Ejercicios Resueltos Pruebas Hipotesis

1ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis

Pruebas de hipótesis

ResumenUna de las temáticas que se aborda desde el curso Inferencia Estadística es el de

pruebas de hipótesis, por lo cual se presenta una miscelánea de problemas

resueltos correspondientes a contrastes unilaterales y bilaterales cuando lo que se

quiere estimar en una población es, un promedio poblacional μ; una proporción p; y en el caso de dos poblaciones, una diferencia de medias o una diferencia de

proporciones

Diana Milena Caliman

Jeammy Julieth Sierra Hernández

Miscelánea de problemas

1. Una muestra aleatoria de zapatos (n = 40) usados por los soldados en

campaña en un desierto revela una vida media de 1.08 años, con una desviación

estándar de 0.5 años. Se sabe que en condiciones normales dichos zapatos

tienen una vida media de 1.28 años. Al nivel de significación del 5%, ¿Hay razón

para sostener que la disminución de la vida media de los zapatos se debe a su

uso en el desierto?

Tabla de datos:

Media poblacional μ=1.28

Tamaño de

muestra

n=40

Varianza muestral s2=0.5

Media Muestral x=1.08

Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra HernándezTutor: Diana Caliman



H o : μ ≥ 1.28

H 1: μ < 1.28

∝=0.05

z= x−μs√n

z=1.08−1.280.5√40

=−2.528

Como la prueba de hipótesis es de una cola a izquierda (H 1: μ < 1.28) la cola

(zona amarilla) queda a la izquerda. Para calcular el estadístico teórico (o

tabulado) se puede usar la tabla de la normal. Lo cual consiste en encontrar el

número que deja por debajo el área correspondiente a la zona de rechazo, que es

de 5%. Entonces, se busca en la tabla normal el valor Z que por debajo de él

queda un área de 0,05.

Descargue las tabla normal estandar (acá) y allí en la hoja “Norm+” ubique en las

casilla en blanco el valor 0,05 o en su defecto el más cercano. Como la tabla que

está allí solo contempla valores a partir de 0,5 y sabiendo que el gráfico de la

normal es simétrico, entonces ubique el valor simétrico. Es decir, el Z que por por


Paso 1: Planteamiento de hipótesis

Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)

Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión

Paso 2: Nivel de significancia α

https://sites.google.com/site/unadjeammysh/recursos-de-apoyo/Dist-Norm.xlsx?attredirects=0&d=1



debajo de tiene un área de 0,05 es el mismo valor Z pero con signo opuesto que

deja por debajo el 0,95 (debido a que el área por encima es 0,05)

Ubicando la probabilidad 1- = 0,95; como no se encuentra el número exacto de

0,95 la probabilidad más cercana en la tabla está entre los números 0.9494 y

0,9505, por eso Z=−1,645 que es el valor intermedio de -1,64 y -1,65.

Otra manera es usar la fórmula de la normal en excel:

=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,05). Lo que arroja como resultado -1.645

Se ubica en la gráfica primero el Z teórico (-1,645). Luego, ubica el Z cálculado del

paso 3, si este Z calculado queda por debajo del estadístico teórico se rechaza la




Ho (por se una prueba de cola izquierda) pero si queda por encima NO se puede

rechazar Ho.

Ya que el Z calculado -2,52 es menor que el teórico -1,645, se rechaza que

μ≥1 .28. Si hay razón para sostener que la disminución de la vida media de los

zapatos se debe a su uso en el desierto, al nivel del 5%.

2. Un proceso está programado para empacar la cantidad, media, de una libra

(16 onzas) de café. Se toma una muestra aleatoria de 36 paquetes; resulta

una media de 14.2 onzas y desviación típica de 5.3 onzas. Al nivel del 5%,

¿Se podrá afirmar que no se está cumpliendo con lo indicado en el empaque?

Tabla de datos:

Media poblacional μ=16

Varianza muestral s2=5.3

Tamaño de muestra n=36


H o : μ = 16

H 1: μ¿ 16

∝=0.05


Paso 5: Tomar la Decisión






Z= x̄−μs√n

=14 .2−165 . 3

√36

=−2. 03

Como la prueba de hipótesis es de dos colas (H 1: μ¿ 16) la zona de rechazo esta

abajo y arriba. Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la

tabla de la normal, ubicando la probabilidad 1-α

2=0 . 975

; como no se

encuentra el número exacto de 0,975 la probabilidad más cercana en la tabla está

entre los números 0,97441194 y 0,97500211, por eso Z=196 que es el valor

intermedio de 1,95 y 1,96.

Normal 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

0,9 0,81593988 0,81858875 0,82121362 0,82381446 0,82639122 0,82894387

0,83147239

0,83397675





1 0,84134475 0,84375236 0,84613577 0,848495 0,85083005 0,85314094 0,8554277 0,857690351,1 0,86433394 0,86650049 0,86864312 0,87076189 0,87285685 0,87492806 0,8769756 0,878999521,2 0,88493033 0,88686055 0,88876756 0,89065145 0,8925123 0,89435023 0,89616532 0,897957691,3 0,90319952 0,90490208 0,90658249 0,90824086 0,90987733 0,91149201 0,91308504 0,914656551,4 0,91924334 0,92073016 0,92219616 0,92364149 0,9250663 0,92647074 0,92785496 0,929219121,5 0,9331928 0,93447829 0,93574451 0,93699164 0,93821982 0,93942924 0,94062006 0,941792441,6 0,94520071 0,94630107 0,94738386 0,94844925 0,94949742 0,95052853 0,95154277 0,952540321,7 0,95543454 0,95636706 0,95728378 0,95818486 0,95907049 0,95994084 0,9607961 0,96163643

1,8 0,96406968 0,96485211 0,9656205 0,96637503 0,96711588

0,96784323

0,96855724 0,969258091,9 0,97128344 0,97193339 0,97257105 0,97319658 0,97381016 0,97441194 0,97500211 0,97558082

Otra manera es usar la fórmula de la normal en excel: =DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,025). Lo que arroja como resultado -1.95996.

