Astronomia i Matemàtiques

��

��

Ricardo Palomar

INS de Pallejà

1

En aquest document es presenta un conjunt d�experiències d�Astronomia

integrades dins del currículum de Matemàtiques de 2n, 3r i 4t d�ESO. La

proposta, que tracta de lligar raonaments, mètode científic i recursos de les

tecnologies de la informació i la comunicació, és traslladar la classe de

matemàtiques fora de l�aula amb la finalitat d�aplicar conceptes i procediments

estudiats a classe. D�aquesta manera s�ajuda als alumnes al desenvolupament

de les competències bàsiques, a l�adquisició dels objectius educatius de la

matèria de Matemàtiques i a trencar amb la fragmentació de coneixements

(interdisciplinaritat i transversalitat). Alguns exemples de nexe entre

Astronomia i matèries científiques de l�educació obligatòria poden ser els

següents:

• Matemàtiques. Gran part dels temes que es tracten són ideals per a que

els alumnes vegin una aplicació directa de conceptes matemàtics

curriculars com les proporcions, escales, trigonometria, notació

científica, funcions, probabilitat, etc.

• Física. Camp ideal de coordinació amb l�Astronomia, ja que permet

treballar conceptes físics com la temperatura, la densitat, les lleis de

Kepler i la llei de la gravitació de Newton.

• Química-Biologia. L�Astronomia permet integrar el tema de l�origen de la

vida a l�Univers i de les condicions necessàries per al seu

desenvolupament a la Terra.

En definitiva, la introducció de l�Astronomia a la classe de matemàtiques

permet:

• La integració de coneixements.

• La funcionalitat d�aprenentatges com a aplicació dels coneixements en

diferents contextos.

• La autonomia personal al adquirir l�alumne eines per aprendre a

aprendre.

• L�ús integrat de les TIC com eines necessàries en el treball científic.

2

La majoria dels continguts purament astronòmics necessaris en aquesta

proposta educativa estan inclosos en el disseny curricular de l�educació

primària-secundària i formen part de la cultura científica que tot ciutadà hauria

de tenir com a resultat del seu pas pel sistema educatiu.

A continuació s�exposen les diferents pràctiques que conformen la proposta

educativa. Per a cada una d�elles es presenta l�objectiu principal, un petit resum

del mètode a seguir per arribar a l�objectiu, si és una pràctica individual o

col·lectiva, un conjunt de paraules claus (keywords) que caracteritzen

l�experiència i el curs d�ESO al qual va dirigida.

P1. La Lluna

Objectiu Analitzar l�orografia de la cara visible de la Lluna.

Mètode Observació nocturna amb el telescopi del centre i

pressa de fotografies digitals. Exposició a l�aula

de les fotografies. En cas que l�observació no

sigui possible, les fotografies podran obtenir-se

d�internet. Avaluació de la superfície d�un mar o

d�un cràter visible.

Tipus experiència Treball individual.

Competències CB3, CB4, CB6, CB7

2n

ES

O

Keywords Telescopi, fotografia digital, proporcionalitat, àrea

d�un cercle, proporció.

3

P2. Júpiter

Objectiu Estimar la superfície total de la gran taca vermella

de Júpiter.

Mètode Observació nocturna amb el telescopi del centre i

pressa de fotografies digitals. Exposició a l�aula

de les fotografies. En cas que l�observació no

sigui possible, les fotografies poden obtenir-se

d�internet. Amb fotografies de Júpiter, els alumnes

han de comparar la superfície de tot el cercle (que

representa el planeta) amb la de la taca vermella.

Tipus experiència En grup.


3r

ES

O

Keywords Telescopi, fotografia digital, àrea de polígons,

àrea d�un cercle, superfície de figures irregulars,

densitat superficial, tant per cent.

P3. Hora de sortida del Sol

Objectiu Avaluar l�hora de sortida del Sol un dia

determinat.

Mètode Recollir l�hora de sortida del Sol a Barcelona

durant un període aproximat de quatre setmanes,

però no contínuament, sinó alternadament de

manera que faltin alguns dies. Introduir les dades

disponibles en una taula de full de càlcul, i

representar-les gràficament. Deduir a partir de la

gràfica de la funció l�hora de sortida d�algun dia

del qual no es tenen dades. Comparar el valor

obtingut amb el valor correcte.


Competències CB3, CB4, CB5, CB6, CB7, CB8

3r

ES

O

Keywords Unitat complexa, unitat incomplexa, funció, gràfica

d�una funció, interpolació, full de càlcul.

4

P4. Densitat dels planetes

Objectiu Avaluar la densitat dels planetes.

