LAS AVENTURAS MATEMTICAS DE DANIELLAS AVENTURAS MATEMTICAS DE DANIEL Editorial Impacto Graciela Barra Tllez 0381 Punta Arenas, Chile www.editorialimpacto.cl Danny Perich Campana, 2007 N Registro 166798 Registro de Propiedad Intelectual Chile www.sectormatematica.cl Diseo de Cubierta: Danny Perich Lara ISBN: 978-956-8680-008 Cmara Chilena del Libro Primera Edicin Marzo de 2008

A mi madre Leonor. A mi esposa Lucy. A mis hijos Danny, Fabin y Christian. A mi nieto Benjamn. Gracias por cederme su tiempo para hacer realidad este libro.

NDICEPresentacin ................................................................................................... 11 Inicio escolar .................................................................................................. 13 Adis Matemtica Moderna......................................................................... 17 Rumbo al Constructivismo .......................................................................... 23 Los problemas de los problemas ................................................................ 29 Conversando con Dios................................................................................. 39 Un mundo sin nmeros ............................................................................... 45 Temor, monedas, dados y azar.................................................................... 51 Las agujas y un enigma ................................................................................. 57 Conociendo la PSU....................................................................................... 63 Clculos y temblores ..................................................................................... 69 Fracciones continuas..................................................................................... 75 Asesinatos y fsiles........................................................................................ 79 Placas patentes ............................................................................................... 87 Verificando mi dgito .................................................................................... 93 Variaciones o Combinaciones?.................................................................. 97 El mayor, por ahora .................................................................................... 103 Bella y brillante............................................................................................. 107 Mi nombre es Carl Friedrich Gauss ......................................................... 111 El misterio de la Racionalizacin.............................................................. 115

Entre risas y semejanzas............................................................................. 119 El oro perfecto............................................................................................. 123 Atletismo numrico..................................................................................... 127 Modelos de la vida....................................................................................... 133 Preguntas que complican ........................................................................... 139 La disertacin de Mario.............................................................................. 149 Viernes cultural: Arqumedes y las comunicaciones .............................. 153 Cmo se lo digo? ....................................................................................... 159 Funcin comercial y geomtrica ............................................................... 163 No confundir ............................................................................................... 167 Taxi! .............................................................................................................. 171 Estadstica en la PSU .................................................................................. 175 Siempre positivo .......................................................................................... 181 La pena de la injusticia................................................................................ 185 Lenguaje algebraico con tortuga incluida ................................................ 189 Cine en el aula .............................................................................................. 195 Cigarras matemticas .................................................................................. 199 Cobro telefnico.......................................................................................... 203 Semana de la Matemtica ........................................................................... 209 Camino alrededor de la piscina ................................................................. 213 Preparando olmpicos................................................................................. 215 El Teorema del Viejo.................................................................................. 221 Mtodos varios ............................................................................................ 227 Un tartamudo famoso ................................................................................ 231 Verificando y cantando a Thales............................................................... 235 Circunferencia de la Tierra......................................................................... 243

La fiesta de los Primos................................................................................ 249 El calculista................................................................................................... 255 Coln y la mesa............................................................................................ 259 La bandera y su estrella solitaria................................................................ 263 Stand and Deliver........................................................................................ 269 Simetra con papel ....................................................................................... 271 Teselando...................................................................................................... 277 Concurso matemtico................................................................................. 283 Demostraciones?........................................................................................ 289 Preparando maletas..................................................................................... 301 Mundo fractal............................................................................................... 307 Timos matemticos ..................................................................................... 315 Demostracin visual ................................................................................... 319 Para que no queden dudas ......................................................................... 325 Bibliografa ................................................................................................... 331 Webgrafa...................................................................................................... 335

PRESENTACINDesde los inicios de la Reforma Educacional en Chile, se ha promovido la enseanza de la matemtica, enfatizando su aplicacin a la vida cotidiana. Sin embargo, hacer esta aplicacin es un desafo a los esquemas tradicionales de enseanza, a las visiones compartidas en el mundo social y cultural, y a las creencias que se tienen de la disciplina, especialmente los nios y jvenes que han fracasado en comprenderla, muchas veces a causa de de una enseanza sin sentido, descontextualizada y poco prctica. Nadie que piense en clase de matemtica, piensa en representaciones teatrales, exploraciones en terreno, disertaciones, poesas, cuentos, videos, jornadas culturales, proyectos sociales, etc. y menos si se refiere a la educacin media. La mayora pensara en el Baldor, con sus miles de ejercicios de clculos sin contexto, o en las guas de cien o ms ejercicios de un tema, como se ha enseado en la pedagoga tradicional por muchos aos. En la escuela, a los alumnos les gusta vivir experiencias de aprendizaje y, en matemtica, apreciaran que hubiese algo ms que guas llenas de ejercicios que al final terminan por desmotivarlo. Incluso, a veces, suelen odiar la matemtica, como ellos dicen por esta falta de conocimientos sobre su utilidad prctica en la vida cotidiana. Una matemtica con sentido implica reconocerla en el entorno inmediato, vivirla como una experiencia significativa, natural y concreta, de modo tal que les permita conocer su mundo matemtico, sintindose motivado por su hermosura, como le ocurre a los nios y jvenes con el estudio del arte, de la msica, de la educacin fsica, etctera. 11

Con esta visin, el autor de este libro ha implementado en su prctica de profesor de matemtica los cambios necesarios, para desarrollar el currculo aplicado a la vida cotidiana en la educacin media, mediante creativas, entretenidas y vibrantes actividades. Esta novela pretende aportar un modelo didctico que rompe los esquemas tradicionales de enseanza de la matemtica y del trabajo pedaggico de los profesores, a travs de un relato que mezcla la ficcin literaria con la matemtica viva y real, en innovadoras experiencias muy participativas y vivenciales donde la mediacin de los profesores se aprecia como fundamental para lograr, no slo que sus alumnos aprendan matemtica y gusten de ella, sino que le atribuyan el papel que le corresponde como herramienta desarrolladora primordial en el avance cientfico y tecnolgico. Esta novela de matemtica describe una realidad educativa desde las mltiples vivencias escolares, pero tambin propone soluciones metodolgicas, ideas, y actividades creativas e innovadoras para el abordaje didctico del sector en enseanza media. Pero lo ms importante que la novela destaca es que la renovacin pedaggica no slo es posible, sino necesaria para la generacin de cambios positivos en la formacin matemtica. El autor demuestra que una metodologa apropiada permite que los alumnos comprendan por qu y para qu se les ensea matemtica.

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INICIO ESCOLARTom las llaves de su auto, revis por ltima vez su maletn, para ver si tena todos sus materiales de planificacin, se despidi de su familia y, con paso firme, sali de su casa. Mientras conduca, escuchaba en la radio, las noticias de los arreglos en las calles y sus dificultades, las vas con posibles tacos, y como siempre ocurra en ese periodo, se comentaba el inicio de un nuevo ao escolar, aunque sus pensamientos estaban an en aquellos tranquilos das de vacaciones que lo renovaron de energa. Bueno Y aqu vamos de nuevo. Qu novedades tendremos este ao? Con este pensamiento, Daniel Mercado cruzaba el portal de su colegio. Profesor de Matemtica, titulado hace veintitrs aos, ya pintaban sus primeras canas y su piel reflejaba el inexorable paso de los aos. Trabajaba en el Colegio Nuevo Horizonte, desde haca doce aos, atendiendo a los alumnos de primero a cuarto ao de educacin media, aunque a veces por alguna necesidad, tambin deba cubrir los cursos de sptimo y octavo bsico. El Nuevo Horizonte, un establecimiento de muchos aos en la zona, en vista de los nuevos tiempos que corren, haba decidido incorporarse a la Reforma Educacional, que ya se haba iniciado algunos aos atrs en el pas y de la cual ellos no haban formado parte hasta ahora. Esto implicara un cambio importante tanto en sus planes de estudio como en las metodologas de los profesores del plantel. Esa era la gran novedad con la que se encontrara Daniel y todos los docentes del colegio en el primer Consejo General de Profesores. Despus de besos, abrazos y alegres relatos sobre las recin finalizadas vacaciones, Sonia Montenegro, Directora del colegio, inici el Consejo con la amabilidad de siempre, dando un breve saludo de bienvenida y anunciando grandes desafos para el nuevo perodo esco 13

lar, luego cedi la palabra al Jefe de la Unidad Tcnico Pedaggica, Freddy Santoro, quien dio a conocer los cambios que se avecinaban e inform que, para ayudar en esta nueva etapa del colegio, se haban contratado los servicios de destacados educadores, quienes dictaran un curso de una semana, maana y tarde, sobre los nuevos planes y programas de estudio, metodologas y evaluacin. La preocupacin por la informacin dada se hizo notar de inmediato, saban que se avecinaba un cambio total en el modo de ver y llevar a cabo las prcticas pedaggicas. Obviamente, la noticia dada fue comentario de toda la maana y mientras algunos ya conocan algo de ese modo de trabajo, la gran mayora senta el temor de enfrentar un cambio tan brusco, entre ellos Daniel. Su primer encontrn fue cuando le entregaron los nuevos Planes y Programas de estudio para el presente ao, los cuales debera leer y analizar con el objetivo de ir empapndose de los cambios anunciados. En una rpida hojeada, no hall algunos contenidos que l consideraba tpicos y necesarios en matemtica, como Lgica y Teora de Conjuntos, en especial las Relaciones, materia que daba en segundo medio y que a su parecer favoreca el razonamiento abstracto del educando y asentaba las bases para el futuro estudio de las Funciones. Tampoco estaban las Matrices ni los Determinantes. Daniel haba sido formado en la cultura de los Conjuntos, en el mundo de las uniones, las intersecciones, diagramas de Venn y otros conceptos afines que fueron siempre parte de su quehacer docente, pero desde ese instante comenzaban a cubrirse de pasado. Tambin cuestionaba los cambios en primero medio. Le incomodaba pensar que ya no tendra que explicar a sus alumnos y alumnas el famoso cubo de un binomio y el cuadrado de un trinomio, los cuales haca aprender de memoria y le permitan sentirse un rey frente a sus alumnos al recitrselo en apenas siete segundos cronometrados: el cubo de un binomio es igual al cubo del primer trmino, ms o menos el triple producto del cuadrado del primer trmino por el segundo trmino, ms (siempre ms) el triple del primer trmino por el cuadrado del segundo trmino, ms o menos el cubo del segundo trmino 14

Recordaba, con una pequea sonrisa, cuando a sus alumnos de cuarto ao medio les daba pequeas tareas, que deban entregar a las ocho horas del da siguiente y sin plazo adicional, por ejemplo, sobre clculo de determinantes 4 x 4 o 5 x 5 cuyos elementos eran generalmente binomios y que para realizarlos deban pegar de cuatro a seis hojas cuadriculadas, sumando restando y multiplicando enormes expresiones algebraicas que ponan a prueba su paciencia y tambin su estado fsico, ya que muy pocos alcanzaban a dormir con tal de entregar el trabajo en el horario acordado. Y las Identidades Trigonomtricas, con las que sus alumnos sufran ya que haba coleccionado unos ejercicios que costaban una enormidad demostrarlos y l lo saba

