Asignatura: Matemática

Cursos: Cuarto año A, B y C

Docentes a cargo: Lalicata, Cintia - Druetta, Eliana

Aprendizajes y contenidos:

Función polinómica de primer grado: utilización de las diferentes representaciones (coloquial,

gráfica, algebraica, por tablas, entre otras) para establecer relaciones de dependencia entre las

variables y resolver situaciones problemáticas.

Análisis de las funciones polinómicas de primer grado desde sus diferentes representaciones

(incluyendo interpretación de parámetros, análisis de ceros, decrecimiento y crecimiento).

Criterios de Valoración Los criterios que se enuncian a continuación, no son criterios de evaluación, porque durante este periodo

no serán evaluados mediante una nota, sino que se tendrán en cuenta diferentes criterios sobre los que

realizaremos nuestra valoración y devolución de sus trabajos. Todos aquellos aprendizajes que

consideramos fundamentales serán retomados cuando volvamos a clases.

Se tendrán en cuenta, en el momento de corregir y devolver sus trabajos prácticos, los siguientes criterios:

El estudiante:

Comprende la consigna.

Cumple con la tarea en forma completa y en la fecha pautada.

Completa la actividad usando un procedimiento apropiado o haciendo las justificaciones

correspondientes.

Justifica sus respuestas usando el vocabulario correspondiente.

Utiliza correctamente el vocabulario específico de la matemática.

Revisa y mejora sus producciones a partir de las correcciones.

Honestidad en la presentación de los trabajos: es importante el compromiso con su propio

aprendizaje en estos tiempos, que resuelvan, dentro de sus propias posibilidades, cada uno su tarea.

Conocimientos previos y capacidades adquiridas en años anteriores: Es importante utilizar la carpeta

de años anteriores como material de consulta.

FUNCIONES

En esta propuesta vamos a iniciar el estudio de las funciones polinómicas de primer grado. Les sugerimos leer todo el material teórico, los ejemplos y mirar los videos. Todas las dudas que les surjan les pedimos que las anoten en su carpeta para poder hacer las consultas en las clases virtuales y en el aula virtual.

FUNCIÓN POLINÓMICA DE PRIMER GRADO

Se llama función polinómica de primer grado a aquellas funciones cuya fórmula general es:

𝒇 (𝒙) = 𝒂 . 𝒙 + 𝒃 Otra forma de escribir la misma fórmula es: 𝒚 = 𝒂 . 𝒙 + 𝒃

Los parámetros “a” y “b” son números reales llamados “pendiente” y “ordenada al origen” respectivamente.

“x” es la variable independiente e “y” la variable dependiente. Es decir, los valores que alcance la

variable dependiente dependen de los valores asignados a la variable independiente.

La representación gráfica de estas funciones es una recta no vertical.

Las funciones desempeñan en la actualidad un papel fundamental para modelizar múltiples situaciones

de la vida cotidiana. El concepto de función formaliza la idea de asignación, tan frecuente en nuestra

experiencia diaria: asignamos a cada persona su edad, a cada círculo su área, a cada número su cuadrado,

a cada mes su producción…

En particular, las funciones polinómicas de primer grado son muy utilizadas por su simpleza para ser

analizadas permitiendo comprender así fenómenos de la naturaleza, de la ciencia y de situaciones de la

vida real de un modo más sencillo. Por estas razones, les proponemos comenzar el estudio de estas

funciones (y sus diferentes representaciones) para tener las bases conceptuales que les permitan luego

continuar con el estudio de otras funciones más complejas.

Análisis de la función Como dijimos en el apartado anterior, en una función polinómica de primer grado aparecen dos parámetros,

la pendiente y la ordenada al origen, que son de mucha utilidad para analizar e interpretar este tipo de

funciones.

Analicemos ahora cada uno de estos parámetros, como así también el significado y representación de la raíz

en este tipo particular de función.

La ordenada al origen es el valor que toma la función cuando x = 0 . Gráficamente es el valor

donde la recta corta al eje de las ordenadas (eje y). En símbolos:

𝒇 (𝟎) = 𝒃

Por ejemplo:

𝒇(𝒙) = 𝟑 . 𝒙 + 𝟔

𝒇(𝟎) = 𝟑 . 𝟎 + 𝟔

𝒇(𝟎) = 𝟔

Si observamos la fórmula, la ordenada al origen es 6.

Y gráficamente, es el valor donde la gráfica de la función corta al eje de ordenadas (eje “y”).

Cuando la ordenada al origen es distinta de cero, decimos que la función polinómica de primer grado

en una función “Afín”, como la del ejemplo anterior.