Mètode A partir del radi i de la massa dels planetes, els

alumnes fan servir un full de càlcul per estimar la

densitat mitjana. Una simple operació que separa

els planetes interiors dels exteriors



3r

ES

O

Keywords Esfera, volum, densitat, full de càlcul.

P5. Lleis de Kepler

Objectiu Enunciar les tres lleis de Kepler.

Mètode Analitzar específicament la tercera llei, fent una

taula amb full de càlcul de manera que a partir del

període de revolució i la distància al Sol dels

planetes del Sistema Solar permeti calcular la

constant de Kepler.



4t

ES

O

Keywords Canvi d�unitats, notació científica, full de càlcul.

P6. Llei de Titius-Bode

Objectiu Exposar la llei de Titius-Bode.

Mètode Comparació de la distància planeta-Sol real i la

predita per la llei de Bode. Fer un gràfic de les

dues distàncies a partir d�una taula de full de

càlcul. Avaluació de l�error relatiu de la fórmula de

Bode per a cada planeta.

Tipus experiència Individual.


4t

ES

O

Keywords Asteroids, funcions, funció exponencial, infinit, full

de càlcul, error relatiu.

5

P7. Estimació del radi solar

Objectiu Avaluar aproximadament el radi del Sol.

Mètode Es proposa fer servir una cambra obscura per tal

calcular aproximadament mitjançant una

proporció el radi solar.



4t

ES

O

Keywords Cambra obscura, proporció, error relatiu.

P8. Taques solars

Objectiu Analitzar les taques solars i estimar el període de

rotació del Sol.

Mètode Mitjançant imatges solars del satèl·lit artificial

SOHO, els alumnes han de comprovar l�existència

de taques solars, del seu moviment, així com de

la seva periodicitat. Amb vàries imatges

successives poden calcular aproximadament el

període de rotació solar.

Tipus experiència Individual.


4t

ES

O

Keywords Fotografia digital, satèl·lit artificial.

A continuació, el desenvolupament guiat de cada pràctica.

6

P1. LA LLUNA

Material.

• Escaire, compàs.

• Calculadora científica.

• Ordinador.

• Llibres d�Astronomia o Ciències naturals.

Objectius.

• Analitzar algunes dades de la Lluna.

• Mesurar aproximadament el diàmetre del Mar de la Crisi i d�alguns

cràters propers.

Desenvolupament de la pràctica.

1.- Busca la massa i el radi de la Lluna (llibres, internet). Si suposem que la

Lluna té forma esfèrica, quin és el seu volum? Expressa el resultat en m3.

2.- Calcula amb aquestes dades la densitat mitjana de la Lluna que es defineix

com:

[ ]

[ ]3cm volum

g massadensitat =

3.- Busca també la massa i el volum de la Terra. Cerca la densitat mitjana del

planeta Terra i compara-la amb la de la Lluna. Sabries dir per quina raó són

semblants les dues densitats?

4.- Fixa�t en la fotografia de la Lluna (figura 2), i sobre ella traça dos secants

sobre el disc lunar il·luminat (com hem fet al dibuix de la figura 1). Anomena els

punt de tall com A, B, C i D. Després dibuixa les mediatrius als segments AB i

CD. El punt de tall de les dues mediatrius resulta ser el centre del disc lunar.

Prova�l amb un compàs. Mesura en centímetres el radi que té la Lluna en

aquesta fotografia.

7

5.- A la fotografia de la figura 2 s�observa clarament a la zona central una regió

plana sense cràters: és el Mar de la Crisi. Amb un regle mesura el diàmetre

aproximat d�aquest mar (verticalment per evitar efectes de profunditat). Pot

calcular-se el diàmetre aproximat d�aquest mar fent una proporció (regla de

tres) entre el radi real de la Lluna (obtingut a la pregunta número 1), el radi de

la Lluna en la fotografia i el diàmetre del Mar de la Crisi:

Radi Lluna fotografia [cm] ------------ Radi Lluna real [km]

Diàmetre Mar Crisi fotografia [cm] ------------ Diàmetre Mar Crisi Real x [km]

La proporció és directa o inversa? Per què? Resol la proporció amb les teves

dades i calcularàs el diàmetre real del Mar de la Crisi.

Explica per què el diàmetre del Mar de la Crisi ha de ser més petit que el radi

de la Lluna.

