Autómatas Mínimos - Encontrar el autómata mínimo. · Minimización de Autómatas Deterministas...

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  • IntroduccinMinimizacin de Autmatas Deterministas

    ResultadosAlgoritmo

    Autmatas MnimosEncontrar el autmata mnimo.

    Universidad de Cantabria

    Autmatas Finitos

  • IntroduccinMinimizacin de Autmatas Deterministas

    ResultadosAlgoritmo

    Introduccin

    Dado un lenguaje regular sabemos encontrar un autmatafinito. Pero, hay autmatas ms sencillos que aceptan elmismo lenguaje?

    Que significa que un autmata sea ms sencillo?

    Los autmatas minimos son aquellos que tienen el mnimonmero de estados.

    Autmatas Finitos

  • IntroduccinMinimizacin de Autmatas Deterministas

    ResultadosAlgoritmo

    Introduccin

    Dado un lenguaje regular sabemos encontrar un autmatafinito. Pero, hay autmatas ms sencillos que aceptan elmismo lenguaje?

    Que significa que un autmata sea ms sencillo?

    Los autmatas minimos son aquellos que tienen el mnimonmero de estados.

    Autmatas Finitos

  • IntroduccinMinimizacin de Autmatas Deterministas

    ResultadosAlgoritmo

    Introduccin

    Dado un lenguaje regular sabemos encontrar un autmatafinito. Pero, hay autmatas ms sencillos que aceptan elmismo lenguaje?

    Que significa que un autmata sea ms sencillo?

    Los autmatas minimos son aquellos que tienen el mnimonmero de estados.

    Autmatas Finitos

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    ResultadosAlgoritmo

    Introduccin

    Nos restringiremos a autmatas deterministas. Queremostener un procedimiento que, dado un autmata determinista, seretorne un autmata mnimo.Para resolver esta situacin se utiliza un proceso deminimizacin de los autmatas que pasaremos a describir acontinuacin.

    Autmatas Finitos

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    ResultadosAlgoritmo

    Minimizacin de Autmatas Deterministas

    DefinicinSea A := (Q,,q0,F , ) un autmata. Dos estados p,q Q sedicen equivalentes si se verifica que z :

    (p, z) ` (p, ) (q, z) ` (q, ) = (p F ) (q F ).

    Autmatas Finitos

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    Minimizacin de Autmatas Deterministas

    En otras palabras, dos estados son equivalentes si paracualquier palabra el efecto de la computacin que generan esel mismo (en trminos de alcanzar o no un estado finalaceptador).

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    ResultadosAlgoritmo

    Minimizacin de Autmatas Deterministas

    Denotaremos por p A q en el caso de que p y q seanequivalentes. Para cada estado q Q, denotaremos por [q]A laclase de equivalencia definida por q y denotaremos por Q/ Aal conjunto cociente. Definiremos autmata minimal alautmata que tiene el menor nmero de estados y que aceptaun lenguaje.

    Autmatas Finitos

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    ResultadosAlgoritmo

    Minimizacin de Autmatas Deterministas

    Esta relacin es equivalente a la relacin de equivalencia dadapor los prefijos. En el caso anterior trabajamos con las palabrasdel lenguaje, lo que quiere decir que es un invariante dellenguaje.

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    ResultadosAlgoritmo

    Resultado Principal

    TeoremaSea L un lenguaje aceptado por un autmata determinista A.Entonces, existe un autmata mnimo que lo acepta. Dichoautmata (Q,, Q0, F , ) viene dado por las propiedadessiguientes:

    Q := Q/ A,F := {[q]A : q F}.q0 := [q0]A.([q]A, z) := [(q,a)].

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    ResultadosAlgoritmo

    Nota

    Este autmata se llama cociente, por la relacin deequivalente, ya que agrupa estados equivalentes y solo sepreocupa de sus transiciones. Para definir las transiciones vande la clase de equivalencia a otra clase de equivalencia y vienedada por las transiciones de cualquiera de sus miembros.

