Calculo Sup 2012

Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________

Jaime Paredes Snchez

UNIVERSIDAD CATLICA LOS NGELES DE CHIMBOTEESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN

DEPARTAMENTO ACADMICO DE CIENCIAS

CLCULO SUPERIOR

__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez

1


NDICEPag.

CAPTULO 1: FUNCIONES REALES 41.1. Funcin. 4

1.2. Dominio y rango de una funcin. 6

1.3. Evaluacin de una funcin. 8

1.4. Funciones reales. 9

1.5. Funciones reales especiales. 11

1.6. Aplicaciones de las funciones. 19

1.7. Autoevaluacin 1 21

CAPTULO 2: LMITES Y CONTINUIDAD 232.1. Nocin intuitiva de lmite. 23

2.2. Definicin formal de lmite. 24

2.3. Teoremas para calcular lmites. 26

2.4. Clculo de lmites para formas indeterminadas 29

2.5. Lmites laterales. 30

2.6. Lmites infinitos 32

2.7. Lmites al infinito. 37

2.8. Continuidad de una funcin. 38

2.9. Discontinuidad. 39


CAPTULO 3: DERIVADAS 453.1. Introduccin. 45

3.2. Derivada de una funcin. 46

3.3. Deduccin de reglas de derivacin. 48

3.4. Reglas de derivacin. 51

3.5. Derivadas de orden superior. 55

3.6. Aplicaciones de la derivada. 57

3.6.1. Razn de cambio. 57

3.6.2. Anlisis de crecimiento y decrecimiento. 57__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez

2


3.6.3. Valores extremos de una funcin. 59

3.6.4. Concavidad y convexidad de una funcin. 68

3.6.5. Aplicaciones a las ciencias econmicas. 703.7. Derivadas parciales. 72


CAPTULO 4: INTEGRALES 764.1. Antiderivada de una funcin. 76

4.2. La integral indefinida 80

4.3. Reglas bsicas de integracin. 80

4.4. Mtodos de integracin: Integracin por partes 83

4.5. La integral definida. 86

4.6. Aplicaciones de la integral definida. 91

4.6.1. reas de regiones planas. 91

4.6.2. Aplicaciones a las ciencias econmicas. 95

4.7. Autoevaluacin 4

BIBLIOGRAFA 100


3

A Bf

A B

g


CAPTULO 1

FUNCIONES REALES

1.1. FUNCINUna funcin de A en B es una relacin que asocia a cada elemento de un

conjunto A, con un nico elemento de un conjunto B. Las funciones se denotan

por: f, g, h,

Simblicamente:f : A B

x y = f (x)

( ){ })(,/,/, xfyByAxAXByxf ==Donde:

A = Conjunto de partida

B = Conjunto de llegada

Y= f(x): Se llama regla de correspondencia de la funcin. Decimos

que y es la imagen o valor de x por f. Adems, x es la variable

independiente e y es la variable dependiente.

Ejemplos:1) De las siguientes grficas, establecer cuales son funciones de

A en B.


4

1

3

5

2

4

6

1

3

5

2

4

6

A B

h


Solucinf y h son funciones de A en B, pues a cada elemento A le corresponde un nico

elemento de B.

g no es funcin de A en B, pues a 3 A le corresponden 4 y 6 B; es decir,

ms de un elemento.

2) Establecer cuales de los siguientes conjuntos son funciones:

f = {(2;3), (4;5), (6;7), (8;9)}

g = {(2;4), (3;6), (5;8), (3;10)}

Solucinf es funcin, pues las primeras componentes no se repiten.

g no es funcin, pues la primera componentes 3 se repite en dos pares

ordenados.

3) Si f representa a una funcin dada por:

f = {(2; x + y), (4;8), (2;6), (4;x - y)}

Hallar el valor de: 2x - y

Solucin En una funcin, si dos pares ordenados tienen la misma primera componente,

entonces las segundas componentes deben ser iguales

Por lo que:

x + y = 6

x y = 8

De donde; resolviendo la sistema se obtiene:

x = 7 , y = - 1 __________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez

5

1

3

5

2

4

6

A Bf

D(f) R(f)


Luego: 2x y = 2 (7) (-1) = 15

4) R1 y R2, dadas al inicio, Son funciones?

Por qu?

1.2. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCINSea la funcin:

f : A B

y y = f (x)

Luego:

Dominio de f. Denotado por Dom(f) D(f) esta dado por:

{ })(,//)( xfyByAxfD ==Conjunto de las primeras componentes, de los pares ordenados de f.

Rango de f. Denotado por Ran(f) o R(f), esta dado por:

{ })(, /)( xfyAxByfR ==Conjunto de las segundas componentes, de los pares ordenados de f.

Grficamente:


6

2

4

6x y=f(x)

A Bf

2

4

6

8


Ejemplos:Sean los conjuntos:

A = {1; 3; 5; 7} y B = {2; 4; 6; 8}

Hallar dominio y rango de:

1) f = {(1;4), (3;2), (5;6), (7;8)}

SolucinGrficamente:

2) ( ){ }11/, =+= yxAXByxgSolucin

(x, y) A X B, entonces la funcin g est definida de A en B, por lo que x A

e y B. Luego los pares ordenados que cumplen la relacin de

correspondencia: x + y = 11 son:

g = {(3; 8), (5; 6), (7; 4)}

De donde:

D(g) = {3; 5; 7}

R(g) = {4; 6; 8}

Grficamente:


7

1

3

5

7

De donde:

D(f) = {1; 3; 5; 7}

R(f) = {2; 4; 6}

A1

3

57

B

g

2

4

68

x y


3) ( ){ }yxAyxh == /, 2Solucin:

A2 = A x A, entonces h es una funcin definida de A en A. de donde:

h = {(1;1), (3;3), (5;5), (7;7)}

Luego:

D(h) = {1; 3; 5; 7}

R(h) = {1; 3; 5; 7}

1.3. EVALUACIN DE UNA FUNCINConsideremos una funcin f con regla de correspondencia:

y = f(x) , x D(f)

Si x toma el valores especficos, por ejemplo x = x0, entonces se tiene:

y0=f(x0). Se dice que la funcin f ha sido evaluada en x0. En otras palabras:

Cuando x = x0, el valor de la funcin es f(x0)

Ejemplos:1) Si f(x) = 2x2 3x + 6, el valor de f en el punto x = 1 es:

f(1) = 2(1)2 - 3(1) + 6 = 5

2) Sea f(x) = ,5

3 xx hallar f(2)


8


Solucin

Como x = 2 entonces 56

52)2(

)2(3

=

=f

Tambin se dice que f(2) = 56

es imagen de 2 por f.

