5/17/2018 Avance Final Programacion - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/avance-final-programacion 1/12

 

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR 

Sede Esmeraldas

Ingeniería de sistemas y computación 

Informe de la investigación

 Tema:

Programa en C++ que calcule la determinante de una matriz dada

Materias integradas:

Programación orientada a objetos

Nombre del estudiante:

Wiston Renato Cevallos Rendón

Nombre del docente:

Guillermo Cedeño

Año

03-02-12

5/17/2018 Avance Final Programacion - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/avance-final-programacion 2/12

 

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR 

Sede Esmeraldas

 Titulo: Matriz inversa y calculo de la adjunta. Autor: Wiston Renato Cevallos Rendón.

Resumen

El determinante de una matriz determina si los sistemas son singulares o malcondicionados .En otras palabras, sirve para determinar la existencia y la unicidad de losresultados de los sistemas de ecuaciones lineales.

•  El determinante de una matriz es un número•  Un determinante con valor de cero indica que se tiene un sistema singular.•  Un determinante con valor cercano a cero indica que se tiene un sistema mal

condicionado

El determinante de una matriz A(n,n), es un escalar o polinomio, que resulta de obtenertodos los productos posibles de una matriz de acuerdo a una serie de restricciones, siendodenotado como |A|. El valor numérico es conocido también como modulo de la matriz.

En matrices de segundo y tercer orden suele ser utilizado el método conocido como reglade Sarrus. En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden

n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matrizcuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que:

 AA−1 = A−1 A = In,

Donde In  es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto dematrices usual.

Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero.

Palabras claves

Matriz, Inversa, Determinantes, Adjunta, Gauss y Transpuesta etc.

 Agradecimientos

 A Dios, por brindarme la oportunidad de vivir, por permitirme disfrutar cada momento demi vida y guiarme por el camino que ha trazado para mí y a mis padres, por darme la vida y apoyarme en todo lo que me he propuesto en mi educación universitaria.

5/17/2018 Avance Final Programacion - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/avance-final-programacion 3/12

 

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR 

Sede Esmeraldas

Introducción:

Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, esto es, antesque las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos(Hui, Liu. iuzhang Suanshu o Los nueve capítulos del arte matemático.) fueron losprimeros en utilizar la tabla de ceros y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX, seconoce con el nombre de Eliminación de Gauss-Jordan. 

Los determinantes hicieron su aparición en las matemáticas más de un siglo antes que lasmatrices. El término matriz fue creado por James Joseph Sylvester, tratando de dar a

entender que era “la madre de los determinantes”. Algunos de los más grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX contribuyeron aldesarrollo de las propiedades de los determinantes. La mayoría de los historiadorescoinciden en afirmar que la teoría de los determinantes se originó con el matemáticoalemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) quien fue con Newton, el co inventor delcálculo diferencial e integral. Leibniz empleó los determinantes en 1693 con relación a los

sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. No obstante hay quienes creen que elmatemático japonés Seki Kowa hizo lo mismo unos 10 años antes. 

En 1748, en un tratado póstumo de álgebra de MacLaurin aparece la regla para obtener lasolución de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas cuando n es 2, 3 o 4

mediante el uso de determinantes. En 1750, Cramer da la regla para el caso general, aunqueno ofrece demostración alguna. Los métodos de cálculo de los determinantes son hastaentonces delicados debido a que se basan en la noción de signatura de una permutación. 

Los matemáticos se familiarizan con este nuevo objeto a través de los artículos de Bézouten 1764, de  Vandermonde en 1771  (que proporciona concretamente el cálculo deldeterminante de la actual Matriz de Vandermonde ). En 1772, Laplace establece las reglasde recurrencia que llevan su nombre. En el año siguiente, Lagrange descubre la relaciónentre el cálculo de los determinantes y el de los volúmenes.

Gauss utiliza por primera vez el término déterminante en las Disquisitiones arithmeticaeen 1801. Lo empleaba para lo que hoy día denominamos discriminante de una cuádrica y que es un caso particular de determinante moderno. Igualmente estuvo cerca de obtener elteorema del determinante de un producto.

En matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de uncuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza elconcepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, elconcepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número

de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales. 

5/17/2018 Avance Final Programacion - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/avance-final-programacion 4/12

 

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR 

Sede Esmeraldas

Objetivo General

Definir que es una determinante de una matriz dada.

Objetivos Específicos

• Identificar cuando existe la matriz de una matriz dada. 

•Aprender a calcular la determinante por diferentes métodos.

