Asignatura: Investigación Operativa Docente: Lcdo. José Cún...

Asignatura: Investigación Operativa

Docente: Lcdo. José Cún Mgs.

Semestre: Segundo

Investigación Operativa

2 Lcdo. José Cún Tinoco, Mgs.

G U I A D E E S T U D I O

CARRERA: TÉCNICO SUPERIOR EN GESTION DE PRODUCCIÓN Y SERVICIOS

NIVEL: Técnico TIPO DE CARRERA: Tradicional

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: Investigación Operativa CÓDIGO DE LA ASIGNATURA: GE-S2-INOP

PRE – REQUISITO: Ninguna CO – REQUISITO: Ninguna

TOTAL HORAS: Teoría 48 Práctica 32 Trabajo independiente 48

NIVEL: Segundo PERIODO ACADÉMICO: Noviembre 2019 – Abril 2020

MODALIDAD: Presencial DOCENTE RESPONSABLE: Lic. José Cún, Mgs.

Copyright©2020 Instituto Superior Tecnológico Ismael Pérez Pazmiño. All rights reserved.


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ÍNDICE:

PRESENTACIÓN………………………………………………………………… 4

SYLLABUS DE LA ASIGNATURA…………………………………………….. 5

ORIENTACIONES PARA EL USO DE LA GUÍA DE ESTUDIOS………….. 17

DESARROLLO DE ACTIVIDADES……………………………………………. 19

UNIDAD 1 ………………………………………………………………………… 19

Introducción a la Investigación Operativa

UNIDAD 2………………………………………………………………………… 30

Aplicaciones de la programación lineal

UNIDAD 3………………………………………………………………………… 49

Programación lineal: método grafico

UNIDAD 4 ………………………………………………………………………… 62

Programación entera

UNIDAD 5 ………………………………………………………………………… 78

Redes de distribución

BIBLIOGRAFIA 89



PRESENTACIÓN

La presente guía didáctica está diseñada para los estudiantes del segundo semestre

de técnico superior en gestión de producción y servicios, con el propósito de buscar

en ellos el desarrollo de habilidades y destrezas para el análisis y toma de decisiones

de las actividades en una empresa, el razonamiento lógico matemático, y el estudio

para la modelización de situaciones que permitan dinamizar la solución óptima de un

problema.

El objetivo de esta guía es incentivar a los estudiantes que vean a esta asignatura, no

solo como una materia a evaluar durante todo el semestre para obtener una

calificación, sino como algo importante que debe convertirse en un aprendizaje

significativo, que les ayudará en la formación y ejecución de carrera profesional.

Esta guía didáctica consta del syllabus de la asignatura, plan calendario, desarrollo de

las unidades y cada una de ellas contendrá introducción, objetivos, sustento teórico,

actividades a desarrollar, auto-evaluación y evaluación de la unidad.

En la primera unidad se trata de Introducción a la Investigación Operativa, conceptos

básicos como su origen y su fase de estudio.

En la segunda unidad se detallan las aplicaciones de la programación lineal en las

diferentes áreas.

En la tercera unidad se detalla la resolución del método grafico para la resolución de

problemas y la toma asertiva de una decisión.

En la cuarta unidad se habla de la programación entera y sus diferentes tipos de

métodos de solución.

En la quinta unidad se menciona de la Red de distribución y su algoritmo de resolución.


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INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO

ISMAEL PÉREZ PAZMIÑO

SYLABO DE LA ASIGNATURA

I. DATOS INFORMATIVOS

CARRERA: Técnico Superior en Gestión de Producción y Servicio

NIVEL: Técnico

TIPO DE CARRERA: Tradicional

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: Investigación Operativa.

CÓD. ASIGNATURA: GE-S2-INOP

PRE – REQUISITO: NINGUNA CO – REQUISITO: NINGUNA

TOTAL HORAS: 128

Componente Docencia: 48

Componente de prácticas de aprendizaje: 32

Componente de aprendizaje autónomo: 48

SEMESTRE: Segundo PARALELOS: A

PERIODO ACADÉMICO: Junio - Noviembre 2020

MODALIDAD: Presencial

DOCENTE RESPONSABLE: Lic. José Cún Tinoco, Mgs.

II. FUNDAMENTACIÓN

Desde el advenimiento de la Revolución Industrial, el mundo ha sido testigo de un

crecimiento sin precedentes en el tamaño y la complejidad de las organizaciones. Los

pequeños talleres artesanales se convirtieron en las actuales corporaciones de miles

de millones de dólares. Una parte integral de este cambio revolucionario fue el gran

aumento de la división del trabajo y en la separación de las responsabilidades

administrativas en estas organizaciones. Los resultados han sido espectaculares.

La Investigación de Operaciones es una asignatura Teórica- Práctica, que busca que

el estudiante use el razonamiento lógico y crítico en soluciones de problemas de

Gestión de Producción y Servicios en la vida cotidiana.

En cuanto a la importancia de esta disciplina en Gestión de Producción y Servicios

juega un papel muy significativo pues constituye una herramienta fundamental para el

análisis y toma de decisiones de las actividades que realiza el futuro profesional en

esta área.



Ya que Gestión de Producción y Servicios trata de conceptos que son esencialmente

cuantitativos y cualitativos, en su gran mayoría la toma de decisiones tiene una

aplicación obligadamente dependiente de la Investigación operativa, proporcionando

ésta una estructura sistemática y lógica dentro de la cual pueden estudiarse las

relaciones cuantitativas y cualitativas de esta carrera.

Por lo que la Investigación de Operaciones, toma al razonamiento lógico matemático

como objeto de estudio para la modelización de situaciones que permitan dinamizar

la solución óptima de un problema (transporte, construcción, logístico etc.) y así

garantizar elecciones mejoradas al momento de la toma de decisiones, respetando

las restricciones no controlables por quien debe hacer la elección; es decir, nos

permite plantear una RESOLUCION a cualquier problema operacional dentro de una

organización.

Por lo mencionado, la Investigación operativa tiene como objetivo: desarrollar un

sistema de solución cuantitativa, basando sus cálculos en el método científico y

técnicas matemáticas, que le permita optimizar la toma de decisiones con ética

empresarial.

En general, esta asignatura nos facilita en gran manera una visión más amplia del

medio productivo mundial como metodología de optimización dentro de cualquier tipo

de organización; lo cual nos lleva a ser más competentes dentro del proceso de

desarrollo del mismo.

III. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Unidad I: Reconocer los diferentes conceptos relacionados a la investigación

operativa, mediante la interpretación y lectura comprensiva que nos permita

su correcta aplicación en la vida profesional con honestidad

Unidad II: Plantear problemas de programación lineal, aplicando la formulación

correcta para la solución óptima, que permita maximización de utilidades y

minimización de costos en las empresas con ética profesional.

Unidad III: Resolver problemas de programación lineal, aplicando el método simplex

para expresarlos gráficamente con su respectivo análisis y toma de

decisión con honestidad profesional.

Unidad IV: Formular problemas de programación entera, con la ayuda de los

constructos teóricos y su respectiva formulación, para la optimización de

los recursos con ética profesional, que ayuden a la mejora de las

condiciones de la empresa.

Unidad V: Evaluar la resolución de problemas de redes de distribución, aplicando

algoritmos de solución para su análisis cuantitativo y planteamiento de la

opción óptima, para la toma de decisiones con ética profesional.


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IV. CONTENIDOS

Sistema General de conocimientos

Unidad I. Introducción a la Investigación Operativa

Unidad II. Aplicaciones de la programación lineal

Unidad III. Programación lineal: método grafico

Unidad IV. Programación entera.

Unidad V. Redes de distribución.

Sistema General de Habilidades

Unidad I. Reconocer los diferentes conceptos relacionados a la investigación

operativa.

Unidad II. Plantear problemas de programación lineal.

Unidad III. Resolver problemas de programación lineal simplex

Unidad IV. Formular problemas de programación entera.

Unidad V. Evaluar la resolución de problemas de redes de distribución.

Sistema General de Valores

Unidad I. Honestidad en la aplicación de los conceptos de investigación operativa

Unidad II. Ética profesional en maximización de utilidades y minimización de costos

Unidad III. Honestidad profesional en el análisis y toma de decisiones.

Unidad IV. Ética profesional en la optimización de recursos

Unidad V. Ética profesional en el análisis cuantitativo y planteamiento de la solución

óptima

V. PLAN TEMÁTICO

DESARROLLO DEL PROCESO CON TIEMPO EN

HORAS

TEMAS DE LA

ASIGNATURA

C CP S CE T L E THP TI THA

Introducción A La


3 1 1 - 1 - 1 7 8 15

Aplicaciones De La

Programación Lineal

2 12 1 - 8 - 2 25 8 33

Programación Lineal: Método

Grafico

2 12 1 - 6 2 23 8 31

Programación Entera. 1 4 1 - 3 - 2 11 8 19

Redes De Distribución. 1 4 1 - 2 - 2 10 8 18

EXAMEN FINAL 4 4 8 12

Total, de horas 9 33 5 - 26 - 13 80 48 128



Nomenclatura:

C – Conferencias. L – Laboratorio.

S – Seminarios. E – Evaluación.

CP – Clases prácticas. THP – Total de horas presenciales.

CE – Clase encuentro. TI – Trabajo independiente.

T – Taller. THA – Total de horas de la asignatura.

VI. SISTEMA DE CONTENIDOS POR UNIDADES DIDÁCTICAS

Unidad I: Introducción a la investigación operativa

Objetivo: Reconocer los diferentes conceptos relacionados a la investigación

operativa, mediante la interpretación y lectura comprensiva que nos permita su

correcta aplicación en la vida profesional con honestidad.

Sistema de

conocimientos

Sistema de habilidades Sistema de Valores

Investigación operativa-

Definición.

Origen.

Naturaleza y área de

aplicación.

Fases de estudio de I.O.

Identificar palabras claves.

Comprender la definición

de investigación operativa.

Identificar el origen de la

IO.

Caracterizar la

investigación operativa.

Identificar las fases de

estudio de la investigación

operativa.

Honestidad en la

aplicación de los

conceptos de

investigación operativa

Unidad II: Aplicaciones de la programación lineal

Objetivo: Plantear problemas de programación lineal, aplicando la formulación

correcta para la solución óptima, que permita maximización de utilidades y

minimización de costos en las empresas con ética profesional.


9

Sistema de

conocimientos

Sistema de habilidades Sistema de

Valores


Definición.

Características.

Aplicaciones de la

programación lineal.

Formulación de

problemas.

Problemas de aplicación.

Problema de

maximización.

Problema de

minimización.

Modelo de PL con 2

variables.

Solución gráfica de la PL.

Solución de un modelo de

maximización.

Solución de un modelo de

minimización.

Caracterizar la programación

lineal.

Reconocer la definición de


Identificar las características de la


Reconocer las diferentes

aplicaciones de la PL.

Aplicar adecuadamente los pasos

para la formulación de problemas.

Resolver problemas.

Resolver problemas sobre

maximización.

Resolver problemas de

minimización.

Resolver problemas de PL dos

variables.

Resuelve de forma gráfica

problemas de PL.

Analizar los resultados de la

solución de modelos de

maximización.

Resolver las soluciones de un

modelo de minimización.

Ética profesional en

maximización de

utilidades y

minimización de

costos

Unidad III: Programación lineal: método grafico

Objetivo: Resolver problemas de programación lineal aplicando el método simplex

para expresarlos gráficamente con su respectivo análisis y toma de decisión con

honestidad profesional.



Sistema de

conocimientos


Programación lineal, método

gráfico.

Problemas de maximización.

Problemas de minimización.

Problemas combinados.

Análisis de sensibilidad

Caracterizar el método

gráfico.

Resolver sistemas de

ecuaciones método

gráfico, maximización.


minimización

gráficamente.

Interpretar las soluciones

gráficas.


sensibilidad gráficamente.

Honestidad profesional

en el análisis y toma de

decisiones

Tema 4: Programación entera

Objetivo: Formular problemas de programación entera, con la ayuda de los

constructos teóricos y su respectiva formulación, para la optimización de los recursos

con ética profesional, que ayuden a la mejora de las condiciones de la empresa.

Sistema de

conocimientos


Introducción.

Formulación.

Variables binarias.

Métodos de solución.

Caracterizar la

programación entera.

Aplicar la formulación

correcta.

Desarrollar problemas

aplicando variables

binarias.

Aplicar los algoritmos del

método de solución.

Ética profesional en la

optimización de recursos


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Tema 5: Redes de distribución

Objetivo: Evaluar la resolución de problemas de redes de distribución, aplicando

algoritmos de solución para su análisis cuantitativo y planteamiento de la opción

óptima, para la toma de decisiones con ética profesional.

Sistema de

conocimientos


Redes de distribución.

Definición.

Algoritmo de solución de

redes de distribución.

Ejemplos de aplicación.

Caracterizar las redes de

distribución.

Desarrollar ejercicios de

redes de distribución.

Resolver ejercicios de

aplicación

Ética profesional en el

análisis cuantitativo y

planteamiento de la

solución óptima.

VII. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Y DE ORGANIZACIÓN DE LA

ASIGNATURA.

