PROBLEMES DASTRONOMIA

Astronomia de Posicio

1. Es defineix com a crepuscle astrono`mic el temps transcorregut entre la posta de Sol iel moment en que` el Sol es a 18 sota lhoritzo. A quins punts de la Terra son mes curts elscrepuscles?

2. Es possible que en un planeta hi hagi regions simulta`niament pertanyents a la zonatropical i al cercle polar? En cas afirmatiu, quina condicio sha de complir?

3. Lequador gala`ctic talla amb un angle de 62.6 lequador celest. En quins punts de laTerra es possible que lequador gala`ctic coincideixi amb lhoritzo? En quins punts de la Terrason circumpolars les estrelles situades al pol nord gala`ctic? (Sol.: = 27.4, > 62.6)

4. Resoleu els triangles esfe`rics seguents:

a =47 12 39.9, b =61 46 9.1, c =43 59 17.6(Sol.: A =56 21 39.4, B =91 46 2.7, C =51 59 23.4)

a =57 22 11.0, b =72 12 19.0, C =94 1 49.0(Sol.: c =83 46 30.7, B =72 49 50.1, A =57 40 44.9)

C =90 00 00.0, a =119 46 36.0, B =52 25 39.0(Sol.: A =113 10 46.1, b =48 26 50.0, c =70 46 0.6)

5. Degut a la refraccio de la llum per latmosfera, la dista`ncia zenital (z = 90 h)mesurada es zm = z R, on R es la correccio per refraccio (vegeu taula)

zm ( ) R () zm ( ) R ()0 0 80 319

10 10 81 35320 21 82 39430 34 83 44440 49 84 50945 59 85 59350 70 86 70655 84 87 86360 101 88 1 10365 125 89 0 1 48170 159 89 31 1 76075 215 90 0 2 123

Calculeu laltura del sol a la sortida i a la posta. Sabent que el dia`metre angular del sol esde 32 , determineu la seva forma quan es just sobre lhoritzo, es a dir, abans de la posta odespres de sortir.

6. Lobliquitat de leclptica es 23.44. Calculeu lazimut i angle horari de sortida i posta delSol els dies del solstici destiu i dhivern a Barcelona (=+41.4). No considereu la refraccio.

Sol.: Sortida solstici estiu a = 237.96 H =247.51Posta solstici estiu a = 122.04 H =112.49Sortida solstici hivern a = 302.04 H =292.49Posta solstici hivern a = 057.96 H =067.51

7. A quines latituds una estrella de declinacio = 30 es visible durant mes de 18 hdia`ries de temps solar mig? (Sol.: 50.95).

8. Un astronom situat a =3 E i =+40 es proposa dobservar una estrella de =5h

0m i = 10 el dia 25 de febrer de 1994 (0=10h 18m 31s) a les 22h de UT. Davant dell, ia 3 m de dista`ncia, saixeca una paret de 3 m dalcada orientada en la direccio est-oest. Potobservar-se lestrella des de la posicio de lastronom en aquest moment? (Sol.: No)

9. Lestel mes brillant vist des de la Terra es Sirius, mentre que Arcturus ocupa la quartaposicio a la classificacio destels mes brillants. Les coordenades equatorials de Sirius son =6h 45m 9.s0, = 16 42 58 i les dArcturus = 14h 15m 40.s0, = 19 10 57 . Determineu,per a un observador a Barcelona ( = 41.4 N), les coordenadas horitzontals dArcturus quanSirius es posa. (Sol.: a=67 4 28 , h=50 52 7.7)

10. Calculeu la latitud i longitud eclptiques del ze`nit dun lloc de latitud en funcio delhora side`ria local. (Sol.: sin = cos sin sin cos sin ,tan = cos tan + sin tan / cos )

11. Una estrella de la massa del Sol (21033 g) te un planeta de la massa de Jupiter (1.91030 g) girant en una o`rbita circular a una dista`ncia de 5.2 AU. Si amb mesures microme`triquespoden distingir-se angles a lesfera celest amb una precissio de 0.01, a quina dista`ncia ma`ximade la Terra podra` trobar-se un sistema planetari per tal que sel pugui detectar a partir delmoviment orbital de lestrella central en torn del centre de masses? (Sol.: 0.98 pc)

PROBLEMES DASTRONOMIA

Estels

1. Un estel de lluminositat 103 L es troba situat a una dista`ncia de 1 kpc. Si un astro`nomlobserva a traves dun telescopi de 2 m de dia`metre durant 10 hores seguides, determineulenergia total recollida provinent de lestel. Compareu-la amb lenergia cine`tica dun floquetde neu de 0.1 g de massa que cau amb velocitat de 10 cm s1 (1 L = 3.8 1033 erg s1, 1pc= 3.086 1018 cm).