1.4. FUNCIONES REALESLlamadas tambin funciones reales de variable real, son aquellas funciones

definidas de R en R, donde R es el conjunto de los nmeros reales.

Dominio y RangoSea la funcin real:

f : R R

x y = f (x)

Luego:

Dominio de f: { })(,//)( xfyRyRxfD ==Rango de f: { })(,/)( xfyRxRyfR ==

En otras palabras, el dominio es el conjunto de x R para el que existe un nico y R y el rango es el conjunto de y R que corresponden a x R.

Criterio para el clculo del dominio y rango de una funcinEl dominio de una funcin f se determina analizando los valores posibles que

pueda tomar x, de tal manera que y=f(x) sea un nmero real, salvo que dicho

dominio sea especificado.

El rango de una funcin f se determina despejando la variable x en funcin de

y, luego se analiza todos los valores posibles que pueda tomar y, de tal

manera que x sea un nmero real.

Ejemplo: Hallar dominio y rango de la funcin:

26)( xxxf =


9

- -3 2 +


i) Calculando el dominio

Como y = f(x) entonces: y = 26 xx

Luego y es real si 6 x - x2 0 pues no existe raz cuadrada de

un nmero real negativo.

De donde, por propiedad de las desigualdades:

x2 + x 6 0

Aplicando puntos crticos para inecuaciones:

(x + 3) (x -2 ) 0

Luego el dominio es: D(f) = [ ]2,3

ii) Calculando el rango

Como 26 xxy = , y 0

Despejando x en funcin de y:

Al elevar al cuadrado ambos extremos se obtiene:

y2 = 6 x + x2

De donde, ordenando y cambiando de signo:

x2 + x (6 y2) = 0

Por formula general para una ecuacin cuadrtica:

2))6()(1(411 2y

x

=

De donde:


10


2))6(411 2y

x

=

Luego x es real si: 1 + 4 (6 y2) 0

De donde obtenemos. 425

425 y

25

25 y

y

25.

25

Por lo tanto: R(f) =

+

25,

25,0

De donde:

=

25,0)( fR

1.5. FUNCIONES REALES ESPECIALES Son aquellas funciones reales que por sus caractersticas toman el nombre de funciones reales especiales o solamente funciones especiales. Entre ellas tenemos:

a. Funcin constante. Se define por:

f ={(x,y) R x R /y = c, c=Constante}

Su dominio es D(f) = R, su rango R(f) = {c} y su grafica es una recta horizontal. Esto es:

X

f(x) = cc

y

b. Funcin identidad: Se define por:

f = {(x, y) R x R /y = x}

Su dominio es D(f) = R, su rango R(f)= R y su grfica es la recta de pendiente uno que divide al primer cuadrante del plano cartesiano en dos partes iguales.


11

xy = a + bxy

a

b


X

y = x

y

c. Funcin valor absoluto. Se define por:

f = {(x, y) R x R /y = |x|}

Su dominio es D(f) = R, su rango R(f) = [0, + ] y su grafica es la unin de dos rectas simtricas respecto al eje y.

X

y = |x|

y

d. Funcin Lineal Su grfica es una lnea recta y se define por:

( ){ }bxayRXRyxf +== /, Donde: a y b R; b 0


12

D(f) = R

R(f) = R

xy

a

h

Si a > 0

V(h,k)

x

y

k

h

Si a < 0

V(h,k)


Adems: Si b > 0 la funcin lineal, es una funcin oferta.

Si b < 0 la funcin lineal, es una funcin demanda.

e. Funcin Cuadrtica Su grafica es una parbola con eje perpendicular al eje x:

( ){ } )1......(/, 2 cbxayRXRyxf ++==Donde: a, b y c R; a 0

De donde:

Si a > 0 la parbola se abre hacia arriba.

Si a < 0 la parbola se abre hacia abajo

V(h, k) se llama vrtice de la parbola.

El dominio de la funcin cuadrtica es: D(f) = R

El rango se determina completando cuadrados en la variable x:

Como: y = ax2 + bx + c y = a

bca

bxabxa

42

222

+

++

y = abac

abxa

44

2

22

+

+

Luego: y - k = a (x - h)2..(2)

Obtenindose el vrtice de la parbola: V(h, k)__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez

13


Donde: h = - 4

b-4ac k ;2

2

aab

=

La expresin (2) es equivalente a expresin (1)

Luego: Si a > 0 se tiene D(f) = R y R(f) = [ +,K a < 0 se tiene D(f) = R y R(f) = ]K,

Adems teniendo en cuenta ecuaciones (1) (2) y la grfica de la funcin

cuadrtica, se tiene:

i) Si a > 0 entonces la parbola se abre hacia arriba y tiene un valor

mnimo en y = k, cuando x = h. La curva es cncava (el vrtice es el

punto ms bajo de la curva). Se dice tambin que es una funcin de

oferta parablica.

ii) Si a < 0 entonces la parbola se abre hacia abajo y tienen un valor

mximo en y = K, cuando x = h.

La curva es convexa o cncava hacia abajo (el vrtice es el punto

ms alto de la curva). Se dice tambin que es una funcin de

demanda parablica.

Ejemplos1. Sea la funcin f(x) = x2 6x + 13

Para hallar el valor mximo o mnimo (vrtice de la parbola) tenemos

dos procedimientos:

i) Sabemos que y = ax2 + bx + c, de la cual mediante

completar cuadrados se obtiene el vrtice de la parbola: V(h,k)

donde:

abh2

= y aback

44 2

=

Luego, de la ecuacin dada: y = x2 6x + 13

Se obtiene: a = 1; b = -6 y c = 13

De donde: 3)1(26

=

=h


14

xy

4

3

V(3,4)

y = x2 - 6x + 13


4)1(4

)6()13)(1(4 2=

=k

Entonces vrtice de la parbola: V(3,4)

Finalmente, como a = 1 > 0 entonces la parbola se abre hacia arriba

y tienen valor mnimo en y = 4 cuando x = 3.

Grficamente:

ii) Expresando y = x2 + 6x + 13 en la forma (2) dada anteriormente:

y k = a (x - h)2

Completando cuadrados en la variable x:

Como: y = x2 6x 13

Dividimos el coeficiente de x entre 2 y el resultado elevado al cuadrado

sumamos y restamos, esto es:22

2

2613

266

+

+= xxy

De donde: 91336 22 ++= xxy

Luego: y = (x 3)2 + 4

Finalmente: y 4 = (x + 3)2: forma deseada

De donde vrtice: V (3,4)

Luego, como a = 1 > 0 entonces la parbola se abre arriba y tienen valor

mnimo en y = 4 cuando x = 3.


