al resolver

un problema de estática, e invertir la dirección cuando se obtiene un resultado negativo

para dicha fuerza. En este curso se utilizará, generalmente, la última notación porque se

eliminan las necesidades de adoptar un convenio de signos y de asignar cuidadosamente

valores negativos a algunas interacciones.

Desarrollando la ecuación (3.1.1) se obtiene:

entrada entrada salida salida sistemaQ W Q W E J (3.1.2)

Es interesante observar que todos los signos en las magnitudes del calor y trabajo son

positivos, el signo menos pertenece a la definición de la ecuación (3.1.1). Reordenando

los términos de la (3.1.2) se denota como:

Figura 3.1.3 Especificaciones de las direcciones

del calor y trabajo


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entrada salida entrada salida sistemaQ Q W W E

sistemaQ W E J (3.1.3)

donde Q es el calor neto que cruza la frontera del sistema y W es el trabajo neto

intercambiado en la frontera del sistema.

Convención de signos según la termodinámica

Si se adopta la convención de signos de la termodinámica, la ecuación (3.1.1) se

convierte en:

entrada entrada salida salida sistemaQ W Q W E

entrada salida entrada salida sistemaQ Q W W E

entrada salida salida entrada sistemaQ Q W W E

sistemaQ W E J (3.1.4)

Las ecuaciones (3.1.3) y (3.1.4) son equivalentes.

Magnitudes Criterio de utilización

de subíndices para

indicar la dirección

Termodinámica

entradaQ

salidaQ

entradaW

salidaW

Energía total de un sistema E

Energía total de un sistema por unidad de masa e se define como:

Ee

m

J

kg

(3.1.5)

La energía total de un sistema está constituida por las formas de energías

microscópicas y macroscópicas.

Formas de energías microscópicas FEMIEnergía total de un sistema E

Formas de energías macroscópicas FEMA


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Energía sensible

Energía latenteFEMI

Energía química

Energía nuclearEnergía total de un sistema E

Energía cinética

Energía potencialFEMA

Energía eléctrica

Energía magnética

Formas de energías macroscópicas (FEMA)

Son las formas de energía que posee un sistema como un todo en relación con cierto

marco de referencia exterior, como las energías cinética y potencial. Se relacionan con

el movimiento y la influencia de algunos factores externos como la gravedad, el

magnetismo y la electricidad.

Energía cinética

La energía que posee un sistema como resultado de su movimiento en relación a

cierto marco de referencia. Cuando todas las partes de un sistema se mueven con la

misma velocidad, la energía cinética se expresa como:

2,

1

2c sistemaE mV J

2

,

1

2 1000c sistemaE mV kJ (3.1.6)

donde V es la velocidad del sistema con respecto a algún marco de referencia fijo o

inercial. Mientras la energía cinética por unidad de masa se escribe como:

2,

1

2c sistemae V /J kg

2

,

1

2 1000c sistemae V /kJ kg (3.1.7)

Energía potencial

La energía que posee un sistema como resultado de su elevación en un campo

gravitacional y se expresa como:

,p sistemaE mgz J ,

1

1000p sistemaE mgz kJ (3.1.8)

donde g es la aceleración de la gravedad y z es la elevación del centro de gravedad de

un sistema con respecto a algún nivel de referencia elegido arbitrariamente, mientras la

energía potencial por unidad de masa se escribe como:

,p sistemae gz /J kg ,

1

1000p sistemae gz /kJ kg (3.1.9)


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______________________________________________________________________


Formas de energías microscópicas (FEMI)

Son las formas de energía que se relacionan con la estructura molecular de un

sistema y el grado de actividad molecular y son independientes de los marcos de

referencia externos. Se pueden considerar como la suma de las energías cinética y

potencial de las moléculas. Las formas de energía microscópicas son:

Tipo de energía Descripción

Energía sensible Relacionada con la energía cinética de las moléculas (Ver figuras

3.1.4 y 3.1.5). Asociada a los cambios de temperatura y presión.

