1

B-Trees y AVL Trees

2

AVL Trees: Topicos

• Balance en los Trees

• Chequear el Balance

• Insertar• Single y Doble Rotaciones

3

Evitar malos Trees?

4

Idea #1

• Los subarboles tienen la misma altura.

5

Idea #2

• Para todo nodo en el tree, los subarboles izq. y der. Tienen la misma altura.• Rigidez

6

AVL Trees• Binary search trees ABB, con una propiedad

adicional.• Para todo nodo en el tree, la altura de los

subarboles izq. y der. difieren en a lo más en 1 de altura.

7

Chequear Balance

0

0 0

00

0000

0 1 1 1

1

1

12

22

3

3

4,x

5,x

8

Ejemplo4

6

5 8

7 9

3

2

7

9

8

4 6

5

3

3

2

6 8

7

5

4

8

6

16 23

18

12

94 5

9

Computando la Height

0

0 0

00

0000

0 1 1 1

1

1

12

22

3

3

4

5

10

El AVL tree mas pequeño de height 7

• N(h) = # nodos en el más pequeño AVL tree de altura h.• N(h) = N(h-1) + N(h-2) + 1• N(0) = 1, N(1) = 2 • N = (2h). Equivalentemente, h = O(log N).

11

Operaciones

• Find, FindMin, FindMax• O(log N)

• Insertar• Necesita mantener el balance• O(log N)

• Delete• Complicado

12

Single Rotacion3

5

4 7

6 9

2

1

8

3

5

4

7

6

92

1

8

CB

A

y

x

C

BA

y

x

13

Single RotacionRaiz de Single Rotacion debe ser el nodo 3. Nodo 3 es el nodo con diferencia height = 2

3

6

4

7 10

2

1

9

CB

A

y

x

C

BA

y

x

8

5

6

3

7 10

8

2

1 4

5

x

y x

y

9

14

Single Rotacion que no trabaja3

5

4 8

6 9

2

1

7

3

5

4

8

6

92

1

7

CB

A

y

x

C

BA

y

x

15

Double Rotacion3

5

4 8

6 9

2

1

7

3

5

4

6

8

9

2

1

7

C

D

B

A z

x

y

C DBA

z

x y

16

Double Rotacion3

6

5 8

4

1 3

5

6

81 4

C

D

B

A z

x

y

C DBA

z

x y

17

Double Rotacion Ejemplo 2

4

9

6

10 11

3

2

11

8

x

y

zTree luego de insert 7:

5

7

6

9

10 11

4

11

y

C

D

B

A z

x

y

C DBA

z

x y

z

x

4

3 5 8

7

A

B

C

DDCBA

La root de rotacion es x(4), donde la diferencia de height es 2

18

AVL Tree Insert, Delete

• 2 tipos de rotacion

- single, doble

• Rotacion es necesaria a lo menos una vez!

• La root de rotacion es donde la diferencia de height es 2

19

B-Trees de orden M• Un M-ary tree. Todo nodo tiene a lo más M hijos.• Hojas

• Todos los datos está lamacenados en las leaves.• Todas las leaves estan a la misma depth.• Leaves (except root) tiene entre M/2 y M records

• Nodo Interior• M punteros a M children.• M-1 claves: la más pequeña keys se encuentra en M-1

subarbol derecho.• La root tiene entre 1 y M children.• Los nodos interiores tiene entre M/2 y M children.

• M=3: 2-3 Trees• M=4: 2-3-4 Trees

20

12,15 20,23 25,26,28 32,41,43 48,52,53 56,61 72,88

25:48

16:20 32:-- 56:72

16,18

Insert

12,15 20,23 25,26,28 32,41,43 48,52,50, 53 56,61 72,88

25:48

16:20 32:-- 56:72

16,18

Insert 50

12,15 20,23 25,26,28 32,41,43 48,50,52 53, 56,61 72,88

25:48

16:20 32:-- 53:72

16,18

Insert 50 (cont)53 es movido a los vecinos del nodo hermano

Original

21

Insert 49

12,15 20,23 25,26,28 32,41,43 48,49, 50,52 53, 56,61 72,88

25:48

16:20 32:-- 53:72

16,18

Split el nodo

Envia un hijo a los vecinos del hermano

12,15 20,23 25,26,28 32,41,43 48,49 53, 56,61 72,88

25:48

16:20 32:-- 50:53:72

16,18 50,52

12,15 20,23 25,26,28 32,41,43 48,49 53, 56,61 72,88

25:50

16:20 32:48 53:72

16,18 50,52

22

Insert 27

Split el nodo

Split otra vez.