Figura 1

8

6.- Localitza el Mar de la Crisi en una cartografia lunar. Per exemple, la de la

figura 3. A partir d�ell, localitza sobre la fotografia lunar els cràters Cleomades,

Burckhardt, Geminus i Macrobius (VIGILA L�ORIENTACIO!). Mesura a la

fotografia amb un regle els diàmetres dels cràtres en mil·límetres, i mitjançant

una proporció com la feta a la pregunta 5, els seus diàmetres reals. Compara

els teus resultats amb els mesurats pels astrònoms: a l�adreça d�internet

www.lunarepublic.com/atlas/index.shtml clicant sobre el cràter s�obté el radi

exacte.

7.- Busca un mapa/cartografia o fotografia completa de la cara visible de la

Lluna en format JPG o BMP. Edita�l (per exemple amb el Paint de Windows)

per tal de senyalar aproximadament els indrets en els quals van posar-se

algunes de les naus tripulades (Apolo 11, Apolo 12, Apolo 14, Apolo 15, Apolo

16, Apolo 17). Saps què va passar amb l�Apolo 13?

S

N

WE

Figura 2

9

8.- Quina és la diferència entre un calendari solar i un de lunar? Com ja saps, el

nostre calendari és solar, però la religió cristiana ha introduït festivitats

clarament relacionades amb la Lluna, com per exemple la Setmana Santa.

Investiga com es fixa el diumenge de Resurrecció al nostre calendari.

N

S

Figura 3

10

P2. JÚPITER

Material.

• Cartolina, tisores.

• Compàs.

• Balança electrònica.


• Ordinador.

• Llibres d�Astronomia o Ciències naturals.

Objectius.

• Analitzar dades sobre Júpiter.

• Calcular la densitat superficial d�una cartolina.

• Mesurar aproximadament el tant per cent que ocupa la taca vermella de

Júpiter sobre la seva superfície total.


1.- Primerament serà necessari cercar la densitat superficial d�una cartolina

(per a que tinguis una idea de l�ordre de magnitud has de saber que un full DIN

A4 de qualitat normal té una densitat de 80 g/m2).

I per fer-ho, començarem retallant en cartolina diverses figures geomètriques.

Les proposades són les següents:

• (A) Quadrat de 5 cm de costat.

• (B) Quadrat de 10 cm de costat.

• (C) Rectangle de costats 7 cm x 6 cm.

• (D) Rombe de diagonals 10 cm i 8 cm.

• (E) Cercle de 6 cm diàmetre.

• (F) Cercle de 7 cm de radi.

• (G) Trapezi rectangle de bases 6 cm i 10 cm i altura 4 cm.

11

• (H) Triangle equilàter de 8 cm de costat.

De totes aquestes figures hauràs de calcular la seva àrea segons la fórmula

adient i pesar-les amb una balança electrònica, expressant el resultat en

grams.

Amb les dades de massa i àrea es calcula para cada figura la densitat, que es

defineix com:

superfície

massadensitat =

Ens ajudarem d�un full de càlcul per introduir les dades de massa i superfície i

calcular la densitat de cada figura. Per exemple:

Per què no són iguals totes les densitats de les figures si estan fetes amb la

mateixa cartolina?

12

Com densitat de la cartolina considerarem la densitat mitjana de les vuit figures.

Introdueix la fórmula pertinent a la cel·la E15 per a calcular la densitat

superficial.

2.- Per calcular l�àrea que ocupa la taca vermella procedirem de la manera

següent. Dibuixa sobre la cartolina la fotografia de Júpiter i la de la seva taca

que s�adjunta amb aquesta pràctica. Retalla primerament el disc i pesa�l a la

balança. Retalla desprès la taca vermella i busca la seva massa.

Com sabem de l�apartat 1 el que pesa un cm2 de cartolina (recorda què

significa la densitat), amb una simple proporció podràs calcular la superfície

retallada que representa la taca vermella. El mètode aquí seguit serveix per

mesurar àrees de figures irregulars.

3.- Calcula el tant per cent que representa la taca vermella sobre el total de la

superfície joviana.

4.- Busca la massa i el volum de Júpiter i calcula la seva densitat. Si la

densitat mitjana de la Terra és de 5,5 g/cm3, quines conclusions podem treure

de la seva composició respecte la de la Terra?

5.- Júpiter té més de 60 satèl·lits coneguts. Els quatre més grans van ser

descoberts al 1610 per Galileo. Es tracta de Io, Europa, Ganímedes i Calisto.

Busca el radi de tots quatre i compara�ls amb la Terra.

14

6.- Busca la distància entre Júpiter i el Sol. Si la velocitat de la llum és de

300000 km/s, quant minuts triga la llum solar en arribar a Júpiter? Creus

possible, tal com apareix en algunes pel·lícules de ciència ficció, mantenir una

conversa via ràdio o televisió des de la Terra amb Júpiter? Per què?