Como el Z calculado -2,03 es menor que el valor inferior de los estadísticos

teóricos -1,96 se rechaza Ho. Al nivel del 5% si se podrá afirmar que no se está

cumpliendo con lo indicado por la fabrica. Se puede ver que -2.03 se ubica en la

región critica, por lo tanto se estará rechazando la hipótesis nula, y aceptando la

hipótesis alternativa.

3. Un inspector de calidad investiga las acusaciones contra una embotelladora

por su deficiente llenado que debe ser, en promedio, de 32,5 onzas. Para ello

toma una muestra de 60 botellas, encontrando que el contenido medio es de 31,9

onzas de líquido. Se sabe que la maquina embotelladora debe producir un llenado

con una desviación típica de 3,6 onzas. ¿puede el inspector llegar a la conclusión,

a nivel de significación del 5%, que se están llenando las botellas por debajo de su

especificación del contenido?

Tabla de datos:





Media poblacional μ=32,5

Desviación

poblacional

σ=3,6


Media Muestral x=31,9

H o : μ = 32,5

H 1: μ < 32,5

∝=0.05

z= x−μ

σ√n

acá se uso la desviación poblacional

z=31,9−32,53,6√60

=−1,29








Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla de la

normal, ubicando la probabilidad 1- = 0,95; como no se encuentra el número

exacto de 0,95 la probabilidad más cercana en la tabla está entre los números

0.9494 y 0,9505, por eso Z=−1,645 que es el valor intermedio de 1,64 y 1,65.



Como el estadístico de prueba Z = -1.29 se sitúa en la zona de aceptación, es

válida la hipótesis nula, lo cual significa que el inspector no debe llegar a la

conclusión de que se está llenando y vendiendo un producto por debajo de su

especificación, al nivel del 5%.





4. La verdadera media del peso de un costal de harina debe ser de 50 kg. Se

pesan 36 costales obteniendo una media de 49.5 kg con una desviación de 1.2 kg.

Haga una prueba de hipótesis, con el 95% de confianza, para verificar si el

contenido de los costales es diferente a 50 kg.

Tabla de datos:


Desviación muestral S=1.2



H o : μ = 50

H 1: μ¿ 50

∝=0.05

Z= x̄−μs√n

=49 .5−501 . 2

√36

=−2 .5









normal, ubicando la probabilidad 1-α

2=0 . 975

; como no se encuentra el

número exacto de 0,975 la probabilidad más cercana en la tabla está entre los

números 0,97441194 y 0,97500211, por eso Z=196 que es el valor intermedio de

1,95 y 1,96.

Normal 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

0,9 0,81593988 0,81858875 0,82121362 0,82381446 0,82639122 0,82894387

0,83147239

0,833976751 0,84134475 0,84375236 0,84613577 0,848495 0,85083005 0,85314094 0,8554277 0,857690351,1 0,86433394 0,86650049 0,86864312 0,87076189 0,87285685 0,87492806 0,8769756 0,878999521,2 0,88493033 0,88686055 0,88876756 0,89065145 0,8925123 0,89435023 0,89616532 0,897957691,3 0,90319952 0,90490208 0,90658249 0,90824086 0,90987733 0,91149201 0,91308504 0,914656551,4 0,91924334 0,92073016 0,92219616 0,92364149 0,9250663 0,92647074 0,92785496 0,929219121,5 0,9331928 0,93447829 0,93574451 0,93699164 0,93821982 0,93942924 0,94062006 0,941792441,6 0,94520071 0,94630107 0,94738386 0,94844925 0,94949742 0,95052853 0,95154277 0,952540321,7 0,95543454 0,95636706 0,95728378 0,95818486 0,95907049 0,95994084 0,9607961 0,96163643




1,8 0,96406968 0,96485211 0,9656205 0,96637503 0,96711588

0,96784323

0,96855724 0,969258091,9 0,97128344 0,97193339 0,97257105 0,97319658 0,97381016 0,97441194 0,97500211 0,97558082


Como el estadístico de prueba (o calculado) Z = -2.5 se sitúa en la zona de

aceptación, es válida la hipótesis nula, se puede Concluir. Si hay diferencia, con

este nivel de confianza, en el llenado de los costales respecto de la especificación

de 50 kg.

5. Una muestra de 200 artículos por una maquina, que debe tener como

especificación un diámetro de 3,6 cm, revela un diámetro promedio de 3,62 cm,

con desviación estándar de 0,21cm. ¿Podría afirmarse que el anterior resultado

se ajusta a las especificaciones de producción?

Tabla de datos:

Media poblacional μ=3,6

Desviación estándar

muestral

S=0,21


Media Muestral x=3,62





H o : μ = 3,6

H 1: μ ≠ 3,6

∝=0.05

z= x−μs√n

z=3,62−3,60,21√200

=1,35



2=0 . 975




1,95 y 1,96.