Energía latente Asociada a los cambios de fase (Ver figura 3.1.5).

Energía química Asociada a la destrucción y formación de nuevos enlaces

químicos entre los átomos (Ver figura 3.1.5).

Energía nuclear Asociada a la enorme cantidad de energía relacionada con los

fuertes enlaces dentro del núcleo del átomo debido a las fuerzas

nucleares que son mucho mayores que las que unen a los

electrones con el núcleo (Ver figura 3.1.5).

La energía térmica es la suma de la energía sensible y la latente, por consiguiente

Energía térmica Energía sensible Energía latente

Figura 3.1.4 Diversas formas de energías microscópicas

constituyen la energía sensible


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______________________________________________________________________


Energía interna de un sistema U

Es la suma de todas las formas de energías microscópicas de un sistema (Ver figura

3.1.5).

Energía interna = Energía sensible Energía latente Energía química

Energía nuclear

La termodinámica no proporciona información acerca del valor absoluto de la

energía total de un sistema, sólo trata con el cambio de ésta. De esta forma, a la energía

total de un sistema se le puede asignar un valor de cero 0E en algún estado

termodinámico de referencia conveniente. Por consiguiente, el cambio de energía total

de un sistema es independiente del estado termodinámico de referencia seleccionado.

Desarrollando el término del cambio energía total de un sistema en la (3.1.3) se obtiene

, ,sistema c sistema p sistemaQ W U E E J (3.1.10)

Según la convención de signos de la Termodinámica

, ,sistema c sistema p sistemaQ W U E E J (3.1.11)

donde:

2 1sistemaU m u u J (3.1.12)

2 2, 2 1

1

2c sistemaE m V V J (3.1.13)

, 2 1p sistemaE mg z z J (3.1.14)

Figura 3.1.5 Formas de energías microscópicas


______________________________________________________________________

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donde los números 1 y 2 representan los estados termodinámicos inicial y final,

respectivamente y 1u y 2u son la energía interna por unidad de masa del sistema en los

estados termodinámicos inicial y final, respectivamente.

Si los cambios en la energía cinética y potencial del sistema cerrado son cero o se

consideran insignificantes con respecto a otros términos de la ecuación de conservación

de la energía, entonces se obtendrá

sistemaQ W U J o kJ (3.1.15)


sistemaQ W U J o kJ (3.1.16)

Mientras que la ecuación de conservación de la energía para un sistema cerrado por

unidad de masa se expresa como:

, ,sistema c sistema p sistemaq w u e e /J kg (3.1.17)


, ,sistema c sistema p sistemaq w u e e /J kg (3.1.18)

donde:

2 1sistemau u u /J kg (3.1.19)

2 2, 2 1

1

2c sistemae V V /J kg (3.1.20)

, 2 1p sistemae g z z /J kg (3.1.21)

Si los cambios en la energía cinética y potencial por unidad de masa del sistema

cerrado son cero o se consideran insignificantes con respecto a otros términos de la

ecuación de conservación de la energía, entonces se obtendrá:

sistemaq w u J o kJ (3.1.22)


sistemaq w u J o kJ (3.1.23)

La ecuación de conservación de la energía para dispositivos cíclicos, según el criterio

de utilización de subíndices para indicar la dirección, se define como:

0Q W

Q W (3.1.24)


______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


Mientras que la ecuación de conservación de la energía para dispositivos cíclicos,

según la convención de signos de la Termodinámica, se expresa como:

0Q W

Q W (3.1.25)

3.2 Para un sistema abierto o volumen de control

La primera ley de la Termodinámica o ecuación de conservación de la energía para

un sistema abierto o volumen de control se define como:

,

entrada salida sistema

Transferencia neta de energía en la Cambio en la energíaunidad de tiempo por calor trabajo total del sistema en lay masa unidad de tiempo

durante un proceso

E E E E , ,final sistema inicial sistemaE W (3.2.1)

En general, la ecuación de la conservación de la energía para un volumen de control

