Modelo de Programación Binaria para optimizar la programación de autobuses en una ruta de transporte urbano de pasajeros

Efraín R. Murillo Quispe

Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa - Facultad de Ingeniería de Producción y Servicios. Av. Independencia S/N. Arequipa-Perú

efrainmurillo@gmail.com

Abstrac

Today in day the companies of passengers' Urban Transport in the Peru, suffer diverse problems, inside which has special importance those of vehicular congestion, we can mention this way the problem of the daily, weekly and monthly programming of the buses assigned to a route of passengers' of a city urban transport, originating lazy capacity of the vehicular units, vehicular congestion and operation costs and elevated maintenance. In this work we look for to optimize the daily, weekly and monthly programming of the buses assigned to a route of passengers' of a city urban transport, that which will allow to minimize the lazy capacity of this vehicular units, to minimize the excess of buses in hours of little demand of the service of transport and to reduce the operation costs and maintenance of the company. For we implement it a model of mathematical programming that uses the concepts of lineal programming, binary programming and programming of goals, using specialized software for the solution due to the high number of variables of the mathematical pattern. The opposing results have demonstrated the efficiency of the solutions in applications to real cases of different routes of transport, demonstrating this way the great utility of the mathematical modelamiento in the taking of decisions in companies of the urban transport of passengers, always looking for the client's satisfaction.

Keywords: Programming of buses, Optimization, binary Programming, Programming of goals.

Resumen

Hoy en día las empresas de Transporte Urbano de pasajeros en el Perú, sufren diversos problemas, dentro de los cuales tiene especial importancia los de congestión vehicular, así podemos mencionar el problema de la programación diaria, semanal y mensual de los autobuses asignados a una ruta de transporte urbano de pasajeros de una ciudad, originando capacidad ociosa de las unidades vehiculares, congestión vehicular y costos de operación y mantenimiento elevados. En este trabajo buscamos optimizar la programación diaria, semanal y mensual de los autobuses asignados a una ruta de transporte urbano de pasajeros de una ciudad, lo cual permitirá minimizar la capacidad ociosa de dichas unidades vehiculares, minimizar el exceso de autobuses en horas de poca demanda del servicio de transporte y reducir los costos de operación y mantenimiento de la empresa. Para ello implementamos un modelo de programación matemática que utiliza los conceptos de programación lineal, programación binaria y programación de metas, utilizando software especializado para la solución debido al elevado número de variables del modelo matemático. Los resultados encontrados han demostrado la eficiencia de las soluciones en aplicaciones a casos reales de diferentes rutas de transporte, demostrando así la gran utilidad del modelamiento matemático en la toma de decisiones en empresas del transporte urbano de pasajeros, buscando siempre la satisfacción del cliente.

Palabras clave: Programación de autobuses, Optimización, Programación binaria, Programación de metas.

Área Temática: Gestión de Operaciones, Logística y Transporte.

1 Introducción

Un hecho empírico, sobre el que existe consenso en la literatura, es que la congestión urbana es un problema propio de las ciudades que sobrepasan cierto tamaño, sean estas ciudades de países desarrollados o en vías de desarrollo. La programación de una flota de vehículos, en una ruta de transporte urbano de pasajeros, constituye un problema gerencial de elevada complejidad. En condiciones reales la flota es heterogénea y las líneas son diferentes entre sí, además de una demanda del servicio variable durante el día. En un nivel operacional, este problema consiste en realizar la programación de las unidades asignadas a una ruta específica durante el día y para un tiempo previamente determinado, tomándose en consideración la capacidad de cada vehículo, la demanda del servicio y el intervalo de tiempo de espera en el paradero.

La importancia del presente trabajo es desarrollar a través de sus diferentes etapas: análisis, diseño, programación e implementación, un modelo matemático para el apoyo a la toma de decisiones en el análisis de la programación de autobuses que pueda ser empleado por las empresas del sector en nuestro medio con el objeto de racionalizar el uso de las unidades vehiculares disponibles para el servicio de transporte de pasajeros y a la vez optimizar el servicio hacia los usuarios.

