“AÑO DE LA DIVERSIFICACIÓN PRODUCTIVA Y DEL FORTALECIMIENTO DE LA EDUCACIÓN”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA

FACULTAD DE CIENCIAS

ESCUELA PROFESIONAL ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES

CURSO : Estadística y Probabilidades.

TEMA : Pruebas de Hipótesis.

DOCENTE : Minchola Alza, Ronald.

ALUMNOS :

Zutta Celis, Manuel.

Ramirez Zapata, Sergio Abel.

Correa Estrada, Julian Humberto.

Zapata Loaiza, Lissete Alexandra.

Jimenez Abad, Luis Alberto.

Torres Garcia, Jorge Luis.

05 de agosto del 2015

Introducción

La presente investigación se refiere al tema de prueba de hipótesis, que son procedimientos de decisión basada en datos que puedan producir una conclusión acerca de algún sistema científico, una hipótesis estadística es una afirmación o conjetura acerca de una o más poblaciones.

La característica principal es que esta prueba de hipótesis es que no sabe con certeza la veracidad o falsedad, para ello se necesita trabajar con toda la población, esta solo actúa en una muestra aleatoria que se requiere investigar.

Pruebas de Hipótesis

Son procedimientos de decisión basada en datos que puedan producir una conclusión acerca de algún sistema científico.

Una hipótesis estadística es una afirmación o conjetura acerca de una o más poblaciones.

No es posible saber con absoluta certeza la verdad o falsedad de una hipótesis estadística, pues para ello habría que trabajar con toda la población. En la práctica se toma una muestra aleatoria de la población de interés y se utilizan los datos que contiene tal muestra para proporcionar evidencias que confirmen o no la hipótesis. Si la evidencia de la muestra es inconsistente con la hipótesis planteada, entonces ésta se rechaza y si la evidencia apoya a la hipótesis planteada, entonces se acepta ésta.

La aceptación de una hipótesis implica tan sólo que los datos no proporcionan evidencia suficiente para refutarla. Por otro lado, el rechazo implica que la evidencia de la muestra la refuta.

La estructura de una prueba de hipótesis consiste en la formulación de una hipótesis nula, es decir, cualquier hipótesis que se desee probar, se denota por H 0 . El rechazo de H 0, genera

la aceptación de una hipótesis alternativa, que se denota por H 1.

Una hipótesis nula referente a un parámetro poblacional siempre debe establecerse de manera que especifique un valor exacto del parámetro, mientras que la hipótesis alternativa admite la posibilidad de varios valores.

Por ejemplo:

1) 2) 3)

En la hipótesis alternativa se plantea usualmente lo que se cree verdadero y en la hipótesis nula lo que se desea rechazar.

Para tomar una decisión acerca de un parámetro es necesario una prueba estadística para cuantificar esta decisión. Esto se logra al establecer primero la distribución muestral que sigue la muestra estadística (es decir, la media) y después calcular la prueba estadística apropiada. Esta prueba estadística mide qué tan cerca de la hipótesis nula se encuentra el valor de la muestra. La prueba estadística suele seguir una distribución estadística conocida ( normal, t-student, ji cuadrado).

La distribución apropiada de la prueba estadística se divide en dos regiones:

a) región de rechazo ( región crítica)b) región de no rechazo

Si la prueba estadística cae en la región de no rechazo no se puede rechazar la hipótesis nula y si cae en la región de rechazo, se rechaza la hipótesis nula.

Para decidir con relación a la hipótesis nula, primero se tiene que determinar el valor crítico para la distribución estadística de interés. El valor crítico separa la región de no rechazo de la de rechazo.

Errores al reali z ar una prueba de hipótesis

Al utilizar una muestra para obtener conclusiones sobre una población existe el riesgo de llegar a una conclusión incorrecta. Pueden ocurrir dos errores diferentes:

1) Error tipo I consiste en rechazar cuando ésta es verdadera.

2) Error tipo II consiste en aceptar cuando ésta es falsa.

Al probar cualquier hipótesis estadística, existen cuatro posibles situaciones que determinan si la decisión es correcta o equivocada

H 0es verdadera H 0 es falsase acepta H 0 decisión

correctaerror tipo II

se rechaza H 0

error tipo I decisión correcta

La probabilidad de cometer error tipo I, es decir, rechazar H 0 cuando es verdadera, se denomina nivel de significación y se denota por α .P (error tipo I)=α.