15


2. Sea y = 16 8x 2x2. Hallar su valor mximo o mnimo.

SolucinExpresaremos y = 16 8x 2x2 en la forma:

y k = a (x - h)2

Como : y = 16 8x 2x2

Ordenando: y = -2x2 8x + 16

Multiplicando por 1 ambos extremos:

- y = 2x2 + 8x - 16

Dividiendo entre 2 a toda la ecuacin, para que el coeficiente de x2 sea 1:

842

2+= xxy

Completando cuadrados en la variable x:

222 )2(8)2(42

++= xxy

de donde:

24)2(2

12)2(2

2

2

+=

+=

xy

xy

Cambiando de signo:

Y = -2(x + 2)2 + 24

Ordenando: y 24 = -2 (x + 2)2 : forma deseada

De donde el vrtice es: V (-2, 24)

Luego, como a = -2 < 0 entonces la parbola se abre hacia abajo y tiene

valor mximo en y = 24 cuando x = -2.

Grficamente


16

xy

24

-2

V(-2,24)

y = 16 - 8 2x2

X

6

-3


3. Dadas las siguientes ecuaciones:

a) y = 2x + 6 b) y = | x | + 2

c) y = 3 d) y = x2 4

Para cada caso:

- Asignar nombre que le corresponda segn las funciones reales especiales

- Graficar y hallar dominio y rango

Solucin

a) y = 2 x + 6 : Funcin lineal

Grfica:

D(f) = R Para graficar:

R (f) = R


17

En la ecuacin si x = 0 entonces y = 6 y si y = 0 entonces x = -3. Luego unir los puntos por la lnea recta.

x2-1

y

X

y = 33

y

- 2- 1

y

-2 2

- 4


b) y = | x | + 2 : Funcin valor absoluto

Grfica:

D(f) = R

R (f) = [2, + }

Para graficar:X ... -2 -1 0 1 2 ...

. 4 3 2 3 4 ...y = |x| + 2

c) y = 3 : Funcin constante, donde constante c = 3

Grfica:

D(f) = R

R (f) = 3

d) y = x2 4 : Funcin cuadrtica

Grafica:

D(f) = R

R (f) = [-4 , + }

Vrtice V (0, -4) la funcin tiene un valor mnimo relativo en y = -4 cuando x = 0


18

x x

y


Para graficar:

X ... -2 0 2 ... . 0 -4 0 ...y = x2 - 4

1.6. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES A LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS CONCRETOS

1. Un agricultor dispone de 80m. de alambre y desea cercar un

terreno de forma rectangular. Si uno de los lados no necesita cerco, Cules

sern las dimensiones del terreno para que el rea sea la mxima?

SolucinSean x e y dimensiones del terreno

rea del terreno: A = x.y (1)

Permetro por cercar: 2x + y por dato: 2x + y = 80 .(2)

Despejando y en (2): y = 80 2x .. (3)

(3) en (1) : A = x . (80-2x)

De donde: A(x) = 80x 2x2: A(x) es una funcin cuadrtica

Luego completando cuadrados se obtiene:

A(x) 800 = - 2 (x - 20)2:

Expresin similar a: y k = a (x - h)2

Por lo tanto vrtice : V(20, 800)

De donde, como a = -2 < 0 entonces la funcin A (x) tiene un valor mximo

de 800 cuando x = 20(ancho). Luego en (3):

Y = 80 2(20) = 40 (largo)

Rspta. Las dimensiones del terreno deben ser ancho 20 m. y largo 40m, a fin de obtener un rea cercada mxima de 800 m2.

2. Una pequea empresa puede producir ciertos artculos a un

costo de S/. 20 cada uno. Se estima que si el precio de venta de cada


19


artculo es x soles, entonces se vendern al mes 80 x artculos. Cul

deber ser el precio de venta de cada artculo, para obtener la mxima

utilidad mensual?

SolucinSea x = Nmero de artculos por producir y vender.

Como : Utilidad = Venta costo

Entonces U(x) = V(x) C(x) (1)

Hallando venta: como se venden 80 x artculos a x soles cada uno,

entonces:

V(x) = x (80 - x) .(2

Hallando costo: Es igual al producto del costo de cada artculo por el

nmero de artculos vendidos(los que debieron ser producidos) , esto es:

C(x) = 20 (80 - x) . (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1):

U(x) = x(80 - x) 20(80 - x)

De donde se obtiene: U(x) = -x2 + 100x -1600

Luego, completando cuadrados obtenemos:

U(x) 900 = -(x - 50)2

Expresin similar a: y k = a (x - h)2

Por lo que, como a = -1 < 0, entonces la funcin U(x) tienen un valor

mximo en U(x) = 900 cuando x = 50.

Rspta. Debern producirse y vender 50 artculos al mes para obtener una utilidad mxima de S/. 900

3. En una empresa se obtiene los siguientes datos:

x unidades 0 10 20 30 40

C(x) soles 35 85 135 185

235

Donde : C(x) = costo__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez

20

82)( 2 ++= xxxf


Se pide: a) Determinar la funcin lineal de costo

b) Hallar costo para 10 000 unidades

Solucina) Por definicin de funcin lineal:

C(x) = a + bx (1)

Donde: a es intercepto con eje vertical,

cuando x = 0, entonces en este caso:

a = 35 (2)

b es pendiente, entonces:

50103585)(

=

=

=

xxCb

Como la pendiente de una funcin lineal es constante, entonces:

b = 5 . (3)

Finalmente (2) y (3) en (1):

C(x) = 35 + 5x : Funcin lineal de costo

b) Como: C(x) = 35 + 5X y x = 10000

Entonces: C(10000) = 35 + 5 (10 000)

De donde: C (10 000) = 50035

Por lo tanto, el costo para 10 000 unidades es de S/. 50035.

AUTOEVALUACIN 1

1. Hallar dominio y rango de la siguiente funcin:

A) [-2, 0] B) [-2, -1] C) [-2, 4] D) [3, 4] E) [1, 2] 2. Si f representa una funcin dada por:


21


f = {(2, x + y), (3,4), (2,10), (3,x-y)}

Cul o cules de los siguientes conjuntos son funciones?

g = {(x, 3), (y, 5), (x+y, 4)

h = {(x-y, 4), (x, 2), (4,3)}

i= {(8,2), (y, 4), (x, 2)}

A) g y h B) slo g C) todas D) g e i E) N.A.

3. Sea M = {x Z / 1 < x < 10} Si f = {(x, y) M x M / x + y = 12} y si a es la suma de todos los elementos del D(f) y b es la suma de todos los elementos del R(f). El valor de E = a + b es:

A) 42 B) 50 C) 84 D) 60 E)N.A.