2. En els estels variables del tipus RR Lyrae, la magnitud visual varia aproximadamenten 0.5 al llarg dun perode, com a conseque`ncia de la variacio del radi. Quina es la variaciorelativa del radi al llarg dun perode?. (Sol.: rmax = 1.26rmin)

3. Els estels tipus A0V tenen una magnitud absoluta MV = 0.6, i els G2V, MV = 4.7. Toti que hi ha nomes un estel A0V per cada 10 estels G2V per unitat de volum en les proximitatsdel Sol, demostreu que el nombre destels A0V visibles a simple vista es molt mes gran que elde G2V.

4. Les densitats del Sol i Jupiter son aproximadament iguals, i les seves masses estan enla relacio 1000:1. Quina variacio en la magnitud aparent del Sol detectaria un observadorsituat a lexterior del Sistema Solar quan Jupiter transites per davant del disc del Sol?. (Sol.:m ' 0.011)

5. Calculeu la magnitud integrada del cumul de les Pleiades considerant nomes les seves7 estrelles mes brillants. Les magnituds aparents daquestes son: 2.87, 3.63, 3.70, 3.87, 4.18,4.30 i 5.09. (Sol.: 1.66)

6. El dia`metre angular del Sol, vist des de la Terra, es de 32 . Si la dista`ncia Terra-Sol esde 1 AU = 1.5 1013 cm i la constant solar f (es a dir, la pota`ncia rebuda del Sol per unitatde superfcie a la posicio de la Terra) val 1.36106 erg s1 cm2, calculeu: a) La lluminositatsolar. b) La temperatura efectiva solar. c) La longitud dona del ma`xim de lespectre solar(suposant que el Sol es un cos negre). d) La fraccio de la lluminositat solar interceptada perla Terra suposada esfe`rica i de radi 6400 km. e) La magnitud absoluta del Sol si laparent val26.8. (Sol.: a) L = 3.841033 erg s1; b) Tef = 5770 K; c) max = 5023A; d) 4.551010;e) M = 4.77)

7. Lestel mes brillant vist des de la Terra es Sirius (m = 1.46, d = 2.7 pc) ubicat a laconstel.lacio de Canis Majoris, mentre que Arcturus (m = 0.04, d = 11 pc), a la constel.laciode Bootis, es el quart mes brillant. Calculeu la lluminositat en L dambdos estels, sabentque el flux rebut a la Terra procedent dAlgol (M = 0.20, d = 29 pc) es F = 3.769 106

erg s1cm2. (Sol. LSirius = 22.7L, LArct = 101.9L)

8. Pels estels, existeix la seguent relacio aproximada entre la massa i la lluminositat:log L/L ' 3.45 log M/M. Considereu un estel supergegant del tipus espectral B0, al qualcorrespon una lluminositat de 2.5 105 L i un radi de 20 R. a) Quina sera` la magnitudabsoluta i la temperatura efectiva de lestel? b) A quina dista`ncia hauria dorbitar un planetafictici al voltant daquest estel per tal que la seva constant solar fos igual a la de la Terra?c) Quin seria el perode orbital del planeta? d) Quina seria la magnitud aparent de lestrellavista des del planeta?. (Sol.: a) M = 8.7; b) Tef = 28835 K; b) 500 AU; c) 1846 anys; d)M = 26.8)

9. Suposant que la densitat a linterior dun estel es uniforme, a) Determineu la pressioPc al seu centre; b) Utilitzant lequacio destat del gas ideal, i sabent que la massa mitja perpartcula (en unitats de la massa de la`tom dhidrogen) es = 0.6, estimeu el valor aproximatde la temperatura central Tc. c) Apliqueu els resultats obtinguts al Sol (R = 7 1010 cm,M = 2 1033 g). (Sol.: Pc ' 1.3 1015 g cm1 s2; Tc ' 6 106 K)

10. Un sistema estel.lar doble esta` composat per una nana blanca que orbita al voltantduna gegant vermella. El pla de lo`rbita conte la visual, i per tant tots dos membres esprodueixen mutuament eclipsis al llarg del perode orbital. Reproduu qualitativament lacorba de llum observada en els filtres U i R.

