B Ángulos y triángulos 1 - Macmillan Profesional · El grado sexagesimal se denota por por el...

B 1Ángulos y triángulos

B Ángulos y triángulos1PÁGINA 3Evaluación diagnóstica

I. Ya que el punto, la recta y el plano son conceptos primitivos de la geometría, es decir, son con-

ceptos no defi nidos en un contexto determinado, se deja la respuesta libre al alumno (R. L.). sin

embargo, sí es posible representarlos con un dibujo.

1. R. L.

2. R. L.

3. R. L.

II. Respuesta modelo (R. M.) Tomando al punto O como el vértice, tenemos que se forman los si-

guientes ángulos: ∠DOA o ∠AOD , ∠AOB o ∠BOA , ∠BOC o ∠COB y ∠COD o ∠DOC .

x

1

2

3

y

10- 1- 3 32- 2

0

- 3

- 2

- 1

Punto A

C

Recta

Plano

C

B A

DC

O

© T

odos

los

dere

chos

res

erva

dos,

Edi

cion

es C

asti

llo, S

. A. d

e C

. V.

2


III. Haz lo que se pide.

1.

Pareja de triángulos A. Pareja de triángulos B.

2. En la pareja de triángulos A triángulos son iguales. En la pareja de triángulos B son parecidos.

3. Pareja de triángulos A: r =3.83.8

= 1 , r =2.52.5

= 1 , r =4.24.2

= 1 .

Pareja de triángulos B: r =8.15.4

= 1.5 , r =7.24.8

= 1.5 , r =5.13.4

= 1.5 .

IV. R. M.

Semejanza. Dos triángulos son semejantes cuando tienen, respectivamente, sus ángulos iguales uno

a uno y sus lados respectivos son proporcionales. Se llama razón de semejanza r al cociente entre dos

longitudes correspondientes.

Congruencia. Dos triángulos son congruentes cuando cada uno de los lados de uno de los triángulos

es igual a cada uno de los lados correspondientes del otro triángulo; y también los tres ángulos de uno

de los triángulos es igual que cada uno de los ángulos correspondientes del otro.

V. R. M. En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la

suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

DEFINIR CONCEPTOS GEOMÉTRICOS PÁGINA 4

I.

1. R. L.

2. R. L.

EJERCICIO 1

4.8

3.4

5.48.1

7.2

5.1

C´

A´

B´

B

A

C

2.5

2.5

4.2

4.2

3.8 3.8

© T

odos

los

dere

chos

res

erva

dos,

Edi

cion

es C

asti

llo, S

. A. d

e C

. V.

3


RECONOCER ÁNGULOS PÁGINA 4

I.

EJERCICIO 2

COMPARAR ÁNGULOS PÁGINA 4

I. El mayor es el ángulo de la fi gura 1.4c. R. M. La magnitud de un ángulo no depende de la lon-

gitud de sus lados, sino de la abertura que hay entre ellos, ya que es la sección del plano que se

encuentra comprendida entre los lados. Así, para medir un ángulo se compara su amplitud con

la de otro al que se considera modelo y sirve como unidad de medida.

PROBLEMA 1

A C

B

Lado

Lado

ÁnguloVértice

DEFINIR CONCEPTOS GEOMÉTRICOS PÁGINA 4

I. R. M. Un ángulo es la sección del plano comprendida entre dos semirrectas, llamados lados del

ángulo, que parten de punto común llamado vértice.

EJERCICIO 3

A B C

A

B

C

A

B

CA

B

C

D

E

© T

odos

los

dere

chos

res

erva

dos,

Edi

cion

es C

asti

llo, S

. A. d

e C

. V.

4


NOMBRAR ÁNGULOS PÁGINA 5

I.

Tabla 1.1 Notación de ángulos

Notacióngráfica

Notación simbólica

∠G ∠β o β ∠FDE ∠QPR ∠O

LecturaÁngulo cuyo

vértice es el

punto G.

Ángulo βÁngulo definido

por los puntos F,

D y E.

Ángulo definido

por los puntos Q ,

P y R.

Ángulo cuyo

vértice es el

punto O.