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ADIS MATEMTICA MODERNAAl da siguiente, tal como lo haba anunciado Freddy, Jefe de UTP, se iniciaba el curso sobre la Reforma Educacional. A Daniel le esperaban muchos momentos de preocupacin y de cuestionamiento sobre su trabajo realizado hasta la fecha. Ese da, tres de marzo, se reuni con Camila Bustamante, colega con la que trabajaba desde haca siete aos y a la que permanentemente surta de materiales de trabajo, muy apetecidos por los profesores de matemtica de la regin, ya que contenan enormes cantidades de ejercicios, de gran variedad, con un esquema que iba desde los ms fciles a los muy difciles, incluyendo algunos de misin imposible para los alumnos e incluso para algunos profesores. Juntos, se dirigieron al saln donde se reuniran todos los profesores que hacan clase de matemtica en el colegio, ms algunos invitados de otros establecimientos, donde se realizara la mayor parte de las actividades del curso. La introduccin estuvo a cargo del responsable de la actividad, el Dr. Julio Zelada, destacado matemtico e investigador nacional e internacional. En la actualidad comenz exponiendo el Dr. Zelada las metas de la enseanza de la matemtica son de consenso. Y este es un primer punto que todos ustedes deben tener claro. Hay acuerdo en saber qu se debe buscar en su aprendizaje, el tipo de enseanza adecuada a estos propsitos, el papel que juega la resolucin de problemas, y cmo influyen las creencias y actitudes de los profesores e investigadores en la bsqueda de estas metas. Esta nueva visin sobre la enseanza de la matemtica continu diciendo nos seala que esta debe realizarse en forma activa, dndole sentido al entorno y empleando toda la tecnologa disponible. Tambin define a la matemtica como una actividad social 17

y cultural en la que el conocimiento no se descubre, sino que se construye a partir de la experimentacin, formulacin, contrastacin y justificacin de conjeturas. Y algo muy importante, en lo que durante el curso se insistir, mirando el entorno desde un punto de vista matemtico en busca de patrones y regularidades en las situaciones problemticas. Pero no crean que esto es algo nuevo y que de un da para otro a todos se nos prendi la ampolleta y vimos todo con mucha claridad expres con una sonrisa Ya en el ao 1992 el destacado profesor Santal nos hablaba sobre esto. Les voy a leer lo que l sealaba en esos aos extrajo unos apuntes, cambi de lentes y ley: En pocas de cambios rpidos en la manera de vivir, como en la actual, si la educacin permanece estancada pronto se va alejando de la realidad y los educandos pasan a ser preparados para un mundo de otra poca, con necesidades muy distintas a las del presente. Con respecto a los contenidos de matemtica en los distintos aos, los cambios tecnolgicos y el crecimiento de las aplicaciones de la matemtica en las distintas reas del saber, obliga a cambios fundamentales. Deben suprimirse muchas cosas obsoletas e intiles y sustituirlas por otras actualmente tiles para muchas necesidades profesionales y para la comprensin de cmo funcionan muchas de las tecnologas del presente. Al terminar de leer hizo una gran pausa, mientras haca un recorrido con su mirada, observando a cada uno de los presentes. Para eso estamos hoy aqu dijo alzando la voz, para suprimir cosas obsoletas, para actualizarnos, para analizar nuestras metodologas, para no cometer el error de preparar a nuestros alumnos para un mundo que no existe. Por eso volvi a su tono normal, les deseo una excelente semana de reflexin y trabajo, les aseguro que una vez finalizado este curso, ustedes ya no sern los mismos. Un fuerte aplauso dio inicio al curso. Mientras se acomodaban los equipos para la primera exposicin, Camila y Daniel, conversaban sobre lo que viviran en unos pocos minutos ms. 18

Espero que no sea otro seor de oficina que nunca ha hecho clases que viene a hablarnos de la enseanza de la matemtica refunfu Daniel. Puede ser contest Camila, pero igual me interesa escuchar lo que se plantea ya que he odo tanto de los cambios en la educacin, especialmente en matemtica, que estoy impaciente por saber y entender bien de qu se trata. Mira amiga inquiri Daniel tomando una pose de entendido en la materia te aseguro que nos hablar de lo mismo de siempre, pero incorporando un vocabulario nuevo con el fin de hacernos creer de grandes cambios educativos. No lo creo seal Camila pensativa por lo que expres el Dr. Zelada al inicio del curso, hay otra visin de la matemtica y nosotros debemos cambiar nuestro enfoque de acuerdo a esa perspectiva. Escuchemos! Ya comienza. El conferencista inici su exposicin: Para entender los cambios actuales, hay que trasladarse en el tiempo y analizar otras reformas anteriores, tales como la ocurrida durante el perodo del surgimiento y expansin de la llamada Matemtica Moderna. Aunque les parezca extrao, esta reforma matemtica surge en los aos 60, tras el revuelo provocado por el lanzamiento al espacio del primer satlite artificial, el Sputnik I, creado por los rusos. Eran los tiempos de la Guerra Fra, por lo que este hecho preocup enormemente a las esferas polticas de Occidente Bastaron un par de frases para que los asistentes al curso se llevaran las primeras sorpresas, porque a pesar de estar entregando por muchos aos los contenidos basados en ella, jams haban sabido que ste pudiese estar relacionado con hechos histricos tan relevantes. La decisin fue unnime: haba que acelerar en ciencias, tecnologa y matemtica para competir, por lo que los gobiernos asumieron compromisos polticos y econmicos. La reforma de las matemticas se haca imprescindible 19

Daniel y Camila cruzaron sus miradas sin decir palabras, para no perderse ningn detalle de la exposicin. Durante el seminario de Royamount, celebrado en 1959, se establecieron las bases filosficas de este movimiento, cuando el famoso matemtico francs Jean Diudonn lanz el grito abajo Euclides!, contando con el apoyo de otro ilustre matemtico francs, Gustave Choquet. Pero lo ms decisivo, fue la primera Conferencia Interamericana sobre Educacin Matemtica celebrada en Bogot el ao 1961, cuando delegados de los pases americanos y famosos matemticos europeos se reunieron, bajo la direccin del matemtico norteamericano Marshall Stone. En aquella conferencia, se cre el Comit Interamericano de Educacin Matemtica para impulsar, en los diferentes pases, la reforma que modific currculos, programas, mtodos, objetivos y la visin de la naturaleza de las matemticas. El nfasis estaba dado en lo abstracto y deductivo, siendo su eje, la Teora de Conjuntos, las estructuras algebraicas y las generalizaciones abstractas. El conferencista hizo una pausa y Daniel aprovech de hacer un comentario. Esa es la materia que me gusta! No la vi, ayer, cuando le el programa de estudio! A m tambin me extra no ver esos contenidos confirm Camila. Fue as continu exponiendo el conferencista que las matemticas se cargaron de esa ideologa y de una mana por un purismo matemtico que las llev a distanciarse de las ciencias, de la tecnologa y de la economa. La reforma contribuy a uno de los principales defectos de la ciencia latinoamericana: el academicismo. Este movimiento internacional por la implantacin de nuevas matemticas, quera ensearlas como una disciplina integrada por los conceptos unificadores de los conjuntos, relaciones, funciones y operaciones, las estructuras fundamentales de grupo, anillo, cuerpo y espacio vectorial, y con la rigurosidad del llamado mtodo axiomtico. Otras propuestas eran, adoptar el simbolismo moderno, dar mayor importancia al empleo de grficas, la eliminacin de gran parte del lgebra tradicional; adems, 20

algo sumamente grave, la modificacin y prcticamente eliminacin de la geometra euclidiana tradicional Sabas algo de esto? pregunt Daniel, sorprendido y ahora interesado en el tema de la conferencia. Para nada! Jams, mientras estudi mi carrera, me mencionaron esos hechos! y la verdad es que tampoco me preocup por averiguarlo. Qu lstima! exclam Camila. Ambos siguieron escuchando al profesor. Y ahora despus de mltiples estudios y anlisis se ha llegado a la conclusin de que la matemtica moderna fue un error histrico. No haba desarrollado competencias intelectuales, los alumnos y alumnas haban perdido capacidades concretas de modelizacin, de interpretacin y de visualizacin. Al finalizar su exposicin, el profesor recomend como lectura el libro El fracaso de la matemtica moderna. Por qu Juanito no sabe sumar? de Morris Kline. Daniel y Camila se miraron incrdulos. Estaban visiblemente afectados, sintiendo el impacto de la conclusin lapidaria de la conferencia. Se percataron que por muchos aos haban estado trabajando con unos contenidos que, en vez de favorecer el aprendizaje, causaban un gran perjuicio. La comisin organizadora del curso invit a todos los participantes a un pequeo descanso con un estimulante caf con galletas y pasteles. Fue el momento propicio para comentar la conferencia y como haba profesores de otros colegios de la zona, el intercambio de opiniones fue muy enriquecedor. Lo que qued muy claro, es que se tena muy poco conocimiento de esa verdad. Obviamente haba una evidente deficiencia en la formacin de los profesores, ya que los hechos histricos rara vez se consideraban en la elaboracin de los programas de la carrera de pedagoga en matemtica, con excepcin de Pitgoras y su famosa escuela.