(VC) deformable o no, según el criterio de utilización de subíndices para indicar la

dirección, se expresa como:

, , , ,VC

Transferencia neta de energíaVelocidad de cambio en el tiempoen la unidad de tiempo porde la energía total dentro delcalor y trabajovolumen de control

dQ W t e t d t e t

dt

x x x x V /

. 0SC

f SC

Transferencia neta de energía en launidad de tiempo por masa oflujo neto de energía

d

n

W (3.2.2)

donde Q es el calor neto por unidad de tiempo o potencia térmica que cruza la

superficie de control, W es el trabajo neto por unidad de tiempo intercambiado en la

superficie de control, es decir potencia, , t x es la densidad, ,e tx es la energía

total del sistema por unidad de masa, d es el diferencial de volumen, /f SCV es el

vector velocidad del fluido relativo a la superficie de control, , ,1 2 3= n n nn es el

vector normal unitario exterior a la superficie de control y d es el diferencial de área.

Según la convención de signos de la Termodinámica la (3.2.2) se define como:

, , , ,VC

Transferencia neta de energíaVelocidad de cambio en el tiempoen la unidad de tiempo porde la energía total dentro delcalor y trabajovolumen de control

dQ W t e t d t e t

dt

x x x x V /

. 0SC

f SC

Transferencia neta de energía en launidad de tiempo por masa oflujo neto de energía

d

n

W (3.2.3)

La ecuación (3.2.2) también puede expresarse como:

/

, , .SC

VCf SC

Transferencia neta de energíaVelocidad de cambio en el tiempo Transferenen la unidad de tiempo porde la energía total dentro delcalor y trabajovolumen de control

dEQ W t e t d

dt

x x V n

0

cia neta de energía en launidad de tiempo por masa oflujo neto de energía

W (3.2.4)


______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


Si el volumen de control es no deformable, la ecuación de conservación de la energía

(3.2.2) también se puede expresar como:

/

, ,, , .

VC SCf SC

t e tQ W d t e t d

t

x xx x V n W (3.2.5)

La energía total dentro del volumen de control por unidad de masa e

La energía total dentro del volumen de control por unidad de masa se define como:

interna cinética potencial otrase e e e e , (3.2.6)

donde otrase representa los efectos magnético, eléctrico y de tensión superficial, los

cuales son significativos sólo en casos especiales y en general se ignoran. En ausencia

de esta clase de efectos, la energía total dentro del volumen de control por unidad de

masa consta sólo de las energías cinética, potencial e interna, y se expresa como 2

2

Ve u gz (3.2.7)

Calor y trabajo neto por unidad de tiempo Q y W

El calor y trabajo son cantidades direccionales y la descripción completa de sus

interacciones requiere la especificación de la magnitud y dirección. El trabajo neto por

unidad de tiempo W se puede subdividir de manera conveniente en cuatro partes:

eje presión esfuerzos de otro tipoviscosos

W W W W W (3.2.8)

El trabajo de las fuerzas gravitatorias ya ha sido incluido como energía potencial en

la ecuación (3.2.7).

Trabajo de eje por unidad de tiempo ejeW

Es el trabajo intercambiado en la superficie de control por unidad de tiempo a través

de un eje giratorio.

Trabajo de las fuerzas de presión por unidad de tiempo presiónW

De todas las fuerzas de presión, sólo se toman en consideración aquellas que actúan

sobre la superficie de control; puesto que en el interior del volumen de control aparecen

fuerzas de presión iguales y opuestas cuyos trabajos se anulan. La resultante de todas las

fuerzas de presión que actúan sobre la superficie de control está dada por:

SCpresión p d

F n (3.2.9)


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______________________________________________________________________


En una sección de entrada, el fluido externo realizará trabajo sobre el fluido interno

del volumen de control (entrada de trabajo) mientras en una sección de salida, el fluido

interno realizará trabajo sobre el fluido externo (salida de trabajo).