15

P3. HORA DE SORTIDA DEL SOL

Material.

• Calculadora científica / ordinador.

• Diari LaVanguardia.

• Paper mil·limetrat.

Objectius.

• Calcular l�hora aproximada de sortida del Sol a Barcelona a partir d�unes

dades conegudes.


1.- Primerament hauràs de recopilar dades. Durant tres setmanes prendràs

l�hora de sortida del Sol a Barcelona. Aquesta és una dada disponible a molts

diaris. Concretament a La Vanguardia, que es rep a l� institut de dilluns a

divendres.

2.- Fes una taula amb totes les dades recollides durant les tres setmanes. El

dia serà correlatiu: si per exemple la recol·lecció de dades comença un 3

d�abril, aquest serà el dia 1, el 4 d�abril serà el dia número 2, etc.

L�hora de sortida del Sol és una dada que el diari expressa sempre en la forma

HH:MM (hores i minuts). Ha de ser transformada a únicament hores, cosa que

vol dir que els minuts han de convertir-se a hores. Per exemple, si l�hora de

sortida del Sol un dia determinat és a les 07:23, haurem de fer:

7 hores 23 minuts = 7 hores + 60

23 hores = 7,3833 hores

En definitiva, la taula final ha de ser semblant a aquesta:

16

Per fer-la, pots ajudar-te d�un full de càlcul com Excel o similar. Observa: la part

esquerra de la taula (dia, hora, minut) són les dades que has obtingut de La

Vanguardia. La part de la dreta (número de dia i hores) és el càlcul que has de

fer per a cada dada.

3.- Representa en paper mil·limetrat la taula de valors anterior. Concretament,

la variable independent és el número de dia, mentre que la variable dependent

serà l�hora de sortida del Sol. Obtindràs una sèrie de punts: NO formen una

recta!

4.- A partir de la gràfica anterior, cerca l�hora aproximada de sortida d�un dels

dies del qual no tenim dades (per exemple d�un dissabte, perquè no tenim

diari). Expressa el resultat en hores i minuts.

5.- També a partir de la gràfica anterior cerca l�hora aproximada de sortida una

setmana després de l�últim dia del qual tens dades. Expressa el resultat també

en hores i minuts.

DIA HORA MINUT NUM DIA

(X) HORA

(Y) 03-abr-09 7 23 1 7,3833 04-abr-09 7 26 2 7,4333 05-abr-09 7 29 3 7,4833 08-abr-09 7 39 6 7,6500

17

P4. DENSITAT MITJANA DELS PLANETES

Material.


• Ordinador.

• Llibres d�Astronomia o Ciències naturals, connexió a internet.

Objectius.

• Calcular la densitat mitjana dels planetes del Sistema Solar.


1.- Primer de tot hauràs de cercar informació sobre els planetes del sistema

solar. Concretament del seu radi i la seva massa (llibres, internet). Hauràs de

construir una taula (amb un full de càlcul o amb un processador de textos) en la

que aparegui la massa (expressada en kg) i el radi de cada planeta (expressat

en cm), ambdós en notació científica.

Ja saps que la notació científica permet escriure una xifra molt gran o molt

petita d�una manera més compacta fent servir les potències de 10. Per

exemple:

• 78100000 cm = 7,81·10 7 cm

• 0,00098 g = 9,8·10 -4 g

Aquesta forma d�expressar les xifres permet comparar-les fàcilment. La notació

científica facilita també les operacions de càlcul.

2.- A partir del radi de cada planeta has de calcular el seu volum. Suposarem

llavors que els planetes tenen forma esfèrica i per tant el seu volum s�expressa

com:

18

3R 3

4π=V

Omple a la taula una nova columna amb el volum de cada planeta.

3.- Amb la massa i el volum podràs calcular la densitat mitjana recordant que:

[ ]

[ ]3cm volum

g massadensitat =

Calcula per a cada planeta la densitat en una nova columna. Si optes per fer

els càlculs amb un full de càlcul has de saber que també pots introduir un

nombre en notació científica en una cel·la. Per fer-ho has d�escollir l�opció

científica en Formato+Celda+Número. Però alerta, que com no pots escriure

exponents, la potència de 10 s�expressa amb la lletra E. Per exemple:

• 7,81·10 7 s�escriu com 7,81E+07

• 9,8·10 -4 s�escriu com 9,8E -04

4.- Compara les densitats dels planetes. Observes alguna relació o diferència?

19

P5. LES LLEIS DE KEPLER

Material.


Objectius.

• Anàlisi de la tercera llei de Kepler.

• Càlcul amb notació científica.