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RUMBO AL CONSTRUCTIVISMOComenz la segunda conferencia Constructivismo y Matemtica. La disposicin de los profesores asistentes haba cambiado, sus expectativas ahora eran mucho mayores. Si bien Daniel y Camila haban sufrido un remezn con respecto a los conjuntos, ahora sentiran un terremoto al escuchar que sus prcticas deberan tomar un nuevo rumbo y que las tradicionales clases que impartieron por aos, no estaban logrando las competencias necesarias para el mundo de hoy. Lo primero seal el conferencista, es saber qu propone la Teora Constructivista. El mismo nombre lo sugiere: el conocimiento se construye, considerando que el sujeto posee estructuras mentales previas que se modifican a travs del proceso de adaptacin. Aun no me queda claro susurr Camila. Qu tiene que ver esto con la matemtica? A m tampoco acot Daniel. Y siguieron la exposicin con la esperanza de escuchar en algn momento la palabra matemtica. Esta teora propone que el sujeto que conoce es el que construye su propia representacin de la realidad, se construye a travs de acciones sobre la realidad. El aprendiz aprende cmo aprender, no solamente qu aprender. La exposicin continu y los asistentes la seguan palabra a palabra, pareca que cada uno la haca, mentalmente, vida en su realidad escolar. Todo se clarific cuando aparecieron algunos ejemplos. Bien, eso es lo que esperaba! exclam Daniel No tanta teora! 23

Cuando los asistentes esperaban algunas expresiones algebraicas de alto nivel para resolver, el conferencista plante lo siguiente: Dibujen dos puntos en su hoja de apuntes y nanlos por una recta. Hizo una pausa, mientras todos seguan sus indicaciones. Ahora hagan lo mismo, pero con tres puntos no colineales y luego con 4 puntos. Muy fcil! dijo Daniel. No me veo haciendo esto en educacin media. Mejor esperemos le respondi Camila para algn lado va esto. Cuntas rectas debieron trazar? pregunt el expositor. Para los tres puntos, se trazaron 3 rectas respondi la profesora Marta, mientras que para los 4 puntos, se trazaron 6. Muy bien! aprob el expositor. Ahora, hagan el mismo procedimiento para 5 puntos. Esas son muchas rectas dijo Daniel. Mejor las calculo sin dibujarlas. Me dan 20 rectas. Creo que ests equivocado porque a m me dan 10 solamente respondi Camila. Tienes razn reconoci Daniel, pasan 4 rectas por cada vrtice y como son 5 vrtices me da un total de 20 rectas, pero algunas estn contadas dos veces, es decir, tengo que dividir mi clculo por 2. Como ustedes ven dijo el expositor ya no es tan fcil dibujar tantas rectas al aumentar la cantidad de puntos, por lo que sera conveniente seguir un procedimiento distinto al geomtrico. Eso es lo que hice yo manifest Daniel a Camila. Determinen entonces, cuntas rectas se deben trazar con 6 puntos no colineales, pero ahora sin realizar el dibujo. Voy a seguir tu procedimiento. Por cada punto pasan 5 rectas y como son 6 vrtices, eso da un total de 30 rectas y como yo no pienso equivocarme como otro bromeando y sealndolo con un 24

gesto divido por 2, para descartar las repetidas y me dan en total 15 rectas. Qu graciosa! respondi Daniel, pero no s para qu estamos haciendo esto. Ahora continu el expositor, supongan que tenemos que trazar rectas que unan n puntos, cmo sabrn la cantidad de rectas a trazar? desafi el expositor. Muy fcil dijo Daniel a Camila, siguiendo el mismo procedimiento anterior. Son n puntos y por cada uno de ellos se trazan n1 rectas lo que da un total de n (n 1) rectas, pero hay que dividir por 2, lo que nos da finalmente

n(n 1) 2

Exactamente, me da lo mismo le confirm Camila. Te diste cuenta que, casi como un juego, llegamos a determinar una frmula matemtica? Tienes razn. Comienzo a comprender lo que es construir aprendizajes reconoci Daniel. En definitiva, hemos logrado una generalizacin de una determinada situacin. Ahora, les voy a plantear otra problemtica para que la resuelvan dijo el expositor. A una fiesta llegan n amigos los cuales se saludan entre s, cuntos saludos se dieron en total? Todos los presentes se concentraron en el problema planteado y slo fueron interrumpidos cuando Roco habl en voz alta. Profesor, esta es la misma situacin que usted plante sobre la cantidad de rectas para n puntos, por lo tanto, la respuesta es la misma que la anteriormente encontrada. Exactamente y eso estaba esperando que me respondieran dijo complacido, que se dieran cuenta que la frmula que acabamos de concluir, es una generalizacin que puede ser obtenida de otras mltiples situaciones. Y les puedo agregar otro problema del mismo tipo, cuntas diagonales tiene un polgono de n lados? Para Daniel, las siguientes horas estuvieron llenas de contradicciones, estaba entre el tradicionalismo de sus prcticas de aula y las nuevas ideas que surgan espontneamente. 25

Junto a Camila y otros colegas deban planificar, como ejercicio, la primera clase reformista y luego exponerla frente a los otros participantes del curso. Para Daniel, el esquema de pasar contenidos, dar algunos ejemplos, entregar una gua de 100 ejercicios o ms en lo posible y luego aplicar una prueba, eran la frmula perfecta, la del profesor perfecto. Daniel jams haba analizado su prctica, ni autocriticado su forma de enseanza. l era el expositor, el que planificaba, conduca y haca la clase, el que integraba, resuma y ordenaba todo el saber; basaba su clase en un alumno promedio, sin diferenciar persona; meda principalmente aprendizajes de la habilidad de memorizar y era netamente frontal. Ahora, se senta apesadumbrado, inquieto Qu te pasa Daniel? Te veo distrado y muy pensativo. Estoy preocupado Camila, no s si ser capaz de cambiar mis clases y adaptarme a esta nueva forma de ensear. Pero Daniel Dnde qued aquel joven profesor que le gustaba crear ejercicios novedosos, desafiar a los alumnos con problemas de ingenio y leerles libros de Agatha Christie para mejorar su razonamiento? No te das cuenta que t ya ests en la reforma hace tiempo? Me ests hablando en serio? Por supuesto. Cuando le das de tarea que inventen un ejercicio, que hagan un poema con conceptos matemticos o una figura humana con elementos de geometra, ests siendo un reformista. Daniel sonri y su semblante cambi con los recuerdos de tanta cosas que se le haban ocurrido durante su vida de profesor. Como aquel cuando sali con algunos cursos a medir el ancho del ro y la altura de algunos edificios, usando las funciones trigonomtricas o como aquella vez durante Fiestas Patrias, cuando con un curso, crearon un mtodo para no perder jams en el juego de azar Mayor o menor Lo que tenemos que hacer ahora aclar Camila, es formalizar todo aquello que se nos ocurra, planificarlo e incorporarlo a la clase y a las actividades de la asignatura. 26

Subsector corrigi Daniel y ambos rieron con mucha gana. Ya pues! se quejaron los otros integrantes del grupo. Trabajemos! Lo primero que hicieron, fue definir el contenido en el que aplicaran los nuevos conceptos y metodologas recin aprendidos. Despus de muchas sugerencias por parte de los integrantes del grupo se opt por Potencias y Regularidades Cmo podemos iniciar el tema? pregunt Camila. Yo partira recordando la definicin, dando los teoremas y finalizara con una buena gua de ejercicios y listo dijo Daniel, haciendo una breve pausa y con voz quejumbrosa concluy, pero ya no se puede hacer as. Todos rieron y confirmaron su conclusin. Rodolfo, profesor de matemtica del Colegio Claudio Arrau, ya tena alguna experiencia de la Reforma, pues su establecimiento la haba implementado el ao anterior y haban pasado por una situacin similar. Decidi aceptar la invitacin al curso para profundizar en ella y afianzar su metodologa. Yo propongo dijo Rodolfo comenzar con el siguiente ejercicio: descubrir cul es la ltima cifra de 229, basndose en alguna regularidad, pero sin calcular. Me parece bien apoy Roco, la profesora de matemtica de 8 bsico y se me ocurre que podramos hacer una tabla que apunte hacia nuestro objetivo. Algo as: Un nmero termina en 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Su cuadrado termina en Su cubo termina en Su cuarta potencia termina en Su quinta termina en Y en base a la tabla sugiri Camila, podemos elaborar algunas preguntas. Por ejemplo aport Daniel en qu nmero termina 4 253 o el nmero 6.872 puede ser el cuadrado de un nmero entero? 27

Qu observas respecto a la quinta potencia de un nmero cualquiera? agreg Rodolfo. Estara faltando, una aplicacin de las potencias dijo Roco. Podramos contar la historia del ajedrez sugiri Daniel Excelente idea apoy Camila redactemos la historia! Entre todos elaboraron el siguiente texto: Un monarca, fascinado por la riqueza del juego, quiso premiar a su inventor. En el palacio, el inventor del ajedrez solicit, que se le premiara sencillamente con granos de trigo, en cantidad tal que, en la primera casilla del tablero hubiese un grano, en la segunda 2, en la tercera 4, en la cuarta 8 y as sucesivamente. Sorprendido el monarca por la modestia del inventor, le dijo que s de inmediato, pero cuando mand a calcular cunto trigo era necesario, result ser una cantidad astronmica, no siendo posible satisfacer el pedido del inventor. Y despus les pedimos, calcular en base a potencias de 2, la cantidad de granos en cuestin y determinar en qu nmero termina esa potencia aport Roco. Leyeron su trabajo, le agregaron unos ejercicios ms y esperaron el turno del grupo para presentarlo. Los nervios consuman a Daniel. Un sudor fro recorra todo su cuerpo. A l le corresponda exponer la parte inicial del trabajo realizado y le incomodaba la forma en que deba hacerlo. El temor de hacerlo mal, se contrapona a la experiencia que tena y el prestigio que se haba ganado entre sus colegas. Escuch los trabajos de los otros grupos y se imagin como un alumno en clases viviendo esa nueva forma de aprender y le gust. Te toca! le avis Camila, codendole suavemente. Daniel se encamin raudamente hacia el sector de las exposiciones, con aplomo, tratando de ocultar sus nervios y el peso que llevaba sobre sus hombros en ese momento.

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LOS PROBLEMAS DE LOS PROBLEMASAl da siguiente un nuevo expositor iniciaba la jornada, la profesora Javiera Echeique, quien era famosa por sus singulares escritos sobre matemtica y matemticos, llenos de curiosidades, de comicidad de historias; fuente de motivacin y una pauta pedaggica a seguir para una entretenida forma de ensear. Salud y de inmediato comenz su charla. Unos policas dijo con una voz potente, pero agradable estn investigando a un grupo de delincuentes que trafican en un local bien custodiado. Desde un coche camuflado vigilan la entrada al local. Quieren infiltrar al grupo, pero no saben la contrasea. En ese momento llega un cliente, llama a la puerta y desde el interior le dicen 18, el cliente responde 9. La puerta se abre y l accede al interior. Los policas se miran, creen tener la respuesta, pero deciden esperar. Llega otro cliente, golpea y desde dentro le dicen 8, l responde 4 y la puerta se abre. Los policas sonren. Ya lo tenemos! Un nuevo cliente llega y desde adentro le dicen 14, a lo que responde 7 y la puerta se abre. El jefe a cargo decide enviar a un agente. ste llama a la puerta y desde dentro le dicen 0. El polica se paraliza y despus de unos breves segundos responde 0. Se oye una rfaga de disparos y el polica muere. Los otros policas quedan sorprendidos, pero deciden enviar a otro agente. Desde dentro se oye 6 y el polica muy convencido responde 3. Nuevamente los disparos y el polica muere Por qu? Qu extrao murmur Daniel estaba seguro de que se trataba de responder la mitad del nmero que los delincuentes dicen desde adentro. Pero eso no tendra mucha gracia respondi Camila Tienes razn, se te ocurre algo? 29