La presente investigación se justifica ya que uno de los mayores problemas que afrontan los tomadores de decisiones es el casi imposible acceso a ciertas técnicas cuantitativas muy especiales, en parte por la no extensión de su conocimiento y en mayor grado por estar dispersas en publicaciones y bibliotecas diversas. Por lo tanto el diseño de un modelo matemático para el análisis de la programación de autobuses en las empresas de transporte urbano de pasajeros en ciudades de tamaño medio, simple pero eficaz adquiere cada vez mayor importancia en la aplicación de soluciones informáticas para la toma de decisiones.

El resto de éste trabajo está organizado de la siguiente manera: En la sección 2 se muestra el Estado de Arte, La sección 3 describe la contribución del trabajo al sector transporte, La sección 4 muestra los experimentos numéricos y finalmente se alcanzan las conclusiones del trabajo y las referencias.

2 Estado de arte

El problema del transporte público en el Perú es un factor de preocupación constante de los reguladores públicos. En la práctica, la gran mayoría del transporte de pasajeros en el Perú utiliza el autobús. No es difícil observar que un buen pla -neamiento en el uso de la flota de autobuses es necesario de modo que los costes implicados con la administración del sistema del transporte público sean lo menor posible.

A lo largo del tiempo, algunos autores vienen invirtiendo gran parte de su tiempo en el estudio del problema del trans -porte público a través del autobús, con el objetivo de facilitar la toma de las decisiones de los administradores. Éste es también el objetivo del trabajo desarrollado aquí.

El tipo de problema que será tratado en esta investigación, es de optimización combinatoria [6] cuyo sistema de soluciones es de tipo discreto. Los problemas de optimización combinatoria se pueden representar genéricamente de la forma siguiente:

Máx Z(x) (1)s.a. x S (2)Donde: - S X es el conjunto de todas las soluciones viables;

- x X es una solución del problema de optimización combinatorio;- z(x) es la función a ser optimizada.

Si la solución x* satisface (2) y z(x*)z(x) para todo el xS, entonces la solución x* es llamada solución óptima de (1). Esta solución óptima, en muchos casos, no es única.

En las últimas décadas, la comunidad científica ha asistido al nacimiento de la disciplina conocida como Ciencias de la Computación que siendo inicialmente una rama de la Matemática aplicada, encontró su propio espacio de investigación y se definió posteriormente como una nueva área de la ciencia. Esta disciplina experimentó un vertiginoso ascenso desde su nacimiento, contándose en la actualidad como una de las áreas con mayor actividad y desarrollo. Una de las ramas de mayor importancia y crecimiento dentro de las Ciencias de la Computación es el conjunto de actividades conocidas como Ínvestigación Operativa que, por su impacto y resultados concretos en la industria y en otros ámbitos, se ha transformado en uno de los pilares de esta nueva ciencia. Dentro de la Investigación Operativa, la Optimización Combinatoria es una de las actividades más importantes.

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La Optimización Combinatoria es un área dentro de la Investigación Operativa, que se encarga de buscar la mejor solución en problemas discretos (es decir, en los que participa una cantidad finita de elementos). La planificación de actividades industriales, la organización del recorrido de vehículos, la organización de actividades y la búsqueda de esquemas de producción, entre otras, son posibles gracias a la participación de la Optimización Combinatoria.

En cuanto a los tipos de modelos de optimización [1] [3] y [7], podemos decir que existe amplia variedad de modelos asociados con sistemas reales existentes da origen a un número correspondiente de técnicas de solución. De aquí que se utilicen los nombres conocidos de programación lineal, entera, binaria, dinámica y no lineal que se representan mediante algoritmos para resolver clases especiales de modelos IO. En la mayoría de las aplicaciones de investigación de operaciones, se supone que la función objetivo y las restricciones del modelo pueden expresar en forma cuantitativa o matemática como funciones de las variables de solución. En este caso, decimos que tratamos con un modelo matemático.

En cuanto a las experiencias computacionales podemos decir que a partir de los años 70, surgieron los estudios en la producción de sistemas basados en los métodos mixtos, donde se combinan los métodos heurísticos y la programación matemática. Un ejemplo es el sistema de WinBUS 95 [6], el cual divide el problema del planeamiento operacional del transporte público en tres etapas: Asignación de vehículos, generación de escalas y distribución de las escalas entre los conductores.

En general el problema del planeamiento operacional del transporte urbano ha merecido una atención constante por parte de los administradores del sector, por tratarse de un problema de solución difícil. A pesar de este esfuerzo en desarrollarse modelos y sistemas de uso general, lo que viene dando mejores resultados hasta el momento son los modelos de aplicación más específicos, como aquellos desarrollados para ciudades de tamaño medio o para las mismas empresas del sector.