Según la convención de signos de la Mecánica Clásica para el trabajo, en una sección

de entrada, el trabajo de las fuerzas de presión por unidad de tiempo será positivo,

mientras en una sección de salida, el trabajo de las fuerzas de presión por unidad de

tiempo será negativo.

SC SCpresión pW p d p d

F V n V V n (3.2.10)

Según la convención de signos de la Termodinámica para el trabajo, en una sección

de entrada, el trabajo de las fuerzas de presión por unidad de tiempo será negativo,

mientras en una sección de salida, el trabajo de las fuerzas de presión por unidad de

tiempo será positivo.

SCpresiónW p d

V n (3.2.11)

Trabajo de deformación debido a los esfuerzos viscosos por unidad de tiempo

esfuerzosviscosos

W

De todos los esfuerzos viscosos, sólo se toman en consideración aquellos que actúan

sobre la superficie de control, puesto que los esfuerzos se cancelan en el interior del

volumen de control. La resultante de todas las fuerzas viscosas que actúan sobre la

superficie de control está dada por:

SCfuerzasviscosas

d

F . (3.2.12)

donde es el vector de los esfuerzos viscosos sobre el elemento de área d de la

superficie de control. El trabajo de las fuerzas viscosas por unidad de tiempo consiste en

el producto de cada esfuerzo viscoso (uno normal y dos tangenciales – Ver figura 3.2.1)

por la componente respectiva de la velocidad. Según la convención de signos de la

Mecánica Clásica para el trabajo se tiene que el trabajo de las fuerzas viscosas por

unidad de tiempo está dada por:

SC SCesfuerzos esfuerzosviscosos viscosos

W d d

F V V V (3.2.13)

Según la convención de signos de la Termodinámica para el trabajo se tiene que el

trabajo de las fuerzas viscosas por unidad de tiempo se expresa como:

SCesfuerzosviscosos

W d

V (3.2.14)

Este término puede ser nulo o despreciable en ciertos tipos particulares de superficies

de control. En paredes, el trabajo de las fuerzas viscosas por unidad de tiempo es cero

porque la velocidad relativa del fluido respecto a la pared es cero. En secciones de


______________________________________________________________________

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entrada y/o salida donde la superficie de control es plana y perpendicular a la velocidad

del fluido, el aporte de los dos esfuerzos tangenciales es nulo.

Trabajo de otro tipo por unidad de tiempo de otro tipoW

Es el trabajo por unidad de tiempo debido a fuerzas de origen eléctrico, magnético,

etc. Reemplazando la (3.2.8) y la (3.2.10) en la (3.2.4) se obtiene:

. .SC SC

VCeje esfuerzos de otro tipo

viscosos

dEQ W p d W W e d

dt

V n V n (3.2.15)

Agrupando y reordenando términos, la (3.2.15) se convierte en:

. .SC SC

VCdEQ W e d p d

dt

V n V n (3.2.16)

Es interesante observar que el símbolo W representa la suma de todos los trabajos

por unidad de tiempo excepto el de las fuerzas de presión.

Reagrupando las integrales de superficie en el segundo miembro de la (3.2.14) se

obtiene:

/ .SC

VCdEQ W e p d

dt

V n (3.2.17)

.SC

VCdEQ W e pv d

dt

V n (3.2.18)


. .e s

VC

e s

dEQ W e pv d e pv d

dt

V n V n (3.2.19)

Figura 3.2.1 Esfuerzos viscosos


______________________________________________________________________

______________________________________________________________________



superficie del control, se obtiene:

. .e s

VC

e s

dEQ W e pv d e pv d

dt

V n V n

. .VC

e se s

dEQ W e pv A e pv A

dt V n V n (3.2.20)

Si el área de cada sección es plana y perpendicular al vector velocidad del fluido

implica que, si la superficie es plana, el vector normal unitario n será el mismo en toda

la sección y además si la superficie es perpendicular al vector velocidad del fluido, el

vector normal unitario n será paralelo al vector velocidad del fluido.