Las clases se desarrollarán en cinco unidades, tomando en cuenta el siguiente

proceso:

Controles de lectura: Se indica la temática a trabajarse al estudiante, el miso

que tiene que revisar el sustento teórico para compartir en la sala de clase.

Resúmenes de clase: El estudiante en cada clase tomará apuntes de las partes

esenciales, las mismas que serán validadas la clase siguiente mediante

preguntas simples por participación voluntaria.

Actividades extra clase: Consisten en resolución de sistemas de ejercicios o

problemas propuestos por cada temática.

Talleres o actividades intra clase: Se entregará un material de apoyo teórico el

mismo que se lo debe de resolver con el direccionamiento del docente,

respetando los niveles de asimilación: Familiarización, Reproducción,

Producción y Creación.

Participación activa en la pizarra: Esta se desarrollará de acuerdo a la temática,

por participación voluntaria o elección al azar, para la validación de procesos y

algoritmos de resolución.

Trabajos de investigación: Consiste en procesos de carácter investigativo en el

cual el estudiante pone de manifiesto su creatividad al proponer organizadores

gráficos, con ejemplos y caracterizaciones del sustento teórico de la temática

consultada.



GeoGebra: Aplicación de sistemas de ejercicios o problemas propuestos de las

temáticas inferidas en los que se tiene que evaluar usando el programa

GeoGebra.

Trabajos colaborativos: Se formarán grupos de trabajo para la solución de

problemas propuestos usando a mediación tecnológica para la consecución de

los informes.

Portafolio: Será revisado por evaluaciones tomadas a los estudiantes

(parciales, finales y supletorias) y servirá como material de apoyo teórico, en el

mismo se acumulará todos los trabajos desarrollados dentro y fuera de clase.

Actividades EVA: Se trabaja con el entorno virtual AMAUTA, en el que se

enviarán tareas y se contará con un espacio de ideologización entre

estudiantes con el direccionamiento de preguntas disparadoras o generadoras

de conflictos socio cognitivos, a través de foros de discusión permitiendo

reflexiones metacognitivas en cada aporte.

Para el desarrollo de la asignatura los estudiantes tienen el apoyo de links en el blog,

en los cuales se ha subido direcciones de libros de consulta o textos guías.

Al final de cada unidad se realizarán clases prácticas de vinculación en una institución

nocturna, para evidenciar lo asimilado en cada clase, es decir serán cuatro clases

prácticas por semestre.

Los métodos utilizados son:

Método Reproductivo:

Método Explicativo y Método Ilustrativo: El alumno se apropia de conocimientos

elaborados y los reproduce mediante modos de actuación. El docente explica y dirige

la clase mientras el estudiante atiende y asimila los conocimientos. El estudiante

ilustra a través de ejemplos la temática inferida.

Método de Exposición Problemática: Es un método intermedio, pues supone la

asimilación de la información elaborada y de elementos de la actividad creadora. Se

establecen grupos de trabajo, facilita cierta información y permite al estudiante que

contribuya con su creatividad, ejemplifica los algoritmos de resolución de problema y

se colabora con el estandarte para la creación de su propio ejercicio.

Método Productivo:

Método Heurístico o de Búsqueda parcial de Método Investigativo. - Permite al

estudiante alcanzar conocimientos nuevos, como resultado de la actividad creadora.

El docente estimula a la investigación, y con dicha información realiza talleres de

producción textual y estimula al mismo a crear sus propios ejercicios.


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Las Técnicas de Enseñanza se detallan a continuación:

Del interrogatorio: En el uso de preguntas y respuestas para obtener información y

puntos de vista de aplicación de lo aprendido, mediante esta técnica se pretende

despertar y conservar el interés, se exploran experiencias, capacidad, criterio de los

estudiantes y comunicación de ellos.

Del redescubrimiento: Realizar un aprendizaje satisfactorio y efectivo en el cual el

estudiante observa, piensa y realiza.

De la discusión dirigida: Realizar un análisis, una confrontación, una clasificación de

hechos, situaciones, experiencias, problemas, con presencia de docente. Se centra

en la discusión, en el cual se obtienen conclusiones positivas o valederas.

Operatoria: Consiste en realizar actividades de operaciones que permitan el

razonamiento y la comprensión facilitando el aprendizaje.

De la resolución de problemas: Permite solucionar problemas matemáticos

mediante un orden lógico, secuencial, práctico y de razonamiento.

Lluvia de ideas: El grupo actúa en un plano de confianza, libertad e informalidad y

sea capaz de pensar en alta voz, sobre un problema, tema determinado y en un tiempo

señalado.

Diálogos simultáneos: Lograr la participación de un gran grupo, dividido en parejas,

respecto a un tema de estudio, trabajo, tarea o actividad.

Del informe o trabajo escrito: En elaborar pasos para trabajos escritos con estilo

propio.

Foros de discusión: Ingresar a AMAUTA para que dejen sus opiniones sobre

temáticas formuladas

Habrá tres documentos pedagógicos básicos que permiten evidenciar los resultados

de las actividades del trabajo autónomo y de grupos, desarrollados a partir del sílabo

de la asignatura.

Carpeta con trabajos extra-clase e intra-clase, grupales (hasta 3 a 5 alumnos).

Desarrollo de ejercicios aplicados a la teoría.

Carpeta de trabajos autónomos. En especial consultas sobre temas especiales

y que hayan sido sustentados demostrando su dominio.

Registro de avance académico. Revisión de trabajos extra-clase, trabajos

autónomos, lecciones orales en el aula, pruebas escritas y exámenes escritos.

Evidencia el cumplimiento y la calidad del trabajo.



VIII. RECURSOS DIDÁCTICOS

Básicos: marcadores, borrador, pizarra de tiza líquida.

Audiovisuales: Computador, proyector, celulares inteligentes, tabletas, laptops y

laboratorio de computación.

Técnicos: Materiales de apoyo complementarios, Sistemas de ejercicios de

aplicación práctica, Separatas, texto básico, guías de observación, Plataforma

Amauta.

IX. SISTEMA DE EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA

El sistema de evaluación será sistemático, participativo y permanente con el objetivo

de adquirir las habilidades y destrezas cognitivas e investigativas que garanticen la

calidad e integridad de la formación profesional.

Para la respectiva evaluación se valorará la gestión de aprendizaje propuestos por el

docente, la gestión de la práctica y experimentación de los estudiantes, y la gestión

de aprendizaje que los estudiantes propondrán mediante la investigación.

Se tomó como referencia el Reglamento del Sistema Interno de Evaluación Estudiantil

para proceder a evaluar la asignatura de Investigación Operativa, de esta manera se

toma como criterio de evaluación la valoración de conocimientos adquiridos y

destrezas evidenciadas dentro del aula de clases en cada una de las evaluaciones

aplicadas a los estudiantes, demostrando por medio de éstas que está apto para el

desenvolvimiento profesional.

Por ello desde el primer día de clases, se presentará las unidades didácticas y los

criterios de evaluación del proyecto final, evidenciado en el silabo y plan calendario

entregado a estudiantes. Además, se determinó el objeto de estudio, que en es el

razonamiento lógico matemático.

Se explica a los estudiantes que el semestre se compone de dos parciales con una

duración de diez semanas de clases cada una, en cada parcial se evaluará sobre

cinco puntos las actividades diarias de las clases, trabajos autónomos, trabajos de

investigación, actuaciones en clases y talleres; sobre dos puntos un examen de parcial

que se tomará en la semana diez y semana veinte. De esta manera cada parcial tendrá

una nota total de siete puntos como máximo.

El examen final se llevará a cabo mediante la ejecución de un proyecto integrador de

asignaturas y tiene una valoración de tres puntos. Por consiguiente, el alumno podrá

obtener una nota total de diez puntos.

El proyecto integrador del presente semestre corresponde al Diseño de una estructura

organizacional y funcional para empresas públicas y privadas.


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Por tal motivo, la asignatura Investigación Operativa, contribuirá en el proyecto

integrador mediante la metodología cuantitativa para calcular la factibilidad de la toma

de decisiones empresarial.

Los parámetros de evaluación del presente proyecto o actividad de vinculación de la

asignatura, se clasifican en parámetros generales que serán los mismos en todas las

asignaturas y en parámetros específicos que corresponde únicamente a la asignatura;

la cual se detallan a continuación:

Parámetros Generales

- Desenvolvimiento y dominio en la exposición 0,75

- Redacción, coherencia y desarrollo del Artículo Científico 0,75

TOTAL 1,50

Parámetros Específicos

- Teoría de programación lineal 0,50

- Avance del proyecto integrador 1,00

TOTAL 1,50

Una vez que el estudiante exponga su proyecto integrador y defienda las preguntas

propuestas por el tribunal, será notificado en ese momento la nota obtenida y se

procederá a la respectiva firma de constancia.

Dentro de las equivalencias de notas se clasifican de la siguiente manera:

10,00 a 9,50: Excelente

9,49 a 8,50: Muy bueno

8,49 a 8,00: Bueno

7,99 a 7,00: Aprobado

6,99 a menos: Reprobado

Los estudiantes deberán alcanzar un puntaje mínimo de 7,00 puntos para aprobar la

asignatura, siendo de carácter obligatorio la presentación del proyecto integrador.

Si el estudiante no alcance los 7,00 puntos necesarios para aprobar la asignatura,

deberá presentarse a un examen supletorio en la cual será evaluado sobre diez puntos

y equivaldrá el 60% de su nota final, el 40% restante corresponde a la nota obtenida

en acta final ordinaria de calificaciones.

Aquellos estudiantes que tengan más del 25% de faltas reprobarán la asignatura. Los

que no podrán presentarse al examen de recuperación son quienes estén cursando

la asignatura por tercera ocasión, y aquellos que no hayan alcanzado la nota mínima

de 2,50/10 en la nota final.



El estudiante no conforme con la nota del proyecto integrador podrá solicitar mediante

oficio una recalificación y obtendrá respuesta del mismo en un plazo no mayor a tres

días hábiles.

El docente tendrá un plazo de 48 horas para socializar las calificaciones obtenidas

luego se asentará en las actas finales y se procederá a recoger la firma de los

estudiantes.

Los proyectos presentados serán sometidos a mejoras o corrección si el caso lo

amerita con la finalidad de ser presentadas en la feria de proyectos científicos que el

Instituto Superior Tecnológico Ismael Pérez Pazmiño lanzará cada año.

X. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Y COMPLEMENTARIA

ARREOLA, J. & ARREALA, A. (2003) Programación lineal: una introducción a

la toma de decisiones cuantitativas. México. Editorial: Thomson..

HANDY, T. (2012). “Investigación de operaciones”. México. Pearson Educación

HERNANDEZ, M. (2007) Introducción a la programación lineal. México. UNAM.

HILLIER, F. & LIEBERMAN, G. (2010) Introducción a la Investigación de

Operaciones. México. Mc Graw Hill.

MOCHILI, M. & SALA, R. (1993) Programación Lineal. Metodología y

problemas. Madrid. Editorial Tobar Flores.

Elaborado por: Revisado por: Aprobado por:

Lic. José Cún Tinoco

Docente

Ing. Carolina Quevedo

Coordinador de la Carrera

Gestión de Producción y

servicio.

Dra. María Isabel Jaramillo

Vicerrectora Académica

Fecha:05 de Junio 2019 Fecha: 05 de Junio 2019 Fecha: 05 de Junio 2019


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ORIENTACIONES PARA EL USO DE LA GUÍA DE ESTUDIOS

Antes de empezar con nuestro estudio, debes tomar en cuenta lo siguiente:

1. Todos los contenidos que se desarrollen en la asignatura contribuyen a tu desarrollo

profesional, ética investigativa y aplicación en la sociedad.

2. El trabajo final de la asignatura será con la aplicación de la metodología de

investigación científica.

4. En todo el proceso educativo debes cultivar el valor de la constancia porque no

sirve de nada tener una excelente planificación y un horario, si no eres persistente.

5. Para aprender esta asignatura no memorices los conceptos, relaciónalos con la

realidad y tu contexto, así aplicarás los temas significativos en tu vida personal y

profesional.

6. Debes leer el texto básico y la bibliografía que está en el syllabus sugerida por el

docente, para aprender los temas objeto de estudio.

7. En cada tema debes realizar ejercicios, para ello debes leer el texto indicado para

después desarrollar individual o grupalmente las actividades.

8. A continuación te detallo las imágenes que relacionadas a cada una de las

actividades:

ICONO ACTIVIDAD

SUGERENCIA

TALLERES

REFLEXIÓN

TAREAS



APUNTE CLAVE

FORO

RESUMEN

EVALUACIÓN

9. Ánimo, te damos la bienvenida a este nuevo periodo académico.


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DESARROLLO DE ACTIVIDADES

Unidad Didáctica I

Introducción a la investigación operativa

Introducción:

En esta unidad, se desarrollan contenidos de básicos de la Investigación operativa, la

cual permitirá la identificación del proceso a realizar en una empresa, permitiendo

complementar de manera óptima los conocimientos específicos de la carrera de

Técnico Superior en Gestión y Producción de Servicios.

Objetivo de la Unidad Didáctica I:

Reconocer los diferentes conceptos relacionados a la investigación operativa,

mediante la interpretación y lectura comprensiva que nos permita su correcta

aplicación en la vida profesional con honestidad.