4. La utilidad obtenida al vender X artculos es descrita por U(x)=30X+1200

soles. Si en el ltimo mes se obtuvo una utilidad de 16200 soles. Cuntos

artculos se vendieron?

A) 630 B) 50 C) 1300 D) 820 E) 500

5. Sea f (x) = ax + b una funcin tal que:

f (1) = -2 y f (3) = 1

Hallar el valor de: a + b

A) -1 B) 2/3 C) 0 D) -2 E) 4

6. Para la funcin cuadrtica 64)( 2 ++= xxxf su valor mnimo est dado en:

A) y = -2 B) y = 4 C) y = 2 D) y = 5 E) y = -4

7. Hallar el valor de E = m + n, sabiendo que el conjunto:

{(n; m+n), (n; 12), (m; m-n), (m; 2)} es una funcin

A) 10 B) 11 C) 12 D) 15 E) 208. Graficar en el plano cartesiano:

xya 483) = 29) 2 += xxyb 32) ++= xyc


22


CAPTULO 2

LMITES Y CONTINUIDAD

2.1. NOCIN INTUITIVA DE LMITEEs nuestra vida cotidiana se presenta situaciones tales como: llegaste cerca de

la hora de ingreso al trabajo, ests muy cerca de culminar tus estudios

universitarios, estuvimos cerca de la produccin mxima de conservas en la

empresa. Ahora, traslademos estas ideas al lenguaje matemtico:

Sea la funcin: 3;;2)( += xRxxxf

Si asignamos valores a X cercamos a 3 Qu sucede con )(xf ?

Del enunciado planteado se desprende que la funcin 2)( += xxf est

definida para todo nmero real, excepto para 3=x , lo cual nos llevar a la

siguiente tabla:

X 2 2,5 2,9 2,99 3 3,01 3,1 3,5 4 2)( += xxf 4 4,5 4,9 4,99 5 5,01 5,1 5,5 6

De donde se deduce que, al aproximar los valores de X cercamos al valor 3, se

tiene que las imgenes )(xf se aproximan al valor 5.

Simblicamente:

Cuando 3x , se tiene que 5)( xf

Escribiendo, luego: 5)(lim3 = xfx y se lee: El lmite de )(xf es 5,

cuando x se aproxima o tiende a 3


23


2.2. DEFINICIN FORMAL DE LMITE

Sea f una funcin definida en algn intervalo abierto que contenga a 0x . El

lmite de dicha funcin f(x) cuando x tiende a 0x es L y se escribe

Lmlix0

=f(x)x , si y solo si 0 > , 0> tal que

| | | | Existe

tal que< , 0> tal que

| | | |


Luego:

Demostrar que:

Solucin

Por definicin del lmite:

Lmlix0

=f(x)x , si y solo si 0 > , 0> tal que

| | | |


2.3. TEOREMAS Y PROPIEDADES PARA CALCULAR LMITES

Teorema 1:Si k es una constante y a un nmero cualquiera, entonces

Teorema 2:Para cualquier nmero dado a,

Teorema 3:Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

Teorema 4:


26


Teorema 5:

Teorema 6:Si f es un polinomio y a es un nmero real, entonces

Teorema 7:Si q es una funcin racional y a pertenece al dominio de q, entonces

Teorema 8:

2.4. Clculo de lmites. Calcular el lmite de una funcin, requiere aplicar los teoremas y propiedades en forma adecuada. Ejemplos:

Solucin

Solucin


27


Solucin

Solucin

Solucin


28


2.5. CLCULO DE LMITES PARA FORMAS INDETERMINADASCuando al calcular el lmite de una funcin se obtienen formas indeterminadas:

.,0

,00 ctecc = Se presentan dos casos:

a) Cancelacin de factores comunes: Factorizar numerador y/o denominador, luego cancelar los factores comunes.

Ejemplo

Calcular: 416lim

2

4

xx

x

Solucin

Al evaluar se obtiene 00

, factorizando el numerador se obtiene:

44lim

22

4

xx

x

( )( )( )4

44lim4

+=

xxx

x simplificando: x4

( )4lim4 += xx finalmente evaluando 844 =+=

b). Por racionalizacin: Para expresiones con radicales multiplicar numerador y denominador por la conjugada de cada una de las formas con radicales,

luego simplificar factores comunes.

Ejemplo

Calcular: 1

1lim1

xx

x

Solucin

Al evaluar se obtiene 00

; por lo que, multiplicamos numerador y denominador

por la conjugada de 1x que es 1+x

( )( )( )( )

( )( )1

11lim11

11lim1

1lim11

+=

+

+=

xxx

xxxx

xx

xxx

( ) 2111lim1

=+=+=

xx


29


2.6. LMITES LATERALES

Lmite lateral derechoSea f una funcin definida en todos los nmeros del intervalo abierto (a, c).

Entonces, el lmite de f (x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se

escribe

Lmite lateral izquierdoSea f una funcin definida en todos los nmeros de (d, a). Entonces, el lmite

de f (x), cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribe

Teorema 9

Ejemplos

Para los siguientes casos calcular los lmites indicados, si existen:

Solucin


30


Grficamente:

Solucin

Grficamente


31


Solucin

Grficamente:

2.7. LMITES INFINITOS Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin lmite a medida que

la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado.

Crecimiento infinito


32


Decrecimiento infinito

Teorema 13:

Teorema 14:

Teorema 15:

Teorema 16:


33


Teorema 17:

Asntotas Una asntota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente.

Trazar las asntotas, tanto verticales como horizontales, es de gran ayuda para

dibujar la grfica de una funcin.

Asntota verticalUna asntota vertical es una recta paralela al eje y.

Se dice que la recta x = a es una asntota vertical de la grfica de la funcin f

si por lo menos uno de los siguientes enunciados es verdadero:

Ejemplos

Calcular los siguientes lmites:


34


S o l u c i o n e s

1. Solucin:

2. Solucin:


35


3. Solucin:

4. Solucin:


36


5. Solucin:

6. Solucin:

2.8. LMITES AL INFINITO

Teorema de lmite18:

Asntota horizontalUna asntota horizontal es una recta paralela al eje x.__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez

37


Teorema de lmite19:

Ejemplos: Calcular los siguientes lmites

+

+

+

+ 1

1021lim.1

22

xx

xx

x

384358.9lim.2

+

+++ x

xxx

x

2.9. CONTINUIDAD DE UNA FUNCINNocin intuitiva de continuidadIntuitivamente una funcin es continua, si su grfica se traza sin levantar el lpiz

de la hoja de papel como en la figura No 1 y no como en la figura No 2.