Normal 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

0,9 0,81593988 0,81858875 0,82121362 0,82381446 0,82639122 0,82894387

0,83147239

0,833976751 0,84134475 0,84375236 0,84613577 0,848495 0,85083005 0,85314094 0,8554277 0,85769035








1,1 0,86433394 0,86650049 0,86864312 0,87076189 0,87285685 0,87492806 0,8769756 0,878999521,2 0,88493033 0,88686055 0,88876756 0,89065145 0,8925123 0,89435023 0,89616532 0,897957691,3 0,90319952 0,90490208 0,90658249 0,90824086 0,90987733 0,91149201 0,91308504 0,914656551,4 0,91924334 0,92073016 0,92219616 0,92364149 0,9250663 0,92647074 0,92785496 0,929219121,5 0,9331928 0,93447829 0,93574451 0,93699164 0,93821982 0,93942924 0,94062006 0,941792441,6 0,94520071 0,94630107 0,94738386 0,94844925 0,94949742 0,95052853 0,95154277 0,952540321,7 0,95543454 0,95636706 0,95728378 0,95818486 0,95907049 0,95994084 0,9607961 0,96163643

1,8 0,96406968 0,96485211 0,9656205 0,96637503 0,96711588

0,96784323

0,96855724 0,969258091,9 0,97128344 0,97193339 0,97257105 0,97319658 0,97381016 0,97441194 0,97500211 0,97558082






Como el estadístico de prueba (o calculado) Z = 1,35 se ubica en la zona de

aceptación, por lo tanto se puede afirmar que el resultado de la muestra se ajusta

a las especificaciones de producción al nivel del 5%.

6. Un test de psicología tenía una puntuación media de 78 puntos y una

desviación de 6. En un grupo de 16 estudiantes, la puntuación fue de 74. ¿Puede

afirmarse a nivel del 1% que este grupo fue inferior?

Tabla de datos:


Desviación

poblacional

σ=6


Media Muestral x=74

H o : μ = 78

H 1: μ ¿ 78

∝=0.01

z= x−μ

σ√n

z=74−786

√16

=−2,67











0.9898 y 0,9900, por eso Z=−2,67 que es el valor intermedio de 2,32 y 2,33.Normal 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

1,10,8643339

40,8665004

90,8686431

2

0,87076189

0,87285685

0,87492806

1,20,8849303

30,8868605

50,8887675

60,8906514

5 0,89251230,8943502

3

1,30,9031995

20,9049020

80,9065824

90,9082408

60,9098773

30,9114920

1

1,40,9192433

40,9207301

60,9221961

60,9236414

9 0,92506630,9264707

4

1,5 0,93319280,9344782

90,9357445

10,9369916

40,9382198

20,9394292

4

1,60,9452007

10,9463010

70,9473838

60,9484492

50,9494974

20,9505285

3

1,70,9554345

40,9563670

60,9572837

80,9581848

60,9590704

90,9599408

4

1,80,9640696

80,9648521

1 0,96562050,9663750

30,9671158

80,9678432

3

1,90,9712834

40,9719333

90,9725710

50,9731965

80,9738101

60,9744119

4




20,9772498

70,9777844

10,9783083

10,9788217

30,9793248

40,9798177

92,1 0,9821355

80,9825708

20,9829969

80,9834141

90,9838226

20,9842223

9

2,20,9860965

50,9864474

2

0,98679062 0,9871262

80,9874545

40,9877755

32,3 0,9892758

90,9895559

20,9898295

60,9900969

20,9903581

30,9906132

92,4 0,9918024

60,9920237

40,9922397

50,9924505

90,9926563

70,9928571

9



Como el estadístico de prueba Z = -2,67, lo cual se puede afirmar que este grupo

fue inferior, ya que rechazamos la hipótesis nula, al nivel del 1%.

Prueba de hipótesis para estimar una proporción (siempre con muestras grandes n>30)

7. Una empresa al seleccionar su personal lo somete a un curso de

entrenamiento. Por experiencia el 76% de los aspirantes aprueban el curso. Se

efectúan ciertos cambios en el programa, para el cual se inscribe 40 y 24 lo

aprueban. ¿Podría afirmarse que los cambios introducidos reducen la selección?

(1%)

Tabla de datos:

P̂=2440

=0,60=60 % q̂=1640

=0,40=40 %





H0 : p=0 .76H A : p≠0. 76

∝=0.01

z= p̂− p

√ p̂ q̂n

=(0 .60 )−0 .76

√ (0. 6 )(0 .4 )40

=−2.07




0.9898 y 0,9900, por eso Z=2,3que es el valor intermedio de 2,32 y 2,33.Normal 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05








1,10,8643339

40,8665004

90,8686431

2

0,87076189

0,87285685

0,87492806

1,20,8849303

30,8868605

50,8887675

60,8906514

5 0,89251230,8943502

3

1,30,9031995

20,9049020

80,9065824

90,9082408

60,9098773

30,9114920

1

1,40,9192433

40,9207301

60,9221961

60,9236414

9 0,92506630,9264707

4

1,5 0,93319280,9344782

90,9357445

10,9369916

40,9382198

20,9394292

4

1,60,9452007

10,9463010

70,9473838

60,9484492

50,9494974

20,9505285

3

1,70,9554345

40,9563670

60,9572837

80,9581848

60,9590704

90,9599408

4

1,80,9640696

80,9648521

1 0,96562050,9663750

30,9671158

80,9678432

3

1,90,9712834

40,9719333

90,9725710

50,9731965

80,9738101

60,9744119

4

20,9772498

70,9777844

10,9783083

10,9788217

30,9793248

40,9798177

9

2,10,9821355

80,9825708

20,9829969

80,9834141

90,9838226

20,9842223

9

2,20,9860965

50,9864474

2

0,98679062 0,9871262

80,9874545

40,9877755

3

2,30,9892758

90,9895559

20,9898295

60,9900969

20,9903581

30,9906132

9

2,40,9918024

60,9920237

40,9922397

50,9924505

90,9926563

70,9928571

9


=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,01). Lo que arroja como resultado 2.33

Como -2.07 cae en la región de aceptación, no reducen la selección los cambios

introducidos, al nivel del 1%





8. Un fabricante dice que su producto tiene el 65% del mercado. Un estudio,

muestra que de 300 productos 180 son del fabricante. Con un 95% de confianza

pruebe la hipótesis del fabricante.