3 Contribución

En el modelo propuesto se presenta la formulación matemática de programación binaria para programar las unidades distribuidas a una ruta específica del transporte urbano de pasajeros de ciudades de tamaño medio Fig. 1., de tal manera que se asignen las unidades en sus horarios respectivos durante el transcurso del día. Este modelo de programación de los vehículos genera una solución viable que puede ser la óptima o por lo menos una buena solución.

Fig. 1. Líneas urbanas en ciudades de tamaño medio.

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3.1 Descripción del Modelo

El modelo que se va a formular, tendrá como objetivo central la minimización de la capacidad ociosa de la flota de vehículos asignados a dicha ruta. Para lograr dicho objetivo, se tendrá que representar las interrelaciones que existen entre cada uno de los factores que comprende el sistema, para el modelo nos centraremos con cuatro factores importantes del sistema de transporte en estudio que generarán el conjunto de restricciones del modelo:

Demanda del Servicio, conformado por la cantidad de usuarios que solicitan el servicio a una determinada hora del día, su comportamiento es como se muestra en la figura 2.

Fig. 2. Demanda del Servicio de Transporte

Capacidad de realización de viajes (TV), conformado por el total de viajes realizados por cada una de las unidades durante el periodo de la programación, para lo cual se deberá determinar el número de viajes por día (3).

(3)

Donde:

(4)

Donde: DP es en número de días de la programación; VD es el número de vueltas que realiza un vehículo por día y Dj es la demanda de la hora j.

El número de vueltas por día (VD) se determina en función a la hora de inicio de la programación (hi) y la hora de finalización de la misma (hj).

Tiempo de programación por día = hi – hj

El tiempo de duración del viaje (tv) depende de la distancia recorrida en la ruta. Dicho tiempo se contabiliza desde que la unidad sale del paradero hasta que llega al mismo punto de partida.

Por lo tanto:

(5)

(6)

De otro lado se tiene que:

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(8)

Donde: CPi es la capacidad del vehículo i y N es el número de vehículos asignados a la ruta.

Oferta del servicio, conformada por la cantidad de unidades asignadas a la ruta y la capacidad individual de cada uni -dad.

Está determinada por el total de asientos disponibles para el servicio de transporte urbano. El total de asientos depende de la cantidad de vehículos de transporte urbano de pasajeros (sin considerar a taxis), destinados al servicio de una ruta específica (N), así como también de la capacidad de asientos de cada vehículo (CP).

Tiempo de espera del usuario, conformado por el tiempo que el usuario estaría dispuesto ha esperar en el paradero como máximo antes de abordar otro autobús.

Este tiempo depende del tiempo de duración del viaje (tv) y del número de vehículos asignados a la ruta (N).

(9)

Si se tiene que satisfacer un tiempo de espera máximo, entonces se deberá programar un número mínimo de vehículos por vuelta durante la programación (AV):

(10)

3.2 Formulación matemática

Consiste en definir los índices, parámetros y en especial las variables de decisión que define el modelo de programación binaria. En esta parte se responde a dos cuestiones importantes: la primera ¿Qué deseamos optimizar en el modelo? , Según las premisas dadas lo que deseamos es minimizar la capacidad ociosa del sistema y contamos con información conocida del modelo constituidas por los índices y los parámetros; la segunda cuestión es ¿Qué deseamos determinar en el modelo?, y la respuesta es la programación de las unidades en cada una de las horas del día en función a la demanda del servicio y estos lo conforman las variables de decisión [1] y [3]. Todos estos elementos son presentados a continuación:

a) Índices

i: Identifica al vehículo o autobúsi=1,2,3,...,NDonde N representa el número de autobuses asignados a una ruta específica.

j: Identifica el día de un periodo de programación (un periodo de programación puede ser una semana, una quincena, un mes, etc.)j=1,2,3,...,DPDonde DP representa el número de días de la programación.

k: Identifica la hora del día jk=hi, hi+1,hi+2,...,hjDonde hi representa la hora de inicio y hj la hora de finalización de la programación.Además hi+1 = hi + tv (donde tv es el tiempo de duración de una vuelta en horas).Suponiendo que el servicio de transporte empieza a las 6 horas y termina a las 21 horas y tv = 1, entonces se tiene:k=6, 7, 8, … , 21

b) Parámetros

CPi: Capacidad de pasajeros del autobús i.VD: Número de vueltas por día.DP: Total de días de la programación.