Por ahora no, pero estoy analizando dijo Camila. Despus de unos minutos el profesor consult si alguien tena la respuesta. Camila levant tmidamente la mano y se puso de pie para responder. Creo que se refiere al nmero de letras que tiene el nmero, o sea cuando le dicen 18 el cliente debe responder 9, ya que es el nmero de letras que tiene la palabra dieciocho. Lo mismo ocurre con 8 y 14, pero cuando le dicen 0 l debi responder 4 que son las letras que tiene el nmero cero. Por ltimo, cuando dijeron 6, la respuesta tambin debera haber sido 4. Un espontneo aplauso alab la deduccin de Camila y Daniel la felicit mostrando mucho orgullo por su colega. Excelente! acot la profesora, y para que todos tengan una nueva posibilidad les dejo planteada la siguiente situacin para maana. Te encuentras afuera de una habitacin, con la puerta cerrada. Desde tu posicin no se puede ver nada de lo que sucede al interior. Dentro de la habitacin hay una ampolleta e inicialmente se encuentra apagada. Del lado de afuera de la habitacin hay 3 interruptores, de los cuales slo uno est conectado a la ampolleta. T, desde afuera y con la puerta cerrada, puedes accionar la cantidad de interruptores que quieras, las veces que quieras. Luego debes entrar a la habitacin y al salir, sin volver a accionar los interruptores, debes estar en condiciones de afirmar cul de los tres interruptores es el que acciona la ampolleta. Y con esa motivadora introduccin continu la exposicin. Podran ustedes pensar que esto no tiene nada que ver con una clase de matemtica seal Javiera, pero piensen en el momento que se inici esta charla y cmo se sienten en este instante. Les aseguro que hay curiosidad, motivacin y se estarn preguntando qu vendr ahora. Si ustedes logran que en cada inicio de clases se cree un ambiente similar, el aprendizaje que lograrn ser ptimo, pero en esto es fundamental no improvisar, para ello se debe contar 30

con una adecuada planificacin basada en un buen set de problemas, curiosidades, acertijos, etc. Tambin agreg pueden crear un diario mural que tenga una ubicacin adecuada para que todos los alumnos del colegio puedan participar de permanentes desafos. Por ejemplo, colocar problemas de Pensamiento Lateral que son muy llamativos e interesantes. Los conocen? Todos se miraron con un signo de interrogacin en el rostro y respondieron que no. Les voy a dar uno como ejemplo. Una nia vive en su casa con sus padres. Ellos le dijeron siempre, que por ninguna razn abriera la puerta del stano, para que no viera algo que no tena que ver. Cierto da, los padres salen y se olvidan de asegurar la puerta del stano con llave. La nia, no pudiendo resistir la tentacin, aprovecha la ocasin y abre la puerta del stano. Lo que ve, la deja perpleja, no puede creer el espectculo que se cierne ante sus ojos. Ms tarde, la polica arresta a sus padres y ponen a la nia en un lugar seguro. Qu vio la nia? Las respuestas fueron mltiples y la creatividad se hizo notar entre los participantes de la charla. Pero las respuestas pueden ser muchas expres Daniel. Escuchemos! dijo Camila, porque la verdad es que estoy impaciente por saber qu vio la nia. Pero al final nadie lleg a la respuesta. El trmino pensamiento lateral prosigui la expositora, fue concebido por Edward de Bono para describir un tipo de pensamiento distinto al pensamiento convencional o lgico y que es una fuerza importante y necesaria para el cambio. Es una habilidad que puede permitirnos resolver problemas en casa o en el trabajo y lo importante es, que es un poder latente que todos poseemos. Puede desarrollarse mediante el entrenamiento, exigiendo slo un cambio de actitud mental y un enfoque abierto a la solucin de problemas. En el pensamiento convencional usamos experiencias y suposiciones que parten de situaciones similares, utilizando un enfoque lgico y racional. Sin embargo, a veces este proceso deja de sernos 31

til. Se nos presentan lmites que slo podemos superar dejando de lado nuestras suposiciones bsicas y enfocando el problema desde un ngulo completamente nuevo, all aparece el pensamiento lateral. Y lleg lo que esperbamos. La solucin del problema planteado es muy simple. Todos ustedes usaron el pensamiento lineal o vertical, considerando que la nia estaba situada fuera del stano. Hizo una pausa. Error estimados colegas. Ella estaba dentro del stano y lo que vio, que la dej perpleja, fue la claridad del da. No lo haba pensado as coment Camila. Yo menos reconoci Daniel, pero ya entiendo la idea de este tipo de ejercicios. Es, salir de lo lineal, de lo lgico, para darle al alumno posibilidades de nuevos enfoques a las situaciones problemticas lo que implicar una mayor creatividad. Y se nota que es algo necesario apoy Camila, porque te fijaste que todos somos profesores de matemtica y a ninguno se nos ocurri la solucin? Somos demasiado lgicos respondi Daniel. Ya que les gust este tipo de problemas continu la profesora Javiera, les voy a dejar uno planteado y al finalizar la exposicin les voy a entregar unos apuntes con muchos del mismo tipo. A continuacin, busc entre sus apuntes y ley el siguiente problema: Dos chicas estn haciendo aseo en el stano de su casa. Cuando terminan, la que tiene la cara limpia se la lava y la que la tiene sucia, no. Por qu? Pero tambin podemos plantear situaciones que incluyan procedimientos numricos mezclados con hechos curiosos. Por ejemplo: Un encuestador pregunta a una mujer cuntos hijos tiene. Tres, contesta ella. Y de qu edades? vuelve a preguntar el encuestador. La mujer responde: El producto de las edades es 36 y la suma es igual al nmero de la casa vecina. El encuestador se retira, pero un instante despus regresa y le dice que los datos no son 32

suficientes para saber las edades de los hijos. La mujer piensa un momento y disculpndose le dice: Tiene razn, la mayor estudia piano. Gracias seora!, responde muy satisfecho el encuestador. Con ese dato, ya s las edades de sus hijos. Cules son las edades? A pensar se ha dicho dijo Daniel sonriente. Qu extrao lo del piano! se pregunt Camila, pensando en voz alta. El silencio en la sala, indicaba que los presentes estaban concentrados en el problema. Incluso Camila lleg a saltar cuando Daniel asegur sorpresivamente que lo haba solucionado. Pase adelante colega y cuntenos cmo obtuvo la solucin inquiri la expositora. El encuestador comenz Daniel sabe que el producto de las edades de los tres hijos es 36, as que descompone este nmero en factores y determina todas las combinaciones posibles. 1136 1218 1312 149 166 229 236 334 Despus contina Daniel, observa el nmero de la casa vecina y comprueba que corresponde a la suma de dos de las combinaciones: 1+6+6=13 2+2+9=13 Dado que tiene dos respuestas posibles, regresa donde su encuestada y se entera que la mayor estudia piano. Este dato aclara el problema, ya que al haber una mayor que los otros hijos, la combinacin de edades que se ajusta a los datos entregados por la encuestada seran 2, 2 y 9 aos. 33

Excelente colega! Un aplauso dijo la expositora, dirigindose a los asistentes. Bueno Hemos resuelto diversos tipos de ejercicios con enunciados de problemas, pero por lo que he percibido en esta charla, no son muy habituales en su prctica docente. Tengo la razn? Si respondieron a coro los profesores. Lo que est faltando, es hacer un profundo anlisis sobre los tipos de problemas que habitualmente utilizan ustedes en el aula. Y para no romperles ese esquema, voy a ejemplificar con ejercicios que ustedes generalmente extraen de uno de sus textos favoritos: el Baldor Ese es mi texto estrella! exclam Daniel. Y el mo tambin! le apoy Camila. Y el teln apareci repleto de los tan ansiados problemas: 1. Un comerciante emple $1.910 en comprar 50 trajes de a $40 y de a $35. Cuntos trajes de cada precio compr? 2. Un hombre tiene $404 en 91 monedas de a $5 y de a $4. Cuntas monedas son de $5 y cuntas de $4? 3. La poblacin de una ciudad ha aumentado en progresin geomtrica de 59.049 almas que era en 1953 a 100.000 almas en 1958. Cul era la razn de crecimiento por ao? 4. En un cine, 10 entradas de adultos y 9 de nios cuestan $5,12 y 17 de nio y 15 de adulto $8,31. Hallar el precio de una entrada de nio y una de adulto. Javiera observaba cmo todos lean y relean los problemas que aparecan en la pantalla. Despus un largo silencio de su parte pregunt: Qu opinan de estos enunciados? Un murmullo general delat el comentario entre los asistentes, pero nadie se atreva a comenzar a opinar. Tal vez porque no saban a qu quera llegar la profesora con su pregunta. No veo nada extrao ni alguna relacin entre esos enunciados, coment Daniel a Camila. 34

Adems, cuntas veces hemos usado algunos de esos problemas en las guas de ejercicios para nuestros alumnos! agreg Camila. La expositora, viendo cierto temor de responder, los incentiv con algunos comentarios e interrogantes. En el problema de los trajes sealndolo estoy seguro que sus estudiantes les preguntan, entre risas, dnde est ubicada la tienda para ir a comprarse 10. En el siguiente, seguro bromean, monedas de $4? Si alguien tiene alguna, se la cambio por una de $7. Una risa general indic que se comenzaba a entender lo que la profesora estaba buscando al mostrarles esos enunciados. Rodolfo levant la mano y la expositora le cedi el turno de opinar. Me parece importante que los enunciados de los problemas tengan un vocabulario y cantidades numricas que se utilizan en la vida cotidiana. No podemos estar hablando de almas, cuando se refiere a habitantes, ni que las entradas a un cine puedan costar una cantidad decimal inexistente en nuestra moneda nacional, como por ejemplo $5,12. Y aprovecho de dar a conocer mi posicin respecto de este texto de matemtica, apoyndome en lo que nos contaban ayer sobre Jean Diudonn y su famoso abajo Euclides yo no tengo reparos en gritar abajo Baldor!. Se sent y el caos fue total. Las opiniones y discusiones se multiplicaron y no pocos se molestaron ante tan rotunda afirmacin, entre ellos Daniel. Debo reconocer que Rodolfo tiene razn con lo que expresa coment Camila claro que de all a descartar el texto de Baldor me parece mucho. Es que estos profesores jvenes creen que se las saben todas y quieren prescindir de todo lo antiguo, como si lo escrito anteriormente no sirviera para nada. refunfu dolido Daniel. La verdad es que la reunin haba cado en una zona densa donde slo la palabra clarificadora de la expositora podra enmendar rumbos. 35