Organizador Gráfico de la Unidad didáctica I:

INVESTIGACIÓN

OPERATIVA

Definición

Origen

Naturaleza

y Área de

Aplicación

Fases de

estudio



ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDÁCTICA I:

Actividad de Aprendizaje 1 de la Unidad Didáctica I:

Tema 1:

INVESTIGACION OPERATIVA

DEFINICIÓN

La investigación operativa o investigación de operaciones es una rama de las

matemáticas que consiste en el uso de modelos matemáticos, estadística y algoritmos

con objeto de modelar y resolver problemas complejos, determinando la solución

óptima y permitiendo, de este modo, tomar decisiones. Frecuentemente trata del

estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) su

funcionamiento. La investigación de operaciones permite el análisis de la toma de

decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determinar cómo se

puede optimizar un objetivo definido, como la maximización de los beneficios o la

minimización de costos.

En esta disciplina se destacan las siguientes características esenciales:

• una fuerte orientación a Teoría de Sistemas,

• la participación de equipos interdisciplinarios,

• la aplicación del método científico en apoyo a la toma de decisiones.

En base a estas propiedades, una posible definición es: la Investigación Operativa es

la aplicación del método científico por equipos interdisciplinarios a problemas que

comprenden el control y gestión de sistemas organizados (hombre- máquina); con el

objetivo de encontrar soluciones que sirvan mejor a los propósitos del sistema (u

organización) como un todo, enmarcados en procesos de toma de decisiones.

Otra definición: la Investigación Operativa es la aplicación del método científico a un

mismo problema por diversas ciencias y técnicas, en apoyo a la selección de

soluciones, en lo posible óptimas.

Observar que el problema es UNO SOLO; sin embargo, existen maneras distintas de

observar un mismo problema, dependiendo de los objetivos que se planteen para

resolverlo.

Ejemplo: Un proceso de decisión respecto a la política de inventarios en una

organización. Existen 4 funciones administrativas que han dado lugar a

departamentos cuyos objetivos son:


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Función Objetivo

Producción Maximizar la cantidad de bienes (servicios) producidos y

minimizar el costo unitario de la producción

Comercialización Maximizar la cantidad vendida y minimizar el costo unitario de

las ventas

Finanzas Minimizar el capital requerido para mantener cierto nivel del

negocio

Personal Mantener la moral y la alta productividad entre empleados

Con respecto al INVENTARIO y según estos OBJETIVOS: El departamento de

producción necesita producir tanto como sea posible a un costo mínimo, lo que se

logra fabricando un solo producto en forma continua, pues se logra mayor eficiencia y

se minimiza el tiempo perdido por cambio de equipo, al cambiar de artículo. Con este

procedimiento se logra un gran inventario con una línea de productos pequeña.

El departamento de mercado también necesita un gran inventario, pero para vender

tanto como sea posible, debe surtir de la más amplia variedad de productos. Motivos

de desencuentro con el departamento de producción.

Para minimizar el capital necesario para que el negocio marche, el departamento de

Finanzas debe reducir la cantidad de dinero "comprometido", lo más directo es reducir

los inventarios. Se propone que los inventarios deben aumentar o disminuir en

proporción a la fluctuación de las ventas.

En contraposición, cuando las ventas son bajas, ni producción ni personal requieren

disminuir la producción, ni reducir personal. Personal le interesa mantener la

producción a un nivel tan constante como sea posible, ya que el despido implica

repercusiones en la moral del personal, pérdida de personal calificado, nuevos costos

de formación de nuevo personal cuando así se requiera. Esto se traduce en producir

hasta el nivel del inventario cuando las ventas son bajas y agotarlo cuando éstas son

altas.

Los objetivos enumerados y definidos de esta manera son difíciles de llevar a la

práctica por su inconsistencia desde el punto de vista de la organización y del sistema

en su conjunto. Es tarea y responsabilidad del ejecutivo (gerente) determinar una

política de inventario que convenga a los intereses de toda la compañía y no de una

sola de las funciones subordinadas. La tarea de organización y gerenciamiento

requiere que se considere al SISTEMA en su conjunto y ésta es la esencia del trabajo

gerencial. El ejecutivo debe decidir y para ello recurrirá a algún método. Le convendrá

recurrir a un Investigador de Operaciones, dado que supuestamente éste estará apto

para utilizar la investigación científica en apoyo a las decisiones que el ejecutivo deba

tomar. Este apoyo se hace especialmente necesario cuando se trata de la búsqueda



de soluciones “óptimas” a problemas que se originan en las organizaciones y servicios

en general.

ORIGEN

Desde el advenimiento de la Revolución industrial, el mundo ha sido testigo de un

crecimiento importante del tamaño y la complejidad de las organizaciones. Los

pequeños talleres artesanales de épocas anteriores se convirtieron en las

corporaciones actuales de miles de millones de dólares.

Una parte esencial de este cambio revolucionario fue el gran aumento de la división

del trabajo y de la separación de las responsabilidades administrativas en estas

organizaciones. Los resultados han sido espectaculares. Sin embargo, junto con los

beneficios, el aumento del grado de especialización trajo consigo problemas nuevos

que aún existen en numerosas organizaciones. Uno de éstos es la tendencia de

algunos componentes de una organización a convertirse en imperios con autonomía

relativa, con sus propias metas y sistemas de valores; de esta manera pierden de vista

la forma en que sus actividades y objetivos se acoplan a los de toda la organización.

Con frecuencia, lo que es mejor para un componente va en detrimento de otro, de

forma que sus acciones pueden caminar hacia objetivos opuestos. Un problema

relacionado es que, en la medida que aumentan la complejidad y la especialización,

es más difícil asignar los recursos disponibles a las diferentes actividades de la

manera más eficaz para la organización como un todo. Este tipo de problemas y la

necesidad de encontrar la mejor forma de resolverlos crearon el ambiente propicio

para el surgimiento de la investigación de operaciones, a la que también se hace

referencia como IO.

Las raíces de la IO pueden encontrarse muchas décadas atrás, cuando se hicieron

los primeros intentos por emplear el método científico para administrar una empresa.

Sin embargo, el inicio de la actividad llamada investigación de operaciones es

atribuible a ciertos servicios militares que se prestaron al inicio de la Segunda Guerra

Mundial. Debido a los esfuerzos bélicos, existía la urgente necesidad de asignar

recursos escasos a las distintas maniobras militares y a las actividades que

componían cada operación de la manera más eficaz. Por ello, las administraciones

militares estadounidense y británica llamaron a un gran número de científicos para

que aplicaran el método científico a éste y a otros problemas estratégicos y tácticos.

En realidad, les solicitaron que hicieran investigación sobre operaciones (militares).

Estos grupos de científicos fueron los primeros equipos de IO. Debido al desarrollo de

métodos eficaces para utilizar la nueva herramienta que representaba el radar, los

científicos contribuyeron al triunfo en la guerra aérea que libró Gran Bretaña.

Sus investigaciones para mejorar el manejo de las operaciones antisubmarinas y de

protección también tuvieron un papel importante en la victoria de la campaña del

Atlántico Norte. Esfuerzos similares fueron de gran ayuda en la campaña del Pacífico.


23

Al terminar la guerra, el éxito de la IO en las actividades bélicas generó gran interés

debido a las posibilidades de aplicarla en un ámbito distinto al militar. Una vez que la

explosión industrial posterior a la guerra siguió su curso, los problemas provocados

por el aumento de la complejidad y la especialización de las organizaciones pasaron

de nuevo al primer plano. Entonces comenzó a ser evidente para un gran número de

personas, entre ellas los consultores industriales que habían trabajado con o para los

equipos de IO durante la guerra, que estos problemas eran en esencia los mismos

que los que debían enfrentar los militares pero en un contexto diferente. Al inicio de la

década de los años cincuenta, estos visionarios introdujeron el uso de la investigación

de operaciones en una serie de organizaciones industriales, de negocios y del

gobierno. Desde entonces, se ha desarrollado con rapidez.

Es posible identificar por lo menos otros dos factores que tuvieron gran importancia

en el desarrollo de la IO durante este periodo. Uno es el progreso sustancial que se

logró en el mejoramiento de las técnicas disponibles. Después de la guerra, muchos

de los científicos que habían participado en equipos de IO o que tenían información

sobre este trabajo, estaban motivados para realizar investigación relevante en el

campo, de lo cual resultaron avances importantes; un ejemplo sobresaliente es el

método símplex para resolver problemas de programación lineal, desarrollado en 1947

por George Dantzig. Muchas de las herramientas características de la IO, como

programación lineal, programación dinámica, teoría de colas y teoría de inventarios

habían sido desarrolladas casi por completo antes del término de la década de los

años cincuenta.

Un segundo factor que dio gran impulso al desarrollo de este campo fue la revolución

de las computadoras. El manejo eficaz de los complejos problemas inherentes a la IO

casi siempre requiere un gran número de cálculos. Realizarlos de forma manual puede

resultar casi imposible, por lo cual el desarrollo de la computadora electrónica digital,

con su capacidad para hacer cálculos aritméticos, miles o tal vez millones de veces

más rápido que los seres humanos, fue una gran ayuda para esta disciplina. Otro

avance tuvo lugar en la década de los años ochenta, con el desarrollo de

computadoras personales cada vez más rápidas y de buenos paquetes de software

para resolver problemas de IO. De esta forma, las técnicas más complejas estuvieron

al alcance de un gran número de personas, y este progreso se aceleró aún más en la

década de 1990 y al inicio del siglo XXI. Hoy en día, millones de individuos tienen

acceso a estos paquetes y en forma cotidiana se utiliza toda una gama de

computadoras, desde las grandes hasta las portátiles, para resolver problemas de

investigación de operaciones, algunos de ellos muy complejos.



Naturaleza y áreas de aplicación:

Naturaleza

Como su nombre lo indica, el objetivo de esta disciplina implica “investigar sobre las

operaciones”. En consecuencia, esta disciplina se aplica a la problemática relacionada

con la conducción y la coordinación de actividades en una organización. En esencia,

la naturaleza de la organización es irrelevante, por lo cual la IO ha sido aplicada de

manera extensa en áreas tan diversas como manufactura, transporte, construcción,

telecomunicaciones, planeación financiera, cuidado de la salud, fuerzas armadas y

servicios públicos, por nombrar sólo unas cuantas. Así, la gama de aplicaciones es

inusualmente amplia.

La IO incluye el término investigación en el nombre porque utiliza un enfoque similar

al que se aplica en las áreas científicas establecidas. El método científico se utiliza

para explorar los diversos problemas que deben ser enfrentados, pero en ocasiones

se usa el término management science o ciencia de la administración como sinónimo

de investigación de operaciones. El proceso comienza por la observación cuidadosa

y la formulación del problema, lo cual incluye la recolección de los datos pertinentes.

El siguiente paso es la construcción de un modelo científico —generalmente

matemático— con el cual se intenta abstraer la esencia del problema real. En esta

etapa se propone la hipótesis de que el modelo será una representación tan precisa

de las características esenciales de la situación, que permitirá que las conclusiones

—soluciones— que se obtengan sean válidas también para el problema real. Después

se llevan a cabo los experimentos adecuados para probar esta hipótesis, para

modificarla si es necesario y para verificarla en determinado momento, paso que se

conoce como validación del modelo. En cierto sentido, la IO involucra la investigación

científica creativa de las propiedades fundamentales de las operaciones. Sin embargo,

es más que esto. La IO se ocupa también de la administración práctica de la

organización. Por lo tanto, para tener éxito, también debe proporcionar conclusiones

claras que el tomador de decisiones pueda usar cuando sea necesario.

Otra característica de la investigación de operaciones es su amplio punto de vista.

Como quedó implícito en la sección anterior, la IO adopta una visión organizacional.

Desde esta perspectiva intenta resolver los conflictos de intereses entre los

componentes de la organización de forma que el resultado sea el mejor para ésta en

su conjunto. Ello no significa que el estudio de cada problema deba considerar en

forma explícita todos los aspectos de la organización, sino que los objetivos que se

persiguen deben ser congruentes con los objetivos globales.

Una característica adicional de la investigación de operaciones es que intenta

encontrar una mejor solución —llamada solución óptima— para el problema en

cuestión. (Se dice una mejor solución y no la mejor solución porque es posible que

existan muchas soluciones que puedan considerarse como las mejores.) En lugar de


25

conformarse con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso

de acción posible. Aun cuando debe interpretarse con todo cuidado en términos de

las necesidades reales de la administración, esta “búsqueda del mejor camino” es un

aspecto importante de la IO.

Estas características conducen de manera casi natural a otra. Es evidente que no

puede esperarse que un solo individuo sea experto en los múltiples aspectos del

trabajo de investigación de operaciones o de los problemas que se estudian, sino que

se requiere un grupo de individuos con diversos antecedentes y aptitudes. Cuando se

decide emprender un estudio de IO completo de un problema nuevo, es necesario

emplear el enfoque de equipo. Este grupo de expertos debe incluir individuos con

antecedentes sólidos en matemáticas, estadística y teoría de probabilidades, al igual

que en economía, administración de empresas, ciencias de la computación,

ingeniería, ciencias físicas, ciencias del comportamiento y, por supuesto, en las

técnicas especiales de IO. El equipo también necesita experiencia y aptitudes

necesarias para considerar de manera adecuada todas las ramificaciones del

problema dentro de la organización.