EJERCICIO 4

NOMBRAR ÁNGULOS PÁGINA 5

I.

1.

EJERCICIO 5

2. Algunos otros de los ángulos son: ∠COE , ∠COD , ∠COB , ∠AOE , ∠AOB , ∠DOC y ∠EOB .

RECORDAR SISTEMA SEXAGESIMAL PÁGINA 5

I.

1. R. M. El grado sexagesimal se denota por por el símbolo ° (grado), y es igual a 1

360 del ángulo de

una vuelta de circunferencia, y equivale a 190

de un ángulo recto.

2. R. M. En el sistema sexagesimal una vuelta completa a una circunferencia equivale a 360° (360

grados), 34

de vuelta equivale a 270°, 12

vuelta equivale a 180° y 14

de vuelta equivale a 90°

EJERCICIO 6

Gβ

DE

F

P R

Q

O

A

α

B

β

C

D

E

© T

odos

los

dere

chos

res

erva

dos,

Edi

cion

es C

asti

llo, S

. A. d

e C

. V.

5


RECORDAR EL SISTEMA CIRCULAR PÁGINA 5

I.

1. R. M. Un radián (rad) es el ángulo cuyos lados sostienen un arco con longitud igual al radio (r) de

la circunferencia.

2. R. M. En el sistema circular una vuelta completa a una circunferencia equivale a 2π radianes,

34

de vuelta equivale a 32π ,

12

vuelta equivale a π radianes y 14

de vuelta equivale a 12π .

EJERCICIO 7

PRACTICAR NOTACIÓN DE GRADOS PÁGINA 6

I.

Cantidad con palabras Cantidad con números

Veintidós grados, treinta minutos y veinticinco segundos. 22° 30´ 25´´

Veinte grados, treinta minutos y cuarenta segundos. 20 ° 30´ 40´´

Quince grados, veintitrés minutos y cuarenta y cinco segundos. 15° 23´ 45´´

Ciento veinte grados, treinta y cuatro minutos y cinco segundos. 120° 34´ 5´´

Cuarenta y cinco grados, 12 minutos 45° 12´

Treinta y ocho grados y 30 minutos. 38° 30´

Treinta grados, 12 minutos, 3 segundos 30° 12´ 3´´

Ciento veinte grados, veintitrés minutos y cincuenta y cuatro segundos 120° 23´ 54´´

PRACTICAR MEDICIÓN DE ÁNGULOS PÁGINA 6

I.

EJERCICIO 8

EJERCICIO 9

Fig 1.6a Medida: 32°

Fig 1.6c Medida: 95°

Fig 1.6b Medida: 230°

Fig 1.6d Medida: 339°

T

R

S

Y

Z

X

C D

E

A

B

C

© T

odos

los

dere

chos

res

erva

dos,

Edi

cion

es C

asti

llo, S

. A. d

e C

. V.

6


PRACTICAR MEDICIÓN DE ÁNGULOS PÁGINA 6

I.

1.

a) 13:00 horas b) 14:00 horas c) 15:00 horas d) 16:00 horas

PRACTICAR CONVERSIONES ENTRE FORMAS PÁGINA 7DECIMAL Y SEXAGESIMAL

I. Para el procedimiento, Se conservan los grados° y se expresan los minutos y segundos en deci-

mal. Para convertir los minutos estos se dividen entre 60 y la cantidad obtnida se suma a los

grados. Los segundos se dividen entre 3600 y la cantidad obtenida se suma a la cantidad con los

grados y los decimales de los minutos.

1. 22.00° 2. 92.00° 3. 132.00°

4. 34.76666° 5. 98.3666666° 6. 210.666666°

7. 42.58333° 8. 96.40833° 9. 136.700003352°

II. Para hacer la conversión, la parte entera de la cantidad corresponde a los grados. La parte deci-

mal se multiplica por 60, y la parte entera del resultado corresponde a los minutos. Como queda

una parte decimal, ésta se multiplica por 60 y la parte entera del resultado corresponde a los

segundos.