Estimados colegas dijo Javiera sonriente, me alegra ver el camino que ha tomado nuestra discusin, porque es el momento de despertar de nuestro letargo pedaggico y analizar cada una de nuestras prcticas, de nuestras metodologas, de nuestro material de apoyo y hasta de nuestra relacin con los alumnos. Cuando hablamos de resolucin de problemas, nos referimos a problemticas que ayudan al desarrollo de actividades intelectuales, que responden a los intereses de los alumnos, que le son significativos, con una variedad de estrategias para su solucin y con un nivel lingstico contextualizado y al alcance de ellos. De seguro ustedes conocen la clsica formulacin que hizo Polya de las cuatro etapas esenciales para la resolucin de un problema continu Javiera. Considero de gran importancia recordarlas, analizarlas y hacer paralelos entre su formulacin y la de otros investigadores. Les voy a dejar un material para alguna de sus reuniones de departamento y les aseguro que con el tiempo todo se clarificar. Para finalizar, construyamos una recopilacin de las estrategias ms frecuentes que ustedes suelen utilizar en la resolucin de problemas. Y comenz a pedirles a los presentes que describieran una estrategia que generalmente recomendaban a sus alumnos. Yo siempre les insisto en que un buen esquema, una tabla o un dibujo, del problema planteado, puede darles claridad en el procedimiento a seguir aport un primer colega. Una sugerencia que siempre les hago, es que reduzcan el problema a otro ms pequeo o que lo asemejen a problemas similares ya trabajados. Tambin que lo reformulen me da buenos resultados agreg otro. En su turno Camila relat: Nunca dejo de sugerir la correcta lectura del problema, insisto en que lo entiendan, que no dejen pasar palabras o conceptos que no sepan y que practiquen el mtodo ensayo y error. A mis alumnos dijo Daniel les resulta bastante positivo en la resolucin de problemas efectuar la reduccin al absurdo y tambin, empezar por el final, como si el problema estuviese resuelto. 36

Yo, recomiendo empezar siempre por lo ms fcil expres Roco lo cual parece algo muy lgico, pero no es tan as. La idea que les propongo es que resuelvan un problema similar pero ms fcil, ms sencillo. Bien seal Javiera, me parece que ya hemos hecho un buen listado de estrategias que espero consideren en el trabajo con sus alumnos. No se olviden que siempre, independiente del curso en que el alumno est, manipular y experimentar, puede aportarle grandes beneficios y darle una mayor claridad sobre lo que debe realizar. Tampoco hay que olvidarse de algunos de los mtodos que han sugerido grandes matemticos, tal como el Principio del Palomar, el anlisis de casos lmites, la utilizacin de la simetra, etc. Muchas gracias por su participacin en esta charla! finaliz Javiera. Espero que en sus futuras prcticas consideren las situaciones analizadas este da. Un gran aplauso agradeci el trabajo de la expositora.

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CONVERSANDO CON DIOSHaba llegado el ltimo da del curso. La exposicin de ese da abordara un tema polmico, por la variedad de puntos de vista que existen al respecto: la evaluacin. Qu es evaluacin? comenz diciendo el profesor Ral Jimnez, Licenciado en Matemtica y Magster en Educacin. Para qu evaluar? Cmo evaluar? Cmo realiza usted la evaluacin de sus estudiantes? Para responder estas interrogantes, regresemos en el tiempo. Dio algunos pasos y dirigindose a Daniel le pregunt: Usted colega leyendo el nombre en su credencial de participante Daniel. Nos podra contar cul ha sido su experiencia respecto de la evaluacin? Lo primero que deseo sealar contest Daniel, es que en mis tiempos de estudiante, evaluar y calificar eran lo mismo, al menos as lo vea yo y no recuerdo que alguien nos hubiese aclarado la diferencia. Adems, el profesor era un intocable, siempre tena la razn y rara vez los alumnos o apoderados pedan explicacin por alguna nota. Sin embargo, el periodo que ms me marc, respecto de lo que me consulta, es el universitario, mientras cursaba mi carrera de pedagoga. Exista una creencia, que entre parntesis todava perdura en algunas universidades, institutos y centros de formacin superior, que cunto ms alumnos se reprueban, mejor profesor se es. La exigencia en cada prueba alcanzaba niveles que iban ms all de la excelencia, era como querer subir una escalera del conocimiento en la que nosotros, los estudiantes, estbamos ubicados en el tercer peldao, las pruebas que nos hacan preguntaban sobre el sptimo peldao y el profesor se ubicaba en el ltimo peldao, el ms alto, conversando con Dios. 39

Las ltimas palabras de Daniel, provocaron un comentario generalizado en la sala. El profesor Jimnez permaneci en silencio. Ese hecho continu Daniel, era evidente en todas las carreras de la universidad; las asignaturas de matemtica eran los coladores, como se les llamaba, ya que, segn los profesores, necesitaban discriminar entre los buenos y los malos alumnos. Recuerdo muy bien el ingreso a mi carrera; ramos cuarenta estudiantes, en segundo ao slo quedbamos trece y al final, logramos terminar la carrera slo cuatro. Daniel termin su relato, pero el profesor Jimnez, ahora muy interesado, quera saber algo ms y le pregunt: Y cuando usted comenz a impartir clases, cmo evaluaba? Como la universidad me haba enseado respondi Daniel con el mismo esquema, pero obviamente en un nivel ms bajo. Es decir, usted se instal en la mitad de la escalera acot el profesor Jimnez, sonriendo. Exactamente dijo Daniel, tambin sonriendo se podra decir que s, pero no tan lejos de Dios. Todos se rieron ante la espontnea respuesta de Daniel. Y en qu ha cambiado usted desde esa poca hasta hoy? volvi a preguntar el profesor Jimnez. Daniel se movi en su asiento tal vez un poco incmodo ante una nueva pregunta; entretanto, todos pensaban que era la primera vez que lo escuchaban hablar tanto sobre s mismo. Creo que mucho contest Daniel; ahora elaboro mis evaluaciones de tal modo que el alumno que se prepar logre alcanzar un resultado ptimo. Adems, me fijo en los procedimientos que realizan mis alumnos. As, puedo determinar claramente los errores y asignar puntajes justos. Esos errores son los que revisamos la clase posterior a la prueba y que le permiten al alumno ir creciendo matemticamente y mejorar su rendimiento a futuro. Y si un resultado general no es satisfactorio, antes de acusar a mis alumnos de flojos, analizo qu puede haber fallado y aplico planes remediales. 40

Muchas gracias Daniel! Tu participacin fue muy ilustrativa. Brindmosle un gran aplauso al colega insisti. Bravo! Bien Daniel! vociferaba Camila mientras aplauda orgullosamente. La evaluacin reinici diciendo el profesor Jimnez, es uno de los elementos centrales en el proceso de enseanza aprendizaje, por lo que debe entregar seales claras a los alumnos y a los docentes de lo que se considera relevante. La evaluacin debe informar sobre los avances y las dificultades, constituyndose en una base esencial para redefinir las vas de mejoramiento o reforzamiento que han de seguirse y aqu vamos a diferenciar los tres tipos de evaluacin necesarios, para la toma de decisiones orientada a producir mejoramiento en la educacin. El profesor Jimnez, activ el proyector, carg sus diapositivas de apoyo y comenz su exposicin. Primero, la evaluacin inicial, que es la que nos proporciona informacin sobre los alumnos y alumnas al comienzo del ao escolar, de un nivel o ciclo. Informacin sobre el nivel de conocimientos, las habilidades, las destrezas, las actitudes, los valores, etctera. Es muy importante su aplicacin y ustedes deben sacarle el mximo de provecho, construyndola a conciencia y analizando los resultados obtenidos y como deca Daniel, determinar los planes remediales correspondientes. En segundo lugar, la evaluacin formativa, llamada tambin de proceso. Se trata de hacer un seguimiento que proporcione informacin sobre los progresos y las dificultades que van presentando los alumnos. Al mismo tiempo, da elementos a los profesores para reajustar sus mtodos y estrategias pedaggicas y es, sin lugar a dudas, la caracterstica ms acorde con el modelo curricular actual. Finalmente, la evaluacin sumativa o evaluacin de producto, que es la que se efecta al trmino de una fase del proceso de aprendizaje. Nos proporciona informacin sobre hasta qu punto se cumplen los objetivos o si se producen los efectos previstos en cuanto al grado de aprendizaje de los alumnos. 41

Profesor dijo Camila. En general es eso lo que hemos hecho siempre para evaluar, tal vez lo ms novedoso sea la evaluacin de proceso. Podra explicarme un poco ms acerca de esta? Agrega, porque generalmente a uno le exigen resultados, por ejemplo en el SIMCE. Por supuesto le respondi el profesor Jimnez. Tradicionalmente el nfasis del proceso evaluativo estaba en los resultados. Ahora, si se quiere alcanzar resultados ptimos, es primordial la preocupacin por el proceso, revisando continuamente qu est pasando con el aprendizaje de los alumnos, pero tambin con la propia prctica docente. Esto no significa restarle importancia a los resultados ya que lograr los aprendizajes esperados es lo fundamental. Un profesor no podra decir que sus resultados son deficitarios porque se ha preocupado principalmente del proceso. En las diapositivas que nos muestra acota Marta, profesora de Educacin Bsica, est destacado que se deben evaluar habilidades, pero qu pasa con los conocimientos? Ustedes saben, porque lo vivieron explic el profesor Jimnez, que tradicionalmente la clase ms frecuente era la frontal y que la habilidad fundamental a desarrollar era la memorizacin de conocimientos. La reforma, pone nfasis en procesos cognitivos, en disposiciones, en habilidades que van ms all del conocimiento. Es decir: saber, saber-hacer, saber-ser y saber-convivir. En una exposicin anterior hablamos sobre los Objetivos Transversales. Tambin hay que calificarlos o evaluarlos? Cmo se evalan, y quin los evala? consult Rodolfo. Aclaremos algunos puntos dijo el profesor Jimnez. Objetivos transversales referidos a conductas escolares han existido siempre y seguro que ustedes recordarn que en sus informes de notas venan evaluados aspectos tales como conducta, aplicacin escolar, orden, aseo, responsabilidad, etc., que tenan el fin de lograr una buena convivencia escolar y la formacin de hbitos. Los profesores siempre han evaluado esto y estoy seguro que nadie se complica con seguir hacindolo. El otro mbito y que incluye a todos los sectores y subsectores, est referido a lo cognoscitivo, a la capacidad de anlisis, 42

de sntesis, de resolucin de problemas, de expresin oral y tampoco debera haber dificultades en su evaluacin ya que son aprendizajes propios de sus mismos campos disciplinares. Los que s son nuevos son los actitudinales y las valoraciones, como la autoestima, el cuidado del medio ambiente, etc. Estos, deben ser monitoreados por la escuela, basndose en un conjunto de medidas que apoyen los valores de la institucin, en especial, estipulados en su proyecto educativo. Por lo tanto, ms que instrumentos de evaluacin sobre estos aspectos, hay que crear situaciones dentro y fuera del aula que favorezcan la internalizacin de las conductas afectivo-valricas que ha priorizado la institucin. A m me complica la autoevaluacin replic Daniel, porque estoy seguro que los alumnos se van a colocar slo notas buenas. Ustedes deben tener claridad con respecto a este punto, sabiendo que la autoevaluacin no es aplicable a cualquier edad ni en cualquier mbito, por lo tanto no es algo que se deba hacer slo para que te reconozcan como un profesor o profesora reformista. S, es muy importante, instalar en los alumnos la capacidad de autoevaluarse, que sean capaces de juzgar si estn avanzando hacia el objetivo propuesto y que identifiquen los obstculos y las fortalezas. No crean que eso implica traspasarles a ellos la responsabilidad de la evaluacin, sta sigue siendo una responsabilidad del profesor. Adems no tiene por qu estar referida a aspectos cognoscitivos, sino a disposiciones y comportamientos, como el trabajo en equipo, el respeto a las opiniones de los dems, el cumplimiento de los compromisos adquiridos, etctera. Hay que considerar esa nota en el promedio? pregunt de nuevo Daniel hay que ponderarla? No hay que confundir evaluar y calificar. Aqu estamos hablando de evaluar y yo s que su primera inquietud ser, que tal vez los alumnos no le darn importancia a la autoevaluacin si no es calificada. Los profesores y profesoras debemos lograr esa capacidad de metacognicin, por lo que es fundamental no desfallecer en su aplicacin hasta que sea parte de la vida escolar. 43

