ASIGNATURA FISICA II AÑO 2012 GUÍA NRO. 4 CONDUCTORES EN EQUILIBRIO ELECTROSTÁTICO CAPACIDAD Y DIELECTRICOS Bibliografía Obligatoria (mínima) Capítulo 26 Física de Serway – Tomo II Apunte de la cátedra: Capítulos V y VI

PREGUNTAS SOBRE LA TEORIA Las “preguntas sobre la teoría” pretenden desarrollar en el alumno la habilidad de expresar con sus propias palabras los conceptos fundamentales de la Guía. Es necesario tratar de responderlas para poder abordar la resolución de los “problemas” y contestar las “cuestiones”. 1-Comente la siguiente aseveración: “los materiales conductores poseen electrones libres

mientras que los no conductores o aislantes no”

2-Distinga entre “carga libre” y “carga neta”.

3-¿Cómo se distribuye la carga libre en un conductor sumergido en un campo eléctrico? ¿Se

polariza?

4-¿Cómo se distribuye la carga neta en un conductor?

5-Explique por qué en un conductor en “condiciones de equilibrio electrostático” deben

cumplirse las siguientes condiciones:

-Campo eléctrico nulo en su interior

-Potencial eléctrico constante en todos sus puntos

-Líneas de campo eléctrico perpendiculares en su superficie

6-¿Qué valores relativos toma la densidad superficial de carga en un conductor irregular

que presenta por tanto distintos radios de curvatura en su superficie?

7-Definir la capacidad eléctrica de dos conductores enfrentados.

8-Describa los pasos a seguir para hallar la capacidad eléctrica de dos conductores

enfrentados.

9-Expresión de la capacidad equivalente de capacitores conectados en serie y en paralelo.

10-Expresiones de la energía acumulada en un capacitor.

11-Expresión de la energía por unidad de volumen acumulada en el campo eléctrico.

12-Comente el fenómeno de polarización de un dieléctrico en el seno de un capacitor.

13-Desarrolle los conceptos de:

-Susceptibilidad eléctrica

-Polarización eléctrica

-Constante dieléctrica

-Permitividad de un material dieléctrico

14-Defina rigidez dieléctrica y potencial de ruptura.

15-Unidades de: capacidad eléctrica, susceptibilidad eléctrica, polarización eléctrica,

constante dieléctrica, permitividad de un material dieléctrico.

PROBLEMAS Resolver los “problemas” implica la aplicación de conceptos o leyes que forman parte de la Guía a situaciones concretas.

1-Para una esfera conductora de radio “a” con carga neta Q uniformemente distribuida,

hallar:

a) el campo eléctrico y el potencial eléctrico en todo punto del espacio

b) su capacidad eléctrica

2-Dos esferas con radios a y b reencuentran cargadas con Q1 y Q2 respectivamente.

Hallar el potencial y la densidad superficial de carga de cada una de éstas.

Si ambas se ponen en contacto la carga se distribuye de modo que el potencial sea el mismo

en ambas esferas, hallar: el potencial final y la densidad de superficial de carga en cada una.

3- Las dos esferas conductoras concéntricas de radios “a” y “b” mostradas en la figura

poseen cargas Q1 y Q2 respectivamente.

Hallar el campo eléctrico y el potencial en todo punto del espacio.

Analizar los casos particulares: a) Q1 =0

b) Q2 = 0

4- La esfera conductora de paredes gruesas de la figura, de radios menor “a” y mayor “b”,

presenta un exceso de carga positiva igual a Q. Hallar el campo eléctrico y el potencial

eléctrico en todo punto del espacio

¿Cómo cambian los resultados si se coloca en el centro de la cavidad del conductor una

carga puntual de -Q?

5- Se tiene dos placas conductoras paralelas con igual módulo de densidad de carga (igual

signo en el caso a y distinto signo en el caso b). Hallar el campo eléctrico en las tres

regiones indicadas en las figuras.

6- Hallar la capacidad en el vacío de un capacitor compuesto por dos esferas concéntricas

de radios “a” y “b” respectivamente.