Tabla de datos:

Proporción muestral

Proporción

poblacional

p=180300

=0,6=60 %

P=0.65=65 %


H0 : p=0 .65H A : p≠0. 65

∝=0.05





77.1

02828.005.0

300)6.01)(6.0(

65.0300180

ˆˆˆ

nqpppz






2=0 . 975




1,95 y 1,96.

Normal 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

0,9 0,81593988 0,81858875 0,82121362 0,82381446 0,82639122 0,82894387

0,83147239

0,833976751 0,84134475 0,84375236 0,84613577 0,848495 0,85083005 0,85314094 0,8554277 0,857690351,1 0,86433394 0,86650049 0,86864312 0,87076189 0,87285685 0,87492806 0,8769756 0,878999521,2 0,88493033 0,88686055 0,88876756 0,89065145 0,8925123 0,89435023 0,89616532 0,897957691,3 0,90319952 0,90490208 0,90658249 0,90824086 0,90987733 0,91149201 0,91308504 0,914656551,4 0,91924334 0,92073016 0,92219616 0,92364149 0,9250663 0,92647074 0,92785496 0,929219121,5 0,9331928 0,93447829 0,93574451 0,93699164 0,93821982 0,93942924 0,94062006 0,941792441,6 0,94520071 0,94630107 0,94738386 0,94844925 0,94949742 0,95052853 0,95154277 0,952540321,7 0,95543454 0,95636706 0,95728378 0,95818486 0,95907049 0,95994084 0,9607961 0,96163643

1,8 0,96406968 0,96485211 0,9656205 0,96637503 0,96711588

0,96784323

0,96855724 0,969258091,9 0,97128344 0,97193339 0,97257105 0,97319658 0,97381016 0,97441194 0,97500211 0,97558082





Por cualquiera de las dos comparaciones, se observa, para el nivel de confianza

establecido, que no hay suficiente evidencia estadística para rechazar H0.

Se concluye que el fabricante tiene razón

Prueba de hipótesis para estimar la diferencia de medias

9. Una prueba de resistencia al esfuerzo de dos tipos diferentes de cables,

que presentan desviaciones típicas de 35 y 45 respectivamente, se llevo a cabo,

seleccionando dos muestras de tamaño 32 y 40, con medias de 905 y 925.

¿proporcionan estos resultados, al nivel del 1%, suficiente evidencia de que la

resistencia de B es superior a la de A.

Tabla de datos:




Media poblacional μ1=μ2

Varianza poblacional σ 1=35 σ 2=45

Tamaño de muestra n1=32 n2=40

Media Muestral x1=905 x2=925



Ho : μ1−μ2=0H1 : μ1−μ2>0

∝=0.01

z=(x1−x2 )− (μ1−μ2)

√ σ 12

n1+

σ 22

n2

z= (905−925 )−0

√ (35)2

32 +(45 )2

40

=−2 .12










0.9898 y 0,9900, por eso Z=1,28que es el valor intermedio de 1,1 y 1,3.Normal 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,5 0,70884031 0,71226028 0,71566115 0,71904269 0,722404680,6 0,74215389 0,74537309 0,74857111 0,75174777 0,754902910,7 0,77337265 0,77637271 0,77935005 0,78230456 0,785236120,8 0,80233746 0,80510548 0,8078498 0,81057035 0,813267060,9 0,82894387 0,83147239 0,83397675 0,83645694 0,838912941 0,85314094 0,8554277 0,85769035 0,85992891 0,862143431,1 0,87492806 0,8769756 0,87899952 0,88099989 0,88297681,2 0,89435023 0,89616532 0,89795769 0,89972743 0,901474671,3 0,91149201 0,91308504 0,91465655 0,91620668 0,917735561,4 0,92647074 0,92785496 0,92921912 0,93056338 0,931887881,5 0,93942924 0,94062006 0,94179244 0,94294657 0,94408261,6 0,95052853 0,95154277 0,95254032 0,95352134 0,954486021,7 0,95994084 0,9607961 0,96163643 0,96246202 0,963273041,8 0,96784323 0,96855724 0,96925809 0,96994596 0,97062102


=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,01). Lo que arroja como resultado 1,28

La z de prueba es mayor que la z correspondiente al nivel de confianza, por lo

tanto cae en la región de rechazo de la hipótesis nula. (El valor “p” es 0.0005

menor al valor alfa, se rechaza la hipótesis nula).

Al nivel del 10%, si permite llegar a la conclusión de que la resistencia al esfuerzo

del cable B es superior a la del cable A.

10. Una firma que tiene dos fabricas ubicadas en dos regiones del país desea

establecer el promedio de antigüedad que tienen sus trabajadores, a fin de

establecer un programa para sus pensionados. Se toma de la primera fabrica una

muestra de 60 obreros, la cual reflejo un promedio de trabajo de 16,4 años con

desviación estándar de 5 años, mientras que en la segunda fabrica una muestra





de 40, fue de 15,8 años, con desviación estándar de 4,2 años ¿Al nivel del 5% se

podrá afirmar que hay una diferencia significativa en cuanto a la antigüedad en la

empresa?

Tabla de datos:

Ho : μ1−μ2=0H1 : μ1≠μ2

∝=0.05

z=(x1−x2 )− (μ1−μ2)

√ σ 12

n1+

σ 22

n2

z= (16 ,4−15 , 8 )−0

√ (5)2

60 +(4,2 )2

40

=0 , 65






Varianza poblacional σ 1=5 σ 2=4,2


Media Muestral x1=16,4 x2=15,8





2=0 . 975




1,95 y 1,96.