AREAS DE APLICACIÓN

La automatización y la disminución de costos, reclutamiento de personal, clasificación

y asignación de tareas e incentivos a la producción:

1. MERCADO Y DISTRIBUCION. El desarrollo e introducción de un producto,

envasado, demanda y actividad competidora, localización de bodegas y centros

distribuidores.

2. COMPRAS Y MATERIALES. Las cantidades y fuentes de suministro, costos fijos,

sustitución de materiales, reemplazo de equipo, comprar o rentar.

3. MANUFACTURA. La aplicación y control de la producción, mezclas optimas de

manufactura, ubicación y tamaño de la planta, tráfico de materiales y el control de

calidad

4. FINANZAS Y CONTABILIDAD. Los análisis de flujo de efectivo, capital requerido

de largo plazo, inversiones alternas, muestreo para la seguridad en auditorias

5. PLANEACION. Con los métodos Pert para el control de métodos, avances de

cualquier proyecto con múltiples actividades, tantas simultaneas como las que se

deben esperar.

Responda las siguientes preguntas

1. ¿Con qué otro nombre se la conoce a la Investigación operativa?

2. ¿Cuál es Objetivo de la Investigación Operativa?

3. ¿En dónde y cuándo se originó la actividad de la Investigación Operativa?

4. Elabora un mapa mental especificando las áreas donde se utiliza la IO



Actividad de Aprendizaje 2 de la Unidad Didáctica I:

Tema 2:

FASES DE ESTUDIO

La Investigación de Operaciones aspira determinar la mejor solución (optima) para un

problema de decisión con la restricción de recursos limitados.

En la Investigación de Operaciones utilizaremos herramientas que nos permiten tomar

una decisión a la hora de resolver un problema tal es el caso de los modelos e

Investigación de Operaciones que se emplean según sea la necesidad.

Para llevar a cabo el estudio de Investigación de Operaciones es necesario cumplir

con una serie de etapas o fases. Las principales etapas o fases de las que hablamos

son las siguientes:

1. Formulación y definición del problema.

Descripción de los objetivos del sistema, es decir, qué se desea optimizar; identificar

las variables implicadas, ya sean controlables o no; determinar las restricciones del

sistema. También hay que tener en cuenta las alternativas posibles de decisión y las

restricciones para producir una solución adecuada.

2. Construcción del modelo.

El investigador de operaciones debe decidir el modelo a utilizar para representar el

sistema. Debe ser un modelo tal que relacione a las variables de decisión con los

parámetros y restricciones del sistema. Los parámetros (o cantidades conocidas) se

pueden obtener ya sea a partir de datos pasados o ser estimados por medio de algún

método estadístico. Es recomendable determinar si el modelo es probabilístico o

determinístico. El modelo puede ser matemático, de simulación o heurístico,

dependiendo de la complejidad de los cálculos matemáticos que se requieran.

3. Solución del modelo.

Una vez que se tiene el modelo, se procede a derivar una solución matemática

empleando las diversas técnicas y métodos matemáticos para resolver problemas y

ecuaciones. Debemos tener en cuenta que las soluciones que se obtienen en este

punto del proceso, son matemáticas y debemos interpretarlas en el mundo real.

Además, para la solución del modelo, se deben realizar análisis de sensibilidad, es

decir, ver cómo se comporta el modelo a cambios en las especificaciones y

Revisar la plataforma AMAUTA donde encontrará un foro con el Tema

Investigación Operativa, el cual reforzará los contenidos vistos hasta

el momento.


27

parámetros del sistema. Esto se hace, debido a que los parámetros no

necesariamente son precisos y las restricciones pueden estar equivocadas.

4. Validación del modelo.

La validación de un modelo requiere que se determine si dicho modelo puede predecir

con certeza el comportamiento del sistema. Un método común para probar la validez

del modelo, es someterlo a datos pasados disponibles del sistema actual y observar

si reproduce las situaciones pasadas del sistema. Pero como no hay seguridad de que

el comportamiento futuro del sistema continúe replicando el comportamiento pasado,

entonces siempre debemos estar atentos de cambios posibles del sistema con el

tiempo, para poder ajustar adecuadamente el modelo.

5. Implementación de resultados.

Consiste en traducir los resultados del modelo validado en instrucciones para el

usuario o los ejecutivos responsables que serán tomadores de decisiones.

Efecto de la investigación de operaciones

La investigación de operaciones ha tenido un efecto impresionante en el mejoramiento

de la eficiencia de numerosas organizaciones de todo el mundo. En el proceso, la IO

ha contribuido de manera significativa al incremento de la productividad de la

economía de varios países. Hoy existen más de 30 países miembros de la

International Federation of Operational Research Societies (IFORS), cada uno de los

cuales cuenta con una sociedad de investigación de operaciones. Tanto en Europa

como en Asia existen federaciones de sociedades de IO que dan conferencias y

publican revistas internacionales en esos continentes. Además, el Institute for

Operations Research and the Management Sciences (INFORMS) es una sociedad de

IO internacional. Entre sus múltiples revistas existe una, llamada Interfaces, que

publica artículos que presentan estudios importantes de IO y el efecto que éstos

tuvieron en sus organizaciones.

Problemas tipo en Investigación Operativa

Desde sus comienzos la Investigación de Operaciones se ha aplicado a una gran

variedad de problemas; la gran mayoría de ellos han sido de naturaleza táctica, más

que estratégica. Un problema es más táctico que estratégico si cumple con las

siguientes condiciones:

1) su solución puede modificarse o anularse fácilmente, tiene efecto de corta duración;

2) su solución afecta a una parte menor de la organización;

3) los resultados deseados se consideran como proporcionados (obtenidos), sin que

medie una selección de medios, fines, metas u objetivos a largo plazo.

La planificación de una empresa u organización, con sus metas y objetivos, es un

problema más estratégico que táctico. El minimizar los costos del transporte, en el que



la minimización en sí es el resultado conveniente, es considerado un problema más

táctico que estratégico.

La aplicación de la Investigación Operativa a una amplia variedad de

problemas tácticos, y la frecuente recurrencia de esos problemas, ha permitido

identificar problemas tipo que se agrupan según los modelos y procedimientos

(técnicas) similares para su resolución. Esos problemas tipo son: asignación de

recursos escasos, ordenamiento, secuenciación y coordinación de tareas, líneas de

espera, mantenimiento y reemplazo de equipos, inventarios, costos y tiempos, gestión

de proyectos.

Asignación de recursos, Ordenamiento

Los primeros desarrollos de la Investigación Operativa se refirieron a

problemas de asignación de recursos, ordenamientos de tareas, reparto de cargas de

trabajo, planificación, todos con un objetivo preciso de optimización de la función

económica U en un mundo determinista. Entre las técnicas de optimización citamos:

la Programación Lineal (se verá en el curso), No lineal, Los métodos de

ordenamiento, Programación Dinámica, Combinatoria, algoritmos de teoría de

Grafos, etc. Un ejemplo clásico: determinar el número de piezas, de cada tipo, que

debe producir un determinado taller, a fin de obtener el máximo beneficio. Existen

varias máquinas, cada una de las cuales tiene determinadas propiedades

y características, según las categorías o partes de piezas a producir por cada una de

ellas; por lo general se conoce la capacidad máxima del taller y el beneficio que se

obtendrá con cada categoría de pieza producida.

Líneas de espera, Reemplazo de equipos

Estos temas se desarrollan en mundo aleatorio por lo general. Se estudian las esperas

y retrasos ocurridos en el sistema, o las fallas en las instalaciones, su reparación y

posibles políticas de mantenimiento y/o reemplazo.

Inventario, Costos y tiempos

Se trata de la operación más simple, la de almacenar y/o mantener recursos; se

estudia cuánto y cuándo adquirir. Muchos casos se resuelven modelándolos como

líneas de espera.

Gestión de proyectos

Los conjuntos de tareas de un proyecto se modelan mediante un grafo, sobre el que

se determinan cuáles son los tiempos y las tareas críticas ("cuellos de botellas") del

proyecto. Técnicas usadas: CPM-PERT, método del Camino Crítico. Algunos de

estos problemas, se estudiarán en el curso “Introducción a la Investigación

de Operaciones”.


29

Actividades de Auto-evaluación de la Unidad Didáctica I:

Resolver las siguientes preguntas.

1. ¿Cuál es Objetivo de la Investigación Operativa?

2. ¿En dónde y cuándo se originó la actividad de la Investigación Operativa?

3. Describa las áreas donde se utiliza la IO

4. Escriba cuales son las fases de estudio de la IO y describa la función principal de

cada etapa.

Actividad de Evaluación de la Unidad Didáctica I:

La tarea será subida a la plataforma AMAUTA, estar pendiente.

Revisar la plataforma AMAUTA donde encontrará un foro con el Tema

Fases de la Investigación Operativa, el cual reforzará los contenidos

vistos hasta el momento.

Responda las siguientes preguntas

1. Elabora un mapa mental de las fases de estudio de la IO, describiendo la

función principal de cada etapa.

2. ¿Cuál es el efecto positivo de la IO?



Unidad Didáctica II


Introducción:

En esta unidad, se desarrollan contenidos de la programación lineal y las formas de

aplicarla, permitiendo la resolución de problemas de manera óptima, cuyos

conocimientos le servirán en la carrera.

Objetivo de la Unidad Didáctica II:

Plantear problemas de programación lineal, aplicando la formulación correcta para la

solución óptima, que permita maximización de utilidades y minimización de costos en

las empresas con ética profesional.

Organizador Gráfico de la Unidad didáctica II:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDÁCTICA II:

Actividad de Aprendizaje 1 de la Unidad Didáctica II:

Tema 1:

PROGRAMACIÓN LINEAL

Es una técnica matemática de análisis que permite determinar cuál es la asignación

más eficiente de los recursos limitados en actividades que desarrolla la empresa con

el propósito de optimizar los objetivos de la organización, esto es, maximizar

beneficios o minimizar costos.


Definición

Caracteristicas

Aplicaciones de la PL

Problemas

Maximización

Minimización

2 Variables


31

El nombre de programación lineal no procede de la creación de programas de

ordenador, sino de un término militar, programar, que significa “realizar planes o

propuestas de tiempo para el entrenamiento, la logística o el despliegue de las

unidades de combate”.

La investigación de operaciones en general y la programación lineal en particular

recibieron un gran impulso gracias a los ordenadores. Uno de momentos más

importantes fue la aparición del método del simplex.

Tipo de Soluciones

Los programas lineales con dos variables suelen clasificarse atendiendo al tipo de

solución que presentan. Éstos pueden ser:

Factibles: Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las

restricciones. Estas a su vez pueden ser: con solución única, con solución

múltiple (si existe más de una solución) y con solución no acotada (cuando no

existe límite para la función objetivo).

No factibles: Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las

restricciones, es decir, cuando las restricciones son inconsistentes.

Métodos de solución

Existen tres métodos de solución de problemas de programación lineal:

Método gráfico: Las rectas de nivel dan los puntos del plano en los que la

función objetivo toma el mismo valor.

Método analítico: El siguiente resultado, denominado teorema fundamental de

la programación lineal, nos permite conocer otro método de solucionar un

programa con dos variables: “en un programa lineal con dos variables, si existe

una solución única que optimice la función objetivo, esta se encuentra en un

punto extremo (vértice) de la región factible acotada, nunca en el interior de

dicha región. Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices,

también toma idéntico valor en los puntos del segmento que determinan. En el

caso de que la región factible no es acotada, la función lineal objetivo no

alcanza necesariamente un valor optimo concreto, pero, si lo hace este se

encuentra en uno de los vértices de la región”.

Esquema práctico: Los problemas de programación lineal puede presentarse

en la forma estándar, dando la función, objetivos y las restricciones, o bien

plantearlos mediante un enunciado.

Elementos de un modelo de programación lineal.

Variables de decisión:

Incógnitas del Modelo (X1, X2, X3, ... , Xn)



Parámetros:

Variables controlables del sistema. ( aij )

Función objetivo:

Maximización o Minimización. ( Max Zo. Ó Min Zo. )

Restricciones:

Expresadas como ecuaciones restrictivas, representan los recursos límites del

sistema.

Región factible.

Son el conjunto de valores de Xi que verifican todas y cada una de las restricciones.

Todo punto de esa región puede ser solución del problema; todo punto no

perteneciente a ese conjunto no puede ser solución.

La solución óptima del problema será un par de valores (Xa, Xb) del conjunto factible

que haga que f(Xa,Xb) tome el valor máximo o mínimo.

Modelo De Programación Lineal

https://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTES

https://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtml


33

CARACTERISTICAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

Las características utilizadas son:

1) Es la técnica de IO más importante.

2) La f. objetivo y las restricciones son funciones lineales de los valores

3) La linealidad asume que no puede haber términos asi:

4) Asume las propiedades aditivas y multiplicativas.

• Si una unidad tipo 1 necesita 2 horas en la Maquina A y una unidad tipo 2

necesita 2. horas, entonces ambas necesitan 4. horas.

• Si una unidad tipo 3 necesita 1 hora en la maquina B, entonces 10 unidades

necesitan 10 horas.