    Autmatas Finitos

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    ResultadosAlgoritmo

    Ejemplo

    Sea el siguiente automataA = ({q0,q1,q2,q3}, {0,1},q0,q0,q1, ), donde la funcin detransicin es:

    a bq0 q1 q3q1 q0 q2q2 q3 q2q3 q3 q3

    Si supieramos que {q0,q1} y {q2,q3} son equivalentesentonces podemos hallar un nuevo autmata que solo tienedos estados.

    Autmatas Finitos

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    ResultadosAlgoritmo

    Ejemplo

    Pueden ser q0,q2 equivalentes?, sabiendo que {q0,q1} sonequivalentes se podia deducir que {q2,q3} son equivalentes?

    Autmatas Finitos

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    ResultadosAlgoritmo

    El Algoritmo

    El problema es que el clculo de las clases de equivalencia nopuede hacerse de manera simple (porque habramos deverificar todas las palabras z ).

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    ResultadosAlgoritmo

    El Algoritmo

    Sea A := (Q,,q0,F , ) un autmata. Vamos a definirdiferentes relaciones, cada una ms tosca que la siguiente quenos permita hallar las clases de equivalencia.

    Autmatas Finitos

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    ResultadosAlgoritmo

    El Algoritmo

    La relacin E0: Dados p,q Q, diremos que pE0q (p y q estnrelacionados al nivel 0) si se verifica:

    p F q F .

    Es claramente una relacin de equivalencia. El conjuntocociente est formado por dos clases:

    Q/E0 := {F ,Q \ F}.

    Definamos e0 := ] (Q/E0) = 2.

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    ResultadosAlgoritmo

    El Algoritmo

    La relacin E1: Dados p,q Q, diremos que pE1q (p y q estnrelacionados al nivel 1) si se verifica:

    pE1q

    pE0q,

    (p, z)E0(q, z), z {}

    Es, de nuevo, una relacin de equivalencia. El conjuntocociente ya no es tan obvio, y definimos:

    e1 := ] (Q/E1) .

    Autmatas Finitos

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    ResultadosAlgoritmo

    El Algoritmo

    La relacin En: Para n 2, definimos la relacin del modosiguiente: Dados p,q Q, diremos que pEnq (p y q estnrelacionados al nivel n) si se verifica:

    pEnq

    pEn1q,

    (p, z)En1(q, z), z {}

    Es, de nuevo, una relacin de equivalencia. El conjuntocociente ya no es tan obvio, y definimos:

    en := ] (Q/En) .

    Autmatas Finitos

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    ResultadosAlgoritmo

    El Algoritmo

    Esto separa cada vez ms estados y muestra cuales puedenser equivalentes y cuales no. En algn momento estasrelaciones nos daran los mismos conjuntos.Queremos ver si cuando da los mismos conjuntos tenemos elautmata deseado.

    Autmatas Finitos

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    ResultadosAlgoritmo

    El Algoritmo

    Lo que esta claro es que la relacin de equivalencia En es msdbil que pedir que dos estados sean equivalentes, pero si nes lo suficientemente grande, se tiene que son la mismarelacin de equivalencia.

    Autmatas Finitos

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    ResultadosAlgoritmo

    Teorema

    TeoremaSea A := (Q,,q0,F , ) un autmata sin transiciones ysean p,q dos estados. Entonces, tomando n = ](Q) 2, setendr que

    p A q pEnq.

    Autmatas Finitos

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    ResultadosAlgoritmo

    Resumen del algoritmo

    Hallar el conjunto cociente (Q/E0) y su cardinal e0.(Siguiendo los Ei s) Mientras el conjunto cociente nuevosea alterado con respecto al anterior, hallar el conjuntocociente siguiente.Parar cuando el cardinal del nuevo conjunto cocientecoincida con el ltimo calculado.

    Autmatas Finitos

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