Johannes Kepler va deduir tres lleis per al moviment dels planetes entorn del

Sol a partir de les seves pròpies observacions i de les del seu mestre Tycho

Brahe. Les tres lleis són:

• 1. Els planetes descriuen òrbites el·líptiques i el Sol és un dels focus

(veure figura 1).

• 2. El radi vector que uneix el Sol amb un planeta escombra àrees iguals

en temps iguals. Una conseqüència d�aquesta llei és que el planeta a la

posició 1 (figura 2) ha d�anar més ràpid que a la posició 2.

• 3. El període de translació al voltant del Sol (que s�escriu com P) elevat

al quadrat és proporcional al semieix major de l�òrbita (que s�escriu a)

elevat al cub:

=3

2

a

P constant

Figura 1

20

1.- Els valors dels períodes P (expressats en anys) i dels semieixos a

(expressats en kilòmetres) de les òrbites dels planets els podeu veure a la

següent taula:

P (anys) a (km)

Mercuri 0,24 5,805 107

Venus 0,615 1,0845 108

Terra 1 1,5 108

Mart 1,88 2,286 108

Júpiter 11,86 7,8045 108

Saturn 29,457 1,4309 109

Urà 84,36 2,8773 109

Neptun 165,5 4,5087 109

Ja sabeu que sempre fem servir unitats de mesura adients per a cada cas: una

formiga la mesurem en mm; l�altura d�un elefant en m; la distància entre

Barcelona i Madrid en km, etc. Però mesurar la distància entre els planetes i el

Sol en km és feixuc, perquè aquestes són molt grans en comparació al

quilòmetre. És aquesta raó per la qual els astrònoms fan servir la UNITAT

Figura 2

21

ASTRONÒMICA (UA) per mesurar distàncies en el sistema solar. Una unitat

astronòmica és la distància entre la Terra i el Sol:

1 UA = 150 000 000 km

Començareu la pràctica amb la conversió de les distàncies planeta-Sol

expressades a la taula en km a les noves unitats UA. Desprès hauràs de

calcular el quocient P2/a3 i observaràs que és semblant per a tots els planetes

tal com assegura la segona llei de Kepler. Com exemple tens els resultat per al

planeta Venus:

P (anys) a (UA) P2/a3

Mercuri 0,24

Venus 0,615 0,723 1,00077

Terra 1

Mart 1,88

Júpiter 11,86

Saturn 29,457

Urà 84,36

Neptun 165,5

2.- Fes una petita ressenya biogràfica de Kepler y Brahe. Com era la relació

entre Kepler i el seu mestre Brahe?

3.- Com s�anomena la posició d�un planeta més propera al Sol? I quan està

més lluny?

4.- Pots consultar vídeos a la xarxa en els que poden visualitzar-se les lleis de

Kepler; per exemple:

http://www.physics.sjsu.edu/tomley/Kepler12.html

http://www.physics.sjsu.edu/tomley/Kepler3.html

http://www.youtube.com/watch?v=lm9Ej-YMXto

http://www.youtube.com/watch?v=_3OOK8a4l8Y

22

P6. LA LLEI DE TITIUS-BODE

Material.


Objectius.

• Anàlisi de la formula de Titius-Bode.

• Càlcul amb notació científica.

• Estimació d�errors.


1.- La llei de Titius-Bode (o simplement de Bode) és una formula empírica que

prediu la distància mitjana d�un planeta al Sol. Si assignem a cada planeta un

nombre enter n (excepte per Mercuri que és un cas especial), llavors la seva

distància d al Sol en unitat astronòmiques UA s�expressa de manera

aproximada amb la formula:

10

2 · 34 1-n+

=d

Omple la taula següent calculant la distància mitjana al Sol de cada

n dexp (UA) d (Bode)

Mercuri ∞− 0,387

Venus 1 0,723

Terra 2 1,000

Mart 3 1,523

Júpiter 5 5,200

Saturn 6 9,539

Urà 7 19,184

Neptun 8 38,80

Plutó 9 77,20

23

planeta, des de Venus a Neptú i Plutó: només cal substituir a la formula de

Bode l�enter n pel corresponent de cada astre.

L�aplicació de la llei de Bode a Mercuri és peculiar, ja que a la formula hem de

calcular la potència 12 −−∞ . Amb el signe ∞ representem �un nombre molt gran�;

amb ∞− representem un nombre �negatiu molt gran�. Imaginem que n = - 3,

llavors a la formula de Bode hem de calcular:

0625,016

1

2

122

4

413====

−−−

Si n= - 9, tenim que 4

10

1019 10·76,9000976,02

122 −−−−

==== . Si n= - 20, llavors la

potència és 7

21

21120 10·768,42

122 −−−−

=== . Fixa�t que a mesura que l�exponent n

és més i més negatiu el resultat és cada vegada més petit. Aleshores:

02 1=

−−∞

Calcula, tenint en compte aquest resultat, la distància mitjana entre Mercuri i el

Sol segons la llei de Bode.