5) En la función objetivo que se va a optimizar (maximizar ó minimizar) no aparece

ningún término independiente ó constante. Los valores de las Xj son independientes

de cualquier constante.

6) Cuando se dice que hay m restricciones, no están incluidas las condiciones Xj ≥ 0

(condición de no negatividad).

7) Soluciones:

a) Cualquier conjunto de Xj que satisface las m restricciones se llama una solución

al problema.

b) Si la solución satisface la condición de no negatividad Xj ≥ 0 , se llama una

solución factible

c) Una solución factible que optimiza la función objetiva se llama una solución

factible óptima

Usualmente hay un número infinito de soluciones factibles al problema, de todas

estas, tiene que hallarse una óptima

Limitaciones de la programación lineal.

No hay garantía de que dé soluciones enteras.

No necesariamente al redondear se llega a la solución óptima.

Para esto es necesario emplear la programación entera.

En algunos casos las soluciones podrían ser deficientes.

Tal es el caso de las decisiones donde las variables deben tomar un valor como

0 o 1,

como las decisiones de “si” o “no”.

No permite la incertidumbre.

Es un modelo determinístico y no probabilista.

Asume que se conocen todos los coeficientes de las ecuaciones.

Existe también la programación lineal bajo incertidumbre.

Tanto la función objetivo como las restricciones están limitadas a ser lineales



Existen técnicas más avanzadas de programación no lineal


Tema 2:


La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias

razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden

plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de

programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo

de mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientemente

importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos

especializados en su solución. Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros

tipos de problemas de optimización constituyen casos particulares de la más amplia

técnica de la programación lineal. Históricamente, las ideas de programación lineal

han inspirado muchos de los conceptos centrales de la teoría de optimización tales

como la dualidad, la descomposición y la importancia de la convexidad y sus

generalizaciones. Del mismo modo, la programación lineal es muy usada en la

microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los

ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción.

DETERMINE LOS ELEMENTOS DEL

SIGUIENTE EJERCICIO.

Revisa la plataforma AMAUTA donde encontrará un foro con el Tema

Programación Lineal, el cual reforzará los contenidos vistos hasta el

momento.


35

Aplicaciones de la programación lineal en marketing

Selección de medios publicitarios: La Programación Lineal se utiliza en el campo

del marketing y la publicidad como una herramienta que nos permite determinar cuál

es la combinación más efectiva de medios para anunciar nuestros productos. En

muchas ocasiones partiremos de un presupuesto para publicidad fijo y nuestro

objetivo será distribuirlo entre las distintas opciones que se nos ofrecen (televisión,

radio, periódicos, revistas, etc.) de forma que nuestros productos tengan la mayor

difusión posible. En otros casos, las restricciones no serán presupuestarias, sino que

vendrán dadas por la disponibilidad de cada medio y por las políticas publicitarias de

nuestra propia empresa.

Aplicaciones de la programación lineal en producción

Combinación óptima de bienes: A menudo las técnicas de PL permiten decidir sobre

la cantidad más adecuada que una empresa debe producir de cada uno de sus

productos a fin maximizar los beneficios sin dejar de cumplir con unos determinados

requisitos (financieros, de demanda, contractuales, de disponibilidad de materias

primas, etc.).

Planificación de la producción: El establecer un plan de producción para un período

de semanas o meses resulta ser una tarea difícil e importante en la mayoría de las

plantas de producción. El director de operaciones debe considerar muchos factores:

mano de obra, costes de inventario y almacenamiento, limitaciones de espacio,

demanda, etc. Por lo general la mayoría de las plantas producen más de un bien, con

lo que la tarea anterior se complica aún más. Como veremos en el siguiente ejemplo,

el problema de la planificación se asemeja bastante al de la combinación óptima de

bienes, pudiendo ser el objetivo maximizar beneficios o bien minimizar los costes de

producción más almacenamiento.



Aplicaciones de la programación lineal a la distribución de áreas

Asignación de trabajos: El objetivo aquí será asignar de la forma más eficiente

posible un trabajo a cada empleado o máquina. Ejemplos de este tipo de asignación

serían la distribución de coches patrulla por las calles de una ciudad o la destino de

cada jefe de ventas a una determinada zona geográfica. El objetivo puede ser bien

minimizar los tiempos o costes de desplazamiento, o bien maximizar la efectividad de

las asignaciones.

Aparte de poder utilizar los algoritmos tradicionales (Simplex y Karmarkar), este tipo

de problemas también puede resolverse usando técnicas especialmente diseñadas

para sus características como el método húngaro, el cual necesita de menos

iteraciones para dar con la solución.

Una propiedad particular de los problemas de asignación es que tanto los coeficientes

tecnológicos cómo los términos independientes (right-hand-side) siempre toman el

valor 1. Además, todas las variables serán binarias, tomando el valor 1 si la asignación

propuesta se lleva a cabo y 0 en caso contrario.

Planificación de horarios: La planificación de horarios intenta dar una respuesta

efectiva a las necesidades de personal durante un período concreto de tiempo. La

aplicación de la PL a este tipo de problemas resulta especialmente útil cuando los

directivos disponen de cierta flexibilidad a la hora de asignar tareas a empleados poli

funcionales. Un sector típico donde se hace uso de la PL para tomar decisiones sobre

planificación de horarios son las entidades bancarias.

Aplicaciones de la programación lineal a las finanzas

Selección de una cartera de valores: Un problema al que se tienen que enfrentar

de forma habitual los directivos de bancos, fondos de inversión, y compañías de

seguros es la selección de una serie de inversiones concretas de entre la gran

variedad de alternativas existentes en el mercado. Por norma general, el objetivo de

estos directivos es maximizar los beneficios esperados de estas inversiones, las

cuales se ven sometidas a un conjunto de restricciones, algunas legales y otras

provenientes de la propia empresa (como puede ser el nivel de riesgo que se desea

asumir o la cantidad máxima que se permite invertir).

Aplicaciones de la programación lineal a la logística

El problema del transporte: El llamado problema del transporte se refiere al proceso

de determinar el número de bienes o mercancías que se han de transportar desde

cada uno de los orígenes a cada uno de los destinos posibles. El objetivo suele ser

minimizar costes de transporte, y las restricciones vienen dadas por las capacidades

productivas de cada origen y las necesidades de cada destino. Este tipo de problema

es un caso específico de PL, por lo que existen métodos y algoritmos especiales que

facilitan su resolución (Regla de la Esquina NorOeste, Método de Vogel, Método de

Paso Secuencial, y Método de distribución modificada o MODI).


37

Aplicaciones de la programación lineal a mezclas

El problema de la dieta: Este problema representa una de las primeras aplicaciones

de la PL, y comenzó a utilizarse en los hospitales para determinar la dieta más

económica con la que alimentar a los pacientes a partir de unas especificaciones

nutritivas mínimas. En la actualidad también se aplica con éxito en el ámbito agrícola

con la misma idea de encontrar la combinación óptima de alimentos que, logrando un

aporte nutritivo mínimo, suponga el menor coste posible.


Tema 3:

Método Analítico de la programación lineal

Se trata del resultado que se le llama teorema fundamental de la programación, este

permite tener conocimiento de otro método que solucione un programa por medio de

dos variables.

Dentro de un programa que contenga dos variables, si tiene una única solución que

perfeccione la función objetivo, se puede encontrar en un punto extremo de la región

factible demarcada y no dentro de la región.

En caso de que la función objetivo tenga el mismo valor en dos vértices, toma el mismo

valor en los puntos del segmento determinado.

Si la región factible no es demarcada, la función objetivo no podrá alcanzar el valor

concreto, pero si lo llega a hacer, se podrá encontrar en uno de los vértices d la región.

Al aplicar este método pueden darse las siguientes posibilidades según la "forma" que

tenga la región factible:

Si la región factible es acotada: Solución única o infinitas soluciones.

Si la región factible no es acotada: Existe la posibilidad de que no haya

soluciones óptimas.

Ejemplo

PASO I. Determinación de la función objetivo

En el caso que se desarrolla como ejemplo ya se ha determinado que la función

objetivo es:


Aplicaciones de la Programación Lineal, el cual reforzará los

contenidos vistos hasta el momento.



Z = (u/m1) (x1) + (u/m2) (x2)

Z = 200x1 + 120x2

Donde:

PASO II. Determinación de las restricciones

En el caso que se desarrolla como ejemplo, las restricciones son la capacidad en

horas máquina en los procesos I y II.

Mientras que el tiempo requerido por cada uno de los productos es:

PROCESO I PROCESO II

Juegos de comedor (horas) 8 4

Juegos de living (horas) 2 6

Por lo cual las funciones de restricción son:

PROCESO I

PROCESO II

PASO III. Formulación de la restricción de no negatividad

La cantidad a producir de juegos de comedor o de juegos de living no pueden ser

negativos, es decir la cantidad a producir debe ser igual o mayor a cero ya que no

sería factible producir menos un juego de comedor; por lo cual:

x1 >= 0

x2 >= 0


39

PASO IV. Determinación del punto donde la función objetivo hace tangente con

el vértice de un ángulo del área factible.

Considerando que en programación lineal se tiene un teorema que dice que la solución

óptima se encuentra en el vértice de un ángulo del área factible, entonces la solución

óptima se encuentra en uno de los vértices donde la función de beneficio hace

tangente.

Con el método algebraico se pueden encontrar uno o más puntos donde la función de

beneficio haga tangente con el vértice de un ángulo del área factible, sin embargo, se

logra el Máximo beneficio cuando la función de beneficio toma su mayor valor.

En el ejemplo en cuestión, si se observa el gráfico 11-13 los vértices de los ángulos

del área factible se encuentran en los puntos:

Punto Juego de

comedor x1

Juego de

living x2

B 1.125 0

C 0 2.500

D 600 2.100

En esos puntos la función beneficio adquieren un valor de:

Z = 200x1 + 120x2

En el punto “B” donde:

La utilidad es:

En el punto “C” donde:

La utilidad es:



En el punto “D” donde:

La utilidad es:

El máximo beneficio se logra cuando Z adquiere el valor de $ 372.000 y se da cuando

en el punto "D".

Por tanto, la empresa debe producir 600 juegos de comedor y 2.100 juegos de

living. Como se recordará, el cálculo se hizo con ayuda del gráfico 11-13, mientras

que solo mediante método algebraico y sin ayuda del gráfico, el análisis es el

siguiente:

La función de máximo beneficio está dada por:

Las restricciones que limitan el área factible están dadas por las funciones:

Los vértices de los ángulos del área factible se encuentran:

a) En la intersección de las ecuaciones 2 y 3:

Si se despeja x2 en la ecuación 2:

Reemplazando 4 en la ecuación 3:


41

Reemplazando x1 = 600 en la ecuación 2:

b) Otra situación se da cuando la función restricción hace intersección con el eje de

las ordenadas, es decir que cuando:

x1= 0

En tal caso reemplazando en la ecuación 3:

c) Otra situación se da cuando la función restricción hace intersección en el eje de las

abscisas, es decir que cuando:

x2 = 0

En tal caso reemplazando en la ecuación 2:

Por tanto, en los vértices de los ángulos del área factible x1 y x2 toman los siguientes

valores:

Vértice X1 Unidades X2 Unidades

B 1.125 0

C 0 2.500

D 600 2.100



En esos puntos la función beneficio Z = 200x1 + 120x2 toma los siguientes valores:

Vértice X1 Unidades X2 Unidades Beneficios

B 1.125 0 225.000

C 0 2.500 300.000

D 600 2.100 372.000

Z = 200x1 + 120x2

Cuando:

El beneficio es:

Cuando:

El beneficio es:

Cuando:

El beneficio es:

Por tanto, la solución se da cuando la intersección de las funciones de restricción que

limitan el área factible:

Hacen tangente con la función objetivo:

Z = 200x1 + 120x2


43

Por lo cual como las funciones de restricción que limitan el área factible son:

La intersección se da cuando:

El máximo beneficio se determina reemplazando los anteriores valores en:

En conclusión, se deben elaborar:

Para lograr el máximo beneficio que asciende a $ 372.000.

MAXIMIZACIÓN

Una fábrica de fertilizantes produce dos tipos de abono, A y B, a partir de dos materias

primas M1 y M2. Para fabricar una tonelada de A hacen falta 500Kg de M1 y 750kg de

M2, mientas que las cantidades de M1 y M2 utilizadas para fabricar una tonelada de B

son 800kg y 400kg, respectivamente. La empresa tiene contratado un suministro

máximo de 10 toneladas de cada materia prima y vende 1000 dólares y 1500 dólares

cada tonelada de abono A y B, respectivamente.

Sabiendo que la demanda de B nunca llega a triplicar la de A ¿Cuántas toneladas de

cada abono debe fabricar para maximizar sus ingresos y cuáles son estos?