7- Hallar la capacidad en el vacío de un capacitor compuesto por dos cilindros coaxiales de

altura h y radios “a” y “b” respectivamente

8- Hallar la capacidad equivalente de la siguiente configuración de capacitores.

Si la diferencia de potencial entre A y B es de 20 V ¿cuál será la carga y la diferencia de

potencial en cada uno de los capacitores?

C1 = 10-8

F

C2 = 10-9

F

C3 = 2 .10-8

F

C4 = 10-8

F

C5 = 2 .10-9

F

C6 = 10-9

F

9- A un capacitor de placas planas y paralelas de 0,1 m2 y d = 5 mm, con dieléctrico aire, se

le aplica una diferencia de potencial de 250 V. Hallar:

a) la capacidad

b) la carga en cada placa

c) el campo eléctrico

d) la energía acumulada

e) la energía acumulada por unidad de volumen

10- Para los capacitores de placas planas y paralelas en cuyo interior se ha colocado

dieléctricos tal como se muestra en las siguientes figuras, hallar la capacidad

11- Dos capacitores de igual capacidad se encuentran conectados en paralelo, cargados a

una diferencia de potencial V1 y aislados de la fuente de tensión. Luego se introduce un

dieléctrico de constante K, en uno de los capacitores de modo que lo llena completamente.

Hallar:

a) la tensión final V2 en los capacitores

b) la cantidad de carga que pasa de un capacitor al otro

12- Resulta necesario disponer de un capacitor de 2.10-8

F que se verá sometido a una

diferencia de potencial de trabajo máxima de 250 V. Se dispone para su construcción de

placas planas de cobre y un material dieléctrico de constante dieléctrica K = 2,5.¿Cuáles

serán las dimensiones del capacitor si la rigidez dieléctrica es de 2.105 N/C?

13- En el interior de un capacitor plano de placas planas y paralelas de área A y distancia

entre placas d, en el vacío, se introduce una placa de cobre de espesor “x”, colocada en el

centro.

a) ¿Cuál es la capacidad del sistema?

b) ¿Qué ocurre si la placa no se coloca en el centro?

14- Dos capacitores se cargan con el circuito de la figura a), luego se saca la fem y se

conectan como muestra la figura b)

Hallar, para ambas figuras, la carga y la diferencia de potencial de cada uno de ellos:

C1 = 10-6

F

C2 = 2.10-6

F

ε0 = 10V

15- Dos capacitores se cargan con el circuito de la figura a), luego se saca la fem y se

conectan como muestra la figura b)

Hallar, para ambas figuras, la diferencia de potencial y la carga final de cada uno de ellos

C1 = 10-6

F

C2 = 2.10-6

F

ε0 = 10V

CUESTIONES Contestar las “cuestiones” implica la aplicación de conceptos o leyes que forman parte de la Guía a situaciones concretas.

1-El resultado de campo eléctrico cero en el interior de un conductor en equilibrio ¿puede

deducirse a partir de la Ley de Gauss?

2-Un conductor ¿tiene electrones libres sólo si tiene una carga negativa en exceso?

3-Si la carga neta sobre un conductor es cero ¿la densidad de carga debe ser cero en todos

los puntos de la superficie?

4-En todos los puntos de una misma superficie equipotencial ¿el módulo del campo

eléctrico tiene el mismo valor?

5- El campo eléctrico ¿es ortogonal en todo punto a una superficie equipotencial?

6- El potencial eléctrico ¿es constante en el interior de un conductor en condiciones

electrostáticas?

7- La densidad de carga superficial ¿es constante en un conductor en condiciones

electrostáticas?

8- El campo eléctrico en la superficie ¿es mayor en la proximidad de las puntas en un

conductor en condiciones electrostáticas?

9- El potencial en la superficie ¿es mayor en la proximidad de las puntas en un conductor en

condiciones electrostáticas?

10-Si un conductor está completamente rodeado por otro exterior y ambos se ponen en

contacto eléctrico ¿toda la carga situada originalmente en el conductor interior fluirá hacia

al exterior?