1. 45° 18´

2. 102° 49´ 12´´

3. 146° 20´ 42´´

4. 25° 30´ 45´´

5. 125° 33´ 46´´

6. 210° 14´ 37´´

7. 32° 42´ 2´´

8. 115° 7´ 56´´

9. 270° 8´ 12´´

PROBLEMA 2

EJERCICIO 10

DIBUJAR LOS ÁNGULOS PÁGINA 7

I. R. M.

EJERCICIO 11

A

B

C

D

345º

315º

180º120º

50º20º

E

G

© T

odos

los

dere

chos

res

erva

dos,

Edi

cion

es C

asti

llo, S

. A. d

e C

. V.

7


USAR DISPOSITIVOS DE MEDICIÓN PÁGINA 7(TRANSPORTADOR)

I.

1. Ángulo Medida Ángulo Medida

!CEA 45.17° !BEC 134.83°

!AED 134.83° !DEC 180°

!DEB 45.17° !BEA 180°

2. !CEA =!DEB , !AED =!BEC , y !DEC =!BEA . !CEA +!AED =!DEC y !DEB+!BEC =!BEA .

DIBUJAR LOS ÁNGULOS PÁGINA 8

I.

1.

PROBLEMA 3

ACTIVIDAD 1

2.

a) 315° y 300° b) 225° y 210° c) 135° y 30°

PRACTICAR SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS PÁGINA 8

I.

Operación Resultado Operación Resultado

24° 3´ 12´´ + 15° 14´ 45´´ 39° 17´ 57´´ 20° 9´ 56´ +́ 17° 45´´ 37° 54´ 56´´

78° 34´ 25´´ − 25° 26´ 45´´ 53° 7´ 40´´ 24° 5´ 6´´ − 18° 16´ 36´´ 5° 48´ 30´´

EJERCICIO 12

G

A

B

C

D

E

FO

270º

180º 150º110º

30º15º

© T

odos

los

dere

chos

res

erva

dos,

Edi

cion

es C

asti

llo, S

. A. d

e C

. V.

8


PRACTICAR SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS PÁGINA 8

I. 170° 53´ 46´´.

PROBLEMA 4

PRACTICAR CONVERSIONES ENTRE PÁGINA 9GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES

I. Completa la tabla. Expresa las medidas de los ángulos en las unidades que se piden. Usa calcula-

dora.

Grados sexagesimales

RadianesGrados

sexagesimalesRadianes

Grados sexagesimales

Radianes

15° 0.2618 rad 38° 0.663226667 41° 20´ 54´ 0.721665663

30° 0.5236 5.63 45.5402° 0.79483

45°π4

147° 2.56564 171° 29´ 43´ 2.993164235

60°π3

142.66615° 2.49 72.1174° 1.25869

90° 1.5708 255° 4.4506 219° 05´ 36´ 3.822390892

120° 2.0944 447.47899 7.81 2.96571

150°5π6

330° 5.7596 327° 53´ 12´ 5.722715173

240° 4.1888 249.80901° 4.36 143° 52´ 36´ 2.511127306

300°5π3

67° 30 1.1781 202.946333° 3.54209

330° 5.7596 540° 9.4248 74.78333° 1.3052184

CLASIFICAR ÁNGULOS POR SUS LADOS Y VÉRTICES PÁGINA 9

I. R. M.

Dos ángulos consecutivos. Dos ángulos adyacentes.Dos ángulos opuestos

por el vértice.

A

CB

O

α β

AC

B

O

α β

A

C

B

α β

δγ

D

O

EJERCICIO 13

EJERCICIO 14

O

B

Aα = 170.9°

© T

odos

los

dere

chos

res

erva

dos,

Edi

cion

es C

asti

llo, S

. A. d

e C

. V.

9


CLASIFICAR ÁNGULOS POR SUS MEDIDAS PÁGINA 9

I.

Agudos FEB EIB HIC

Perpendiculares FBA ABF EBC

Obtusos BIC EIH

Llanos KIJ HIB

Cóncavos NML LNM

PerigonalesEl ángulo con centro

en I y da una vuelta.

PRACTICAR CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS PÁGINA 10POR SUS MEDIDAS

I.

