INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

ESCUELA DE ELECTRICIDAD

EXTENSIÓN SAN FELIPE

Integrante:

Christian Rodriguez

5to Semestre

Escuela 70

SAN FELIPE JULIO 2013

RESPUESTA DE FRECUENCIA Y

TRAZAS DE BODE

Concepto de Respuesta en Frecuencia

El método de la respuesta en frecuencia puede ser menos intuitivo que otros métodos que se han estudiado anteriormente. Sin embargo, tiene ciertas ventajas, especialmente en situaciones reales como modelado de funciones de

transferencia a partir de datos físicos, ya que se especifica el comportamiento de la respuesta transitoria de una forma indirecta, es decir el comportamiento de la

respuesta transitoria se especifica en términos de margen de fase, el margen de ganancia y la magnitud del pico de resonancia . la frecuencia de cruce de ganancia, la frecuencia de resonancia y el ancho de banda y las constantes de

error estático aunque la correlación de las respuestas transitorias y la respuesta en frecuencia es indirecta, las especificaciones en el dominio de la frecuencias se

cumplen adecuadamente en el método de diagrama de bode.

La respuesta en frecuencia de un sistema puede verse de dos maneras distintas: vía el diagrama de Bode, o vía el Diagrama de Nyquist. Ambos métodos presentan la misma información; la diferencia radica en la manera en que se

presenta la información. Básicamente hay dos enfoques de diseños en el dominio de la frecuencia. Uno es el enfoque del diagrama polar y el otro es el enfoque del

diagrama de bode. Cuando se añade un compensador, el diagrama polar no conserva su forma original, por lo que es necesario dibujar un nuevo diagrama polar, lo cual lleva tiempo y por lo tanto, no es conveniente.

La respuesta en frecuencia es una representación de la respuesta del

sistema a entradas sinusoidales a frecuencia variable. La salida de un sistema lineal a una entrada sinusoidal es una sinusoide de la misma frecuencia pero con

distinta magnitud y fase. La respuesta en frecuencia se define como las diferencias de magnitud y fase entre las sinusoides de entrada y salida. En esta Guía, veremos cómo podemos usar la respuesta en frecuencia de un sistema a

lazo abierto para predecir su comportamiento a lazo cerrado. Si no se satisfacen las especificaciones del margen de fase y del margen de ganancia. Se determina

un compensador adecuado.

Para graficar la respuesta en frecuencia, creamos un vector de frecuencias (entre cero o "DC" e infinito) y calculamos el valor de la función de transferencia de la planta a estas frecuencias. Si G(s) es la función de transferencia de un sistema

a lazo abierto y w es el vector frecuencia, grafiquemos entonces G(j*w) vs. w. Como G(j*w) es un número complejo, podemos graficar su magnitud y fase

(diagrama de Bode) o su posición en el plano complejo (diagrama de Nyquist). Se dispone de mayor información en planteo de la respuesta en frecuencia.

Concepto de Bode

Un diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para

caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de dos

gráficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha función y otra

que corresponde con la fase. Recibe su nombre del científico estadounidense que

lo desarrolló, Hendrik Wade Bode. El diagrama de magnitud de Bode dibuja el

módulo de la función de transferencia (ganancia) en decibelios en función de la

frecuencia (o la frecuencia angular) en escala logarítmica.

Se suele emplear en procesado de señal para mostrar la respuesta en

frecuencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo Permite evaluar el

desplazamiento en fase de una señal a la salida del sistema respecto a la entrada

para una frecuencia determinada. Por ejemplo, tenemos una señal Asin (ωt) a la

entrada del sistema y asumimos que el sistema atenúa por un factor x y desplaza en

fase −Φ. En este caso, la salida del sistema será (A/x) sin(ωt − Φ). Generalmente,

este desfase es función de la frecuencia (Φ= Φ(f)); esta dependencia es lo que nos

muestra el Bode. En sistemas eléctricos esta fase deberá estar acotada entre -90° y

90°.