38


-1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

4

Fig. N 01 Fig. N 02

Funcin continua Funcin discontinua

Definicin de continuidadLa funcin f es continua en el nmero a si f est definida en algn intervalo

abierto que contenga a a, y si para cualquier 0> existe un 0> tal que:


Clases de discontinuidad: La discontinuidad puede ser evitable o esencial.La discontinuidad evitable se denomina tambin discontinuidad de "hueco": en la grfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en

el punto del plano cartesiano cuyas coordenadas son (a, f(a)).

La discontinuidad esencial tambin recibe el nombre de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los lmites laterales existen pero son diferentes.

(Ver Fig.2)

Adems, podemos mencionar a la discontinuidad infinita, la cual sucede

cuando el lmite de la funcin es infinito, para x que tiende al nmero a.

Teoremas de continuidad

Ejemplos

Solucin

x -4 0 2f (x) -6 -2 0f (-3) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se

cumple; conclusin:


40


f es discontinua en -3.

Solucin

x -6 -1 0 2 3 5 6 9h(x) -0.5 -1 -1.25 -2.5 -5 5 2.5 1 f (4) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se

cumple; conclusin: f es discontinua en 4.


41


Solucin

x -4 -3 -2 -1 0 8y -0.5 -1 0 1 0.5 0.1

{ }21324 2

)(.4


5. Analizar si la funcin:

=)(xf 1,14

1,31,2

>

=

xx

+

1232

352234

24

23

++

+

xxxx


3. Calcular el siguiente limite: limx1

A) 0 B) -0,5 C) 0,5 D) 1 E) 2

4. En los parntesis escriba V si el enunciado es verdadero y F si es falso.a) El limite de una funcin, si existe, no siempre es nico ( )b) Evitable y esencial son clases de discontinuidad ( )

5. Dada la funcin:

>+

= 3,13,24)( 2

sixsixxf

Analizar continuidad en 30 =6. Calcular el siguiente lmite:

lim (x2 4x + 3) x-2

A) 10 B) 12 C) 14 D) 15 E) -8

7. Sea la funcin:

>+


DERIVADAS

3.1. INTRODUCCIN

Analicemos el siguiente grfico:

GRFICO N 01

En el grfico N 01 se ha trazado una recta tangente a los puntos:

A: Donde el valor del ngulo es menor de 90 (primer cuadrante) y el valor de

la pendiente de la recta, es positiva, pues la tangente de los ngulos

menores de 90 toman valores positivos.

La recta est inclinada a la derecha del grfico de la funcin dada.

B: Donde el valor del ngulo es mayor de 90 (segundo cuadrante) y el valor

de la pendiente de la recta, es negativa, pues la tangente de los ngulos

mayores de 90 toman valores negativos.

La recta est inclinada a la izquierda del grfico de la funcin dada.

C y D: Donde el valor del ngulo es igual a 0 y el valor de la pendiente de la

recta, es cero, pues la tangente de 0 es tambin cero.

La recta es horizontal al grfico de la funcin dada.

E: El valor del ngulo es menor de 90, el valor de la pendiente de la recta es

positiva. Tal como en el punto A.

De otro lado, dados los grficos:


45

y

X

A B

C

D

E

xy

dxdyxf

x

== 0

lim)('


En el grfico N 02:

Se ha trazado una secante que corta a la curva en los puntos A y B, cuyas

coordenadas respectivas son:

A (X, Y) y B (X1, Y1)En el tringulo rectngulo ABC del grfico N 03 formado, se obtiene:

x = x1 - x Es la variacin de las abscisas y se lee: Delta de x

y = Y1 - Y Es la variacin de las ordenadas y se lee: Delta de y

3.2. DERIVADA DE UNA FUNCIN La derivada de una funcin, se expresa como el lmite de y / x cuando x se acerca o tiende a cero y cuya expresin es la siguiente:


46

x

Y

B (x1 y1)

xx1

y1

X

Y

A

B

C X

Y

GRFICO N 02 GRFICO N 03

A (x y)

Y

0xx

)x(f)xx(flimdxdy

+=


Interpretacin geomtrica. En el grfico siguiente, se observa que cuando el punto B imaginariamente se aproxima al punto A, la secante se transforma en tangente y x en cero, es decir los puntos A y B se confunden.

Reemplazando y por su valor: y = Y1 - Y; obtenemos en la expresin

matemtica de la derivada:

limdxdy

=

xy

lim= x

yy1

x 0 x 0

Adems por ser 11 y)x(f = y y)x(f = segn el grfico N 02 y

reemplazando en la ecuacin anterior, obtenemos:

limdxdy

= ( ) ( )

xxfx1f

x 0

Pero adems x = x1 - x Despejando x1: x1 = x + x . Obteniendo finalmente la definicin de la derivada:

(1)


47

Y

X

Y

B

A

C

x


Por lo que, geomtricamente, la derivada se interpreta como la pendiente de la

recta tangente a la curva en un punto determinado.

Notacin. La derivada de una funcin se denota por:

f '(x) = dxdy

3.3. DEDUCCIN DE REGLAS DE DERIVACIN

Para deducir algunas reglas de derivacin aplicaremos la definicin de la derivada (Expresin 1). Esto es:

a. Sea f(x)= x : Funcin identidad

Luego, al aplicar la definicin de la derivada (Expresin 1), obtenemos:

xxlim

xx)xx(lim

dxdy

=

+

=

x 0 x 0

Despus de simplificar y calcular el lmite, se obtiene:

1dxdy

=

Cul es la interpretacin del resultado?

Que si la funcin es f(x) = x su derivada es dxdy

= 1

b) Se f (x) = x2 Reemplazando en la frmula general (1).

Desarrollando el binomio y simplificando x2:


48

( )0x

x

2x2xxlimdxdy

+=


x

2xxx2limx

2x2xxx2x2limdxdy

+

=

++

=

x 0 x 0

Factorizando x en el numerador y simplificando con el denominador.

xxx

xxxdxdy +=

+

= 2lim)2(lim

x 0 x 0

Calculando el lmite obtenemos finalmente:

x2dxdy

=

Interpretacin:

Si la funcin es f (x) = x2 su derivada es 2x

Ahora se puede llevar a una generalizacin :

Si 3x)x(f = su derivada ser dxdy

= 3x2

Si 4x)x(f = su derivada ser dxdy

= 4x3

De donde: Si f ( x ) = xn, entonces dy/dx = nxn - 1

c) Derivada de una funcin Constante.