Ángulo Complemento Ángulo Suplemento Ángulo Conjugado

23° 67° 92° 88° 186° 174°

52° 38° 87° 29´ 92° 31´ 132° 12´ 227° 48´

44° 29´ 45° 31´ 156° 37´ 23° 23´ 217° 45´ 142° 15´

67° 42´ 22° 18´ 78° 49´ 26´´ 101° 10´ 34´´ 150° 44´ 16´´ 209° 15´ 44´´

17° 38´ 54´´ 72° 21´ 6´´ 109° 18´ 21´´ 70° 41´ 39´´ 249° 37´ 28´´ 110° 22´ 32´´

39° 15´ 42´´ 50° 44´ 18´´ 133° 02´ 54´´ 46° 57´ 6´´ 303° 52´ 46´´ 56° 7´ 14´´

IDENTIFICAR ANGULOS EXTERNOS E INTERNOS PÁGINA 10

I.

Ángulos alternosinternos

Los ángulos γ y ε, y δ y ξ son pares de ángulos alternos internos.

Ángulos alternosexternos

Los ángulos β y θ, y α y η son pares de ángulos alternos externos.

Ángulos colateralesinternos

Los ángulos β y η y α y θ son pares de ángulos colaterales internos.

Ángulos colateralesexternos

Los ángulos α y θ, y β y η son pares de ángulos colaterales externos.

Ánguloscorrespondientes

Los ángulos α y ε, β y ξ, γ y η y δ y θ pares de ángulos correspondientes.

PROBLEMA 5

PROBLEMA 6

EJERCICIO 15

© T

odos

los

dere

chos

res

erva

dos,

Edi

cion

es C

asti

llo, S

. A. d

e C

. V.

10


RESOLVER ÁNGULOS EXTERNOS E INTERNOS PÁGINA 11

I.

Ángulos alternos internos γ = 7x y ε = 7x , δ = 3x y θ = 3x

Ángulos alternos externos β = 3x y θ = 3x , α = 7x y η = 7x

Ángulos colaterales internos β = 3x y η = 7x , α = 7x y θ = 3x

Ángulos colaterales externos α = 7x y θ = 3x , β = 3x y η = 7x

Ángulos correspondientes α = 7x y ε = 7x , β = 3x y ξ = 3x , γ = 7x y η = 7x y δ = 3x y θ = 3x

CONSTRUIR UN TRIÁNGULO PÁGINAS 11-12

I.

ACTIVIDAD 2

ACTIVIDAD 3

II. R. M. AC + BC > AB

III.

Segmentos¿Se forma un triángulo?

a b c

Medida

13.5 cm 18.3 cm 21.4 cmSí, ya que la suma de las longitudes de cualesquiera

dos lados es mayor que la longitud del otro.





A

C

BA

C

B

CALCULAR ÁNGULOS EXTERNOS E INTERNOS PÁGINAS 10-11

I.

1 . Figura 1.10a 1.10b 1.10c 1.10d

Ángulo ∠CEA ∠DEB ∠BEC ∠CEA ∠AED ∠BEF ∠DEA

Medida 55° 30° 180° 20° 160° 19° 149°

PROBLEMA 7

© T

odos

los

dere

chos

res

erva

dos,

Edi

cion

es C

asti

llo, S

. A. d

e C

. V.

11


IV. R. M.

Segmentos¿Se forma un triángulo?

a b c

Medida

12.18 cm 34 cm 22.5 cmSí, ya que la suma de las longitudes de cualesquiera


13.42 cm 17.54 cm 30 cmSí, ya que la suma de las longitudes de cualesquiera


28 cm 17.54 cm 10.5 cmSí, ya que la suma de las longitudes de cualesquiera


CLASIFICAR LOS TRIÁNGULOS PÁGINAS 12-13

I.