Normal 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07





0,9 0,81593988 0,81858875 0,82121362 0,82381446 0,82639122 0,82894387

0,83147239

0,833976751 0,84134475 0,84375236 0,84613577 0,848495 0,85083005 0,85314094 0,8554277 0,857690351,1 0,86433394 0,86650049 0,86864312 0,87076189 0,87285685 0,87492806 0,8769756 0,878999521,2 0,88493033 0,88686055 0,88876756 0,89065145 0,8925123 0,89435023 0,89616532 0,897957691,3 0,90319952 0,90490208 0,90658249 0,90824086 0,90987733 0,91149201 0,91308504 0,914656551,4 0,91924334 0,92073016 0,92219616 0,92364149 0,9250663 0,92647074 0,92785496 0,929219121,5 0,9331928 0,93447829 0,93574451 0,93699164 0,93821982 0,93942924 0,94062006 0,941792441,6 0,94520071 0,94630107 0,94738386 0,94844925 0,94949742 0,95052853 0,95154277 0,952540321,7 0,95543454 0,95636706 0,95728378 0,95818486 0,95907049 0,95994084 0,9607961 0,96163643

1,8 0,96406968 0,96485211 0,9656205 0,96637503 0,96711588

0,96784323

0,96855724 0,969258091,9 0,97128344 0,97193339 0,97257105 0,97319658 0,97381016 0,97441194 0,97500211 0,97558082


=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,025). Lo que arroja como resultado -1.95996.



menor al valor alfa, se rechaza la hipótesis nula).

Se puede concluir que no hay diferencia significativa, al nivel del 5%.

11. Se tienen dos tipos de concretos. Se toma una muestra de tamaño 42 de

cada uno y se obtiene un promedio muestral de la conductividad térmica para el

primero de 0.486 con una desviación estándar de 0.187 y un promedio de 0.359

de conductividad térmica con una desviación estándar de 0.158 para el segundo.





Esta información sugiere que el promedio verdadero de conductividad térmica del

primer concreto es mayor que la del segundo, con α=0 .01 .

Tabla de datos:

Ho : μ1−μ2=0H1 : μ1−μ2>0

∝=0.01

z=(x1−x2 )− (μ1−μ2)

√ σ 12

n1+

σ 22

n2

z= (0 .486−0. 359 )−0

√ (0. 187 )2

42 +(0 .158 )2

42

=3. 3






Medias muestrales x1=0,486 x2=0,359

Desviación muestral S1=0,187 S2=0,158







0.9898 y 0,9900, por eso Z=2,3que es el valor intermedio de 2,32 y 2,33.Normal 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

1,10,8643339

40,8665004

90,8686431

2

0,87076189

0,87285685

0,87492806

1,20,8849303

30,8868605

50,8887675

60,8906514

5 0,89251230,8943502

3

1,30,9031995

20,9049020

80,9065824

90,9082408

60,9098773

30,9114920

1

1,40,9192433

40,9207301

60,9221961

60,9236414

9 0,92506630,9264707

4

1,5 0,93319280,9344782

90,9357445

10,9369916

40,9382198

20,9394292

4

1,60,9452007

10,9463010

70,9473838

60,9484492

50,9494974

20,9505285

3

1,70,9554345

40,9563670

60,9572837

80,9581848

60,9590704

90,9599408

41,8 0,9640696 0,9648521 0,9656205 0,9663750 0,9671158 0,9678432





8 1 3 8 3

1,90,9712834

40,9719333

90,9725710

50,9731965

80,9738101

60,9744119

4

20,9772498

70,9777844

10,9783083

10,9788217

30,9793248

40,9798177

9

2,10,9821355

80,9825708

20,9829969

80,9834141

90,9838226

20,9842223

9

2,20,9860965

50,9864474

2

0,98679062 0,9871262

80,9874545

40,9877755

3

2,30,9892758

90,9895559

20,9898295

60,9900969

20,9903581

30,9906132

9

2,40,9918024

60,9920237

40,9922397

50,9924505

90,9926563

70,9928571

9


=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,01). Lo que arroja como resultado 2.33



menor al valor alfa, se rechaza la hipótesis nula). Se puede concluir que el primer

acero tiene una conductividad térmica mayor.

.

Prueba de diferencia de proporciones

12. Un gerente de una compañía realiza dos muestras de tamaño de 120

empleados, una en cada fábrica, con el fin de determinar el porcentaje de

accidentes de trabajo en el trimestre. En la primera fabrica durante el trimestre de

observación se presentaron 12 casos, mientras que en la segunda, 16. ¿Al nivel





del 5% se podrá afirmar que los accidentes de trabajo son iguales en las dos

fábricas?

Tabla de datos:

Proporciones ¿ 12120

=0,10=10 % Proporciones ¿ 16120

=0,13=13 %


Ho : p1−p2=0H1 : p1−p2≠0

∝=0.05

z=( p̂1− p̂2)−( p1−p2 )

√ p̂1 q̂1

n1+ p̂ q̂

n2






73.0

120)87.0)(13.0(

120)9.0)(1.0(

013.010.0

z





2=0 . 975




1,95 y 1,96.

Normal 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

0,9 0,81593988 0,81858875 0,82121362 0,82381446 0,82639122 0,82894387

0,83147239

0,83397675




1 0,84134475 0,84375236 0,84613577 0,848495 0,85083005 0,85314094 0,8554277 0,857690351,1 0,86433394 0,86650049 0,86864312 0,87076189 0,87285685 0,87492806 0,8769756 0,878999521,2 0,88493033 0,88686055 0,88876756 0,89065145 0,8925123 0,89435023 0,89616532 0,897957691,3 0,90319952 0,90490208 0,90658249 0,90824086 0,90987733 0,91149201 0,91308504 0,914656551,4 0,91924334 0,92073016 0,92219616 0,92364149 0,9250663 0,92647074 0,92785496 0,929219121,5 0,9331928 0,93447829 0,93574451 0,93699164 0,93821982 0,93942924 0,94062006 0,941792441,6 0,94520071 0,94630107 0,94738386 0,94844925 0,94949742 0,95052853 0,95154277 0,952540321,7 0,95543454 0,95636706 0,95728378 0,95818486 0,95907049 0,95994084 0,9607961 0,96163643

1,8 0,96406968 0,96485211 0,9656205 0,96637503 0,96711588

0,96784323

0,96855724 0,969258091,9 0,97128344 0,97193339 0,97257105 0,97319658 0,97381016 0,97441194 0,97500211 0,97558082


La accidentalidad en el trabajo es igual en las dos fábricas, al nivel del 5%

13. De 300 residentes de la ciudad 63 están a favor de un aumento en la

velocidad permitida en las carreteras, mientras que de 180 residentes del campo

75 están a favor del cambio. La información indica que la percepción es diferente

en los dos grupos.