Si c)x(f = ; c= Constante, entonces:

0x

0x

cclimx

)x(f)xx(flimdxdy

=

=

=

+

=

x 0 x 0Esto significa que la derivada de una constante o nmero, por ejemplo: - 3, - 5,

1, 10, 50, siempre ser cero. Puesto que, el grfico de una funcin constante

es una recta paralela al eje x, por ser su ngulo cero, su tangente cero, su

pendiente cero y por lo tanto su derivada.

d) Derivada de una Constante por x__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez

49


Sea la funcin =)x(f c x ; donde: c= Constante

Aplicando la frmula general y realizando operaciones:

xcxxcxclim

xcx)xx(clim

dxdy

+

=

+

= Simplificando cx

x 0 x 0

cxxclim

dxdy

=

= Simplificando x

x 0

Interpretacin: Esto significa que si una funcin es por ejemplo: - 3x, 8x, 10x,

12x, sus derivadas respectivas sern: - 3, 8, 10, 12.

Resolvamos, ahora, el siguiente ejercicio:Aplicando la definicin de la derivada, hallar la pendiente de la recta tangente a

la funcin f(x)=4-x2 en el punto xo=3; es decir, hallar f'(3)

En Efecto

Definicin de la derivada: h

xfhxfxf

h

)()(lim)(' 00

00+

=

Tambin se usa: h = xLuego, para el caso solicitado se tiene:

)1..(..........)3()3(lim)3('0 h

fhffh

+=

Como: 24)( xxf = , entonces

)2(....................594)3( ==f

2)3(4)3( hhf +=+

)3.....(..........65

6942

2

hhhh

=

=

Reemplazando (2) y (3) en (1):

hhhf

h

565lim)3('2

0

+=

, de donde


50


6lim)6(lim)3('00

==

= hh h

hhf

Por lo tanto: 6)3(' =f

3.4. REGLAS DE DERIVACIN

Sean u(x) , v(x) y w(x) funciones de x; c una constante, luego se

tienen las siguientes reglas de derivacin:

1) dxd

( x ) = 1

2) dxd

(c ) = 0

3) dxd

(Xn ) = n x n-1

4) cxdxcxd

=

)(

5) =dxud n )(

n u 1n '1 uundxdu n

= Funcin Compuesta

'Donde u es la derivada de u respecto de x

6) =+dxwd

dxvd

dxud )()()(

dxdw

dxdv

dxdu

+

7) dxdu

dudy

dxdy .=

8) '')( vuuv

dxduv

dxdvu

dxuvd

+=+=


51


La derivada de un producto de dos funciones: es la primera funcin, por la

derivada de la segunda, ms la segunda funcin por la derivada de la primera".

Ejemplo

Derivar 2(4 1)(10 5)y x x= + Solucin

2

2

2 2 2

2

(4 1) ' 4(10 5) ' 20

08,:

' ' (4 1)20 (10 5)4

(4 1)20 (10 5)4 80 20 40 20

120 20

u x uv x v xAplicando la frmula No del productode dos funcionesdy uv vu x x xdxEfectuando operaciones y simplificandody x x x x x xdxdy xdx

= + =

= =

= + = + +

= + + = + +

= + 20x

9)

vdxdvu

dxduv

dxvud

2

)/( =

= vuvvu2

''

La derivada de un cociente de dos funciones es: la segunda funcin (v) por la

derivada de la primera, menos la primera funcin (u) por la derivada de la

segunda, entre la segunda funcin (v) al cuadrado.

Ejemplo

Derivar:2(4 1)

(2 3)xyx

+=

uyv

=

Solucin


52


2

2 2 2

2 2 2

2

2

(4 1) ' 8(2 3) ' 2

09,:

' ' (2 3)8 (4 1)2 16 24 (8 2)(2 3) (2 3)

8 24 2(2 3)

u x u xv x vAplicando la frmula No del cocientede dos funcionesdy vu uv x x x x x xdx v x xEfectuando operaciones y simplificandody x xdx x

= + =

= =

+ += = =

+=

10) =dxud )(ln

u1

'1 uudx

du=

ln: Logaritmos Neperianos

Ejemplo Derivar: 2ln(3 4)y x=

Solucin

2 2

2 2

ln(3 4) (3 4) ' 610 log :

1 1 1 6' (6 )(3 4) (3 4)

y x u x u xAplicando la frmula No del aritmo naturaldy du xu xdx u dx u x x

= = =

= = = =

11) =dxed u)( eu 'uedx

du u=

e: Base de los logaritmos naturales (2,718)

Ejemplo Derivar: 3xy e=Solucin


53


3

3 3

3 ' 3exp 11

' ( 3) 3

x

u u x x

y e u x uAplicando la frmula onencial Nody e du e u e edx

= = =

= = = =

Ejemplos de aplicacin

Derivar y verificar la solucin aplicando las reglas respectivas:

1) =y 1423 2135 ++ xxx Derivada de un polinomio

Solucin: ='y 2/144 2615 ++ xxx

sup :

' r '( )

Por uesto quedyy Es p imera derivada o f xdx

=

2) =y 21

2

2

+

xx Derivada de un cociente

Solucin:

='y 22 )2(6+xx

3) =y )1)(1( 22 + xx Derivada de un producto

Solucin: ='y 34x

4) =y )1)(2 22( + xxx Derivada de un producto

Solucin:

='y 2264 23 + xxx


54


5) =y 23 xe Derivada de una funcin exponencial

Solucin: ='y - 236 xxe

6) 74)(

2

+=

xxxxf Derivada de un cociente

Solucin:

='y 22

)7(2814

xxx

3.5. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIORAl aplicar las derivadas es necesario hallar ms de una derivada de una

funcin. Esto es, si queremos hallar la segunda derivada entonces debemos

derivar otra vez la primera derivada. Si derivamos otra vez la segunda

derivada, se obtendr la tercera derivada y as sucesivamente.

As tenemos:

Sea la funcin y = f(x) , luego:

y ' = dxdy

: Primera derivada

y '' = 2

2

dxyd : Segunda derivada

y ''' = 33

dxyd : Tercera derivada

.

.

.