Profesor, en mi colegio iniciamos el proceso de reforma el ao pasado cont Rodolfo y una de las principales dificultades en el proceso de evaluacin fue cambiar las pruebas por trabajos de investigacin, el famoso portafolio o carpeta, debates, proyectos, etc. Es obligatorio tener que hacer esto? Lo que la actual reforma propone es ampliar el uso de instrumentos y procedimientos de evaluacin. Las pruebas no siempre permiten evaluar todas las habilidades y capacidades requeridas, pero no significa que stas deban desaparecer. Al contrario, deben ser mejoradas para que su aplicacin enfrente al alumno o alumna a situaciones de desafo, de esfuerzo, que favorezcan su preparacin para la vida adulta. Y como nombraste las carpetas o portafolio, aprovecho de decirles que este instrumento debe estar destinado a evaluar aprendizajes predefinidos. Un portafolio o carpeta no debe convertirse en una coleccin de trabajos sin objetivo. Si se utiliza, los alumnos deben saber para qu, cundo incluir un trabajo en ella y si llevar nota o ser parte de su autoevaluacin. Alguna otra pregunta?... Bien. Si no hay ms preguntas, dejamos el tema de la evaluacin hasta aqu. La idea es darles un barniz y la responsabilidad de ustedes es seguir conversando, profundizando y tomando acuerdos para mejorarla. Con este tema tan simple y tan complejo a la vez, damos por finalizado el curso, sobre los nuevos planes y programas de estudio, metodologas y evaluacin. Les deseo un exitoso ao escolar y muchas gracias por su atencin. Un gran aplauso coron una semana de arduo trabajo y profundos aprendizajes facilitadores de cambio.

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UN MUNDO SIN NMEROSDespus de una semana intensiva y de mucho anlisis sobre el quehacer educativo, a Daniel, an le rondaba en su cabeza el abajo Baldor. Haba llegado el momento de llevar a la prctica todo lo aprendido en el curso. En los prximos das se daba inicio a las clases y deban prepararse para ese profundo cambio. Cul es la primera unidad en primero medio? pregunt Daniel. Nmeros respondi Camila En esta unidad tenemos que incorporar los nmeros racionales e irracionales. Y de qu forma vas a iniciar la unidad? pregunt desconcertado Daniel, porque despus del curso, todo el material que tengo y que he acumulado durante aos, me parece que no corresponde. Nunca tanto Daniel respondi Camila con una sonrisa, lo que tenemos que hacer es adaptar nuestro material. Incorporarle vida y actualidad. Linda tu frase, pero no lo veo tan fcil dijo desanimado Daniel. Planifiquemos las primeras clases, da a da dijo con decisin Camila y vers como todo se va a ir dando como queremos a medida que transcurra el ao escolar. Est bien respondi Daniel, no muy convencido, pero dispuesto a intentarlo. Las primeras clases tenemos que conocer a nuestros alumnos y ver el nivel matemtico que traen comenz Camila. Sabemos que siempre en primero medio se incorporan muchos alumnos nuevos y debemos tratar de nivelar una base que nos permita trabajar a futuro sin dificultades. Independientemente de la 45

prueba de Diagnstico, podemos plantear en clase algunas situaciones matemticas que nos den luces sobre los aprendizajes previos de nuestros alumnos. Te refieres a darles algunos problemas para que ellos los resuelvan? pregunt Daniel. S, pero problemas motivadores que apunten hacia lo que queremos evaluar. Y ambos pusieron todo su empeo y conocimientos en esta planificacin inicial. Aquel da sera inolvidable para Daniel, iba hacia la sala con su Libro de Clases bajo el brazo y con un sinfn de ideas rondndole la cabeza. Esperaba que lo planificado con Camila diese resultado; l an no estaba muy convencido, pero saba que tena que intentarlo. Despus de la presentacin y de pasar la lista, inici su actividad diciendo: Mis queridos alumnos y alumnas. Hoy iniciaremos un maravilloso viaje por el mundo de las matemticas. Y cuando digo esto, muchos pensarn en un mundo lleno de nmeros, smbolos, problemas y dificultades, pero enseguida les digo que se equivocan. Los alumnos estaban desconcertados. No lograban comprender a qu quera llegar con esa afirmacin. Miren a su alrededor continu, la sala, las mesas, sus cuadernos, las baldosas del piso, el pizarrn, etc. Saben dnde se encuentran todas esas cosas? La respuesta fue un completo silencio. Nadie pareca comprender la pregunta del profesor. En el mundo de las matemticas afirm muy seguro de lo que deca, Daniel. Un mundo hermoso que los invito a conocer y a vivir. Un mundo donde la magia matemtica te acompaa cada da, te desafa y te motiva a crecer, donde los nmeros son nuestros amigos, nuestros aliados. Imagnense un mundo sin nmeros. Imaginen que cierto da se decide colocar todos los nmeros en una nave espacial; los teoremas, los libros de matemticas, las calculadoras y hasta los profesores de matemtica. Sonri al decir esto ltimo. En un primer momento 46

muchos diran: por fin, adis fracaso escolar. Las noticias anunciaran se acabaron los rojos en las escuelas o el mundo libre de los nmeros. Pero a los pocos das, comenzaran muchos problemas; al levantarte en la maana nadie sabra qu hora es para irse al trabajo, ni la fecha en que estamos, los billetes no tendra su valor indicado, las casas sin un nmero que las identifique, no habra Kino ni lotera para jugar, no podramos saber la temperatura exacta, menos pagar una cuenta, ni comprar en el supermercado. Los cientficos ya no podran calcular nada, se pararan las industrias y los gobiernos no sabran cmo calcular el costo de la vida, el IPC, etc., etc., etctera. No podramos sacar nuestros promedios aport Ester. Y los carpinteros no podran construir nada agreg Elena. Y ya no habran competencias deportivasdijo Andrs. Exactamente confirm Daniel, les aseguro que en menos de un mes estaran todos pidiendo que la nave espacial volviera con todo su cargamento matemtico. Y gracias a eso podramos volver a la magia de los nmeros y de las matemticas. Y yo dijo Daniel podra escribir en la pizarra el nmero 19.998 y saber que con l puedo hacer magia. Nunca tanto dijo ngel riendo. No crees que pueda hacer magia con este nmero? replic Daniel. Espera y vers. Se dirigi a Ricardo y le dijo: Ricardo, dime un nmero cualquiera de 4 cifras! 5.724 respondi Ricardo. Muy bien! Yo voy a colocar, bajo l, otro cualquiera y anot 4.275. T Nicol, Dime otro nmero de cuatro cifras. 1.849 respondi Nicol. Bien, yo agregar otro ms y escribi rpidamente el nmero 8.150. Ahora, los invito como primera actividad matemtica a que sumemos estos nmeros. 47

Y entre todos fueron sumando columna a columna, en la forma tradicional, y finalmente obtuvieron el resultado 19.998, para sorpresa de todos, era el mismo nmero que Daniel haba escrito en la pizarra al inicio de la actividad. El asombro inund la sala y se escucharon las primeras interrogantes. Cmo lo hizo seor? Seor, ensenos cmo se hace! No tengo problemas en decirles cmo se hace! respondi Daniel, pero me gustara mucho ms que ustedes mismos descifraran el misterio. Todos se involucraron en el dilema y comenzaron a extraer algunas conclusiones. Seor! dijo ngel, alzando la mano creo saber la respuesta! Cuando Ricardo dijo 5.724, usted coloc el siguiente nmero de modo tal que la suma de cada columna fuese dando 9. Lo mismo ocurri cuando Nicol le dijo el segundo nmero. Por eso al sumar todo, siempre nos iba dando 18 y con la reserva 19. Excelente ngel, comprendieron todos la explicacin? pregunt Daniel Siii! respondieron a coro los alumnos. Ahora, prosigui Daniel, quiero que resuelvan un nuevo desafo que tiene que ver con la operatoria de 7 y 8. Formen, utilizando 4 cuatros y las operaciones bsicas, los nmeros del 0 al 9, sin olvidar que existe en matemtica un orden para operar. Se acuerdan cul es? Primero las multiplicaciones y divisiones, luego las sumas y restas respondi Estefana. Y si la expresin tiene parntesis? dijo Daniel. Entonces se resuelven los parntesis primero! aclar Estefana.

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Para que quede ms claro an, yo iniciar este desafo, formando el nmero 2 y anot en la pizarra 4 : 4 + 4 : 4 . Con ese ejemplo fue suficiente y todos comenzaron a formar los restantes nmeros. Seor! Se pueden utilizar parntesis y potencias? pregunt Ester. Si te sirven para obtener algunos de los nmeros no hay problema, pero no te olvides de la condicin. Slo debes usar 4 cuatros le respondi Daniel, mientras iba observando uno a uno el trabajo que estaban realizando sus alumnos. Un rato ms tarde, haban terminado la actividad con algunas dificultades para encontrar el 4 y el 5. Para revisar sus procedimientos, fueron pasando a la pizarra y anotando la expresin matemtica que haban encontrado para cada nmero. Algunos de estos, incluso tenan ms de una expresin correcta. Para finalizar la clase agreg Daniel, quiero dejarles el siguiente desafo. Dibuj en la pizarra una letra M de gran tamao y luego traz en ella tres lneas rectas y marc con nmeros los tringulos que se haban formado, descartando los sobrepuestos, siendo un total de 6 tringulos. Se dirigi al curso y dijo: El desafo es formar 9 tringulos, utilizando la M y esas tres rectas sealando la figura recin dibujada. La prxima clase me dan su respuesta. Daniel, termin su clase y se retir a la sala de profesores, a disfrutar su acostumbrado caf. All, se junt con Camila e intercambiaron las primeras impresiones. Cmo te fue? pregunt Camila, con una ligera ansiedad. Bastante bien dijo Daniel; los alumnos participaron en todas las actividades propuestas y manifestaron que la clase estuvo entretenida. Pero?... 49

Camila conoca muy bien a Daniel y saba que l no estaba conforme. Extrao mi clase tradicional! exclam Daniel. Me da la impresin de haber perdido una clase en la que podramos haber comenzado con un nuevo contenido y haber hecho muchos ejercicios. S, muchos ejercicios! Pero Para quin? Para los diez de siempre? Para los que saben y les gusta la matemtica? Y los dems?... No te das cuenta que ests sembrando en ellos el bichito de las matemticas y que el comienzo va a ser lento y tal vez difcil, pero los beneficios, enormes? Te aseguro que en un tiempo ms, ya no tendrs alumnos que odien la matemtica y que vayan con desagrado a tu clase, y esos diez que saben hacer muchos ejercicios, ms los otros veinticinco, sabrn por qu y para qu lo estn haciendo, es decir, una matemtica con sentido Veo que ests impregnada de renovacin le expres Daniel. Es que he estudiado y analizado mucho la nueva propuesta para el aprendizaje de la matemtica y estoy totalmente de acuerdo con ella. Creo que con lo que me sugieren que haga, ms mi experiencia, la tuya y la de todos mis colegas, tendr las armas para ayudar a mejorar el deficiente aprendizaje en matemtica que existe hoy da. Bien, Camila! Te felicito por tu buena intencin. Yo tambin lo intentar y espero que todo resulte como queremos.