1. Planteamiento del Problema.

Tabla con los datos del enunciado: Expresamos las cantidades en toneladas

(t). Recuerda 1t = 1000 kg

A(t) B(t) Disponible (t)

M1 0,50 0,80 10

M2 0,75 0,40 10

Precio $ 1.000 1.500

Función objetivo y restricciones: Nombramos las variables, planteamos la

función objeto a maximizar y las restricciones.

x = número de toneladas de abono tipo A

y = número de toneladas de abono tipo B



Función objetivo a maximizar

I (x,y) = 1000x + 1500y

Restricciones

0,50x + 0,80y <= 10

0,75x + 0,40y <= 10

X<=3y

x >= 0

y >= 0

Las variables x e y no pueden ser negativas. Estas dos restricciones hay que añadirlas

Ejercicio 1

Una tienda de lencería encarga a un fabricante pijamas y camisones. El fabricante

dispone de 750m de tejido de algodón y 1000m de nylon. Para cada pijama necesita

1m de algodón y 2m de nylon y para cada camisón 1,5m de algodón y 1m de nylon.

El precio de venta del pijama es de 5 dólares y el del camisón de 2 dólares. ¿Qué

número de pijamas y camisones debe suministrar el fabricante para que la tienda de

lencería consiga los máximos beneficios con la venta?

Solución

Ordenamos los datos de una tabla, denominando x al número de pijamas e y al de

camisones.

Pijamas (x) Camisones (y) Tela

Disponible

Tejido de algodón 1 1,5 750

Tejido de nylon 2 1 1000

La función objetivo que hay que optimizar, en este caso maximizar; es: f (x,y) = 5x +

2y; con las inecuaciones (restricciones) que vienen dadas por la cantidad de tejidos y

por el número de pijamas y camisones que son números naturales

Para el de algodón 1x + 1,5y <= 750

Para el de nylon 2x + 1y <= 1000

x >= 0; y >= 0

Dibujamos la región factible, delimitada por las inecuaciones y representamos la recta

5x + 2y = 0 que se desplazará paralelamente hacia la derecha para encontrar el punto

máximo.


45

Sus coordenadas se calcularán resolviendo el sistema: 2x + 3y = 1500; 2x + y = 1000.

Resuelto esto se obtiene x = 375 pijamas e y = 250 camisones. Con su venta se

obtendrían 2375000 dólares.

MINIMIZACIÓN

Ozark Farms consume diariamente un mínimo de 800 lbs de un alimento

especial, el cual es una mezcla de maíz soya con las siguientes

composiciones:

Lb por libras de forraje Costo (lb)

Proteína Fibra

Maíz 0.09 2 0.3

Soya 0.60 6 0.9

a. Verificación de las variables

x1 = libras de maíz en la mezcla diaria

x2 = libras de soya en la mezcla diaria

b. Función objetivo

Minimizar z = 0.3x1 + 0.9x2

c. Restricciones

1x1 + 1x2 >= 800 Cantidad diaria de mezcla

Resolver los siguientes ejercicios.

1. Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 Kg. De acero y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaña 2 Kg. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña deberá fabricar para maximizar las utilidades?

2. Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de madera y 28 horas disponibles, durante las cuales fabricará biombos decorativos. CCon anterioridad, se han vendido bien 2 modelos, de manera que se limitará a producir estos 2 tipos. Estima que el modelo uno requiera 2 unidades de madera y 7 horas de tiempo disponible, mientras que el modelo dos requiere 1 unidad de madera y 8 horas. Los precios de los modelos son $ 120 y $80, respectivamente. ¿Cuántos biombos de cada modelo debe fabricar si desea maximizar su ingreso en la veta?


Maximización, el cual reforzará los contenidos vistos hasta el

momento.



0.90x1 + 0.6x2 >= 0.3 (x1 + x2) Libras de maíz y soya al 30% total de

la mezcla

0.02x1 + 0.06x2 >= 0.05 (x1 + x2) Libras de maíz y soya al 30% total de

la mezcla

X1, x2 >= 0

Restricciones Calculadas

1x1 + 1x2 >= 800 Cantidad diaria de mezcla

0.21x1 + 0.30x2 >= 0 Libras de maíz y soya al 30% total de

la mezcla

0.03x1 + 0.01x2 >= 0 Libras de maíz y soya al 30% total de

la mezcla

X1, x2 >= 0

Ejercicio 2

Un estudiante de administración de empresas del Nowledge Collage necesita

completar un total de 65 cursos para graduarse. El número de cursos de

administración tendrá que ser mayor que o igual a 23. El número de cursos ajenos al

área de administración deberá ser mayor que o igual a 20. El curso de administración

promedio requiere un libro de texto que cuesta $60 e implica 120 horas de estudio.

Los cursos ajenos al área de administración requieren un libro de texto que cuesta

$24 e implican 200 horas de estudio. El estudiante dispone de un presupuesto de

$3.000 para libros.

a) Formule un conjunto de ecuaciones lineales para describir la función objetivo y

las restricciones.

b) Utilice el análisis gráfico para encontrar la solución visual.

c) ¿Con que combinación de cursos de Administración y otros ajenos a esta área

se minimizará el número total de horas de estudio?

d) Identifique las variables de holgura o superávit.

Solución

Parte a

X = Cursos de administración que cursará el estudiante

Y = Cursos ajenos al área de administración que cursará el estudiante

Función Objetivo:

Min (120x + 200y)

Restricciones:

Cursos Necesarios para graduarse x + y = 65

Cantidad de Cursos de Administración x >= 23

Cantidad de Cursos ajenos a Administración y >= 20

Presupuesto del Estudiante 60x + 24y <= 3000


47

Con los valores obtenidos de x = 40, y = 25, se minimizará las horas de estudio,

teniendo como resultado 9800 horas.

Actividades de Auto-evaluación de la Unidad Didáctica II:


1. Un orfebre fabrica dos tipos de joyas: La unidad de tipo A se hace con 1 g de oro

y 1,5 g de plata y se vende a 25€. La de tipo B se vende a 30 € y lleva 1,5 g de oro

y 1 g de plata. Si solo se dispone de 750 g de cada metal, ¿cuántas joyas ha de

fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio?


1. En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? 2. Pinturas Pintulac produce pinturas para interiores y exteriores con dos materias primas M1 y M2. La tabla siguiente proporciona los datos básicos el problema.

Toneladas de materia prima por tonelada de Disponibilidad

diaria máxima ( t )

Pintura para exteriores

Pintura para interiores

Materia prima M1 6 4 24

Materia prima M2 1 2 6

Utilidad x tonelada ($1000) 5 4


Minimización, el cual reforzará los contenidos vistos hasta el

momento.



2. En Granjas Modelo se usa diariamente un mínimo de 800 kg de un alimento

especial, que es una mezcla de maíz y soya, con las composiciones siguientes:

kg por kg de alimento

Alimento Proteínas Fibras Costo/kg

Maíz 0.09 0.02 0.30

Soya 0.60 0.06 0.90

Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de 30% de proteínas

y un máximo de 5% de fibras. Granjas Modelo desea determinar las cantidades de

alimento que produzcan un costo diario mínimo.

3. Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar.

Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para

la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2

cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y

1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente.

¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

Actividad de Evaluación de la Unidad Didáctica II:



49

Unidad Didáctica III

Programación lineal: método grafico

Introducción:

En esta unidad, se desarrollan contenidos de graficación de la programación lineal

utilizando los diferentes tipos de optimización a través de la resolución de problemas,

permitiendo complementar de manera óptima los conocimientos de la carrera.

Objetivo de la Unidad Didáctica III:

Resolver problemas de programación lineal aplicando el método simplex para

expresarlos gráficamente con su respectivo análisis y toma de decisión con

honestidad profesional.

Organizador Gráfico de la Unidad didáctica III:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDÁCTICA III:

Actividad de Aprendizaje 1 de la Unidad Didáctica III:

Tema 1:

MAXIMIZACIÓN


MÉTODO GRÁFICO

Maximización

Minimización

Combinado

Análisis de Sensibilidad


51




1. Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 Kg. De acero y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaña 2 Kg. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña deberá fabricar para maximizar las utilidades?


Graficación de Maximización, el cual reforzará los contenidos vistos

hasta el momento.


53

MINIMIZACIÓN

Un ganadero debe suministrar un mínimo diario de 4mg de vitamina A y 6mg de

vitamina B en el pienso que da a sus reses. Dispone para ello de dos tipos de pienso

P1 y P2, cuyos contenidos vitamínicos por kg son los que aparecen en la tabla:

A B

P1 2 6

P2 4 3

Si el kilogramo de pienso P1 vale 0.40 ctvs y el del P2 vale 0.60 ctvs ¿Cómo deben

mezclarse los piensos para suministrar las vitaminas requeridas con un coste mínimo?

Solución

a) Sean x = “kg de pienso P1” e y = “kg de pienso P2”

En consecuencia, para que el coste sea mínimo se deben mezclar 2

3 kg de pienso P1

y 2

3 kg de pienso P2



COMBINADOS

Una fabrica produce dos tipos de productos A y B; el primero requiere la utilización de

7kg de materia prima, 2 horas/hombre de mano de obra, 4,5 horas/maquina de

utilización de maquinaria. El segundo requiere 3kg de materia prima, 3 horas/hombres

de mano de obra y 4 horas maquina de utilización de maquinaria. La empresa cuenta

para la fabricacion de productos con los siguientes recursos: 21kg de materia prima,

12 horas/hombre de mano de obra y 18 horas/maquinas. ¿Cuál es la combinación

óptima de producción que maximice el beneficio, suponiendo que la fabrica estima

ganar $15 por cada unidad de producto A y $11 por cada unidad del producto B?

1. Definición de variables:

X1 = Producto A

X2 = Producto B

2. Función Objetiva: Z(max) = 15x1 + 11x2

3. Restricciones:

RECURSOS VARIABLES

DISPONIBILIDAD X1 X2

Materia prima 7 kg 3 kg 21 kg

Mano de obra 2h/H 3h/H 12h/H

Utilización maquinaria 4,5 h/m 4 h/m 18 h/m

Beneficio $ 15 $ 11


1. En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?


Graficación de Minimización, el cual reforzará los contenidos vistos

hasta el momento.


55

7x1 + 3x2 <= 21 ( 1 )

2x1 + 3x2 <= 12 ( 2 )

4,5x1 + 4x2 <= 18 ( 3 )

4. No negación: x1, x2 >= 0




1.


Graficación Combinada, el cual reforzará los contenidos vistos hasta

el momento.


57

Actividad de Aprendizaje 2 de la Unidad Didáctica III:

Tema 2:

ANÁLISIS DE SENSIBILIZACIÓN.

El Análisis de Sensibilidad se relaciona con la cuantificación de los efectos en la

solución óptima de cambios en los parámetros del modelo matemático. Cuando

escribimos un modelo, damos por aceptado que los valores de los parámetros se

conocen con certidumbre; pero en la realidad no siempre se cumple que los valores

sean verídicos, ya que por ejemplo las variaciones en los costos delos materiales, en

la mano de obra o en el precio de un producto, ocasionan cambios en los coeficientes

de la función objetivo. Así mismo las demoras en los envíos de los proveedores, las

huelgas, los deterioros no previstos y otros factores imponderables generarán

cambios en la disponibilidad de los recursos.

Los cambios en el modelo matemático, que pueden cuantificarse a veces sin

necesidad de volver a resolver el modelo, se relacionan con:

Cambios en los coeficientes de las variables de decisión en la función objetivo

(Ganancias por unidad de variable de decisión) o

Cambios en los lados derechos de las restricciones que definen el modelo.

(Cantidad de recursos disponibles)

Los efectos de cambios en los coeficientes dentro de la matriz A son muy difíciles de

cuantificar, y por tanto en estos casos se aconseja correr de nuevo el modelo con los

cambios. En primera instancia veremos cuando sólo un coeficiente cambia; después

veremos cuando varios coeficientes cambian simultáneamente.

Objetivo del Análisis de sensibilidad.

Es identificar los parámetros sensibles, (por ejemplo, los parámetros cuyos valores no

pueden cambiar sin que cambie la solución óptima). Para ciertos datos que no están

clasificados como sensibles, también puede resultar de gran utilidad determinar el

intervalo de valores del parámetro para el que la solución óptima no cambie.



El Análisis de Sensibilidad se utiliza para examinar los efectos de cambios en tres

áreas diferenciadas del problema:

1. Los coeficientes de la función objetivo (coeficientes objetivo). Los cambios en

los coeficientes objetivos NO afectan la forma de la región factible, por lo que

no afectarán a la solución óptima (aunque sí al valor de la función objetivo).

2. Los coeficientes tecnológicos (aquellos coeficientes que afectan a las variables

de las restricciones, situados a la izquierda de la desigualdad). Los cambios en

estos coeficientes provocarán cambios sustanciales en la forma de la región

factible. Gráficamente (en el caso de 2 variables) lo que varía es la pendiente

de las rectas que representan las restricciones.

3. Los recursos disponibles (los términos independientes de cada restricción,

situados a la derecha de la desigualdad). Intuitivamente (para 2 variables), los

cambios en el RHS suponen desplazamientos paralelos de las rectas

asociadas a las restricciones, lo cual hará variar la forma de la región factible

y, con ello, a la solución óptima.