• Conocer algunas aplicaciones de la determinante.

• Aplicar la determinante en el programa C++. 

5/17/2018 Avance Final Programacion - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/avance-final-programacion 5/12

 

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR 

Sede Esmeraldas

Métodos y Materiales.

 Yo he utilizado el método deductivo para basarme en el concepto general de las matrices y determinantes así explicar sus propiedades y aplicaciones en este trabajo de investigación.

Métodos de cálculo

Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla recursiva(teorema de Laplace) que reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de unorden inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducirel problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera.

Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, es posible calcular eldeterminante de cualquier matriz aplicando dicho teorema.

 Además de esta regla, para calcular determinantes de matrices de cualquier orden podemosusar otra definición de determinante conocida como Fórmula de Leibniz. 

La fórmula de Leibniz para el determinante de una matriz cuadrada A de orden n es:

Donde la suma se calcula sobre todas las permutaciónes σ del conjunto {1,2,..., n}. Laposición del elemento i después de la permutación σ se denota como σi. El conjunto detodas las permutaciones es Pn. Para cada σ, sgn (σ) es la signatura de σ, esto es +1 si lapermutación es par y −1 si es impar (ver Paridad de permutaciones).

En cualquiera de los n! sumandos, el término

Denota el producto de las entradas en la posición (i, σi ), donde i va desde 1 hasta n:

Matrices de orden inferior

El caso de matrices de orden inferior (orden 1, 2 ó 3) es tan sencillo que su determinante secalcula con sencillas reglas conocidas. Dichas reglas son también deducibles del teorema deLaplace.

5/17/2018 Avance Final Programacion - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/avance-final-programacion 6/12

 

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR 

Sede Esmeraldas

Una matriz de orden uno, es un caso trivial, pero lo trataremos para completar todos loscasos. Una matriz de orden uno puede ser tratada como un escalar, pero aquí laconsideraremos una matriz cuadrada de orden uno:

El valor del determinante es igual al único término de la matriz:

Los determinantes de una matriz de orden 2:

Se calculan con la siguiente fórmula:

Dada una matriz de orden 3: 

En determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus: 

5/17/2018 Avance Final Programacion - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/avance-final-programacion 7/12

 

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR 

Sede Esmeraldas

Resultados

Determinantes de orden superior

El determinante de orden n, puede desarrollarse a partir de una fila o columna, reduciendoel problema al cálculo de un determinante de orden n-1. Para ello se toma una fila ocolumna cualquiera, multiplicando cada elemento por su adjunto (es decir, el determinantede la matriz que se obtiene eliminando la fila y columna correspondiente a dicho elemento,multiplicado por (-1)i+j donde i es el número de fila y j el número de columna). La suma detodos los productos es igual al determinante.

En caso de un determinante de orden 4, se obtienen directamente determinantes de orden3 que podrán ser calculados por la regla de Sarrus. En cambio, en los determinantes deorden superior, como por ejemplo n = 5, al desarrollar los elementos de una línea,obtendremos determinantes de orden 4, que a su vez se deberán desarrollar en por elmismo método, para obtener determinantes de orden 3. Por ejemplo, para obtener con elmétodo especificado un determinante de orden 4, se deben calcular 4 determinantes deorden 3. En cambio, si previamente se logran tres ceros en una fila o columna, bastara concalcular solo un determinante de orden 3 (ya que los demás determinantes estaránmultiplicados por 0, lo que los anula). 

La cantidad de operaciones aumenta muy rápidamente. En el peor de los casos (sin obtener

ceros en filas y columnas), para un determinante de orden 4 se deberán desarrollar 4determinantes de orden 3. En un determinante de orden 5, se obtienen 5 determinantes deorden 4 a desarrollar, dándonos 20 determinantes de orden 3. El número de determinantes 

De orden 3 que se obtienen en el desarrollo de un determinante de orden n es igual a

Por ejemplo, mediante este método, para un determinante de orden 10 se deberán calcular10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 604.800 determinantes de orden 3. 

 También puede utilizarse el Método de eliminación Gaussiana, para convertir la matriz en

una matriz triangular. Si bien el proceso puede parecer tedioso, estará muy lejos de los14.529.715.200 de determinantes de orden 3 necesarios para calcular el determinante deuna matriz de orden 14. 

