Axioma sup

Prof. Nelson Cifuentes F.

0.1 Axioma del supremo

El conjunto de los números racionalesQ cumple con la propiedades de cuerpoy de orden que se cumplen en R, sin embargo en tal conjunto no podemos darrespuesta a la existencia de un número para el cual se cumpla

x 2 = 2

es por eso que necesitamos dar otro axioma en R, antes debemos introduciralgunas definiciones.

Sea S ⊆R, definimos:

Definición 0.1.1 Se dice que un número real a es cota inferior de S si a ≤ spara todo s ∈ S. Si existe alguna cota inferior para S diremos “S está acotadoinferiormente”.

Definición 0.1.2 Se dice que un número real b es cota superior de S si b ≥ spara todo s ∈ S. Si existe alguna cota superior para S diremos “S está acotadosuperiormente”.

Definición 0.1.3 Si S es acotado superior e inferiormente diremos que es un con-junto acotado.

Ejemplo 0.1.4 Sea S = ]−1, 3[∪ [4, 5] entonces a =−2 es cota inferior para S. Enefecto, si s ∈ S entonces −1 < s < 3 ∨ 4 ≤ s ≤ 5 se sigue −2 ≤ s sea cual sea els ∈ S. Similarmente a =−1.5, a =−3, a =−1 son cotas inferiores de S. a = 7/2no es cota inferior de S pues existe un elemento de S (por ejemplo s = 1) que esestrictamente menor que a .

Al encontrar una cota inferior, de inmediato podemos decir que el conjuntoes acotado inferiormente, note también que si a es una cota inferior de un con-junto S entonces todo j ≤ a también será cota inferior.

Ejemplo 0.1.5 Sea A =¦

x ∈R : x = 1n

para algún n ∈N©

=¦

1, 12

, 13

, ...©

. b = 2 esuna cota superior para A pues si n ∈ N entonces n ≥ 1 de donde obtenemos1≥ 1/n para cada n ∈N, se sigue que cualquier elemento del conjunto es menorque 1 y así menor que 2. 1 también es cota superior. Ningún número menor que1 es cota superior, ya que 1∈ A.

Al encontrar una cota superior, de inmediato podemos decir que el con-junto es acotado superiormente, note también que si b es una cota superior deun conjunto S entonces todo b ′ con b ≤b ′ también será cota superior.

Definición 0.1.6 Un número real m se dice mínimo de un conjunto S si m ∈S ym ≤ s para todo s ∈S. Se escribe entonces m =min (S).

Matemática 1 (MAT021) 1 versión preliminar


Definición 0.1.7 Un número real M se dice máximo de un conjunto S si M ∈ Sy M ≥ s para todo s ∈S. Se escribe entonces M =max (S).

Ejemplo 0.1.8 Sea A = [0, 1] entonces m = 0 es un mímino, pues 0 ∈ A y paracada x ∈ A se tiene 0≤ x . Note que a =−1 es cota inferior pero no es el mínimoporque no esta en el conjunto. En este mismo ejemplo M = 1 es máximo de A,1∈ A y para cada x ∈ A se cumple x ≤ 1.

Ejemplo 0.1.9 Sea A = [−1, 5[ entonces m = −1 es un mímino, pues −1 ∈ Ay para cada x ∈ A se tiene −1 ≤ x . Este conjunto no tiene máximo, note que5 6∈ A pero se cumple x < 5 para cada elemento en el conjunto, es decir 5 es cotasuperior pero no esta en el conjunto, ningún número mayor que 5 puede ser elmaximo al no estar en el conjunto, si −1 < b < 5 entonces el elemento b+5

2∈ A

y b < b+52

luego b no es máximo. Claramente si b ≤ −1 no puede ser el máximobasta tomar 2∈ A para tener una contradicción.

Si el máximo existe entonces es único: Si M 1 y M 2 son dos máximos delconjunto S entonces se sumple que M 1 ∈S y M 2 ∈S pero al ser M 1 un máximoen particular se cumple para cada s ∈ S, s ≤ M 1 en particular para s = M 2 setiene

M 2 ≤M 1

similarmente, al ser M 2 un máximo se cumple

M 1 ≤M 2

de ambos se obtiene M 1 =M 2.