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Djk: Demanda del servicio en la hora j del día k.TVi: Total de vueltas del vehículo i durante la programación.AVjk: Mínimo número de autobuses por vuelta en la hora j del día k.

N: Numero de vehículos asignados a una ruta especifica.

c) Variables de decisión

Xijk : Variable de decisión binaria.

Xijk = 1, Si el vehículo i es asignado en la hora j del día k; = 0, Si el vehículo i no es asignado en la hora j del día k

ei = Variable de decisión entera que representa la holgura del número de vueltas que realiza el vehículo i en relación al promedio.

3.2 Construcción de Modelo

En el paso anterior definimos, los índices, los parámetros y las variables de decisión. El siguiente paso será generar el modelo matemático con la información relevante, sabemos que debemos minimizar la capacidad ociosa, y ésta, dada su sensibilidad está obligadamente ligada a las disponibilidades de recursos con que el sistema cuenta. La aplicación del modelo de programación binaria presupone en su estructura tres componentes fundamentales, que a continuación pasamos a detallar:

Modelo Matemático:

Función Objetivo: El objetivo que deseamos alcanzar, es la minimización de la capacidad ociosa de la flota de transporte asignada a una ruta específica, tal como se expresa en la ecuación (11), donde Z representa la capacidad ociosa del sistema de transporte.

Restricciones Estructurales: Existen tres tipos de restricciones estructurales que son las siguientes:

a. Satisfacción de la demanda del servicio

Dado que la demanda del servicio tiene un comportamiento variable durante las diferentes horas del día, se debe establecer restricciones que aseguren ofertar una capacidad de al menos la demanda del servicio por cada hora del servicio, tal como se expresa en la ecuación (12).

b. Restricciones de equilibrio en el número de viajes

Por lo general en nuestro medio cada vehículo de la flota de vehículos pertenece a un dueño diferente, por lo tanto el modelo debe buscar un equilibrio en el total de horas de trabajo, para de esta manera buscar que todos tengan la misma oportunidad de ganancias. Esto se refleja en la ecuación (13).

Cabe señalar que debido a que las restricciones del tipo igual son muy exigentes para dar con una solución óptima, es que se agrega una variable de holgura que permita balancear el modelo y obtener una solución óptima.

c. Restricciones de intervalo de llegadas de autobuses a un paradero

Los usuarios tienen un máximo de tiempo de espera, vencido ese tiempo buscan otra línea, por lo tanto el modelo deberá conseguir que el tiempo entre llegadas de los vehículos al un paradero no exceda ese nivel de paciencia. Esto se consigue mediante las restricciones mostradas en la ecuación (14).

Restricciones lógicas: Estas establecen que las variables de decisión del modelo deben ser valores no negativos [2] para que los resultados del modelo sean consistentes y tengan sentido lógico, con lo que se establece la condición de no nega-tividad de los modelos de programación lineal:

Xijk 0;

Pero para un modelo de Programación Binaria las restricciones lógicas son las que se presentan en las ecuaciones (15) y (16)

Por lo tanto el Modelo de Programación Binaria para optimizar la programación de autobuses en una ruta de transporte urbano de pasajeros en su expresión algebraica es:

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Min(z) = (11)

ST:

(12)

(13)

(14)

Xijk Є {0,1}; (15)

ei Є {0,1}; (16)

i = 1, 2, 3, ..., N

j = hi, hi+1, ..., hj

K = 1, 2, 3, ..., DP

Cabe resaltar que la variable ei en el modelo nuevo se hace binaria, dando la opción a que alguna de los vehículos realice a lo más una vuelta adicional en relación al nuevo promedio.

4 Experimentos Numéricos

Tomando en cuenta la ruta “Dolores” de la figura 1 mostrada anteriormente, dimensionamos el modelo de la siguiente manera:

i = 1, 2, 3,..., 15 j = 6, 7, 8,..., 21 K = 1, 2, 3,..., 5

Lo cual indica que el número de vehículos es de 15, las horas de programación es de 6 a 21 horas y 5 los días de la semana a considerar.