1. Triángulo 1 2 3 4 5 6 7

Clasificación Escaleno escaleno escaleno isosceles isosceles equilatero equilatero

2. Triángulo 1 2 3 4 5 6 7

Clasificación acutángulo obtusángulo obtusángulo rectángulo obtusángulo acutángulo acutángulo

II. R. M.

Escalenoy acutángulo

Rectánguloe isósceles

Obtusánguloisósceles

Equilátero y acutángulo

A

C

b = 4.08 a = 5.66

c = 5.61

B

α = 69.49°

γ = 68.13°

β = 42.39°

A

C

b = 4

a = 5.66

c = 4 B

α = 90°

γ = 45°

β = 45°

A

C

b = 4.12 a = 6.5

c = 4 B

α = 104.04°

γ = 37.97°

β = 38°

A

C

b = 5 a = 5

c = 5 B

α = 60°

γ = 60°

β = 60°

EJERCICIO 16

ANALIZAR LOS TRIÁNGULOS PÁGINA 13

I.

1. No puede ocurrir. Si tiene un ángulo interior recto, los otros dos son necesariamente agudos.

2 Agudos. R. L.

3. Agudos. R. L.

PROBLEMA 8

© T

odos

los

dere

chos

res

erva

dos,

Edi

cion

es C

asti

llo, S

. A. d

e C

. V.

12


APLICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PÁGINA 13

I.

1. Por el teorema 1.1, la medida de un ángulo de un triángulo equilaátero es 60°. 2. Por el teorema 1.1, el tercer ángulo mide 115°. Por el teorema 1.2, los ángulos exteriores miden

respectivamente: 145°, 150° y 65°. 3. Por el teorema 1.1, mide 110°.

DIBUJAR PUNTOS Y RECTAS NOTABLES PÁGINA 14DEL TRIÁNGULO

I. R. M.

2. G: incentro, H: circuncentro, I: ortocentro y J: baricentro.

3. Los puntos alineados son el ortocentro, el baricentro y el circuncentro.

ACTIVIDAD 4

PROBLEMA 9

PROBAR LA CONGRUENCIA ENTRE TRIÁNGULOS PÁGINA 15

I. R. M. A este tipo de triángulos se les llama congruentes, y signifi ca que cada uno de sus lados es

igual a cada uno de los lados correspondientes del otro triángulo.

APLICAR CRITERIOS DE CONGRUENCIA PÁGINA 15ENTRE TRIÁNGULOS

I.

1. Sí son congruentes, los lados son iguales por el criterio (LLL).

2. Sí son congruentes, dos de sus lados son iguales y los dos tienen un ángulo recto mpor, por el

criterio (LAL).

EJERCICIO 17

PROBLEMA 10

BA

C

c

b a

H J GI

© T

odos

los

dere

chos

res

erva

dos,

Edi

cion

es C

asti

llo, S

. A. d

e C

. V.

13


APLICAR CRITERIOS DE SEMEJANZA PÁGINA 15DE TRIÁNGULOS

I.

1. En la fi gura 1.15a los lados son proporcionales, son semejantes. Criterio LLL.

2. Sí son proporcionales, tienen un ángulo igual y los lados que lo comprenden son proporcionales.

Criterio LAL.

APLICAR TEOREMA DE TALES PÁGINA 16

I.

PROBLEMA 11

ACTIVIDAD 5

2. DE ! BC . AE = 9.375 cm.

3. El ancho del río es AB = 70 m.

COMPROBAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PÁGINA 17

I.

L1 L2 L3

11.402 11 3

5 5.831 3

6 10 11.662

19 25.495 17

3 4 5

L1 L2 L3

4 14.560 14

16 11 19.416

8 8.544 3

14.866 11 10

13 13.153 2

L1 L2 L3

5 8 9.434

3 11.402 11

23.345 17 16

9 14.213 11

10 10 14.866

II.

En la fi gura 1.17a: x = 5.666666667

En la fi gura 1.17b: x = 20

EJERCICIO 18

ABD

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

C

Ei

F G H I J

© T

odos

los

dere

chos

res

erva

dos,

Edi

cion

es C

asti

llo, S

. A. d

e C

. V.

14


PRACTICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PÁGINA 18

I.