Si la función de transferencia es una función racional, entonces el diagrama de

Bode se puede aproximar con segmentos rectilíneos. Estas representaciones

asintóticas son útiles porque se pueden dibujar a mano siguiendo una serie de

sencillas reglas (y en algunos casos se pueden predecir incluso sin dibujar la gráfica).

Esta aproximación se puede hacer más precisa corrigiendo el valor de las frecuencias

de corte (“diagrama de Bode corregido”).

El uso de cálculo logarítmico nos va a permitir simplificar funciones del tipo

A un simple sumatorio de los logaritmos de polos y ceros:

Supongamos que la función de transferencia del sistema objeto de estudio viene dada

por la siguiente transformada de Laplace:

Donde , e son constantes.

Las normas a seguir para dibujar la aproximación del Bode son las siguientes:

En los valores de pulsación correspondientes a un cero ( ) se tiene

que aumentar la pendiente de la recta un valor de por década.

en los valores de pulsación correspondientes a un polo ( ) se tiene

que disminuir la pendiente de la recta un valor de por década.

el valor inicial se obtiene poniendo el valor de frecuencia angular inicial ω en la

función y calculando el módulo |H(jω)|.

el valor de pendiente de la función en el punto inicial depende en el número y

orden de los ceros y polos en frecuencias inferiores a la inicial; se aplican las

dos primeras reglas.

Para poder manejar polinomios irreducibles de segundo grado ( )

se puede en muchos casos aproximar dicha expresión por .

Nótese que hay ceros y polos cuando ω es igual a un determinado o . Eso

ocurre porque la función en cuestión es el módulo de H(jω), y como dicha función es

compleja,

.

Por ello, en cualquier lugar en el que haya un cero o un polo asociado a un

término , el módulo de dicho término será.

.

Trazas de Bode

Trazas de esquina o trazas asintóticas

El diagrama de Bode ha recibido también los nombres de trazas de

esquinas o trazas asintóticas ya que las trazas de Bode se pueden construir

empleando aproximaciones en línea recta que son asintóticas a la gráfica real. En

términos simples las trazas de Bode tienen las siguientes características:

1. El diagrama de bode consta de dos trazados los mismos que están

representados en función de la frecuencia en escala logarítmica.

Diagrama del logaritmo del módulo de una función de transferencia

Diagrama del ángulo de fase

2. La representación común de la magnitud logarítmica de G (jw) es 20logG (jw),

donde la base del logaritmo es 10. En la representación logarítmica se dibujan con

escala logarítmica para la frecuencia y la escala para cualquier magnitud (en

decibelios) o el ángulo de fase (en grados).

3. En los diagramas de Bode, las razones de frecuencia se expresan en términos

de octavas o décadas.

a. Una octava es una banda de frecuencia de w1 a 2 w1, donde w1 es

cualquier frecuencia.

b. Una década es una banda de frecuencia de w1 a 10 w1, donde w1 es

cualquier frecuencia.

4. Ya que la magnitud de G (jw) en las trazas de Bode se expresa en dB, los

factores de producto y división de G (jw) se vuelve adiciones y sustracciones,

respectivamente. Las relaciones de fase también son sumadas y restadas entre sí

de manera algebraica como se indicó en la propiedad de los logaritmos expuesta

al principio del ensayo.

5. La gráfica de magnitud de las trazas de Bode de G (jw) se puede aproximar

mediante segmentos de línea recta, lo que permite el simple bosquejo de las

trazas sin cálculos detallados.

6. El diagrama de Bode de una función de transferencia G(s), que contiene varios

ceros y polos, se obtiene sumando la gráfica debida a cada polo y cero

individuales. La magnitud asintótica total se puede dibujar sumando las asíntotas

debidas a cada factor. La característica de fase total, ϕ (w), se obtiene sumando la

fase debida a cada factor.

7. El diagrama de Bode de un factor de cero (1+jwτ) se obtiene de la misma forma

que para el del polo. Sin embargo, la pendiente es positiva en 20 dB/década y el

ángulo de fase es ϕ (w)=tan-1wt.

8. Ya que la aproximación en línea recta de las trazas de Bode es relativamente

fácil de construir, los datos necesarios para otras trazas en el dominio de la

frecuencia, tales como la traza polar y la traza de magnitud-fase, pueden ser

fácilmente generados a partir de las traza de Bode.