Para ajustar el total de vueltas, se ejecuta el modelo con el dimensionamiento anterior y se obtiene la sumatoria de los valores de las variables de decisión ei, entonces se tiene:

TVi(ajustado) = TVi + = 46 + = 61 vueltas (17)

Para la solución del modelo matemático hemos utilizado el software de aplicación Lindo 6.0 y los reportes ofrecen al usuario, en la práctica, una propuesta de programación de los vehículos para una línea de transporte urbano de pasajeros, dicha propuesta deberá interactuar con el usuario a efecto de buscar una opción aceptable que permita optimizar los re -sultados en la empresa.

En la figura 3 tenemos la situación actual, donde los vehículos tienen que estar en funcionamiento todas las horas del día.

En la figura 4 se muestran los resultados procesados para el primer día de la programación, observe que las unidades de -berán de estar en actividad en los intervalos de horas con el valor 1, mientras que deberán estar fuera de servicio en los intervalos de horas con el valor cero. Cabe señalar que

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Fig. 3. Figura de la PROGRAMACIÓN DEL SISTEMA ACTUAL

Fig. 4. Figura de la PROGRAMACIÓN DEL SISTEMA PROPUESTO

Las siguientes figuras 5 y 6 se muestran el resumen semanal de la programación de vehículos para los 5 días de la semana.

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Fig. 5. Figura del RESUMEN DEL SISTEMA ACTUAL

Fig. 6. Figura del RESUMEN DEL SISTEMA PROPUESTO

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Con el sistema propuesto se observa que el número de vueltas por vehículo durante los 5 días de programación es de 62, esto es una reducción de 18 vueltas (80-62), lo que implica una reducción en la congestión vehicular y por consiguiente una reducción de los índices de contaminación ambiental.

La capacidad ociosa se reduce de 9475 a 4435 asientos, equivalentes a 53%, ocasionando un ahorro al empresario en cuanto a gastos de mantenimiento, lubricantes y combustibles, además esto implica una mejora en el uso de recursos hu -manos.

Conclusiones

Ha sido posible desarrollar un MODELO MATEMATICO DE PROGRAMACIÓN BINARIA que permita realizar la Programación de autobuses en líneas urbanas, determinando el número de unidades vehiculares que deberán ser asignadas en los diferentes intervalos de tiempo del día, de forma que se optimice el problema de la congestión vehicular del transporte urbano de pasajeros en ciudades de tamaño medio, así como también que permita minimizar la capacidad ociosa de la flota de vehículos asignados a una ruta.

El Modelo Matemático de Programación Binaria propuesto para la programación de autobuses en una ruta de transporte de pasajeros permitió mediante su aplicación optimizar el problema de la congestión vehicular en una ciudad de tamaño medio, así como también permitió minimizar la capacidad ociosa de la flota de vehículos asignados a una ruta.

El Modelo propuesto, constituye una herramienta de apoyo a la toma de decisiones gerenciales que permite analizar alternativas de optimización que busca mitigar el problema del transporte urbano de pasajeros de ciudades de tamaño medio.

Referencias

[1] CHARLES A. GALLAGER, HUGH J. WATSON, Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones en la Admi-nistración. Editorial Mc. Graw Hill 1982.

[2] EHRLICH, P.J. Pesquisa Operacional, Curso Introductorio, 7a edición. Brasil: Editora ATLAS, 1991.

[3] EPPEN, G.D., GOULD, F.J. Y SCHMIDT, C.P. Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. Prentice Hall Hispanoamericana, 1992.

[4] Jaramillo A., Patricia. Quintero T., Jorge Andrés, ALGORITMO GENÉTICO PARA LA PROGRAMACIÓN ÓPTIMA DERODA-

MIENTOS EN VEHÍCULOS DE TRANSPORTE PÚBLICO EN COLOMBIA, Congreso Latinoamericano 2004, Arequipa-Perú.

[5] KAMLESH MATHUR, DANIEL SOLOW. Investigación de Operaciones, El Arte de la Toma de Decisiones. Prenti-ce Hall, México 1996.

[6] SERGIO COELHO, ANTONIO. Um modelo heurístico para distribução e alocação de ônibus em linhas urbanas com opção de análise dos resultados a través de simulação. Santa Catarina-Brasil 1998.

[7] WINSTON, WAYNE L. Investigación de Operaciones. Grupo Editorial Thomson, 4ta edición 2005.

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