Definición 0.1.10 Un número real a se dice infimo de un conjunto S si es lamayor de las cotas inferiores de S. Es decir, si a ≤ s para todo s ∈S y cada a ′

> ano es cota inferior de S, verificándose que a ′

> s ′ para algún s ′ ∈ S . En este casose escribe a = inf (S).

Definición 0.1.11 Un número real b se dice Supremo de un conjunto S si es lamenor de las cotas superiores de S. Es decir, si s ≤b para todo s ∈S y cada b ′

<bno es cota superior de S, verificándose que b ′

< s ′ para algún s ′ ∈S. En este casose escribe a = supS.

Ejemplo 0.1.12 Si A = ]1, 2[ entonces el conjunto de las cotas inferiores de A es]−∞, 1] (cualquier elemento de este conjunto es una cota inferior) se ve que lamayor de todas ellas es x = 1 luego 1= inf A. El conjunto de las cotas superioresde A es [2,∞[ luego la menor de las cotas superiores es 2 se sigue que 2= sup A.



Ejemplo 0.1.13 Si B = [−1, 3[ entonces el conjunto de las cotas inferiores de Aes ]−∞,−1] (cualquier elemento de este conjunto es una cota inferior, incluso el−1) se ve que la mayor de todas ellas es x = −1 luego −1 = inf A. El conjunto delas cotas superiores de A es [3,∞[ luego la menor de las cotas superiores es 3 sesigue que 3= sup A.

• El supremo no necesariamente esta en el conjunto, es decir, no necesari-amente es el máximo del conjunto.

• El ínfimo no necesariamente esta en el conjunto, es decir, no es necesari-amente el mínimo del conjunto.

• Si existe un máximo el será el supremo del conjunto

• Si existe el mínimo el será el ínfimo del conjunto.

Proposición 0.1.14 Sea A un conjunto no vacío de R entonces

inf A ≤ sup A

Demostración: Si a ∈ A entonces a ≤ sup A pues sup A es cota superior,además inf A ≤ a pues inf A es cota inferior.

Proposición 0.1.15 Si A ⊆ B y A 6= ; entonces

inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B

Demostración: Note que si x ∈ A entonces x ∈ B se sigue que para cadax ∈ A

inf B ≤ x ≤ sup B

(inf B es cota inferior de B y sup B es cota superior), se sigue que inf B es cotainferior de A y sup B es cota superior de A. Como inf A es la mayor de las cotasinferiores de A se sigue

inf B ≤ inf A

y como sup A es la menor de las cotas superiores

sup A ≤ sup B

pero por la propiedad anterior

inf A ≤ sup A

juntando las desigualdades obtenemos

inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B

Ya estamos en condiciones de dar el axioma que caracteriza a R:Axioma del supremo: Todo subconjunto deR no vacío y acotado superior-

mente tiene un supremo. (el supremo es un número real)

Este axioma implica lo siguiente:



Proposición 0.1.16 Todo subconjunto de R no vacío y acotado inferiormentetiene un ínfimo. (el ínfimo es un número real)

Demostración: Sea A un conjunto no vacío y acotado inferiormente, defi-namos −A = {−a : a ∈ A} entonces −A es no vacío y acotado superiormente(note que si l era cota inferior de A entonces l ≤ a para cada a ∈ A eso implica−l ≥ −a para cada a ∈ A, se sigue −l es cota superior de −A). Por el axiomadel supremo existeel supremo de−A y denotemoslo por sup (−A), este númerocumple con ser la menor de las cotas superiores de −A se sigue que para cada−a ∈−A se cumple

−a ≤ sup (−A)

entonces, para cada a ∈ A se tiene

a ≥−sup (−A)

mostremos que en realidad

inf A =−sup (−A)

ya sabemos que −sup (−A) es cota inferior, si j > −sup (−A) entonces −j <sup (−A), de la definición de supremo se sigue que debe existir un elmento−a ′ ∈−A tal que