La probabilidad de no cometer error tipo I, es decir, aceptar H 0 cuando es verdadera, se denota por 1-α .P (error tipo I) c =1-α.

La probabilidad de cometer error tipo II, es decir, aceptar H 0 cuando es falsa, se representa por β .P (error tipo II)=β.

La probabilidad de no cometer error tipo II, es decir, rechazar H 0 cuando es falsa, se denomina

Potencia de la prueba y se denota por 1-β .P (error tipo I) c =1-β.

El ideal al rechazar una prueba de hipótesis es determinar los procedimientos o reglas que conduzcan a maximizar la potencia de una prueba, para un α fijo. α se suele especificar antes de tomar una muestra, es frecuente que α=0,05 o α=0,01.

Esquema para realizar una prueba de hipótesis acerca de un parámetro θ

1.- Plantear la hipótesis nula y la hipótesis alternativa.

a) b) c)

2.- Seleccionar el test estadístico o estadístico de prueba.3.- Fijar α (0,05; 0,01; 0,10).4.- Construir la regla de decisión o región crítica con el valor elegido de α.5.- Extraer una muestra aleatoria de tamaño n y calcular el valor del test estadístico.6.- Si el valor calculado del test estadístico cae en la región crítica rechazar H 0 , en caso contrario no rechazar H 0 y concluir que la muestra aleatoria no proporciona evidencia para rechazarla.

Pruebas unilaterales y bilaterales.

Una prueba de hipótesis será unilateral ( de una cola) en los siguientes casos.

a)

b)

c)

d)

Una prueba de hipótesis será bilateral (de dos colas) si

Pruebas de hipótesis

a) Para la media (µ) si la varianza (σ 2) es conocida.

Recuerde que si X ~ N (µ,σ2), entonces ~ N (µ,

σ2

n ). Luego la prueba estadística

adecuada debe ser:

1. La prueba de hipótesis unilateral

a. o

b. o

2. Pruebas bilaterales.

Ejemplo:

1) Considere la hipótesis nula de que el peso promedio de estudiantes hombres de un cierto instituto es 68 kilos contra la hipótesis alternativa de que es diferente de 68 kilos. Suponga que los pesos se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 3,6 kilos. Se elige una muestra aleatoria de 36 estudiantes y se obtiene un peso promedio de 67,5 kilos. Utilice un nivel de significación del 5 %.

Región crítica (RC)

RC: -1.96 < z < 1.96

=67.5 n=36 σ=3.6Z= -0.83

Se acepta , es decir, no es posible decidir si el peso promedio de los estudiantes de un cierto instituto es distinto de 68 kilos.

b) Para la media (µ) si la varianza (σ 2) es desconocida.Recuerde que cuando σ 2es desconocida se usa s2y por lo tanto la prueba estadística adecuada es

t= x−μs

√n1) Para pruebas de hipótesis unilaterales

a) H 0 :θ=θ1 o H 0 :θ≤θ1

H 1: θ>θ1 H 1: θ>θ1

b) H 0 :θ=θ1 o H 0 :θ≥θ1

H 1: θ<θ1 H 1: θ<θ1

2) Para pruebas bilaterales

H 0 :θ=θ1

H 1: θ≠θ1

Ejemplo:

1) Una compañía de electricidad ha publicado cifras acerca de la cantidad anual de kilowatts-hora consumida por varios aparatos para el hogar. Se afirma que la aspiradora consume un promedio de 46 kilowatts-hora al año. Si una muestra aleatoria de 12 hogares incluidos en un estudio planeado indica que las aspiradoras consumen un promedio de 42 kilowatts-hora al año con una desviación stándar de 11,9 kilowatts-hora. ¿Sugiere esto, con un nivel de significación de 0,05, que las aspiradoras consumen, en promedio, menos de 46 kilowatts-hora al año? Suponga que la población de kilowatts-hora es normal.