Ventajas de las trazas de Bode

En ausencia de una computadora, las trazas de Bode se pueden bosquejar

por la aproximación de magnitud y fase con segmentos de línea recta.

El cruce de ganancia, el cruce de fase, el margen de fase se determinan

más fácilmente en las trazas de Bode que en la traza de Nyquist.

Para propósitos de diseño, los efectos de añadir controladores y sus

parámetros se visualizan con mayor facilidad sobre las trazas de Bode que

sobre la traza de Nyquist.

La ventaja principal de utilizar el diagrama de Bode es que la multiplicación

de magnitudes se convierte en suma.

Cuenta con un método simple para dibujar una curva aproximada de

magnitud logarítmica

Desventajas de las trazas de Bode

La estabilidad absoluta y relativa de sistemas de fase mínima se puede

determinar desde las trazas de Bode.

No es posible dibujar las curvas hasta frecuencia cero, debido a la

frecuencia logarítmica (log 0=-∞).

Trazas de Bode

Resumiendo las trazas de bode estudiados:

Pasos para construir un diagrama de bode.

EJEMPLO: trace un diagrama de bode para la siguiente función de transferencia.

PASO N°1: Se pone G(jw) en forma normalizada, donde los factores de primer

orden y el factor de segundo orden están en línea con 0db

PASO N°2: Identificar los factores que componen la función.

Compuesta por:

PASO N°3: Hallar las Frecuencias de corte según el factor.

Paso N°4: Se hallan los valores aproximados de cada uno de los factores de la

func

PASO N° 5: Se grafica cada una de las funciones independientemente.

PASO N°6: La función de transferencia G(jw) resulta de la suma de las funciones

Para diagramas de ángulo de fase se procede de la misma

manera.

Ejemplos realización de diagramas de bode N°1

Separando cada uno de los factores y determinando su contribución según la

frecuencia se tiene la siguiente lista.

A partir de allí se construye el diagrama partiendo a baja frecuencia y

añadiendo factor por factor a medida que van apareciendo sus contribuciones

Ejemplos realización de diagramas de bode N°2

A partir de allí se construye el diagrama partiendo a baja frecuencia y añadiendo factor por factor a medida que van apareciendo sus contribuciones.

Análisis de Estabilidad utilizando el Diagrama de Bode

Sea el sencillo bucle de retroalimentación. La función de transferencia de

lazo abierto de este bucle es:

GOL = K

El criterio de estabilidad de Bode se basa en abrir el bucle e introducir una función sinusoidal para poder estudiar el comportamiento del sistema. En primer

lugar se abre el bucle y se introduce una señal sinusoidal de amplitud M y frecuencia angular ω:

ysp(t) = ε(t) = M sen ωt

Por tanto:

y(t) = KM sen ωt

Ya que,

y(s) = GOL ysp(s)

Una vez introducida la señal sinusoidal se cierra el bucle y se devuelve la consigna a su valor inicial ysp = 0. Entonces,

ε(t) = − KM sen ωt = KM sen (ωt − 180◦)

Análisis Criterio de estabilidad de Bode:

La siguiente figura resume el concepto de estabilidad absoluta en un

sistema identificado con una función de transferencia Gs y un controlador con una

función de transferencia Gc. Rompiendo el lazo cerrado y aplicando una señal

senoidal A y consigna U igual a cero, se transmite por el otro extremo una señal B

que es opuesta a la realimentación o señal de medida Y, ya que Y cambia de

signo en el nudo de señales. En estas condiciones, el sistema convierte la señal A

en otra señal Y que tendrá un determinado retraso de fase. Si el retraso de Y

respecto de A no puede llegar a 180º para ninguna frecuencia, entonces puede

cerrarse el lazo, uniendo B con A, sin que las oscilaciones aumenten, porque B

también tendrá desfase respecto de A y por lo tanto se amortiguan en un cierto

grado, es decir, el sistema consume energía y las oscilaciones disminuyen. Por el

contrario, si el retraso de Y respecto de A sí puede llegar a 180º, entonces las

señales A y B no tendrán desfase, tal como vemos en la figura. En estas

condiciones, la estabilidad depende de la amplitud de la señal Y o la de B, que

serán iguales. Si la amplitud de B es menor que la de A y se cierra el lazo,

resultará un sistema estable, porque la señal A irá perdiendo amplitud, ya que se

iguala con B. Al contrario, si la amplitud de B es mayor o igual que la de A,

resultará un sistema inestable, porque la señal A se mantiene o se incrementa, ya

que se iguala con B.