11- Puesto que la "jaula de Faraday" pone al abrigo de las influencias eléctricas

provenientes del exterior a los cuerpos que en ella se encuentran encerrados ¿protege

también de las influencias provenientes del interior a los cuerpos exteriores? Por

ejemplo, si se encierra en ella una carga eléctrica, ¿podrá un observador exterior detectar

el campo de esta carga?

a) si la jaula está aislada

b) si está conectada al suelo

12-Se considera tres esferas de igual radio R e igual carga eléctrica total, pero con

distribuciones diferentes :

Esfera 1 : densidad de carga uniforme en todo su volumen.

Esfera 2 : carga ubicada únicamente en la superficie con densidad superficial uniforme

Esfera 3 : densidad de carga en volumen decreciente monótonamente desde el centro hacia

la superficie de la esfera.

Compare :

a) el campo eléctrico a la distancia r = 2R del centro de cada esfera.

b) el campo eléctrico a la distancia r = R/2.

c) las energías potenciales electrostáticas de las tres esferas.

d) el potencial eléctrico en el centro de la tres esferas (tomando, como siempre, el origen de

los potenciales en el infinito)

13- Se sabe que el campo eléctrico en el interior de una cavidad cualquiera en el interior de

un conductor es idénticamente nulo. De la analogía entre la Ley de Coulomb y la Ley de

Newton de la gravitación ¿se puede concluir que el campo gravitatorio (es decir, la

aceleración de la gravedad) es siempre nulo en el interior de una cavidad cualquiera en una

masa de materia?

14- Demuestre que Faradio es equivalente a C2 / N.m

15- Se duplica la diferencia de potencial de un condensador ¿En que factor varía la energía

eléctrica almacenada?

16-Se elimina la mitad de la carga que posee un condensador ¿Que fracción de su energía

almacenada se ha eliminado junto con la carga?

17- ¿Se define la capacidad de un conductor como la cantidad total de carga que puede

alojar?

18-La capacidad de un capacitor de láminas plano-paralelas ¿depende de la diferencia de

tensión existente entre las placas?

19-La capacidad de un condensador de láminas plano-paralelas ¿es proporcional a la carga

situada en las placas?

20-La energía electrostática por unidad de volumen en un punto determinado ¿es

proporcional al cuadrado del campo eléctrico de dicho punto?

21- Se carga un capacitor plano bajo una cierta diferencia de potencial y después se

desconectan las dos armaduras. Si ahora se separan las placas (manteniéndose su separación

pequeña en comparación con su tamaño, de forma que los defectos de borde sean

despreciables) cada una de las cantidades siguientes ¿aumenta, disminuye o permanece

constante?

a) carga del capacitor

b) diferencia de potencial entre las armaduras

c) campo eléctrico

d) densidad de carga en la superficie de las armaduras

e) energía electrostática almacenada

APLICACIONES TECNOLOGICAS

Pararrayos

Capacitores. Distintos tipos y usos

Eliminación de la carga estática en vehículos

Jaula de Faraday

OBJETIVOS DE LA UNIDAD TEMATICA N° 4 (GUIA NRO 4)

Al finalizar esta unidad el alumno podrá:

Explicar las diferencias de comportamiento de un material conductor respecto de un no

conductor cundo se encuentran en presencia de un campo eléctrico (modelo de electrones

libres).

Demostrar, que en condiciones electrostáticas, la carga neta de un material conductor se

distribuye en la superficie del mismo.

Justificar que la distribución de carga en la superficie de un conductor determina un

volumen equipotencial, lo cual es equivalente al hecho de que las líneas de campo sean

perpendiculares a la superficie del conductor.

Demostrar que la conexión a un potencial de referencia (a "tierra" como caso particular)

determina el potencial del material y su distribución de carga.

Dar una interpretación correcta de los conceptos : capacidad electrostática de un conductor

y de un sistema de dos conductores.

Explicar la mutua influencia entre los conductores respecto de sus potenciales ,

demostrando la conveniencia de disponerlos muy próximos el uno del otro a fin de

acumular carga y describir las características y especificaciones del elemento apropiado

para esto: el capacitor.