Ejemplo

Un productor tabaquero posee 85 hectáreas (ha) de terreno para plantar dos

variedades de tabacos Virginia y Procesado. La variedad Virginia tiene un ingreso de

9.600 USD/ha y necesita 3 horas/ha de uso de maquinaria y 80 horas/ha de mano de

obra. Además, el Estado limita su explotación a 30 ha como máximo. La variedad

Procesado tiene un ingreso de 7.500 USD/ha y utiliza 2 horas/ha de uso de maquinaria

y 60 horas/ha de mano de obra. La cooperativa local le ha asignado un máximo de

190 horas de uso de maquinaria y solo se dispone de 5.420 horas de mano de obra a

12 USD/hora.

Formule y resuelva gráficamente un modelo de Programación Lineal que permita

determinar cuánto se debe plantar de cada variedad de tabaco de manera de

maximizar la utilidad total.

En primer lugar, definimos el modelo de optimización para este problema. Esto

consiste en identificar las variables de decisión, función objetivo y restricciones.

Variables de Decisión:

X1 = Número de Ha a plantar de la variedad Virginia

X2 = Número de Ha a plantar de la variedad Procesado


59

Función Objetivo:

Maximizar (9.600 – 960)X1 + (7.500 – 720)X2 = 8.640X1 + 6.780X2

Restricciones:

1. X1 ≤ 30

2. X1 + X2 ≤ 85

3. 3X1 + 2X2 ≤ 190

4. 80X1 + 60X2 ≤ 5.420

5. X1, X2 ≥ 0

Una representación gráfica del problema:

Sabemos según el Teorema Fundamental de la Programación Lineal que en caso de

existir solución óptima ésta se encontrará en un vértice o en un tramo en la frontera

del dominio de soluciones factibles (en el ejemplo área achurada en color verde).

Adicionalmente podemos apreciar que no es tan evidente que el vértice C reporte una

mayor utilidad en la función objetivo que el vértice D, por lo cual, inspeccionaremos

ambos puntos.

En el caso del vértice C éste se encuentra en la intersección de las restricciones 2 y

4. La coordenada respectiva se obtiene al resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

X1 + X2 = 85

80X1 + 60X2 = 5.420

De donde X1=16 y X2=69, lo cual reporta un valor en la función objetivo de

V(P)=8.640*(16)+6.780(69)=606.060.

Análogamente en el caso del vértice D las restricciones activas son 3 y 4:

https://www.gestiondeoperaciones.net/programacion_lineal/teorema-fundamental-de-la-programacion-lineal-y-sus-propiedades/



3X1 + 2X2 = 190

80X1 + 60X2 = 5.420

Luego de resolver el sistema lineal anterior se obtiene X1=28 y X2=53, lo cual reporta

un valor en la función objetivo de V(P)=8.640*(28)+6.780(53)=601.260.

En consecuencia la solución óptima del problema es X1=16 y X2=69, con valor

óptimo V(P)=8.640*(16)+6.780(69)=606.060.

Una vez resuelto el escenario original a continuación se presentan algunos análisis

adicionales que representan por separado modificaciones en los coeficientes de la

función objetivo y restricciones del problema.

La Ohio Steel produce dos tipos de vigas de acero en su planta de Warren, Ohio. Cada

uno de estos tipos de viga requiere de trabajo de máquina y finalización antes de ser

vendidos. Los requerimientos de producción y finalización son dados en la siguiente

tabla:

Tipo de viga Trabajo de maquina (horas requeridas)

Finalización

1 1 2

2 2 3

La planta de Warren, Ohio tiene una capacidad semanal de 300 horas de máquina y

200 horas de finalización. La contribución del tipo 1 a las utilidades es de $ 12 por unidad

y la del tipo 2 es de $ 8

Tipo de Viga

1 2

Trabajo de maquina 1 2 300

Finalización 2 3 200

12 8


Análisis de Sensibilidad, el cual reforzará los contenidos vistos hasta

el momento.


61

Actividades de Auto-evaluación de la Unidad Didáctica III:


Encuentre el análisis de sensibilidad de los siguientes ejercicios.

Una fábrica elabora 2 productos y utiliza en sus procesos 2 maquinarias (M1 y M2).

El primer producto requiere 2 horas en M1 y 1 hora en M2. El segundo producto

requiere 1 hora en m1 y 3 horas en M2. Los ingresos por cada unidad son de $30 y

$20, respectivamente. M1 y M2 presentan una disponibilidad diaria de 8 horas.

Cambiamos la disponibilidad de 8horas a 9 horas en M1 y M2

Actividades Actividad de Evaluación de la Unidad Didáctica III




Unidad Didáctica IV

Programación Entera

Introducción:

En esta unidad, se desarrollan contenidos de Programación lineal aplicando variables

binarias, permitiendo complementar de manera óptima los conocimientos específicos

de la carrera.

Objetivo de la Unidad Didáctica IV:

Formular problemas de programación entera, con la ayuda de los constructos teóricos

y su respectiva formulación, para la optimización de los recursos con ética profesional,

que ayuden a la mejora de las condiciones de la empresa.

Organizador Gráfico de la Unidad didáctica IV:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDÁCTICA IV:

Actividad de Aprendizaje 1 de la Unidad Didáctica IV:

Tema 1:

PROGRAMACIÓN ENTERA

¿Qué es la Programación Entera?: Un modelo de Programación Entera es aquel cuya

solución óptima tiene sentido solamente si una parte o todas las variables de decisión

toman valores restringidos a números enteros, permitiendo incorporar en el

modelamiento matemático algunos aspectos que quedan fuera del alcance de los

modelos de Programación Lineal.

Programación Entera

Formulación

Variables Binarias

Métodos de Solución


63

En este sentido los algoritmos de resolución de los modelos de Programación Entera

difieren a los utilizados en los modelos de Programación Lineal, destacándose entre

ellos el Algoritmo de Ramificación y Acotamiento (o Branch & Bound), Branch & Cut,

Planos Cortantes, Relajación Lagrangeana, entre otros.

Los modelos de Programación Entera se pueden clasificar en 2 grandes

áreas: Programación Entera Mixta (PEM) y Programación Entera Pura (PEP).

Programación Entera Mixta (PEM)

A esta categoría pertenecen aquellos problemas de optimización que consideran

variables de decisión enteras o binarias pero no de forma exclusiva. De esta forma un

problema de PEM puede considerarse como un híbrido entre distintas categorías de

modelamiento, siendo un caso típico aquel que considera la mezcla de variables

enteras y variables continuas (estas últimas características de los modelos de

Programación Lineal). A modo de ejemplo los siguientes artículos que hemos

abordado en el Blog dan cuenta de modelos de Programación Entera Mixta:

Incorporación de Costos Fijos

Problemas de Localización y Transporte

Problema de Generación Eléctrica

Programación Entera Pura (PEP)

En esta categoría encontramos aquellos modelos de Programación Entera que

consideran exclusivamente variables de decisión que adoptan valores enteros o

binarios. Un ejemplo de ello son las siguientes aplicaciones:

Problema de Asignación

Problema de Corte de Rollos

Selección de Invitados a una Boda

Programación de la Explotación Forestal

Problema de la Mochila

https://www.gestiondeoperaciones.net/programacion-entera/problema-de-inclusion-de-costos-fijos-en-programacion-entera/

https://www.gestiondeoperaciones.net/programacion-entera/formulacion-de-un-problema-de-localizacion-y-transporte-programacion-entera-mixta/

https://www.gestiondeoperaciones.net/programacion-entera/problema-de-generacion-electrica-mediante-programacion-entera-mixta/

https://www.gestiondeoperaciones.net/programacion-entera/problema-de-asignacion-en-programacion-entera-resuelto-con-solver-de-excel/

https://www.gestiondeoperaciones.net/programacion-entera/formulacion-del-problema-de-corte-de-rollos-en-programacion-entera/

https://www.gestiondeoperaciones.net/programacion-entera/como-elegir-los-invitados-de-una-boda-o-matrimonio-con-un-modelo-de-programacion-entera/

https://www.gestiondeoperaciones.net/programacion-entera/formulacion-de-un-problema-de-programacion-de-explotacion-forestal-resuelto-con-solver-de-excel/

https://www.gestiondeoperaciones.net/programacion-entera/problema-de-la-mochila-en-programacion-entera-resuelto-con-opensolver/



Notar que en los problemas anteriores (PEP) el conjunto de las soluciones factibles (o

dominio de soluciones factibles) es finito. Esto ocurrirá generalmente con los

problemas de Programación Entera (puros).

Adicionalmente resulta interesante hacer un contraste entre las propiedades de un

modelo de Programación Lineal (PL) y uno de Programación Entera (PE). A

continuación, se presentan 2 modelos de optimización que se diferencian únicamente

en que al segundo de ellos (PE) se le exige que las variables de decisión adopten

valores enteros.

Para los problemas propuestos realizamos una representación gráfica haciendo uso

del software Geogebra. El dominio de soluciones factibles del Problema Lineal

(PL) corresponde al área achurada de color verde. Por otro lado el dominio de

soluciones factibles del Problema Entero (PE) es enumerable y corresponde a las

coordenadas denotadas por A, E, F, B, G, H, I, J, K, C, L, M, D (que es

un subconjunto del dominio de factibilidad del PL). En este caso en particular la

solución óptima de ambos problemas coincide (en el vértice C), no obstante,

perfectamente podrían ser distintas (bastaría con modificar los parámetros del

problema).

https://www.gestiondeoperaciones.net/programacion_lineal/geogebra-calculadora-grafica-para-android/


65

En este contexto y dada la naturaleza de los problemas propuestos, el valor óptimo

del Problema Lineal (PL) será una cota superior del valor óptimo del Problema Entero

(PE). También se concluye que el dominio de soluciones factibles de un modelo de

Programación Lineal (cuando existe) representa un conjunto convexo (los problemas

de Programación Lineal son convexos) y en el caso del problema de Programación

Entera Pura su conjunto de soluciones factibles es discreto.

FORMULACIÓN

En general, un modelo discreto se usa por distintas razones:

• Directas: las variables de interés deben tomar valores enteros

• Codificación: las variables enteras (usualmente 0-1) se usan para representar el

cumplimiento (o no) de algunas condiciones

• Transformación: las variables enteras son útiles para representar ciertas condiciones

(implicaciones, condiciones lógicas, etc.)

Primer caso: selección entre alternativas

• Usaremos variables binarias yi para escoger subconjuntos entre una serie de

alternativas

Si las variables yi toman el valor1, la alternativa se escoge, en caso contrario

no se escoge (o no se realiza)

• Estas variables se multiplican por sus correspondientes costes, uso de recursos, etc.

Si la variable toma el valor 1, asumimos el correspondiente coste

Si toma el valor 0, no incurrimos en el coste

• Las variables se pueden usar para contar el número de proyectos seleccionados,

etc.

Sumando los valores de yi

Ejemplo


67

Segundo caso: problemas de asignación

Se trata de encontrar asignaciones eficientes de algunos recursos a un

conjunto de tareas

Ejemplos: • Planificación de horarios, de tareas a máquinas, rotas de trenes

o aviones, asignación de comerciales a regiones, etc.

Problema binario 0-1

El objetivo es generalmente minimizar costes, tiempo de viaje, o maximizar

eficiencia

Aparece como submodelo de modelos más complejos

Las variables binarias yij toman valor 1 si recurso i se asigna a tarea j

El número de tareas o recursos a asignar se controla sumando yij

VARIABLES BINARIAS

Supongamos ahora que las variables pueden tomar sólo valores 0 ó 1. Ahora no se

tienen que agregar restricciones adicionales a los subproblemas sino determinar que

una variable toma valor 0 o toma valor 1. El número máximo de problemas a

examinar es O(2n), para un problema con n variables binarias (profundidad n). La

relajación lineal se obtiene reemplazando cada restricción de binariedad por 0 ≤ xj ≤ 1

para cada variable. Veamos un ejemplo:

(PE) máx z = 2x1 + x2 + 2x3

s.a. x1 + 2x2 + x3 ≤ 3

2x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 3

x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 4

x1, x2, x3 ∈ {0, 1}

Sea (P0) la relajación lineal.

La solución óptima viene dada por:



x ∗ 1 = 1 x ∗ 2 = 0 x ∗ 3 = 1 2 z0 = 3 Ramificamos en x3 (única posibilidad):

En (P1), agregamos x3 = 0.

En (P2), agregamos x3 = 1.

Luego de resolver el problema por B&B el árbol queda:

Actividad de Aprendizaje 2 de la Unidad Didáctica IV:

Tema 2:

METODOS DE SOLUCIÓN

Método de ramificación y acotación (branch and bound).

El método de ramificación y acotación, más conocido por su nombre en inglés Branch

and Bound, recibe su nombre precisamente por las dos técnicas en las que basa su

desarrollo, que son la ramificación y la acotación.

El método de ramificación y acotación comienza por resolver el PLA, de modo que, si

la solución al PLA verifica las condiciones de integridad, entonces también es la

solución al problema entero, en caso contrario se comienza con la ramificación del

problema.


Programación entera, el cual reforzará los contenidos vistos hasta el

momento.


69

La ramificación consiste en dividir cada problema en dos nuevos subproblemas,

obtenidos mediante la imposición de restricciones excluyentes que dividen el conjunto

de oportunidades del problema original en dos partes, pero eliminando en ambas

partes la solución no entera del problema original.