.

yn = nn

dxyd = f n(x) ; n-sima derivada

Evaluacin de derivadasPara evaluar derivadas tener en cuenta la siguiente notacin:__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez

55


)(xf n o f n(xo)

x=x0

Cuyo significado es, evaluar la n-sima derivada de la funcin )(xf en el

punto x = x0

Ejemplo 1

Sea: xxxxf 42)( 34 +=

Hallar: )('' xf X = -1SolucinHallamos primera derivada:

464)(' 3 += xxxfHallamos la segunda derivada:

612)('' = xxf

Finalmente, evaluamos la segunda derivada en x = -1

6)1(12)1('' =f Ejemplo 2

Para cada funcin hallemos su segunda derivada:

a) 322)( xxf = y = -12x

b) xxxf 33)( 3 =

y = 18x

c) 11622)( 23 ++= xxxxf y = 12x + 4

18=


56


3.6. APLICACIONES DE LA DERIVADA 3.6.1. Razn de cambio Sea la funcin y=f(x), la relacin funcional establece una cierta nocin dinmica, en el sentido que, si la variable independiente x sufre un cambio, esto determina un cambio tambin en la variable dependiente y. Estos cambios son posibles de medicin y comparacin, como resultado de aplicar la

derivada.

EjemploLa relacin entre las ventas V y el costo de publicidad P para un producto est

dado por:

V = 4 (P2 - P)

Hallar la rapidez de cambio en las ventas, para un costo de publicidad P = 5000

soles:

SolucinRelacin entre V y P: V(P)=4 (P2-P)

Razn de cambio: dPdV

Nos piden, calcular la primera derivada y evaluar en P= 500. Esto es:

39996)1)500(2(4)2(4 500500 === == PP PPdPdV

Rspta. Para un costo en publicidad de 5000 soles la rapidez de cambio en las ventas es de 39 996 soles.

3.6.2. Anlisis de crecimiento y decrecimientoEsta aplicacin est orientada a reconocer cuando y dnde una funcin es

creciente o decreciente, lo cual es importante para el tema de mximos y

mnimos, que ser abordado ms adelante.

Consideremos las siguientes grficas:


57

x x(1) (2)

f(x) f(x)


Al trazar las grficas de izquierda a derecha, se observa que en (1) y (4) la

funcin crece en un cierto intervalo. Mientras que en (2) y (3) la funcin decrece

en un cierto intervalo.

Definicin. Si la funcin f(x), derivable en un intervalo, crece en dicho intervalo, entonces su primera derivada es positiva; y si la funcin decrece,

entonces la primera derivada es negativa.

EjemploSea f una funcin definida por f(x)=x2

Hallar los intervalos en donde f es creciente o decreciente.

SolucinBastar encontrar la primera derivada, esto es: f(x)=2x

Aplicando la definicin, tenemos:

1) f(x) > 0 si 2x>0 de donde x > 0

Entonces f es creciente en (0,+ )

2) f(x) < 0 si 2x


3.6.3. Valores extremos de una funcin Una de las aplicaciones ms importantes de la derivada es el estudio de los

valores extremos (mximos y mnimos) de una funcin. Lo cual es gran utilidad,

como por ejemplo para determinar el costo mnimo de cierto producto o calcular

una utilidad mxima.

Valor mximo. La funcin f(X) tiene un valor mximo en x1, si su valor aqu es mayor que en cualquier otro punto x de cierto intervalo que comprenda el punto

x1.

Valor mnimo. La funcin f(X) tiene un valor mnimo en x2, si su valor aqu es menor que en cualquier otro punto x de cierto intervalo que comprenda el punto

x2.

Criterios para determinar los valores extremos:

Criterios de anlisis de los mximos y mnimos de una funcin:A. Criterio de la primera derivada Sea la funcin derivable y=f(x), luego:

1. Hallar f'(x)

2. Hallar los puntos crticos c de f'(c) = 0

3. Efectuar anlisis del signo de la derivada, tal como sigue:

mximotienefuncinlaenxxxparaxfxxparaxf

Sii ,,0)(,0)(

) 11

1

>>


ii) Si f''(c) < 0 , entonces f(c) es un valor mximo relativo en x=c

Consideraciones para hallar valores extremos de una funcinCuando un punto, en el grafico de una funcin es un mximo o un mnimo su derivada es cero. Esto es:

a) En un Mximo: La derivada 0dxdy

= pues la pendiente de la recta tangente

es m = 0

Recordemos que:La derivada de una funcin, representa la pendiente de la recta tangente al grfico de una funcin en un punto dado

Punto CrticoGrafico N 01


60

m = m = -

xIzquierda Derecha

Mximo

m = 0


En el grfico N 01 a la izquierda del punto crtico (x) donde hay un mximo, la pendiente de la recta es positiva m = + y a la derecha del punto crtico (x), la pendiente es negativa m = -

b) En un Mnimo: Tambin 0dxdy

= pues la pendiente de la recta es m = 0

Punto crtico

Grafico N 02

En el grfico N 02, a la izquierda del punto crtico (x ), la pendiente de la recta es negativa m = - y a la derecha del punto crtico (x ), la pendiente de la recta es positiva m = +

Ejemplo Hallar los valores mximos y mnimos de la funcin:

2x43x

344xy +=

Solucin

Aplicando criterio de la primera derivada.

1er paso: Derivar la funcin dada: 2x43x344xy +=

x)2(42x)3(343x4

dxdy

+= Efectuando las operaciones


61

m = 0

m = -

xIzquierda Derecha

Mnimo m =+


x82x43x4dxdy

+= Derivada de la funcin

2do paso: Igualar a cero la derivada

0dxdy

=

Pues en los mximos y mnimos de una funcin sus derivadas son cero, luego:

0x82x43x4 =+

3er paso: Hallar los puntos crticos

Para ello, resolvemos la ecuacin anterior:

0x82x43x4 =+

Factorizando x4 (por ser factor comn)

0)2x2x(x4 =+0)1x()2x(x4 =+

Igualando a cero cada factor:

0x4 = 0)1x()2x( =+ 01x02x ==+ De donde

Ahora debemos formular las siguientes preguntas:Qu representan x = 0, x = -2, x = 1?

Mximos Mnimos?

El siguiente paso permite responder a las preguntas4to paso: Para cada punto crtico, se dan valores supuestos: a) Primero ligeramente menor (a la izquierda).

b) Luego ligeramente mayor (a la derecha).

Para x = 0Menor que cero: 5,0x = (Negativo)


62

01x = 22x = 13x =


Se reemplaza en la derivada y se determina su signo (valor de la pendiente).

)1x()2x(x4dxdy

+=

(4)( 0,5)( 0,5 2)( 0,5 1)

( 2)( 1,5)( 1,5)

dydxdydx

= +

= +

El producto resultante de los signos es positivo:

( )( )( )dydx

= +

Por lo que, pendiente = =dxdy

Mayor que cero: 5,0x = (Positivo)

)1x()2x(x4dxdy

+=

(4)(0,5)(0,5 2)(0,5 1)

(2)(2,5)( 0,5)

dydxdydx

= +

=

El producto resultante de los signos es negativo:

)()()(dxdy

++=

Por lo que, pendiente = )(dxdy

=

Tener presente que slo interesa el signo y no el valor

Conclusin: Segn el grfico N 01, la pendiente cambia de ms a menos y por lo tanto x = 0 representa un mximo.