Tabla de datos:

población A población B

Proporción

p̂a=63

300=0,21=21%

Proporción

p̂b=52

180=0,29=29%

Tamaño de muestra

n1=300 n2=180





Ho : p1−p2=0H1 : p1−p2≠0

∝=0.05

z=( p̂1− p̂2)−( p1−p2 )

√ p̂1 q̂1

n1+ p̂ q̂

n2





94.1

180)29.01)(29.0(

300)21.01)(21.0(

029.021.0

z






2=0 . 975




1,95 y 1,96.

Normal 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,070,9 0,81593988 0,81858875 0,82121362 0,82381446 0,82639122 0,82894387 0,83147239 0,833976751 0,84134475 0,84375236 0,84613577 0,848495 0,85083005 0,85314094 0,8554277 0,857690351,1 0,86433394 0,86650049 0,86864312 0,87076189 0,87285685 0,87492806 0,8769756 0,878999521,2 0,88493033 0,88686055 0,88876756 0,89065145 0,8925123 0,89435023 0,89616532 0,897957691,3 0,90319952 0,90490208 0,90658249 0,90824086 0,90987733 0,91149201 0,91308504 0,914656551,4 0,91924334 0,92073016 0,92219616 0,92364149 0,9250663 0,92647074 0,92785496 0,929219121,5 0,9331928 0,93447829 0,93574451 0,93699164 0,93821982 0,93942924 0,94062006 0,941792441,6 0,94520071 0,94630107 0,94738386 0,94844925 0,94949742 0,95052853 0,95154277 0,952540321,7 0,95543454 0,95636706 0,95728378 0,95818486 0,95907049 0,95994084 0,9607961 0,961636431,8 0,96406968 0,96485211 0,9656205 0,96637503 0,96711588 0,96784323 0,96855724 0,969258091,9 0,97128344 0,97193339 0,97257105 0,97319658 0,97381016 0,97441194 0,97500211 0,97558082


Comparando los valores de z de prueba y de significancia, z de prueba es menor,

(valor p = 0.2499, mayor que alfa) por lo que no hay evidencia para rechazar la

hipótesis nula.





14. Dos grupos A y B de 100 personas cada uno tienen determinada

enfermedad. Un suero es dado al grupo A, pero no al B. por otra parte, los grupos

son tratados idénticamente. Si encontramos que en el grupo A, 75 personas se

recobran de la enfermedad y en el B, 65, pruebe la hipótesis de que el suero cura

la enfermedad.

Tabla de datos:

Proporciones p1=75

100=0,75 p2=

65100

=0,65

Tamaño de las muestras n1=100n2=100

Ho : p1=p2H1 : p1> p2

∝=0.05

z=p1+ p2

√ p1∗q1

n1+

p2∗q2

n2

= 0,75−0,65

√ (0,75 )(0,25)100

+ (0,65 )(0,35)100

= 0,100,0640

=1,56










0.9494 y 0,9505, por eso Z=−1,645 que es el valor intermedio de 1,64 y 1,65.








Como el estadístico de prueba Z = 1.56 se sitúa en la zona de aceptación, es

válida la hipótesis nula. Al nivel de investigación del 5%, no podemos aceptar que

el suero cure la enfermedad.

Pruebas de hipótesis para estimar la media y la diferencia de medias (muestras pequeñas n< = 30)

15.Un jefe de personal está dispuesto a contratar una secretaria para ocupar un

puesto a menos que ella cometa más de una equivocación por página

mecanografiada. Se elige una muestra aleatoria de cinco páginas de las

escritas por los aspirantes. Las equivocaciones por paginas son: 3, 3, 4, 0, 1.

Utilizando nivel de significancia de 5%, ¿Qué decisión se debe tomar?

Tabla de datos:


Varianza poblacional σ=1.64


Media muestral x=2,2

Grado de libertad v=5−1=4

H o : μ = 2

H 1: μ ¿ 2

∝=0.05






t= x−μ

s√n

=2,2−11,64√5

=¿ = 1.63

Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla T-student,

ubicando = 0,1, para un grado de libertad de 4; y nos da como resultado 2,132.

DISTR.T 0,001 0,005 0,01 0,02 0,025 0,05 0,1 0,15

1 636,619 127,321 63,657 31,821 25,452 12,706

6,314

4,165

2 31,599 14,089 9,925 6,965 6,205 4,303 2,920 2,282

3 12,924 7,453 5,841 4,541 4,1773,182

2,353 1,924

4 8,610 5,598 4,604 3,747 3,495 2,776 2,132 1,778

5 6,869 4,773 4,032 3,365 3,163 2,571 2,015 1,699







Se acepta la hipótesis nula, puede contratar a la aspirante al nivel del 5%

16. Una muestra de 10 vigas de acero tiene una resistencia media a la

comprensión de 57.498 libras por pulgadas cuadradas (I.p.c) con una desviación

típica de 539 I.p.c. Docimar la hipótesis de que la verdadera resistencia media a la

comprensión de las vigas de acero de las que se extrajo la muestra es μ=57.000.