Dado un sistema de dos conductores de elevada simetría podrá hallar su capacidad en

función de parámetros geométricos.

Relacionar la capacidad equivalente de capacitores conectados en serie o en paralelo con las

capacidades individuales de cada capacitor.

Explicar el fenómeno de polarización de un material dieléctrico en presencia de un campo

eléctrico y sus diferencias con un material conductor.

Comparar, para el caso de un capacitor con y sin dieléctrico, valores de : campo eléctrico,

diferencia de potencial y capacidad.

Definir la rigidez dieléctrica, tensión de ruptura y aplicar estos conceptos al diseño de

capacitores cuyas características específicas se hallan definido.

Emplear el concepto de energía y densidad de energía en un campo eléctrico en el caso de

presencia de dieléctricos.

Relacionar la susceptibilidad eléctrica con la naturaleza del material y definir a partir de

esta la constante dieléctrica y la permitividad del medio.

Aplicar los conocimientos adquiridos en el diseño de un capacitor.

Aplicar los conocimientos de esta unidad a la resolución de situaciones problemáticas para

diversas geometrías de conductores obteniendo las expresiones del campo o potencial

eléctricos.

Aplicar los conocimientos de esta unidad a la resolución de problemas del tipo de los

presentados en la Guía.

APÉNDICE MATEMÁTICO –GUIA NRO 4– FÍSICA II

Sistemas de ecuaciones lineales.

Un sistema general, con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma

normal como:

Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del

sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema separando con

coeficientes con notación matricial:

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector

columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de

sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

En esta sección se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el

cuerpo , es decir, los sistemas lineales en los coeficientes de las ecuaciones son números

reales.

Representación gráfica

La intersección de dos planos que no son paralelos ni coincidentes es una recta.

Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano

bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta, si

es lineal, o por una curva, si no lo es. La solución será el punto (o línea) donde se

intersequen todas las rectas y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún

punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible,

o lo que es lo mismo, no tiene solución.

En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional,

siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único

punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la

intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas

soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.

Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos

problemas no se enfocan desde esta óptica.

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden

presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

• Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.

• Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse

entre:

o Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.

o Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de

soluciones.

Quedando así la clasificación:

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que

se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un

conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas

compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de

una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista

algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de

la matriz es diferente de cero:

Sistemas compatibles indeterminados

Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número

infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es

y que pasa por el punto , por lo que ambas intersecan en todos los puntos de

dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero

es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.

• En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función

matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus

ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.

• Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de

la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de sus autovalores será 0):

• De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un

sistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio

vectorial coincidirá con la multiplicidad geométrica del autovalor cero.

Sistemas incompatibles

De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por

ejemplo, supongamos el siguiente sistema:

Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma

pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor

que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.

Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del

sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto

suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:

Método de Gauss para la solución a sistemas de ecuaciones lineales.

La eliminación de Gauss-Jordan, más conocida como método de Gauss, es un método

aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la

matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener

ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma

fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de

manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.

El Método de Gauss consiste en convertir un sistema normal de 3 ecuaciones con 3

incógnitas en uno escalonado, en la que la primera ecuación tiene 3 incógnitas, la segunda

ecuación tiene 2 incógnitas, y la tercera ecuación tiene 1 incógnita. De esta forma será fácil

a partir de la última ecuación y subiendo, calcular el valor de las tres incógnitas.

En primer lugar, reducimos la incógnita , sumando a la segunda fila, la primera

multiplicada por 3/2, y a la tercera, la primera fila. La matriz queda así:

El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita en la primera y tercera fila, para lo cual

les sumamos la segunda multiplicada por -2 y por-4, respectivamente.

Por último, eliminamos la , tanto de la primera como de la segunda fila, sumándoles la

tercera multiplicada por -2 y por 1/2, respectivamente:

Llegados a este punto podemos resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:

O, si lo preferimos, podemos multiplicar las tres filas de la matriz por: 1/2, 2 y -1

respectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las incógnitas en la última

columna.