63


Para x = 1, siguiendo el mismo procedimiento, consideremos valores menor y mayor que 1.

Menor que 1: 5,0=x Se reemplaza en la derivada y se determina su signo (valor de la pendiente).

)1x()2x(x4dxdy

+=

(4)(0,5)(0,5 2)(0,5 1)

(2)(2,5)( 0,5)

dydxdydx

= +

=

)()()(dxdy

++=

Por lo que, pendiente= )(dxdy

= Negativa

Mayor que 1: 5,1=x Se reemplaza en la derivada y se determina su signo (valor de la pendiente).

)1x()2x(x4dxdy

+=

(4)(1,5)(1,5 2)(1,5 1)

(6)(3,5)(0,5)

dydxdydx

= +

=

)()()( +++=dxdy

Por lo que, pendiente = )(dxdy

+= Positiva

Conclusin: Segn el grfico N 02, la pendiente cambia de menos a ms y por lo tanto x = 1 representa un mnimo.

Para x = - 2, de igual forma tomando valores menor y mayor que x= -2

Menor que -2: 5,2=x


64


)1x()2x(x4dxdy

+=

)15,2()25,2()5,2(4 +=dxdy

)5,3()5,0()10( =dxdy

)()()( =dxdy

Pendiente = )(dxdy

=

Mayor que -2: 5,1=x)1x()2x(x4

dxdy

+=

)15,1()25,1()5,1(4 +=dxdy

)5,2()5,0()6( =dxdy

)()()( +=dxdy

Pendiente = )(dxdy

+=

Conclusin: x = - 2, representa un mnimo, pues la pendiente cambia de menos a ms.

5to paso: Despus de hallar los puntos crticos es necesario hallar la ordenada, reemplazando los puntos crticos en la funcin original:

2x43x344xy +=

Si x = 0 entonces 02x43x344xy =+=

Si x = 1 entonces352)1(43)1(

344)1( =+=y

Si x = - 2 entonces3

322)2(43)2(344)2( =+=y

6.- Finalmente tenemos que:

(0, 0) Es un mximo__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez

65


(1, - 5/3) Es un mnimo( - 2, - 32/3) Es un mnimo

7.- Su grfica es:

1 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4

1 1 1 0

9 8 7 6 5 4

3 2 1

1234

56789

1 01 1

Aplicando el Criterio de la Segunda DerivadaResulta muchas veces engaoso hallar valores mayores y menores que los puntos crticos, por lo tanto, se puede aplicar la segunda derivada, para hallar los mximos y mnimos de una funcin.

Trabajemos con el mismo ejemplo anterior:

Hallar los mximos y mnimos de la funcin 2x43x344xy += aplicando

criterio de la segunda derivada.Solucin

1 Derivar la funcin dada:

2x43x344xy +=


66


x82x43x4dxdy

+=

2 Igualar a cero la derivada hallada:

0x82x43x4 =+

3 Hallar los puntos crticos de x, resolviendo la ecuacin resultante:0x82x43x4 =+

02x2xx4 = +( ) ( ) 01x2xx4 =+

01x = 22x = 1x =Hasta aqu los pasos son los mismos que en la primera derivada.

4 Hallar la segunda derivada de la funcin:

8x82x122dx

y2d+=

5 Reemplazar los puntos crticos en la segunda derivada:

a) Si el signo resultante es POSITIVO es un MINIMO b) Si el signo resultante es NEGATIVO un MAXIMO.

Para x = 0

88)0(82)0(12882122

2=+=+= xx

dx

yd

822

=

dxyd (Signo Negativo)

Por lo tanto, para x = 0 tenemos un mximo.

Para x = -2

248)2(82)2(12882122

2=+=+= xx

dx

yd


67


=2dx

y2d (Signo Positivo)

Por lo tanto, para x= -2 tenemos un mnimo.

Para x = 1

128)1(82)1(12882122

2=+=+= xx

dx

yd

=2dx

y2d (Signo Positivo)

Por lo tanto, para x= 1 tenemos un mnimo.

6 Hallar los valores de la ordenada para cada punto crtico, en la funcin original.

243344 xxxy +=

Si x = 0 entonces y = 0

SI x = -2 entonces3

32=y

Si x = 1 entonces35

=y

7 Su Grfica Sera la misma dada anteriormente.Nota. A fin de orientar el uso de los criterios es necesario tener presente lo siguiente: Si la funcin es de tercer grado o mayor, debe utilizarse de preferencia el criterio de la segunda derivada y, si es de segundo grado, debe utilizarse el criterio de la primera derivada.

3.6.4. Concavidad y convexidad de una funcin. Punto de inflexinLa curva y=f(x) es cncava hacia arriba en el intervalo (a, b), si todos los

puntos de la misma estn por debajo de cualquier tangente a la curva en dicho

intervalo

La curva y=f(x) es cncava hacia abajo en (a, b), si todos los puntos de la

misma estn por arriba de cualquier tangente a la curva en dicho intervalo


68

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7


Si la segunda derivada de la funcin f(x) es negativa en todos los puntos del

intervalo (a, b) es decir f''(x)0, entonces la curva es cncava hacia

abajo(llamada convexa) en dicho intervalo.

El punto que, en una curva continua, separa la parte convexa de la cncava, se

llama punto de inflexin de la curva.Teorema. Sea y=f(x) la ecuacin de una curva. Si f''(a)=0 f''(a) no existe, y la segunda derivada f''(x) cambia de signo al pasar por el valor x=a, entonces

el punto de la curva de abscisa x=a es el punto de inflexin.

En la siguiente grfica

Apreciamos que:

-La curva es cncava hacia abajo en el intervalo (-2,0)

-La curva es cncava hacia arriba en el intervalo (0,2)

- (0,1) es el punto de inflexin.

EjemploPara la funcin f(x)=12-12x+x3, hallar los intervalos de concavidad y su punto

de inflexin. Adems graficar:

SolucinPrimera derivada: f(x)=-12+3x2__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez

69


Segunda derivada: f(x)= 6x

Luego, la curva es cncava hacia arriba o cncava si:

f(x)>0 6x > 0 0 xDe donde, el intervalo donde la curva es cncava es:

(0, + )

Adems, la curva es cncava hacia abajo o convexa si

f(x)< 0 6x < 0 x < 0

De donde, el intervalo donde la curva es convexa es:

(- ,0)

La funcin si tiene un punto de inflexin, pues hay un cambio de concavidad,

o

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