Utilizar la alternativa bilateral y un nivel de significado del 1%.

Tabla de datos:


Desviación poblacional σ=539


Media muestral x=57498


H o : μ = 57000

H 1: μ ¿ 57000

∝=0.01







t= x−μ

s√n

= 57.498−57.000539√9

=498(3)

539=2,7710


ubicando = 0,01, para un grado de libertad de 15; y nos da como resultado 3.250

.

DISTR.T 0,001 0,005 0,01 0,02 0,025 0,05 0,1 0,159

4,781 3,6903,250

2,821 2,685 2,262 1,833 1,57410 4,587 3,581 3,169 2,764 2,634 2,228 1,812 1,55911 4,437 3,497 3,106 2,718 2,593 2,201 1,796 1,54812 4,318 3,428 3,055 2,681 2,560 2,179 1,782 1,53813 4,221 3,372 3,012 2,650 2,533 2,160 1,771 1,53014 4,140 3,326 2,977 2,624 2,510 2,145 1,761 1,52315 4,073 3,286 2,947 2,602 2,490 2,131 1,753 1,51716 4,015 3,252 2,921 2,583 2,473 2,120 1,746 1,51217 3,965 3,222 2,898 2,567 2,458 2,110 1,740 1,508





Aceptamos que μ = 57000, es decir, que es la verdadera resistencia media a la

comprensión de las vigas de acero, con un nivel de significancia del 1%.

17. Se toma como muestra de 6 mujeres y 10 hombres fumadores. Se requiere

saber si el numero de cigarrillos que consumen los hombres diariamente es

superior al de las mujeres, los datos fueron en promedio 8 cigarrillos en el grupo

de mujeres y 11 en los hombres; las desviaciones típicas son 2,1 y 1,8

respectivamente. Al nivel del 5% ¿Se puede llegar a la conclusión de que los

hombres fuman más que las mujeres?

Tabla de datos:

Grado de libertad v=6+10−2=14

H o : μ1=μ2

H 1: μ1<μ2





Varianza poblacional s1=2,1 s2=1,8


Media Muestral x1=8 x2=11




∝=0.05

t=(x1−x2)−(μ1−μ2 )

√( n1−1 )s12+(n2−1 )s2

2

n1+n2−2 √ 1n1

+ 1n2

= (8−11)

√(6−1)2,12+(10−1)1,82

6+10−2 √ 16 +

110

=−3 ,04



DISTR.T 0,001 0,005 0,01 0,02 0,025 0,050,1

0,15

13 4,221 3,372 3,012 2,650 2,533

2,160

1,771 1,53014 4,140 3,326 2,977 2,624 2,510 2,145 1,761 1,523






15 4,073 3,286 2,947 2,602 2,490 2,131 1,753 1,51716 4,015 3,252 2,921 2,583 2,473 2,120 1,746 1,51217 3,965 3,222 2,898 2,567 2,458 2,110 1,740 1,50818 3,922 3,197 2,878 2,552 2,445 2,101 1,734 1,50419 3,883 3,174 2,861 2,539 2,433 2,093 1,729 1,50020 3,850 3,153 2,845 2,528 2,423 2,086 1,725 1,49721 3,819 3,135 2,831 2,518 2,414 2,080 1,721 1,494

Se ubica en la región crítica. Al nivel del 5%, se acepta aceptar la conclusión de

que los hombres fuman más que las mujeres.

18. Supongamos que una persona quiere tener desconectado su teléfono, si el

promedio de llamadas que hace al día es menor de 2. Elige aleatoriamente 5 días

y anotas el número de llamadas así: 0, 2, 1, 1, 2. Utilizando ∝=0,05, ¿Debería

retirar al teléfono?

Tabla de datos:


Varianza poblacional σ=0,84


Media muestral x=1,2


H o : μ = 2

H 1: μ ¿ 2






∝=0.05

t= x−μ

s√n

=1,2−20,84√5

=−1,790,84 = -2,1318



DISTR.T 0,001 0,005 0,01 0,02 0,025 0,05 0,1 0,15

1 636,619 127,321 63,657 31,821 25,452 12,706

6,314

4,165

2 31,599 14,089 9,925 6,965 6,205 4,303 2,920 2,282

3 12,924 7,453 5,841 4,541 4,177

3,182

2,353 1,924







4 8,610 5,598 4,604 3,747 3,495 2,776 2,132 1,778

5 6,869 4,773 4,032 3,365 3,163 2,571 2,015 1,699

Se ubica -2,1318 en la zona de aceptación, por lo tanto al nivel del 5%, no debería

desconectar el teléfono. También por la cercanía al punto crítico (-2,1318) se

podría no tomar ninguna decisión, es decir, omitir juicio.

19. Un pescador decide que necesita un sedal que resista más de 10 libras si

ha de capturar el tamaño de pescado que desea. Prueba 16 piezas de sedal de la

marca G y halla una media muestral de 10,4. Si en la muestra se obtiene que la

desviación típica es de 0,5 libras, ¿Qué conclusión se puede sacar de la marca G?

(Nivel de significancia del 5%)

Tabla de datos:


Desviación muestral σ=0,5


Media muestral x=10 , 4


H o : μ = 10

H 1: μ > 10






∝=0.05

t= x−μ

s√n

= 10,2−100,5√15

= 4√150,5

=4 (3,87)

0,5=3,10



.