2.- Per tal d�estimar la fiabilitat de la llei de Bode, calcularem l�error absolut i

relatiu de cada distància. Si anomenen dexp la distància experimental obtinguda

pels astrònoms (que considerarem exacta) i d la distància segons la llei de

Bode, recorda que l�error absolut és la diferència:

dda

−= expε

i l�error relatiu expressat en tant per cent és

100·expd

a

r

εε =

Busca per a cada astre l�error relatiu en la distància que proporciona la formula

de Bode. Omple la taula:

24

3.- Fixa�t que la llei de Bode salta de n= 3 per a Mart a n= 5 per a Júpiter. Entre

Mart i Júpiter hi ha tot un grup de petits astres anomenats asteroides que

provenen de la desintegració d�un planeta. Busca a internet el nom de

l�asteroide més gran, la seva distància mitjana al Sol en unitats astronòmiques

UA i calcula la distància que li correspon segons la llei de Bode amb l�enter

n=4.

Nom de l�asteroide més gran: __________

Distància mitjana al Sol (UA): __________

Distància segons llei de Bode: __________

4.- Ja saps que Plutó no es considera avui en dia un planeta del Sistema

Solar: forma part de l�anomenat cinturó de Kuiper (KBO, de l�anglès Kuiper Belt

Object). Busca a internet el nom d�altres astres KBO.

5.- Fes una petita ressenya biogràfica (màxim 7 lin.) de l�astrònom J.E. Bode.

a

ε r

ε

Mercuri

Venus

Terra

Mart

Júpiter

Saturn

Urà

Neptun

Plutó

25

P7. ESTIMACIÓ DEL RADI SOLAR

Material

• Regle, pegament, tisores, paper d�alumini, cutter, agulla, cinta adhesiva

(celo) i cinta adhesiva negra.

• Capsa de sabates.

• Cartolina negra o pintura negra.

• Full de paper vegetal.

Objectius

• Construcció d�una cambra fosca.

• Estimació del radi/diàmetre del Sol.

Desenvolupament de la pràctica

1.- Construcció d�una cambra fosca

Una cambra fosca és una capsa amb la que podem prendre imatges i fins i tot

fotografies. Es basa en el fet físic de la propagació de la llum en línia recta de

manera que quan passa per un forat molt petit (anomenat estenop) permet

reproduir una imatge invertida.

26

L�estenop no focalitza la imatge com una lent; en realitat el que fa es limitar la

quantitat de llum que arriba al fons de la capsa. Aquí tens els passos a seguir

per construir una cambra fosca a partir d�una capsa de sabates:

i) Retalla un rectangle de 10x7 cm (aproximadament) en una de les cares de la

capsa: aquí es formarà la imatge invertida del Sol. A la cara oposada retalla un

rectangle més petit, de dimensions 5x4 cm aproximadament. Dibuixa les

diagonals de les cares de manera que els rectangles a retallar estiguin centrats

en les cares (veure figura 1 i 2).

ii) Pinta de color negre o bé col·loca cartolina negra a tota la part interior de la

capsa. D�aquesta manera evitarem reflexos dins de la cambra (figura 3).

iii) A la cara on es projecten les imatges pega amb cola i cinta adhesiva un full

de paper vegetal (figura 3).

Figura 1

Figura 2

27

iv) Col·loca una làmina de paper d�alumini pegada a la capsa amb cinta

adhesiva. Ajuda�t de les diagonals per fer un forat centrat amb una agulla (com

la figura 4). El forat ha de tenir uns 0,7 mm de diàmetre aproximadament.

v) Col·loca cinta negra al voltant de la tapa per evitar l�entrada de llum a

l�interior.

Figura 3

Figura 4

28

vi) Ja pots provar la teva cambra fosca en un indret obert i un dia lluminós.

Recorda que no has de mirar directament al Sol. En cas de què l�obertura es

trenqui, sempre podràs substituir-la per una altra làmina de paper d�alumini.