Cuando la ordenada al origen es igual a cero, la función polinómica de primer grado es una función

“lineal”. En este caso la gráfica de la función, pasa por el origen del sistema de coordenadas

cartesianas, es decir, por el punto (0;0).

Por ejemplo:

𝒇(𝒙) = − 𝒙

En este caso la ordenada al origen es 0. En la representación gráfica

de esta función podemos observar la recta pasa por el origen del

sistema de coordenadas cartesianas por ser la ordenada al origen

igual a cero.

La pendiente de la función es el aumento o a la disminución de la variable dependiente, “y”, por

cada aumento unitario de la variable independiente, “x”.

Podemos observar que la pendiente es el número que multiplica a la variable “x” en la fórmula de la

función. En símbolos, si tenemos dos puntos diferentes P=(x1;y1) y Q=(x2;y2) que pertenecen a la

función, podemos calcular la pendiente de la siguiente forma:

El valor de la pendiente determina que la función polinómica de primer grado sea creciente,

decreciente ó constante.

- Si el valor de la pendiente es mayor que cero (positiva), la función es creciente.

- Si el valor de la pendiente es menor que cero (negativa), la función es decreciente.

- Si el valor de la pendiente es igual a cero, la función es constante.

Gráficamente:

a > 0 a < 0 a = 0

Miremos los siguientes ejemplos:

𝒇(𝒙) = 𝟑 . 𝒙 + 𝟔 La pendiente es 3, por lo tanto la función es creciente.

𝒇(𝒙) = − 𝒙 La pendiente es (-1), por lo tanto la función es decreciente.

𝒇(𝒙) = 𝟑 La pendiente es igual a cero, por lo tanto la función es constante.

La raíz o cero de la función es el valor que toma la variable independiente x, cuando la variable

dependiente es igual a cero (y = 0). Gráficamente, es el valor donde la recta corta al eje x. Para determinar analíticamente la raíz de la función, hay que plantear y resolver una ecuación. Por ejemplo: Si tenemos la función:

𝒚 = 𝟐 . 𝒙 − 𝟔

Y queremos calcular analíticamente la raíz de la función, teniendo en cuenta que en ese punto 𝒚 = 𝟎 , entonces planteamos una ecuación: 𝑦 = 2 . 𝑥 − 6 Partimos de la fórmula de la función 0 = 2 . 𝑥 − 6 Reemplazamos a la variable “y” por cero 6 = 2 . 𝑥 Resolvemos la ecuación haciendo los cálculos matemáticos correspondientes 6 ∶ 2 = 𝑥 para llegar al valor de “x” 3 = 𝑥

Por lo tanto, la raíz de esta función es 3. Gráficamente, podemos identificar la raíz como el valor en el que la gráfica de la función corta al eje de abscisas (eje x).

raíz

Representaciones de la función polinómica de primer grado Cuando trabajamos con funciones polinómicas de primer grado, podemos usar diferentes registros dependiendo del problema que se quiera resolver o de lo que se pide en una actividad determinada. Las formas de representación de estas funciones son las siguientes: la fórmula, el gráfico y la tabla de valores.

Ejemplo 1 Presentamos la siguiente función polinómica de primer grado:

𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏 FÓRMULA

Identificamos y escribimos la pendiente y la ordenada al origen de la función. Pendiente: 2 Ordenada al origen: -1

Calculamos analíticamente la raíz de la función:

𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟎 = 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟎 + 𝟏 = 𝟐𝒙

𝟏

𝟐= 𝒙

𝟎, 𝟓 = 𝒙

La raíz de la función es 𝒙 = 𝟎, 𝟓

Elaboramos la TABLA DE VALORES. Para elaborar la tabla, asignamos valores a la variable independiente “x” y luego, usando la fórmula de la función, reemplazamos a “x” por el valor asignado y obtenemos el valor de “y”.

X Y

-1 −𝟑 𝒇(−𝟏) = 𝟐 . (−𝟏) − 𝟏 𝒇(−𝟏) = − 𝟐 − 𝟏

𝒇(−𝟏) = −𝟑

0 −𝟏 𝒇(𝟎) = 𝟐 . 𝟎 − 𝟏 𝒇(𝟎) = 𝟎 − 𝟏 𝒇(𝟎) = −𝟏

1 𝟏 𝒇(𝟏) = 𝟐 . 𝟏 − 𝟏 𝒇(𝟏) = 𝟐 − 𝟏

𝒇(𝟏) = 𝟏

2 𝟑 𝒇(𝟐) = 𝟐 . 𝟐 − 𝟏 𝒇(𝟐) = 𝟒 − 𝟏

𝒇(𝟐) = 𝟑

Confeccionamos la GRÁFICA. Para confeccionar la gráfica, construimos un sistema de coordenadas cartesianas eligiendo una escala adecuada. Luego, marcamos los puntos obtenidos en la tabla de valores, que están indicados en color rojo en la gráfica. Cada fila de la tabla corresponde a un par ordenado. Finalmente, unimos los puntos con un trazo continuo (usando regla), tal como se indica en color celeste. Recuerden que la gráfica de las funciones polinómicas de primer grado son rectas, no paralelas al eje “y”.