11. Lhidrogen es lelement mes abundant de lunivers i es observat en un gran nombredobjectes. Lespectre de lhidrogen pot ser descrit mitjancant la formula

1

= R

(1

m2

1

n2

),

amb n > m, R = 1.09737312 105 cm1 (constant de Rydberg). Per a m = 1, n > 1 apareixla se`rie de Lyman, per a m = 2, n > 2 la de Balmer, per a m = 3, n > 3 la de Paschen i per am = 4, n > 4 la de Brackett. El radi de lo`rbita dun electro amb nombre qua`ntic n ve donatper rn = 0.5292 10

10n2 m

i) Calculeu la de les primeres lnies espectrals de cada se`rie i els radis per a n = 1, 2, 3 i 4.

ii) A les atmosferes de les estrelles B sobserva la se`rie de Balmer fins a n = 19, a lembolcallduna estrella Be sobserva fins a n = 42 i a una nana blanca fins a n = 6. Que` es pot dirdel nombre da`toms per cm3 a cadascu dels objectes. (Preneu dista`ncia interato`mica igual a10 vegades el radi ato`mic per evitar pertorbacions.) (Sol.: N = 3.42 1013 a`t/cm3 (n = 19),N = 2.93 1011 a`t/cm3 (n = 42), N = 3.45 1016 a`t/cm3 (n = 6))

iii) A la nebulosa dOrio sobserven dues lnies demissio de lhidrogen a 4874.157 i 4897.779MHz (freque`ncia ra`dio). A quines transicions corresponen? (La primera es del tipus n+1 ni la segona n + 2 n). (Sol.: 111 110, 140 138) Quina es la dista`ncia de lelectro alcentre en cada cas? (Sol.: 6.40 105 cm i 1.01 104 cm) Quines densitats impliquen?(Sol.:N = 9.09 108 a`t/cm3 i N = 2.33 108 a`t/cm3)

PROBLEMES DASTRONOMIA

Formacio i evolucio estel.lar

1. Considereu un nuvol de gas esfe`ric de radi R i massa M que col.lapsa sota la sevapro`pia forca de gravetat. Demostreu que la durada del col.lapse (temps de caiguda lliure) ve

donat per lexpressio tcl =pi

2

2

(R3

GM

)1/2. Apliqueu el resultat al cas del Sol (R = 6.96 1010

cm, M = 1.98 1033 g) i al cas dun nuvol molecular (R = 10 pc, M = 103 M). (Sol.: 30minuts i 16.6106 anys).

2. Considereu un nuvol de gas esfe`ric en equilibri hidrosta`tic, amb una temperaturaconstant a tot el seu interior. a) Demostreu que una densitat depenent del radi com = ar b

pot complir la condicio dequilibri hidrosta`tic, i determineu els valors de a i b per tal que siguiaixo`. b) Com creix la massa del nuvol amb el radi? (Sol.: a) a = kT/(2piGmH ), b = 2; b)M r).

3. El Sol genera energia en el seu interior principalment a traves de la cadena protoproto,en la qual quatre nuclis dhidrogen donen lloc a un nucli dheli, desprenent 27 MeV denergia.a) Sabent que la lluminositat del Sol es 3.9 1033 erg s1, calculeu quantes cadenes protoproto es produeixen per unitat de temps dins el Sol. b) Suposeu que tota la massa del Sol(2 1033 g) esta` composada inicialment per hidrogen. Feu una estimacio de la durada dela vida del Sol, suposant que es consumira` tot lhidrogen al ritme actual (Sol.: a) 9 1037

reaccions s1, b) t 1011 anys).

4. Prenent la lluminositat solar del problema anterior i lequacio dequivale`ncia entremassa i energia dEinstein, calculeu quanta massa perd el Sol cada segon. Si la durada del Soldins la seque`ncia principal es duns 1010 anys, calculeu quin percentatge de la massa actual delSol es transforma en energia al llarg de la seva vida (Sol.: 4.3 1012 g s1, M/M ' 0.07%).