Per facilitar l�observació del disc solar i la presa de dades del diàmetre, col·loca

un regle sobre el paper de projecció (figura 5). Mentre una persona aguanta la

cambra fosca mirant al Sol, el company fa una fotografia digital. Ja en casa,

edita la fotografia (amb el Paint de Windows, Gimp, etc) fes un zoom i podràs

calcular fàcilment el diàmetre i radi del Sol projectat (figura 6)

2.- Estimació del radi solar

Fixa�t en l�esquema de la figura 7 adjunta: la circumferència de l�esquerra és el

disc solar, la circumferència petita de la dreta és la projecció del Sol a la

cambra fosca i O és el forat d�entrada de la cambra. La distància OA� és la

longitud de la cambra fosca i A�B� és el radi de la imatge solar sobre el paper

vegetal (la meitat del seu diàmetre!).

Figura 5 Figura 6

Figura 7

29

El triangle gran AOB és semblant al triangle petit A�OB�. Per tant, segons el

teorema de Tales tenim que:

'

''

OA

BA

OA

AB=

A l�equació anterior coneixem OA� (la longitud de la capsa), A�B� (el radi de la

imatge solar projectada al fons de la capsa) i OA (la distància Terra-Sol), la

qual cosa permet calcular el radi solar AB.

Omple la taula següent amb les dades obtingudes, i recorda que la distància

entre la Terra i el Sol és OA=150 000 000 km. De cada observació que facis,

has d�apuntar el dia i l�hora a la qual la fas.

Mesura Dia Hora A�B� OA� Radi Solar

(AB)

1

2

3

4

Per acabar, calcula la mitjana aritmètica dels quatre radis solars que has

obtingut i compara aquest valor amb el correcte (cerca�l a internet).

NOTA: Has de lliurar la professor un arxiu (full de càlcul, text) que contingui la

taula anterior amb totes les dades i almenys una fotografia d�una de les

observacions (similar a la figura 5).

Bibliografia

• http://www.estenopolis.com.ar/home.html

• http://www.foto3.es/web/aprende/camara%20oscura.htm

• http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_solar

30

P8. LES TAQUES SOLARS

Material.

• Calculadora científica / ordinador / connexió internet.

• Full de paper vegetal .

• Transportador d�angles, regle.

Objectius.

• Observació de les taques solars.

• Determinació de la trajectòria de les taques.

• Determinació del període de rotació de Sol.


1.- Observació de les taques solars

L� atmosfera solar està formada per tres regions: la fotosfera, que és la part

visible de color groc, la cromosfera a sobre d�aquesta i la corona solar que és la

més tènue i externa.

La fotosfera és estreta, d�uns 500 km de gruix. Està formada principalment per

gas hidrogen a baixa temperatura ( ≈ 6000 K). A la figura 1 es mostra un

exemple del disc solar (fotosfera). En ella observaràs zones obscures, taques,

que apareixen i desapareixen en períodes regulars d�11 anys. Aquestes taques

ja eren observades pels xinesos mil anys abans de Crist, però el primer estudi

sistemàtic el va fer Galileo amb l�ús del telescopi el 1610.

Figura 1. Disc solar amb taques. Font: http://www.spaceweather.com

31

Les taques solars normalment apareixen en grups i estan constituïdes per dues

parts: umbra que és la zona central més obscura i amb temperatures al voltant

de 3800 K, i la penumbra, una regió més clara i d�estructura radial al voltat de la

umbra (figura 2).

La presència de taques ens informa de l�existència de forts camps magnètics

(unes 1000 vegades més grans que el camp magnètic a la superfície de la

Terra) que afloren a la fotosfera. El fort camp magnètic atura la convecció de

material calent des de les parts internes i el gas de la fotosfera es refreda: per

això veiem aquestes zones més obscures.

Les taques solars solen aparèixer per parelles en ambdós hemisferis sobre

latituds que van des dels 5º als 40º. Al principi del cicle, les taques solars estan

en les latituds més altes (uns 40º) i a mesura que el cicle avança, apareixen

taques amb major freqüència i cada vegada a menys latitud (properes de

l'equador), fins que s'aconsegueix el màxim. Observant un determinat grup de

taques durant uns dies es comprova que el període de rotació solar és d�uns 27

dies.

A) L�observació del Sol es pot fer amb qualsevol telescopi col·locant a l�objectiu

un filtre per protegir l�ull de la persona que observa. Com no disposem de

telescopi i a més l�observació pot ser perillosa, observarem el Sol agafant les

imatges diàries que envia el satèl·lit artificial SOHO (una missió conjunta de la

NASA i la ESA). Les imatges solars que SOHO envia cada dia les podeu trobar

en aquesta adreça de la NASA:

Figura 2. Imagen d�una taca solar. Font: http://www.hau.ucar.edu:80/public

32

http://sohowww.nascom.nasa.gov/data/realtime-images.html

La imatge etiquetada com MDI Continuum és la corresponent a la visual (Sol de

color groc � taronja).