Algunos números y sus cuadrados

n n2 n n2 n n2 n n2

1 1 6 36 11 121 16 256

2 4 7 49 12 144 17 289

3 9 8 64 13 169 18 324

4 16 9 81 14 196 19 361

5 25 10 100 15 225 20 400

II.

n n2Suma de cuadrados

consecutivos

1 1

2 4 5

3 9 13

4 16 25

5 25 41

6 36 61

7 49 85

8 64 113

9 81 145

10 100 181

n n2Suma de cuadrados

consecutivos

11 121 221

12 144 265

13 169 313

14 196 365

15 225 421

16 256 481

17 289 545

18 324 613

19 361 685

20 400 761

La única suma de cuadrados consecutivos que aparece es el 25, que es 32 + 42 = 52.

PROBLEMA 12

APLICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PÁGINA 18

I. La distancia del pie de la torre en donde se deben construir las bases de concreto es 96 m.

II.

ACTIVIDAD 6

A B

C

b = 72 a = 120

c = 96

© T

odos

los

dere

chos

res

erva

dos,

Edi

cion

es C

asti

llo, S

. A. d

e C

. V.

15


CONSTRUIR PUNTOS Y RECTAS NOTABLES PÁGINA XXDEL TRIÁNGULO

I.

1, 2, 3 y 4. R. M. G: incentro, H: circuncentro, I: ortocentro y J: baricentro. Los puntos alineados son

el ortocentro, el baricentro y el circuncentro.

APPLICACIÓN 1

II. Usa Geogebra para constatar las propiedades de los puntos notables del triángulo.

1. R. L.

2. R. L.

3. R. L.

4. R. L.

5. R. L.

6. R. L.

7. R. L.

8. R. L.

9. R. L.

10. R. L.

DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS PÁGINA XX

I. Usa Geogebra para mostrar los teoremas.

1. R. L.

2. R. L.

3. R. L.

4. R. L.

5. R. L.

6. R. L.

APPLICACIÓN 2

A

B

C

a

b

c

H J

G

I

© T

odos

los

dere

chos

res

erva

dos,

Edi

cion

es C

asti

llo, S

. A. d

e C

. V.

16


PÁGINA 20

II. Haz lo que se pide.

1. R. L.

2. R. L.

3. R. L.

4. R. L.

III.

1. R. L.

2. R. L.

3. R. L.

4. R. L.

5. R. L.

PÁGINA 21

I.

1. R. L.

2. R. L.

3. R. L.

4. R. L.

5. R. L.

6. R. L.

7. R. L.

8. R. L.

II. R. L.

PÁGINA 22

I. El ángulo PQR = 50°. La fi gura es correcta.

Actividad HSE

Actividad de integración

Evaluación final

R

T

SQP

α = 40°γ = 50°

β = 90°

δ = 65°

ε = 65°

© T

odos

los

dere

chos

res

erva

dos,

Edi

cion

es C

asti

llo, S

. A. d

e C

. V.

17


II.

1. R. M. Criterios de congruencia.

Criterio Lado, Lado, Lado (LLL). Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales

uno a uno sus tres lados.

Criterio Lado, Ángulo, Lado (LAL). Dos triángulos son congruentes si tienen igual un ángulo y los

dos lados correspondientes que conforman dicho ángulo.

Criterio Ángulo, Lado, Ángulo (ALA). Dos triángulos son congruentes si tienen iguales un lado y

sus dos ángulos adyacentes correspondientes

2. R. M. Criterios de semejanza.

Criterio Ángulo, Ángulo (AA). Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos correspondien-

tes iguales.

Criterio Lado, Lado, Lado (LLL). Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes,

proporcionales.

Criterio Lado, Ángulo, Lado (LAL). Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados correspondien-

tes proporcionales y los ángulos, correspondientes entre esos lados, iguales.

III. Calcula lo que se pide.

1. Aplicando el corolario del teorema de Tales que dice que toda paralela a un lado de un triángulo

divide a los otros dos lados en segmentos proporcionales, se tiene que

CBBA

=CDDE

2ABBA

=CDDE

2 =CDDE

2DE = CD

La medida de CD y DE es CD = 2DE .

2. Se tiene que r =110 u30 u

= 3.6 u . Pero también r =x u18 u

. Igualando se tiene

110 u30 u

= 3.6 u =x u18 u

x u = 3.6 u( ) 18 u( )x u = 66 u

La anchura es 66 unidades

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