Métodos numéricos

Para reducir el coste computacional de los determinantes a la vez que mejorar suestabilidad frente a errores de redondeo, se aplica la regla de Chio, que permite utilizarmétodos de triangularización de la matriz reduciendo con ello el cálculo del determinante alproducto de los elementos de la diagonal de la matriz resultante. Para la triangularización sepuede utilizar cualquier método conocido que sea numéricamente estable. Éstos suelenbasarse en el uso de matrices ortonormales, como ocurre con el método de Gauss o con eluso de reflexiones de Householder o rotaciones de Givens. 

5/17/2018 Avance Final Programacion - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/avance-final-programacion 8/12

 

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR 

Sede Esmeraldas

La precisión limitada del cálculo numérico produce incertidumbre en ocasiones en losresultados de este método. Un valor muy pequeño del determinante podría ser el resultadode una matriz de rango deficiente, aunque no lo es necesariamente. Por otra parte, paramatrices casi singulares el resultado no siempre es preciso. Es necesario comprobar elrango de la matriz con otros métodos o calcular el número de condición de la matriz paradeterminar la fiabilidad del resultado.

Determinantes en dimensión infinita

Bajo ciertas condiciones puede definirse el determinante de aplicaciones lineales de unespacio vectorial de Banach de dimensión infinita. En concreto en el determinante está

definido para los operadas de la clase de determinante que puede a partir de los operadoresde la clase de traza. Un ejemplo notable fue el determinante de Fredholm que éste definióen conexión con su estudio de la ecuación integral que lleva su nombre:

Donde:

es una función conocida

es una la función incógnita

Es una función conocida llamada núcleo, que da lugar al siguienteoperador lineal compacto y de traza finita en el espacio de Hilbert de funciones decuadrado integrable en el intervalo [0,1]: 

:

La ecuación tiene solución si el determinante de Fredholm no se anula. Eldeterminante de Fredholm en este caso generaliza al determinante en dimensión finita y puede calcularse explícitamente mediante:

La propia solución de la ecuación puede escribirse de manera simple en términos deldeterminante cuando este no se anula.

5/17/2018 Avance Final Programacion - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/avance-final-programacion 9/12

 

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR 

Sede Esmeraldas

 Aplicación en C++ 

 Transpuesta de una matriz dada

Determinante de una matriz dada

5/17/2018 Avance Final Programacion - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/avance-final-programacion 10/12

 

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR 

Sede Esmeraldas

Multiplicación de matrices

5/17/2018 Avance Final Programacion - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/avance-final-programacion 11/12

 

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR 

Sede Esmeraldas

Discusión

Obteniendo los resultados he llegado a concluir que las matrices sirven de ayuda pararesolver muchos problemas matemáticos para eso utilizan varias formas, una de esa formases la aplicación de resolución de sistemas de ecuaciones lineales o matriciales.

La determinante es muy útil para saber si un conjunto de n vectores es linealmentedependiente, es una regla funcional que aplicada a una matriz, la transforma en un escalar.

Por eso las matrices también se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas

de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales y tienentambién muchas aplicaciones en el campo de la física.

La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial en los lenguajesde programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores comotablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo y bases de datos etc.

Para determinantes de orden superior al tercero, el proceso se repite para los determinantesformados por los adjuntos menores, hasta llegar a determinantes que puedan desarrollarsefácilmente.

Este método de cálculo del valor de un determinante puede ser bastante laborioso, por loque se utilizan ciertas propiedades de los determinantes para reducir la cantidad de cálculosnecesarios. Entre estas propiedades, tenemos las siguientes:

1) Un determinante es igual a cero si todos los elementos de una fila (o columna) sonidénticos, o proporcionales, a los elementos de otra fila (o columna).

2) Si todos los elementos de una fila (o columna) se multiplican por un factor dado, eldeterminante queda multiplicado por dicho factor.

3) El valor de un determinante no se altera si se añade a cada elemento de una fila (ocolumna) el elemento correspondiente de otra fila (o columna) multiplicado por un factorconstante.

5/17/2018 Avance Final Programacion - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/avance-final-programacion 12/12

 

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR 

Sede Esmeraldas

Referencias

http://www.uaem.mx/posgrado/mcruz/cursos/mn/determinante.pdf 

http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_%28matem%C3%A1tica%29 

http://www.psico.uniovi.es/Dpto_Psicologia/metodos/tutor.3/mat2.html 

http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T06.pdf  

http://docencia.udea.edu.co/GeometriaVectorial/uni2/seccion21.html 

http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tdeterminantes.htm 

http://marcelrzm.comxa.com/AlgebraUniv/46Determinantes.pdf