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TEMOR, MONEDAS, DADOS Y AZARCamila lleg acelerada esa maana. Firm el libro de asistencia y busc rpidamente el material que necesitaba, dirigindose a la sala de trabajo que le haban asignado al Departamento de Matemtica. Hola Daniel! Hola! Qu pasa? Te noto un poco intranquila. Lo que pasa, coment preocupada Camila, es que anoche estuve revisando el programa del MINEDUC y el contenido que nos corresponde, en segundo medio, como primera unidad es nada menos que probabilidad. Yo pens que vena ms adelante. Ahora te entiendo respondi pensativo. Francamente, es primera vez que siento temor al comenzar un ao escolar. Me siento como profesor principiante y creo que tiene que ver con el poco dominio que tengo de algunos temas nuevos incorporados a los planes y programas, tales como las probabilidades o las transformaciones isomtricas. Jams haba escuchado de estas ltimas y por supuesto que no me las ensearon en la universidad. Pues yo, tengo la misma dificultad. Durante mi carrera tuve que aprender lmites, derivadas, integrales dobles, triples y un montn de cosas ms que jams he tenido que ensear en la Media. Y lo ms curioso, es que nunca tuve asignaturas que me preparan realmente para lo que iba a tener que ensear. Bueno, tambin yo pas por la misma situacin reconoci Daniel. Cmo ser, que ni siquiera tuve geometra plana, pero dejemos de quejarnos que eso ya no tiene remedio y preparemos nuestras clases. Tienes razn rezong Camila, mientras buscaba algunos apuntes. Pero sera bueno que las autoridades educacionales, as como nos hacen involucrarnos en una reforma, tambin la hagan 51

extensiva a las universidades, ya que no veo lgica a que un nivel se haga parte de un cambio tan profundo y otro no. Tranquila mujer. Estoy seguro que eso se dar con el tiempo. Lo importante, por ahora, es basarse en las orientaciones del MINEDUC, ya que eso nos permite movernos en un rea cierta y segura, al menos hasta que ocurran los cambios que esperamos. Recuerda que debemos explicar uno de los conceptos fundamentales, el de variable aleatoria, que son cantidades o magnitudes susceptibles de variar al azar. Es decir, cuando se asocia un nmero x a cada resultado posible de un experimento aleatorio, este nmero recibe el nombre de variable aleatoria. Lo s seal Camila, incluso lo explica el experimento de escoger de un rbol, una manzana al azar y pesarla. El peso ser una variable asociada a cada manzana y como la manzana fue escogida aleatoriamente, su peso ser una variable aleatoria. Y tambin nos aclara complet Daniel que una vez escogida una manzana especfica, su peso ya no es aleatorio. Y que el mismo experimento aleatorio permite definir diferentes variables aleatorias. En lugar del peso de la manzana, podra determinarse su volumen. Ayer, buscando material para la clase de probabilidades, encontr unos apuntes que nos pueden servir. Camila cogi uno de sus apuntes y se lo pas a Daniel. Este comenz a leerlo en voz alta: El primer libro sobre teora de la probabilidad es el Manual sobre juegos de azar de Girolamo Cardano alrededor de 1550, que est bsicamente dedicado al juego del dado y que fue publicado unos cien aos despus de su muerte. Galileo tambin se interes por los juegos de azar y escribi un folleto titulado Descubrimientos sobre los juegos con dados publicado en 1718. Veo que los primeros estudios estn relacionados con los dados dijo Daniel luego, lo ms lgico sera partir de esa manera en clases. Qu te parece? Muy bien apoy Camila y lo podemos hacer basado en el problema del Duque de Toscana. 52

Y de qu trata eso? pregunt Daniel frunciendo el ceo. Te cuento dijo sonriendo Camila por la cara que haba puesto su compaero de labores. El duque de Toscana fue un jugador empedernido, especialmente con los dados y observ que en un juego en el que se tiran tres dados y se suman las pintas obtenidas, siempre se obtena ms veces 10 que 9. Lo que le extraaba era que ambas sumas se pueden obtener siempre de 6 maneras: el 9 como 1+2+6; 1+3+5; 1+4+4; 2+2+5; 2+3+4; 3+3+3, mientras que 10 se obtiene por 1+3+6; 1+4+5; 2+2+6; 2+3+5; 2+4+4; 3+3+4. Muy interesante y motivador coment Daniel. Esto le fue consultado a Cardano prosigui Camila, pero no dio una respuesta satisfactoria y se tuvo que esperar 50 aos ms para que Galileo diera con la solucin, considerando, por ejemplo, que 1+2+6 era distinto a 1+6+2 y a 2+1+6, etc. En conclusin, Galileo determin que hay 25 maneras distintas de obtener 9 y 27 maneras distintas de obtener 10. En conclusin afirm Daniel, es normal que d 10 con ms frecuencia que 9. Exactamente apoy Camila y ese puede ser nuestro punto de partida en probabilidades. Es cosa de pedirle a nuestros alumnos que traigan 3 dados por grupo y que realicen algo similar al problema del duque de Toscana. Excelente exclam Daniel y le gust el rumbo que estaba tomando la preparacin de clases. Otra situacin que podemos considerar, es el trabajo con monedas, que tambin tiene que ver con un error histrico Camila busc entre sus apuntes. Ese hecho es conocido como el error de DAlembert dijo Daniel mientras se acomodaba en su silla para explicarlo. Jean DAlembert fue un famoso matemtico francs del siglo XVIII y que en el ao 1754 plante el problema: cul es la probabilidad de obtener cara por lo menos una vez al lanzarse dos monedas? 53

Pero yo no veo dificultad en determinar eso! expres Camila. Es porque ahora ya lo tenemos muy claro, pero en ese tiempo no haban muchos estudios sobre esas situaciones. Segn DAlembert, las posibilidades eran que saliera cara en el primer lanzamiento, cara en el segundo lanzamiento o ninguna cara, por lo que tena 3 casos posibles, de los cuales 2 eran favorables, es decir, determin que la probabilidad buscada era cribi: Cara-Cara, Cara-Sello, Sello-Cara, Sello-Sello Es decir, la probabilidad es

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Pero eso es un error seal Camila. Tom un papel y es-

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As es confirm Daniel pero son los errores esperados cuando se inicia el estudio de un conocimiento, en este caso, las probabilidades. Por lo tanto, en ese error tenemos otra actividad para hacer en clases. Podemos partir haciendo que en grupos de dos, lancen una moneda 50 veces y que vayan anotando la cantidad de caras y sellos obtenidos. Luego, sumar el total de todo el curso y sacar conclusiones. Posteriormente, pasar al lanzamiento de dos monedas. Y con eso, ms algunos ejercicios que aparecen en el texto, ya tenemos cubierto lo que se refiere a la definicin de probabilidad dijo Daniel. Incluso podemos darle como investigacin que determinen la probabilidad de ganarse el Kino. Estupenda idea! exclam Daniel. Definindoles primero factorial de un nmero y la frmula de combinatoria. Claro que para revisarlo posteriormente tenemos que obtener el resultado nosotros primero. Y qu esperamos? seal Camila sonriendo y sacando su calculadora. 54

Como cada cartn tiene 15 nmeros impresos entre los nmeros 1 y 25, entonces debemos resolver

10!15! 1 1 = = = 25! 25! 25 15 10!15!

10!15! = 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16Simplificando y multiplicando dijo Camila resulta

1 = 0,00000031 3.268.760Esa es la probabilidad de ganar el Kino coment satisfecho Daniel. Y podemos afirmar este conocimiento, pidindoles que saquen la probabilidad de obtener 14 aciertos, 13 aciertos y 12 aciertos. Te parece? Correcto y podemos iniciar la prxima clase con los problemas planteados por el Caballero de Mer el ao 1650. Estupendo! Es la introduccin perfecta para iniciar el estudio de la probabilidad condicionada. Aqu tengo el enunciado: Dos personas, Alberto y Berta, participan en un juego donde las dos tienen la misma probabilidad de ganar. El primero que gane cinco veces, cobra el premio de 4.200 francos franceses. Desgraciadamente, despus de lanzar la moneda siete veces hay que suspender la contienda; en ese momento A, ha ganado 4 veces y B, ha ganado 3 veces. Cmo tiene que dividirse el premio entre los dos jugadores? La jornada ha sido muy beneficiosa! exclam satisfecha Camila. 55

Por supuesto afirm Daniel trabajando en equipo todo se hace ms fcil. Me parece que antes no opinabas lo mismo dijo maliciosamente Camila. Daniel se puso de pie, sonri y se retir cantando: Cambia, todo cambia

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LAS AGUJAS Y UN ENIGMAAquella maana, Daniel, estaba bien preparado para realizar una actividad novedosa, que a la vez permitira a los alumnos concluir algunas situaciones matemticas. Ya que estamos trabajando con las probabilidades comenz Daniel hoy, vamos a realizar un experimento que estoy seguro les va a interesar. Se relaciona con un naturalista y matemtico francs llamado Georges Louis Leclerc de Buffon, quien naci el ao 1707 y muri en 1788. l, fue uno de los primeros en trabajar el concepto de probabilidad geomtrica y adems escribi un monumental tratado llamado Historie Naturelle que consta, nada menos, que de 44 volmenes. Para realizar esta actividad continu Daniel quiero que dibujen en su cuaderno una rejilla de 7 lneas horizontales de unos 10 cm de ancho, separadas por 1,3 cm. Y mientras los alumnos hacan los respectivos rayados, Daniel comenz a repartir unos palillos a cada uno. Listos? pregunt Daniel. Siiii respondieron como siempre los alumnos. Les acabo de entregar a cada uno 4 palillos iguales. Van a tirar estos palillos sobre el enrejado que hicieron y si un palillo cae sobre una lnea o atraviesa una lnea se anota un punto. Efecten el lanzamiento 25 veces y cuando tengan el total de puntos, vamos a juntarlos todos anotndolos en la pizarra y sacaremos la relacin entre el total de palillos lanzados y el total de puntos obtenidos. Durante algunos minutos, todos se dedicaron a lanzar sus palillos sobre las lneas que cada uno dibuj. Una vez que todos terminaron y contabilizaron los puntos obtenidos se lleg al trabajo final.