Es verdad que pueden evitarse señales con una frecuencia tal, que el

retraso no alcance los 180º, pero en la práctica no es aceptable porque toda señal

es siempre una superposición de muchas otras, llamadas armónicos, de modo que

alguna de ellas puede coincidir o acercarse demasiado a la frecuencia que lo

inestabiliza, ese armónico será amplificado por el sistema y terminará dominando

la respuesta. Tampoco ha de olvidarse la influencia de perturbaciones ajenas al

sistema.

Este concepto de estabilidad absoluta solo nos dice si el sistema es estable

o no lo es, pero no nos aporta una medida de la estabilidad. Con los diagramas de

Bode también se puede determinar la estabilidad relativa como se representa en la

siguiente figura. Se conoce como frecuencia de corte (en lazo abierto) a la

frecuencia con la que se anula el módulo (expresado de decibelios), o, lo que es

igual, a la frecuencia con la que la ganancia es igual a 1, ya que el logaritmo de 1

es cero. Con frecuencias mayores a la de corte, el módulo es negativo y la

ganancia menor de 1, de modo que el sistema atenúa las oscilaciones de

frecuencias mayores a la de corte. Si el retraso de 180º se alcanza a mayor

frecuencia que la de corte, entonces el sistema es estable porque, como se acaba

de decir, la ganancia es menor de 1. El margen de fase y el margen de ganancia,

marcados en la figura, son una medida de la estabilidad relativa y miden,

respectivamente, el número de grados y el número de decibelios que faltan para

llegar a la inestabilidad. En el ejemplo representado como inestable, se observa

que con el retraso de 180º tenemos un módulo mayor que cero, por lo que la

ganancia será mayor de 1 y si se cierra el lazo (uniendo B con A como en la figura

anterior) aumentarán las oscilaciones.

En lazo cerrado se denomina "banda pasante" al intervalo de frecuencias

entre las que el sistema mantiene buena ganancia, concretamente se corresponde

con una pérdida en módulo de 3 dB. En esta banda de frecuencias responde con

rapidez a las exigencias de control y lógicamente, interesa que la banda pasante

sea grande para que mantenga la capacidad de reaccionar con altas frecuencias.

La banda pasante (en lazo cerrado) coincide aproximadamente con la frecuencia

de corte (en lazo abierto), por lo tanto, aumentar la frecuencia de corte significa

aumentar la velocidad de respuesta del sistema. Sin embargo, a medida que se

aumenta la frecuencia de corte disminuyen los márgenes de fase y de ganancia,

acercándose a la inestabilidad.

Para mejorar la respuesta se necesita, en consecuencia, aumentar la

frecuencia de corte a la vez que se disminuye el retraso de fase, de forma que el

módulo siempre sea menor de cero cuando se alcance el retraso de 180º. En el

siguiente tema veremos los diferentes bloques o comportamientos que

caracterizan a todo sistema y a cualquier regulador. Cada bloque tiene su propio

diagrama de Bode característico, de forma que podemos configurar el regulador o

controlador con los bloques que mejor se adapten para mejorar la respuesta del

sistema. Como el controlador y el sistema estarán en serie, sus correspondientes

diagramas de Bode pueden sumarse, lo que permite probar diferentes

configuraciones de control hasta alcanzar el objetivo: Aumentar la frecuencia de

corte y disminuir el retraso de fase sin que se pierda la estabilidad. Para garantizar

en la práctica un comportamiento satisfactorio, el margen de fase debe estar entre

30º y 60º y el margen de ganancia ser superior a 6 dB.