VC

s es e

dEQ W e pv VA e pv VA

dt (3.2.21)

Sustituyendo la ecuación (3.2.7) en la ecuación (3.2.21) se obtiene:

2 2

2 2

VC

s es e

dE V VQ W u gz pv VA u gz pv VA

dt

(3.2.22)

Introduciendo la definición de entalpía y la (2.2.10) en la (3.2.22) se obtiene: 2 2

2 2

VCs e

s es e

dE V VQ W m h gz m h gz

dt

W (3.2.25)

Si el flujo es estacionario o permanente la (3.2.25) se expresa como: 2 2

2 2s e

s es e

V VQ W m h gz m h gz

W (3.2.26)

2 2

2 2entrada salida entrada salida s e

s es e

V VQ Q W W m h gz m h gz

W (3.2.27)

Es interesante notar que la (3.2.26) es la ecuación de conservación de la energía de

flujo estacionario para un sistema abierto o volumen de control, según el criterio de

utilización de subíndices para indicar la dirección mientras que según la convención de

signos de la Termodinámica se obtiene: 2 2

2 2s e

s es e


Si se tiene una sola entrada y una sola salida, la ecuación (3.2.26) se convierte en:

2 2

2 2s e

s e


W (3.2.28)


______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


Si el volumen de control tiene una sola entrada 1e y salida 2s y la ecuación

(3.2.28) se divide entre el flujo másico, reordenando los términos se obtiene:

2 2

2 1

2 12 2

m mQ W V Vh gz h gz

m m m m

2 2

2 12 1 2 1

2

V Vq w h h g z z

/J kg (3.2.29)

2 2

2 12 1 2 1

2entrada salida entrada salida

V Vq q w w h h g z z

/J kg (3.2.30)

Es interesante observar que la (3.2.29) es la ecuación de conservación de la energía

de flujo estacionario para un sistema abierto o volumen de control con una sola entrada

y salida, según el criterio de utilización de subíndices para indicar la dirección mientras

que según la convención de signos de la Termodinámica se obtiene:

2 2

2 12 1 2 1

2

V Vq w h h g z z

/J kg (3.2.31)

Segunda forma de la ecuación de la conservación de la energía para un sistema abierto o

volumen de control de flujo estacionario con una sola entrada y salida

El diferencial de entropía por unidad de masa se define como:

int rev

qds

T

J

kg K

(3.2.32)

Es importante notar que la (3.2.32) se cumple para un proceso reversible o

internamente reversible. Para un proceso internamente irreversible se tiene:

rTds q w /J kg (3.2.33)

donde rw es el valor absoluto del diferencial de trabajo de rozamiento que se produce

dentro de la superficie de control del sistema abierto por cada unidad de masa que entra

o sale. Físicamente, representa a las pérdidas o irreversibilidades internas que se

producen dentro de la superficie de control del sistema abierto por cada unidad de masa

que entra o sale durante un proceso. Integrando la ecuación (3.2.33) se obtiene:

2

1

s

rs

q Tds w /J kg (3.2.34)

La ecuación de Gibbs o Tds establece que:

Tds dh vdp (3.2.35)

Integrando la ecuación (3.2.35) se obtiene:

2 2

1 12 1

s p

s ph h Tds vdp /J kg (3.2.36)


______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


Reemplazando las ecuaciones (3.2.34) y (3.2.36) en la (3.2.29) se tiene:

2 2 2

1 1 1

2 22 1

2 12

s s p

rs s p

V VTds w w Tds vdp g z z

2 2

22 1

2 11 2r

V Vw vdp g z z w

/J kg (3.2.37)

2 2

22 1

2 11 2entrada salida r

V Vw w vdp g z z w

/J kg (3.2.38)

Es interesante observar que la (3.2.37) es la ecuación de conservación de la energía

de flujo estacionario para un sistema abierto o volumen de control con una sola entrada

y salida, según el criterio de utilización de subíndices para indicar la dirección mientras

que según la convención de signos de la Termodinámica se obtiene:

Reemplazando las ecuaciones (3.2.34) y (3.2.36) en la (3.2.31) se tiene:

2 2 2

1 1 1

2 22 1

2 12

s s p

rs s p

V VTds w w Tds vdp g z z

2

1

2 22 1

2 12

p

rp

V Vw vdp g z z w

2

1

2 21 2

1 22

p

rp

V Vw vdp g z z w

/J kg (3.2.39)

La nomenclatura utilizada en las ecuaciones (3.2.29), (3.2.30), (3.2.31), (3.2.37),

(3.2.38) y (3.2.39) representa:

Símbolo Descripción

1h Entalpía por unidad de masa o específica correspondientes a la sección de

entrada

2h Entalpía por unidad de masa o específica correspondientes a la sección de

salida

1 V Módulo de la velocidad media en la sección de entrada

2V Módulo de la velocidad media en la sección de salida

1z Altura del baricentro de la sección de entrada respecto a un plano de

referencia horizontal

2z Altura del baricentro de la sección de salida respecto a un plano de referencia

horizontal

v Volumen específico en cada sección transversal en el recorrido que va desde

la sección de entrada a la de salida p Presión en cada sección transversal en el recorrido que va desde la sección de

entrada a la de salida. q Calor que cruza la superficie de control del sistema abierto por cada unidad

de masa que entra o sale

w Trabajo intercambiado en la superficie de control del sistema abierto por


______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


cada unidad de masa que entra o sale. El trabajo w se define como trabajo

técnico tw cuando es intercambiado a través de un eje giratorio

rw Valor absoluto del trabajo de rozamiento y representa las pérdidas o

irreversibilidades internas que se producen dentro de la superficie de control

del sistema abierto por cada unidad de masa que entra o sale durante un

proceso. g Aceleración de la gravedad

En la figura 3.2.2 se muestra el esquema de un volumen de control o sistema abierto,

con una sección de entrada y una de salida. En la figura 3.2.3 se muestra el diagrama

p v de un proceso donde la línea que une los estados termodinámicos 1 y 2 representa

la sucesión de estados termodinámicos por los que pasa el fluido siguiendo un proceso

cuasiestático durante su recorrido entre la sección de entrada y de salida del volumen de

control, mientras el área sombreada representa el valor absoluto de la integral 2

1vdp .

Figura 3.2.2 Representación esquemática de un

volumen de control o sistema abierto, con una sección

de entrada y una de salida.

Figura 3.2.3 Línea que representa la sucesión de estados

termodinámicos por los que pasa el fluido siguiendo un

proceso cuasiestático durante su recorrido entre la

sección de entrada y de salida del volumen de control

de la figura 3.2.2.


______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


Por lo tanto, en el diagrama p v , el área bajo la curva de la trayectoria del proceso

con respecto el eje de la presión, representa el valor absoluto de la integral 2

1vdp

siempre y cuando el proceso sea reversible o internamente reversible.

Las ecuaciones (3.2.29) y (3.2.37) o (3.2.31) y (3.2.39), son válidas tanto para el caso

ideal como para el caso real. Ambas ecuaciones son algo equivalentes. Las ecuaciones

(3.2.37) o (3.2.39) tienen una limitación respecto a las ecuación (3.2.29) o (3.2.31), es

decir, para aplicar las ecuaciones (3.2.37) o (3.2.39) es necesario que en cada sección

transversal entre la entrada y la salida del sistema abierto el fluido sea uniforme,

mientras que para aplicar las ecuaciones (3.2.29) o (3.2.31) es necesario que el fluido

sea solamente uniforme en la sección de entrada y de salida. En las ecuaciones (3.2.29)

o (3.2.31) no aparece el trabajo de rozamiento en forma explícita, cuyo efecto se

manifestará en la entalpía de salida 2h . En las ecuaciones (3.2.37) o (3.2.39) no

aparece el calor que cruza la superficie de control del sistema abierto en forma explícita,

cuyo efecto se manifestará en los valores del volumen específico.

Balance de Masa y Energía 2015

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