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Bien, Cunto nos da la suma total de todos los puntos? pregunt Daniel. Da 1.157, seor respondieron varios alumnos. Cada uno realiz 25 lanzamientos lo que hace un total de 100 palillos lanzados calcul Daniel. Y como somos 36 alumnos, en total se lanzaron 3600 palillos concluy Mario. Efecten la divisin

3600 sugiri Daniel. 1157

Da 3,111495respondi Sofa. Qu nmero les recuerda el resultado obtenido? pregunt Daniel. Se parece al valor de Pi respondi Mario. Exactamente dijo Daniel, a eso quera que llegramos. Que a medida que el nmero de lanzamientos crece, la razn entre los lanzamientos y el nmero de veces que la aguja toca alguna de las lneas se aproxima cada vez ms al nmero Pi. Profesor dijo lvaro, los palillos que nos reparti son todos iguales, Resultara lo mismo sin son distintos? No dara el mismo resultado respondi, todos los palillos deben ser de igual tamao y su medida debe corresponder a la mitad de la separacin entre las lneas. O sea, que dibujamos lneas con una separacin de 1,3 cm entre s, porque los palillos que usted nos dio miden la mitad, es decir, 0,65 cm seal Mario. Correcto Mario afirm Daniel. As que si quieren repetir el experimento deben considerar las relaciones de medidas que Mario acaba de concluir. Y la pregunta del milln: seor! dijo Raquel, Lo que hicimos tiene alguna aplicacin en la vida real? Y como siempre, tras esa temida pregunta a los profesores, el curso hizo un expectante silencio. 58

Es difcil de creer, pero s y no una sola respondi Daniel. Tiene aplicacin en la Cartografa. Por ejemplo, para determinar la longitud de un ro, aunque para ello se debe aplicar una matemtica un poco ms avanzada. Pero si alguien quiere ejemplos especficos, les recomiendo el libro La Probabilidad y sus Aplicaciones que escribi un famoso matemtico llamado Luis Santal. Y no slo eso finaliz Daniel el problema de la aguja de Buffon es la esencia de dos ramas de la Matemtica; la Geometra Integral y la Estereologa, contenidos que se trabajan a nivel universitario. Y qu es la Estereologa? dijo Sofa. La estereologa explic Daniel, comprende un conjunto de mtodos para la exploracin tridimensional del espacio, y permite conocer, por ejemplo, el nmero de partculas o la curvatura total de una superficie. Tiene una relacin muy estrecha con aquellas disciplinas cientficas que utilizan un microscopio para su desarrollo. Por ejemplo, para saber si una determinada droga es la causante de la prdida de clulas de un rgano. La estereologa tambin sirve de ayuda en el diagnstico basado en imgenes obtenidas mediante resonancia magntica u otras tcnicas, para averiguar cunto ha crecido un rgano o tumor. Seor, y dnde aprendi todo eso? pregunt Sofa sorprendida. Preparando esta clase encontr toda esa informacin, ms otros aportes de la profe Camila. Como pueden ver concluy Daniel algo que parece intrascendente como lanzar unos palillos a unas lneas, ha pasado a ser de vital importancia en la ciencia de hoy. Bien, espero que les haya gustado la actividad de hoy y hayan aprendido algo ms de la matemtica. Si profe, sper entretenido dijo Raquel. Quiero terminar esta clase, planteando un desafo para que lo traigan resuelto la prxima semana. Est referido a un gran enigma, un verdadero rompecabezas que Alberto Einstein escribi 59

siendo muy joven. Segn el cientfico alemn, el 98 por ciento de la gente del mundo es incapaz de solucionarlo. Tan difcil es? pregunt Lorena, Es de mucha lgica y para solucionarlo, se debe seguir un procedimiento ordenado respondi Daniel. El problema es el siguiente: Hay cinco casas y cada una de ellas es de diferente color. En cada casa vive una persona de nacionalidad diferente. Estos cinco propietarios son adeptos a un cierto tipo de bebida, fuman una marca de cigarros en particular y tienen un animal caracterstico como mascota. Ninguna de estas personas tiene la misma mascota, fuma la misma marca de cigarros o gusta de la misma bebida. Y la pregunta final es Quin es el dueo del pez? Un signo de interrogacin se dibujaba en la expresin del rostro de sus alumnos al terminar de leer el problema. Daniel no pudo resistir la tentacin de rerse y mientras lo haca, reparti a cada uno una hoja impresa. En la hoja que les estoy entregando explica est el enunciado del problema y las pistas que les ayudarn a resolver este interesante enigma. Esteban, Podras leer las pistas por favor? S seor dijo Esteban, en voz alta y clara: 1. El hombre ingls, vive en la casa roja. 2. El sueco tiene perros en su casa. 3. El dans, bebe t. 4. La casa verde est situada a la izquierda de la casa de color blanco. 5. El dueo de la casa verde, bebe caf. 6. La persona que fuma cigarros Pall Mall, cra pjaros. 7. El dueo de la casa amarilla, fuma Dunhill. 8. El hombre que vive en la casa ubicada exactamente a la mitad de las dems, bebe leche. 9. El noruego, vive en la primera casa. 60

10. El hombre que fuma Blend, vive al a lado del que tiene gatos. 11. El hombre que tiene caballos, vive al lado del tipo que fuma Dunhill. 12. El individuo que fuma Blue Master, bebe cerveza. 13. El alemn, fuma Prince. 14. El noruego, vive junto a la casa azul. 15. La persona que fuma Blend, tiene un vecino que bebe agua. Gracias Esteban! Espero que pasen unos das muy entretenidos, solucionando este problema. Estoy seguro que lo lograrn. Se despidi del curso y se retir, mientras ya algunos comenzaban a darle las primeras vueltas al enigma.

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CONOCIENDO LA PSUEl cuarto ao medio planteara a Daniel y Camila nuevos desafos. La planificacin no slo debe cubrir el currculo sino tambin la preparacin para la Prueba de Seleccin Universitaria, preocupacin anual de alumnos padres y colegio en general. Cmo vamos a preparar a los chicos para la PSU, este ao? pregunt Daniel a Camila. No lo s todava respondi Camila, pero tenemos que ponernos de acuerdo, respecto de cmo, cundo, qu contenidos vamos a priorizar y si haremos slo ensayos o tambin repasaremos las materias. Pienso que podramos recortar una hora al plan de estudio el primer semestre, para hacer repasos, ampliar a dos el segundo semestre y coordinar los ensayos mensuales con el Departamento de Lenguaje. Afortunadamente el plan de cuarto es breve, por lo que no tendremos problemas para hacer las adecuaciones record Camila. Podramos comenzar, detallando a los alumnos las caractersticas de la Prueba, tales como cuntas preguntas de cada materia contiene, cules ocupan ms tiempo, qu materia requiere una mayor y mejor preparacin dada su dificultad, etc. sugiri Daniel. Pero, el nmero de preguntas no es fijo, asegur Camila. No, pero la variacin es muy mnima y si quieres, podemos verificarlo en los ensayos anteriores. Est bien, t eres el de la experiencia, ests ms informado que yo, as que dime! y Camila se dispuso a anotar. Daniel entreg a Camila la siguiente clasificacin de preguntas de PSU: 63

Nmeros y Proporcionalidad, 10 preguntas; lgebra y Funciones, 29 preguntas; Geometra, 21 preguntas; Estadstica y Probabilidad, 10 preguntas. Podramos desmenuzar un poco ms estos temas para determinar la cantidad de preguntas por cada contenido seal Camila. Eso ya es algo ms difcil dijo Daniel pensativo, pero podramos intentarlo porque en algunas materias se mantiene casi fijo, como en logaritmo que aparece generalmente una pregunta, mximo dos. Lo mismo ocurre con la exponencial y con preguntas que son tpicas, como, si 3 x + 3 x = m , determinar 9 x + 9 x . Y cmo haces para estar tan informado de esos detalles? pregunt curiosa Camila. Leyendo o escuchando todas las informaciones que aparecen respecto a la prueba. Tambin, analizando cada facsmil oficial, pregunta a pregunta y a travs de la informacin de mis alumnos. T has visto que despus de rendir la PSU de matemtica la mayora de los alumnos viene al colegio y nos juntamos en una sala, all me dan a conocer las preguntas que les aparecieron y nos dedicamos a reconstruir el ensayo, generalmente logramos armar unas 60 preguntas de las 70. Es bueno saber cmo trabajas dijo Camila yo, slo llevo dos aos preparando alumnos para la PSU y necesito el mximo de apoyo. Por supuesto y en eso estamos. El tema que debemos preparar muy bien, es el de probabilidades ya que aparecen entre 4 y 5 preguntas en la prueba y ya sabes que a los alumnos les cuesta entenderlo. No slo a ellos reconoci Camila. Por lo mismo, lo estoy estudiando mucho. En probabilidades, me cuesta visualizar la forma de abordar algunos de los problemas para resolverlos. Te pas a t lo mismo, cuando comenzaste a estudiarlos? Exactamente lo mismo! respondi Daniel. Los contenidos de probabilidades no son muchos, pero cuando se ejercita, la variedad y cantidad de problemas que surgen requieren de mucho anlisis. 64

Qu otro tema tiene un nmero importante de preguntas? inquiri Camila. Son varios, pero hay que tener especial cuidado con Transformaciones Isomtricas. Recuerda que nuestros alumnos que ahora estn en cuarto medio, no vivieron la reforma curricular en primero, porque en ese tiempo, an no se haban incorporado. Eso significa que no tienen conocimiento sobre el tema. Entonces, probabilidades y transformaciones isomtricas debieran ser las primeras materias en tratarse este ao concluy Camila. No necesariamente respondi Daniel, debemos planificar nuestro trabajo y podemos hacerlo siguiendo el mismo orden en que se pasaron los contenidos durante la educacin media. Lo importante es asegurarles a los alumnos que todos los contenidos van a ser repasados. Qu frmulas utilizas para determinar los puntajes? pregunt Camila, cambiando de tema. Si aplico un ensayo de 70 preguntas utilizo la frmula

I C 8,6 + 248 4 donde C corresponde a las preguntas correctas e I a las incorrectas. Esa es la frmula oficial? pregunt Camila. No existe una frmula oficial le respondi Daniel existe una tabla, elaborada por el DEMRE, que se basa en las preguntas correctas y en las incorrectas, que asignan al puntaje corregido, un determinado puntaje final. Tenemos claro coment Camila que los contenidos que se pasan en tercero y cuarto medio del plan diferenciado de matemtica, no entran en la PSU. Slo los del plan comn, adems es conveniente saber los tipos de preguntas que no aparecern jams en una PSU. Cmo cules? volvi a preguntar Camila.

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Como el cubo de