5. La funcio de massa inicial en una agrupacio estel.lar (es a dir, el nombre destels quees formen per interval de massa) es pot aproximar per n(M) dM M2.3 dM . Sabent quela lluminositat es L M 3.45, demostreu que, en una agrupacio estel.lar, la major part de lamassa es troba en estels de baixa massa, pero` la major part de la lluminositat prove destelsmassius.

6. Lenergia cine`tica duna partcula en un medi de temperatura T es 32kT . Trobeu la

massa mnima que pot tenir una estrella gegant vermella amb una temperatura T = 2500K, i lluminositat L = 1.3 106 L, per sota de la qual els a`toms dhidrogen de latmosferadeixarien destar gravitato`riament lligats a lestel. (Sol.: 1 M).

7. Considereu un nuvol de gas esfe`ric en equilibri hidrosta`tic on la pressio P i la densitat del gas es relacionen com P = K1+1/n, amb K i n constants. Sigui (r) el potencialgravitatori a una dista`ncia r del centre del nuvol, relacionat amb el camp gravitatori, g(r),mitjancant g(r) = d/dr. El potencial gravitatori verifica lequacio de Poisson

1

r2d

dr

(r2

d

dr

)= 4piG(r).

i) A partir de lequacio de lequilibri hidrosta`tic, trobeu (r) en funcio del potencial (r) i deles constants K i n. Apliqueu la condicio de contorn = 0 a la superfcie del nuvol.

ii) Introduu la solucio anterior a lequacio de Poisson i feu el canvi de variables z = Ar i = /c, on c es el valor del potencial gravitatori al centre del nuvol. Quant val la constantA per tal que lequacio diferencial depengui tan sols de z, i n?

iii) Desenvolupeu (z) en se`rie de Taylor en torn de z = 0 fins a ordre 4. Si el camp gravitatori

es nul al centre, determineu els coeficients del desenvolupament de (z) per tal que sigui soluciode lequacio diferencial del apartat ii).

PROBLEMES DASTRONOMIA

La Gala`xia

1. Els nuvols moleculars a la nostra gala`xia estan distribuits en un anell compre`s entre1.7 kpc del centre gala`ctic i la posicio de lo`rbita solar a 8.5 kpc. Donat que la densitat mesalta es troba en un anell a 5 kpc del centre gala`ctic podem, en primera aproximacio, suposarque giren en orbites circulars de radi Ro = 5 kpc.

Degut a la rotacio diferencial, lacceleracio centrfuga en respecte dun sistema de refere`nciaque gira amb velocitat angular o en la posicio Ro ve donada per lexpressio:

ac = 4A(AB)R

essent R = R - Ro la variacio de la dista`ncia radial respecte de Ro i A i B les constantsdOort en la posicio Ro (preneu A = 22 km s1 kpc1 i B = 22 km s1 kpc1).

a) Doneu la massa mnima, en funcio del dia`metre D, dun nuvol molecular, suposat esfe`ric,per tal que sobrevisqui als efectes de marea de la rotacio gala`ctica.

b) Sabent que els dia`metres daquests nuvols estan compresos entre 22 i 80 pc, amb una lleide distribucio del tipus: N(D) = 5.3105 D2.3 (Solomon et al. (1985), essent D el dia`metre(expressat en pc) i N el nombre de nuvols amb dia`metres entre D i D+dD, compareu la massatotal mnima en forma de nuvols moleculars amb la massa total real que sestima de 2 4109

M. Els nuvols moleculars son prou massius per esser estables davant els efectes de la rotaciogala`ctica? Quins altres efectes poden ser els causants de la seva disgregacio?

Dades: G = 4.51791030 pc3 s2 M1 , 1pc = 3.0861018 cm.

APE`NDIX: FORMULES DE TRIGONOMETRIA ESFE`RICA

Astronomia de Posicio

1er i 2on grups de Bessel

sin a sinB = sin b sinA cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A (1)

sin a sinC = sin c sinA cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B (2)

sin b sinC = sin c sinB cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C (3)

3er grup de Besselsin a cos B = cos b sin c sin b cos c cos A (1)

sin a cos C = cos c sin b sin c cos b cos A (2)

sin b cos A = cos a sin c sin a cos c cos B (3)

sin b cos C = cos c sin a sin c cos a cos B (4)

sin c cos A = cos a sin b sin a cos b cos C (5)

sin c cos B = cos b sin a sin b cos a cos C (6)