L�any 2009 és un any de mínima activitat solar (poques taques). El

comprovarem consultant les imatges d�arxiu de SOHO per aquest any. Per fer-

ho vés a l�adreça:

http://sohodata.nascom.nasa.gov/cgi-bin/data_query

seleccionant imatges (Image Type) de tipus MDI Continuum, i vigilant el format

d�entrada de la data que està en format anglès. Busca (search) una imatge

solar del dia 5 de novembre de 2009 i enganxa-la en el document de respostes

per lliurar al professor. Després busca una imatge solar del dia 5 de novembre

de l�any 2004 i enganxa-la també al dossier. Compara les imatges i escriu el

que observes.

B) Per observar la variabilitat de l�activitat solar, observarem imatges de

diferents anys. Per exemple, copia i enganxa al dossier una imatge solar del dia

del teu aniversari de l�any 2002, de l�any 2003, ..., fins al 2009. Fes un

recompte del nombre de taques i escriu l�any en el qual hi trobes més taques.

Per a quin any trobes un nombre de taques més petit?

2.- Rotació solar

Si ens miréssim la Terra des de l�espai podríem observar la seva rotació en 24h

perquè veuríem com els continents, i les seves muntanyes i rius es van

desplaçant, sorgint de la cara amagada, transiten per la cara visible i tornen a

amagar-se. El Sol, encara que no té continents, també rota. Però com és una

superfície llisa és difícil apreciar-ne la rotació. Les taques solars juguen un

paper important per mesurar la rotació solar. Les observacions que proposem a

continuació són similars a les que va fer Galileo (també!) mesurant el període

de rotació solar.

33

A) Baixa�t de l�adreça web de SOHO:

http://sohodata.nascom.nasa.gov/cgi-bin/data_query

3 imatges del disc solar corresponents als dies 4, 7 i 10 d�abril de l�any 2004, i

si pot ser, de la mateixa hora (normalment sempre trobaràs una imatge de les

00:00). Copia i enganxa les tres imatges en el dossier que has de lliurar al

professor, però per treballar més còmodament has de reduir la seva mida al

50% (menú Formato de imagen | tamaño | escala). Atenció: cal que totes les

fotografies tinguin la mateixa mida.

Durant aquests dies d�abril comprovaràs que un grup de taques, que el dia 4

estan a la part esquerra de la fotografia, es mouen una mica cada dia cap a la

dreta degut a la rotació solar. Triarem aquestes taques per mesurar la rotació

solar (figura 3).

B) Dibuixem ara en paper vegetal tres circumferències de la mateixa grandària

que els 3 discos solars de les imatges SOHO (pots calcar, per això fem servir

paper vegetal), i incloem un cercle graduat com s�indica a la figura 4.

Figura 3

34

Calca la posició de les taques el moviment de les quals volem seguir. Has de

fer servir un full de paper vegetal per a cada imatge de SOHO. Un cop fet això,

superposarem les unes amb les altres. Com l�equador real del Sol no coincideix

amb la línia de 0o, orienta cada full de manera que les taques recorrin

trajectòries rectilínies paral·leles. Traceu la perpendicular a la trajectòria, cosa

que formarà la línia del pol nord � pol sud, que és l�eix de rotació solar. Tens un

exemple de com quedarà a la figura 4.

Mesura la distància x entre cada taca i la línia que passa pels pols nord �sud.

(veure figura 5). Feu-ho per a cada observació. Poseu els resultats a la taula

següent, que ha de ser lliurada en el dossier:

Dia Hora x OB α

A la figura 5 tens representades diferents posicions d�una taca, vista des del pol

nord i vista sobre el paper. La posició d�una taca sobre el disc solar està

donada per l�angle α , i relacionada amb la posició sobre el paper:

OB

x=αcos

Figura 4

35

Mesura en cada imatge la distància OB, i mitjançant l�expressió anterior

juntament amb la funció inversa cos-1, calcula l�angle α . Omple la taula anterior

amb les noves dades OB i α .

C) Per mesurar el període de rotació del Sol, calcula l�angle total girat per la

taca entre el primer i l�últim dia; fes una proporció per tal de saber quant triga

en fer una volta completa de 360o.

Figura 6

Figura 5

36

3. Bibliografia

• http://galileo.rice.edu/sci/observations/sunspots.html

• http://www.iac.es/educa/sol/actividad.htm

• L�astronomia a les aules, C. Jordi i R. Estalella. Universitat de Barcelona

FECYT, Barcelona (2008).

Astronomia i Matemàtiques

Documents

Transcript of Astronomia i Matemàtiques