−j <−a ′ < sup (−A)

se sigue quej > a ′ >−sup (−A)

luego cualquier número mayor que−sup (−A) no es cota inferior de A , se sigueque−sup (−A) es la mayor cota inferior, es decir el ínfimo, de donde obtenemos

inf A =−sup (−A)

Como es de esperar, este axioma tiene importantes concecuencias entre lascuales podemos nombrar las siguientes:

Teorema 0.1.17 El conjunto de los naturales no es acotado superiormente enR.Demostración. Supongamos queN esta acotado superiormente enR, comoN esno vacío, por el axioma del supremo existiría un real

K = supN

ahora bien, K − 1 no es cota superior pues K es la menor de las cotas inferiores,se sigue que existe un n ∈N tal que K −1< n se sigue sumando a ambos lados dela igualdad que K < n + 1 pero n + 1 es un natural, entonces K no puede ser elsupremo, esto es una contradicción que viene de suponerN acotado, se sigue queN no puede ser acotado en R.



Teorema 0.1.18 Para cada x > 0 existe un n ∈N tal que 0< 1/n < x .Demostración. Suponga que existiera un x > 0 tal que para cada n ∈N

x ≤1

n

entonces se cumplirían ≤ x−1

para todos los naturales, es decir,N estaría acotado enR lo que sabemos no puedeser.

Teorema 0.1.19 Para cada x ∈ R existe un k ∈ Z tal que k ≤ x < k + 1 (esteentero es llamado la parte entera de x y generalmente se denota por [x ])

Teorema 0.1.20 Si x ,y son dos reales con x < y entonces existe un racional P =n/m tal que

x < p < y

(esta propiedad es llamada densidad de los racionales en R, nos dice en todointervalo no degenerado de la recta real existen racionales)

El axioma del supremo puede ser utilizado para garantizar la existencia deraíces de reales. Sea b ∈R+ entonces

np

b = sup{x ∈R : 0≤ x ∧x n ≤b}

0.1.1 Ejercicios propuestos

1. Determinar supremo e infimo de los siguientes conjuntos (si es que exis-ten)

(a)�

x ∈R : x 2 < 3

(b)�

x ∈R : x 2−x +1>−2

(c) {0.3, 0.33, 0.333, ...}(d) {−1/n : n ∈N}

2. Sean A, B subconjuntos deRno vacíos y acotados superiormente. Definael conjunto

A B = {ab ∈R : a ∈ A ∧b ∈ B}

demostrar que en general

sup (A B ) 6= sup A sup B

pero que si A y B contienen solo reales positivos entonces si se cumple laigualdad. Muestre también que si sup A < 0 y sup B < 0 entonces

inf (A B ) = sup A sup B



3. Sean A, B subconjuntos deRno vacíos y acotados superiormente. Definael conjunto

A + B = {a +b ∈R : a ∈ A ∧b ∈ B}

demostrar quesup (A + B ) = sup A + sup B

¿Qué pasa con los ínfimos?

4. Sean A, B subconjuntos de R no vacíos y acotados. Decidir cuales de lassiguientes propiedades son verdaderas y demostrarlas y encontrar con-traejemplos para las falsas.

(a) sup (A ∩ B )≤ inf�

sup A, sup B

(b) sup (A ∩ B ) = inf�

sup A, sup B

(c) sup (A ∪ B )≥ sup�

sup A, sup B

(d) sup (A ∪ B ) = sup�

sup A, sup B

5. Sean A, B subconjuntos deRno vacíos y acotados. ¿Es verdad que sup A =sup B y inf A = inf B implican A = B?

6. Utilizando el último teorema y la irracionalidad dep

2 muestre que six , y ∈R y x < y entonces existe un irracional ξ tal que

x <ξ< y

Ind.: Con el teorema insertar un racional r entre xp2

y yp2

, mostrar que

rp

2 es irracional.

7. S es un conjunto acotado si y solo si existe un número real J > 0 tal queS ⊆ [−J , J ].

8. Muestre que si el mínimo existe es único.


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