H 0 : μ=46H 1: μ<46

α=0,05 x=42 n=12 s=11,9

RC :−t0,05 ( 11)=−1,796

t=42−4611,9

√12

=−1,16

Se acepta H 0 , es decir, la muestra elegida no da pruebas que el consumo de kilowatts-hora al año de la aspiradora sea menor que 46

c) Pruebas de hipótesis relacionadas con varianzas Se utilizan para probar uniformidad de una población. Para ello se usa como prueba estadística la distribución ji cuadrada:

x2=(n−1)s2

s2

1) Para pruebas de hipótesis unilaterales

a) H 0 :θ=θ1 o H 0 :θ≤θ1

H 1: θ>θ1 H 1: θ>θ1

b) H 0 :θ=θ1 o H 0 :θ≥θ1

H 1: θ<θ1 H 1: θ<θ1

2) Para pruebas bilaterales

H 0 :θ=θ1

H 1: θ≠θ1

Ejemplo:

1) Un fabricante de baterías para automóvil asegura que la duración de sus baterías tiene distribución aproximadamente normal con una desviación stándar de 0,9 años. Si una muestra aleatoria de10 baterías tiene una desviación stándar de 1,2 años ¿Piensa usted que σ>¿0,9 años? Utilice un nivel de significación de 0,05

H 0 :σ2=0,81

H 1: σ2>0,81

α=0,05

s2=1,44 n=10

RC : x20,05(9)=16,919

x=9.1,440,81

=16

No es posible rechazar H 0

Ejercicios desarrollados

Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que está distribuida aproximadamente en forma normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Pruebe la hipótesis de que µ = 800 horas en contraposición de la alternativa de que µ ≠800 horas si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas. Utilice un nivel de significación de 0,04.

H0: µ = 800H1: µ ≠800α = 0,04Región critica:

R.C= - Z1-α/2 ≤ Z ≤ Z1-α/2

R.C= - Z1-0,2 ≤ Z ≤ Z1-0,2

R.C= -Z0,98 ≤ Z ≤ Z0,98

R.C= -1.96 ≤ Z ≤ 1.96¿X= 788 n=300focos σ=40 horas

Z=788−80040

√30

=−1.643

Se acepta H0 es decir, los focos tienen una duración promedio de 800 horas.

Un fabricante de capacitores afirma que el contenido promedio de dieléctrico no excede de 3,5K, con una desviación estándar de 1,4K. Para una muestra de 8 capacitores se tiene un contenido promedio de dieléctrico de 4,2K ¿Esta esto de acuerdo con la afirmación del fabricante? Use nivel de significación de 0.05.

H0: µ ≥ 3,5H1: µ ≤α = 0,05Región critica:

R.C= Z ≤ Z1-α/2

R.C= Z ≤ Z1-0,2

R.C= Z ≤ Z0,98

R.C= Z ≤ 1.96X= 4,2 n= 8 capacitores σ = 1,4

Z=4,2−3,51,4

√8

=1.42∨¿

Se acepta H0 es decir, es correcta la afirmación del fabricante.

Las tensiones de ruptura de los cables fabricados por una empresa tienen media de 1800 lb y una desviación estándar de 100 lb. Se desea comprobar si un nuevo proceso de fabricación aumenta dicha tensión media. Para ello se toma una muestra de 50 cables y se encuentra que su tensión media de ruptura es de 1850 lb ¿Se puede afirmar la mejoría del nuevo proceso al nivel de significación del 1%?

H0: µ ≥1800H1: µ ≤1800α = 0,01

Región critica:R.C= Z ≤ Z1-α

R.C= Z ≤ Z1-0,01

R.C= Z ≤ Z0,99

R.C= Z ≤ 2.59X = 1850 n = 50 σ = 100

Z=1850−1800100

√50

=−3.54

Se rechaza es decir, el nuevo proceso de fabricación aumenta la tensión de ruptura.

Se requiere que la tensión de ruptura promedio de un hilo utilizado en la fabricación de fibra óptica sea al menos de 100 psi. La experiencia ha indicado que la desviación estándar de la tensión de ruptura es 2 psi. Se prueba una muestra aleatoria de 9 especímenes, y la tensión de ruptura promedio observada en ella es de 98 psi ¿Debe aceptarse la fibra como aceptable con α = 0,05?

H0: µ ≤ 100H1: µ ≥ 100α = 0,05Región critica:

R.C= Z ≤ Z1-α

R.C= Z ≤ Z1-0,05

R.C= Z ≤ Z0,95

R.C= Z ≤ 2.96X= 788 n=300focos σ=40 horas

Z=100−982

√9

=3

Se rechaza H0 es decir, la tensión de ruptura promedio es menor que 100 psi.