12,15 20,23 25,26,27,28 32,41,43 48,49 53, 56,61 72,88

25:50

16:20 32:48 53:72

16,18 50,52

12,15 20,23 25,26 32,41,43 48,49 53, 56,61 72,88

25:50

16:20 27:32:48 53:72

16,18 50,5227,28

48,--

12,15 20,23 25,26 32,41,43 48,49 53, 56,61 72,88

25:32:50

16:20 27:-- 53:72

16,18 50,5227,28

23

48,--

12,15 20,23 25,26 32,41,43 48,49 53, 56,61 72,88

25:--

16:20 27:-- 53:72

16,18 50,5227,28

50:--

Split la root

32:--

Insert 27(cont’)

24

27,28 32,41,43 50,52 53,56,61 72,88

25:--

27:-- 53:72

48,4912,15 20,23

16:20

16,18 25,26

48:--

50:--

32:--

27,28 32,41,43 50,52 56,61 72,88

25:--

27:-- 56:72

48,4912,15 20,23

16:20

16,18 25,26

48:--

50:--

32:--

Delete

25

27,28 32,41 50,52 56,61 72,88

25:--

27:-- 56:72

43,4912,15 20,23

16:20

16,18 25,26

43:--

50:--

32:--

27,28 32,41,49 50,52 56,61 72,88

25:--

27:-- 56:72

12,15 20,23

16:20

16,18 25,26

43:--

50:--

32:--

26

27,28 32,41,49 50,52 56,61 72,88

25:--

27:-- 72:--

12,15 20,23

16:20

16,18 25,26

50:--

56:--

32:--

27,28 32,41,49 50,52 56,72,88

25:--

27:-- 72:--

12,15 20,23

16:20

16,18 25,26

50:--

56:--

32:--

27

27,28 32,41,49 50,52 56,72,88

25:--

27:--

12,15 20,23

16:20

16,18 25,26

50:56

56:--

32:--

27,28 32,41,49 50,52 56,72,88

25:32

27:--

12,15 20,23

16:20

16,18 25,26

50:56

32:--

28

27,28 32,41,49 50,52 56,72,88

25:32

27:--

12,15 20,23

16:20

16,18 25,26

50:56

32,41,49 50,52 56,72,88

25:32

27:--

12,15 20,23

16:20

16,18 25,26,28

50:56

32,41,49 50,52 56,72,88

20:32

25:--

12,15 20,23

16:--

16,18 25,26,28

50:56

29

Operaciones sobre un B-Trees

• Find:• Atravesar el tree

• Insert• Hallar e insertar• Dar un camino o Split

• Delete• Hallar y borrar• Combinar

32,41,43 50, 53 54,56,61 72,88

54:72

48,49

48:--

50:--

30

Topicos

• Depth de un B-Trees

• Tiempo de Find, Insert, Delete

31

Depth de B-Trees

20,23

20:--

16,18 27,28

25:--

27:--

25,26 32,41 50,52 72,88

72:--

48,49

48:--

50:--

32:--

)(log

)log100(

loglog

log

1log

log

2/log

log

log

2

10099

2/

NOd

Nd

MM

N

M

N

M

N

Nd

NM

M

M

M

d

32

27,28 32,41,43 50,52 53,56,61 72,88

25:--

27:-- 53:72

48,4912,15 20,23

16:20

16,18 25,26

48:--

50:--

32:--

12:34:38:42:55:64:69:75:--:--:--

O(M)O(log M)

O(logMN)

)(log

log

loglog

)))(log((log

NO

M

NMO

NMO M

Find

33

27,28 32,41,43 50,52 53,56

25:--

27:-- 53:72

48,4920,23

20:--

16,18 25,26

48:--

50:--

32:--

12:34:38:42:55:64:69:75:--:--:--

O(M): inserta un elemento en la lista

O(logMN)

NM

MO

M

NMO

NMO M

loglog

log

log

)log(

Insert y Delete

O(log N)

34

Running Time

• Find• Cada nodo, O(log M) para determinar la rama a

considerar (binary search)

• O(logMN) nodos para visitar

• Total O(log N)

• Insert y Delete• require O(M) para fijar lo que se desea.

• O(M logMN) = O((M/log M) log N)

35

B-Trees en Memoria

• Nodo Interior• M punteros y M-1 keys

• Nodo Leaf• M’ datos (o M’ punteros a datos)

12 15 17 18 23 25 26 28 32 41 43 48 53 56 61 72 88

18 32 56 72

25 48

36

12:34:38:42:55:64:69:--:--

O(t2 + t1 log M)

27,28 32,41,43 50,52 53,56,61 72,88

25:--

27:-- 53:72

48,4912,15 20,23

16:20

16,18 25,26

48:--

50:--

32:--O(logMN)

)(log

)loglog(

)logloglog(

)))(loglog((

12

12

12

NO

NtNtO

NMtNtO

NMttO

M

M

MM

M

Find

t1: main memory tiempo de aceso para todo

byte.t2: todo disco acceso de un block

37

27,28 32,41,43 50,52 53,56

25:--

27:-- 53:72

48,4920,23

20:--

16,18 25,26

48:--

50:--

32:--

O(logMN)

Insert y Delete

O(t2 + t1 M)

)(log

)loglog

log(

)loglog(

)))(log((

12

12

12

NO

NM

MtNtO

NMtNtO

NMttO

M

M

MM

M

12:34:38:42:55:64:69:--:--