La GRÁFICA de la función es la siguiente:

A partir del gráfico y de la tabla de valores, podemos observar que la función es creciente, pues al aumentar los valores de “x” también aumentan los valores de “y”. Por otra parte, en la gráfica podemos observar que la ordenada al origen es y = - 1 y la raíz x = 0, 5 (tal como obtuvimos al calcularla analíticamente).

Como pueden observar en el ejemplo, aparecen los tres registros de la función polinómica de primer grado, que en este caso es una función

lineal: Fórmula, tabla y gráfico.

Ejemplo 2 Presentamos ahora la siguiente función polinómica de primer grado:

𝒇(𝒙) = 𝟑. 𝒙 FÓRMULA

Identificamos y escribimos la pendiente y la ordenada al origen de la función. Pendiente: 3 Ordenada al origen: 0

Calculamos analíticamente la raíz de la función:

𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 𝟎 = 𝟑𝒙

𝟎 ∶ 𝟑 = 𝒙 𝟎 = 𝒙

La raíz de la función es 𝒙 = 𝟎

Elaboramos la TABLA DE VALORES. Para elaborar la tabla, asignamos valores a la variable independiente “x” y luego, usando la fórmula de la función, reemplazamos a “x” por el valor asignado y obtenemos el valor de “y”.

Confeccionamos la GRÁFICA. Para confeccionar la gráfica, construimos un sistema de coordenadas cartesianas eligiendo una escala adecuada. Luego, marcamos los puntos obtenidos en la tabla de valores, que están indicados en color celeste en la gráfica. Cada fila de la tabla corresponde a un par ordenado. Finalmente, unimos los puntos con un trazo continuo (usando regla), tal como se indica en color negro. Recuerden que la gráfica de las funciones polinómicas de primer grado son rectas, no paralelas al eje “y”.

La GRÁFICA de la función es la siguiente:

A partir del gráfico y de la tabla de valores, podemos observar que la función es creciente, pues al aumentar los valores de “x” también aumentan los valores de “y”. Por otra parte, en la gráfica podemos observar que la ordenada al origen es y = 0 y la raíz x = 0 (tal como obtuvimos al calcularla analíticamente).

Les proponemos que observen los siguientes videos en los que

también se explican los conceptos desarrollados sobre función

polinómica de primer grado.

https://www.youtube.com/watch?v=PD45s3U9WA0

https://youtu.be/AoZpzAoC1Qg

https://www.youtube.com/watch?v=R1EMLsS-fBM

Actividades Propuestas

Les presentamos a continuación las actividades que tendrán que resolver en esta propuesta.

Algunas cosas para tener en cuenta:

Leer la consigna de cada actividad. Si hay algo que no comprenden, anotarlo en la carpeta para

poder consultarlo en la clase virtual y/o por el aula virtual.

Resolver en forma completa en la carpeta cada una de las actividades.

Sacar las fotos luego de finalizar todas las actividades y subirlas al aula virtual a la parte de TAREAS

de la propuesta correspondiente. Por favor escriban con lapicera, pongan nombre a todas las hojas

y saquen las fotos nítidas, luego las pegan todas en un Word o PDF y suben el archivo.

Actividad 1

Marca con una “X” las fórmulas que corresponden a funciones polinómicas de primer grado. Luego escribe

la pendiente y la ordenada al origen sólo de las funciones seleccionadas.

Actividad 2

A partir de la siguiente función:

𝒇 (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟑

Resuelve en forma completa las siguientes consignas:

a) Escribe la pendiente y la ordenada al origen.

b) Calcula analíticamente la raíz.

c) Realiza la tabla de valores.

d) Construye la gráfica en el siguiente sistema de coordenadas cartesianas.

Actividad 3

A partir de la lectura del gráfico de la función, responde:

a) ¿Cuál es el valor de la ordenada al origen? Marca

dicho parámetro en el gráfico.

b) ¿Cuál es el valor de la raíz de la función? Marca en el

gráfico dicho valor.

c) La función, ¿es creciente, decreciente o constante?

¿Por qué?