DISTR.T 0,001 0,005 0,01 0,02 0,025 0,05 0,1 0,15







9 4,781 3,690 3,250 2,821 2,685 2,262

1,833

1,57410 4,587 3,581 3,169 2,764 2,634 2,228 1,812 1,55911 4,437 3,497 3,106 2,718 2,593 2,201 1,796 1,54812 4,318 3,428 3,055 2,681 2,560 2,179 1,782 1,53813 4,221 3,372 3,012 2,650 2,533 2,160 1,771 1,530

14 4,140 3,326 2,977 2,624 2,510 2,1451,761

1,52315 4,073 3,286 2,947 2,602 2,490 2,131 1,753 1,51716 4,015 3,252 2,921 2,583 2,473 2,120 1,746 1,51217 3,965 3,222 2,898 2,567 2,458 2,110 1,740 1,508

Se ubica 3,10 en la zona de aceptación. Al nivel del 5%, se puede concluir que el

sedal de la marca G ofrece garantía de resistencia superior a 10 libras.

Pruebas de hipótesis para estimar la proporcion y la diferencia de proporciones (muestras pequeñas n< = 30)

20. En una muestra probabilística de 12 amas de casa, el 20% indico

preferencias por la marca A de margarina. Con posterioridad a una campaña

intensiva de radio y televisión, se selecciono una nueva muestra entre amas de

casa del mismo tamaño y clase social. En esta muestra el 22% indico preferencia

por la marca A. De acuerdo con estos resultados y a un nivel del 5%, ¿Podría

rechazarse la hipótesis de que la campaña de publicidad no fue efectiva?





Proporciones p̂1 ¿0,20=20 % Proporciones ¿0,22=22%



H o : μp 1= μp 2

H 1: μp 1 < μp 2

∝=0.05

t









ubicando = 0, 1, para un grado de libertad de 22; y nos da como resultado 1,717.

DISTR.T 0,001 0,005 0,01 0,02 0,025 0,05 0,1 DISTR.T

18 3,922 3,197 2,878 2,552 2,445 2,101

1,734

1819 3,883 3,174 2,861 2,539 2,433 2,093 1,729 1920 3,850 3,153 2,845 2,528 2,423 2,086 1,725 20

21 3,819 3,135 2,831 2,518 2,4142,080

1,721 2122 3,792 3,119 2,819 2,508 2,405 2,074 1,717 2223 3,768 3,104 2,807 2,500 2,398 2,069 1,714 2324 3,745 3,091 2,797 2,492 2,391 2,064 1,711 2425 3,725 3,078 2,787 2,485 2,385 2,060 1,708 2526 3,707 3,067 2,779 2,479 2,379 2,056 1,706 26

Se ubica -0,12 en la zona de aceptación. Al nivel del 5%, se puede rechazar que

la campaña publicitaria no fue efectiva.

21. El distribuidor de una maquina afirma que el máximo de elementos

defectuosos por hora que presenta su funcionamiento es del 3%. En una

determinada hora, se toman como muestra 20 artículos producidos, los que a su

vez son sometidos a control, encontrando un artículo defectuoso. ¿al nivel del 5%

se podrá decir que él % de defectuosos es superior al señalado por el

distribuidor?

Proporciones p= 120

=0,050=5 % P=3 %

Tamaño de las muestras n=20






H o : P= 0,03

H 1: p > 0,03

∝=0.05

t= p−P

√ pqn−1

= 0,05−0,03

√ 0.05 (0,95)20−1

=0,4










DISTR.T 0,001 0,005 0,01 0,02 0,025 0,05 0,1 0,15

13 4,221 3,372 3,012 2,650 2,533 2,160

1,771

1,53014 4,140 3,326 2,977 2,624 2,510 2,145 1,761 1,52315 4,073 3,286 2,947 2,602 2,490 2,131 1,753 1,51716 4,015 3,252 2,921 2,583 2,473 2,120 1,746 1,51217 3,965 3,222 2,898 2,567 2,458 2,110 1,740 1,508

18 3,922 3,197 2,878 2,552 2,445 2,1011,734

1,50419 3,883 3,174 2,861 2,539 2,433 2,093 1,729 1,50020 3,850 3,153 2,845 2,528 2,423 2,086 1,725 1,49721 3,819 3,135 2,831 2,518 2,414 2,080 1,721 1,494

No se puede concluir que el porcentaje de defectuosos sea superior al señalado

por el distribuidor, al nivel del 5%.





22. Se dice con frecuencia que la proporción de funcionamiento públicos que

tienen el hábito de fumar en horas de trabajo, es de 42%. La oficina

gubernamental de salud desea realizar una campaña a fin de disminuir este

porcentaje; para ello debe comprobar ese porcentaje, asi que decide realizar una

investigación por muestreo a 25 funcionarios encontrado que 13 de ellos fuman.

¿Al nivel del 1% la oficina puede aceptar el porcentaje del 42% como indicador?

Proporciones p= 325

=0,52=52 % P=42 %

Tamaño de las muestras n=25


H o : μp= 0,42

H 1: μp ¿ 0,42

∝=0.01

t=p−μp

√ pqn−1

= 0,52−0,42

√ 0.52(0,48)25−1

=0,98








ubicando = 0,01, para un grado de libertad de 19; y nos da como resultado

2,797.

DISTR.T 0,001 0,005 0,01 0,02 0,025 0,05 0,1 DISTR.T

18 3,922 3,197

2,878

2,552 2,445 2,101 1,734 1819 3,883 3,174 2,861 2,539 2,433 2,093 1,729 1920 3,850 3,153 2,845 2,528 2,423 2,086 1,725 2021 3,819 3,135 2,831 2,518 2,414 2,080 1,721 2122 3,792 3,119 2,819 2,508 2,405 2,074 1,717 22

23 3,768 3,1042,807

2,500 2,398 2,069 1,714 2324 3,745 3,091 2,797 2,492 2,391 2,064 1,711 2425 3,725 3,078 2,787 2,485 2,385 2,060 1,708 2526 3,707 3,067 2,779 2,479 2,379 2,056 1,706 26





Si hay razón para aceptar el % de 42, como indicador de fumadores en horas de

trabajo, al nivel del 1%.



Ejercicios Resueltos Pruebas Hipotesis

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