Cuando en la solución al PLA una variable que ha de ser entera xi toma el valor xbi

no entero, entonces se generan a partir de dicho valor dos restricciones xi ≤ [xbi] y xi

≥ [xbi]+1 (siendo [xbi] la parte entera por defecto de xbi ), que añadidas cada uno por

separado al problema original, da lugar a dos nuevos subproblemas. Vamos a explicar

este proceso a través de un ejemplo particular:

la solución al PLA, prescindiendo de la condición de que las variables han de ser

enteras es

x1 = 1,5, x2 =5 y F(x) = 31

Como dicha solución no verifica las condiciones de integridad se elige la variable x1

que no es entera y a partir de ella se generan dos restricciones

x1 ≤ 1 y x1 ≥ 2

Que añadidas cada una de ellas al problema original dan lugar a dos nuevos

subproblemas que serían los siguientes:

De este modo se han eliminado todas las posibles soluciones no enteras del conjunto

de oportunidades tales que 1< x1 < 2. El proceso se repite con cada uno de los dos

subproblemas obtenidos, los cuales darán lugar a otros dos subproblemas cada uno



de ellos y así sucesivamente hasta que en todos los subproblemas tengan solución

entera o infactible.

Utilizando únicamente la ramificación, el número de subproblemas a resolver crece

exponencialmente, por este motivo para evitar el tener que resolver todos los

subproblemas, la ramificación se combina con la acotación.

La acotación se basa en el hecho de que dado que los conjuntos de oportunidades

del subproblema 1.1. (S11) y del subproblema 1.2 (S12) son a su vez subconjuntos

del conjunto de oportunidades del problema 1 (S1) la solución óptima de los dos

subproblemas siempre será inferior (problema de máximo o superior para problemas

de mínimo) que la solución óptima del problema 1 por ser los conjuntos de elección

menores.

Así pues, el proceso de acotación consiste, para problemas de máximo, en tomar

como cota inferior aquella solución entera con mayor valor de la función objetivo

obtenida y dado que cualquier otro subproblema con solución no entera sabemos que

al ramificarlo nos dará como resultado valores de la función objetivo menores o

iguales, nos permite descartar como subproblemas a ramificar todos aquellos que

tengan como solución óptima un valor de la función inferior a la cota establecida.

De este modo se

reduce el número

de subproblemas a

ramificar y por lo

tanto el tiempo

necesario para la

resolución de los

problemas enteros.

El proceso a seguir

en la resolución de

problemas enteros

mediante el método

de ramificación y

acotación se

resume en el

siguiente esquema

algorítmico:


71



Dado que ya conocemos una solución entera x1 = 0, x2 = 4, F(x) = 40, ésta solución

actuara como cota inferior y solamente deberán ser ramificados aquellos

subproblemas con soluciones factibles no enteras que tengan un valor para la función

objetivo que 40. Como el único subproblema por ramificar es el subproblema 2 y la

función objetivo vale 38, el proceso se dé por terminado, siendo por tanto la solución

óptima al problema entero.

X1 = 0, x2 = 4, F(x) = 40

Consideremos el siguiente modelo de Programación Entera el cual

resolveremos con el algoritmo de Branch and Bound:


Metodo Branch and Bound, el cual reforzará los contenidos vistos

hasta el momento.

https://www.gestiondeoperaciones.net/wp-content/uploads/2011/08/Problema-BB.gif


73

Método de redondeo de la solución de programación lineal

No se asegura obtener la solución óptima, en algunos casos se obtiene una solución

muy lejos de la óptima.

Ejemplo

Máx Z = x1 + 5x2

Sujeto a: +x1 + 10x2 ≤ 20

x1 ≤ 2

Solución modelo relajado (PL): x1 = 2 x2 = 1.8 Z = 11

Solución con redondeo: x1 = 2 x2 = 1 Z = 7

Solución óptima de PE: x1 = 0 x2 = 2 Z = 10

Al redondear se debe tener en cuenta la magnitud de las variables

Siempre se debe verificar que la solución redondeada se mantenga factible.

Consideremos el siguiente problema de programación lineal en:

Z = min x1 – 11x2

- x1 + 10x2 <= 40

10x1 + 10x2 <= 205

X1, x2 >= 0 y enteras

Solución óptima sin considerar las condiciones de integralidad:

X1 = 15 y x2 = 5,5


Método de Redondeo, el cual reforzará los contenidos vistos hasta el

momento.



Método de enumeración completa

Si hay 2 variables binarias, 4 soluciones posibles. Si hay 50 variables binarias, 250

soluciones posibles.

Ejemplo.

Método plano cortantes o algoritmo fraccional de Gomory

Divide la región factible en 2 regiones que no contienen la solución del modelo de

programación lineal relajado y que sí contienen todas sus soluciones enteras factibles.

Agregar restricciones a un modelo no puede producir un modelo con mejor solución

Z.

Procedimiento para maximizar:


75

1. Resolver el modelo de programación entera relajado: si la solución es entera es la

óptima.

2. Definir cotas superior e inferior: Cota Superior (CS) = Modelo relajado Cota Inferior

(CI) = Redondeo factible

3. Ramificar.

4. Para cada nodo, resolver su modelo relajado y definir su cota superior y cota inferior.

5. Si ya no se puede ramificar la solución óptima es la del nodo con mejor solución

entera.

6. Si se puede ramificar, volver al paso 3

• La cota inferior es igual a la mejor solución entera hasta el momento.

• La cota superior en un nodo es igual a Z encontrado.

• A medida que se ramifica y se desciende del árbol la cota superior tiende a

disminuir

Procedimiento para minimizar:

1. Cambiar la cota superior por la cota inferior.

2. Definir cotas superior e inferior:

Cota Superior (CS) = Redondeo factible

Cota Inferior (CI) = Modelo relajado

3. Para cada nodo:

Resolver su modelo relajado y definir su CS y CI

Si solución es entera

Si solución es infactible Ya no ramificar más el nodo.

Si Z > CS • CS es igual a la mejor solución entera hasta el momento.

• La CI en un nodo es igual a Z encontrado.

• A medida que se ramifica y se desciende del árbol la CI tiende a aumentar.

Ejemplo

Considerando:

Max Z = 7x1 + 9x2

Sujeto a: -x1 + 3x2 <= 6

7x1 + x2 <= 35

x1, x2 enteros no negativos

La solución óptima está dada por Z = 63, x1 = 9/2 y x2 = 7/2 , la cual no es entera. El

algoritmo de planos de corte cambia el conjunto del espacio de soluciones, de tal

forma que los puntos extremos apropiados llegan a ser factibles del programa original



Actividades de Auto-evaluación de la Unidad Didáctica IV:


Resolver el siguiente ejercicio.


Método planos cortantes, el cual reforzará los contenidos vistos hasta

el momento.


77

Actividad de Evaluación de la Unidad Didáctica IV:




Unidad Didáctica V

Redes de distribución

Introducción:

En esta unidad, se desarrollan contenidos de las redes de distribución, permitiendo la

resolución por medio de algoritmos de manera óptima, cuyos conocimientos le

servirán en la carrera.

Objetivo de la Unidad Didáctica V:

Evaluar la resolución de problemas de redes de distribución, aplicando algoritmos de

solución para su análisis cuantitativo y planteamiento de la opción óptima, para la toma

de decisiones con ética profesional.

Organizador Gráfico de la Unidad didáctica V:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDÁCTICA V:

Actividad de Aprendizaje 1 de la Unidad Didáctica V:

Tema 1:

DEFINICIÓN

El problema del transporte o distribución, es un problema de redes especial en

programación lineal que se funda en la necesidad de llevar unidades de un punto

específico llamado fuente u origen hacia otro punto específico llamado destino. Los

principales objetivos de un modelo de transporte son la satisfacción de todos los

requerimientos establecidos por los destinos, y claro está, la minimización de los

costos relacionados con el plan determinado por las rutas escogidas.

Red de Distribución

Definición

Algoritmo de solución


79

El contexto en el que se aplica el modelo de transporte es amplio y puede generar

soluciones atinentes al área de operaciones, inventario y asignación de elementos.

El procedimiento de resolución de un modelo de transporte se puede llevar a cabo

mediante programación lineal común, sin embargo, su estructura permite la creación

de múltiples alternativas de solución tales como la estructura de asignación o los

métodos heurísticos más populares como Vogel, Esquina Noroeste o Mínimos Costos.

Los problemas de transporte o distribución son uno de los más aplicados en la

economía actual, dejando como es de prever múltiples casos de éxito a escala global

que estimulan la aprehensión de los mismos.

El objetivo general consiste en hallar el mejor plan de distribución de unidades por

cada una de las rutas, desde los orígenes hasta los lugares de demanda con el menor

esfuerzo (costo) o bien con el mayor beneficio (utilidad).

El problema de red de distribución se sujeta a las necesarias restricciones de:

1. Disponibilidad u oferta (=<) de unidades a suministrar en los nodos de origen.

2. Los envíos se sujetan al uso de rutas especificadas.

3. Cumplir o exceder (=>) la demanda de bienes en nodos destino y transbordo

Una red de distribución se construye con tantos nodos ( i ) como lugares de oferta se

tengan y tantos nodos ( j ) como lugares de demanda. También debe conectarse con

ramas, con o sin flecha, entre los pares de nodos que convenga para las rutas válidas.

Cada uno de los nodos y ramas deben tener los valores que informan (oferta,

demanda, capacidad, costo), sobre el estado de la red estudiada..



La red de distribución más aplicada se conoce como problema de transporte simple

en que se busca el costo mínimo de transporte directo al llevar mercancías desde

lugares origen hasta lugares destino (sin transbordos); pero el modelo se puede

extender de manera que se aplique en situaciones en que no hay flujos, como el

control de inventario en áreas de producción; también en programación del empleo y

asignación de personal a funciones y tareas.

Problema de Transporte simple

El problema de transporte simple es un caso especial de la programación lineal, pues

la estructura matemática que lo representa, resulta en un modelo cuyas restricciones

tienen términos de coeficientes 1, lo cual ha permitido el desarrollo del algoritmo de

solución basado en el simplex pero simplificado, logrando así mayor eficiencia en labor

de cálculo.

Es aplicable en la distribución de bienes de consumo, de servicios eléctrico y de agua,

en la asignación de equipo a la producción; también tiene aplicaciones de otra

naturaleza como es, el inventario industrial o la asignación uno a uno, de ahí la

importancia del modelo.


81

Cuadro de Transportación (modelo de transporte) Es un caso especial de problema de programación Lineal, en el que todos los coeficientes de las variables en las restricciones tienen coeficiente uno (1), esto es: ai j = 1 ; para todo i , para todo j

De donde:

Disponibilidad = Requerimiento Oferta = Demanda



Planteamiento de matrices


83



ALGORITMO DE SOLUCIÓN

1. Construya una tabla de ofertas (disponibilidades) y demandas (requerimientos). 2. Empiece por la esquina noroeste. 3. Asigne lo máximo posible (Lo menor entre la oferta y la demanda, respectivamente)


85

4. Actualice la oferta y la demanda y rellene con ceros el resto de casillas (Filas ó Columnas) en donde la oferta ó la demanda haya quedado satisfecha. 5. Muévase a la derecha o hacia abajo, según haya quedado disponibilidad para asignar. 6. Repita los pasos del 3 al 5 sucesivamente hasta llegar a la esquina inferior derecha en la que se elimina fila y columna al mismo tiempo. La regla: No elimine fila y columna al mismo tiempo, a no ser que sea la última casilla. El romper ésta regla ocasionará una solución en donde el número de variables básicas es menor a m+n-1, produciendo una solución básica factible degenerada


87

Actividades de Auto-evaluación de la Unidad Didáctica V:


1 Una compañía tiene 3 almacenes con 15, 35 y 5 artículos disponibles

respectivamente. Con estos productos disponibles, desea satisfacer la demanda de

La empresa “Químicos del Caribe S.A.” posee cuatro depósitos de azufre

que deben ser usados para fabricar 4 tipos de productos diferentes (A, B, C,

D) , además por cada litro que se haga de los productos A, B, C, D se utiliza

un litro de azufre, se sabe que las capacidades de cada deposito son de 100l,

120l, 80l, 95l respectivamente. La empresa tiene un pedido de 125l de la

sustancia A, 50l de la sustancia B, 130l de la sustancia C y 90l de la sustancia

D. los costos que relacionan la producción de cada químico con cada

deposito se presenta a continuación:


Redes de Distribución, el cual reforzará los contenidos vistos hasta

el momento.



cuatro clientes que quieren 5, 15, 15 y 10 unidades respectivamente. Elabore el

diagrama de transporte que satisfaga la demanda a mínimo costo de transporte

2. Una empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de generación para

satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá, Medellín y

Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW

al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá, Medellín y

Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al día respectivamente

Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las necesidades de

todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte (método

de esquina nor occidental).

3. 4 agencias ordenan autos nuevos que deben llegar desde 3 plazas, la agencia A

necesita 6 autos, la agencia B requiere de 5, la agencia C 4 y la D requiere 4.

La planta 1 tiene 7 autos en stock, la planta 2 tiene 13 y la planta 3 tiene 3 Elabore un

diagrama de transporte de tal manera que sea posible satisfacer todos los

requerimientos a mínimo costo.

Actividad de Evaluación de la Unidad Didáctica V:



89

BIBLIOGRAFIA

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México. Mc Graw Hill.

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Asignatura: Investigación Operativa Docente: Lcdo. José Cún...

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