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Tema 1 : 

Funções reais de várias variáveis 

Resumo:

Definição e propriedadesRepresentação gráfica.

Bibliografia:Stewart, . !"##"$.%álculo com Transcendentes

Tempranas. &ág.'1()'*+.

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Objectivos cognoscitivos a lograr :

•Interpretar a definição de função de várias variáveis.

•Descrever as características gerais (domínio, imagem e

lei de correspondência duma função real.

•Determinar o domínio de funç!es reais de " variáveis e

representá#lo graficamente.

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Primeiramente se tratará o

conceito de função

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$unç!es reais e vectoriais$unç!es reais e vectoriais

de várias variáveisde várias variáveis

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7/22

Em Matemática I definiu-se a função real numadefiniu-se a função real numa

variável como uma lei de correspondência unívocavariável como uma lei de correspondência unívocaentre subconjuntos de números reais.entre subconjuntos de números reais.

 

%m símbolos&%m símbolos&

  ff :: [a,b]→ℝ[a,b]→ℝ   x x ↦↦ f f (( x x))

%'emplos&%'emplos&sensen :: ℝ →ℝℝ →ℝ   x x ↦↦ sensen(( x x))

 lglg:: [0,∞]→ℝ[0,∞]→ℝ   x x ↦↦ lglg(( x x))

  ff :: ℝ →ℝℝ →ℝ   x x ↦↦ x x

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gora estenderemos esse conceitogora estenderemos esse conceito

a um conjunto de funç!esa um conjunto de funç!es

muitíssimo mais gerais, e por tantomuitíssimo mais gerais, e por tantocom comportamentos maiscom comportamentos mais

comple'os, ascomple'os, as

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 l!uns e"emplos

)roblema&

Estime a #uantidade de latão #ue se

utili$a na fabricação de uma lata

cilíndrica de % pole!adas dedi&metro' ( pole!adas de altura e

uma espessura de )')*+ pole!adas

*odelo& q(r, h, e)= ,2πrh+2πr2)e

)roblema&

alcule como varia a concentração

de "ido nitroso / altura do teto das

casas ,%m apro"imadamente0 de umpovo situado a *)1m da lareira da

termoel2ctrica pr"ima ao povoado.

*odelo&

 

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Chama-seChama-se função de várias variáveisfunção de várias variáveis àà

tríada (tríada (f f  ,, DD,, II) !de) !de f f   re"rese!ta #ma $e% dere"rese!ta #ma $e% de&rres"!d'!&%a #!í&a e!tre s#b&!#!ts D&rres"!d'!&%a #!í&a e!tre s#b&!#!ts De I ds es"a*s e&tr%a%se I ds es"a*s e&tr%a%s ℝℝ!! ee ℝℝmm

res"e&t%ame!teres"e&t%ame!te &!#!t D &!#!t D ℝ ℝ!! &hama-se&hama-se dmí!% dedmí!% de f f   &!#!t I &!#!t I ℝ ℝmm  &hama-se&hama-se %ma.em de%ma.em de f f  

/e es"a* e&tr%a$ de &he.ada /e es"a* e&tr%a$ de &he.ada ℝ, # seaℝ, # seam = 1, d%sse-se q#e a #!*3m = 1, d%sse-se q#e a #!*3 f f   #ma #ma #!*3#!*3rea$ de ! ar%4e%srea$ de ! ar%4e%s 5m símb$s: 5m símb$s: f f  : D: D→ℝ→ℝ!de D ℝ!de D ℝ!!

/e es"a* e&tr%a$ de &he.ada /e es"a* e&tr%a$ de &he.ada ℝℝmm, !de, !de

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7ma #!*3 rea$ f  de d#as ar%4e%s, :Em símbolos: f f  : D: D→ℝ→ℝ  !de Dℝ8Esquematicamente:

f (9,)

Exemplo duma função real de 2 variExemplo duma função real de 2 vari

'

+

(9,)

D

f 

u

3ma!em de todos os pontos de 4.

5u seja' f   transforma ao círculo 4 no se!mento I 

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 s funç6es reais de duas variáveis podem

representar-se !raficamente de duas formas

possíveis.

;e"rese!ta*3 em

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13/22

 y x

 y x y x f  

−

+=

2),(

Exercício: Determ%!ar dmí!% D de

Solução:

a eq#a*3 a"are&em d#as

&ara&teríst%&as q#e de$atam a "rese!&%ade "!ts de ℝ8 q#e !3 "erte!&em admí!% de f :

759%st'!&%a d#m de!m%!adr q#e "ara a$.#!sa$res de as ar%4e%s "#desse tmar a$r>er

759%st'!&%a d#ma ra%> de í!d%&e "ar q#e !3adm%te a$res !e at%s ba% se# s% !

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 y x

 y x

 y x f   −

+

= 2),(

Exercício: Determ%!ar dmí!% D de

Solução:

7 /e de!m%!adr !3 "de a$er >er,e!t3: 02   ≠− y x

02   ≠− y x

7 ?as, !3 basta q#e 2 x – y ≠ 0, ademais deveser maior que zero.

7 5m res#m: Dm f  = @( x , y)Aℝ8B2 x – y0

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 y x

 y x y x f  

−

+=

2),(

Exercício: ;e"rese!tar .raE&ame!te dmí!% D da #!*3

Solução:Dm f  = @( x , y)Aℝ8B2 x – y0

F# sea G2 x 5m #tras "a$aras, admí!% "erte!&em s "!ts d "$a!&rde!ad a rde!ada yy E&a "rdeba%9 da re&ta =2 x

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Exercício: ;e"rese!tar .raE&ame!te a#!*3

!#m s%stema tr%d%me!s%!a$ HJ

 y x

 y x y x f  

−

+=

2),(

Solução:

E it i l

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Em muitas ocasi es n o poss velter ideia do gráco da função. Emesses casos utiliza-se a técnica de

representação da função mediantecurvas de nível

(revisar as páginas 820/824 do livro de

texto)

 As curvas de nível duma função deduas variáveis são as curvas de

equação f! " #$ % & onde & é uma constante (k ∊ Im f )

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E!emplo'

a #!*3 > = 9> = 922 K K 22 , a a>er L = > ,btm-se #ma amí$%a de h%"rb$es deeq#a*3

9922

K K 22

 = L= L7Mara a$res de L0 btm-seh%"rb$es &m %!ter&e"ts ! e%9 H7Mara a$res de LG0 btm-seh%"rb$es &m %!ter&e"ts ! e%9 7Mara a$r L=0 btm-se #m "ar dere&tas q#e &rtam-se !a r%.em, as

assí!ttas de tdas as h%"rb$es

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 parecem representadas somente o caso 10, q#a$&rres"!de-se &m as ras de !íe$ da "arte das#"erí&%e q#e e!&!tra-se "r &%ma d "$a! H, # seaq#a!d >0

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20/22

ma representação gráfica em -D destama representação gráfica em -D desta

função a seguinte. Identifica#se umfunção a seguinte. Identifica#se um

parabol/ide 0iperb/licoparabol/ide 0iperb/lico

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21/22

studar os e-emplos: 1,(,+,,1# das

páginas '1+)'"1.

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22/22

/rientaç0es para o estdio independente: Resol2er os e-erc3cios ,4,5,11,1*,"*

da página '"+.

1te2art, 3. 4álculo com1te2art, 3. 4álculo com5ranscendentes 5emporãs.5ranscendentes 5emporãs.

5omo III5omo III

1te2art, 3. 4álculo 6olume "1te2art, 3. 4álculo 6olume "